LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département...
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LA STRUCTURE D'ARBRE-B
Institut National des Sciences Appliquées – Rouen
Département Architecture des Systèmes d’Information
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LA STRUCTURE D'ARBRE-B
• A) RECHERCHE
• B) INSERTION
• C) SUPPRESSION
• D) INDEX PAR ARBRE-B+
• E) MEMOIRE SECONDAIRE
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ARBRE-B• UN ARBRE-B D'ORDRE m EST UN
ARBRE /
1/ CHAQUE NOEUD CONTIENT k CLES TRIEES AVEC :
m k 2m (noeud non racine)1 k 2m (noeud racine)
2/CHAQUE CHEMIN DE LA RACINE A UNE FEUILLE EST DE MEME LONGUEUR h (HAUTEUR)
3/UN NOEUD EST :- SOIT TERMINAL (FEUILLE)- SOIT POSSEDE (k+1) FILS /
LES CLES DU ième FILS ONT DES VALEURS COMPRISES ENTRE LES
VALEURS DES (i-1)ème ET ième CLES DU PERE
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STRUCTURE D'UN NŒUD (ARBRE-B D'ORDRE m)
-> k CLES AVEC k1 < k2 < ... < kn
-> (k+1) POINTEURS /- TOUS SONT DIFFERENTS DE NIL
SI LE NOEUD N'EST PAS UNE FEUILLE - TOUS A NIL SI LE NOEUD EST UNE FEUILLE
P0 K1 P1 K2 P2 PkKkPk-1
K < K1 K1 < K < K2 K2< K < K3 Kk-1 < K < Kk K > Kk
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CAPACITE
• NOMBRE DE CLES
ARBRE-B d'ORDRE m , et de hauteur h
-> NbClesMin = 2*(m+1) - 1
-> NbClesMax = (2*m+1) - 1
m = 100, h = 2
==> NbClesMax = 8 000 000
• STOCKAGE SUR DISQUE
-> UN NOEUD = UNE PAGE
h+1
h
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EXEMPLE (n°0)
• ARBRE-B D'ORDRE 2 -> CHAQUE NOEUD, SAUF LA
RACINE CONTIENT k CLES AVEC 2 k 4
-> LA RACINE CONTIENT k CLES AVEC 1 k 4
51
11 30 66 78
2 7 35 41 53 54 63 79 84 93
68 69 71 7612 15 22
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RECHERCHE(D'UN ELEMENT DE CLE K)
• METHODEA PARTIR DE LA RACINE, POUR
CHAQUE NOEUD EXAMINE
- LA CLE K EST PRESENTE : SUCCES
- K < k1-> RECHERCHE DANS P0^
- K > k-> RECHERCHE DANS Pk^
- ki < K < ki+1-> RECHERCHE DANS Pi^
• SI UN DES POINTEURS VAUT NILLA RECHERCHE EST UN ECHEC
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INSERTION D'UN ELEMENTDANS UN ARBRE-B
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INSERTION DE LA CLE 75(Dans l'arbre-B de l'exemple 0)
• INSERTION DE 75 DANS UN NŒUD PLEIN => 5 CLES
• ECLATEMENT DU NOEUD EN 2 :- LES 2 PLUS PETITES CLES RESTENT DANS LE NOEUD- LES 2 PLUS GRANDES CLES SONT INSEREES DANS UN NOUVEAU NOEUD
• REMONTEE DE LA CLE MEDIANE (71) DANS LE NOEUD PERE
51
11 30 66 78
2 7 35 41 53 54 63 79 84 93
68 69 71 7612 15 22
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INSERTION DE LA CLE 75 (2)
• L'ARBRE-B DEVIENT
51
11 30 66 78
2 7 35 41 53 54 63 79 84 93
68 69
71
7612 15 22
75
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EXEMPLE (n°1)
• ARBRE-B D'ORDRE 2
5 11 16 21
1 2 3 4
6 7 8 10
12 13 14 15
17 18 19 20
22 23 24 25
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INSERTION DE LA CLE 9
• Eclatement du noeud par l'arrivée de la clé 9
-> Remontée de la clé 8 au noeud père
• Eclatement du noeud par l'arrivée de la clé 8
-> Création d'une nouvelle racine avec la clé 11-> Augmentation d'une unité de la hauteur
6 7 8 10
5 11 16 21
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ETAPE INTERMEDIAIRE
5 11 16 21
1 2 3 4
6 7
12 13 14 15
17 18 19 20
22 23 24 25
8
9 10
ZONE MEMOIRE TAMPON
11
5 8 16
1 2 9 10 1213 14
17 18
21
23
6 7
2243
19 20
15 24 25
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PRINCIPE DE L'INSERTION DANS UN ARBRE-B D'ORDRE
m• RECHERCHE DE LA FEUILLE
D'INSERTION
Si LA FEUILLE N'EST PAS PLEINEAlors
INSERER LA CLE "A SA PLACE"
Sinon/*La feuille est pleine 2m clés*/LAISSER LES m PLUS PETITES
CLES DANS LE NOEUDALLOUER UN NOUVEAU NOEUD ET Y PLACER LES m PLUS GRANDES CLESREMONTER LA CLE MEDIANE DANS
LE NOEUD PEREAPPLICATION RECURSIVE DE CE
PRINCIPEEVENTUELLEMENT JUSQU'A LA RACINE
Finsi
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SUPPRESSION D'UN ELEMENT DANS UN ARBRE-B
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EXEMPLE (n°2)
• ARBRE B D'ORDRE 2
• SUPPRESSION DE LA CLE 25
-> SUPPRESSION DANS UNE FEUILLE -> LE NOMBRE D'ELEMENT DEVIENT <
2 -> COMBINAISON AVEC UN NŒUD VOISIN-> DESCENTE DE LA CLE (ICI 15)-> SUPPRESSION DU NOEUD
20 25
10
15
27
12 14 20
10 15 27
12 14 20 25
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EXEMPLE (n°3)
• D'ARBRE B D'ORDRE 2
• SUPPRESSION DE LA CLE 6 (SUPPRESSION DANS UNE FEUILLE)
-> LE NOMBRE D'ELEMENT < 2-> COMBINAISON AVEC UN NOEUD VOISIN -> DESCENTE DE LA CLE (ICI 4)-> NOMBRE DE CLES > 4-> REDISTRIBUTION AVEC REMONTEE DE LA CLE MEDIANE (ICI 3)
4 8
1 2 6 73
4
8
1 2 7
3
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EXEMPLE (n°4)
• ARBRE-B D'ORDRE 2 (ETAT INITIAL)
• SUPPRESSION DE LA CLE 4
• FINAL
La hauteur de l'arbre est passée de 2 a 1
11
3 8
1 2 4 7 9 10
16 21
11
3
8
1 2 7 9 10
16 21
11
3
8
1 2 7 9 10
16 21
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EXEMPLE (n°5)
• D'ARBRE-B D'ORDRE 2
• SUPPRESSION DE LA CLE 5(SUPPRESSION DANS UN NOEUD NON FEUILLE)
-> RECHERCHE D'UNE CLE ADJACENTE DE LA CLE : ON PREND LA PLUS GRANDE CLE DU SOUS-ARBRE GAUCHE DE LA
CLE -> REMPLACEMENT DE LA CLE PAR LA
CLE ADJACENTE TROUVEE-> SUPPRESSION DE LA CLE TROUVEE DANS
UN NOEUD FEUILLE
5 8
1 2 3 4 6 7 9 10
4 8
1 2 3 6 7 9 10
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EXEMPLE EN CASCADE
• SUPPRESSION DE LA CLE 5
11
5 8 16
1 2 9 10 1213 14
17 18
21
23
6 7
2243
19 20
15 24 25
11
8 16
1 2 9 10 1213 14
17 18
21
23
6 7
22
4
3
19 20
15 24 25
![Page 21: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/21.jpg)
EXEMPLE EN CASCADE (2)
• SUPPRESSION DE LA CLE 6
• SUPPRESSION DE LA CLE 4
11
8 16
1 2 9 10 1213 14
17 18
21
237 223
19 20
15 24 25
11
8 16
1 2 9 10 1213 14
17 18
21
23
7
22
4
3
19 20
15 24 25
![Page 22: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/22.jpg)
EXEMPLE EN CASCADE (3)
• ETAT FINAL
118 16
1 2
9 10 1213 14
17 18
21
23
7
22
3
19 20
15 24 25
![Page 23: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/23.jpg)
PRINCIPE DE LA SUPPRESSION
• CAS n°1SUPPRESSION DANS UNE FEUILLE
- LE NOMBRE DE CLES EST ≥ m-> TASSER LES CLES DANS LE NOEUD
- LE NOMBRE DE CLE DEVIENT < m-> COMBINER AVEC UN NOEUD ADJACENT CE QUI ENTRAINE LA DESCENTE D'UNE CLE DU NOEUD PERE AVEC EVENTUELLEMENT UNE REORGANISATION LOCALE
LA REDUCTION DU NOEUD PERE AVEC MOINS DE m CLES ENTRAINE LA
COMBINAISON DE CE NOEUD PERE AVEC UN NOEUD VOISIN DU MEME
NIVEAU REMONTEE EVENTUELLE JUSQU'A LA RACINE
![Page 24: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/24.jpg)
PRINCIPE DE LA SUPPRESSION (2)
• CAS n°2SUPPRESSION DANS UN NOEUD
NON FEUILLE - RECHERCHER une CLE ADJACENTE
à la clé à SUPPRIMER- SOIT LA PLUS PETITE DU SOUS
ARBRE DROIT- SOIT LA PLUS GRANDE DU SOUS ARBRE GAUCHE
-REMPLACER LA CLE A SUPPRIMER PAR LA CLE ADJACENTE TROUVEE
- SUPPRIMER LA CLE ADJACENTE (EQUIVALENT A LA SUPPRESSION DANS UNE FEUILLE)
![Page 25: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/25.jpg)
INDEX PAR ARBRE B+
![Page 26: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/26.jpg)
STRUCTURE D'ARBRE B+
• DEFINITIONUN ARBRE B+ EST UN ARBRE B OU
LES FEUILLES CONTIENNENT TOUTES LES CLES
• SCHEMA D'UN NOEUD :
• SUPPRESSION D'UNE CLE : UNIQUEMENT DANS UNE FEUILLE
• UTILISATIONSERT EN PRATIQUE A LA PLACE DES
ARBRES B POUR L'ORGANISATION DES DONNEES SUR DISQUE
P0 K1 P1 K2 P2 PkKkPk-1
K K1 K1 < K K2 K2< K K3 Kk-1 < K Kk K > Kk
![Page 27: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/27.jpg)
CREATION : INDEX ARBRE B+
• RELATION VINS (NV, CRU, MIL, DEG)
-> NON PLACEE
• CREATION D'UN INDEX UNIQUE SUR NV
-> ARBRE B+ D'ORDRE 2
(NON PLACANT)
51
11 30 51 66 76
11 66 76 30 51
INDEX SUR NV EN ARBRE B+
PAGES DE LA RELATION VINS
INDEX NON GROUPANT
![Page 28: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/28.jpg)
PLACEMENT PAR ARBRE B+
• RELATION VINS (NV, CRU, MIL, DEG)
-> PLACEE PAR ARBRE B+ D'ORDRE 2 SUR L'ATTRIBUT NV UNIQUE
(PLACANT)
125
110 125 142 156
101
INDEX SUR NV
PAGES DE LA RELATION VINS
INDEX GROUPANT
156
106 110 115 125
103
104
106
107
109
110
111
112
115
118
120
121
125
![Page 29: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/29.jpg)
ARBRE B+• INDEX ORGANISE EN ARBRE B
+ENSEMBLE DE FEUILLES CONTENANT
LES CLES
• CONSEQUENCES- ECLATEMENT D'UNE FEUILLE : UNE COPIE
DE LA CLE MEDIANE EST REMONTEE- SUPPRESSION D'UNE CLE : UNIQUEMENT
DANS UNE FEUILLE
=> RECHERCHE JUSQU'AUX FEUILLES
INDEX
CLES
ACCES DIRECT
ACCES SEQUENTIEL
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CRITIQUE PLACEMENT ARBRE B+
• AVANTAGES-> ACCES SEQUENTIEL TRIE SUR
CLE-> ACCES SELECTIF SUR CLE-> QUESTIONS INTERVALLE-> ADAPTE AUX RELATIONS
VOLUMINEUSES A FORTE CROISSANCE
• INCONVENIENTS-> TRAVERSEE INDEX POUR
ACCES SELECTIF-> MAJ COUTEUSE SI : Eclatement page (INSERTION)
Fusion page (SUPPRESSION)
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PLACEMENT DES DONNEES SUR MEMOIRE SECONDAIRE
PAR ARBRE B
![Page 32: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/32.jpg)
PLACEMENT DES RELATIONSPAR ARBRE B
• HYPOTHESES1 RELATION = 1 FICHIER1 TUPLE = 1 ENREGISTREMENT1 ATTRIBUT = 1 CHAMP
CLE DE PLACEMENT : MONO ATTRIBUT(CORRESPOND A LA CLE PRIMAIRE DE LA
RELATION DEFINIE LORS DE LA CONCEPTION DU SCHEMA)
• LA STRUCTURE D'ARBRE B SERT POUR L'ORGANISATION DES DONNEES SUR DISQUE
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PLACEMENT (2)
• FICHIER ORGANISE SOUS FORME D'ARBRE B
-> A CHAQUE CLE K, DANS TOUT NOEUD DE L'ARBRE B, EST ASSOCIEE LA VALEUR DE
L'ELEMENT DE CLE K
• FICHIER INDEXE PAR ARBRE B
-> A CHAQUE CLE K, DANS L'INDEX ORGANISE EN ARBRE B, EST ASSOCIE UN POINTEUR
VERS L'ELEMENT DE CLE K
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FICHIER ORGANISE EN ARBRE B
• EXEMPLE : ARBRE B D'ORDRE 1
• INCONVENIENTS-> 1 NOEUD = 1 BLOC DISQUE
LIMITATION DE L'ORDREAUGMENTATION HAUTEUR
-> RECHERCHE,LECTURE D'INFORMATIONS INUTILES
-> PARCOURS SEQUENTIEL DU FICHIER PARCOURS ARBRE B
51 Données
11 Données 30 Données
66 Données 76 Données
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FICHIER INDEXE PAR ARBRE B
• INDEX = ARBRE B (DENSE)SEQUENTIEL TRIE PAR PARCOURS
D'ARBRE
• DONNEES : SEQUENTIEL NON TRIE
• EXEMPLE (avec arbre B d'ordre 1)
11 30 66 76
51
51 Données 11 Données 66 Données 76 Données 30 Données
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PLACEMENT DES DONNEES SUR MEMOIRE SECONDAIRE
PAR ARBRE B+
![Page 37: LA STRUCTURE D'ARBRE-B Institut National des Sciences Appliquées – Rouen Département Architecture des Systèmes dInformation.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070309/551d9da7497959293b8d8e64/html5/thumbnails/37.jpg)
L'ORGANISATION INDEXE IS3• INDEX = ARBRE B+ : DENSE ET TRIE• DONNEES = SEQUENTIEL NON TRIE • EXEMPLE : index = arbre B+ d'ordre 2
• Pointeurs vers des fichiers de données séquentiels et non triés51
11 30 66 76
2
7
11
12
15
22
30
35
41
51
53
54
63
66
68
69
71
76
79
84
93
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L'ORGANISATION VSAM• ORGANISATION : SEQUENTIELLE
INDEXEE REGULIERE
• Ensemble index + données organisé sous la forme d'arbre B+
• Index est un ensemble des nœuds non feuilles : trié, non dense
• Données est un ensemble de feuilles triées
• TOUTES LES CLES SONT DANS LES FEUILLES
INDEX
DONNEES
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EXEMPLE DE FICHIER VSAM
• LE FORMAT DES FEUILLES EST DIFFERENT DU FORMAT DES NON
FEUILLES
• CREATION INITIALE DU FICHIER : CLES DONNEES DANS L'ORDRE ZONE
DATA REMPLIE A 75 %
125
110 125 142 156
101
INDEX
Données
156
106 110 115 125
103
104
106
107
109
110
111
112
115
118
120
121
125
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ACCES A UNE RELATION
• CLE DE PLACEMENT : PLACEMENT PAR METHODE INDEXEE
• INDEX SECONDAIRE
RELATION PLACEE, DEUX FORMES
• INDEX SECONDAIRE EST LUI MEME ORGANISE SOUS LA FORME PAR EXEMPLE, D'UN ARBRE B
Valeur de la clé de placement
Adresse du TUPLE
Valeur de la clé secondaire
Adresse du TUPLE
Valeur de la clé de placement
Valeur de la clé secondaire
ou