La storia nella didattica della matematica

Fulvia FuringhettiDipartimento di Matematicadell’Università di Genova

Un esempio particolare sulla formazione degli

insegnanti

Ho scelto la forma narrativa: vi racconto passo passo come svolgo il mio corso di didattica della matematica, a cui cerco di dare un carattere professionalizzante (formazione di futuri insegnanti)

Vediamo su questo esempio come la storia interviene in maniera naturale come strumento di lavoro e di riflessione

- la mia filosofia sulla formazione insegnanti

- ruolo delle convinzioni

- algebra- uso della storia… continua

“People don’t change when you tell them they should. They change when they tell themselves they must.”

Shulman (1986): teacher knowledge

conoscenza dei contenuti della disciplina

conoscenza degli discenti

conoscenza pedagogica dei contenuti

conoscenza degli obiettivi educazionali

conoscenza di altri contenuti collegati

conoscenza pedagogica generale

conoscenza del curriculum

• combinazione di contenuto e pedagogia che consta dellacapacità di valutare come particolari argomenti, problemi o fatti possono essere organizzati, rappresentati e adattati ai diversi interessi e abilità dei discenti e presentati ai fini dell’insegnamentocomprensione di ciò che rende l’apprendimento di specifici argomenti facile o difficile (incluso. quindi, concezioni e retroterra dei discenti)

pedagogical content knowledge

Un aspetto importante della conoscenza pedagogica dei contenuti è legato alle convinzioni degli insegnanti. Con esse io mi confronto nei corsi di Didattica della Matematica (laurea specialistica e, in passato, Scuola di Specializzazione all’Insegnamento Secondario)

Queste convinzioni riguardano sostanzialmente la natura della matematica, se stessi come discenti, il processo di insegnamento / apprendimento

Esse sono state in gran parte elaborate sulla base delle esperienze scolastiche e in molti casi portano a riprodurre lo stile di insegnamento che si è visto / subito nella propria classe

Frank, M. L. (1990). What myths about mathematics are held and conveyed by teachers?

“Teachers teach the way they have been taught”

Felix Klein (1849-1925)

Klein, F. (1911). Elementarmathematik vom höheren Standpunkte ausIntroduzione, p. 2

Émile Borel (1871-1956)

1907, Revue scientifique

Gino Loria (1862-1954)

Loria (1932 e 1933) nel suo rapporto ICMI (International Commission on Mathematical Instruction) parla del “double oubli”

Al momento di decidere sul suo lavoro in classe l’insegnante mette da parte (chiude in una parentesi) quanto appreso all’università e si rifà alla cultura matematica costruita negli anni della scuola secondaria

conservatorismo

“dopo le costumanze funebri, sono le istituzioni pedagogiche quelle che più ostinatamente resistono agli sforzi degli innovatori”

Loria (1905)

Dialettica tra riforme e classe

Manouchehri, & Goodman, 2000; Sztajn, 2003

Importanza delle convinzioni degli insegnanti

Autori:CooneyCubanThompson nel 1992Pehkonen

Furinghetti…

proposte delle istituzioni

aggiornamento

implementazione in classe

valutazione

proposte delle istituzioni

aggiornamento

implementazione in classe

valutazione

proposte delle istituzioni

implementazione in classe

convinzioni degli insegnanti

azione di filtro

le convinzioni possono essere un motore, un freno o un regolatore

• La riflessione sul proprio insegnamento è la componente della “conoscenza per insegnare”, che rende l’esperienza di insegnamento un elemento centrale per il buon insegnamento.

• L’esperienza individuale diventa un valore trasferibile

Schön, The reflective practitioner

Lo scopo di questa impostazione è:

- rendere i futuri insegnanti flessibili, aperti a posizioni differenti dalle loro

-porre le premesse per far diventare gli insegnanti “professionisti riflessivi”, cioè professionisti che sanno guardare la loro pratica e interpretarla alla luce di aspetti teorici

Department of Mathematics, University of Warwick (Coventry, UK)

Richard Skemp (1969, 1976) osserva che la parola capire è usata con riferimento a due significati diversi

Un significato è quello di capire come capire relazionale che consiste nel conoscere che cosa fare e perché, nel cogliere le relazioni strutturali; esso è il prodotto di un coinvolgimento personale del discente con oggetti matematici, situazioni, problemi, idee e con i vari processi.

capire strumentale

lo studente dimostra di sapere come applicare un principio o una procedura, senza necessariamente apprezzare la sua relazione con una certa struttura matematica o la ragione per cui il procedimento funziona.

“che cosa fare”

è il prodotto di un apprendimento meccanico di regole, teoremi e loro specifiche applicazioni.

Come tutte le distinzioni, anche questa è sfumata ai bordi, ma ha una sua efficacia nel sottolineare modi diversi di percepire la matematica (matematica relazionale o strumentale).

Esempio. Trovare le soluzioni dell’equazione

(x - 1)(x + 3) = 0

Esempio. I libri di testo che, quando presentano la continuità e discontinuità di una funzione in un punto, introducono i nomi e le diverse tipologie di discontinuità (di prima specie, di seconda specie, apparenti).

Henri-Marie Beyle (1783-1842) Stendhal

La vie d’Henri Brulard (autobiografia)

Amavo tanto più la matematica quanto più disprezzavo i miei insegnanti, i signori Dupuy e Chabert. Malgrado la grandiloquenza e cortesia, la soave e solenne aria che il signor Dupuy assumeva quando parlava a qualcuno, avevo abbastanza acume da intuire che egli era infinitamente più ignorante del signor Chabert. Il signor Chabert, che nella gerarchia sociale della borghesia di Grenoble stava cosí sotto il signor Dupuy, qualche volta nelle mattine di domenica o giovedì prendeva un volume di Eulero o ... e risolutamente affrontava le difficoltà.

Il mio entusiasmo per la matematica può aver avuto come sua base principale la mia ripugnanza per l’ipocrisia [...].

Dal mio punto di vista, l’ipocrisia era impossibile in matematica e, nella mia semplicità giovanile, pensavo che doveva essere così in tutte le scienze a cui, come mi era stato detto, era applicata. Che stupore per me scoprire che nessuno poteva spiegarmi come accadeva che: meno moltiplicato meno fa più (- x - = +)! (Questa è una delle tesi fondamentali per la scienza nota come algebra).

Non solo nessuno mi spiegava questa difficoltà (ed è sicuramente spiegabile perché conduce a verità), ma, ciò che era peggio, essi la spiegavano su ragioni che erano evidentemente lontane dall’esser chiare a loro stessi.

Il signor Chabert, quando lo incalzavo, diventava confuso, ripetendo la sua lezione, proprio quella lezione contro la quale avevo sollevato le mie obiezioni, ed infine sembrava dirmi “Ma è l’usanza; ognuno accetta questa spiegazione. Eulero e Lagrange, che presumibilmente erano bravi quanto voi, l’hanno accettata!”

Sulla natura duplice delle concezioni matematiche: riflessioni su processi e oggetti come i due lati della stessa medaglia

Anna Sfard, 1991

Le concezioni di un concetto matematico possono essere di diversi tipi:

STRUTTURALI OPERAZIONALI

• La concezione strutturale vede gli oggetti matematici come enti astratti

• La concezione operazionale tratta di processi, algoritmi ed azioni piuttosto che di oggetti astratti

Concezione STRUTTURALE

Concezione OPERAZIONALE

Statica

Istantanea

Integrativa

Dinamica

Sequenziale

Dettagliata

Quali sono le caratteristiche delle due concezioni:

Passi di sviluppo del concetto

Interiorizzazione

Condensazione

Reificazione

Interiorizzazione: Si entra in contatto con i processi che danno luogo a nuovi concetti (come il contare che porta al contatto con i numeri naturali, il sottrarre che porta ai numeri negativi, o la manipolazione algebrica che porta alle funzioni)

Condensazione: Sequenze lunghe di operazioni vengono strette in unità più maneggevoli attraverso un processo di condensazione. La persona diviene sempre più in grado di pensare ad un processo come ad un tutt’uno, senza sentire il bisogno di entrare nei dettagli

Reificazione: Si compie un salto ontologico, l’abilità di vedere qualcosa di familiare in una cosa nuova

EsempioIn generale Caso concreto

(Funzione)

InteriorizzazionePrimo contatto con il processo

• Manipolazione della variabile

• Tabelle

CondensazioneNascita ufficiale del concetto

• Composizione• Rappresentazione

mediante grafici

Reificazione Entità slegata dal processo, si solidifica in una struttura

• Esprimere a parole proprietà di differenti processi;

• Coppie ordinate di numeri

algebra

Perché l’algebra?

È un argomento fondamentale che parvade tutta la matematica. Samuel Eilenberg dice che è come il ghigno del gatto del Cheshire in Alice nel paese delle meraviglie che resta anche quando il gatto scompare

Si insegna (e vi si valuta) in ogni tipo di scuola

È particolarmente toccata dal fenomeno della doppia parentesi

Inizio la mia attività chiedendo ai futuri insegnanti che cosa è per loro l’algebra.

Le risposte citano: astrazione, generalizzazione, simbolismo, modellizzazione di un problema

Queste risposte riecheggiano la caratterizzazione di Mahoney (1971), secondo cui l’algebra coinvolge:

- simbolismo operazionale

- attenzione alle relazioni matematiche più che agli oggetti matematici, le quali relazioni determinano le strutture che costituiscono l’oggetto dell’algebra moderna

- libertà da ogni questione ontologica e, per questo, astrazione piuttosto che intuizione

Problemi tratti da testi

medievali di aritmetica

Molti di essi sono

riportati

nel libro di

Adriano Demattè

Dato un problema, le fasi di soluzione sono (da Polya)

Lettura del testo

comprensione

Parafrasi, anche attraverso rappresentazioni

rappresentazione

piano

verifica del piano

Paolo Dell’Abbaco, Trattato d’Aritmetica

Un signore à un suo fante e mandalo nel giardino per 7 mele e dice: tu troverrai 3 portinai che ciaschuno ti dirà: io voglo la metà di tutte le mele e due più di quelle che tti rimangnono dopo la divixione. Adomando quante che ne cholxe di prima volendo che ne gli rimanexxe sette.

Paolo Dell’Abbaco, Trattato d’Aritmetica, 47

Fà chosì e di’: se questo fante vuole che ne gli rimanga 7, all’ultima porta quante chonviene che n’abbi? Chonviene che n’abbi 18. E poi di’: se gli vuole che glene rimangha 18 alla seconda, chonviene che n’abbia 40; e poi se egli vuole che glene rimangha 40 alla terza porta chonviene che egli n’abbi 84. Ed ai falichato 3 porti e, muovendosi da prima chon 84, negli rimanghono 7. Ed è fatta.

Calcolo le mele che si devono avere prima del passaggio per l'ultima porta. Poiché il portinaio ne vuole la metà più 2, le 7 mele sono la metà meno 2. Quindi prima dell’ultima porta deve avere 18 mele. Osservo che 18 è (7•2)+4 quindi, deduco che prima della seconda porta deve avere (18•2)+4=40 mele e quindi deve cogliere (40•2)+4= 84 mele.Ora verifico84 mele colte di cui

44 al 1° portinaio40 restano al fante

40 mele22 al 2° portinaio18 restano al fante

18 mele 11 al 3° portinaio

7 restano al fante da portare al padrone.

Chiara

Grazia

y - y/2 -2

…

(y - y/2 -2)1/2-2)1/2-2=7

Questo problema permette due percorsi risolutivi differenti.Chiara parte dal noto (le mele rimaste) e arriva all’ignoto (le mele da raccogliere): il suo percorso è di tipo aritmetico.Grazia parte dall’ignoto (le mele da raccogliere) per arrivare al noto (le mele rimaste): il suo percorso è di tipo algebrico.Fare disinvoltamente entrambi i percorsi non è possibile in tutti i problemi: talvolta il percorso aritmetico è così immediato che risulta un inutile appesantimento fare il percorso algebrico. Altre volte il percorso aritmetico è veramente complicato.

Propositiones ad acuendos juvenes di Alcuino (York 730/735 - Tours 804)

De limace

Una lumaca fu invitata a pranzo da una rondine una lega più avanti. Ma essa non poteva camminare più di un pollice al giorno. Dica, chi vuole, quanti giorni la lumaca avrà camminato per questo pranzo.

Soluzione

In una lega ci sono 1500 passi, cioè 7500 piedi o 90000 pollici. I giorni furono tanti quanti i pollici, che fanno 246 anni e 210 giorni.

Propositio de homine et equis in campo pascentibus

Un uomo vedendo dei cavalli che pascolavano in un campo espresse un desiderio dicendo: «Se foste miei e foste altrettanti più metà della metà, certamente menerei vanto di cento cavalli». Riconosca, chi vuole, quanti cavalli che pascolavano vide all’inizio quell’uomo.

Soluzione

I cavalli che pascolavano erano 40, altrettanti fanno 80. La metà di questa metà è 20, se aggiunta fa 100.

D

?Si possono facilmente connettere i dati noti. Si procede così dai dati noti a quelli incogniti

DD

Benardz & Janvier (1996)

Cavalli visti?

Cavalli visti?

Metà dei cavalli visti?

Numero cavalli

I dati noti non si possono connettere facilmente. È noto solamente il totale. Questo complica le cose perché il dato noto è per molti studenti il punto di partenza. Inoltre, sono coinvolti diversi tipi di relazioni.

Una fabbrica di confezioni dispone di 4 pezze di stoffa di 50 m ciascuna. Con queste confezionano 20 vestiti per cui occorrono 3m di stoffa per ciascuno. Con la rimanente stoffa pensano di fare cappotti che necessitano di 4m ciascuno. Quanti cappotti si possono fare?

Puig & Cérdan (1995)

?

? Stoffa cappotti diviso

4 m

? Stoffa disponibile

meno ?

50 m

20 vestiti 3 m

per per

4 pezze

((4•50)-(3 •20)):4

Un’automobile parte da un punto A con velocità uniforme di 40 km/h verso un punto B. Due ore dopo parte da A un'altra automobile verso B con velocità uniforme di 60km/h. A quale distanza da A la seconda automobile raggiunge la prima?

d = 60 (d/40 - 2)

Quantità cercata Quantità cercata

Antecedente ……

Antecedente ... …...

Quantità note Quantità note

Analisi Sintesi

L’algebra non è solo generalizzazione, non

è solo astrazione, non è solo uso dei

simboli: l’algebra è un metodo e il

passaggio dall’aritmetica all’algebra ha il

suo cuore nell’uso del metodo analitico

Tutto ciò deve far riflettere sul fatto che introdurre l’algebra come estensione dell’aritmetica può essere pericoloso poiché implica un’illusione di continuità tra aritmetica e algebra che nei fatti è un salto di metodo di lavoro e un salto ontologico

http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=684&IDD=0#signet10

Perché la storia

Ragioni pedagogiche

Ragioni culturali

Ragioni tecniche

Ragioni pedagogiche

1. Potrebbero rispondere allo scopo problemi presi dalla vita reale (es. Quello dei cappotti)

Ma quale è la realtà dei ragazzi?

2. La lingua sconosciuta e curiosa aiuta nel concentrarsi sulla lettura del testo

Ragioni culturali

C’è il fenomeno dell’immersione culturale

Si vede lo sviluppo della matematica nel contesto scientifico e tecnologico e nelle idee di un certo periodo

La matematica diventa qualcosa di più e di diverso da un semplice corpus di conoscenze e tecniche

Ragioni tecniche

C’è il fenomeno dello “spaesamento”

Ci si muove in un paesaggio sconosciuto e si guarda con occhi diversi cogliendo aspetti che non si erano visti