La segmentation

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Plan

Définition et Objectifs Méthodes de Partitionnement Méthodes Hiérarchiques Méthodes par Densité Autres méthodes Applications Exemple

Définition et Objectifs

Regrouper des objetsen groupes homogènes ou proches

En marketing, la segmentation du public consiste à« le découper en un certain nombre de sous-ensembles, aussi homogènes que possibles, afin de permettre à une entreprise de mieux adapter sa politique de marketing à chacun de ces sous-ensembles » [Mercator]

En statistiques, on parle plutôt de « classification » En anglais (marketing ou statistiques) on parle de

« clustering »

Approche intuitive

Objectif Identifier des

« attroupements » de points.

Intérêt Représentation plus

compacte Inteprétation des

groupes

Caractéristique 1

Caractéristique 2

Caractéristique 1

Caractéristique 2

Conditions

Les objets sont supposés décrits par un tableau En ligne, un individu, ou objet En colonne, une caractéristique, ou variable

Les données individuelles peuvent être Continues (le cas général) Binaires ou discrètes Textuelles

Les données doivent être connues pour chaque individu

Pour pouvoir poser le problème

Disposer de n caractéristiques décrivant chaque objet : Nombre de caractéristiques fixes

Pas de séries temporelles Pas de listes

Toutes les données doivent être connues

Les outils mathématiques de base

Groupes Homogènes Groupes = Partitions

Une partition est la décomposition d’un ensemble en sous-ensembles deux à deux disjoints, et de réunion égale à l’ensemble de départ

Homogènes = Distances et dissimilarités Entre individus Entre ensembles

Approche combinatoire

Critère de qualité d’une partition Ex : inertie intraclasse

Recherche de la meilleure partition Recherche exhaustive ?

Nombre de partitions d’un ensemble …

Partitions d’un ensemble

Nombre de partitions d’un ensemblePn,k = Pn-1,k-1+k.Pn-1,k

Méthodes de partitionnement

Méthodes des nuées dynamiques

Soient n points partitionnés en k groupes On définit pour chaque groupe :

g1, g2, …, gK le centre de gravité I1, I2, …, Ik l’inertie

L’inertie totale des n points est égale à :I=IB+IW

(théorème de König_Huyghens)

Inertie intraclasse et interclasses

IB=(n1/n).d(G1,G)2+(n2/n).d(G2,G)2

IW=(n1/n).I1+(n2/n).I2

Méthode des nuées dynamiques

Rechercher la partition qui minimise l’inertie intraclasse (IB)

(groupes bien homogènes) … donc maximise l’inertie interclasses (IW)

(groupes bien éloignés) Ce critère ne s’applique qu’à un nombre

de classes fixé.Sinon :k=n réalise IB=0

Méthode des nuées dynamiques

Caractéristique 1

Caractéristique 2 1. On part de k centres2. Ces centres

déterminent une partition

3. On remplace les centres par les centres de gravité de chaque sous ensemble

4. On recommence en 2

L’algorithme converge

Méthode des nuées dynamiques

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Convergence

Notons ECi la classe

constituée par les points de E plus proches de Ci que d’un autre centre

Notons Egi la classe

obtenue en remplaçant Ci par gi le centre de gravité de ECi

Variance intraclasse avant =

>=

>= Variance intraclasse après

k

i Emi

ic

gmdn 1

2,

1

k

i Epi

ig

gpdn 1

2,

1

Faiblesses

Sensibilité aux points initiaux La convergence n’est garantie que vers un

minimum local Variables qualitatives ? Difficultés

S’il y a des points extrêmes Si les groupes ont des tailles ou des densités

différentes Si les groupes ne sont pas de forme convexe

Amélioration des k-means

“k-medoids” (PAM) K fixé Choisir k points aléatoirement appelés “medoids”,

notés H Associer chaque point J au medoid le plus proche Calculer l’inertie intraclasse Pour chaque couple (H,J) évaluer le gain en inertie

si on échange H et J Echanger si l’inertie diminue

Plus robuste, mais moins efficace pour des grandes bases de données.

Méthodes hiérarchiques

La classification hiérarchique

Principe Utiliser un regroupement successif de

parties Regroupement ascendant

Problème Disposer d’une distance entre parties

CAH : Principe

a

b

c d

e

f

En appliquant un algorithme de classification ascendante hiérarchique aux points ci-contre, on aboutit à l’arbre ci-dessous. (la distance entre parties utilisée ici est la plus petite distance entre deux éléments des parties)

a b c d e f

En coupant l’arbre au niveau horizontal figuré par la ligne en pointillés, on choisit la partition ci-contre.

a

b

c d

e

f

Définitions

Hiérarchies de parties d’un ensemble E Une famille H est une hiérarchie ssi

E et tous les singletons {a} appartiennent à H Si A et B appartiennent à H, alors elles sont soient

disjointes, soit incluses l’une dans l’autre Toute classe est la réunion des classes qui sont

incluses en elle A toute hiérarchie correspond un arbre de

classification

Exemple

a b c d e f

H={, a,b, c, d, e, f, ab, de, abc, abcde, abcdef}

Distances entre parties

Dissimilarités Saut minimum : plus petite distance entre

éléments des deux parties

Distance moyenne

AB

Indice de la hiérarchie

a b c d e f

0.3

0.5

0.7

1

Les niveaux d’agrégation sont égaux à la distance des parties réuniesI({a,b,c}) = 0.5 = d({a,b},{c})

Coupure de la hiérarchie

Une partition de E compatible avec la hiérarchie H est une partition dont les classes sont des éléments de H

C’est une partition obtenue en « coupant l’arbre et en regroupant les morceaux »

a b c d e f

P={{a,b,c},{d,e},{f}}

Méthodes par densité

Principe

La segmentation est basée sur la densité

Fonctionne bien si la densité de points est beaucoup plus élevée à l’intérieur d’un segment qu’à l’extérieur.

Définitions (1)

Deux paramètres Eps: Rayon maximum d’un voisinage

MinPts: Nombre minimum de points dans le “Eps-voisinage” d’un point

Point dense : point entouré d’au moins MinPts points dans un rayon de Eps

pq

MinPts = 5

Eps = 1 cm

Définitions (2)

NEps(p): {q | dist(p,q) <= Eps}

Point directement accessible par densité: Un point p est directement accessible par densité à partir d’un point q si :

1) q est un point dense

2) p NEps(q)

Définitions (3)

Point accessible par densité: Un point p est accessible par densité à partir d’un

point q s’il existe une chaîne de points p1, …, pn, p1 = q, pn = p telle que pi+1 est directement accessible par densité à partir de pi

Point connecté par densité Un point p est connecté par densité à un point q

s’il existe un point o tel que p et q soit accessible par densité à partir de o.

Illustration des définitions

p

qp1

p q

o

p est accessible par densitéà partir de q

p et q sontconnectés par densité

DBSCAN

Repose sur une notion de segment basée sur la densité : un segment est défini comme un ensemble maximal de points connectés par densité

Cet algorithme permet de découvrir des segments de forme quelconque

Point noyau

Point bordure

Point isolé

Algorithme DBSCAN

EntréesD={t1,t2, …, tn} // Ensemble de pointsMinPts // Nombre minimal de points d’un segmentEps // Distance maximale pour connexion

RésultatK={K1, K2, …Kp} // Ensemble de segments

Algorithmep=0Pour i=1 à n, faire

Si ti n’est pas dans un segment alorsX={tj|tj est accessible par densité à partir de ti};Si X est un segment valide, alors

P=p+1;Kp=X;

FinSiFinSi

FinPour

Comparaison k-means et DBSCAN

Résultat de K-means Résultat de DBSCAN

Apport de l’ACP

Visualisation des groupes homogènes

Les segments trouvés sont difficiles à analyser Option 1

Projection des individus sur le plan des deux axes principaux d’inertie

Segmentation du nuage en 2 dimensions Option 2

Segmentation du nuage en n dimensions Projection des segments sur le plan des deux axes principaux d’inertie

Exemple

Autres méthodes

Self-organising MAPs (SOM)

Ou “Cartes topologiques autoadaptatives”

Idée de Teuvo Kohonen Basée sur une modélisation de certains systèmes

neuronaux Visualisation en 2D de données en dimension

élevée Conservation de la topologie (proximité) Extension à la classification

SOM - Principe de fonctionnement (1)

SOM - Principe de fonctionnement (2)

0.3

Carte topologique

Neuroneindividuel

0.6

0.8

0.9

SOM - Algorithme

Initialiser le réseau

Trouver le neurone gagnant

Le rapprocher de l’exemple

Rapprocher les voisins proches

Eloigner les voisins éloignés

Présenter un exemple

Principe du renforcement

Carte topologique

Neuroneindividuel

0.3

0.6

0.8

0.9

Exemple

Points en 3 dimensions Chaque point est une

couleur codée en R,G,B

Dans la carte initiale , chaque neurone répond aléatoirement

On colorie chaque neurone en fonction de la couleur à laquelle il répond.

Etude de cas

Un cas pratique Analyse des sessions de navigation sur un

site professionnel Des outils de l’analyse des données

Préparation des données Analyse en composantes principales Segmentation

Description du cas

Etude réalisée pour le groupe Lafarge

Identification des usages d’un site internet professionnel : le configurateur de toit.

Le configurateur de toiture

Les données

Les données brutes sont des données de « log » : Données de « trace » de la navigation Chaque ligne matérialise une action

individuelle de l’internaute

23,@@@@0026564285.1031774594@@@@,16489,creargos-1.6,geo,ssid=default&null&nomProjet=&codePost=&ville=&adresse=&nomRoofer=Larroque&fonction=&email=dlarroqueloumiet@free.fr&tel=&roofSurface=0,Sep 11 2002 22:04:07…

Prétraitement des données

Ces données brutes ne peuvent pas être analysées

Pourquoi ? L’objectif est de comprendre les usages Usage = ensemble des lignes d’un même

utilisateur (session) Représentation de l’usage sous forme d’un

ensemble de chiffres Les usages doivent être comparables entre eux

Créer un « Vecteur d’usage » par session

Représentation des données

Exemple de caractéristiques des usages Durée d’une session Heure de la session Code Postal Profession Sauvegarde du résultat Nombre d’erreurs Etc.

Représentation des données

Pour être analysées les données sont représentées sous forme d’un tableau Une ligne par session (utilisateur) Une colonne par caractéristique

Représentation des données

Travaux dirigés

Fichier de données “semi-brutes” Analyse statistique des données Segmentation des données Analyse et interprétation des segments Outils

Excel, XLMiner, Spad