La matemáticay el ámbito conceptual

JAVIER de LORENZO(Universidadde Valladolid)

1. A mediadosdel s. XIX se produce,en el hacermatemático,unain-flexión. De la creenciaen la certezaabsoluta,en la no arbitrariedadde laMatemática,se pretendela búsquedade un fundamentoparala misma.Kant había escindido la Matemática de la Lógica de tal mido que la pri-mera teníaunosmodospropios de razonamiento,ajenosa la Lógica: lasproposicionesdeestaúltima erananalíticasa priori mientrasquelas pro-posicionesaritméticas,por ejemplo,eransintéticasa priori. Ello implica-ba la no reduccióndel hacermatemáticoa la Lógica. Reflejaba,de estamanera,el sentir de los matemáticosde manejarobjetos,fenómenos,enun sentidosemejanteacomolo hacíanlos físicosrespectoa la naturaleza.Sin embargo, el desarrollodel Análisis, la apariciónde geometríasno-euclídeas,entreotros,conducíanal hacermatemáticoa unaposición enque lo deductivo iba cobrandoun papel cadavez más importante.Nobastabatenerfe en los productosde la razón,habíaquedemostrarlos.Y.en estalínea, la Aritmética va a tomarel papelrelevantede fundamentarlos restanteshaceres,papelquehabíacorrespondido,hastaese momento,a la Geometría.Un paso más,y la preguntase harásobrequésoportalaTeoríade números.Aun admitiendola certezay la no arbitrariedaddelhacermatemático.se haráproblemael de los últimos fundamentosdelmismo.

Y esabúsqueda de fundamentación va a conllevar un procesoreduc-cionista: en el interior de la Matemática—teoríade conjuntoso cantoris-mo, formalismohilbertiano...—.en el exteriorde la misma—teoría del re-flejo, abstraccióninductivista,formalismolingílístico sintáctico,logicismocon su intuición de estructurasy objetospertenecientesaun mundoeidé-lico real...—.

A partir del s. XIX se haceproblemáticoel fundamentode lo que,has-ta ese momento,se estimabacomo unacerteza,unaseguridad.Seguridadque,porotro lado,la Matemáticatransmitey soportaa otrasdisciplinas,aotroshaceresbiencomo apoyaturalingúísticamedianteel empleode fór-mulas,biencomoarquetipoinclusode lenguajedondeno hayopinioneso pareceressino merapresenciademostrativade lo verdadero—y me re-

Revistade Fitosofia. 3•a época,vol. 1(1987-88),págs.43-53. Editorial Complutense.Madrid

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fiero, entreotros,a Spinoza—porqueadoptandoel estilomoregeometricose deseano disputaro convencermedianteel ropajeliterario sinomostrarla verdadcon un métodoanteel cual únicamentecabeel asentimiento,yello por el total de las gentes.

2. Cabeobservar,sin embargo,que la búsquedade fundamentoúlti-mo no es propiade sólo el hacermatemático,sino mostración,en esteha-cer particular,de algomásprofundoy existencialhumano.Es la manifes-tación del deseode lo quepuedecalificarsecomo principio minimal deestabilidad.

La búsquedade la verdad,de la seguridades inherenteal espírituhu-manoen cualesquieracircunstancias,independientea épocasy lugares.Algo que se refleja en el principio de identidadde Fichte,en la razónab-solutade Hegel,en la utopíamarxiana...,en la plasmaciónde BurbujasoAmbitoscomola Simbólicadondelo religioso,lo místico,lo mágico,pue-de proporcionar,en algún momento,dicho fundamentoabsoluto.Es loque refleja la fe del científico en elementoscomola simplicidady la sime-tria considerándolasinherentesa la naturalezay, como tales,reflejablesen las leyesde la misma,y que le ha conducidoa buscarconceptosmíni-mos perounificadoresquedencuentade la realidad—y es el éxito de laFísicaal partirde la idea de quelas leyesfísicas soninvariantesbajorota-cionesdel espacio,por ejemplo—,así como a la incesantebúsqueda,enestosaños,de unateoríaunificadade fuerzascomopretensiónde unaex-plicación ‘definitiva’ de las leyes físicas...

Lo quese tiene, en el fondo, es queel hombre.meranaturaleza,se haforjadocomohombremediantela constmcciónde unanaturalezatrans-formada,mediantela elaboraciónde un ámbitoenfrentadoaaquelloqueha estimadosiemprecomo irregularidades,comocaos;enfrentadocomonaturalezaa la naturalezaque le entorna.Frente al caos,frente al pasodel tiempo,ha construidola forma como elementocompensatorio,comoelementoquele posibilitaevitar los desajustesentrelos elementosno ho-mogéneosde la naturaleza.Forma frente a caos,frente a irregularidad,frentea temporalidad.De ahí la importanciade la Geometríaeuclídeaco-mo creaciónde un espaciohomogéneo,isotropo,ilimitado, atemporal...enlo estrictamenteconceptual,geometríaacusadade modo permanentedeestatismo;de ahí la importanciade lo arquitectónicomanifestadoen laconstruccióndel monumentocuya permanenciase convierteen el ele-mento aglutinador morfológico de lo urbano, seña de identidadparaquienvive, para quien pasarealmenteun instante,en su entorno.

Búsquedade absolutofrentea un medioquemanifiesta,en suconcre-ción diaria,todo lo contrario.Con unapermanentecontradicción,aliena-dora: eseabsolutoes, siempre,unautopíaporqueno sólo lo queentorna

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al hombrees irregular, temporal,inseguro,sino quees el propio hombreel que se muestra,constitutivamente,como una radical inseguridadtem-poral. Es el hombreel quesufre,enferma,sc transformafisiológicamente,vivencialmente,muere.Y buscaun asideroen todo lo contrario.Y en esabúsquedaplasmalo queno es.plasmalo absoluto.Absolutocomo idealqueha de establecersecomo ideal, como meta a superarparaevitar esaradicalinseguridadintrínseca,parano caeren el caoso dispersióndeunanaturalezasiemprecambí-intey amenazadora,y a la que, por ese ideal,hay quedominary transformar.Ideal cambiante,a suvez, segúnmomen-tos y épocaspero. en cada caso,entrañandoel logro de una estabilidad,quea suvez es tensiónparadicho logro,biendel individuo, biende la so-ciedad,bien de la subespecieen la que ese individuo se encuentra.

3. En esabúsquedade utopíasestables,la razónconceptual,constitu-tiva, creadora,ha construidouno de los recursoshumanosparala conse-cuciónde una Burbujao Ambito conceptualdonderefugiarsey, a la vez,transformarel caosmediantelaelaboraciónde unasformasestables,conla ilusión de su validez para todo tiempo y lugar. Razón instrumental,ciertamente,perorazónconstructorade formas.Razónque, sin embargo,y es contradiccióninherente,requierea su vez de un fundamento,de unaseguridadfrente al proceso,frente a: caosy al azar.

En esacreaciónde formasestables,desdeel ámbito de lo conceptual,el hombreha creadoel Ambito de la Matemática.Ambito quemuestra,desdemi puntode vista,desdeuna mirada al interior, diversosrasgosse-gún seanlos planoscon los cualesse enfoquey que, a su vez, entrañandistintascuestionesproblemáticas.

4.1. Intrínseco. Comocreaciónconceptual,el matemáticoelaboraunosconstructosen planosdiferentesquesuponen,cadauno,un saltoconcep-tual respectoa los restantesy unosniveles de abstraccióndistintos:

• Comoobjetosindividuales:Así, el triánguloconsuspropiedadesin-trínsecas;la curva que si vienedadaporunaexpresiónanalíticaen formaexplícitaentrañael estudiode susvariacionesy surepresentacióngeomé-trica; la estructuraalgebraicade grupo;unaecuacióndiferencial...En estecaso,se los manejacomoindividuos,comoobjetosqueposeen,o no, unasdeterminadaspropiedades.

• Comoestructuras:Los objetos,cuandoselos enfocano en su indivi-duaciónconcretasinocomoformandopartede unacoleccióno agregado,respondena unasestructurasdeterminadas,en las cualessecoordinany alas quedancontenido;en ellas pierdensu particularidadconcretay son

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meroselementosdeun nivel conceptualsuperiorquees el que,comonue-vo objeto, constituye,ahora,el constructoa estudio.Estructurasquepue-denser las estructurasmadreo combinacionesde las mismas...

El estudiode estosconstructos,en susniveles propios,da pasoa teo-ríasquetambiénse escindenen distintosplanos.Y asípuedeestudiarselaTeoríadegrupos—y la estructuradegrupo aparececomoobjetoen sus re-lacionescon otrosgrupos,porejemplo—,ola Teoríade gruposabelianos,o el Cálculodiferencialo integral deunavariablereal, o la Geometríadi-ferencial,o la Geometríaeuclídea...O estaúltima enfocadadesdelo sinté-tico o bien consideradacomola manifestaciónde unastransformacionesquedejaninvariantesunosgruposalgebraicosdeterminados.O bienunateoríade ‘teorías’ por decirlo así,como el Algebra universal.

En un momentoun constructopuedepresentarsecomo elementoindi-vidual —y puedeestudiarsecomotal en cuantoa suscomponentesqueloarticulancomo dicho objeto—o bienpuedeenfocarsecomo miembrodeunaestructura.Análogocon las teorías,quepuedenenfocarsecomo teo-rías en si o como formando los elementosde otra teoría. Por unosejemplos:

• Un númerorealpuedeestablecersecomola clasedeequivalenciadetodaslas sucesionesde númerosracionalesequivalentesentresí módulounasucesiónracionalnula,o bien puedeestimarsecomoun algo absolu-to, elementode un determinadoconjuntoreal;

• Un subeonjuntode los númerosrealespuedeestimarsecomoun in-tervalo cerradocon unaspropiedadesintrínsecas,que puedenculminarconla establecidaen el teoremadeBolzano-Weierstrass,o bien puedecon-siderarsecomo miembrode unafamilia de cerradosque se estructuraco-mo unatopología, o bien cabeaceptardicho cerradoinstrumentalmentecomo dominio parael estudiode unafunción de variablereal;

• Los númerosnaturalespuedenestudiarseen sí —y ello en distintosniveles: planteamientode unaconjeturacomola de Golbach,resoluciónde ecuacionesdiofánticas,divisibilidad...—, o comosubestrueturade losnúmerosrealesy, en estecaso,conpropiedades‘analíticas’y no aritméti-cas, o como subeonjunto‘amorfb’ incluido en el conjuntode los realesconlo queapareceelproblemade la cardinalidady lascuestionesrelacio-nadascon los cardinalestransfinitos,o algebraicamentey aparecencomoun semianilloeuclídeoabelianobien ordenado...

Comoobjetoen sí. como miembrode. Dosenfoquesque,por supues-to, planteanen cadacasocuestionesdiferentesy obligana métodosdetra-tamientotambiéndiferentesya queen un nivel puedenrelacionarseunoscon otros y tratar las propiedadesquereflejan tales relacionesde modoaxiomáticoy a otro nivel comoapoyaturaparaotrosconceptos,y a un ter-cernivel comoproblemaintrinsecoe. incluso, merojuego. En cadanivel,los objetosmatemáticoscreadospor el matemáticomuestranunarealidadabsoluta,perosuconfiguraciónintrínsecavaríasegúnel nivel en el quese

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manejany el mismo objeto puedemostrardistintos aspectos,distintas‘realidades’.

Es lo que Skolem,desde otro enfoque,puso de manifiesto al indicar quetérminoscomo‘finito’, ‘infinito’.., sólo tienensentidodefinido en el inte-rior de unadeterminadateoría axiomáticay no son,por decirlo así,con-ceptos con unadefinición absoluta,pudiendoserun conjunto finito enunateoría axiomatizadae infinito en otra; dependerádel nivel en el queeseconjunto,comoobjeto, seaadoptado.

5. La escisiónen distintos niveles de los objetos matemáticos impideque el hacer total de la matemáticapuedaformalizarseen un lenguajeúnico asociadoa unadeterminadalógica. El reduccionismo,en cualquie-ra de sus versiones,falla precisamentepor no reconocery aceptarla exis-tencia de estosdiferentesnivelesy querer formarun cuerpode compleji-dadúnica con todo el hacermatemáticoquese muestra,por la existenciade estos niveles, con una complejidady estructuracióndiferentesde lapretendidapor los reduccionistas.Y es complejidadquepodríaponerseenanalogíaa la de un cuerpoenfocadobiológicamente...

En el hacermatemático,por ejemplo,auncuandolos intentosde fox-malizarla Matemáticaen unaLógica de primerordense hanvisto aboca-dos al fracaso,el reduccionismoinsiste al sostenerquepuedeaceptarseunaLógica de orden dosparadicha formajización,unalógica dondeloscuantificadoresactúensobreconjuntoso clases—paraexpresarlas pro-piedadestopológicas.por ejemplo—.Una Lógica de segundoorden quecareceglobalmentede las propiedadesde la de primero: Completitud —

respectoa una axiomáticacanónica— y Compacticidad—teoremadeLówenheim-Skolem-Tarski—.El reduccionismoadmite que estasnotascaracterizan,precisamente,a la Lógica deorden uno.

Al hacerestaafirmación,el reduccionismono ve lo queyo en ella afir-mo: al dar esasdos notascomo característicasde la Lógica deordenunose hadadoun saltoconceptualy se estáenfocandodichalógicacomoob-jeto individual y no comoteoríao sistemamáso menosordenadode pro-posiciones;inversión epistemológicapor la cual esa lógica, como totali-dad,comosistemacerrado,se ha convertidoen objetoindividual quepue-de caracterizarsepor unaspropiedades,quese encuentranausentesde lasrestanteslógicas enfocadasahora,igualmente,como objetosúnicos,indi-viduales.Perosi se da estainversiónepistemológica,estesaltoconceptual,y de nivel, y la lógicase convierteen objetoconunasnotascaracterísticasen relacióncon otrosobjetosindividuales,es imposible quedicho objetofundamenteotro objeto pertenecienteaun nivel distinto; másaún,es im-posibleque fundamenteel propio tratamientoen el cual se lo está mane-jando como objeto. Podráutilizarse paraun estudiodeterminado,pero

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ello no implica queseael fundamentode aquellopara lo cual se utiliza.Con el último parrafohe indicado,igualmente,la existenciade unpro-

ceso por el cual la razónmatemáticase manifiestacomo elaboradoradeobjetos,formasy estructuras.Y lo en ella producidoda un conocimientoqueno es estrictamenteformal o tautológico.Conocimientoquese estrati-fica en distintos niveles segúnel contenidodel mismo. Insisto,existeuncontenidoen sí del hacermatemático,contenidoque es expresiónde uncierto tipo de racionalidad,diferentea la racionalidadnomológicao ala simbólica.

6. 2. Extrínseco.Y es el terreno, siempre discutido, de la relación quetiene el hacermatemáticocon otros haceres.Lo primeroque se me pre-sentaes quela Matemáticapuedeenfocarseen doscamposdiferenciados:simbólico — racional.

a. Simbólico. Desdeeste enfoque,los elementosmatemáticosque seconsideranson númerosy figuras que, mediantela ley de corresponden-cia simbólica,se enlazanconlos elementoscósmicosde forma quese car-gande simbolismoy se hacen,en su interioridad, símbolos.Así, el cuborepresentarála materia,la Tierra, mientrasla esferaconstituirála mani-festaciónde lo celeste...Se hablaráde lo par o impar,de las direcciones...Un Norte-Surcomo la verticalidado axis-mundiy una horizontalidadEste-Oestecomooposiciónde luz y tinieblas...Un númerocomoel 9. re-presentaciónde la perfeccióncon su raíz, el 3, símbolode la divinidad....

Matemáticasimbólicaquecondicionarála armoníaceleste,la organi-zaciónsocial de ciertospueblos,los módulosarquitectónicos.pictóricosymusicales,la estructuraciónde algunasobrasliterarias...,incluso la bús-quedade unas relacionesde carácternomológicoen la ciencia física conla apariciónde algunosnúmeroscomo esenciade dichas relaciones.LaMatemáticacomoun hacersimbólicoquetendríaen losElementosdeEu-clides una de sus máximaselaboracionessi tal obra se interpreta,comoqueríaProclo, en el sentidode plasmarlas intuicionesplatónicasy serelmero reflejo de la construcciónde los cuerposplatónicos—construcciónquecierraprecisamentelaobra delos Elementos—,cuerposcomoelemen-tos con los queel Demiurgocompusoel universo.

Ciertamenteeste enfoquedel hacermatemáticoha condicionadoelpensamientohumanoy ha permitido la elaboraciónde gran parte de sucultura.Pertenece,sin embargo,a lo quecalifico conel términode Burbu-ja o Ambito simbólico, no conceptual.Burbuja simbólicaque, pesea laelecciónrealizadapor unaramadc la especiehumanaa partir del Rena-cimiento,y pesea los intentosde sudesapariciónporpartede todotipo depositivismos,permaneceen esaespecie.en los individuos quela compo-

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nen,e inclusocondiciona,de modo indirecto,laadopcióndel segundoen-foque,ya racional,del hacermatemático.

b. Instrumental El segundo enfoque pretende la supresión de cual-quierelementosimbólico del hacermatemático.Estese mostrarácomoun hacerdemostrativo,ajenoaparentementea la naturaleza.Y desdeestaposiciónse pretenderásu aplicación,a travésde otrasciencias,a la natu-raleza, de la queno forma parteintrínseca.En tal aplicación se muestracomo un hacerinstrumentalbásicamenteparala cuantificación,paralametrizacton.

En este punto suele cometerseun error de base. De hecho, puedeadoptarseunafórmula,un algoritmoparaun uso inmediato;peroello noes aplicarla Matemáticao emplearlacomo sólo instrumento.Cuandosesumandoslimonescon dos limones,se obtienencuatro limones,pero lafórmula de la sumade naturalesno siemprees correcta:bastasumardosgotasde un ¡iquido con dosgotasdel mismoliquido parano obtenercua-tro gotas.En la aplicaciónde una fórmula hay quehacer,previas,unassuposiciones,en generalimplícitas, que es dondeclava su raíz, precisa-mente,la aplicaciónde la Matemática.

Si se pasade fórmulas aritméticaso procesossimplesde medidacomoel que requieremedirestamesaen la queme encuentro—a teoríascompletas—como el Cálculo diferencial o integral, el de Probabilida-des...—se observaquemuy pocasdisciplinaspuedenhaceruso de talesinstrumentos.CuandoCarlos Marx pretendeobtenerlas leyeseconómi-cas en su formulación matemáticano hace másqueponer de relieve elfracasode tal aplicacióndirecta.Cuandoen Química se ha intentadolaexpresiónmatemáticade la interacciónentredos moléculasalgocomple-jas lo que se ha obtenido es la manifestaciónde queesainteracciónnoadmiteuna formulación matemáticaprecisa...Y unacosaes el empleoderecetasmatemáticas—como se viene haciendoen Economía,Sociologia.Biología. Etología...—y otra es obtenerunaauténticamatematizacióndelas disciplinasen cuestión.Y creoquela equivocaciónse centraen pensarquela Matemáticase aplica, por modoúnico, en lo cuantificabley siem-prea posterioride la disciplinaquela emplea,y deaquíquese adopteco-mo criterio científico, casi por modoexclusivo,la cuantificacióny se lle-gue a sostenerquesólo los conceptoscuantitativosson los conceptosau-ténticamentecientíficos.

El hacermatemáticoes algo másque lo estrictamentecuantificableolo estrictamenteoperacional.No es sólo la plasmaciónde un cierto tipode universoracionatque exige su propia configuraciónsígnica.El hacermatemáticosólo seráaplicableallí dondese muestrecomoun hacercons-titutivo. y no meramenteregulativo, para una determinadaconcepcióncientífica. Quiero decir, el hacermatemáticoes creadorde los marcosdevalidez, de los espaciosconceptualesen los quepuedeestablecerseuna

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determinadaciencia ‘empírica’. Y de tal maneraquecondicionarálo queen ella hay queobservary, consecuentemente,lo quehay que medir ocuantificar.No como algoextrínsecamenteañadidosino comoalgocon-dicionadopor esaconstituciónque,por serlo,entrañalos principios regu-ladores,siempreposteriores.

Adoptar la Matemáticacomomarcoconstitutivode la Cienciaempíri-ca no es algo inocuo comopretendeel ‘objetivismo científico: suponelaadmisiónde una seriede consecuenciasesencialesparaesaciencia.

Cuandola especiehumanacreóel espacioantiperceptivode la Geo-metría euclideay eseespaciose adoptócomoel espacioreal, el dela natu-raleza,obligó a escindirlas cualidadesde los cuerposen dos categorías:primariasy secundarias.Sólo las primariasse podíanconvertiren objetoscientíficosporqueeranla manifestacióntanto de la forma geometrizablecomo de las relacionesy proporcionesque pudieranestablecerseentreesasformas.Sólo en un espacioantiperceptivocomoel euclídeo.con susnotas de homogeneidad,isotropía,ilimitación —es decir, en un espaciouniforme—, podíaconstituirseunadisciplinacomo la Fisica, la ‘ciencianueva’.En esteespaciola materiasólo podráestaren reposoo en movi-mientoy, por suuniformidad,la cantidadde energíao de movimientoto-tal habránde serconstantes,verificándosela ley deinercia.Portal unifor-midad.las leyesde la naturalezatendránqueser invariantespor despla-zamientoso rotacionesy. a la vez, se tendrá un principio de relatividadcomo el de Galileo...

De modo análogo,sólo cuandose crearonotrasgeometrías,como lasdiferencialessobresuperficieso las denominadasno-euclideas.se tuvo laposibilidad de transformarla idea de geometría—y, consecuentemente.de espacio—paraconvertirlaen la manifestacióndela Teoríade grupos.Y desdeesteenfoque, sonlos grupos de transformación los que permitentratar de la invarianciade las traslacioneso rotacioneso simetríasespa-ciales,con lo cual las propiedadesde homogeneidad,isotropíae ilimita-ción se establecenmediantela invarianciade las traslacioneso giros res-pectoa gruposalgebraicosdeterminados.Y con ello se pasaa considerarque las leyesde la naturalezahande serinvariantespor desplazamientoen el tiempoo porcambiosde orientaciónen elespacio;así,handeserin-variantesla cantidadde movimientopor traslaciónespacial,la energíapor traslacióntemporal,el momentoangularpor rotaciónespacial...Prin-cipios de invarianciaquese ligan a simetríasy éstasse estudiana travésde la Teoriade grupos.Y se pasaal establecimientode teoríascomola dela relatividado las cuánticas.Cambiode enfoquepor el que se posibilitala búsquedade partículaselementales,por ejemplo,al aceptarque lasmismashande constituir un grupo quedeja invarianteunadeterminadacualidadespacial...

Con todoello estoyindicandoqueel marcoconstitutivomatemáticoesel quecondicionaautomáticamentelas leyes físicas que se adoptantan-

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to en susprincipios básicoscomo en susderivados. Lo que estoyafirman-do es que la Matemática condiciona la creaciónde teorías físicasy de talmaneraqueno es algoexteriorde lo quese tomenunasfórmulas,unahe-rramientaparcial e inocua,sino que es su baseconstitutiva. Es el hacermatemáticoel queda el mareoimprescindiblesin elcual esateoríacientí-fica carecede todaposibilidadde construcción.Marcoqueno puedeen-focarsecomo fundamentoúnico y último, sino como aquelqueposibilitaunasreglasdejuegoy que,por lo indicado,puedenir variando.Marcoalque,unavez creado,hayqueagregarotra seriedecaracterísticas,de reglasdejuegocomola creencia—tambiénconstitutivadel hacerfísico— en lainvarianciacosmológicadelas leyesde lanaturaleza,o la invarianciaqueregula los aparatosde instrumentalizaciónexperimentaL..

7. Y aúnmás,un hechoqueno he visto suficientementediscutido: elque la Matemáticano sólo condiciona.como elementoconstitutivo, lacreaciónde unadisciplinacientíficacomola Física, sino quecondicionalo propioperceptivodel hombre.Y ello porqueobliga a crearcomofenó-menoshechosanteriormenteno existentes,fenómenosquepasana serhechosapartirde la creacióndel nuevomarcoconceptual.Al aceptarquela naturalezaestabaescritaen lenguajematemático,Galileo obligabaa laconstituciónde un tipo nuevode física: en ella lo observableno podíaserya la cualidadsensorialcomo el olor, el sabor,el tono, la textura...quemostrabancadaunounainfinidad dematices,sino quelo nuevoobserva-ble teníaqueserlo geométrico,la forma, la posicióny, conellos,el reposoy el movimiento...Cualidadesmatematizables—no sólo cuantificables,queaparecenpropiedadesrelacionalesy topológicas—.Con ello. el espa-cio geométrico-físico‘creaba’ suspropiosfenómenos,suspropiosobserva-blesy condicionaba,a suvez, nuevosmodosde percepción.Lo quehabíaqueobservarde un cuerpoera su masa—o peso en Galileo—, acelera-ción, posición...Se obligabaapercibir lo no directamenteperceptibley. ala vez, a no percibir lo directamenteperceptible.Un mismo experimentocobrabaun sentidonuevodesdela ‘ciencia nueva’,muy diferenteal quepudieratenerdesdeotraBurbuja. Se obligaba,así,aunaampliaciónde laBurbujao Ambito perceptivocondicionada,siempre.al marcoconstituti-vo en el cual se manejaba.

Quiero decir, la Matemáticacomo marcoconstitutivoparael hacerfí-sico, ciertamente;pero también condicionadorade un cambioen lo per-ceptivo humano.Porque,comoelementoconstitutivo,provoca una infle-xión en lo quedenominar‘realidad,y se propicia la apariciónde nuevosnivelestantoconceptualescomosensoriales,totalmentedistintosalosca-racterísticostanto de la Burbuja perceptivacomo de las Simbólica yTecnológica.

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g. y unasobservaciones:haberconfundidoel papelconstitutivode laMatemáticaen Ja Ciencianuevaconel éxito quela acompañó,con los re-sultadosde eseéxito, es lo quehaentrañadola equivocaciónen cuantoala instrumentalizacióndel hacermatemáticorespectoa otrasdisciplinas.Debo advertir que,aunsiendoel mareoconstitutivono es la únicacreen-ciaque se superponeen la creaciónde laciencianueva.Y tambiéninsistiren laexistenciade distintosnivelesquela Matemáticapuedemostraren suhacerunavez queha dadoel marcoprevio; esosnivelesvienencondicio-nadospor los príncipiosregulativosquehabráque ir adoptandoen cadacaso.Y es lo quejustifica el quepuedaaplicarseunafórmula simple enunoscasos,unaexpresiónlingílística estrictamentematemática,un algo-ritmo, unateoría completa...en otros.

Adoptar un cuadroconstitutivocomola Matemáticaparala creaciónde la Ciencianueva no implica adoptarel punto de vista ontológico dequeel espaciomaterialtenga3 ó 4 dimensiones,queen él las accionesen-tre los cuerposse hagana distanciamedianteun fluido o mediantelíneasde fuerza...Un Galileo,un Minkowski,por ejemplo,sostendríanqueel es-pacio real es el matemático;un Euler, un Mach sostendríanqueuno esel espacioperceptivo,con sus tres dimensiones,y otro es el espaciocon-ceptual,científico, con posiblementeun númerode dimensionesmayor.Peroeste es otro tipo de problemáticaenlazada,ciertamente,conlo aquíexpuesto.

Quizáporno teneren cuentaestasobservaciones,estosmatices,se haintentadola instrumentalizaciónmatemáticaen disciplinasa un nivelque no era el adecuadocomo en el casode la Biología cuandose la hapretendidoenfocar,en analogíaconla Física,desdeun espacioconstituti-yo euclídeo,mientrasqueparecíamásadecuadoenfocarlodesdeun mar-co constitutivo dinámicodondelas cuestionescentralesson la establili-dad,nudos,puntosde bifurcacion...

Desdeel mareoeuclídeounode los instrumentalesbásicosvienedado,en un nivel operatorio,por la integraciónde sistemasde ecuacionesdife-rencialeslineales,con su cargade determinismoasociada,mientrasquelos sistemasdinámicosexigen, desde ese mismo enfoqueinstrumentaloperatorio,el manejode sistemasde ecuacionesdiferencialesno lineales,de ecuacionesdiferencialesconargumentodesviado,porejemplo.Y no setrata de queestosúltimos sistemasde ecuacionesdiferencialesseanmáscomplejosen cuantoasu integraciónprácticaporque,de hecho.Poincarédemostróqueel sistemade ecuacionesdiferencialeslinealescaracteríza-dor, en la Mecánicaclásica,del problemade los n cuerpos—en particu-lar, el problemade la estabilidaddel sistemasolar—no era integrable.Delo que se trata es del puntode partidametodológico,del enfoquedel pro-pio problemadondeel éxito obtenidoen la creaciónde la Física hacon-ducidoa tomarsumareoconstitutivocomoel único posibleparala elabo-

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ración de otras disciplinas,cuandoen el interior del hacermatemáticoexisten \uchasotrasposibiliadesparasu distinta instrumentalizacion.

Y todoestono implica laafirmacióndequeesaMatemáticasea elúni-co instrumentodel quedisponela razónconceptual,el único hacerpro-pio del ámbito o Burbuja conceptual.