La ley de cosenos se puede considerar como una extención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de untriángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.

Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1  . Encontrar la longitud del tercer lado.

Solución:

Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:

Te recomendamos visitar el siguiente sitio web donde se presentan excelentes animaciones que te ayudarán a comprender mejor la ley de cosenos: IES-Ley de cosenos simulación I.y IES-Ley de Cosenos simulación II.

Si deseas profundizar en geometría, trigonometría y cálculo puedes visitar los siguientes sitios web.

Repasa triángulos en el siguiente sitio: Triángulos

Simulaciones de geometría, cálculo y trigonometría: IES

Ley de los cosenosLa ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

       c2 = a2 + b2 – 2abcos C.

Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como

       b2 = a2 + c2 – 2accos B or

       a2 = b2 + c2 – 2bccos A.

Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL

Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

       

              

       Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

              

Ejemplo 2: Tres lados-LLL

Dado a = 8, b = 19 y c = 14.  Encuentre las medidas de los ángulos.

       

       Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

              

       Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.

              B ≈ 116.80°

       Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ánguloC ambos son agudos.

       Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos. 

              

Ley de los CosenosLa ley de los cosenos para el cálculo de uno de los lados de un triángulo cuando se conocen el ángulo opuesto y los otros dos lados. Puede ser utilizado en conjunción con la ley de los senos para encontrar todos los lados y ángulos.

Haga clic en el texto seleccionado, ya sea para el lado c o el ángulo C, o para iniciar el cálculo.

Lado a =

Lado b =

Lado c =

Angulo C = grados

Entrar datos para los lados a y b y uno de lado c, o ángulo C. Luego haga clic en el texto activo de la cantidad desconocida que desea calcular. El cálculo del lado c es directo, pero el cálculo de los lados a o b es más complicado, puesto que cambiando cualquiera de c o ángulo C, fuerza el cambio en ambos lados a y b. Para calcular a o b, primero use la ley de los senospara encontrar el ángulo opuesto al lado que desee calcular. A continuación, utilice la ley de los cosenos para encontrar la longitud del lado desconocido.

Aplicaciones

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Aplicaciones, Ley de los CosenosLa ley de los cosenos tiene aplicación en las cantidades vectoriales:

Para encontrar la diferencia entre dos vectores, como en el caso de una colisión oblicua.

Tiene aplicaciones junto con la ley de los senos para el problema del ángulo de orientación para un avión sobre el viento.

Otras Aplicaciones:

Factor de Landé g

Indice

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Orientación de Avión para Contrarrestar el Viento

El cálculo de la orientación de avión necesaria para contrarrestar la velocidad del viento y situarse a lo largo de la ruta deseada hacia un destino, es un problema clásico en la navegación aérea. Hace un buen uso de la ley de los senos y la ley de los cosenos.

El ángulo θes justo la diferencia entre la dirección del viento y la dirección deseada. Con ese ángulo y la ley de los senos, se obtiene el ángulo β para el avión:

Luego se aplica la ley de los cosenos para obtener la velocidad terrestre resultante:

Ley de Cosenos

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Entender la geometria de la Ley de Cosenos. Conseguir los lados de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos. Conseguir los ángulos de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos. Reconocer situaciones en donde se usa la Ley de Cosenos.

Introducción

Considera el triángulo ABC con lados a, b , c y altura AD, mostrado en la siguiente figura:

En el triángulo rectángulo ADC tenemos lo siguiente:

Por el teorema de Pitágoras: b2 = AD2 + DC2 (1)

Por otro lado, como vimos en Trigonometría de Triángulos Rectángulos:

cos C = ACb

de donde AC = b cos C (2)

En el triángulo rectángulo ABD tenemos lo siguiente:

Por el teorema de Pitágoras: c 2 = AD 2 + BD 2

c 2 = AD 2 + ( a − CD ) 2

elevando al cuadrado c 2 = AD 2 + ( a 2 − 2 a CD + CD 2 )

reagrupando c 2 = a 2 + ( AD 2 + CD 2 ) − 2 a CD

utilizando los resultados (1) y (2) obtenidos arriba

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

Podemos aplicar el mismo procedimiento utilizando las alturas a los otros lados del triángulo para obtener los resultados análogos.

Este resultado se conoce como la Ley de Cosenos. En esta lección utilzaremos la La Ley de Cosenos para resolver triángulos, y aprenderemos a reconocer las situaciones en las que es posible aplicarla.

Ley de Cosenos

Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

 

Aplicación sobre la ley de Cosenos.

El capitán de un barco divisa no muy lejos de su posición una isla y un avión.

Éste calcula de manera aproximada las distancias del barco a la isla y al avión y ángulo que se forma entre el avión, el barco y la isla, tal y como se muestra en el siguiente applet.

El capitán desea estimar la distancia entre el avión y la isla, observa en el applet como el capitán podría resolver su dilema.

Desplaza el avión y observa como los datos varían.

Usando la Ley de Cosenos para Conseguir un lado de un Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

x 2 = 10 2 + 6 2 − 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120°

x 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2

x 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2

x 2 = 100 + 36 + 60

x 2 = 196

x = 14

Ejemplo 2:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B

x 2 = 6 2 + 10 2 − 2 ( 6 ) 10 cos 45°

x 2 = 36 + 100 − 120 2 2

x 2 = 136 − 602

x 2 ≈ 51.15

x ≈ 7.15

 

Cuando conocemos dos lados del triángulo y el ángulo entre ellos, siempre es posible encontrar el tercer lado aplicando la Ley de Cosenos.

Es importante notar que cuando aplicamos la ley de cosenos no hay ambigüedad en el resultado del ángulo. Como sabemos, un ángulo de un triángulo puede medir a lo más 180°. Así, si el coseno del ángulo es positivo sabemos que está en el primer cuadrante, es decir, entre 0° y 90°. Si el coseno del ángulo es negativo sabemos que está en el segundo cuadrante, es decir, entre 90° y 180°.

Usando la Ley de Cosenos para Conseguir los ángulos del Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar los ángulos x y y

Solución:

Como conocemos los tres lados del triángulo, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

Hallando x

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

12 2 = 6 2 + 14 2 − 2 ( 6 ) ( 14 ) cos x

144 = 36 + 196 − 168 cos x

168 cos x = 36 + 196 − 144

cos x = 88168

x ≈ 58.41°

Hallando y

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

14 2 = 12 2 + 6 2 − 2 ( 12 ) ( 6 ) cos y

196 = 144 + 36 − 144 cos y

144 cos y = 144 + 36 − 196

cos y = -16144

y ≈ 96.38°

Situaciones para la Aplicación de la Ley de Cosenos

Como vimos en los ejemplos, podemos resumir la ley de cosenos de la siguiente manera:

La Ley de Cosenos nos permite expresar un lado de un triángulo en términos de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre estos dos lados.

Cuando resolvemos problemas que involucran triángulos podemos encontrar los siguientes casos:

1. Si el triángulo es rectángulo, la mejor forma de resolverlo es usando las razones trigonométricas que aprendimos en la lección Trigonometría de Triángulos Rectángulos.

2. Si el triángulo es oblicuo, entonces se pueden presentar los siguientes casos:

Caso Aplicabilidad de la Ley de Cosenos

1. Se conoce un lado y dos ángulos

ALA

En el ejemplo, el lado conocido es c y los ángulos conocidos son A y B. Escribiendo las fórmulas de la Ley de Cosenos, tenemos:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

Como vemos, en todos los casos, la fórmula involucra dos variables desconocidas, por lo tanto, no es posible resolver el triángulo usando la ley de cosenos.

LAA

En el ejemplo, el lado conocido es c y los ángulos conocidos son A y C. Escribiendo las fórmulas de la Ley de Cosenos, tenemos:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

Como vemos, en todos los casos, la fórmula involucra dos variables desconocidas, por lo tanto, no es posible resolver el triángulo usando la ley de cosenos.

2. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de estos lados

En el ejemplo, los lados conocidos son a y c y el ángulo conocido es el opuesto al lado c, C. Escribiendo las fórmulas de la Ley de Cosenos, tenemos:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

LLA

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

En las dos primeras ecuaciones, la fórmula involucra dos variables desconocidas. La tercera ecuación, al ser de segundo grado en la variable desconocida, la cual podría generar dos posibles respuestas.

En conclusión, no es posible resolver el triángulo usando la ley de cosenos.

3. Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos

LAL

Este caso es ideal para aplicar la ley de cosenos. En el ejemplo, podemos obtener el lado desconocido a del triángulo utilizando la fórmula:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

Una vez obtenido el valor de a, fácilmente podemos obtener el valor de los otros ángulos usando la Ley de Senos y el complemento a 180°.

En conclusión, en este caso si se puede aplicar la ley de cosenos.

4. Se conocen los tres lados (LLL)

LLL

Si se conocen los tres lados del triángulo, podemos aplicar la ley de cosenos, para encontrar cualquiera de los 3 ángulos:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

Una vez obtenido el valor del ángulo, fácilmente podemos obtener el valor de los otros ángulos usando la Ley de Senos y el complemento a 180°.

En conclusión, en este caso si se puede aplicar la ley de cosenos.

Para practicar ejercicios sobre la Ley de Senos haz click en alguno de los siguiente botones

ley de los cosenosLa ley de los cosenos establece que c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.

Nos permite calcular el tercer lado desconocido cuando se conocen dos lados y el ángulo.

Igualmente,

        a2 = b2 + c2 - 2bc cos A    y        b2 = c2 + a2 - 2ca cos B