La Integral Indefinida

La Integral Indefinida

Veronica Briceno V.

agosto 2012

Veronica Briceno V. La Integral Indefinida

La Integral Indefinida

Definicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada.Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funcionF : [a,b]→ R definida por:

F (x) =∫ x

af (t)dt

Proposicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es continua.

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La Integral Indefinida

Definicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada.Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funcionF : [a,b]→ R definida por:

F (x) =∫ x

af (t)dt

Proposicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es continua.

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La Integral Indefinida

DefinicionSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada.

Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funcionF : [a,b]→ R definida por:

F (x) =∫ x

af (t)dt

Proposicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es continua.

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La Integral Indefinida

DefinicionSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada.Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funcionF : [a,b]→ R definida por:

F (x) =∫ x

af (t)dt

Proposicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es continua.

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La Integral Indefinida

DefinicionSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada.Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funcionF : [a,b]→ R definida por:

F (x) =∫ x

af (t)dt

Proposicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es continua.

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La Integral Indefinida

DefinicionSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada.Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funcionF : [a,b]→ R definida por:

F (x) =∫ x

af (t)dt

Proposicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es continua.

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La Integral Indefinida

DefinicionSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada.Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funcionF : [a,b]→ R definida por:

F (x) =∫ x

af (t)dt

Proposicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es continua.

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La Integral Indefinida

DefinicionSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada.Llamaremos INTEGRAL INDEFINIDA de f a la funcionF : [a,b]→ R definida por:

F (x) =∫ x

af (t)dt

Proposicion

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es continua.

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Teorema Fundamental del Calculo

Teorema

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es derivable y F ′(x) = f (x).Si ademas, f es continua en xo entonces F es diferenciable enxo.

T.F.C. (∫ x

af (t)dt

)′= f (x)

.

En resumen,

f riemann integrable⇒ F continua

f continua⇒ F diferenciable

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Teorema Fundamental del Calculo

Teorema

Sea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es derivable y F ′(x) = f (x).Si ademas, f es continua en xo entonces F es diferenciable enxo.

T.F.C. (∫ x

af (t)dt

)′= f (x)

.

En resumen,

f riemann integrable⇒ F continua

f continua⇒ F diferenciable

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Teorema Fundamental del Calculo

TeoremaSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es derivable y F ′(x) = f (x).Si ademas, f es continua en xo entonces F es diferenciable enxo.

T.F.C. (∫ x

af (t)dt

)′= f (x)

.

En resumen,

f riemann integrable⇒ F continua

f continua⇒ F diferenciable

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Teorema Fundamental del Calculo

TeoremaSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es derivable y F ′(x) = f (x).Si ademas, f es continua en xo entonces F es diferenciable enxo.

T.F.C. (∫ x

af (t)dt

)′= f (x)

.

En resumen,

f riemann integrable⇒ F continua

f continua⇒ F diferenciable

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Teorema Fundamental del Calculo

TeoremaSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es derivable y F ′(x) = f (x).Si ademas, f es continua en xo entonces F es diferenciable enxo.

T.F.C. (∫ x

af (t)dt

)′= f (x)

.

En resumen,

f riemann integrable⇒ F continua

f continua⇒ F diferenciable

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Teorema Fundamental del Calculo

TeoremaSea f : [a,b]→ R una funcion riemann integrable y acotada,entonces F es derivable y F ′(x) = f (x).Si ademas, f es continua en xo entonces F es diferenciable enxo.

T.F.C. (∫ x

af (t)dt

)′= f (x)

.

En resumen,

f riemann integrable⇒ F continua

f continua⇒ F diferenciable

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Ejemplos

Resolver:

1 Calcular: (∫ x

0

3√

1 + t5dt)′

2 Sea f (x) =∫ x

1 x3 arc tg(t2)dt . Calcular f ′′(1).

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Ejemplos

Resolver:

1 Calcular: (∫ x

0

3√

1 + t5dt)′

2 Sea f (x) =∫ x

1 x3 arc tg(t2)dt . Calcular f ′′(1).

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Proposicion

Proposicion

Sea f continua; g y h derivables en [a,b].Entonces se cumple:

(∫ g(x)

af (t)dt

)′= f (g(x))g′(x)

(∫ g(x)

h(x)f (t)dt

)′= f (g(x))g′(x)− f (h(x))h′(x)

Demostrar...

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Proposicion

Proposicion

Sea f continua; g y h derivables en [a,b].Entonces se cumple:

(∫ g(x)

af (t)dt

)′= f (g(x))g′(x)

(∫ g(x)

h(x)f (t)dt

)′= f (g(x))g′(x)− f (h(x))h′(x)

Demostrar...

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Proposicion

Proposicion

Sea f continua; g y h derivables en [a,b].Entonces se cumple:(∫ g(x)

af (t)dt

)′= f (g(x))g′(x)

(∫ g(x)

h(x)f (t)dt

)′= f (g(x))g′(x)− f (h(x))h′(x)

Demostrar...

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Proposicion

Proposicion

Sea f continua; g y h derivables en [a,b].Entonces se cumple:(∫ g(x)

af (t)dt

)′= f (g(x))g′(x)

(∫ g(x)

h(x)f (t)dt

)′= f (g(x))g′(x)− f (h(x))h′(x)

Demostrar...

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Ejemplos

Resolver:

1 Sea F (x) =∫ x2

0 sen3(t)dt . Calcular F ′(x)

2 Calcular (∫ cos x

x3sen(t2)dt

)′3 Sea x3 + 2x =

∫ x3

0 f (t)dt . Calcular f (3).

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Ejemplos

Resolver:

1 Sea F (x) =∫ x2

0 sen3(t)dt . Calcular F ′(x)2 Calcular (∫ cos x

x3sen(t2)dt

)′

3 Sea x3 + 2x =∫ x3

0 f (t)dt . Calcular f (3).

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Ejemplos

Resolver:

1 Sea F (x) =∫ x2

0 sen3(t)dt . Calcular F ′(x)2 Calcular (∫ cos x

x3sen(t2)dt

)′3 Sea x3 + 2x =

∫ x3

0 f (t)dt . Calcular f (3).

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Teorema

Regla de Barrows

Sea f : [a,b]→ R continua y F una primitiva de f en [a,b].Entonces se cumple:∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a)

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Teorema

Regla de Barrows

Sea f : [a,b]→ R continua y F una primitiva de f en [a,b].Entonces se cumple:∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a)

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Teorema

Regla de Barrows

Sea f : [a,b]→ R continua y F una primitiva de f en [a,b].

Entonces se cumple:∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a)

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Teorema

Regla de Barrows

Sea f : [a,b]→ R continua y F una primitiva de f en [a,b].Entonces se cumple:∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a)

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Procedimiento

Resolver:∫ b

a f (x)dx :

1 Obtener la primitiva F (x).Esto es,

∫f (x)dx = F (x) + C.

2 Calcular: ∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a)

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Procedimiento

Resolver:∫ b

a f (x)dx :

1 Obtener la primitiva F (x).Esto es,

∫f (x)dx = F (x) + C.

2 Calcular: ∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a)

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 4

0

√2x + 1dx

2∫ 2

0dx

x2−2x+2

3∫ π

20

sen(2x)1+sen2(x)dx

4∫ 2

0 |2x − 1|dx

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 4

0

√2x + 1dx

2∫ 2

0dx

x2−2x+2

3∫ π

20

sen(2x)1+sen2(x)dx

4∫ 2

0 |2x − 1|dx

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 4

0

√2x + 1dx

2∫ 2

0dx

x2−2x+2

3∫ π

20

sen(2x)1+sen2(x)dx

4∫ 2

0 |2x − 1|dx

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 4

0

√2x + 1dx

2∫ 2

0dx

x2−2x+2

3∫ π

20

sen(2x)1+sen2(x)dx

4∫ 2

0 |2x − 1|dx

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Teorema

Sustitucion de Integrales Definidas

Sea f : [a,b]→ R continua y ϕ : [c,d ]→ [a,b] con derivadacontinua talque ϕ(c) = a y ϕ(d) = b. Entonces se cumple:∫ d

cf (ϕ(x))ϕ′(x)dx =

∫ b

af (u)du

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Teorema

Sustitucion de Integrales Definidas

Sea f : [a,b]→ R continua y ϕ : [c,d ]→ [a,b] con derivadacontinua talque ϕ(c) = a y ϕ(d) = b. Entonces se cumple:∫ d

cf (ϕ(x))ϕ′(x)dx =

∫ b

af (u)du

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Teorema

Sustitucion de Integrales Definidas

Sea f : [a,b]→ R continua y ϕ : [c,d ]→ [a,b] con derivadacontinua talque ϕ(c) = a y ϕ(d) = b.

Entonces se cumple:∫ d

cf (ϕ(x))ϕ′(x)dx =

∫ b

af (u)du

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Teorema

Sustitucion de Integrales Definidas

Sea f : [a,b]→ R continua y ϕ : [c,d ]→ [a,b] con derivadacontinua talque ϕ(c) = a y ϕ(d) = b. Entonces se cumple:∫ d

cf (ϕ(x))ϕ′(x)dx =

∫ b

af (u)du

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Procedimiento

Resolver:∫ b

a f (x)dx :

1 Usar sustitucion:determinar u y du

2 Evaluar u(a) y u(b)3 Calcular: ∫ b

af (x)dx =

∫ u(b)

u(a)f (u)du

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Procedimiento

Resolver:∫ b

a f (x)dx :

1 Usar sustitucion:determinar u y du

2 Evaluar u(a) y u(b)

3 Calcular: ∫ b

af (x)dx =

∫ u(b)

u(a)f (u)du

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Procedimiento

Resolver:∫ b

a f (x)dx :

1 Usar sustitucion:determinar u y du

2 Evaluar u(a) y u(b)3 Calcular: ∫ b

af (x)dx =

∫ u(b)

u(a)f (u)du

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 2

0 xex2dx

2∫ 1

0dx

x2+4x+5

3∫ e

1sen(ln x)

x dx

4∫ √

22

0dx√1−x2

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 2

0 xex2dx

2∫ 1

0dx

x2+4x+5

3∫ e

1sen(ln x)

x dx

4∫ √

22

0dx√1−x2

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 2

0 xex2dx

2∫ 1

0dx

x2+4x+5

3∫ e

1sen(ln x)

x dx

4∫ √

22

0dx√1−x2

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 2

0 xex2dx

2∫ 1

0dx

x2+4x+5

3∫ e

1sen(ln x)

x dx

4∫ √

22

0dx√1−x2

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Teorema

Integracion por Partes

Sea f : [a,b]→ R diferenciable, tal que f ′ y g′ son integrablesen [a,b].Entonces se cumple:∫ b

af (x)g′(x)dx = f (x)g(x)|ba −

∫ b

af ′(x)g(x)dx

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Teorema

Integracion por Partes

Sea f : [a,b]→ R diferenciable, tal que f ′ y g′ son integrablesen [a,b].Entonces se cumple:∫ b

af (x)g′(x)dx = f (x)g(x)|ba −

∫ b

af ′(x)g(x)dx

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Teorema

Integracion por Partes

Sea f : [a,b]→ R diferenciable, tal que f ′ y g′ son integrablesen [a,b].

Entonces se cumple:∫ b

af (x)g′(x)dx = f (x)g(x)|ba −

∫ b

af ′(x)g(x)dx

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Teorema

Integracion por Partes

Sea f : [a,b]→ R diferenciable, tal que f ′ y g′ son integrablesen [a,b].Entonces se cumple:∫ b

af (x)g′(x)dx = f (x)g(x)|ba −

∫ b

af ′(x)g(x)dx

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 4

2 log xdx

2∫ π2

0 sen√

xdx3∫ π

0 x2 cos xdx

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 4

2 log xdx

2∫ π2

0 sen√

xdx

3∫ π

0 x2 cos xdx

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Ejemplos

Calcular:

1∫ 4

2 log xdx

2∫ π2

0 sen√

xdx3∫ π

0 x2 cos xdx

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Ejercicios Propuestos

Calcular:

1 Sea f una funcion con primera derivada continua en [0,1]tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:

∫ 10 f 2(2x)f ′(2x)dx

2 Sabiendo que∫ 1

0ln(x+1)

x2+1 dx = π8 ln 2. Calcular:

∫ 10

arc tg(x)x+1 dx

3 Sea f : [−a,a]→ R funcion continua, a ∈ R. Mostrar que:a) f impar:

∫ a−a f (x)dx = 0

b) f par:∫ a−a f (x)dx = 2

∫ a0 f (x)dx

4 Calcular:∫ π−π cos(2x) sen(5x)dx

5 Suponer que f : [0,a]→ R tiene segunda derivadacontinua. Demostrar que:∫ a

0 (a− x)f ′′(x)dx = f (a)− f (0)− af ′(0)6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada

continua en [−π, π].Calcular:

∫ π−π[f (x) + f ′(x) + f ′′(x)] sen xdx

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Ejercicios Propuestos

Calcular:

1 Sea f una funcion con primera derivada continua en [0,1]tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:

∫ 10 f 2(2x)f ′(2x)dx

2 Sabiendo que∫ 1

0ln(x+1)

x2+1 dx = π8 ln 2. Calcular:

∫ 10

arc tg(x)x+1 dx

3 Sea f : [−a,a]→ R funcion continua, a ∈ R. Mostrar que:a) f impar:

∫ a−a f (x)dx = 0

b) f par:∫ a−a f (x)dx = 2

∫ a0 f (x)dx

4 Calcular:∫ π−π cos(2x) sen(5x)dx

5 Suponer que f : [0,a]→ R tiene segunda derivadacontinua. Demostrar que:∫ a

0 (a− x)f ′′(x)dx = f (a)− f (0)− af ′(0)6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada

continua en [−π, π].Calcular:

∫ π−π[f (x) + f ′(x) + f ′′(x)] sen xdx

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Ejercicios Propuestos

Calcular:

1 Sea f una funcion con primera derivada continua en [0,1]tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:

∫ 10 f 2(2x)f ′(2x)dx

2 Sabiendo que∫ 1

0ln(x+1)

x2+1 dx = π8 ln 2. Calcular:

∫ 10

arc tg(x)x+1 dx

3 Sea f : [−a,a]→ R funcion continua, a ∈ R. Mostrar que:a) f impar:

∫ a−a f (x)dx = 0

b) f par:∫ a−a f (x)dx = 2

∫ a0 f (x)dx

4 Calcular:∫ π−π cos(2x) sen(5x)dx

5 Suponer que f : [0,a]→ R tiene segunda derivadacontinua. Demostrar que:∫ a

0 (a− x)f ′′(x)dx = f (a)− f (0)− af ′(0)6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada

continua en [−π, π].Calcular:

∫ π−π[f (x) + f ′(x) + f ′′(x)] sen xdx

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Ejercicios Propuestos

Calcular:

1 Sea f una funcion con primera derivada continua en [0,1]tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:

∫ 10 f 2(2x)f ′(2x)dx

2 Sabiendo que∫ 1

0ln(x+1)

x2+1 dx = π8 ln 2. Calcular:

∫ 10

arc tg(x)x+1 dx

3 Sea f : [−a,a]→ R funcion continua, a ∈ R. Mostrar que:a) f impar:

∫ a−a f (x)dx = 0

b) f par:∫ a−a f (x)dx = 2

∫ a0 f (x)dx

4 Calcular:∫ π−π cos(2x) sen(5x)dx

5 Suponer que f : [0,a]→ R tiene segunda derivadacontinua. Demostrar que:∫ a

0 (a− x)f ′′(x)dx = f (a)− f (0)− af ′(0)6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada

continua en [−π, π].Calcular:

∫ π−π[f (x) + f ′(x) + f ′′(x)] sen xdx

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Ejercicios Propuestos

Calcular:

1 Sea f una funcion con primera derivada continua en [0,1]tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:

∫ 10 f 2(2x)f ′(2x)dx

2 Sabiendo que∫ 1

0ln(x+1)

x2+1 dx = π8 ln 2. Calcular:

∫ 10

arc tg(x)x+1 dx

3 Sea f : [−a,a]→ R funcion continua, a ∈ R. Mostrar que:a) f impar:

∫ a−a f (x)dx = 0

b) f par:∫ a−a f (x)dx = 2

∫ a0 f (x)dx

4 Calcular:∫ π−π cos(2x) sen(5x)dx

5 Suponer que f : [0,a]→ R tiene segunda derivadacontinua. Demostrar que:∫ a

0 (a− x)f ′′(x)dx = f (a)− f (0)− af ′(0)

6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivadacontinua en [−π, π].Calcular:

∫ π−π[f (x) + f ′(x) + f ′′(x)] sen xdx

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Ejercicios Propuestos

Calcular:

1 Sea f una funcion con primera derivada continua en [0,1]tal que f (0) = 4 y f (2) = 9. Calcular:

∫ 10 f 2(2x)f ′(2x)dx

2 Sabiendo que∫ 1

0ln(x+1)

x2+1 dx = π8 ln 2. Calcular:

∫ 10

arc tg(x)x+1 dx

3 Sea f : [−a,a]→ R funcion continua, a ∈ R. Mostrar que:a) f impar:

∫ a−a f (x)dx = 0

b) f par:∫ a−a f (x)dx = 2

∫ a0 f (x)dx

4 Calcular:∫ π−π cos(2x) sen(5x)dx

5 Suponer que f : [0,a]→ R tiene segunda derivadacontinua. Demostrar que:∫ a

0 (a− x)f ′′(x)dx = f (a)− f (0)− af ′(0)6 Suponga que f es impar y que tiene segunda derivada

continua en [−π, π].Calcular:

∫ π−π[f (x) + f ′(x) + f ′′(x)] sen xdx

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