LA FLEXION COMPOSE
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LA FLEXION COMPOSE
M=N*eMa=N*ea
Section partiellement comprimée :
Mb =0.81*b*x*fbc*(d-0.416*x) Nb =0.81*b*x*fbc
Moment réduit : μ =Mb/(b*d2*fbc)=0.81*α*(1-0.416*α) effort normalement réduit : γ = Nb/(b*d*fbc)
μ= γ*(1-0.514*γ) Section entièrement comprimée :
μ= Mb/(b*h2*abc) =d/h-0.5+ χ*(6/7 –d/h) γ= Nb/(b*h*fbc ) = 1-χ avec χ =3.05/(7*(x/2-3)2)
Domaine 1 : béton emplisse section non armée si :Nu ≤ 0.81*b*h*fbc et MA< Nu*d*(1-0.514*(Nu/b*d*fbc) or NA > 0.81*b*h*fbc
MA < b*h2*fbc*(5/14-Nu/(b*h*fbc)*(6/7-d/h))
Domaine 2 : Section partiellement comprimée avec armature infiniment tendue Nu*(d-d’)-MA ≤(0.337-0.81*d’/d)*b*d2*fbc
Domaine 3 : corresponde a une section partiellement comprimé avec armature infiniment comprimé (0.337-0.81*d’/d)*b*d2*fbc ≤ Nu*(d-d’)*-MA≤ (0.337-0.81*d’/h)*d*h2*fbc
Domaine 4-5 : section entièrement comprimée :Nu *(d-d’)-MA ≥ (0.337-0.81*d’/h)
(0.337-0.81*d’/d) *b*d2*fbc ≤ (d-d’)*Nu-MA ≤ (0.337-0.81*d’/h)*b*h2*fbc
-2- -1- -3-
1<2 domaine 2 section partiellement tendue 2<1 domaine 3 section partiellement tendue 1>3 domaine 4 et 5 section entiérement comprimée
Détermination des armatures :
A. section entièrement tendue : 1-E.L.U :
A1 = Nu/σst*(1- ea/ (d-d’)) Nst : effort de traction C entre G et A1 σst= fe/γs
A2 A2 = Nu/ σst*(ea/ (d-d’)) .G e
.C A1 ea
2-E.L.S: σst1 = Ns/A1*(1-ea/(d-d’)) σst2 = Ns/*ea/(A2*(d-d’)) e= Ms/Ns (σst1, σst2) < σst
B. section partiellement comprimée: on destine 3 cas :
1- E.L.U:
1ére cas : N effort de traction C à l’extérieur de la section MG= N*e MA= N*ea = MG-N*(d-h/2)
.G
A1 e
N C
2éme cas : N effort de compression C à l’extérieur de la section MG=M*e MA=N*ea =MG + N*(d-h/2)
N C
.G
A1
3éme cas: effort de compression C et plus prés de A2
A2
N .C
.G
μu = MA/(b*d2*fbc)
μu ≤μR μu >μR
Le moment résistant : MR
A2 =0 + : pour la traction MR =0.8*αR
A1 = 1/σst*[ MA/z ± Nu] - : pour la compression MR= 0.8*αR*(1-0.4*αR)*b*d2*fbc
Si A2<0 A1= 0.23*b*d*ft28/fe A2= MA-MR/σsc*(d-d’) et on recalcul A2 : A2 = Nu-χ*b*fbc/σsc A1= 1/σst*[ (MA-MR/d-d’) +MR/d*(1-0.4*αR)±N] χ= d’ + √ (d’)2+2*[(d-d’)*Nu-MA]/b*fbc
2- E.L.S: T e ≥ h/6 et N Section partiellement tendue
C ou comprimée
1) N effort de compression : x= h/2+e1-e e1
3 + P*e1+q =0 …...-1- P= -3*(e-h/2)2 +[(6*n*A2)/b]*(e-h/2+d’) +[(6*n*A1)/b]*(e-h/2+d) q= 2*(e-h/2)3 – [6*n*A2/b]*(e-h/2 +d’)2 – [6*n*A1/b]*(e-h/2 +d)2
et on résoudre l’équation -1- avec :e1=3√ -P*e1-q
e1=-e13-q /P
et on détermine x= h/2 +e1-e σbc=Ns*x/S ≤ σbc , σst= n* Ns*(d-x)/S ≤ σst
avec : S = b*x2/2 +n*A2*(x-d’) –n*A2*(x-d’) –n*A1 (d-x)
2) N effort de traction :
x= h/2 +e –e1
e13 + P*e1+q =0
P= -3*(e +h/2)2 + [(6*n*A2/b)*(e+h/2-d’)] +[(6*n*A1/b)*(d-e-h/2)] q=2*(e+h/2)-[(6*n*A2/b)*(e+h/2-d’)2]–[(6*n*A1/b)*(d-e-h/2)2]et même chose : e1= √-p*e1-q , e1= -e1
3-q/p
C. Section entièrement comprimée : 1. E.L.U :
N effort de compression
Condition des domaines : il faut avoir si on a dans les domaines -4- ou -5- Section entièrement comprimée
1ére cas : Si : N*(d-d’)-MA< (0.5*h-d’)*b*h*fbc domaine -4-ferraillage inférieur A1 = 1 A2 = N-(1-χ)*b*h*fbc /σst avec : εbc= 2‰*[ 1+(3-(7*d’/h) * √ χ /1.75 ] χ = [0.5*(d’/h)-((d-d’)*N-MA)/b*h2*fbc]/ (6/7)-(d’/h)
2émecas :
Si : N*(d-d’) - MA≥ (0.5*h-d’)*b*h*fbc domaine -5-
εbc =2‰ et σbc =σ2‰
A2 = MA-b*h*fbc*(d-h/2) /(d-d’)*σsc A2 = [(N-b*h*fbc)/σsc] – A2 (****)
2. E.L.S:
e1=[b*h3/12 + e2*h*b + n*A2*(-e+h/2-d’)2 + A1*(-e+h/2-d)2]/[-e*b*h + n*A2*(-e+h/2-d’) +n*A1*(-e+h/2-d)]e1=I/S avec I= b*h3/12 +b*h*(e1-e)2 + n*A2*(e1-e+h/2-d’)2+ n*A1*(e1+e+h/2-d)2
S= b*h*(e1-e) +n*A2*(e1-e+h/2-d’) +n*A1*(e1-e+h/2-d) Position de l’axe neutre:
Si |e1|<h/2 +e l’axe neutre à l’intérieur le section et partiellement comprimé
Si |e1|>h/2+e l’axe neutre à l’extérieur la section est entièrement comprimée
Section homogène: V1
B=b*h+n*(A1+A2) h .G σbc max = Ns/B +(Ms*V2)/I ≤σbc =0.6*fbc V2
σbc min = Ns/B – (Ms*V2 )/I >0 avec V1=V2=h/2
σbc max ≤ σbc et σbc min >0 pour que la section soit entièrement comprime
Remarque : A2
h .C ea = h/2 –(h-0.9*h) +e A1
Calcul des sections sous sollicitations tangentes
Le calcule de ferraillage transversal sera a E.L.U
τ = T*S/b*I = T/b*Z
1) Justification du béton :
τ=T/b*Z le béton sera calculé a Tu max τu =Tu max/b*Z
a) α=90° : τl =min [0.2*fc28/γd, 5MPa] si fissuration non préjudiciable τl =min [0.15*fc28 /γd ,4MPa] si fissuration préj ou très
préjudiciable b) α=45° :
τl=min [0.27*fc28 /γd ,7MPa] quelque soit fissuration c) 45°≤α ≤90° : Interpolation entre les deux
τu ≤τl τu >τl
Condition est vérifier Condition n’est pas vérifier
On augment b et on refaire les calcul
2) Justification des armatures : τu sera calculé à T (h/2) a cote de T max
St ≤ (At*0.9*(fe/γs)*(sin α + cos α))/b*(τu -0.3*k*fc’ 28) avec:
ft’28 =min (ft 28, 3.3MPa) et ft 28 =0.06*fc 28 +0.6 k=1 pour la flexion simple k=1 pour la flexion composée avec N compression σcm=N/B k=1-10*(σtm /fcj) pour la flexion composée avec N traction (σtm=N/B) At : le ferraillage tansversal tel que : At =n*φ*_ (6, 8, 10,12) n : nombre des barres φt ≤min (h/35, b/10, φlmin) si on trouve St <0 ou St<7 St min=7cm et Stmax=min (0.9*d ,40cm)
série de Caquot : [ 7,8,9,10,11,13,16,20,25,35] (cm) n=l/2
Répartition suivant RPA : S≤min (h/4, 12*φl ,30cm)
S’≤h/2 s’ s’ s’ s’ s s s s s h
2*h Zone nodele zone courant
Calcul de la flèche :
If = 1.1*(I0/1+λ*μ) μ = 1-(1.75*ft 28/4.8*σst +ft 28)
λi = 0.05*ft 28 / [2 +3*(b0/b)]*ρ déformation instantanéeλ λv= 0.02*ft 28/ [2+3*(b0/b)]*ρ=2/5*λi deformation on different
ρ=A/b*d Pour les courbures 1/λi = Ms/Ei*I*fi 1/λv= Ms/Ev*I*fv
Ei = 11000*3√ fc 28
Ev= 1/3 *Eij ≈ 3700*3√ fc 28
Donc la fleche est : fi= (Ms*l2)/ (10*Ei*I*fi) , fv= (Ms*l2)/ (10*Ev*I*fv) La flèche admissible: l/500 si l<5m l/1000 +0.5cm si l≥5m Pour les consoles : fi= (Ms*l)/ (4*Ei*I*fi) fv= (Ms*l2)/ (4*Ev*I*fv) La flèche admissible : l/250 si l<2m
Dimensionnement :
1/15 ≤h/l≤1/10 1/5 ≤b/h≤1/2et suivant RPA : b min=20cm