LA ELIPSE. La primera ley de Kepler está relacionada con la forma de las órbitas de los planetas:...
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LA ELIPSE
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• La primera ley de Kepler está relacionada con la forma de las órbitas de los planetas: Los planetas siguen órbitas elípticas en torno al Sol, que se encuentra en uno de los focos de la elipse descrita.
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• La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante
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• Una elipse es como una circunferencia aplastada con dos focos. La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a cada foco es constante
• Eje mayor = 2a• Eje menor = 2b
• La distancia OF es la semidistancia focal c.
• d(F,F')=2c<2a
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• Sobre el «eje mayor» existen dos puntos F1 y F2 que se llaman «focos».
El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».
•La longitud desde F1 al punto Q sumada a la longitud desde F2 a ese mismo punto Q , es una cantidad constante que siempre será igual a la longitud del «eje mayor» trazo AB.
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• A las rectas correspondientes a los trazos QF1 y QF2 , se las llama «radios vectores».
• Los dos «focos» equidistan del centro O.
•El área de la elipse es:
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Del triángulo rectángulo se cumple: a2=b2+c2
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Excentricidad
• A la cantidad c/a se llama excentricidad de la elipse e. Se cumple: 0<e<1.
• El grado de aplastamiento de una elipse se mide con la excentricidad, que varía entre 0 y 1, cuanto mayor sea la excentricidad más separados estarán los focos y más alargada será la elipse. Por el contrario, si la excentricidad vale 0, los focos están juntos en el centro de la elipse y ésta se convierte en una circunferencia.
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Elipse de eje focal horizontal
Los elementos que vamos a encontrar en una elipse de eje focal horizontal son:
• los vértices: A (a,0) , A' (-a,0), B (0,b) y B' (0,-b)
• los focos: F (c,0) y F' (-c,0) • eje focal: distancia entre los vértices AA' =
2a • eje no focal: distancia entre los vértices
BB' = 2b
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• distancia focal 2c: distancia entre el foco F y F'
• dPF = distancia entre un punto de la elipse y el foco F
• Dpf´ = distancia entre un punto de la elipse y el foco F'
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Con centro en el origen
Con centro en (p, q)
Elipse de eje focal horizontal
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• Elipse de eje focal vertical
Elipse de eje focal vertical: a < b ===> b² = a² + c²
Los elementos que vamos a encontrar en una elipse de eje focal vertical son: • los vértices: A (a,0) , A' (-a,0), B (0,b) y B' (0,-b)
• los focos: F (0,c) y F' (0,-c) • eje no focal: distancia entre los vértices AA' = 2a
•
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• eje focal: distancia entre los vértices BB' = 2b • distancia focal 2c: distancia entre el foco F y F' • radio vectores: dPF y dPF' • dPF = distancia entre un punto de la elipse
y el foco F • dPF = distancia entre un punto de la elipse
y el foco F'
• Se cumplen las siguientes propiedades:• Para cualquier punto de la elipse: dPF + dPF´ =
2b
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Con centro en el origen
Con centro en (Xo, Yo)
Elipse de eje focal vertical