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La Elipse de Culmann como calibradora del comportamiento de plantas de edificios bajo flexotorsión en un plano horizontal

Trabajo presentado ante la Academia Venezolana de la Ingeniería y el Habitat

Mario Paparoni 28 de Junio del 2010.

Prólogo y Motivaciones de este trabajo: Hace ya casi ciento cuarenta años desde que la Elipse de Culmann abrió un nuevo campo en el análisis de estructuras, al permitir que metodologías de análisis puramente gráficas, basadas en métodos totalmente geométricos, en particular la Geometría Proyectiva, pudiesen abarcar también a las estructuras hiperestáticas y que, además permitieran el diseño más rápido de secciones, a través del concepto de los núcleos centrales. Su importancia fué tal que, en muchos países, esa era la casi única base de la enseñanza del Análisis Estructural. En Italia y en pequeña parte en Francia y Alemania también lo hacen todavía, así como el Este de Europa, simplemente manteniendo ese método en vida. El siglo XX marcó para la Geometría Proyectiva el alcance de su completitud y el cese de las investigaciones (Teoremas nuevos) sobre ella, al publicarse el último de sus teoremas hacia 1917. Quedó entonces la Geometría Descriptiva, y luego, a mediados del siglo XX los computadores, o mejor dicho, los planificadores de pensa de ingeniería, terminaron de darle la puntilla a esta última. La Geometría como herramienta ha prácticamente desaparecido de la ingeniería civil, con pocas excepciones en el continente europeo. Ciertas especialidades tales como la Informática y la Gerencia, la consideran inútil para sus fines. En cierta forma es irónico, pues la informática en especial probablemente ha realizado más transformaciones lineales (ahora invisibles) que la Geometría Clásica en 3000 años. Ciertamente, lograron acabar con la profesión de dibujantes entrenados para tomar por sí mismos decisiones, tales como despieces de cabillas, solapes, tuberías eléctricas e hidráulicas, aguas negras, etc, ahora realizada por operadores de programas de dibujo que toman decisiones ya preprogramadas y difíciles de cambiar. También ha acarreado la pérdida del idioma geométrico, mucho más conciso, claro y preciso que las informaciones tabuladas o que los gráficos estandarizados o que los dobles o triples subíndices de los términos de las matrices. Quizá deba sobrevir por necesidad en los monstruos virtuales que ahora aparecen en las películas de miedo, dado que son muy rentables.

La abrumadora influencia del Cálculo en los pensa de Ingeniería y de algunos aspectos restringidos del Álgebra lineal, es decir el Análisis Matricial, con los Autovalores y los Autovectores, vistos como disciplinas puramente simbólicas y operativas, terminó por prácticamente liquidar los métodos geométricos o sus aplicaciones.. La Geometría siempre ha trabajado con figuras COMPLETAS, es decir sístémicamente, no con el simple ensamble de piezas susceptibles de rutinizaciones computacionales, como lo hace el Análisis. Recordemos que esta palabra significó originalmente en griego “dividir” o “seccionar” o “cortar” o

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“descomponer”. La Geometría también enseñaba a buscar en los dibujos la información pertinente en ambientes con elevados niveles de “ruido”, constituído por todas las líneas auxiliares que había que incluir y que raramente se borraban. Su eliminación también redujo considerablemente la transmisión de esa habilidad que llamábamos “percepción espacial”, que se adquiría con su estudio, la de poder ubicar las cosas importantes y descartar las demás. Estas notas, al margen de la materia central que motiva estos escritos, el autor las cree necesarias para disipar las dudas de quienes creen que todo método ingenieril en desuso debe tirarse al basurero de la historia de la ingeniería. Mas bien tal parece que habrá que crear una “arqueología ingenieril” para resucitar eso que antes se llamaba “buen juicio ingenieril”.

La Elipse de Culmann, utilizando los modernos programas de computación, es todavía un instrumento vivo y susceptible de ser aplicado a necesidades muy modernas, sorprendentemente basándonos en cosas muy conocidas antes, pero que no se desarrollaron o que se escondieron dentro de la vorágine metodológica que caracterizó al siglo XX en la Ingeniería. Las ideas personales que nos que llevaron a lo que hoy se ha logrado comenzaron el 1992, en el libro “Dimensionamiento de Estructuras Altas de Concreto Armado” (Paparoni, 1992) en el cual se le dedicó un capítulo entero al problema de la flexotorsión de edificios y se desarrolló un método derivado de una analogía con el método usado para resolver el problema de una columna que recibe carga axial más momento. Para ello se creó el concepto de “factor de amplificación de cortantes de pórticos”, análogo del “factor de amplificación de tensiones” presente en una fórmula de Resistencia de Materiales muy

conocida (Rankine) que nos dice = (P/A)*(1 ± ec/r2) en donde el segundo paréntesis es adimensional y se puede interpretar como un factor de amplificación. Para esa fecha el concepto de la Elipse de Culmann tratada como base de una relación de antipolaridad entre una fuerza aplicada (Recta polar) y el antipolo (como centro de giro) no estaba clara ni como problema algebraico ni como problema geométrico, al menos para el autor de este trabajo. Ha costado mucho tiempo, varios trabajos especiales de grado y la lectura de varios textos de Geometría (Coordenada; Vectorial; Proyectiva) y otros de Álgebra Lineal y de Álgebra Lineal Comparada con Geometría Analítica, los cuales se mencionan en otras partes de este trabajo, todo ello para poder averiguar que ese segundo paréntesis mencionado arriba es una polaridad, y además que no es tan difícil trazar dos tangentes desde un polo hacia su elipse asociada para determinar la polar. El Antipolo se obtiene por una relación simple de simetría. Esto no es más que una prueba de que cada disciplina matemática tiene su propio idioma y que si uno no conoce ese idioma, no es posible ni entender qué significan sus vocablos ni poder relacionarlos con otras cosas. Anecdóticamente diré que pregunté a muchos profesores de Matemáticas acerca de ese problema y sólo uno de ellos me supo contestar algo con un dibujito no muy claro. En otras palabras, el lenguaje de la Geometría Proyectiva es hoy una lengua bien muerta.

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Hoy el autor tiene que reconocer algo que es simple y obvio (después de haberlo visto demostrado) y es que Las Transformaciones Lineales vistas como problemas algebraicos y las Transformaciones Lineales vistas como problemas geométricos son, simplemente el anverso y el reverso de una misma moneda. No era tampoco ni obvio ni claro el hecho de que todas las operaciones de Análisis Estructural (Análisis Matricial) que realizamos son Transformaciones Lineales AFINES (entre las acciones y sus respuestas), no son ni proyectivas ni perspectivas, pues estas últimas no son lineales sino semilineales. Esto explica ahora el por qué, a lo largo de esos 18 años que transcurrieron entre la primera idea y los resultados actuales, hayan aparecido en los trabajos ya publicados, siempre Elipses, Elipsoides, Círculos, Rizos, etc., (formas cuadráticas) y explica también por qué un análisis estructural lineal no puede, fácil y visiblemente mostrar cuándo, en estructuraciones extremas de edificios, aparezcan las señales de posibles inestabilidades, a menos que nos dediquemos a examinar los Determinantes de Sistemas de Ecuaciones que manejamos con las Matrices, o que caigamos en la cuenta (parece que nadie lo había notado) el que todo nodo de una Estructura que suponemos elástica y lineal, tiene, embebidas en sus matrices de Rigidez y de Flexibilidad, formas cuadráticas cerradas, abiertas y degeneradas. No encontramos ningún libro que nos mostrara cómo se ven las multiplicaciones matriciales en estructuras de forma sólo simbólica y no numérica, tal que permita ver qué patrones hay dentro de esas agrupaciones simbólicas. Dos TEG de la serie hecha lo demostraron haciéndolo. Esto mismo está apareciendo en los últimos TEG que hemos dedicado a ello. El hecho de que aquellas plantas de edificios que posean como elipses de Culmann elipses muy alargadas (o muy achatadas), pueden pasar, de golpe y porrazo, a ser parábolas, o cilindros parabólicos (figuras que no pueden ser afines a las elipses) si ocurren pequeñísimas variaciones de algún parámetro focal, o que las plantas de edificios que tengan forma de segmentos de corona circular sean tendencialmente inestables ante sismos, si todos sus pórticos radiales son concurrentes a un punto y sus pórticos tangenciales son poco rígidos, ya que ese punto de concurrencia puede convertirse en un centro de rigidez externo a la planta y requeriría, en teoría, hasta 6 veces más acero de refuerzo que una planta normal, debido a la influencia de la excentricidad inherente dada por la posible gran distancia mutua entre los centros de rigidez y de masa. Los programas no avisan cuando esto ocurre, y algunas veces más de un ingeniero ha confundido los muñequitos bailantes que muestran cómo se mueve un edificio con los verdaderos movimientos que este sufre. Hay más de un edificio en Caracas que permite, al verlos y analizar sus estructuraciones, pensar que ésto ocurrió. Lo dicho hasta ahora significa que no sólo se ha llegado a una forma sencilla y fácil de entender el cómo Gradar o Calificar configuraciones de planta extremas (con inestabilidades inherentes) o a comparar entre sí cambios formales de estructuraciones de un mismo edificio, pues creo sinceramente que se ha

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destapado una olla de grillos y que hay que ponerse a pensar otra vez en términos geométricos y no sólo en términos numéricos, pues una lista de resultados numéricos no tiene forma, y son sólo los cambios de forma son los que, de un golpe, nos dicen si algo es mejor o peor que otro algo.

En resumen, no tengamos pena en el volver a usar algo ya viejo y pasado de moda y, además démonos cuenta de que si enseñamos sólo destrezas (como alimentar con datos una computadora con un programa ajeno) sin enseñar más las bases, podemos llevarnos tremendas sorpresas. Hay que volver a las Bases matemáticas y físicas de la Ingeniería Civil. Los párrafos que siguen, no necesariamente ordenados del todo cronológica o metodológicamente, son explicaciones de los varios aspectos que han surgido a lo largo de este camino intelectual. Hay otros aspectos aún en estudio que no aparecen aquí, (Mario Paparoni. 28-Feb-10, Nkosi, Caracas)

I). Introducción de la parte experimental realizada: La parte experimental de este trabajo se ha realizado a través de una serie de Trabajos Especiales de Grado culminados en la UCV, en la Universidad Metropolitana y en la Universidad Católica Andrés Bello, tutoreados por el autor y realizados a lo largo de más de dos decenios y que luego citaremos en el texto o en un apéndice. Las ideas originarias fueron plasmadas en el libro Dimensionamiento de Estructuras Altas de Concreto Armado, de nuestra autoría y el cual fué publicado en 1992 por la empresa SIDETUR. Otro hito en este camino fué la publicación de un trabajo conjunto en la revista Tekhné (UCAB) N° 4, 2000, por M. Paparoni y P. Hummelgens., en donde se derivaron expresiones matemáticas referentes a la flexotorsión de plantas de edificios, en donde aparecen formas cuadráticas características (Paraboloides Elípticos, Cilindros Parabólicos y Paraboloides Hiperbólicos). Sólo los primeros garantizan una posición estable para el centro de rigidez de una planta de edificio, el segundo dá una condición metastable y el tercero una condición inestable) En un ese período relativamente largo se fueron encontrando poco a poco dos ideas guías, la primera fue la comprobación de un hecho frecuente: Los edificios que se calculan en el mercado, aún siguiendo y cumpliendo las normas vigentes y aplicando los criterios profesionalmente aceptados, parecen centrarse en procedimientos canónicos cuyo fin es llegar lo más rápida y eficientemente posible a la entrega de unos planos con dimensiones de miembros y cuantías y configuraciones de armado. Rara vez en un un proyecto estructural se le ha dado a quien lo realiza la posibilidad o el tiempo de poder cuantificar si el producto es bueno, malo, mejor o peor que algo que no podemos definir fácilmente, pues el poder medir esas cualidades no es nada fácil. Tampoco es fácil optimizar una estructura si no tenemos metodologías sistémicas que nos permitan hacerlo, pues si no sabemos con facilidad a donde queremos llegar, no

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sabemos que camino vamos a seguir. Esta situación se ha ido agravando al ponerse cada vez más de moda lo que podemos llamar Estructuraciones Extremas, es decir aquellas que las normas no pueden contemplar o regir a través de un conjunto de reglas simples y que la Arquitectura actual de la espectacularidad no suele aplicar, yendo a contrapelo de lo que nos dicen las reglas sismorresistentes. Tampoco parece lógico comparar dos análisis o dos diseños o dos normas diferentes tomando en cuenta sólo los armados locales o totales que produzcan, en el caso del concreto armado. Hay muchos otros factores que influyen además de ese. El acero tampoco escapa de esto, con la selección de secciones. Tampoco no es fácil, inclusive para un proyectista experimentado, saber cuál es la mejor estrategia que le conviene seguir cuando se enfrenta a estos casos extremos, en especial si no puede ver separadamente los efectos de las cargas horizontales y verticales, debido a que los resultados que usa ya están combinados en los resultados que mira. Es como averiguar los ingredientes de una tortilla (Omelette) sólo mirándola. El manejar sólo combinaciones de cargas dificulta el aprendizaje de qué ocurre con cada tipo de carga, al mezclarlas El conjunto de trabajos especiales realizados, y la revisión o conocimiento de proyectos realizados en oficinas de proyectos, fué revelando poco a poco que había varios hechos que no forman parte ni del conocimiento que se imparte en las aulas universitarias ni del conocimiento personal de la mayoría de los proyectistas que aplican éstos a sus propios proyectos. El más claro es el tratamiento de las fuerzas sísmicas de diseño, las cuales, como sabemos, no son generadas desde afuera sino desde dentro de la estructura y que se manejan comúnmente como cualquier otra fuerza de origen externo. Uno de esos aspectos, quizá el más importante, es que rara vez, excepto en los casos de estructuras muy regulares y, además con pórticos ortogonales, que esas fuerzas produzcan deflexiones generales o locales de la estructura cuyas direcciones coincidan con las de las fuerzas, debido a la abundante ortotropía de los esqueletos de los Edificios usuales. Los edificios con estructuraciones isotrópicas son cada vez más raros. Cabe el ver también a los edificios irregulares como ortotrópicos, pues aunque tengan estructuraciones irregulares tendrán siempre elipses de respuesta con sus dos direcciones principales, que posiblemente no coincidirán con ninguna de de las direcciones de aporticamiento dominantes, y además puede que esas direcciones cambien de planta a planta. Otro punto importante, contenido en la mayoría de las normas, es el dejar al arbitrio del proyectista las direcciones de análisis, dicho de otra manera, el ignorar que la mayoría de los edificios reales, incluyendo los de plantas regulares, tienen estructuras con respuestas ortótropas, dejando de lado la idea, perfectamente clara en la Resistencia de Materiales clásica, de que debemos

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SABER cuáles son las direcciones principales de respuesta de una estructura para poder entender su funcionamiento. Si entramos en los diseños, podemos comprobar que en la mayoría de los casos, no se tiene una idea clara de cuál es la distribución y orientación de los momentos máximos y de las fuerzas axiales máximas en las columnas. Persiste en muchos la creencia de que hay máximos coincidentes con las direcciones usuales de las columnas rectangulares o bien, que entre las numerosas combinaciones de cargas que emplean los programas modernos, en donde por ejemplo se combina el máximo momento encontrado con la máxima axial encontrada sin tomar en cuenta, por ejemplo, que hemos analizado la estructura en sólo dos direcciones que no son necesariamente las principales, corresponda ella precisamente a una dirección crítica dada. Ignoramos ciertamente lo que ocurriría con las fuerzas que fuesen aplicadas en las direcciones ignoradas. Esto es debido en parte a los hábitos creados por los métodos de análisis y los programas de hace un tiempo, que se basaban en imágenes planas y no en imágenes espaciales. Las imágenes planas “forzaban” los planos de momentos hacia los planos de las imágenes (Taucer y Colvee, 1985. UCV) Hay opiniones que van en contra de la excelente idea que hoy día aparece en las normas venezolanas y en las normas europeas de pedir el análisis de la estructura en lo que realmente son 8 o más (12) direcciones diferentes al utilizar la regla del 100% ± 30% (Hay normas que aplican varias combinaciones de carga que abarcan conjunta y simultáneamente a por lo menos dos fuerzas sísmicas horizontales de diseño y a las fuerzas verticales del mismo origen, como lo hace la norma Suiza, por ejemplo). De esto a pasar a una función de carga rotante con variación elíptica sólo hay breves pasos. Todo esto se puede resumir en lo siguiente, no utilizamos comunmente en la práctica la idea de que debería haber FUNCIONES DE CARGA Y FUNCIONES DE RESPUESTA. De hecho, estas últimas las tenemos en los diagramas de interacción, lo que no usamos es, por ejemplo solicitaciones multidireccionales con fronteras descriptibles por funciones (elipses o circunferencias).

II). Propósito: Fundamentalmente, y para poder llegar a lo que aquí decimos, fué necesaria la búsqueda sistemática de patrones de comportamiento globales y locales en estructuras de edificios sometidos a fuerzas horizontales de sismo o viento. Ello se llevó a cabo durante el lapso mencionado, a través de sucesivos trabajos especiales de grado, planificados y dirigidos por el autor, usando proyectos reales obtenidos de oficinas reputadas o bien modelos virtuales verosímiles de esqueletos de edificios. Estos trabajos, que requirieron de mucha paciencia, fueron revelando que, en lugar del aparente caos que percibimos en la enorme cantidad de información que es producto de las numerosas

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combinaciones de cargas que hoy nos dan los programas, hay muchas regularidades (o patrones), que podremos ver si sabemos buscarlas. Hay por ejemplo, o puede haber, solicitaciones rotantes circulares o elípticas, o simples solicitaciones direccionadas que producen como resultado Elipses de Momentos, Círculos o Elipses de Axiales, Elipses o Elipsoides de Rigidez o de Flexibilidad. Las elipses pueden ser hasta degeneradas (rectas) Todas ellas tienen en común el ser formas cuadráticas cerradas. (Ver Paparoni y Chacón, 2004, Canada,13 wcee) Junto con estos sucesivos “encuentros” con regularidades inesperadas, y en particular, al haber decidido trabajar con el problema de la Flexotorsión de plantas de edificios se encontró un hecho curioso, el que en la literatura estructural “clásica” europea existían, desde hace 135 años, dos métodos de análisis, hoy considerados obsoletos, la Estática Gráfica y la Elipse de Elasticidad, que mostraban extrañas semejanzas con las cosas que iban apareciendo, junto con la sorpresa de comprobar que la flexotorsión nunca fué incluida en esos métodos en los textos más conocidos que nos han llegado, o en las publicaciones actuales en la internet. Al aplicar la Elipse de Culmann, esta vez utilizando un proceso que comienza por la aplicación de cargas rotantes en los centros de rigidez de las plantas, y por elaboraciones de elipses sucesivas para llegar hasta la elipse de Culmann y hasta la determinación de “núcleos centrales” dentro de los cuales encajarían los “dominios de desplazabilidad sísmica” de los centros de masa, tal como los propone una tesis doctoral del ETH (Sömmer, Zürich, 2000). Dicho excelente trabajo demuestra una vez más que se ha invertido más esfuerzo en saber lo que le llega al edificio que en saber cómo y por qué puede resistir mejor eso que le llega. Quizá los resultados de ese esfuerzo ( ocuparse de lo lo que llega) encaje dentro de este otro que aquí tratamos (lo que podamos hacer para que lo que llegue no se desborde, o para racionalizar las configuraciones estructurales). Otra línea de acción fué la de apelar al estudio de las fuentes originales del Análisis Estructural, el Álgebra Lineal y la Geometría, en especial las transformaciones de espacios, y dentro de estas, las transformaciones afines, líneas éstas de estudio que son muy laboriosas de entender pero muy fructíferas. De esta tarea surgieron cosas interesantes, en especial el que toda relación entre funciones de carga y funciones de deformaciones o de solicitaciones entre dos puntos distintos de una estructura es producto de una transformación afin. Este aspecto también explica el por qué los análisis estructurales lineales que normalmente usamos no pueden detectar por sí mismos inestabilidades potenciales en las configuraciones estructurales. Estas relaciones aparecen en una fórma tímida y sólo descriptiva en el texto “Scienza delle Costruzioni” (Belluzzi, 1956) en uno de los problemas explicativos sobre la Elipse de Elasticidad, mostrando también la aplicabilidad a este caso de la Ley de Maxwell. Belluzzi no explica el por qué, sino el qué ocurre, que es la posibilidad de generar incontables “elipses de elasticidad” en una estructura, en

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donde podamos necesitarlas o utilizarlas, justamente aplicando fuerzas rotantes. Sin embargo, no menciona aplicaciones posibles de esas elipses. También podemos decir que estas mismas fuentes nos dicen que esas relaciones aparecen más claramente cuando ocurren entre formas cuadráticas, pues se trata de relaciones entre energías elásticas (funciones de segundo grado). Por ejemplo, que una fuerza rotante (círcunferencia) genere una elipse, o una fuerza lineal puede generar otra fuerza o bien un desplazamiento, con magnitud o dirección distintas de las de la fuerza originalmente aplicada. (podría hablarse de elipses degeneradas) Si analizamos otros TEG (Jiménez 2004, Miralles 2005, Osteicoechea,2006) también encontramos la justificación de que las matrices de rigidez y de flexibilidad de una estructura contienen, embebidas en ellas, cónicas y conicoides que representan las rigideces o flexibilidades nodales de una estructura. Otro aspecto que se deriva de esta búsqueda es que el proceso que seguimos en este trabajo para llegar a la elipse de Culmann comienza por generalizar el concepto de Matriz de Flexibilidad lateral reducida aplicada en los análisis modales al espacio tridimensional. Pues cada elipse de deflexiones de plantas en un edificio se deriva de dos matrices de flexibilidad correspondientes a las dos direcciones principales horizontales de la estructura, o a dos direcciones conjugadas si la escogencia de las direcciones de análisis ha sido arbitraria. Las figuras resultantes, convenientemente dibujadas se parecen a torbellinos. Es decir, la matriz de flexibilidad lateral de un edificio puede representarse con una figura geométrica con tres dimensiones con formas razonablemente simples En resumen, el propósito no ha estado sólo en este trabajo, sino también en los que antes lo precedieron.

III).-Alcance:

Aquí nos limitaremos a explicar los resultados más recientes de esta línea de investigación, en particular los que se derivan de los tres trabajos (TEG) más nuevos, (Gonçalves, 2008, Carmona y Acosta, 2009, y Peña y Paz, 2010.) No hablaremos mucho de los detalles de lo encontrado, pues las cosas siguen en marcha y pueden cambiar con la marcha. Podemos decir que ya pisamos terreno firme, se han aclarado puntos dudosos de resultados anteriores y han aparecido, como es de esperar, más preguntas nuevas. Los números han confirmado paulatinamente que todo lo que se podía afirmar en base a conocimientos del pasado, y ello ha sido corroborado con experimentos numéricos basados en las técnicas de hoy. En especial los factores de amplificación torsional, logrando graficar sobre la planta sus dominios de influencia y cuantificarlos allí mismo. (Carmona y Acosta, 2009).(Peña y Paz, 2010)

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IV).- Metodologías utilizadas:

Se ha seguido fundamentalmente el esquema desarrollado en esos dos últimos TEG, en donde se han generado configuraciones estructurales (esqueletos) de edificios genéricos, de uno o más niveles, tales que reflejen o casos que ya existen o casos muy simples que son buenos para explorar nuevos terrenos, o bien configuraciones extremas potencialmente problemáticas. Esos esqueletos son analizados con los programas SAP o ETABS, los cuales en algunos casos nos dan informaciones sobre las posiciones de los centros de rigidez, planta a planta, si no, hay que determinarlos por geometría en base a las deflexiones provocadas por momentos puros. Esas plantas se han diafragmado, es decir, se ha supuesto que cada planta es rígida en su plano y flexible en dirección normal a ella, lo cual equivale a decir que cada planta se supone ser una lámina rígida que obliga a todos los nodos que en ella estén a tener los mismos desplazamientos traslacionales horizontales, dejando libres los desplazamientos verticales. Obviamente los desplazamientos torsionales no generan traslaciones de nodos paralelas entre sí, como ocurre con las traslaciones. A los edificios modelados se les aplican cargas rotantes de magnitudes constantes, sea solamente en el tope, sea en cada planta, una a la vez, o bien en todas las plantas a la vez y se miden las deflexiones que producen esas fuerzas en los centros de rigidez.. Con estas fuerzas aplicadas se obtiene una elipse de deflexiones, para cada planta, de esas elipses de deflexiones se deducen las demás, a través de operaciones que basta realizar sobre sus semiejes principales, lo cual simplifica el tratamiento numérico. Se verifican algunos resultados numéricos construyendo la matriz de flexibilidad rotacional y las matrices de flexibilidad flexional referidas a los centros de rigidez plantares. Se verifican de este modo las simetrías y la igualdad los valores transpuestos (Ley de Maxwell), con objeto de ganar confianza en los resultados numéricos. (Esto no es indispensable, sino recomendable) Luego se determinan, con los desplazamientos horizontales que conformen la elipse de deflexiones, las direcciones principales de cada planta o sólo de algunas de ellas. Esto se puede lograr a través de la misma elipse de deflexiones. Las rigideces lineales principales se determinan aplicando cargas en los centros de rigidez con las direcciones principales encontradas y midiendo los desplazamientos, los cocientes entre las cargas y los desplazamientos nos dan las rigideces principales de planta. Para determinar las direcciones principales se utilizan las simetrías existentes o graficaciones de deflexiones vs. ángulos de aplicación de las fuerzas (Hueso de perro), que nos determinan esas direcciones. Es también

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posible hacerlo analíticamente, con una de las tantas formulaciones de la ecuación de una elipse. La rigidez rotacional de cada planta se determina aplicando un momento (o un par de fuerzas iguales y opuestas) en cada planta y determinando sus giros. Al dividir cada momento plantar entre cada giro plantar se obtiene cada rigidez torsional plantar. Se han resuelto modelos donde se comparan los resultados de una sola solicitación rotante cimera con los resultados de las solicitaciones planta a planta, esto para ver si se puede simplificar o acortar válidamente el procedimiento de obtención de datos iniciales, es decir si vale la pena obtener datos planta por planta o se pueden usar sólo cargas cimeras. Este procedimiento permite también determinar los centros de rigidez (esos puntos no se desplazan) Una vez determinados estos parámetros pasamos a la determinación de una serie de elipses que son útiles para nuestros fines.

IV.1) Las elipses que van apareciendo sucesivamente son las siguientes:

1) La elipse de deflexiones, determinada con una carga rotante de magnitud constante y azimut variable y graficando las deflexiones que se producen. Hay que recordar que, en general, las deflexiones del centro de rigidez no son colineales con las direcciones de la fuerza rotante, Si se grafican las deflexiones en función de los ángulos de las sucesivas fuerzas rotantes se obtiene una figura que se suele llamar “hueso de perro” (dogbone). Esa figura permite determinar las direcciones y las magnitudes de los ejes principales de las elipses de deflexiones de cada planta. Estas elipses permiten también determinar los centros de rigidez de cada planta. La forma de la elipse de deflexiones se obtiene graficando ∂x vs. ∂y como sus coordenadas cartesianas x e y. 2) Si se dividen las deflexiones según los ejes principales entre los valores de la fuerza aplicada en esas mismas direcciones se obtienen los semiejes de la elipse de flexibilidad, 3) Si se calculan los inversos de las longitudes de los semiejes principales de la elipse de flexibilidad se obtienen los semiejes de la elipse de rigidez. 4) Si se divide la rigidez torsional de cada planta entre las rigideces lineales de los semiejes de las elipses de rigidez se obtienen los valores de los semiejes de la elipse de radios de giro al cuadrado. Las elipses de la (1) a la (4) no se pueden dibujar a la misma escala utilizada en los planos y superponerlas a esa misma escala sobre ellos, pues no son ni dimensionalmente ni escalarmente coherentes entre sí.

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5) Si calculamos las raices cuadradas de las magnitudes de los semiejes de la elipse de radios de giro al cuadrado se obtiene la elipse de radios de giro. Si transponemos sus ejes se obtiene la Elipse de Culmann, la cual se puede dibujar a la misma escala que la de los planos del edificio. La transposición permite interpretar esa elipse como un conjunto de excentricidades torsionales posibles cuyas orientaciones no son obvias, y es por ello que se continúa con el Núcleo Central Torsional, más fácil de interpretar y que nos da las magnitudes de esas excentricidades más fácilmente.

IV.2) La elipse de Culman goza de las siguientes propiedades: a) Cualquier fuerza (polar) aplicada a la planta que sea tangencial a esa elipse produce una rotación de la planta cuyo centro instantáneo (antipolo) está en la elipse (frontera) y es diametralmente opuesto al punto de tangencia de la fuerza (polo). b) todas las fuerzas cuyas trazas sean secantes a la elipse producen centros de rotación instantáneos (antipolos) de la planta que están fuera de la elipse. c) todas las fuerzas externas a la elipse producen centros de rotación internos a la elipse. d) toda fuerza que pase por el centro de la elipse produce sólo traslaciones (centro de rotación en el infinito), en ese caso, las deflexiones siguen la dirección de la normal a la dirección del diámetro de la elipse que sea conjugado con el diámetro que tenga la dirección de la fuerza aplicada e) Si tenemos una planta que posea pórticos que estén situados fuera de la elipse, se puede determinar el núcleo central de torsión tomando como polo el punto que esté situado al final de una normal trazada desde el centro de la elipse hasta la traza de cada pórtico externo, y buscando la polar de ese polo respecto a la elipse. el dominio interior formado por las sucesivas polares secantes a la elipse, junto con las porciones de la elipse que no sean “mordidas” por las polares, es el lugar geométrico de las posiciones puntuales del centro de masa que no generan factores de amplificación mayores de dos. Para los pórticos interiores es más fácil escalar sucesivamente la elipse de Culmann para obtener los valores de los factores de amplificación a través de algo parecido a las “curvas de nivel” usuales. (punto 7) Se define como factor de amplificación torsional, para un determinado pórtico y nivel, al cociente entre la suma de la fuerza torsional más la fuerza traslacional dividida entre la fuerza traslacional. 6) es posible obtener otras elipses de la elipse de Culmann, las de torsión, pero es preferible utilizar la Elipse de Culmann y construir, a través de relaciones de polaridad, los núcleos centrales torsionales, los cuales indican cuál es el dominio de posiciones del centro de masas que produzca factores de amplificación torsional menores de 2.

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7) Es posible construir elipses de Culmann internas a la original interpolando linealmente las distancias entre el centro de la elipse (factor de amplificación=1) y la elipse misma. (factor de amplificación=2). Es también posible extrapolarlas más allá de su frontera inicial.

V).Cualidades de una planta que pueden ser indicadas o medidas por la Elipse de Culmann:

1) Mientras más parecidos en longitud sean los semiejes, mejor será la planta. Cuando los dos ejes de la elipse sean iguales tendremos una estructura isótropa, la de mejor comportamiento absoluto. 2) Elipses muy alargadas indican diferencias de rigideces principales que producen varios efectos indeseables, que pueden llevar a condiciones de inestabilidad, como es p. ej. la posición metastable de los centros de rigidez en este caso. 3) Mientras más área de planta cubran las elipses, mejor es la planta. Hay plantas isótropas que tienen elipses de Culmann externas a ellas, son en general estructuraciones situadas sobre plantas poligonales regulares o sobre plantas circulares. Las estructuraciones prismáticas sobre plantas cuadradas tienen en general elipses de Culmann (circunferencias) que pasan muy cerca de sus 4 esquinas. Este es quizá el mejor argumento para poder decir que no importa tanto la forma de la planta como la estructuración de los pórticos. 4) El proceso de optimización torsional de una planta puede consistir en tratar de colocar el centro de masa dentro del núcleo torsional y lo más cerca posible del centro de rigidez. Debemos recordar que el centro de masa es muy difícil de cambiar de posición, lo que tenemos que mover es el centro de rigidez, o más precisamente hablando, la Elipse de Culmann misma. Ello se logra actuando sobre las rigideces relativas de los pórticos de la estructura. 5) En general, si la elipse ocupa una porción notable de la planta (si la elipse de Culmann es grande), menos sensible es la planta a los efectos de la torsión. Nota: Hay que recordar que la Elipse de Culmann ha sido transpuesta si queremos relacionar su orientación con las de las elipses anteriores.

VI). Discusión de resultados:

Se muestran en los anexos varios resultados anteriores a este escrito, con su interpretación y comentarios. Se muestran también los resultados más recientes obtenidos, una vez eliminados los falsos caminos que fueron apareciendo, inevitables en toda investigación de exploración. • Podemos resumirlos al decir que la Elipse de Culmann, con todas sus propiedades, es también aplicable a estructuras tridimensionales de edificios, específicamente a plantas diafragmadas (láminas cinemáticas). Los ejemplos presentados en el último trabajo (Peña y Paz, 2010) han confirmado numéricamente que el procedimiento seguido, es decir el uso de programas de

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computación para generar toda la información necesaria para determinar la Elipse de Culman aplicable a flexotorsiones plantares es posible, es válido y es aplicable con relativa facilidad. • Tal parece que esta extensión del uso de la Elipse de Culmann a estos casos es original y nueva, pues una exploración en la internet no ha revelado la existencia de algo parecido. En la bibliografía allí presentada. • Se localizó un libro cuya autor es el Prof. Vincenzo Franciosi, de la Uiversidad Federico II en Nápoles, Italia, destinado a la aplicación de la Elipse de Culmann a árboles de transmisión mecánicos, con apoyos intermedios y no se ocupa de edificios tridimensionales. Además dice que la elipse de Culmann tampoco se había aplicado a los casos tratados por él. • Este libro nunca fue consultado alß detalle por nosotros a lo largo de nuestras investigaciones, pero es sabido que dicho libro se ocupa de casos muy distintos a los aquí tratados, pero confirma la novedad de la aplicación de la Elipse de Culmann a la flexotorsión. Es por ello que lo citamos.

VII). Conclusiones Alcanzadas:

Podemos clasificarlas en dos grupos, el primero se refiere a las nuevas metodologías de evaluación de estructuraciones generadas a través de esta investigación; el segundo se refiere a las partes más matemáticas que ingenieriles del problema, que se centra en la posible utilidad de pensar en los análisis estructurales más en términos de transformaciones de espacios que en términos estructurales, dada la general aplicabilidad del concepto de transformaciones de espacios. Hay un resto de comentarios o conclusiones (Los Anexos) que contiene material que puede parecer como una colcha de retazos, pero en donde cada retazo contiene consideraciones ingenieriles que, en el peor de los casos, simplemente nos hacen pensar si hemos seguido vias equivocadas o no convenientes al no habernos fijado en una serie de cosas que en inglés son llamadas “food for thought”. El Autor pensó en suprimirlos totalmente para hacer este trabajo más fácilmente juzgable, pero luego llegó a la conclusión de que vale la pena considerarlos, digamos, como “alimento del pensar”. El hecho de ser retazos se debe a que fueron escritos en lugares lejanos entre sí en el espacio y en el tiempo, y no con la intención de seguir un esquema de unificación. También porque puede ser interesante darse cuenta de que hay “antiguallas ingenieriles” que pueden aún dar nuevos frutos. Además, no es fácil hacer cosas nuevas o romper paradigmas, pues para encontrarlas hay que abrir caminos que no se conocen con antelación y hay que tener espíritu de aventura. Finalmente, hay o habrá un anexo final, el cual contiene algunos gráficos tomados de los TEG que sirvieron de base a esta investigación, en ellos es fácil percibir la validez de la ley de afinidad entre cargas y deformaciones, o bien, los efectos de éstas.

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Conclusiones obtenidas de los experimentos numéricos realizados: VII.1) Extender la utilidad de la Elipse de Culmann, aparentemente no usada ni antes ni ahora para “compactar” toda la información necesaria para describir el comportamiento de una planta de edificio que esté sujeta a cargas horizontales, tales que pasen o no por el centro de rigidez. (o según Paulay, por el centro de resistencia que la plastificación de la estructura genere) VII.2) Al ser ella una figura dibujable directamente sobre la planta que analicemos nos permite juzgar visualmente qué tenemos, donde estamos y qué tenemos que hacer para mejorar la conducta flexotorsional de esa planta. VII.3) Esa elipse permite generar el “núcleo central de resistencia de cada planta, trazando polos y polares respecto a ella. Ello es mucho más fácil por la vía geometrica que por la vía analítica. VII.4) Cuando esa elipse se hace muy alargada estamos, sin duda alguna, frente a una estructura o parte de ella, que presenta o puede presentar comportamientos anómalos, por ejemplo, se puede mostrar cómo los desplazamientos de la planta tienden a concentrarse sobre la dirección de menor rigidez (además de lo ya dicho sobre los centros de rigidez que se hacen mucho menos estables). Esto se logra a través de construcciones geométricas sencillas. Para evitar confusiones de uso, es preferible trabajar para esto con la elipse de deflexiones o la elipse de flexibilidad directamente, para así trabajar con variables directas. Sabemos que en los terremotos el sismo se “ensaña” con la dirección menos rígida (y casi siempre también la más débil). La metodología que manejamos predice que esto va a ocurrir.

ANEXOS:

A.1) ANTECEDENTES BIBLIOGRÁFICOS RELACIONADOS CON EL TRABAJO EXPERIMENTAL REALIZADO:

En esta sección se trata acerca del conocimiento que pudimos recoger sobre el tema antes o durante la realización del trabajo experimental.

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ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL ORIGEN DE LA CLÁSICA ELIPSE DE CULMANN-RICHTER Y SU JUSTIFICACIÓN COMO INSTRUMENTO MODERNO DEL ANÁLISIS DE COMPORTAMIENTOS ESTRUCTURALES.

(Mario Paparoni). (16/07/2009)

• Recuento Histórico: La Elipse de Culmann-Richter fué y en ciertos medios europeos es aún parte de la enseñanza de la ingeniería estructural. Fué por mucho tiempo un instrumento de análisis para toda clase de estructuras. En casi todos los textos italianos todavía se la menciona. Si hoy tratásemos de demostrar la pertinencia de esa elipse de Culmann o Elipse de Elasticidad utilizando los argumentos originales de Culmann o Richter, nos encontraríamos con que un 99% de los posibles lectores actuales no podría entender los argumentos de Estática Gráfica y de Geometría Proyectiva que la originaron, por la sencilla razón de que hablaríamos unas “lenguas muertas” con términos de “disciplinas fósiles”. Trataremos entonces de ilustrar su origen en experimentos mentales con principios físicos o, simplemente, en el manejo de resultados de análisis estructurales realizados por métodos matriciales implementados en programas modernos de aceptación general. Esta vía ha sido la seguida por el autor durante el último decenio. En lo que sigue se presenta el panorama clásico que se daba en el texto de Belluzzi (1956) a la Elipse de Elasticidad. Este fue nuestro punto de partida. Es bueno ver cómo se la veía cuando todavía se la usaba profusamente, hace ya varios decenios (Traducción glosada del Autor). • Propiedades de la Elipse de Culmann: Meditemos entonces sobre las siguientes afirmaciones, todas ellas comprobables a través de la resolución de casos-modelo o a través de lo aprendido en los cursos iniciales de Mecánica Racional. 1) “Si suponemos un miembro o una estructura cuya sección terminal (o cimera) se considere Rígida y Plana y a la cual le aplicamos un momento puro, materializado por ejemplo en dos fuerzas paralelas iguales y contrarias situadas a una cierta distancia mutua (un par puro), dicha sección rotará un cierto ángulo alrededor de un punto situado en esa sección plana o fuera de ella, sin que en ese punto ocurran desplazamientos. A ese punto lo llamaremos Centro de Rigidez (o Centro de Torsión). Al cociente entre el valor del par aplicado y el ángulo de giro de la sección lo llamaremos Rigidez Torsional seccional o plantar. (Existencia de un Centro de Rigidez) Al cociente entre una Fuerza y un desplazamiento lo llamamos Rigidez Lineal seccional o plantar.(Es una propiedad direccional) 2) Si aplicamos una fuerza pura contenida en el plano de esa sección terminal, tal que su recta de acción pase por el centro de rigidez anteriormente definido, ese punto (y toda la sección o la planta) se desplazarán sin rotar según una dirección que no necesariamente coincidirá con la dirección de la fuerza

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aplicada. Ello sólo puede ocurrir cuando la fuerza posea una de dos direcciones que llamamos principales (las de los diámetros de las elipses que se nombran a continuación).” 3) “Si aplicamos una fuerza contenida en el plano de la sección terminal y dicha fuerza no pasa por el centro de rigidez, la sección o la planta se trasladará y rotará a la vez, como si hubiese la superposición de los casos (1) y (2). Como sabemos de la cinemática, esa traslación y rotación simultáneas equivalen a un giro alredor de un centro de rotación instantáneo que no puede estar situado sobre la línea de acción de la fuerza aplicada, pues si ello ocurriese, la fuerza aplicada no realizaría trabajo al desplazarse la sección.” 4) “Si repetimos la operación anterior pero esta vez girando un vector fuerza alrededor del un punto fijo cualquiera situado en la línea de acción de esa fuerza inicial, veremos que los centros de giro correspondientes a cada dirección angular se irán alineando sobre una recta, que tendrá una posición y una orientación única para cada ángulo de giro y que esas rectas van cambiando posición y orientación según donde esté cada punto de giro de la fuerza. Esto equivale a decir que hay una relación biunívoca entre las rectas que contienen los centros de giro de la sección y los puntos de aplicación de las fuerzas giratorias. Esa relación es una Antipolaridad, hablando en el idioma de la geometría Proyectiva. La recta donde están los centros de giro es la Antipolar del punto donde se aplica la fuerza rotante. Esa relación es independiente de la magnitud de las fuerzas aplicadas y se asocia a una elipse (de Culmann), la cual depende de la estructura. (Fin de las glosas).”

Veamos ahora qué se sigue de lo dicho más arriba:

5) Es lógico pensar que esa relación biunívoca irá cambiando de acuerdo a las propiedades de cada estructura o viga que estemos analizando u observando. Es también lógico pensar que cuando esas relaciones presenten semejanzas geométricas de algún tipo, estaremos también ante una situación de semejanza estructural de algún tipo. 6) Los textos clásicos de Estructuras que manejaron esta teoría de la Elipse de Elasticidad (o elipse de Culmann-Richter) utilizaron argumentos tomados de la Geometría Proyectiva para indicar que la relación entre la recta que contiene los puntos de giro de la sección terminal de la estructura o viga y el punto en donde aplicamos la fuerza constante giratoria mantienen una relación de antipolaridad que ocurre entre una recta, un punto y una elipse propia de cada caso analizado, y que esa relación se da con una Elipse Real y que esa Elipse es una Elipse de Radios de Giro, la cual puede existir para relaciones entre Áreas Seccionales y Momentos de Inercia Seccionales o entre Momentos de Inercia Polares de Rigideces de Plantas Aporticadas y Rigideces Globales Direccionales de Plantas Aporticadas. (estos últimos son sistemas seccionales que pueden considerarse como reglados y no como areales y no se trataron entonces en los textos de

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enseñanza). Esto quiere decir que los conceptos que se aplican a secciones planas de vigas son trasladables a las plantas de edificios, las cuales sólo difieren de las secciones clásicas de vigas en el hecho de manejar en lugar de diferenciales de áreas, segmentos de líneas (superficies areales vs. superficies regladas). Esos argumentos, para un ingeniero que no haya recibido conocimientos de geometría Proyectiva, una materia muerta en la mayoría de los pensa actuales no europeos, les resultan incomprensibles. 7) Si no queremos utilizar esos argumentos podemos apelar a otros, tomados de trabajos recientes, pertenecientes a esta línea de investigación del autor. 7.1) La existencia de un paraboloide elíptico como superficie de energía del caso de una planta aporticada estable, en lugar de un cilindro parabólico o un paraboloide hiperbólico en el caso de arreglos inestables en la orientación de los pórticos. (Paparoni y Hummelgens, “Un Tratamiento Matemático de la Rigidez Torsional de una Planta de Edificio con Pórticos en Direcciones Arbitrarias” Revista Tekné Número 4, Año 2000, páginas 79 a 85). Esas conicoides representan la cantidad de energía que es necesaria para producir un giro unitario si cambiamos las posiciones de los centros de giro, dejando el resto igual, pues el tradicionalmente llamado centro de rigidez es el punto de energía mínima al girar la planta, es decir el vértice inferior de un paraboloide elíptico, o de una recta basal de un cilindro parabólico o un punto de “silla” de un paraboloide hiperbólico (superficies de energía). Esas figuras contienen todos los casos posibles de fuerzas horizontales aplicables a una planta de edificio, variando sus posiciones y orientaciones. Obviamente, en ingeniería estructural deberíamos trabajar sólo con el caso del paraboloide elíptico, los demás casos son inestables. El caso del Cilindro Parabólico corresponde a una estructura muy larga (en teoría de longitud infinita y con rigideces marcadamente diferentes entre las dos direcciones constructivas). 7.2) Dos TEG de la Unimet (Pedro Jiménez, 2004) y Ucab (Antonio Osteicoechea, 2005) demostraron que las Matrices de Rigidez de una estructura contienen Elipsoides como expresiones matemáticas embebidas dentro de los resultados de las operaciones matriciales que realizamos con las matrices estructurales. Eso era de esperarse, pero no suele mencionarse, o no se menciona en absoluto en los textos de Análisis Matricial de Estructuras que hemos analizado, los cuales se han ocupado cada vez más del cómo hacerlo en lugar del por qué esto ocurre y cómo lo describimos. 7.3) Si buscamos las respuestas de las deflexiones en un punto de un sistema estructural dado, sea continuo o discreto y ante fuerzas de magnitudes constantes y direcciones variables, situadas en un plano, encontraremos que el lugar geométrico de esas deflexiones es una elipse, la elipse de deflexiones, de la cual se pueden deducir elipses de rigidez y elipses de flexibilidad, y de las elipses de rigidez se pueden deducir las elipses de radios de giro al cuadrado, y de éstas, las elipses de radios de giro, que son las únicas que se pueden dibujar con la misma escala sobre la planta de un edificio o sobre la superficie de una sección. Estas transformaciones geométricas son Afines entre sí.

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7.4) Un sistema estructural es direccionalmente isótropo en un plano horizontal si la elipse de deflexiones es una circunferencia y ortótropo si es una elipse. No son posibles formas cuadráticas abiertas, como las parábolas y las hipérbolas si manejamos estructuras estables. La transición de una elipse alargada a una parábola o a una hipérbola indicaría que manejamos una estructura que ya no es estable, su elipse de deflexiones ya no es una figura cerrada. 7.5) Las formas cuadráticas en las estructuras provienen de la capacidad de absorber o almacenar trabajo, si las estructuras son lineales esas formas son forzosamente cuadráticas. La energía es una función cuadrática en las estructuras lineales. 8) Una relación de polaridad definida geométricamente implica analíticamente que hay tres distancias cuyas magnitudes están relacionadas por la siguiente relación: “El producto de dos de ellas es igual al cuadrado de la tercera” por ejemplo, para una sección de una viga, esa relación se suele escribir como

2=ec siendo

2=I/A (Momento de Inercia Seccional / área seccional); e= la

excentricidad de la fuerza y c la distancia del eje baricéntrico al borde de la

sección (usualmente el más alejado), es una propiedad del sistema, su

expresión es P/A(1+ec/para una sección de viga En el caso de una circunferencia, las relaciones polo-polar serían siempre las

siguientes: = radio del círculo; e=distancia desde la recta polar al centro del círculo (también vale para una relación antipolar); c=distancia del polo (o

antipolo) del centro de la circunferencia. es una tensión en un punto dado.

(1+ec/2) es un parámetro adimensional que podemos llamar Factor de Amplificación de Tensiones. En el caso de una elipse, esas relaciones se mantienen pero referidas a diámetros conjugados de elipses. 9) Es interesante notar que las relaciones de polaridad también se mantienen al aplicar transformaciones afines sobre las figuras que se manejen, y una elipse se obtiene de una transformación afín de una circunferencia. Por ello es posible trabajar con circunferencias y luego pasar a una elipse aplicando esas transformaciones, que son ejecutabless en muchos programas de dibujo. 10) Si tenemos una circunferencia y desde un punto externo a ella trazamos dos tangentes a la misma, la recta polar pasa por los puntos de tangencia y el polo es el punto escogido. Si el polo es externo, la polar es secante a la circunferencia, si el polo es interno, la polar es externa, si la polar es tangente a la circunferencia el polo está en el punto de tangencia. El Antipolo es el punto simétricamente opuesto al polo con respecto al centro de la circunferencia. La Antipolar es. a su vez, la simétrica central de la Polar. 11) En toda estructura de comportamiento lineal hay relaciones entre las elipses aquí mencionadas que siguen la ley de Maxwell, al comparar las que se generen

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en puntos recíprocos (Punto de aplicación de la fuerza vs, punto de medición de un desplazamiento). Todas las reaciones estructurales de este tipo son relaciones de afinidad entre las elipses que resulten. 12) Cerramos estas notas definiendo de la manera clásica a la elipse de Culmann: si tenemos una cierta elipse de radios de giro (propia de cada estructuración), o asociada a un cierto miembro o a una sección estructural o a una estructura dada, y dibujable a la misma escala del referente, y trazamos una secante a esa elipse, esa secante está asociada al antipolo correspondiente, el antipolo es el centro de rotación del movimiento que la fuerza induzca sobre la sección o estructura correspondiente y estará fuera de la elipse. Si la recta es tangente, el antipolo está del lado opuesto al punto de tangencia, en el contorno de la elipse. Si la recta está fuera de la elipse, el antipolo estará dentro de la elipse y del lado opuesto al de la recta. Si la recta (fuerza) está en el infinito, el polo estará en el centro de la elipse. Según la visión clásica esa elipse quedaba determinada por unos “pesos elásticos”, los cuales fijaban un “centro de gravedad de los mismos” y unas direcciones principales. Esas elipses casi siempre se determinaban utilizando las rigideces flexionales solamente. Algo parecido “La analogía de columna” se utilizó mucho en los años 50 para diseñar puentes aporticados monovanos con miembros de sección variable, muy utilizados en los cruces a dos niveles en autopistas,. Actualmente este método tampoco se encuentra más en la literatura. Es obvio que al utilizar los modernos programas de computación, todos esos cálculos los realiza hoy día el computador, tomando en cuenta todas las rigideces y todas las regularidades o irregularidades. 13) la única diferencia entre esta visión clásica y la versión moderna que hemos considerado antes aquí, es que la Elipse de Culmann ya no es un instrumento de cálculo, como lo era en su época, sino que, al poder ser determinable con el uso de los modernos programas de computación, se convierte en un instrumento de caracterización, es decir en un descriptor sistémico de la estructura o sección que estudiemos. Ello permite el manejo de los “puntos” resultantes de los “casos de carga estudiados” como pertenecientes a unas funciones conocibles y no a un conjunto nebuloso de datos individuales. 14) No es aceptable la tendencia dominante en el mercado del diseño estructural actual el “ver” la estructura como un simple conjunto de resultados buscados y no como unas ciertas “formas” impuestas por la misma naturaleza de los problemas, las hipótesis y las técnicas de resolución que utilicemos. De esta última manera, el ingeniero crea y no sólo analiza y diseña con rutinas particularizadas para los miembros y las secciones, no para el sistema total.

A). Resultados obtenidos hasta ahora:

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Comenzaremos con los resultados más recientes, los cuales se refieren a la creación de una metodología de diagnóstico, caracterización y optimización de plantas diafragmadas de edificios irregulares, partiendo del análisis directo de la flexotorsión de plantas de edificios. El capítulo del diseño de edificios ante solicitaciones sísmicas torsionales concomitantes con las traslacionales ha sido hasta ahora uno de los aspectos menos claros, más sujetos a correciones en las normas y, también debemos decirlo, poco convincentes, pues no siempre se han manejado en las metodologías propuestas, que vienen y se van, todas las variables que influyen marcadamente en el proplema. Si queremos decirlo de otra manera, se tiende a suponer que el problema del sismo traslacional se sabe resolver satisfactoriamente, y luego se intenta, a través de alguna variable geométrica sencilla de definir, tal como una excentricidad, la caracterización de la Torsión. En otras palabras, se suele suponer que la Torsión y la Flexión son dos cosas superponibles y no el resultado de una combinación de factores, el más olvidado siendo la rigidez torsional de la planta, la cual está íntimamente ligada a las rigideces traslacionales (La configuración del esqueleto estructural). También a veces se ha tomado la posición de suponer que es sólo la forma de la planta, sin tomar en cuenta la estructuración, la que determina la vía de ataque,

Mario Paparoni 16/07/2009

A.2) DESCRIPCIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES RíGIDAS, AFINES, PROYECTIVAS Y PERSPECTIVAS

A causa de los movimientos como figuras rígidas que aplica la geometría euclídea al demostrar sus teoremas, podríamos decir que las transformaciones que induce en sus figuras no existen. Si hay una relación de congruencia, todo punto o está relacionado con sí mismo o con otro punto equivalente desplazado, se preservan además las intersecciones, las colinealidades, las relaciones métricas entre segmentos y los ángulos. Es decir, una figura simplemente se desplaza o rota.y no cambia en absoluto su forma o dimensiones. Cuando pasamos a las transformaciones Afines puede haber cambios de escala diversos entre los ejes coordenados, y éstos pueden dejar de ser ortogonales y tomar cualquier angulación. También puede haber rotaciones y deformaciones de “cortante” (Un rectángulo pasa a ser un paralelogramo con ángulos no rectos) Las relaciones métricas cambian, pero hay correspondencias punto a punto, se preservan las intersecciones de rectas, las colinealidades de puntos y las relaciones entre las partes de un segmento que contenga un punto que lo divida en dos partes. No necesariamente se preservan los ángulos. El paralelismo sí se preserva.

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Las transformaciones perspectivas difieren de las simplemente afines en que no se preservan ni las relaciones métricas, ni las angulaciones, ni los paralelismos, sí se preservan las intersecciones. las colinealidades y las “relaciones de relaciones” métricas entre los segmentos que se forman sobre una recta transformada al colocar cuatro puntos alineados a lo largo de esa recta. Esas relaciones de relaciones permiten reconstruir lo ya transformado. (A veces llamadas las relaciones dobles) Las transformaciones conformes sólo preservan los ángulos de intersección entre dos rectas o dos curvas al operar una transformación que haga pasar una primera imagen a una segunda que sólo se le parece por la preservación de las conectividades. La teoría de la elasticidad avanzada utiliza transformaciones conformes, Las operaciones matriciales que realizamos con las estructuras estables con fines puramente estructurales (análisis estructural) no van más allá de aplicar una afinidad entre fuerzas y deformaciones. Esto lo que quiere decir es que el grafo original de la estructura sin deformar es isomorfo con el grafo de la estructura deformada, es decir que se preservan las conectividades de la red total, y además, que cualquier grupo o función de los desplazamientos nodales es afín con la función de carga. Por ejemplo, un vector fuerza genera un vector desplazamiento (no necesariamente en la misma dirección) y, por ejemplo, una carga rotante con magnitud constante o variable genera una trayectoria de desplazamientos que es afin a la trayectoria de la carga. Si la trayectoria de la carga es circular, la trayectoria de los desplazamientos es también circular o elíptica.

A.3) ALGUNAS PECULIARIDADES ALGEBRAICAS DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS:

Las afirmaciones siguientes provienen del estudio de los libros Applied Analysis de Cornelius Lanczos (1956, reimpresión 1988) y Linear Algebra and Projective Geometry de Reinhold Baer (1952, reimpresión 2005), ambos de la Editorial Dover, New York A3.1) El álgebra lineal que utilizamos en los análisis estructurales sólo produce transformaciones afines. A esta conclusión se puede llegar observando los sistemas de ecuaciones lineales del cálculo matricial de estructuras con los sistemas de ecuaciones lineales de las transformaciones afines. Son totalmente semejantes. Las transformaciones Proyectivas y Perspectivas son semilineales (las dualidades de los teoremas de geometría Proyectiva). Las colineaciones son también parte de las Afinidades. El paralelismo es preservado en las afinidades.

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A3.2) Un par de matrices tales que sus “ejes principales¨ (obtenidos con un proceso de diagonalización) sean paralelos, tienen la conmutabilidad de su mutua multiplicación. (Ello explica por qué algunas de las sucesivas elipses obtenidas en este trabajo se pueden obtener por la inversión directa de sus ejes principales o por otras operaciones tales como la radicación o la transposición.) A3.3) Todo sistema de ecuaciones lineales tiene una cónica, una conicoide o un hiperconicoide asociado. En en el caso de estructuras estables, esas formas cuadráticas son Elípticas cerrradas. Lo laborioso es cómo diagonalizar sus matrices. A3.4) Ningún libro de estructuras se preocupa de estas cosas. Son fundamentalmente destinados a enseñar destrezas, no bases de partida. Queda mucho por hacer tratando de aplicar razonamientos matemáticos nuevos al Análisos Estructural. A3.5) Queda por ver si las transformaciones proyectivas o perspectivas o conformes tienen alguna contrapartida en los cálculos estructurales. En la Teoría clásica de la Elasticidad sí hay casos que podrían entrar dentro de estas categorías. No sabemos con certeza si algún tratamiento de los fenómenos de inestabilidad elástica pueda hacerse equivaler a alguna de estas transformaciones no afines. Lo que sí sabemos es que en estructuras inestables hay casos de conicoides abiertas tales como cilindros parabólicos, paraboloides elípticos y paraboloides Hiperbólicos (Ver Paparoni y Hummelgens, 2000), Sabemos que en Geometría Proyectiva es posible pasar con continuidad de una elipse a una parábola, o a una hipérbola sólo cambiando ligeramente algún parámetro singular (Betty’s Bay. S. Africa. Diciembre 2009. M. Paparoni)

BIBLIOGRAFÍA

Además de referirnos a los trabajos ajenos que sirvieron de camino en este tema y de comentar los libros consultados, mencionaremos algunos de los frutos ya existentes de estas investigaciones, y para ello nos vamos a limitar primero a los Trabajos Especiales de Grado más recientes producidos personalmente o bajo nuestra dirección.. B.1) 2004: Quadratic Forms as Functional Representations of Loading Cases for Seismic Design. 13 Congreso Mundial de Ingeniería Sísmica, Vancouver, Canada, August 1-4 2004, Paper N° 3053 . Publicado en Proceedings del Congreso. M.Paparoni y Daniela Chacón. Trabajo basado en un TEG de la UNIMET. Tutor M.Paparoni. Este Trabajo muestra cómo unos procedimientos numéricos sumamente laboriosos y difíciles de visualizar, los cuales forman parte de cualquier proyecto moderno de edificios, pueden ser manejados exclusivamente con elipses (una forma cuadrática). De este modo, 65 casos de carga se pueden representar con

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una sola elipse determinada por sólo 5 de ellos para el caso sísmico más dos vectores que representan las cargas verticales y la Torsión. *** Este trabajo también contiene gráficos de la conducta de las axialesde columnas bajo solicitaciones rotantes. Son también formas cuadráticas. B.2) Formas Cuadráticas en el Análisis Estructural TEG dirigido por M. Paparoni. Autor: Antonio Osteicoechea, UCAB. Junio del 2006. Este TEG confirma y perfecciona los resultados obtenidos por un TEG anterior realizado en la UNIMET por Pedro Jiménez, Tutor: M. Paparoni, 2004, titulado Extensión del Método Matricial Simplificado en Tres Dimensiones (Miembros Prismáticos rectilíneos). En el Trabajo de Osteicoechea,2006, se logró demostrar, a través de procedimientos algebraicos, manejando en forma simbólica y no en forma numérica las matrices, que TODA matriz de Rigidez (y sus inversas, las Matrices de Flexibilidad) contienen embebidas en sus formulaciones formas cuadráticas cerradas. Específicamente, elipsoides. De acuerdo acomentarios recibidos de colegas italianos en congresos a los cuales he asistido, esta afirmación no parece haber aparecido en publicaciones, en otras palabras, es ORIGINAL y es ÚTIL, pues cada nodo de una estructura, por compleja que sea tiene una relación Fuerza-desplazamiento representable por un Elipsoide orientado de cierta forma en el espacio. La ELIPSE O ELIPSOIDE DE DEFORMACIONES NO ES SÓLO UNA PROPIEDAD DE CADA SISTEMA, SINO QUE APARECE TAMBIÉN EN CADA NODO. *** B.3) Empleo de Formas Cuadráticas y del Cìrculo de Mohr para Cuantificar y Comprender los Efectos de la Distribución Irregular de rigideces en Plantas de Edificios. Conferencia Magistral dictada por invitación en el 2° Encuentro Latinoamercano de Estructuras Prefabricadas. 1er Congreso Internacional. Veracruz, México, 11 al 13 de Octubre del 2006. Este trabajo, hasta ahora, parece ser quizá el único que se ha ocupado de este tema y en esta forma y ha sido publicado en la Internet por la Universidad de Veracruz y por Annipac. He dedicado varias horas a explorar Internet, junto con mis tesistas de la Católica y tal parece que no hay más artículos publicados en la red sobre este tema. Se deduce de esto que el tratamiento es ORIGINAL, y no se tomó de trabajos ajenos. Contiene referencias a varios trabajos anteriores nuestros y constituye una prueba de la originalidad de las relaciones encontradas. *** B.4) Volúmenes de Interacción para Secciones Diseñadas con Tensiones admisibles. Aplicación: Estructuras de Acero. TEG de Alejandra Ortiz Guerra (Febrero del 2008). Tutor: Mario Paparoni. Este TEG generaliza al espacio lo conocido y todavía enseñado en los textos europeos de Resistencia de materiales sobre el concepto de núcleo central de

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una sección cualquiera (plana)de una viga de material homogéneo, es decir la posibilidad de derivar la forma de dicho núcleo utizando la elipse de radios de giro y las antipolares de los vértices salientes del contorno de esa sección, y de allí luego derivar el Volumen de interacción tridimensional que nos indique las capacidades admisibles de dicha sección ante solicitaciones Axiales y Momentos orientados en cualquier azimut relativo a la sección. Este proceso permite prescindir de los tediosos cálculos necesarios para determinar esas capacidades en secciones de Acero. También define a los diagramas de interacción como objetos descriptibles por las propiedades geométricas que deben poseer, con independencia de las metodologías de obtención. *** B.5) Flexo-Torsión en Edificios Monoplantares y sus Elipses de Elasticidad. TEG de la Universidad Metropolitana, Autor: Elizabeth Gonçalves. Tutor: Mario Paparoni. Caracas Julio del 2008. Este TEG se basó en dos TEG anteriores, el de Alicia Aranda y Carolina Medina UCAB. (2007) y el de Pedro Jiménez, UNIMET (2004), ambos tutoreados por M. Paparoni; Se logró desarrollar una Teoría y un Procedimieno Práctico para obtener una serie de seis Elipses (formas cuadráticas) caracterizadoras de una planta de Edificios. La Elipse de Deflexiones, La Elipse de Rigidez, La Elipse de Flexibilidad, La Elipse de Radios de Giro al Cuadrado, La Elipse de radios de giro (elipse de Culmann) y la Elipse de torsión. Además quedó claro que el núcleo central de torsión de una planta es una elipse con segmentos periféricos excluídos limitados por las polares del punto de intersección de la recta normal que va del centro de rigidez de la planta a la traza de cada pórtico que sea externo a la elipse de radios de giro. Esto Resuelve de manera general el problema del manejo de la Torsión Sísmica en el diseño de edificios. *** B.6) “Estudio de las Orientaciones de las Máximas Fuerzas Axiales de Columnas que se Generan en Edificios al Calcularlos con Fuerzas Horizontales Rotantes”. Se buscan diagramas polares del tipo dirección de la fuerza horizontal externa vs respuestas de las columnas, (también son formas cuadráticas, círculos u elipses o rizos, usando diagramas polares) Isabel Müller y Manuela Sáenz. UNIMET 2008. Irabajo especial de Grado. UNIMET, Enero del 2009. Tutor M.Paparoni

BIBLIOGRAFÍA EXTRAIDA DE LA INTERNET, RELACIONADA

CON LOS CONCEPTOS GEOMÉTRICOS QUE HAN SIDO MANEJADOS EN ESTOS TRABAJOS.

Material pertinente a los conceptos de Geometría Euclidiana, Proyectiva y

Afin que se han manejado en estos trabajos: INT.1) Riflettendo sulla vita de Karl Culmann. Umberto Bartisan. Matteo Guardini

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http:// www. tecnologos.it/ Articoli/articoli/numero_001b/CULMANN.asp. (se anexa). *** Artículo de tipo histórico que nos describe cómo era la ingeniería estructural en Europa a fines del siglo XIX y cómo se apoyó inicialmente en los métodos geométricos, en lugar de los métodos analíticos. Culmann aparece como el inventor de la Elipse de Elasticidad. INT.2) http://www.itis meucci.it/html/corradobrogi/VI/VI-071.htm/ L’ellisse d’inerzia pag. 71.Vol 6.. Raggio giratore d’inerzia pág 72. , polarità, polare, poli. Ellisse centrale d’inerzia o di Culmann. pàg. 76. Conica fondamentale, Polare, Autopolarità. Il sistema antipolare. Interesan las páginas de la 71 hasta la 85. Esta información forma parte de los manuscritos docentes del prof. Brogi, del Politécnico de Turín, los cuales contienen una gran cantidad de informaciones atinentes al campo estructural, desde el punto de vista Europeo Clásico. *** http://www.itismeucci.it/html/corradobrogi/indicep.htm INT.3) Torsion und Duktilitätsbedarf bei Hochbauten unter Erdbebeneinwirkung (Torsion y demanda de ductilidad en edificios altos bajo eventos sísmicos) Alöis Sommer. EidgenössischeTechnische Hochschule, Zürich, 2000. Es un excelente trabajo sobre Flexotorsión en plantas de edificios. Se ocupa fundamentalmente de las solicitaciones y de la respuesta global de edificios con paredes. http://e-collection.ethbib.ethz.ch/eserv/eth:24136/eth-24136-01.pdf

LIBROS LEIDOS, CONSULTADOS O ANOTADOS DURANTE LA ELABORACIÓN DE ESTOS TRABAJOS.

El listado siguiente no contiene casi libros de Estructuras, sólo material bibliográfico sobre Geometría, Cónicas, Cuádricas, Álgebra Lineal o temas semejantes. No hemos localizado ningún artículo que toque estos temas de la manera en que lo hemos hecho. Las metodologías seguidas son originales, hasta donde sabemos, ciertamente no son copias o adaptaciones de otros trabajos, son evoluciones y nuevos conocimientos derivados de los viejos principios de la Ingeniería. L.1) Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. GEOMETRY. Félix Klein. Dover Publications Inc. Mineola. New York. English version 1939. Mac Millan NY. Texto muy bien escrito y muy claro en hacer ver que todas las operaciones Matriciales que realizamos en Estructuras tienen su paralelo en las Geometría Afin y limitadamente en la Geometría Proyectiva L.2) Geometría, por Sebastià Xambó Descamps. Alfa Omega Ediciones UPC (Catalunya) (Enero del 2000). Se Ocupa de los Espacios Métricos, Proyectivos y Afines. Maneja bien Cuádricas y Cónicas,

http://www.itis/http://www.itismeucci.it/html/corradobrogi/indicep.htm

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L.3) Geometry, a Comprehensive Course, by Dan Pedoe. Dover Publications Inc. New York, (1970) Se ocupa igualmente de las distintas geometrías. Da una visión global de la materia. L.4) Practical Conic Sections, the Geometric Properties of Ellipses, Parabolas and Hyperbolas. J.W. Downs., Dover Publications Inc. , Mineola New York. 1993 Excelente descripción de algunas aplicaciones de las cónicas en la vida ordinaria. L.5) Introduction to Linear Algebra, Gilbert Strang. Wellesley Cambridge Press. Wellesley Massachussetts. USA. 1998. Excelente tratado que relaciona el álgebra lineal con los Espacios. L.6) Linear Algebra and its Applications. David C. Lay, 2nd edition, (2000), Addison Wellesley. Reading. Mass, USA. Igual que el anterior, enlaza el Álgebra Lineal con la Geometría. L.7) Taschenbuch, Formeln, Regeln, Merksätze. (Fórmulas, Reglas, Definiciones) Manual para el uso de los estudiantes alemanes de Secundaria. Una muestra del nivel exigido allí a nivel de Secundaria. 2006 L.8) Mathemathiques Elementaires. L’Ecole. Otra muestra del nivel de la Secundaria en un país desarrollado. Trata Espacios Métricos, Afines y Proyectivos. (1963) L.9) Scienza delle Costruzioni, Volume Secondo. Odone Belluzzi. La Teoría dell’Ellisse di Elasticità. Capitolo XVII. Zanichelli, Bologna. Agosto 1942. Texto clásico, aún utilizado hoy día en Italia en la enseñanza de las Estructuras, contiene un capitulo entero dedicado ala Elipse de Elasticidad, Sólo se ocupa de Estructuras planas en este aspecto que manejamos. Otros textos Italianos, como el de Colonnetti tienen tratamientos matemáticos más completos pero nunca tan claros como el Belluzzi. También Scienza delle Costruzioni de Luigi Stabilini. Tamburimi. Milano. 1956 L.10) Resistance de Materiaux, Morgan Laredo. Dunod 1970. La theorie des grandes Charpentes pur Bätiments . A pesar de ser un libro dedicado al cálculo de Edificios, utiliza la Elipse de Elasticidad para resolver sólo los mismos problemas elementales de los textos más comunes de Resistencia de Materiales. No menciona en absoluto su posible generalización. L.11) Coordinate Geometry. Luther Pfahler Eisenhart, 1939. Dover N.Y. Un excelente texto con el enfoque geométrico clásico de coordenadas, es decir puntos que generan las demás entidades geométricas.

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L.12) Matrices and Transformations. Anthony J. Pettofrezzo. Dover. NY. 1992 Un libro muy corto que reune los principios y conocimientos básicos para las transformaciones de coordenadas utilizando matrices. L.13) Fundamental Concepts of Geometry. Bruce E. Meserve. Dover Publications Inc. New York. (1955 original, 1989 reedición). Este libro, muy amplio en su temática, tiene los conceptos geométricos generales muy bien expresados y de él se pueden obtener conclusiones tales como esta: La Polaridad es una propiedad geométrica que implica unicidad de soluciones para un dado sistema. El sistema de ecuaciones lineales que describa un comportamiento estructural tiene exactamente las mismas propiedades invariantes que un determinado sistema geométrico. También contiene excelentes indicaciones de cómo manejar las polaridades de una cónica, sea por vía geométrica, sea por vía analítica. Páginas 135 a 144. Mario Paparoni, Nkosi 20 de Septiembre del 2008.

AVANCE DE LOS RESULTADOS HASTA AHORA OBTENIDOS DEL TEG DE LA UCAB RALIZADO POR OSCAR PEÑA Y

OSDALY PAZ Hasta el 2 de junio del 2010 hemos alcanzado las siguientes conclusiones u observaciones

1) Se ha comprobado, a través del empleo del SAP 2000 la coincidencia numérica de los factores de amplificación obtenidos a través del empleo de la Elipse de Culmann y también los determinados con el uso del núcleo central elaborado a través de método de las polares.

2) Persiste una discrepancia muy pequeña en algunos casos entre esos factores, cuyo origen está en que la definición del factor de amplificación corresponde a un pórtico aislado y cuando el pórtico está asociado a otros a través de la pertenencia común de alguna o algunas columnas a otros pórticos, especialmente los no ortogonales, resulta difícil decidir qué tipo de “partición de pertenencia” hacer y por tanto de “partición de cortantes” se deba adoptar. Estos errores , en los ejemplos realizados han sido del orden de un 3% o menos.

3) Las Elipses de Culmann correspondientes a un ejemplo de una torre cuadrangular sencilla, con pórticos periféricos y vigas de dimensiones diferentes en cada dirección, presenta un comportamiento que intuitivamente no se esperaba, pues las elipses crecen en tamaño con la altura de las plantas. Esto se debe a que la rigidez torsional decae casi

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linealmente con la altura y en cambio la rigidez flexional decae con la altura según una función curvilínea cóncava hacia adentro, por ello los ejes principales de las elipses, que resultan de los cocientes entre las rigideces torsionales y las rigideces lineales, crecen con la altura. Esto implica que hay una menor influencia de las excentricidades torsionales en los pisos superiores.

4) Hemos encontrado otro resultado inesperado, en un edificio rectangular con todos los pórticos ortogonales entre sí y al cual se le añada un “escalón” lateral igualmente estructurado en uno solo de sus extremos, se observa un incremento de magnitudes y un cambio en la orientación de los ejes principales con la altura, poniendo entonces en duda la creencia sobre la coincidencia de las direcciones principales con las direcciones de los pórticos ortogonales. También los centros de rotación cambian de lugar, aunque todo ello moderadamente.

5) Hay una tendencia clara a que las elipses de Culmann sean más cercanas a una circunferencia en el primer piso de una estructura alta y esbelta que en las plantas superiores. Esto se debe a la importante influencia de las rigideces de las columnas basales, las cuales las suponemos como empotradas y suelen parecerse entre sí (el modelo tiene también vigas diferentes en cada una de las direcciones)

6) Las relaciones que se originan del empleo de las Elipses de Culmann se pueden también asociar al empleo de operaciones matriciales no Cayleanas entre la matriz de rigidez diagonal torsional del edificio y la matriz de rigidez diagonal lateral. Como era de Esperarse, las viejas metodologías tienen relación con los métodos matriciales. Esta parte no se ha estudiado aún a fondo, pero puede verse que hay una clara relación, como era de esperarse dada la dualidad entre las metodologías geométricas y las metodologías analíticas.

7) Queda por delante la realización de un catálogo amplio de estructuraciones normales y de estructuraciones extremas tal que nos permita adquirir sensibilidad sobre las cualidades o debilidades de estructuraciones en uso.

8) Se pudo comprobar que las magnitudes de los ejes principales de las elipses de Culmann de cada planta se pueden obtener directamente de los sucesivos cocientes entre los términos de la Matriz Diagonal de Rigideces torsionales y los términos de la matriz de rigidez diagonal reducida de rigideces laterales. Si se ha trabajado siempre con las rigideces principales se obtienen directamente, por división simple. Si en cambio se trabaja con direcciones arbitrarias, se obtendrán parejas de ejes conjugados de cada elipse, de los cuales se pueden deducir algebraicamente los ejes principales. Esta conclusión muestra nuevamente el que los caminos geométricos y los caminos analíticos convergen, sólo que en el caso que manejamos, la vía gométrica ha sido la mas expedita.

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EPÍLOGO

Como comentario final a este trabajo, el Autor desea remarcar los conceptos originarios de la elipse de Culmann, los cuales no deben perderse de vista al tratar de aplicarla al Análisis Estructural 1) La Elipse de Culmann es un ente geométrico, no es un ente mecánico, aunque pueda relacionarse con otras elipses aplicables a problemas mecánicos o estructurales. 2) Rigurosamente hablando, ella establece la posibilidad de estudiar los movimientos de un lámina rígida que pueda actuar como un cinematismo, si es libre de moverse sin fricción, o bien si esa lámina en lugar de poder moverse libremente estuviese vinculada a puntos fijos a través de elementos elásticos, tales como resortes o elementos elásticos deformables. Tales como pórticos, vigas o columnas. 3) Tal cinematismo, libre o capaz de movimientos elásticamente controlados, sirve para una sola cosa: poder saber donde está el centro de giro instantáneo de ese cinematismo (una lámina estructural) si provocamos un desplazamiento en cualquier punto en cualquier dirección y ese punto se encuentre dentro de la lámina o ligado rígidamente a ella. 4) Una vez conocido ese centro de rotación instantáneo, podremos, a traves de métodos puramente geométricos (o sus equivalentes analíticos), conocer los movimientos (desplazamientos relativos) de cualesquier punto situado en el plano de la lámina estructural. 5) Sólo a través del conocimiento de esos desplazamientos y del conocimiento de sus relaciones mecànicas con la estructura podremos convertir dichos desplazamientos en fuerzas. También con el empleo de Parámetros Adimensionales, por ejemplo, los Factores de Amplificación Torsional. 6) La Elipse de Culmann, una vez determinada, se convierte entonces en un algoritmo de cálculo del método de los desplazamientos, sin perder su carácter esencialmente geométrico. 7) Sus ventajas de uso están en su visibilidad, su escala coincidente con la escala de los planos estructurales y el uso posible y conveniente de los métodos gráficos (polaridades) para resolver cierto tipo de problemas, 8) Todo esto guarda una íntima relación con el hecho de que los sistemas de ecuaciones lineales que empleamos para analizar las estructuras de comportamiento lineal, que sean estables, tienen siempre una cónica cerrada (una elipse) asociada a cada sistema. 9) La Elipse de Culmann no es por tanto, una metodología rara, nueva o extraña. Es simplemente un método de las deformaciones sistémico de tipo geométrico, con sus implicaciones propias y sus ventajas o límites propios. M. Paparoni, 29 de Junio del 2010. Nkosi