LA ECUACIN DEL CALOR DE FOURIER: RESOLUCIN MEDIANTE MTODOS DE ANLISIS EN VARIABLE REAL Y EN VARIABLE COMPLEJAMara del Carmen Ibarraa *aFacultad de Ingeniera, UNaM; J. M. Rosas 325, CP 3360, Ober, Misiones. *03755-422170, ibarra@fio.unam.edu.arResumenEsta presentacin forma parte del proyecto de investigacin: Matemtica Aplicada para Carreras de Ingeniera Diseo e Implementacin de Propuestas Didcticas Contextualizadas actualmente en desarrollo en la Facultad de Ingeniera de la UNaM, cuyo objetivo principal consiste en la elaboracin de material didctico para el abordaje de una Matemtica en Contexto para Ingeniera, donde se asocia la disciplina con reas especficas de la carrera a travs de problemas interdisciplinarios, de manera que el estudiante logre apreciar la insercin transversal de la Matemtica en su carrera, as como su potencial para el planteo y resolucin de modelos analticos que representen situaciones y/o problemas reales. En esta ocasin se presenta La Ecuacin del Calor de Fourier, que analiza la transferencia de calor en el interior de cuerpos slidos y cuyo modelo matemtico consiste en una Ecuacin Diferencial Parcial de segundo orden, que puede ser resuelta por mtodos del Anlisis Real y tambin del Anlisis Complejo; desde ambas perspectivas se presenta el tema. La Ecuacin del Calor es especialmente rica en aplicaciones de la fsica matemtica y adems su contexto histrico es sumamente interesante, pues permite al estudiante apreciar la forma en que se fueron construyendo los cimientos de la Teora Analtica del Calor y cmo destacados matemticos y fsicos de la poca (Siglos XVIII y XIX) fueron haciendo sus aportes.Palabras clave: Matemtica en Contexto, Ingeniera, Ecuaciones Diferenciales Parciales, Ecuacin del Calor, Series de Fourier.IntroduccinEsta presentacin forma parte de la produccin del Proyecto de Investigacin Matemtica Aplicada para Carreras de Ingeniera Diseo e Implementacin de Propuestas Didcticas Contextualizadas, actualmente en desarrollo en la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional de Misiones (FI-UNaM). El proyecto tiene como principal objetivo el anlisis del rol de la Matemtica en el mapa curricular de la carrera (en las especialidades Electromecnica, Electrnica, Civil, Industrial y afines), su vinculacin con las dems reas y su insercin en contextos especficos de la Ingeniera; desde aqu se propone el diseo y elaboracin de material didctico que contemple modelos matemticos de situaciones y/o problemas de distintas disciplinas como Fsica, Mecnica, Termodinmica, Electrnica , as mediante el planteo y resolucin de dichos modelos, el estudiante podr apreciar la insercin de la matemtica en su carrera y la vinculacin con las reas especficas de su futura profesin; tambin se considera de suma importancia el anlisis e interpretacin de las soluciones encontradas. De esta manera a travs de problemas interdisciplinarios se pretende que el estudiante logre apreciar el carcter transversal de la Matemtica en el contexto de la Ingeniera.La Matemtica es uno de los ejes principales de la formacin del Ciclo Bsico en carreras de Ingeniera y los estudiantes estn vidos de aplicar los conocimientos matemticos adquiridos en los primeros tramos de la carrera a situaciones y/o problemas reales, es as que la disciplina despliega su verdadero potencial cuando se la presenta vinculada a reas especficas de la Ingeniera. En cambio si las asignaturas del rea matemtica se dictan aisladas de las dems materias, se corre el riesgo de decepcionar al alumno, quien la considerar un obstculo que debe sobrepasar, para llegar al Ciclo Superior, donde recin podr abordar temas de su inters; para que esta situacin no tenga lugar es necesario presentar una Matemtica en Contexto, donde adems del indiscutido carcter formativo y analtico intrnseco de esta ciencia, se deje en evidencia su potencial para el planteo y resolucin de problemas y/o situaciones propias de la Ingeniera. Desde este punto de vista la presente investigacin se plantea desde la Ctedra de Matemtica Aplicada de la FI-UNaM, ubicada en el cuarto semestre de la carrera, all se reciben alumnos que ya han cursado las asignaturas bsicas de Matemtica, como1

Clculo y Algebra, pero adems en su trayecto curricular han cursado (o estn hacindolo) asignaturas de otras reas como Fsica, Mecnica, Termodinmica y Electrnica bsica, lo que permite la presentacin y discusin de ejemplos y/o problemas inherentes a estas disciplinas, tratados desde un punto de vista analtico mediante la Matemtica. As se han seleccionado algunos ejemplos y/o problemas interdisciplinarios, uno de ellos es la Ecuacin del Calor de Fourier, en la cual se plantea un modelo fsico matemtico para la conduccin del calor en cuerpos slidos y al cual se refiere esta presentacin.Contexto histricoLa Ecuacin del Calor es apropiada para el abordaje de una Matemtica Aplicada al contexto de carreras de Ingeniera pues involucra conceptos inherentes a disciplinas como Fsica y Termodinmica; de manera que es terreno frtil para presentar la Matemtica vinculada a reas propias de la Ingeniera; adems los conceptos matemticos asociados al planteo y resolucin de esta ecuacin, son de una riqueza y un nivel de complejidad interesantes, ya que entran en escena Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), Series de Fourier, Anlisis Real y Anlisis Complejo; sobre el tratamiento analtico de cada una de estas cuestiones volveremos ms adelante, ahora vamos a hacer un breve recorrido por la Historia de las Matemticas, para ver cmo se fue gestando la Ecuacin del Calor y los aportes que hicieron los matemticos y fsicos ms destacados de la poca (Siglos XVIII y XIX).No estara completa la gnesis de la Ecuacin del Calor si no hiciramos referencia a su gran predecesora: La Ecuacin de la Cuerda Vibrante ( Ecuacin de Onda), que plantea la forma que adoptar la funcin y(x,t) que representa el desplazamiento vertical en funcin del tiempo de cada punto (ubicado en la abscisa x) de una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, siendo dicha cuerda apartada en el instante inicial de su posicin de equilibrio y adquiriendo as la forma de una funcin continua y(x,0) = f(x). Encontrar el modelo matemtico que resuelva el Problema de la Cuerda Vibrante data de principios del Siglo XVIII y de l se han ocupado matemticos y fsicos clebres. Uno de los primeros en trabajar en el tema ha sido el afamado matemtico suizo Johann Bernoulli (1667-1748) quien en 1727 propuso una solucin, que si bien no era del todo incorrecta, careca de la generalidad necesaria; en 1746 el matemtico francs Jean le Rond DAlembert (1717-1783) encontrd2y82ydondea2el modelo matemtico que representaba este fenmeno, consistente en la EDP:d-te2a es una constante que depende de las caractersticas fsicas de la cuerda. DAlembert adems propuso una solucin para esta ecuacin, de la forma: y(x,t) = 1/2 Y(x-at) + f(x + at)'_; esta solucin consiste en la superposicin de dos ondas viajeras a travs de la cuerda, en direcciones opuestas. En 1749, el destacado matemtico suizo Leonhard Euler (1707-1783) tambin present sus aportes y coincidi en gran parte con la solucin de DAlembert, pero aadiendo un carcter ms general a la solucin y admitiendo que la funcin f(x) podra presentar puntos no diferenciables incluso discontinuidades finitas, es decir continua a tramos. La solucin de DAlembert tiene un carcter netamente matemtico, pero no aporta demasiado acerca de la cuestin fsica del fenmeno; es as que los fsicos y matemticos de la poca continuaron trabajando para hallar una solucin ms satisfactoria. As dando continuidad a los trabajos de su padre, Daniel Bernoulli (1700-1782) en 1753 present otra'Kka\ fnkx^cos ^1 sen ^^ , donde losLLsolucin a la Ecuacin de la Cuerda, de la forma: y(x,t) = Y,bkk = 1coeficientes bk dependen de las condiciones iniciales. As, segn Bernoulli la cuerda oscila simultneamente con varias frecuencias, mediante la superposicin de ondas senoidales y cosenoidales, planteando de esta manera la posibilidad de desarrollar funciones en series trigonomtricas. Esta solucin es mucho ms significativa desde el punto de vista fsico que la de DAlembert y explica los distintos armnicos que se producen en la vibracin de las cuerdas de los instrumentos musicales; sucede que Bernoulli adems de ser matemtico, tambin se dedicaba a la2

Fsica y a la Msica. An siendo correcta la solucin de Bernoulli, gener varias crticas por parte de sus colegas, en particular de DAlembert y Euler, que se rehusaban a admitir que una funcin general pudiera ser expresada en trminos de series infinitas de funciones trigonomtricas. A pesar de todas las crticas, Bernoulli estaba en lo correcto y su propuesta de desarrollar en series trigonomtricas funciones arbitrarias, sera retomada ms tarde por Fourier y Dirichlet, en cuyos trabajos constan las bases analticas que demuestran la posibilidad de dichas expansiones.El matemtico y fsico francs Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue pionero en el estudio de la transferencia del calor en slidos y fue quien dedujo la denominada Ecuacin del Calor, que

consiste en una EDP cuya versin tridimensional es:donde u(x,y,z,t) representa la temperatura en cada punto del interior del slido en cada instante de tiempo y a es una constante que depende del material. Fourier present en 1807 los resultados de sus investigaciones a la Academia de Ciencias de Pars y fue evaluado por destacadas personalidades, entre ellos Pierre Simon Laplace (1749-1827) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813); pero el trabajo no tuvo buena aceptacin y recibi muchas crticas, entre ellas la falta de rigurosidad en los fundamentos analticos - a pesar que los resultados coincidan con las observaciones empricas- y otra cuestin muy controversial fue la propuesta de Fourier de expandir en series trigonomtricas una funcin arbitraria; l afirmaba que una funcin f(x) poda desarrollarse como:

/(*) a0 -]T | cos(ix)+bk sen(kx)\n y encontr tambin las expresiones para calcular loscoeficientes ak y bk; son las que actualmente se conocen como Series de Fourier. Si bien la expansin en series trigonomtricas no fue una idea original de Fourier (ya hemos visto que Daniel Bernoulli varias dcadas antes ya las haba propuesto) el verdadero mrito de Fourier ha sido encontrar el modelo matemtico correcto para la conduccin del calor, desarrollar el Mtodo de Separacin de Variables para resolver una EDP y encontrar su solucin mediante la aplicacin de series trigonomtricas. Pese a las controversias generadas por el trabajo de Fourier, los integrantes de la Academia de Pars no pudieron dejar de reconocer la relevancia del campo de estudio y as decidieron que la temtica para el Gran Premio de la Academia para 1812 sera la propagacin del calor en cuerpos slidos; por supuesto Fourier se present y gan el Premio, pero decidieron que su trabajo no sera publicado en las Memorias de la Academia, por las razones citadas anteriormente. A pesar del traspi, Fourier continu trabajando tenazmente, mejorando y ampliando su teora y en 1822 public su obra Thorie Analytique de la Chaleur; al poco tiempo fue nombrado Secretario de la Academia y entonces consigui publicar su trabajo de 1807 - prcticamente sin cambio alguno- en las Memorias de la Academia de 1826.Fourier inaugur un campo frtil de trabajo para fsicos y matemticos a principios del Siglo XIX con su Teora Analtica del Calor y sus desarrollos en series trigonomtricas; varias personalidades de la ciencia continuaron sus trabajos, entre los cuales cabe destacar al matemtico alemn Johann P: Lejeune Dirichlet (1805-1859), quien en 1829 dio una demostracin rigurosa de la convergencia de las Series de Fourier para funciones generales, an las continuas por tramos. Recin entonces los trabajos de Fourier y D. Bernoulli fueron reconocidos y aceptados plenamente.Joseph Fourier es considerado uno de los ms grandes matemticos aplicados de la historia y su Teora Analtica del Calor es reconocida como uno de los pilares de la Fsica Terica; adems los aportes de las Series y las Transformadas de Fourier a distintas ramas de la Ingeniera son indiscutibles.3

Un retrato de Joseph Fourier y la portada de su obra Thorie Analytique de la Chaleur (1822)Materiales y MtodosA partir de esta seccin abordaremos especficamente la Ecuacin del Calor de Fourier, la cual consiste en una EDP que trataremos en sus versiones unidimensional y bidimensional; la resolucin de estas ecuaciones pueden realizarse utilizando el Anlisis Real y es ah donde aparecen las Series de Fourier como tambin desde el Anlisis Complejo. Segn ya se ha expresado, esta presentacin se encuentra en el marco de un proyecto de investigacin actualmente en desarrollo en la FI-UNaM, en la ctedra de Matemtica Aplicada, ubicada en el cuarto semestre de carrera y perteneciente al Ciclo Comn, donde se recibe a alumnos que ya han cursado asignaturas bsicas de Matemtica, Fsica y Qumica, y poseen conocimientos sobre Clculo Diferencial e Integral en una y varias Variables Reales. En la asignatura Matemtica Aplicada 1 se abordan Funciones en Variable Compleja, por lo cual la posibilidad de resolver EDP mediante elementos de Anlisis Complejo es sumamente interesante a efectos de mostrar la utilidad de estas herramientas en problemas concretos. Adems en este cuarto semestre de carrera, los alumnos cursan asignaturas en reas como Mecnica y Termodinmica, que permiten contextualizar la Matemtica en disciplinas directamente vinculadas con la carrera al brindar al estudiante los conocimientos bsicos para comprender el planteo, resolucin e interpretacin de estos problemas y/o ejemplos de aplicacin.A continuacin se presenta la Gua Didctica, material elaborado por la ctedra y con el cual se trabaja en clases terico prcticas; esta Gua consta de siete secciones. Se inicia la Seccin I con una breve caracterizacin de los principales modelos fsicos representados a travs de EDP, para luego abordar en la Seccin II la Ecuacin del Calor, haciendo una deduccin de su versin unidimensional (conduccin del calor en una barra delgada), para despus plantear en la Seccin III el Modelo con Condiciones Iniciales y de Frontera, que se resuelve desde el Anlisis Real en las Secciones IV y V mediante el Mtodo de Separacin de Variables y Series de Fourier (temas que el alumno ya ha visto en asignaturas previas), tratndose para condiciones homogneas y no homogneas. En la Seccin VI se plantea el caso bidimensional de la Ecuacin del Calor (conduccin del calor en una placa), que luego se resuelve mediante Anlisis Complejo, y as entran en escena varios de los conceptos desarrollados previamente en la asignatura, como funciones armnicas y analticas, condiciones de diferenciabilidad y Transformaciones (Mapeo) en el plano complejo; este enfoque es particularmente interesante porque trae a escena conceptos como Gradiente y Curvas Ortogonales (temas vistos en asignaturas previas) y los aplica en el contexto fsico; se completa con la resolucin de un ejemplo y se finaliza en la Seccin VII con algunas actividades propuestas para el alumno.Dada la extensin y complejidad del tema no se pretende hacer un tratamiento exhaustivo del mismo, lo cual adems escapa a los objetivos de la asignatura; se anhela en cambio, presentar una Matemtica en Contexto, que despierte el inters de los alumnos y les permita visualizar algunas aplicaciones de esta disciplina en lo que ser su futura profesin. Existe un objetivo an ms ambicioso que4

perseguimos los docentes que emprendimos este proyecto y es desarrollar e alumnos el espritu de investigacin. incentivar en nuestrosGua DidcticaSugerencia: para una mejor comprensin de los temas desarrollados en la gua y un mejor aprovechamiento de la misma, se recomienda repasar EDO y Series de Fourier.I. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales Parciales LinealesLas Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) al igual que las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) se clasifican como lineales si la variable dependiente y todas sus derivadas aparecen elevadas a la primera potencia. Sea u(x,y) una funcin de dos variables independientes, la forma general de una-.2 ?2-.2-.-.EDP lineal de segundo orden ser:A + B+ C + D +E + Fu = G2dxdydx2Sxdy dyLas EDP lineales de segundo orden revisten una importancia especial en Ingeniera, ya que representan modelos matemticos de varios fenmenos fsicos; las tres ms destacadas son:du d2uaEcuacin de calor unidimensionaldt8u dt2 82udx2dx2a2d2uEcuacin de Onda0Ecuacin de Laplace en dos dimensionesdx2 dy2Las EDP se pueden resolver por mtodos analticos numricos; entre los primeros se encuentra la separacin de variables, donde se plantea una solucin del tipo: u(x,t) = X(x) T(t), de manera que se transforma la EDP de segundo orden en dos EDOs.II. La Ecuacin del Calor unidimensionalSea una varilla delgada de longitud L, ubicada a lo largo del eje x y sea u(x,t) la funcin de temperatura en cada punto de la misma y en cualquier instante t; en este modelo se considera que la temperatura en una seccin transversal A, es la misma para todos sus puntos; dependiendo solamente de su posicin en x. Se considera as un elemento comprendido entre dos secciones ubicadas en x y (x + x). Si la varilla tiene las siguientes caractersticas: -Es homognea, es decir densidad constante: -Calor especfico c y conductividad trmica k constantes -No hay fuentes de calor en su interior, ni escapa calor al medio (aislada)La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un elemento de masa m en una cantidad u viene dada por:(1)(2)Q = m c u = A x c u El flujo trmico que ingresa al elemento es:Qt=-kA = -kAu(x,t) dxxy el flujo saliente: Qt = - k A ux(x + Ax, t)de manera que el flujo neto en el elemento de varilla considerado ser:(3)kA[ux(x+Ax,t)-ux(x,t)]Derivando la expresin (1) e igualando a (3), resulta:5

k (ux(x+Ax,t)-ux(x,t)= utpeAxsi ahora se plantea el lmite cuando Ax -> 0, se llega a la ecuacin de calor unidimensional(4)du = a^k P cdt a sx2donde el coeficiente a =

En versin bidimensional de la ecuacin es: (5)se denomina difusividad trmica.III. Condiciones iniciales y de fronteraPara encontrar una solucin a la EDP (4 - 5) es necesario especificar adems condiciones iniciales (CI) y condiciones de frontera (CF). Las CI denotan la distribucin de temperatura en el instante inicial (t=0) y en el caso unidimensional tendra la forma u(x,0) = f(x). Las CF indican las restricciones que debe satisfacer la funcin de temperatura sus derivadas, en los bordes fronteras de la regin; en el caso unidimensional podra ser, por ejemplo:[u(of) = T1\(du/ dx)x =0 = 0\u (L,t) = T2[(du / dx)x =L=0As, resolver una EDP, sujeta a CI y CF, constituye un Problema con Valores en la Frontera (PVF).IV. Solucin de la Ecuacin de Calor mediante separacin de variablesEn este ejemplo se busca determinar la distribucin de temperatura u(x,t) en una varilla de longitud L, con temperatura inicial f(x) y cuyos extremos se mantienen a temperatura constante nula; resulta as elsiguiente PVF: 82ududt 8x 2 u(0,t) = u(L,t) u(x,0) = f(x) 0 0