Calculo Diferencial e Integral I

La Derivada

(Primera parte) Ciclo escolar 2014-2015

Rectas Tangentes a Curvas • Actividad. Grafique la función

𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 2 y encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (0,2). – Del curso de geometría analítica;

para hallar la ecuación de una recta son necesarios un punto en la recta y la pendiente. Como el punto ya lo tenemos, el problema siguiente es encontrar la pendiente.

– La idea es primero auxiliarse en rectas que pasen por el punto (0,2) y que pasen también por otro punto de la parábola (rectas secantes), e ir acercando esos puntos al punto fijo (0,2). Esto es nuevamente la definición intuitiva de límite.

– Es decir, la pendiente de la recta

secante es

𝑚 =𝑦 − 2

𝑥 − 0=

𝑦 − 2

𝑥

Rectas Tangentes a Curvas – Y la pendiente de la recta

tangente es

𝑚𝑡 = lim𝑥→0

𝑦 − 2

𝑥 − 0

= lim𝑥→0

(𝑥2 − 2𝑥 + 2) − 2

𝑥

= lim𝑥→0

𝑥2 − 2𝑥

𝑥

= lim𝑥→0

𝑥 𝑥 − 2

𝑥= lim

𝑥→0𝑥 − 2 = 0 − 2

= −2

– Por lo que la ecuación de la recta es

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑡 𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 2 = −2 𝑥 − 0

𝑦 − 2 = −2𝑥 𝑦 = −2𝑥 + 2

Derivada puntual como límite.

• Definicion-Notacion. La derivada puntual de una función 𝑦 = 𝑓 𝑥 en 𝑥0 se define y denota como

𝑓’(𝑥0) = lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0

𝑥 − 𝑥0

Ejemplo • Escriba aquí la ecuación. Calcule la

derivada puntual de 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 1 cuando 𝑥0 = 1

𝑓′ 1 = lim𝑥→1

𝑓 𝑥 − 𝑓 1

𝑥 − 1

= lim𝑥→1

𝑥2 + 3𝑥 − 1 − 12 + 3 1 − 1

𝑥 − 1

= lim𝑥→1

𝑥2 + 3𝑥 − 1 − 3

𝑥 − 1

= lim𝑥→1

𝑥2 + 3𝑥 − 4

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

𝑥 + 4 𝑥 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1𝑥 + 4 = 1 + 4 = 5

𝑓’ 1 = 5