La decisione sull'inseminazione degli uragani - teoria statistica delle decisioni
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“THE DECISION TO SEED HURRICANES”
Corso di Laurea Magistrale in Scienze Statistiche
Esame di Teoria Statistica delle Decisioni
A.A. 2008/2009
Il caso
R.H. Simpson suggerisce di usare l’inseminazione (cloud seeding) per mitigare la forza distruttiva degli uragani.
Milioni di dollari: è l’ammontare di danni materiali causati da un uragano annualmente.
Il caso
Varata una legge sull’inseminazione degli uragani: il seeding è permesso se c’è una probabilità inferiore al 10% che, entro 18 ore, il centro dell’uragano arrivi a meno di 50 miglia da un’area territoriale abitata.
Il caso
Se un uragano inseminato causasse un grande ammontare di danni a causa di modificazioni naturali avvenute dopo l’inseminazione, potrebbe risultarne una forte reazione di disapprovazione da parte dell’ opinione pubblica, che ne attribuirebbe la responsabilità al governo in carica che ha dato l’autorizzazione ad inseminare.
Il caso
trade off tra l’accettare le responsabilità derivanti dal seeding e le più alte probabilità di danno se si decide di non inseminare
Il metodo
Approccio : considerare un uragano d’invenzione, che minaccia un’area costiera abitata, ed analizzare la decisione di inseminare o non inseminare lo stesso a 12 ore dal suo arrivo sopra l’area.
Fonti di informazione : quelle a priori, derivanti da studi sugli uragani fatti in passato e quelle sperimentali, ricavate da due esperimenti indipendenti sull’uragano Debbie.
Metodologia : analisi in forma normale (Teoria statistica bayesiana delle decisioni)
Il metodo
Azioni• Inseminare• Non inseminare
Stati di naturaVariazioni intensità dell’uragano (misurata con la massima velocità superficiale del vento)
Conseguenze• Danni materiali• Costi di responsabilità governativa
Nodo decisionale:
Seed o no seed?
Nodo aleatorio:
Variazione intensità uragano
seed
no seed
Conseguenze
• Danni materiali
• Responsabilità governativa
• Danni materiali
• Responsabilità governativa
Il metodo
Distribuzioni degli Stati di natura
%)6.15,0(Nw
solo in un caso su sei la velocità di un uragano che viaggia a 100 miglia all’ora diventerà minore di 85 o maggiore di 115 esclusivamente in base a modificazioni naturali.
A determinare la variazione della massima velocità superficiale del vento saranno solo le modificazioni naturali :
non ci sono variazioni tendenziali della velocità
utilizzando alcune ipotesi di base, senza forzature
Distribuzioni degli Stati di natura
H1: Ipotesi benefica. L’intensità dell’uragano, in media, si riduce
H2: Ipotesi nulla. L’intensità dell’uragano, in media, resta costante
H3: Ipotesi dannosa. L’intensità dell’uragano, in media, aumenta
Distribuzioni degli Stati di natura
Ipotesi nulla il trattamento non ha avuto alcun effetto
%)6.15,0(|' 2 NHw
ww '
Distribuzioni degli Stati di natura
Ipotesi benefica l’incertezza sulle fluttuazioni si combina con la presenza della variazione naturale
%)6.18%,85(|' 1 NHw
velocità tende a diminuire
Distribuzioni degli Stati di natura
Ipotesi dannosa l’incertezza sulle fluttuazioni si combina con la presenza della variazione naturale
velocità tende ad aumentare
%)6.18%,110(|' 3 NHw
Distribuzioni degli Stati di natura
3
1
)()|'()'(i
ii HpHwpwp
Dalla legge delle probabilità composte:
Bisogna assegnare le probabilità alle 3 ipotesi
Distribuzioni degli Stati di natura
Formula di Bayes
)(
)()|()|(
up
HpHupuHp ii
i
Vettore delle massime velocità superficiali del vento OSSERVATE
Distribuzioni degli Stati di natura
probabilità a priori
15.0)( 1 Hp
75.0)( 2 Hp
.10.0)( 3 Hp
assegnate considerando che gli scienziati ritenevano che l’inseminazione non sortisse alcun effetto, ma che se ci fosse stato un qualsiasi effetto, esso sarebbe stato più facilmente di riduzione piuttosto che di aumento della velocità.
)( iHp
Distribuzioni degli Stati di natura
informazioni sperimentali
Due esperimenti, condotti sull’uragano Debbie nel 1969.
Si osservano riduzioni della velocità massima superficiale del vento successive ad un’inseminazione pari al 31% ed al 15% .
Distribuzioni degli Stati di natura
funzione di densità di probabilità per i risultati dell’esperimento
)|( iHup
p(69%,85%| H1)=p(69%| H1) p(85%| H1)= 3.21
p(69%,85%| H1)=p(69%| H1) p(85%| H1)= 3.21
p(69%,85%| H2)=0.61 p(69%,85%| H2)=0.61
p(69%,85%| H3)=0.173 p(69%,85%| H3)=0.173
Ottenute confrontando i risultati dell’esperimento con le distribuzioni delle 3 ipotesi precedentemente calcolate
Distribuzioni degli Stati di natura
probabilità a posteriori )|( uHp i
49.0956.0
15.0*21.3)|( 1 uHp
49.0956.0
75.0*61.0)|( 2 uHp
02.0956.0
10.0*173.0)|( 3 uHp
w’: intensità
uragano inseminato
w: intensità uragano non inseminato
P(W>w)
w= intensità dell’uragano a 12 ore dalla decisione sull’inseminazione (%)
Distribuzioni degli Stati di natura
dominanza stocastica dell’alternativa seeding
Inserimento delle conseguenze nel modello
21
cwcd danni in milioni di dollari costanti empiriche
determinate utilizzando i dati a disposizione
distribuzione di probabilità dei danni: anche in questo caso l’alternativa seeding domina l’altra: un uragano inseminato causa meno danni di uno non inseminato
Inserimento delle conseguenze nel modello
Intervallo di variazione della
velocità del vento
Valore rappresentativo
nell’approssimazione discreta (%)
Probabilità che la variazione del vento sarà nell’intervallo
se inseminato se non inseminato
più del 25% +32 0.038 0.054
dal 10% al 25% +16 0.143 0.206
dal -10% al 10% 0 0.392 0.480
dal 10% al 25% -16 0.255 0.206
meno del 25% -34 0.172 0.054
Inserimento delle conseguenze nel modello
PERDITA ATTESA (seeding)
PERDITA ATTESA
(no seeding)
Costo del seeding
valore atteso
in milioni di dollari
PROBABILITA’ ASSEGNATE
AI RISULTATI
VARIAZIONE DELL’INTENSITA’ DELL’URAGANO DANNI
Inserimento delle conseguenze nel modello
Inserimento responsabilità governativa come possibile conseguenza negativa dell’intensificazione di un uragano inseminato
Come quantificare una grandezza astratta?
PROBLEMA!!
Inserimento delle conseguenze nel modello
OBIETTIVO:
stabilire la desiderabilità relativa della riduzione del danno materiale di un uragano, quando viene inseminato, rispetto all’assunzione della responsabilità di inseminazione:
percentuale dei danni materiali causati dall’uragano nel caso in cui questo aumenti la sua intensità dopo un’operazione di seeding
Inserimento delle conseguenze nel modello
PROBABILITA’ ASSEGNATE
AI RISULTATI
VARIAZIONE DELL’INTENSITA’ DELL’URAGANO
DANNI
COSTO DELLA RESPONSABILITA’
GOVERNATIVACOSTO TOTALE
PERDITA ATTESA (seeding)
PERDITA ATTESA
(no seeding)
Costo del seeding
valore atteso
in milioni di dollari
Il valore dell’informazione
Il valore dell’informazione
N.B. nel computo delle perdite attese si considerano, per il momento, i soli danni materiali ed il costo del seeding, trascurando i costi di responsabilità governativa.
Il valore dell’informazione
SCELTA TRA ACQUIZIONE O NON ACQUISIZIONE DI
INFORMAZIONI
SCELTA TRA SEEDING O NO
SEEDING
DANNI
ottenere informazioni
non ottenere informazioni
VARIAZIONE DELL’INTENSITA’ DELL’URAGANO
seeding
seeding
seeding
seeding
No seeding
No seeding
No seeding
No seeding
RISULTATI DELL’INFORMAZIONE
valore atteso
in milioni di dollari
Il valore dell’informazione
Poiché il governo non sa quale sarà il risultato dell’esperimento, per calcolare le perdite attese si utilizzano le probabilità precedentemente assegnate alle tre ipotesi.
0.49*69.42 $ +0.49*116.00 $ +0.02*116.00 $= 93.17 milioni di dollari 0.49*69.42 $ +0.49*116.00 $ +0.02*116.00 $= 93.17 milioni di dollari
Perdita attesa se si sceglie di acquisire informazione perfettaPerdita attesa se si sceglie di acquisire informazione perfetta
Perdita attesa per la scelta ottimale se non si acquisiscono informazioni Perdita attesa per la scelta ottimale se non si acquisiscono informazioni
94.33 milioni di dollari 94.33 milioni di dollari
Il valore dell’informazione
94.33 $ - 93.17 $ = 1.16 milioni di dollari 94.33 $ - 93.17 $ = 1.16 milioni di dollari
Differenza tra le perdite atteseDifferenza tra le perdite attese
valore atteso dell’informazione perfetta
• 1.16 > 0 conviene acquisire l’informazione• valore relativamente basso rispetto alle
perdite attese
Il valore dell’informazione
includendo anche i costi della responsabilità governativa
13.63 milioni di dollari 13.63 milioni di dollari
valore atteso dell’informazione perfetta
• aumento sensibile
Il valore dell’informazione
L’informazione perfetta è un caso idealeL’informazione perfetta è un caso ideale
Il valore dell’informazione
Si supponga che la decisione riguardi l’acquisizione o no delle informazioni per via sperimentale, tali che il risultato sia una stima migliore delle probabilità delle tre ipotesi nulla, benefica, dannosa.
Il governo deve valutare a priori se queste nuove informazioni faranno diminuire le perdite attese.
Il valore dell’informazione
SCELTA TRA FARE O NON FARE L’ESPERIMENTO
SCELTA TRA SEEDING O NO
SEEDINGCOSTO TOTALE in milioni di dollari
VARIAZIONE DELL’INTENSITA’ DELL’URAGANO
RISULTATI DELL’INFORMAZIONE
valore atteso
in milioni di dollari
esperimento
no esperimento
seeding
no seeding
no seeding
seeding
Il valore dell’informazione
110.92 $ - 107.96 $ = 2.96 milioni di dollari 110.92 $ - 107.96 $ = 2.96 milioni di dollari
Differenza tra le perdite atteseDifferenza tra le perdite attese
valore atteso dell’informazione sperimentale• 2.96 > 0 conviene acquisire l’informazione• valore relativamente basso rispetto alle
perdite attese
N.B. i costi della responsabilità governativa sono inclusi
Il valore dell’informazione
2.96 $ - 13.63 $ = -10.67 milioni di dollari 2.96 $ - 13.63 $ = -10.67 milioni di dollari
L’esperimento da un’informazione che riduce l’incertezza sulle ipotesi ma non da una risposta certa, come invece succede quando si ha a disposizione un’informazione perfetta
Il valore dell’informazione
Urgano d’invenzioneutilizzato nell’analisi
Singola stagione di uragani
(in milioni di dollari)
Tutte le future stagioni di
uragani scontate al 7%
(in milioni di dollari)
Milioni di dollari
Percentuali
Danno materiale atteso senza il seeding
116.0 100 220.0 3142
Valore atteso dell’informazione perfetta
13.6 11.8 26.0 370
Valore atteso dell’ esperimento su Debbie
5.4 4.7 10.2 146
Valore atteso di esperimenti generici (con costi di responsabilità governativa)
8.8 7.6 16.6 238
Valore atteso di esperimenti generici (senza costi di responsabilità governativa)
12.4 10.7 23.5 33.5
Conclusioni
Ipotesi benefica ed ipotesi nulla equiprobabilili, ipotesi dannosa altamente improbabile.
Dominanza stocastica dell’alternativa seeding rispetto all’alternativa non seeding.
Considerando esclusivamente la conseguenza danni materiali, decisione ottimale di procedere al seeding è sempre e di gran lunga migliore rispetto all’alternativa
Includendo i costi della responsabilità governativa, alternativa migliore è ancora procedere al seeding, nonostante il divario tra le perdite attese diminuisca sensibilmente
Conclusioni
Valore atteso dell’informazione perfetta includendo solo la conseguenza danni materiali positivo, anche se relativamente basso rispetto alle perdite attese
Lo stesso aumenta sensibilmente se si introducono costi di responsabilità governativa
Valore atteso dell’informazione sperimentale positivo Differenza tra i valori attesi riferiti alle due modalità di acquisizione
delle informazioni: è più alto quello dell’informazione perfetta Generalizzazione a singola stagione di uragani e a tutte le stagioni a
venire dei risultati ottenuti sul valore dell’informazione riferiti all’uragano di invenzione: il valore atteso aumenta in entrambi i casi, perché aumentano le perdite attese
Conclusioni
Per ogni decisione complessa che potrebbe avere conseguenze sulla vita di milioni di persone, come quella sull’inseminazione degli uragani, è necessario fare un’analisi formale della stessa, che mostri esplicitamente le incertezze sugli esiti ed i criteri decisionali
Soluzione proposta applica al caso metodi tipici della Teoria Statistica Bayesiana delle Decisioni:
SOLUZIONE = informazioni a priori + informazione sperimentaleSOLUZIONE = informazioni a priori + informazione sperimentale
quella a disposizione era scarsa
Conclusioni
Nonostante ciò, la soluzione proposta è corretta, in quanto lo è il ragionamento formale di base
CORRETTEZZA = ASSIOMI DI COMPORTAMENTO GENERALIZZABILICORRETTEZZA = ASSIOMI DI COMPORTAMENTO GENERALIZZABILI?Perché c’è sempre la possibilità di revisionare, tramite la formula di Bayes, i risultati ottenuti da uno studio precedente, qualora nuove informazioni si rendano disponibili. Una revisione che non invalida il lavoro precedente, ma anzi innesca un “procedimento virtuoso” che conduce passo dopo passo verso la verità.
NO