La Cromodinamica Quantisticapacetti/files/DMS-lezione... · 2019. 2. 21. · La Cromodinamica...

La Cromodinamica QuantisticaDinamica del Modello Standard

Dipartimento di Fisica e GeologiaUniversita degli Studi di Perugia

[email protected]

Anno accademico 2018-19

Interamente basato suDynamics of the Standard ModelJ. F. Donoghue, E. Golowich, B. R. HolsteinCambridge University Press, 2014.

IntroduzioneI Alla base della teoria che descrive l’interazione forte c’e il concetto di invarianza

rispetto a una trasformazione di gauge locale.I Le caratteristiche di tale trasformazione si deducono dalle evidenze sperimentali.I La simmetria di gauge locale dell’interazione forte si basa sulla carica di colore,

posseduta dai quark e non dai leptoni.I Le teoria dell’interazione forte si chiama cromodinamica quantistica, la QCD.

I La QCD e la teoria che descrive la dinamica che sta alla base della descrizionedegli adroni nell’ambito del modello a quark.

I Le interazioni tra i quark sono mediate da bosoni detti gluoni (dalla parole glue,colla in inglese), che, a differenza dei fotoni, possono auto-interagire.

I I gluoni hanno massa nulla, cio consegue dal fatto che il raggio d’azionedell’interazione forte e infinito, come dimostrano le osservazioni sperimentali.

I L’intensita dell’interazione forte a certe energie rende inutilizzabile il regimeperturbativo della QCD.

I L’andamento della costante di accoppiamento con l’energia e tipico di una teorianon abeliana, decresce a piccole distanze e quindi a grandi energie.

I In regime non perturbativo, per calcolare le ampiezze e necessario utilizzaredei modelli efficaci in grado di riprodurne le caratteristiche principali della QCD.

S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 2/29

Perche tre colori?

• Numerosita e caratteristiche dei barioni.

• Sezione d’urto e+e− → adroni.

• Larghezza di decadimento del leptone τ

• Larghezza di decadimento π0 → γγ

• Cancellazione dell’anomalia del MS.

• . . .

⇒ I quark u, d , c, s, t , bsono tripletti di colore

I I leptoni non hanno colore.I I mesoni sono stati legati quark-antiquark, qq.I I barioni sono stati a tre quark, qqq. q

q q

q q

Assumendo che la presenza di un numero quantico di colore rifletta una simmetriacontinua della lagrangiana dell’interazione forte e non sia semplicemente un grado diliberta discreto della teoria, ci sono tre possibili candidati per la struttura di questasimmetria.

SO(3) SU(3) U(3)


Quale gruppo di simmetria di gauge?

La scelta del gruppo di simmetria eguidata da due evidenze sperimentali.

I I quark sono tripletti di colore.I Tutti gli adroni noti sono ”incolore”.

Il gruppo SO(3) non distingue tra colore e anti-colore.⇒L’interazione forte che lega quark e antiquark e la

stessa che lega due quark.

⇒L’esistenza di stati legati qq implica quella di stati qq,che avrebbero carica elettrica frazionaria.

⇒Tali stati non sono osservati sperimentalmente.

SO(3)��

Il gruppo U(3) puo essere decomposto come:

U(3) = U(1)× SU(3)

⇒Si hanno 1+8 = 9 generatori e quindi 9 gluoni, unsingoletto incolore e 8 con carica di colore.

⇒ Il gluone incolore medierebbe interazioni forti a raggioinfinito tra adroni.

⇒Tali interazioni non sono osservate sperimentalmente.

U(3)��


La lagrangiana della QCD

La lagrangiana della QCD classica e

LQCD = −14

F aµνF aµν +

∑α

ψ(α)

j

(i /Djk −m(α)δjk

)ψ

(α)k

I quark sono descritti dagli spinori di elementi ψ(α)j .

Sapore: α = u, d , c, s, t , bColore dei quark: j = 1, 2, 3

I gluoni sono descritti dai campi di gauge Aaµ. Colore dei gluoni: a = 1, . . . , 8

Tensore della forzaF aµν = ∂µAa

ν − ∂νAaµ − g3 f abcAb

µAcν

I g3: costante di accoppiamento.I f abc : costante di struttura di SU(3).

Derivata covariante

Dµ = ∂µ + i g3Aaµ

λa

2

I generatori λa, a = 1, . . . , 8, della rappresentazionefondamentale del gruppo SU(3) sono rappresentati da8 matrici complesse 3× 3.


Equazioni del moto e trasformazioni

Le equazioni del moto dei quark e dei gluoni sonoqu

ark (

i /D −m(α))ψ(α) = 0

gluo

ni

DµF aµν = g3

∑α

ψ(α) λa

2γνψ

(α)

Nel limite g3 → 0 si ha il caso non interagente, gluoni e quark sono liberi.

La lagrangiana e invariante per trasformazioni di fase locali del gruppo SU(3)

U(~w)

= exp(−i wa

λa

2

)

LQCD

(ψ(α),Aa

µ

)= LQCD

(ψ′

(α),A′aµ

)Campi dei quark

ψ′(α)

= U(~w)ψ(α)

Campi dei gluoni

A′aµ = Aaµ −

1g3∂µwa − f abcwbAc

µ


Il gruppo SU(3) e le matrici λ di Gell-Mann

Il gruppo SU(3) hainfinite rappresentazioni irriducibiliRRR = 1, 3, 3∗, 6, 6∗, 8, 10, 10∗, . . .

quark → RRR = 3antiquark → RRR = 3∗

gluoni → RRR = 8

I {Fa(RRR)}8a=1 e l’insieme dei generatori della rappresentazione RRR di SU(3).

I La rappresentazione fondamentale di SU(3) ha dimensione 3 ed e RRR = 3.

I I generatori {Fa(3)}8a=1 sono rappresentati da matrici complesse {λa/2}8

a=1.

Matrici di Gell-Mann

λ1=

0 1 01 0 00 0 0

, λ2=

0 −i 0i 0 00 0 0

, λ3=

1 0 00 −1 00 0 0

, λ4=

0 0 10 0 01 0 0

λ5=

0 0 −i0 0 0i 0 0

, λ6=

0 0 00 0 10 1 0

, λ7=

0 0 00 0 −i0 i 0

, λ8=

1√3

0 00 1√

30

0 0 −2√3


L’algebra delle matrici λ di Gell-MannA

lgeb

ra [λa, λb] = 2i fabcλc

a, b, c = 1, . . . , 8

fabc , costante di struttura di SU(3), e un tensoreantisimmetrico con 9 componenti indipendenti.

abc 123 147 156 246 257 345 367 458 678 111 . . . 888

fabc 1 12 - 1

212

12

12 - 1

2

√3

2

√3

2 0 . . . 0

Ant

icom

mut

ator

e

{λa, λb} =43δabI + 2dabcλc

a, b, c = 1, . . . , 8

Il tensore dabc e totalmente simmetrico,ha 16 componenti indipendenti.

abc 118 146 157 228 247 256 338 344dabc

1√3

12

12

1√3

- 12

12

1√3

12

abc 355 366 377 448 558 668 778 888dabc

12 - 1

2 - 12−1

2√

3−1

2√

3−1

2√

3−1

2√

3−1√

3

Trac

ce

Tr (λa) = 0

Tr (λaλb) = 2δab

a, b = 1, . . . , 8

Rel

azio

nedi

com

plet

ezza 8∑

a=1

λaijλ

akl

2= −1

3δijδkl + δilδjk


Operatori di Casimir

Operatori di CasimirI Sono di ordine ≥ 2, nei generatori.I Commutano tra loro.I Commutano con tutti i generatori.I Sono proporzionali all’identita.

I Rango = numero di generatoriche commutano tra loro.

I Numero di operatori di Casimir= rango.

I Il rango di SU(n) er [SU(n)] = n − 1.

Nel caso di SU(3), si hanno r [SU(3)] = 2 operatori di Casimir

Ord

ine

2

C2(RRR) I =8∑

a=1

F 2a (RRR)

Ord

ine

3C3(RRR) I =

8∑a,b,c=1

dabcFa(RRR)Fb(RRR)Fc(RRR)

Ad esempio, nel caso del momento angolare, ovvero con il gruppo di simmetria SU(2),si ha rango uguale a uno e quindi il solo operatore di Casimir del secondo ordine

C2(RRR) I =3∑

j=1

F 2j (RRR) ,

che rappresenta il modulo quadro del momento angolare.S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 9/29

Invarianti di CasimirI Gli stati di tripletto 3, dei quark, e antitripletto 3∗, degli antiquark, sono basi per

costruire le altre rappresentazioni irriducibili di SU(3).I Ogni rappresentazione puo essere ottenuta come prodotto di p quark e q

antiquark, per opportuni valori di (p, q) ∈ N2 ∪ {0, 0}.I Ad esempio: 3 ∼ (1, 0), 3∗ ∼ (0, 1), 8 ∼ (1, 1),. . . .

La dimensione della rappresentazione RRR ∼ (p, q) e data da

d(p, q) =(p + 1)(q + 1)(p + q + 2)

2.

Le invarianti di Casimir della rappresentazione RRR ∼ (p, q) si SU(3) sono:

C2(RRR) =3p + 3q + p2 + q2 + pq

3, C3(RRR) =

(p − q)(2p + q + 3)(2q + p + 3)

18

Ad esempio:

C2(3) = C2(3∗) = C2(1, 0) = C2(0, 1) =43.


Invarianti di Casimir e normalizzazioniDalla relazione di completezza si ha

8∑a=1

λaijλ

akl

2= −

13δijδkl + δilδjk =⇒

8∑a=1

3∑j=1

λaijλ

ajl

4=

43δil = C2(3)δil

I La rappresentazione aggiunta di SU(3) ha dimensione 8, pari al numero digeneratori.

I I generatori di tale rappresentazione si ottengono dalla costante di struttura.(F a(8)

)bc = −i fabc , a, b, c = 1, . . . , 8 .

Dalla definizione di operatore di Casimir e C2(RRR) = C2(p, q) si ottiene la contrazione

8∑c,d=1

facd fbcd =8∑

c,d=1

(−ifcad )(−ifcdb) = C2(8)δab = C2(1, 1)δab = 3 δab


Alcune contrazioniDai risultati precedenti si ottengono due contrazioni tra matrici λutili per il calcolo delle ampiezze di diverse correzioni radiative.

8∑b,c=1

fabcλbλc =12

8∑b,c=1

fabc [λb, λc ] = i8∑

b,c,d=1

fabc fbcdλd = iC2(8)λa

8∑b=1

λbλaλb =12

8∑b=1

(λb[λa, λb]− [λa, λb]λb + λbλbλa + λaλbλb

)

=12

(4i

8∑b,c=1

λbλc fabc + 8C2(3)λa

)=

12

(− 4C2(8)λa + 8C2(3)λa

)8∑

b=1

λbλaλb = 2(

2C2(3)− C2(8))λa


La lagrangiana generale di QCDLa piu generale lagrangiana di QCD che sia invariante di gauge e rinormalizzabile.

Lgen = −14

ZF aµνF aµν + ψ

(α)L ZαβL i /Dψ(β)

L + ψ(α)R ZαβR i /Dψ(β)

R

−ψ(α)L Mαβψ

(β)R − ψ(α)

R M†αβψ(β)L +

g23

64π2θ εµνλσF a

µνF aλσ

I ZL, ZR e M sono matrici 6× 6 nello spazio dei sapori, ZL e ZR sono hermitiane.I Il termine proporzionale al parametro θ, detto termine θ, contiene la

rappresentazione duale, Fµν , del tensore della forza.

Riscaliamo i campi Aµ e l’accoppiamento g3. A′aµ = Z 1/2Aaµ g′3 = Z−1/2g3

Diagonalizziamo le matrici ZL,Re riscaliamo i campi ψL,R . ΛL,R = UL,RZL,RU†L,R ψ′L,R = Λ

1/2L,R UL,RψL,R

I termini di massa.

−ψ′(α)

L M′αβψ′(β)R −ψ′

(α)

R M′†αβψ′(β)L

M′ = Λ−1/2L ULMU†RΛ

−1/2R

la matrice M ′ puo essere diagonalizzata attraversouna trasformazione unitaria del campo ψ′.


Il termine θ della QCDLa procedura di diagonalizzazione della matrice M′ per mezzo di unatrasformazione unitaria dei campi dei quark ψ′, genera un ulteriore termineproporzionale a εµνλσF a

µνF aλσ e quindi una modifica del parametro θ.

θ → θ = θ + arg[det(M′)]

I I valori del parametro θ e della matrice M di Lgen sono arbitrari.I Non si ha alcuna cancellazione automatica che dia θ = 0.

Il termine θ puo essere espresso come la quadri-divergenza di un vettore di Lorentz.

Lθ =g2

3

32π2θ ∂µKµ =

g23

32π2θ ∂µ

εµνλσ 8∑a=1

Aaν

F aλσ +

g3

3

8∑b,c=1

fabcAbλAc

σ

I Il vettore Kµ e singolare all’infinito.I Si ha violazione di CP da due sorgenti indipendenti, la fase della matrice di

massa dei quark, M′, e il termine θ.I Questa violazione di CP non e osservata.

Momento di dipolo elettrico del neutronede(n) < 2.9 · 10−28 e m

(90% C.L.)⇒ θ < 5.8 · 10−11

(90% C.L.)


Una lagrangiana di QCD operativa

Per ottenere le regole di Feynman della QCD e necessario definire unalagrangiana operativa, in cui i gradi di liberta della gauge siano fissati.

LQCD = −14

F aµνF aµν +

3∑j,k=1

ψj(i /D −m0 I

)jk ψk −

12ξ0

(∂µAµa

)2

+∂µca∂µca + g3,0fabd Aµa (∂µcb) cd

I Le grandezze con pedice ”0” rappresentano le quantita ”nude”.I I campi ca(x), a = 1, . . . , 8, detti ghost fields, sono parte della procedura di

selezione della gauge per una simmetria non-abeliana.I Sono necessari, assieme al termine proporzionale a ξ−1

0 , per garantirel’invarianza di Lorentz.

I I campi ca(x) si accoppiano solo con i gluoni e si manifestano solo come stativirtuali, non asintotici.

I Ci sono schemi di selezione della gauge alternativi in cui i ghost fields non sonopresenti.


I vertici di Feynman della QCD

σ, d

ν, b

µ, a

λ, c

Vertice a quattro gluoni

−i g23,0[fabefcde

(gµλgνσ−gµσgνλ

)+facefbde (gµνgλσ−gµσgνλ)

+fadefcbe(gµλgνσ−gµνgλσ

)]Solo in QCD

λ, c

ν, bµ, a

t

qpVertice a tre gluoni

−g3,0fabc

[gµν (p − q)λ + gνλ (q − t)µ + gλµ (t − p)ν

]Solo in QCD

α, jβ, k

µ, aVertice quark-gluone

−i g3,0 (γµ)αβ λajk/2

tcb

µ, a

Vertice ghost-gluone

−g3,0fabc tµ

Solo in QCD


Propagatori della QCD

α, jβ, k

pPropagatore dei quark

i δjk(/p + m0

)αβ

p2 −m20 + iε

µ, aν, b

qPropagatore dei gluoni

i δab

q2 + iε

(−gµν + (1− ξ0)

qµqν

q2 + iε

)

ab

pPropagatore dei ghost

i δab

p2 + iε


Costanti di rinormalizzazione

Invarianzadi gauge ⇒ I vertici della QCD

contengono la stessacostante di accoppiamento

⇒ Flavor independencedell’interazione forte

La struttura dell’interazione dipende dalla rappresentazione con cui i campi si trasformano

⇓

Costanti di rinormalizzazione della QCD

ψ = Z 1/22 ψ′

Aaµ = Z 1/2

3 A′aµca = Z

1/23 c′a

ξ0 = Z3ξ

m0 = m − δm

g3,0 =Z1Z− 3

23 g3 =Z

12

4 Z−13 g3 =Z1F Z−1

2 Z− 1

23 g3 =Z 1Z

−13 Z

− 12

3 g3

Z4/Z1 = Z1/Z3 = Z 1/Z 3Come le indentitadi Ward della QED

I I valori delle costanti di rinormalizzazione Z si ottengono dal calcolo dellecorrezioni ai vertici e ai propagatori.

I Ad esempio Z3 si ottiene dal self-energy del gluone, la sua parte divergentecancella i poli in ε, dovuti all’integrazione d-dimensionale, ε = (4− d)/2.


Propagatore del gluone (Z3)

β, b α, ap

p − q

iQabαβ = −

(ig3

2

)2 ∫ d4p

(2π)4Tr

[γα(λa)kj

i

/p − m + iεγβ (λb)jk

i

/p − /q − m + iε

]iQab

αβ = iδab(

qαqβ − gαβq2)( µ2

−q2

)ε

nf

[g2

3

24π2

1

ε+ . . .

]nf e il numerodi sapori

β, b α, ak

k − q

iGabαβ =

(−i)2

2

∫d4k

(2π)4

Nabαβ(

k2 + iε) [

(q − k)2 + iε]

iGabαβ = −iδab g2

3

16π2C2(8)

(µ2

−q2

)ε (11

3qαqβ −

19

6gαβq2

)1

2ε+ . . .

Nabαβ fattori di vertice ggg.

C2(8) e l’invariante di Casimir.

β, b α, ak

k − q

iFabαβ = −

∫d4k

(2π)4

i

(k − q)2 + iε

[g3f bdc (k − q)β

] i

k2 + iε

[g3f acd kα

]iFabαβ = iδab g2

3

16π2C2(8)

(µ2

−q2

)ε(qαqβ

3−

gαβq2

6

)1

2ε+ . . .

iΠabαβ = i

(Qabαβ+Gab

αβ+F abαβ

)= iδab

(qαqβ−gαβq2

) g23

8π2

(µ2

−q2

)ε(2nf

3−

53

C2(8)

)12ε

+. . .

Rinormalizzazionea q2 = −µ2

RZ3 = 1−

g23

8π2

(µ

µR

)2ε (2nf

3−

53

C2(8)

)12ε

+O(g43 )


Vertice quark-gluoni (Z1F)Correzione del vertice quark-gluoni.−i

g3

2Γaν(p1, p2) = −i

g3

2γνλ

a− ig3Λaν(p1, p2) + . . .

p1, α p2, β

q, ν

Il contributo fermionico ha la stessa forma della correzione di vertice della QED.

−ig3Laν (p1, p2) =

(−ig3

2

)3∫ d4k

(2π)4

−igαβ

k2 + iελ

bγα

i

/p2−/k−m+ iελ

aγν

i

/p1−/k−m +iελ

bγβ

Laν (p, p) =

(C2(3)−

C2(8)

2

)g2

3

8π2

1

2ε

(µ2

−p2

)ελa

2γν + . . .

Contiene: λbλaλb .p = p1 = p2|p2| � m2

p1, α p2, β

q, ν

Il contributo dei due gluoni non ha controparte in QED.

−ig3Haν (p1, p2) = ifabcλ

aλ

b g33

4

×∫

d4k

(2π)4

γβ(/k + m

)γα Pναβ (p1, p2, k)(

k2−m2 + iε) [

(p1 − k)2 + iε] [

(p2 − k)2 + iε]

Haν (p, p) =

3

2C2(8)

g23

8π2

1

2ε

(µ2

−p2

)ελa

2γν + . . .

Pναβ(p1, p2, k)dal vertice ggg

Correzione totale. Λaν (p, p) = La

ν (p, p)+Haν (p, p) =

λa

2γν (C2(3) + C2(8))

g23

8π2

(µ2

−p2

)ε1

2ε+ . . .

Rinormalizzazionea q2 = −µ2

RZ1F = 1− (C2(3) + C2(8))

g23

8π2

(µ2

µ2R

)ε12ε

+ . . .


Rinormalizzazione di g3,0 e liberta asintoticaLa liberta asintotica e una peculiarita della QCD.

L’accoppiamento g3(µR) decresce al crescere della scala di rinormalizzazione µR .

I Rinormalizzazione della costante di accoppiamento: g3,0 = Z1F Z−12 Z−1/2

3 g3

I Rinormalizzazione del propagatore dei quark: Z2 = 1− C2(3)g2

3

8π2

(µ2

µ2R

)ε1

2ε+ . . .

Rinormalizzazionedella carica g3,0

Zg ≡ Z1F Z−12 Z−1/2

3 = 1−g2

3

16π2

(11−

2nf

3

)(µ2

µ2R

)ε12ε

+ . . .

g3,0 non dipende dalla scala di rinormalizzazione µR :dg3,0

d ln(µR)=∂ (Zgg3)

∂ ln(µR)= 0

µR∂g3

∂µR=

∂g3

∂ ln(µR)= −

g3

Zg

∂Zg

∂ ln(µR)= −

(113

C2(8)−nf

2C2(3)

)g3

3

16π2+O

(g5

3

)Funzione β della QCD


La funzione β della QCD

βQCD = −(

11−2nf

3

)g3

3

16π2+O

(g5

3

)= −β0

g33

16π2+O

(g5

3

)

I Il vuoto della QED si comporta come un mezzo con costante dielettricaεQED > 1.

I La generazione spontanea di coppie l+l− determina un effettodi schermo della carica.

I Il vuoto di QED e un mezzo diamagnetico, ha permeabilita magnetica:µQED < 1.

Nel vuoto di QCD le coppie qq determinano un effetto di schermoal pari di l+l− in QED, amplificato dal numero di sapori nf .

L’effetto delle nf coppie qq con nf ≤ 16, e sovrastato dal self-energy dei gluoni, che da alla βQCD un contributo segno opposto.

Il vuoto di QCD si comporta come un mezzo paramagneticocon µQCD > 1 e ha un effetto di anti-schermo, εQCD < 1.


1Liberta asintotica nelle ampiezze 1PI

L’effetto della liberta asintotica e evidente nelle ampiezze 1PI rinormalizzate.

La funzione di Green rinormalizzata di un diagramma connesso con NF quark e NBgluoni, N = NF + NB , nello spazio delle coordinate, ha la forma

G(NF ,NB)({x}) = 〈0|T(ψ(x1) . . .A(xN )

)|0〉

Nello spazio dei momenti

(2π)4δ(4)(p1 + · · · pN )G(NF ,NB)({p}) =

∫ N∏k=1

d4xk e−ipk ·xk

G(NF ,NB)({x})

Per ottenere l’ampiezza 1PI, Γ(NF ,NB), dalla funzione di Green1PI nello spazio dei momenti, i propagatori delle linee esternedebbono essere rimossi

G(NF ,NB) =∏f1

D(pf1 )∏f2

S(pf2 )Γ(NF ,NB)∏i1

D(pi1 )∏i2

S(pi2 )

I D(p) e S(p) sono i propagatori dei gluoni e dei quark esterni.I pf1,f2 i momenti finali, pi1,i2 quelli iniziali, dei gluoni e dei quark rispettivamente.


2Liberta asintotica nelle ampiezze 1PILe relazioni tra quantita nude, G(NF ,NB)

0 , D0, S0, Γ(NF ,NB)0 , indipendenti dalla scala di

rinormalizzazione µR , e quelle rinormalizzate sono

G(NF ,NB) = Z−NF/22 Z−NB/2

3 G(NF ,NB)0 D = Z−1

3 D0 S = Z−12 S0

Γ(NF ,NB) = Z NF/22 Z NB/2

3 Γ(NF ,NB)0

Γ(NF ,NB)0 = Z−NF/2

2 (µR)Z−NB/23 (µR)Γ(NF ,NB)({p}, g3(µR),m(µR), ξ(µR);µR)

Non dipende dalla scala di rinormalizzazione µR

La risposta della funzione di Green alla trasformazione di scala {p} → {λp}, si evinceda considerazioni dimensionali e, omettendo la dipendenza da m(µR) e ξ(µR), si ha

G(NF ,NB)({λp}, g3(µR);µR) = λ4+NB+3NF/2−4NB−4NF G(NF ,NB)({p}, g3(µR);µR/λ)

La presenza della scala di rinormalizzazione µR determina unadipendenza implicita di G(NF ,NB) dal fattore di scala λ.


3Liberta asintotica nelle ampiezze 1PIIl cambiamento di scala per l’ampiezza 1PI da lo stesso effetto che si ha per G(NF ,NB)

Γ(NF ,NB)({λp}, g3(µR);µR) = λ4−NB−3NF/2Γ(NF ,NB)({p}, g3(µR);µR/λ)

sfruttando l’indipendenza da µR della combinazione Z−NF/22 Z−NB/2

3 Γ(NF ,NB)

Γ(NF ,NB)({λp}, g3(µR);µR) = λ4−NB−3NF/2(

Z3(λµR)

Z3(µR)

)−NB/2 (Z2(λµR)

Z2(µR)

)−NF/2

×Γ(NF ,NB)({p}, g3(λµR);µR)

La derivata rispetto a λ valutata in λ = 1 da unaequazione differenziale del gruppo di rinormalizzazione. N∑

k=1

pk∂

∂pk+ NB (1 + γB) + NF

(32

+ γF

)− 4− βQCD

∂

∂g3

Γ(NF ,NB) = 0

γF =12∂ ln(Z2)

∂ ln(µR)γB =

12∂ ln(Z3)

∂ ln(µR)

γF e γB sono le dimensioni anomaledei campi fermionici e bosonici.


4Liberta asintotica nelle ampiezze 1PILa soluzione dell’equazione del gruppo di rinormalizzazione e

Γ({et p}, g3(µR);µR) =

et(

4−NB−3NF

2

)exp[−∫ t

0dt ′[NBγB(g3(t ′))+NFγF (g3(t ′))

]]Γ({p}, g3(t);µR)

g3(t) e la running coupling constant

∂g3

∂t= βQCD(g3) g3(0) = g3

I Il comportamento dell’ampiezza 1PI ha, in aggiunta alla dimensione dei campi,le dimensioni anomale.

I La costante di interazione da cui dipende l’ampiezza con i momenti ”scalati” none il valore costante g3, ma la running coupling constant g3(t), decrescente alcrescere del momento.

αS(q2) =4π

11− 2nf /31

ln(q2/Λ2QCD)

+ . . . αS(q2) =g2

3(q2)

4π

ΛQCD e l’energia a cui g3 diverge e nf = numero di sapori dei quark con massa <√

q2.


Liberta asintotica e confinamentoAl diminuire di q2, l’espansione perturbativa di βQCD diventa sempre meno accurata equindi perde significato anche la definizione

αS(q2) =4π

11− 2nf /31

ln(q2/Λ2QCD)

+ . . .

I Per αS(q2) si usa spesso l’ipotesi di lavoro non dimostrata secondo cui ci siauna divergenza nel limite q2 → 0.

I Tale divergenza giustificherebbe il fenomeno del confinamento.

I La complessita della QCD in regime di bassa energia (rispetto alla scala ΛQCD)rende impossibile una risoluzione analitica della teoria.

I Si hanno tecniche alternative: soluzioni numeriche (calcoli su reticolo), studifenomenologici, approssimazione Nc →∞, ecc..

I Il valore di αS(q2) puo essere ottenuto sperimentalmente sfruttando processiche avvengano ad energie a cui la QCD possa essere considerata perturbativa.

I In ogni caso, ad un certo ordine della teoria, si avra sempre la dipendenza daΛQCD , i cui valori vengono stimati anche in funzione del numero di sapori nf .


Alcune misure


Correzioni di ordine superioreI calcoli analitici di αS(µ) sono stati fatti fino all’ordine dei quattro loop.

I risultati sono dati in forma di serie della funzione beta.

∂aS

∂ ln(µ2)= −β0a2

S − β1a3S − β2a4

S − β3a5S + . . . aS ≡

αS

4π

β0 ' 11− 0.66667 nf

β1 ' 102− 12.66667 nf

β2 ' 1428.50− 279.61 nf + 6.01852 n2f

β3 ' 29243.0− 6946.30 nf + 405.089 n2f + 1.49931 n3

f

L’espressione di αS a quattro loop, posto t ≡ ln(µ2R/Λ2

QCD), e

αS (µ2R ) '

4π

β0t

[1−

β1

β20

ln(t)

t+β1(

ln2(t)− ln(t)− 1)

β4t2

+β1(

ln3(t)− 5 ln2(t)/2− 2 ln(t) + 1/2)

3β0β1β2 ln(t)− β20β3/2

β60 t3

]

αS(mb) ' 0.2266 αS(MZ ) ' 0.1184 αS(MH ) ' 0.1129


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