La Cinemática es la parte de la Física que describe los movimientos de los cuerpos sin abordar las causas que los producen, las cuales son objeto de otra parte de la Física: la Dinámica.

La Cinemática responde a la necesidad de saber como son los movimientos de los cuerpos; en unos casos para poder influir sobre ellos, como en la artillería, la astronáutica o el control de ferrocarriles; en otros, para poder predecir sucesos como los eclipses o las mareas producidos por el movimiento de los astros.

Históricamente, la Cinemática moderna nace con los trabajos de Galileo Galilei en el estudio de los movimientos rectilíneos.

Cuestión 1Dos amigas salen de su pueblo en coche y circulan por la carretera a 60 km/h durante un cuarto de hora. ¿Cómo se llama el pueblo al qué llegan? 

Para poder responder la pregunta se necesita más información: ¿De qué pueblo salen?¿Por qué carretera van?¿En que sentido circulan?

Son magnitudes escalares aquellas, como la masa, la temperatura, la energía, etc., cuyo valor queda fijado por un número (con su unidad correspondiente).

Gráficamente se representan mediante un punto en una escala (de ahí el nombre).

Algebraicamente se representan por medio de letras latinas o griegas (T, m, V, E, ,...).

Son magnitudes vectoriales aquellas que, como la velocidad, requieren para su completa especificación, no sólo su valor numérico (con su unidad), sino también, la dirección y el sentido en los que se manifiesta su acción.

Algebraicamente se representan por medio de letras latinas o griegas con una pequeña flecha encima ( , ). El módulo de un vector se representa con el mismo símbolo sin flecha (F, v) o entre barras.  ( , ).

F

Gráficamente se representan mediante vectores, que son segmentos orientados (con una punta de flecha en uno de sus extremos).

v

Características de un vector:

Origen o punto de aplicación: es el punto donde comienza el vector, en este caso, el punto A.

Extremo: es el punto donde termina el vector (la punta de la flecha), en este caso, B.

Módulo: es la longitud del vector.

Dirección: es la dirección de la recta donde se encuentra y la de todas sus paralelas.

Sentido: es el indicado por la punta de la flecha.

Cuestión 2Propón formas sencillas de determinar la posición de: a) Un coche. b) Un alumno en clase.c) Un barco en alta mar. d) Un avión en vuelo entre dos ciudades.

Un sistema de referencia o marco de referencia es un conjunto de convenciones usadas por un observador para poder determinar la posición y otras magnitudes físicasde un objeto.

Hay infinitos sistemas de referencias, pero, a efectos prácticos, casi siempre se utiliza el sistema de referencia cartesiano que consta de tres rectas perpendiculares llamadas ejes de coordenadas, que se cortan en un punto llamado, O, origen.

Con un sistema de referencia cartesiano se puede representar cualquier vector, . r

Vectores componentes o componentes cartesianas de un vector, son las proyecciones de dicho vector sobre cada uno de los ejes de coordenadas.

Para el vector, , las componentes son , , . Cumpliéndose que:

= + + .

r

Para facilitar los cálculos, se suele expresar en función de los vectores unitarios , , , que tienen las direcciones de los ejes de coordenadas:

= x · + y · + z ·

Donde x, y, z son los módulos de las componentes cartesianas o coordenadas cartesianas.

r

x

y

z

r

x

y

z

r

i

j

k

i

j

k

r

Se puede utilizar un sistema de referencia polar, que utiliza la longitud del vector que une el punto A con con el punto de referencia, O, y los ángulos que forma este vector con el eje horizontal, y con el plano horizontal .

En este sistema de referencia las coordenadas reciben el nombre de coordenadas polares.

r

Suma de dos vectores:

k4j3i2a

k2j5ib

kbajbaibabas zzyyxx

Ejemplo: dados dos vectores de componentes:

k2j2-i3s

k24-j5)(3i12bas

Diferencia de dos vectores:

k4j3i2a

k2j5ib

Ejemplo: dados dos vectores de componentes:

k6j8id

k24-j5)(3i12bad

kbajbaiba)b(abad zzyyxx

Producto de un escalar por un vector:

k4j3i2a

Ejemplo: dados el escalar, n = 6 y el vector:

k24j18i12

k(-4)6j36i26an�

kanjanianan zyx

Cociente de un vector entre un escalar, n≠ 0:

k4j3i2a

Ejemplo: dados el escalar, n = 2 y el vector:

kn

aj

n

ai

n

a

n

a zyx

k2j2

3i1k

2

4j

2

3i

2

2

2

a

Vector unitario en la dirección del vector : es un vector cuyo sentido y dirección es la del vector y cuyo módulo es la unidad. Se calcula:

k4j3i2a

a

Ejemplo: dado el vector:

ka

aj

a

ai

a

a

a

au zyx

a

5'4294)(32a 222

k0'74-j0'56i0'37k5'4

4j

5'4

3i

5'4

2

a

au

Producto escalar de dos vectores: se calcula:

k4j3i2a

Ejemplo: dados los vectores:

cosαbaba

A partir de las componentes cartesianas:

A partir de los módulos:

zzyyxx babababa

k2j5ib

-212(-4)(-5)312ba

Ángulo que forman dos vectores: se calcula, a partir del producto escalar de esos dos vectores, si se conocen sus coordenadas cartesianas:

k4j3i2a

Ejemplo: dados los vectores:

2z

2y

2x

2z

2y

2x

zzyyxx

bbbaaa

bababacosα

zzyyxx bababaα cosba

k2j5ib

222222 2(-5)1(-4)32

2(-4)(-5)312cosα

0'712

3029

21-

= 135'4º

Derivada de un vector con respecto a un escalar, que varía en módulo o dirección, o en ambos a la vez, respecto a un escalar t, es otro vector que tiene por componentes la derivada de las componentes del vector respecto de t :

kdt

daj

dt

dai

dt

da

dt

ad zyx

Algunas derivadas elementales :

x n

1

x x

x'

n

1

·

Función Función derivada

f(x) = k f '(x) = 0

f(x) = k · x f '(x) = k · x'

f(x) = xn f '(x) = n · xn-1 · x'

f(x) = = f '(x) =

f(x) = g(x) + h(x)

f '(x) = g'(x) + h'(x)

·

j2)-(3t+i5)+(2t=r

Ejemplo: calcula la derivada con respecto a t de los vectores:

j6ti3tr 2

j6t+i2t=r 34

a)

j3i2j0)-(3+i0)+(2=dt

rd

b)

j6-i6tj6ti2t3dt

rd 1-11-2

c)

jt18i8tj3t6+i4t2=rdt

rd 231-31-4

La posición, de un móvil: es una magnitud vectorial que tiene como origen, el origen de coordenadas y por extremo el punto donde se encuentra el móvil.

Su módulo es la distancia, en línea recta, del móvil al origen de un sistema de referencia que se toma como fijo.

r

a) Si el móvil realiza un movimiento en una dimensión (ejemplo: un tren en una vía) para determinar su posición solo hay que indicar cuál es el origen de referencia, O, y dar una coordenada: la distancia del cuerpo a O. 

Si la coordenada es positiva el cuerpo está a la derecha del origen y si es negativa está a la izquierda.

El signo negativo para la coordenada x indica que el punto está a la izquierda del origen y para la coordenada y que está por debajo del origen.

b) Si el móvil realiza un movimiento en dos dimensiones (ej: la superficie del mar) se necesitan, para determinar su posición, dos coordenadas que indican la distancia a cada uno de los ejes de cartesianos.

c) Si el móvil realiza un movimiento en tres dimensiones (ej.: un avión en vuelo) se necesita el sistema de referencia y tres coordenadas, (x, y, z), para determinar su posición en un instante dado.

Cuestión 3:Supón que estás en el andén de una estación. ¿Cómo sabes que el tren se pone en movimiento?

¿Y si estás dentro del tren?

Entonces, ¿qué se mueve, el tren o la estación?

Un cuerpo está en reposo cuando su posición no cambia respecto a un sistema de referencia elegido como fijo.

Un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia respecto a un sistema de referencia elegido como fijo.

Cuestión 4:Un pasajero se encuentra cómodamente sentado en el interior de un tren en marcha. Su maleta está en el asiento de al lado. El jefe de estación da vía libre y desde el andén contempla el paso del tren. ¿Se mueve la maleta respecto al pasajero? ¿Y con respecto al jefe de estación?

Cuestión 5:Mientras discutimos esta cuestión, estáis sentados en vuestra respectivas sillas.

¿Os encontráis en reposo o en movimiento?

Se dice que todo movimiento es relativo porque un mismo movimiento se puede describir de forma diferente según el sistema de referencia elegido.

Incluso un mismo cuerpo puede estar a la vez en reposo o en movimiento según el sistema de referencia que se considere.

Trayectoria: línea imaginaria que describe un cuerpo al moverse respecto a un sistema de referencia.

Cuestión 6:Una persona dentro de un tren en marcha lanza una pelota hacia arriba, ¿qué trayectoria describe la pelota para esa persona?

¿Y para un observador que se encuentra en el andén?

Describe una línea recta de subida y otra de bajada

Para el observador del andén la pelota describe una parábola.

Cuestión 7Dibuja la trayectoria que describe una niña que sale desde el centro de un tiovivo, que está girando, hasta la periferia: a) Visto por otra niña que se encuentra en el centro del tiovivo. b) Visto por un niño que se encuentra fuera del tiovivo.

a)

b)

La trayectoria también depende del sistema de referencia que se elija.

Cuestión 8Dos amigos se cruzan con un león que se ha escapado del zoo. Uno de ellos se sube a un árbol, pero el otro, en lugar de subir, se pone a correr alrededor del árbol. Cuando el león se acerca, el amigo le grita:- ¡Sube al árbol, que te va a coger!. - No te preocupes – responde – le llevo muchas vueltas de ventaja.

Desplazamiento, , de un móvil: es una magnitud vectorial que tiene por origen la posición inicial del móvil y por extremo su posición final. Su módulo es la distancia en línea recta entre ambas posiciones. Se calcula:

Distancia recorrida, S: es una magnitud escalar que indica la longitud del tramo de trayectoria comprendido entre la posición inicial y la posición final.  Se calcula sumando todos los desplazamientos que han tenido lugar, tomados con signo +.  Siempre tiene valor positivo.

Ir - r r F

r

Estas dos magnitudes pueden tener el mismo valor si el cuerpo se mueve en línea recta y no cambia de dirección ni de sentido; sin embargo, se trata de conceptos operativos diferentes.

Cuestión 9:

porque en el mismo tiempo recorre más distancia.

B

porque recorre la misma distancia en menos tiempo.

A

porque recorre más de la mitad de la distancia en menos tiempo.

B

porque recorre más distancia en menos tiempo.

A

Es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo de cambio del vector de posición con el tiempo.

La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es el m/s.

t1

t2

t3 t4t5

t6

r1

r2r3 r4

r5

r6

Velocidad media, , es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido son los del vector desplazamiento y cuyo módulo es el cociente entre el módulo del vector desplazamiento y el tiempo. Se utiliza cuando hay que calcular la velocidad en un intervalo:

Rapidez o celeridad, C, es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida en un intervalo con el tiempo. Siempre es positiva.

tS

= C

mv

I

I

tt

rr

t

r = v

F

Fm

Velocidad instantánea, , es una magnitud vectorial cuya dirección es tangente a la trayectoria en el punto considerado, su sentido es el del desplazamiento y su módulo es el módulo de la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.

Se utiliza cuando hay que calcular la velocidad en un punto o instante determinado:

dtrd

= v

v

Es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo de cambio del vector velocidad con el tiempo.

La unidad de aceleración en el Sistema Internacional, es el m/s².

Aceleración media, , es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que los del vector y su módulo es el cociente entre el módulo del vector y el tiempo.

Se utiliza cuando hay que calcular la aceleración en un intervalo:

I

I

t-t

vv

t

va

F

Fm

ma

v

v

Aceleración instantánea, , es un vector cuya dirección y sentido coinciden con los del vector d y su módulo es el cociente entre el módulo de d (infinitamente pequeño) y el tiempo transcurrido (infinitamente pequeño).

Se utiliza cuando hay que calcular la aceleración en una posición o instante dado:

dt

vda

a

v v

La aceleración nos indica si hay cambios en el vector velocidad. Estos cambios pueden ser debidos a que varíe el módulo de la velocidad (rapidez) y/o su dirección. Por eso, se distinguen dos tipos de aceleración: tangencial y normal.

La aceleración tangencial, , relaciona la variación del módulo del vector velocidad con el tiempo.

ta

La aceleración tangencial, , es un vector que tiene dirección tangente a la trayectoria, sentido el mismo que el del vector velocidad y su módulo es:

ta

dt

vat

La aceleración normal (o centrípeta), , relaciona los cambios de la dirección de la velocidad con el tiempo.

na

La aceleración normal (o centrípeta), , es un vector que tiene dirección perpendicular a la trayectoria, sentido hacia dentro y su módulo es:

na

R

v a

2

n

Si , es un vector unitario según la dirección tangente, y , un vector unitario según la dirección de la normal:

Esto supone que cuando un coche toma una curva, aunque su rapidez sea constante, está cambiando su velocidad.

naaaaa ntnt

n