La cinematica del punto materiale -...

CINEMATICA

La cinematica si occupa dello studio del moto dei corpi. In generale la cinematica si interessa semplicemente della descrizione del moto

dei corpi e non del motivo per cui essi assumono le traiettorie osservate.

Il primo problema che poniamo è dunque quello di definire la posizione di un punto nello spazio. Si noti anzitutto che la posizione

assoluta di un punto nello spazio non può essere definita matematicamente. Quando parliamo della posizione di un punto ci

riferiamo sempre alla posizione del punto rispetto ad un altro punto scelto come riferimento.

Per descrivere matematicamente la posizione possiamo :i) fissare un sistema di riferimento cartesiano con con origine nel

punto scelto come riferimento e tre assi ortogonali di orientamento arbitrario. La posizione del punto sarà definita

univocamente da una terna ordinata di numeri che rappresentano le coordinate (x, y, z) del punto nel sistema di riferimento scelto.

ii) costruire il vettore posizionale. Il vettore posizionale è il vettore

che congiunge lʼorigine al punto (con coda nellʼorigine)

Le due descrizioni sono equivalenti. Si considerino infatti i tre

versori ortogonali i , j, k con le stesse direzioni e verso degli assi

cartesiani del sistema di riferimento del punto i). Esprimendo le

componenti del vettore posizionale del punto ii) usando questi tre

-La cinematica del punto materiale -

1

versori otterremo proprio che le tre componenti sono (x, y, z) ovvero

le coordinate del punto. Ovviamente una qualsiasi terna di versori

ortogonali può essere adottata per esprimere il vettore posizionale per componenti. Terne differenti corrisponderanno a componenti

differenti (ma il vettore risultante dalla sovrapposizione sarà sempre lo stesso).

Risulta perciò evidente che per definire univocamente la posizione di un punto sono necessari 3 numeri (con la loro unità di misura). Si

ricordi comunque che i 3 numeri non hanno significato se non si specificano 3 assi orientati ed unʼorigine rispetto ai quali dare

significato ai 3 numeri.

Arriviamo a questo punto al problema di descrivere il movimento di un punto materiale. Studiare il moto di un punto materiale significa

registrare la sua posizione al variare del tempo. Quando un punto si muove le sue coordinate cambiano nel tempo o equivalentemente il

vettore posizionale varia nel tempo. Il punto descrive una traiettoria. La traiettoria è lʼinsieme delle posizioni occupate dal punto

materiale durante il moto.Anche il moto è un concetto relativo. Supponiamo di essere su un

treno in prossimità di una stazione ferroviaria. Fuori dal finestrino

vediamo un altro treno e notiamo che si sta muovendo rispetto a noi. E’ impossibile da questa sola osservazione stabilire quale dei

due treni si sta muovendo rispetto alla stazione.


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Ci sono due metodi per descrivere univocamente lo stato di moto di

un punto materiale (una volta scelto un sistema di riferimento):a) si può dare la traiettoria e la funzione spostamento sulla

traiettoria (in questo caso parleremo di descrizione intrinseca del moto)

b) si può dare il vettore posizionale in funzione del tempo (definendo una base di versori e quindi le tre componenti rispetto

a questa base in funzione del tempo). Parleremo in particolare di descrizione vettoriale del moto; parleremo di descrizione

cartesiana quando le tre componenti sono proprio le coordinate

x(t), y(t), z(t)( ) .

Si noti che la ricostruzione della traiettoria di un punto materiale (o del suo vettore posizionale in funzione del tempo) richiede lʼinterpolazione di una serie di dati: per studiare il moto di un punto

possiamo registrare la sua posizione a certi istanti di tempo (ad

esempio ogni 5 secondi) quindi, al termine della misura, siamo in grado di esprimere con certezza (a meno di errori di misura) solo alcuni punti della traiettoria. La nostra ricostruzione del moto

risulterà più completa se saremo in grado di misurare la posizione

del punto ad intervalli di tempo più piccoli fra una misura e lʼaltra.

Descrizione intrinseca del moto

La traiettoria di un punto che si muove è una curva nello spazio.

Per semplicità se ci limitiamo ai moti piani (ovvero al moto di punti materiali su un piano) allora la traiettoria di questi punti può essere


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descritta da unʼequazione del tipo f (x, y) = 0 avendo scelto un

opportuno sistema di riferimento cartesiano sul piano (in questo

caso con gli assi x,y sul piano e lʼasse z perpendicolare al piano).

EsempiSe la traiettoria di un punto è una retta allora lʼequazione è del tipo

ax + by + c = 0 ;

Se la traiettoria è una parabola allora lʼequazione potrebbe essere

del tipo y − ax2 + bx + c = 0 (questa equazione descrive solo le

parabole con asse di simmetria parallelo allʼasse y);

Se la traiettoria è una circonferenza allora lʼequazione è del tipo

x2 + y2 + ax + by + c = 0 ;

Se la traiettoria è unʼellisse allora lʼequazione potrebbe essere del

tipo x2

a2+ y

2

b2−1= 0 (questa equazione descrive ellissi con i fuochi

sullʼasse x).

Ovviamente lʼequazione potrebbe essere molto più complessa.Una volta determinata la traiettoria del moto è necessario definire il

modo in cui il punto materiale si muove su di essa. Per farlo si fissi su di essa un punto arbitrario O ed un verso di percorrenza

(attenzione a non confondere in questo contesto il punto O definito

sulla traiettoria e lʼorigine del sistema di riferimento cartesiano). La

posizione di un punto P sulla traiettoria sarà univocamente data da


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un numero reale che rappresenti lo spostamento sulla traiettoria “s ”

ovvero la lunghezza dellʼarco OP (assumendo s positivo quando P è

dalla stessa parte dellʼorientamento scelto sulla traiettoria ed s

negativo quando è dalla parte opposta)

Esempio 1: si immagini che un punto materiale abbia una traiettoria rettilinea y = 3x +1 . Determinare lo spostamento s sapendo che O

è scelto in corrispondenza dellʼintersezione con lʼasse delle ordinate, la retta è orientata in verso positivo nella direzione delle

ascisse crescenti e sapendo che P ha coordinate 2, 7( ) .

-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-2,5

2,5

5

7,5

10

O

P


5

Soluzione: s è +OP essendo OP la distanza fra lʼorigine ed il

punto. Tale distanza si può calcolare con il teorema di Pitagora, essendo note le coordinate di O e di P , come:

OP = (2 − 0)2 + (7 −1)2 = 4 + 36 = 2 10 .

Esempio 2: si determini s per il punto P sulla parabola di equazione

y = 2x2 +1 essendo O 0,1( ) , P 2,9( ) ed essendo posi t ivo

lʼorientamento nel verso delle ascisse decrescenti.

-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-2,5

2,5

5

7,5

10

O

P

Soluzione: s è dato dallʼopposto della misura dellʼarco rettificato OP

(è quindi un numero reale negativo!).


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Si noti che lo spostamento s non dipende semplicemente dalle

posizioni relative di O e di P nello spazio ma dipende anche dalla

traiettoria che li congiunge.Quando il punto P si muove sulla traiettoria allora lo spostamento s

è una funzione del tempo s(t) . Questa funzione calcolata ad un

certo istante rende la posizione s del punto in quellʼistante.

Velocità media e velocità istantanea

Immaginiamo ora di conoscere la posizione s(t1) s(t2 ) del punto agli

istanti t1 e t2 e la sua traiettoria. Definiamo velocità media del punto

nellʼintervallo di tempo Δt = t2 − t1 la quantità

vm = ΔsΔt

essendo Δs = s(t2 )− s(t1) ovvero la distanza fra le posizioni del

punto agli istanti t1 e t2 calcolata sulla traiettoria!

Un moto si dice uniforme se la velocità media è la stessa per

qualsiasi scelta di t1 e di t2 . Se il moto di un punto è uniforme esso

copre archi di circonferenza uguali in tempi uguali.

I moti che si osservano in natura difficilmente sono moti di tipo

uniforme: si parla in questi casi di moto vario. Per questi moti la velocità media dipende dallʼintervallo di tempo considerato e quindi


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è una proprietà poco rilevante. In questi casi è necessario

introdurre il concetto di velocità istantanea. La velocità istantanea è la velocità media calcolata su intervalli di tempo infinitamente

piccoli. Essa è definita solo teoricamente con unʼoperazione di limite:

v(t) = limΔt→0s(t + Δt)− s(t)

Δt= ds(t)

dt;

sperimentalmente possiamo pensare che misure della velocità media fatte con strumenti sempre più precisi e su intervalli di tempo

sempre più piccoli diano risultati molto vicini alla velocità istantanea.

Nel caso di moti uniformi la velocità media e la velocità istantanea sono uguali.La velocità (sia essa media o istantanea) è un numero con un

segno positivo o negativo. Il segno positivo ci dice che il punto P si

sta muovendo (mediamente o istantaneamente) in direzione

opposta rispetto allʼorientamento scelto sulla traiettoria. La velocità è ottenuta dividendo uno spostamento ed un intervallo

di tempo. Se lo spostamento è espresso in metri e lʼintervallo di tempi in secondi allora la velocità sarà espressa in metri diviso

secondi (m / s) .

Si noti infine che le definizioni di velocità media ed istantanea non

dipendono dalla traiettoria ma solo dallo spostamento espresso in funzione del tempo. Il valore della velocità non dipende dallʼorigine

O scelta sulla traiettoria poiché la differenza Δs dipende solo dalla


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misura dellʼarco percorso, ma il segno della velocità dipende

ovviamente dallʼorientamento scelto sulla traiettoria.

Accelerazione media ed istantaneaIn maniera analoga a quanto fatto per la velocità media ed

istantanea è possibile definire unʼaccelerazione media ed unʼaccelerazione istantanea.

Immaginiamo ora di conoscere la velocità istantanea v(t1) v(t2 ) del

punto agli istanti t1 e t2 . Definiamo accelerazione media del punto

nellʼintervallo di tempo Δt = t2 − t1 la quantità

am = ΔvΔt

essendo Δv = v(t2 )− v(t1) ovvero la differenza fra le velocità

istantanee del punto agli istanti t1 e t2 .

Lʼaccelerazione istantanea è lʼaccelerazione media calcolata su

intervalli di tempo infinitamente piccoli. Essa è definita solo teoricamente con la seguente operazione di limite:

a(t) = limΔt→0v(t + Δt)− v(t)

Δt= dv(t)

dt= d

2s(t)dt 2

.

Lʼaccelerazione è ottenuta dividendo una velocità ed un tempo. Se la velocità è espressa in metri diviso secondi e il tempo in secondi

allora lʼaccelerazione sarà espressa in metri diviso secondi al

quadrato (m / s2 ) .


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Esercizi

1) Unʼauto viaggia alla velocità costante di 108Km / h ; determinare

la velocità in m / s ed il tempo che impiega per percorrere 36Km .

(30m / s ,20min )

2) Due auto viaggiano di moto uniforme lungo due strade rettilinee formanti, fra di loro, un angolo retto. Sapendo che le due auto

hanno velocità rispettivamente di 10m / s e 20m / s e che sono

partite allo stesso istante dallʼincrocio fra le due strade, determinare la distanza in linea dʼaria dopo 5 minuti. (6708m )

3) Un corridore percorre 3 giri di una pista lunga 800m impiegando i

seguenti tempi:120 s ,122 s ,123.5 s . Calcolare la velocità media a

ciascun giro e la velocità media sullʼintero percorso. (6.67m / s ,

6.56m / s ,6.48m / s ,6.57m / s )

4) Unʼauto viaggia per 200Km alla velocità media di 50Km / h ed i

successivi 160Km alla velocità media di80Km / h ; calcolare la

velocità media nellʼintero percorso.


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5) Unʼauto entra in autostrada e viaggia con velocità costante di

60Km / h . Una seconda auto entra in autostrada unʼora dopo la

prima e viaggia con la velocità costante di80Km / h . Calcolare a

quale istante dallʼingresso della prima auto in autostrada essa

viene raggiunta dalla seconda auto e quanta strada e stata percorsa dalla auto a quellʼistante. (4 h ,240Km )

6) Unʼautomobile viaggia alla velocità di60Km / h . Premendo

lʼacceleratore la velocità aumenta con accelerazione costante di

2m / s2 fino a132Km / h . Calcolare lʼintervallo di tempo in cui si è

avuta la variazione di velocità. (10 s )

7) Unʼautomobile si muove alla velocità di 90Km / h allorché,

improvvisamente, si presenta un ostacolo a 30m . Il guidatore,

azionando i freni, riesce ad ottenere un moto uniformemente

decelerato con decelerazione uguale a 10m / s2 . Stabilire se

lʼauto investe lʼostacolo. (si)

8) Un auto alla velocità di 108Km / h è costretta a fermarsi.

Supponendo che occorrano 0.5 s affinché i riflessi consentano

allʼautista di frenare, calcolare lo spazio percorso dallʼistante in

cui il guidatore è costretto a fermarsi. Si supponga che durante la


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frenata il moto sia uniformemente decelerato con decelerazione

uguale a10m / s2 .

Descrizione vettoriale del moto

Come già preannunciato la descrizione del moto tramite il vettore posizionale è perfettamente equivalente rispetto alla descrizione intrinseca. Il vettore posizionale di un punto in movimento varia nel

tempo (può variare in modulo, direzione e verso).

Se r (t1),

r (t2 ) sono i vettori posizionali del punto agli istanti t1 e t2

allora possiamo definire la velocità vettoriale media del punto

nellʼintervallo Δt = t2 − t1 come

vm = ΔrΔt

essendo Δr = r (t2 )−

r (t1) ovvero il vettore spostamento fra i punti

r (t1),

r (t2 ) . Con unʼoperazione di limite è poi possibile definire la

velocità vettoriale istantanea come

v(t) = limΔt→0

r (t + Δt)− r (t)Δt

= dr (t)dt

.

Le unità di misura di velocità vettoriali e delle velocità definite nei paragrafi precedenti sono le stesse. Si noti inoltre che:

1) per moti non rettilinei Δr ≠ Δs e perciò per questi moti

vm ≠ vm .

Questo succede perché Δs rappresenta la lunghezza di un arco


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mentre Δr rappresenta la lunghezza della corda sottesa dallo

stesso arco;

2) Quando ragioniamo su tempi infinitamente piccoli e quindi

spostamenti infinitesimi lʼarco e la corda sottesa diventano

indistinguibili quindi vale sempre che v(t) = v(t) ;

3) La direzione della velocità vettoriale istantanea del punto è

tangenziale alla sua traiettoria. Vale la relazione v(t) = v(t) tt

essendo tt un versore tangenziale al la traiettoria in

corrispondenza del punto r (t) .

Se v(t1),

v(t2 ) sono le velocità vettoriali istantanee del punto agli

istanti t1 e t2 allora possiamo definire lʼaccelerazione vettoriale

media del punto nellʼintervallo Δt = t2 − t1come

am = ΔvΔt

essendo Δv = v(t2 )−

v(t1) il vettore differenza fra le velocità

v(t1),

v(t2 ) . Con unʼoperazione di limite è poi possibile definire

lʼaccelerazione vettoriale istantanea come

a(t) = limΔt→0

v(t + Δt)− v(t)Δt

= dv(t)dt

= d2r (t)dt 2

.

Le unità di misura delle accelerazione vettoriali e delle accelerazioni definite nei paragrafi precedenti sono le stesse. Si noti inoltre che:


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4) per moti non rettilinei Δv ≠ Δv e perciò per questi moti

am ≠ am .

Questo succede perché Δv rappresenta la differenza dei moduli

del vettore velocità (per quanto osservato nel punto 2) mentre

Δv rappresenta il modulo della differenza dei vettori velocità;

siccome i vettori si sommano e sottraggono secondo la regola del parallelogramma queste quantità sono diverse a meno che il

moto non sia rettilineo.

5) Solo per moti rettilinei vale che a(t) = a(t) ;

6) In generale lʼaccelerazione vettoriale istantanea ad un certo istante t si può scrivere come la somma di due contributi come

a(t) = dv(t)dt

tt +v(t)2

Rtnt essendo tt un versore tangenziale alla

traiettoria in corrispondenza del punto r (t) , nt è un versore

ortogonale a tt ed Rt è il raggio di curvatura della traiettoria in

corrispondenza del punto r (t) .

La traiettoria e la velocità di un punto permettono di classificare

diversi tipi di moto.

Il moto rettilineo è quello di un punto materiale che si muove su una

retta. Il moto rettilineo uniforme è il moto con velocità costante, il moto rettilineo uniformemente accelerato è il moto di un punto con

accelerazione costante.


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Il moto circolare è quello di un punto che si muove su una

circonferenza. Il moto circolare uniforme è il moto con velocità costante.

Derivata di un vettore

Si noti anzitutto che nella definizione di velocità ed accelerazione vettoriali istantanee è stato formalmente introdotta la derivata di un

vettore. Come si deriva un vettore? Vediamo di elencare alcune semplici proprietà di cui gode

lʼoperazione di derivazione di un vettore in analogia con le più note proprietà della derivazione di una funzione reale.

La derivata di un vettore è lineare (regola della somma): la derivata di un vettore somma è uguale alla somma delle derivate dei vettori

componenti:

ddtv1(t)+

v2 (t)( ) = ddtv1(t)+

ddtv2 (t) ;

vale inoltre la regola di Leibniz (regola del prodotto) rispetto a tutti i

possibili prodotti definiti con i vettori (prodotto per uno scalare,

prodotto scalare, prodotto vettoriale) ovvero:

1)

ddt

α(t) v(t)( ) = dα(t)dtv(t)+α(t) d

v(t)dt

rispetto al prodotto per uno

scalare,

2)

ddtv(t)· w(t)( ) = d

v(t)dt

· w(t)+ v(t)· dw(t)dt

rispetto al prodotto scalare,


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3)

ddtv(t)∧ w(t)( ) = d

v(t)dt

∧ w(t)+ v(t)∧ dw(t)dt

rispetto al prodotto

vettoriale.

Moto UniformePer definizione in un moto uniforme la velocità istantanea è la

stessa lungo tutta la traiettoria ed è uguale alla velocità media. Vale quindi:

v(t) = vm = ΔsΔt

,

Se rappresentiamo graficamente la velocità istantanea in funzione del tempo osserveremo semplicemente una retta costante parallela

all’asse delle ascisse.

t

v(t)

vm

t1 t2

Lo spostamento Δs = s(t1)− s(t2 ) corrispondente ad un intervallo di

tempo Δt = t2 − t1 è dato da Δs = vmΔt ed è uguale all’area sottesa al


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grafico della velocità fra gli istanti t1 e t2 (si assuma per

convenzione l’area positiva quando giace nel semipiano delle ordinate positive e l’area negativa quando giace nel semipiano delle

ordinate negative).In generale l’area sottesa dal grafico della velocità in funzione del

tempo è legata allo spazio percorso. L’accelerazione media e l’accelerazione istantanea in un moto uniforme sono uguali a zero.

Moto uniformemente accelerato (decelerato)

Per definizione il moto uniformemente accelerato è il moto di un punto con accelerazione media ed istantanea uguali e costanti. In

generale la variazione di velocità fra due istanti di tempo è data da

Δv = v(t2 )− v(t1) = amΔt = am (t2 − t1) . Se rappresentiamo graficamente

l’accelerazione in funzione del tempo osserveremo semplicemente

una retta costante parallela all’asse delle ascisse e Δv è dato

dall’area sottesa dalla retta fra i punti t1 e t2 (con la convenzione del

segno usata nell’esercizio precedente). Dall’espressione appena

ottenuta osserviamo che sostituendo t2 → t si ricava l’espressione

della velocità istantanea ad un generico istante di tempo:

v(t) = v(t1)+ am t − t1( ) .

Si noti che la velocità istantanea dipende dalla velocità ad un

istante arbitrariamente scelto (in questo caso t1 ).


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Vediamo ora come sia possibile determinare lo spostamento. Per determinarlo possiamo procedere per via grafica: rappresentiamo la

velocità istantanea in funzione del tempo e determiniamo l’area sottesa dal grafico.

t

v(t)

v(t1)

t1 t2

v(t2)

L’espressione della velocità istantanea in funzione del tempo è

l’equazione di una retta con coefficiente angolare am (si pensi alla

sostituzione y→ v(t), x→ t ).

E’ evidente dal grafico della velocità che l’area sottesa dalla retta è

data dalla somma del lato del rettangolo di altezza v(t1) e di base

Δt = t2 − t1 con l ’a rea de l t r iango lo re t tango lo d i ca te t i

Δv = v(t2 )− v(t1) = amΔt e Δt . Ricapitolando

Δs = v(t1)Δt +12ΔvΔt = v(t1)Δt +

12amΔt

2 .


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Ricordando la definizione di Δs = s(t2 )− s(t1) e sostituendo a t2 un

generico t si ottiene l’espressione dello spostamento in funzione

del tempo per un moto uniformemente accelerato:

s(t) = 12am t − t1( )2 + v(t1) t − t1( ) + s(t1)

Moto Circolare Uniforme

Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale su una circonferenza con velocità costante. E’ importante studiare il moto

circolare uniforme con gli strumenti della cinematica vettoriale.

v(t1)

v(t2 )

v(t1)

v(t2 )

v(t2 ) −

v(t1)

Δθ

Δθ

Il vettore velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria del punto ed ha modulo uguale alla velocità istantanea (che costante

nel caso di moto uniforme). Questo significa che la velocità vettoriale istantanea varia nel tempo

(varia in direzione e verso ma non in modulo!) perciò l’accelerazione vettoriale non è uguale a zero. Ricapitolando

l’accelerazione è nulla perché la velocità è costante ma


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l’accelerazione vettoriale è diversa da zero perché la velocità vettoriale cambia nel tempo.

Ricordando l’espressione per l’accelerazione vettoriale

a(t) = dv(t)dt

tt +v(t)2

Rtnt

osserviamo dunque che il primo contributo è uguale a zero e sopravvive solo il secondo:

Il contributo deriva dal fatto che il vettore velocità cambia in direzione e verso lungo la traiettoria.

Approfondimento: curve e vettori

È evidente che il vettore posizionale può essere adottato per descrivere una curva nello spazio, del resto le sue componenti in

rappresentazione cartesiana sono proprio le coordinate (x, y, z) .

Esempio 1

Si descriva con il vettore posizionale la retta y = 3x +1 . Un generico

punto sulla retta con ascissa ξ avrà per definizione ordinata 3ξ +1 .

Il suo vettore posizionale sarà perciò

r (ξ) = ξ i + 3ξ +1( ) j e variando ξ da −∞ a +∞ si otterranno tutti i

punti della retta.


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Esempio 2

Si descriva con il vettore posizionale la parabola y = 2x2 − x + 3 . Un

generico punto sulla parabola con ascissa ξ avrà per definizione

ordinata 2ξ2 −ξ + 3 . Il suo vettore posizionale sarà perciò

r (ξ) = ξ i + 2ξ2 −ξ + 3( ) j e variando ξ da −∞ a +∞ si otterranno tutti

i punti della parabola.

Esempio 3Si descriva con il vettore posizionale un generico punto della

circonferenza x − 3( )2 + y +1( )2 = 4 . La circonferenza in questione ha

centro in C : 3,−1( ) ed ha raggio R = 2 . L’equazione che descrive i

punti della circonferenza è di secondo grado sia in x che in y

quindi non si può ripetere il procedimento adottato per retta e

parabola degli esempi precedenti.Per rispondere alla domanda risolviamo un problema più semplice:

la descrizione della circonferenza con centro nell’origine e raggio R = 2 .

Un punto della circonferenza ha coordinate R cosθ,R sinθ( ) quindi il

vettore posizionale sarà r = R cosθ i + R sinθ j con θ che varia

nell’intervallo 0,2π[ ] .

Ora torniamo al problema originale. La circonferenza ha centro in

C : 3,−1( ) invece che nell’origine quindi


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r = rC + R cosθ i + R sinθ j = 3+ 2 cosθ( ) i + −1+ 2 cosθ( ) j

con θ che varia nell’intervallo 0,2π[ ] .

Approfondimenti di CinematicaLa descrizione vettoriale del moto di un punto materiale si

costruisce a partire dalla definizione di “vettore posizionale”. In un sistema di riferimento fissato il vettore posizionale di un punto è il

vettore che congiunge l’origine al punto ed è orientato nel verso del punto.

r

θ

iriθ

In generale possiamo definire il versore

ir =

rr

come il versore che ha la stessa direzione e verso del vettore

posizionale. Il vettore posizionale si può sempre scrivere come


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r = rrr

= r ir

ovvero come il suo modulo per il versore appena definito.

Specializziamo i nostri ragionamenti al caso di un moto piano. La direzione sul piano è univocamente definita dall’angolo θ che la

direzione forma con l’asse delle x. In funzione di tale angolo

possiamo dire che ir = cosθ i + sinθ j .

Se il punto materiale si muove allora il vettore posizionale varia in

modulo, direzione e verso nel tempo (quindi θ cambia nel tempo).

La velocità vettoriale istantanea è

v(t) =d rdt

ir +r dirdt

.

Si noti che in generale le direzioni di ir e di dirdt

sono ortogonali. Per

dimostrarlo si consideri un generico versore v . Per definizione il

prodotto scalare di un versore per sé stesso è 1 ovvero v·v = 1 .

Derivando questa relazione rispetto al tempo a lato sinistro si

ottiene dv·vdt

= 2v· dvdt

e la lato destro si ottiene zero (perché la

derivata di una costante è zero). Quindi:

v· dvdt

= 0

che significa che il prodotto scalare di un versore e della sua derivata rispetto al tempo è zero ovvero il versore e la sua derivata


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sono ortogonali (a meno che il versore non abbia direzione e verso

costanti, nel caso ovviamente dvdt

= 0 ). Si noti che in generale la

derivata di un versore non è anch’essa un versore ovvero non ha modulo uguale ad uno.

Torniamo al problema iniziale. Se calcoliamo la derivata di ir

rispetto al tempo si ottiene:

dirdt

= − θ sinθ i + θ cosθ j = θ − sinθ i + cosθ j( ) = θ iθdove il punto indica la deriva rispetto al tempo e, nell’ultimo

passaggio, viene definito il versore iθ = − sinθ i + cosθ j (è facile

dimostrare che è un vettore utilizzando l’identità principale della

trigonometria sin2 θ + cos2 θ = 1 ).

Ricapitolando (e definendo r =r ):

v(t) = r ir + rdirdt

= r ir + r θ iθ

Derivando ulteriormente l’espressione della velocità vettoriale istantanea si ottiene l’accelerazione vettoriale istantanea:

a(t) = dv(t)dt

= r ir + rdirdt

+ r θ iθ + r θ iθ + r θdiθdt

.

Dalla definizione di iθ si ottiene:

diθdt

= − θ cosθ i − θ sinθ j = − θ cosθ i + sinθ j( ) = − θ ir


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e quindi l’espressione per l’accelerazione prende la forma finale

a(t) = r − r θ 2( ) ir + 2 r θ + r θ( ) iθ .

Esempio 1:Si applichino le espressioni appena trovate al moto circolare.

(R, 0)

(0,R)

r

θ

Se fissiamo l’origine del sistema di riferimento in corrispondenza del

centro della traiettoria circolare di raggio R allora il vettore

posizionale sarà r (t) = R ir . Il modulo del vettore posizionale è

quindi costante perciò r = r = 0 e le espressioni di velocità e

accelerazione vettoriale si semplificano diventando:

v(t) = θ R iθ ,a(t) = −R θ 2 ir + R θ iθ = −

v· v( )R

ir + R θ iθ .

Esempio 2: Calcolo della componente normale e tangenziale dell’accelerazione

vettoriale.


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Vediamo un esempio completamente generale in cui vengono formalmente calcolate le componenti normale e tangenziale

dell’accelerazione di un moto vario descritto dal vettore posizione

r (t) = x(t) i + y(t) j . L’espressione della velocità per tale moto è

v(t) = x(t) i + y(t) j e quindi il versore tangente alla traiettoria al

variare del tempo è:

tt =

x i + y jx2 + y2

,

dove con il pedice t intendiamo che il versore tangente varia, in

generale, con il tempo. Esiste quindi ad ogni istante un versore nt (il

versore normale) tale che nt · tt = 0 .

L’accelerazione vettoriale è a(t) = x(t) i + x(t) j . Ad un generico

istante t , il vettore accelerazione si può scrivere anche come la

somma di due contributi nella forma a(t) = anorm (t) nt + atang (t) tt . I

coefficienti rispetto alla coppia di versori tangente e normale sono proprio le componenti normale e tangenziale dell’accelerazione che

dobbiamo calcolare. Ci sono due possibilità a questo punto:

1) si determina nt nella forma nt = ntxi + nty j richiedendo che nt · tt = 0

e che nt ·nt = 1 . E’ facile verificare che il versore che stiamo

cercando è


26

nt = ±

y i − x jx2 + y2

;

le componenti saranno date da

atang (t) =a(t)· tt

anorm (t) =a(t)·nt

⎧⎨⎪

⎩⎪.

2) visto che tt è già noto e che atang (t) =a(t)· tt allora dalla

definizione a(t) = anorm (t) nt + atang (t) tt si ha che

anorm (t) nt =a(t)− atang (t) tt

il cui lato destro è calcolabile. Quindi

anorm (t) = anorm (t) nt( )· anorm (t) nt( ) = a(t)− atang (t) tt( )· a(t)− atang (t) tt( ) .

Il moto armonico

Consideriamo ora il moto di un punto materiale vincolato a muoversi su una retta. Se la funzione spostamento è della forma

s(t) = s0 + Δs cos ωt +φ0( )

allora diciamo che il punto si muove di moto armonico. Il moto armonico, a causa della periodicità della funzione coseno è un moto

periodico. Questo significa che le caratteristiche del moto si ripetono ad intervalli di tempo regolari uguali al periodo della

funzione coseno. Il periodo è

T = 2πω

.


27

La frequenza di oscillazione (numero di oscillazioni al secondo) è data dall’inverso del periodo espresso in secondi:

ν = 1T

= ω2π

.

Al variare dei parametri (s0 ,Δs,ω ,φ0 ) il moto armonico ha

caratteristiche diverse. In particolare s0 è il punto centrale della

traiettoria, Δs è l’ampiezza dell’oscillazione, ω si chiama pulsazione

ed è proporzionale alla frequenza di oscillazione, φ0 è una fase che

specifica l’ampiezza all’istante t = 0 s .

Il moto armonico è limitato nello spazio ovvero il punto materiale

rimane sempre confinato ad una regione di lunghezza 2Δs intorno a

s0 . Utilizzando la relazione trigonometrica

cos α + β( ) = cosα cosβ − sinα sinβ

allora è possibile riscrivere la legge oraria nella forma:

s(t) = s0 + Δs cosφ0 cos ωt( )− Δs sinφ0 sin ωt( ) = s0 + A cosωt + B sinωt

ovvero come la combinazione di un seno ed un coseno senza la

fase (che viene riassorbita dai coefficienti A, B ).

Vediamo ora di determinare la velocità e l’accelerazione istantanee:

v(t) = −Δsω sin ωt +φ0( )

e

a(t) = −Δsω 2 cos ωt +φ0( ) = −ω 2 s(t)− s0( ) .


28

Si noti quindi che l’accelerazione è proporzionale allo spostamento rispetto all’origine ed in particolare è massima (in modulo) quando

la velocità si annulla ovvero per cos ωt +φ0( ) = ±1 . Inoltre

l’accelerazione sarà nulla quando la velocità è massima (in modulo).

Composizione di moti

Immaginiamo ora che siano note le leggi orarie di due moti rettilinei con traiettorie ortogonali e con l’origine in comune. Ad esempio nel

piano (x, y) si immagini di conoscere la legge oraria x(t) di un punto

che si muove rispetto all’origine sull’asse delle ascisse e quella y(t)

di un punto che si muove sull’asse delle ordinate. Componiamo ora il moto nel senso che consideriamo la traiettoria di un punto

descritto dal vettore posizionale r (t) = x(t) i + y(t) j e vediamo qual è

il risultato di questa operazione.

Esempio 1

Partiamo dalla composizione di due moti rettilinei uniformi:

x(t) = a t + by(t) = c t + d

⎧⎨⎩

dove a,b,c,d sono 4 costanti arbitrarie. Per determinare la

traiettoria ricaviamo t nella prima

t = x − ba


29

e sostituiamo nella seconda

y = cax − b( ) + d⇒ y = c

ax + d − b c

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Quindi la traiettoria risultante è una retta. Su questa retta è facile

verificare che il vettore posizionale descrive un moto uniforme infatti:

v = a i + c j

che è costante in modulo, direzione e verso. Quindi la

composizione di due moti rettilinei uniformi da un moto rettilineo uniforme lungo una nuova direzione definita dal versore

v = a i + c ja2 + c2

.

Si noti che la proiezione lungo i due assi cartesiani del moto composto rende proprio i due moti rettilinei di partenza.

Esempio 2

Si consideri la composizione di un moto uniforme ed un moto uniformemente accelerato:

x(t) = a t + by(t) = c t 2 + d t + e

⎧⎨⎩

dove a,b,c,d,e sono 5 costanti arbitrarie. Per determinare la

traiettoria ricaviamo t nella prima

t = x − ba


30

e sostituiamo nella seconda:

y = c x − ba

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ d x − ba

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + e .

Una volta eseguiti i prodotti riordinati i pezzi si ottiene:

y = ca2x + d

a− 2 b c

a2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x + e− b d

a+ b

2ca2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

che è l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse delle

ordinate. Dunque il moto parabolico si può ottenere dalla sovrapposizione di un moto uniforme ed un moto uniformemente

accelerato. Il moto parabolico è tipico di un grave (ovvero un oggetto dotato di massa) nel campo gravitazionale terrestre.

Esempio 3

Infine consideriamo la composizione di 2 moti armonici con la stessa pulsazione

x(t) = A cos ωt( )y(t) = B cos(ωt +φ0 )

⎧⎨⎩

.

Per ottenere la traiettoria anzitutto espandiamo il coseno:

y = B cosφ0 cosωt − B sinφ0 sinωt

poi utilizziamo il fatto che dalla prima legge oraria si ricava che

cosωt = xA

che sostituita nella seconda e dopo un po’ di algebra darà


31

y − BAcosφ0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x

B sinφ0= − sinωt .

Si noti che questa espressione ha significato solo se il seno nn si

annulla ovvero per φ0 ≠ kπ . Infine quadrando entrambi i membri

delle due leggi orarie ed utilizzando la “solita” identità

trigonometrica sin2ωt + cos2ωt = 1 si ottiene l’equazione della

traiettoria

x2

A2+

y − BAcosφ0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x

B sinφ0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

2

= 1

che dopo qualche semplificazione darà

x2

A2 sin2 φ0+ y2

B2 sin2 φ0− 2 cosφ0

AB sin2 φ0xy = 1 .

Vediamo qualche caso particolare: se lo sfasamento è φ0 =π2+ kπ

allora sin2 φ0 = 1 e l’equazione diventa:

x2

A2+ y2

B2= 1

che descrive un ellisse. Se poi le ampiezze delle oscillazioni sono

uguali l’equazione diventa quella di una circonferenza ed il moto composto è un moto circolare uniforme.

Infine si consideri il caso in cui φ0 = kπ . In questo caso


32

x = A cosωty = ±B cosωt

⎧⎨⎩

perciò l’equazione della traiettoria è

y = ± BAx

che è l’equazione di una retta che passa per l’origine. Il vettore posizione composito, in questo caso, si muove di moto armonico

intorno all’origine sulla retta con l’equazione appena trovata con

spostamento massimo Δs = A2 + B2 . Questo significa che in

realtà la retta non rappresenta per intero la traiettoria del moto

composito che è invece solo un intervallo di tale retta.

Esempio 5 (il moto elicoidale)Il moto elicoidale è il moto risultante dalla sovrapposizione di 3 moti

lungo i 3 assi di un sistema di riferimento cartesiano: due moti

armonici di uguale ampiezza e sfasati di φ0 =π2+ kπ lungo x e y ed

un moto rettilineo uniforme nella direzione dell’asse z .

Moto del proiettile

Il moto di un punto materiale nel campo terrestre è proprio un moto parabolico derivante dalla sovrapposizione di un moto rettilineo

uniforme nella direzione orizzontale ed un un modo uniformemente accelerato nella direzione verticale (con accelerazione verso terra

di modulo g = 9.81m / s2 ). Consideriamo il moto di un punto


33

materiale lanciato da terra con velocità di modulo v0 e angolo di

lancio α (formato fra il vettore velocità e la direzione orizzontale).

Vogliamo determinare la gittata del lancio e la quota massima

raggiunta in funzione di v0 ed α . Il moto è composto ovvero:

x(t) = 0y(t) = −g

⎧⎨⎩

quindi le componenti del vettore posizione sono:

x(t) = x(0) t + x(0)

y(t) = − 12g t 2 + y(0) t + y(0)

⎧⎨⎪

⎩⎪.

Scegliendo il sistema di riferimento con origine nel punto di lancio

allora x(0) = 0 e y(0) = 0 inoltre x(0) = v0 cosα e y(0) = v0 sinα .

Dunque

x(t) = v0 cosα t

y(t) = − 12g t 2 + v0 sinα t

⎧⎨⎪

⎩⎪;

la quota massima si ottiene cercando il massimo di y(t) ovvero

d a l l e s o l u z i o n i d e l l ’ e q u a z i o n e dydt

= 0 . S i h a c h e

y = −g t + v0 sinα = 0⇒ t = v0 sinα

g e sostituendo in y(t) si ha

ymax =v02 sin2α2g

.


34

La gittata invece si ottiene cercando l’istante di tempo in cui y(t) = 0

ovvero t = 2 v0 sinαg

e sostituendo in x(t) :

xmax =v02 sin 2αg

.

La traiettoria del CicloideLa traiettoria del cicloide è quella di un punto sulla superficie di una

ruota che rotola con velocità angolare costante. Definiamo anzitutto il concetto di rotolamento puro di un corpo esteso che rotola (un

disco, una sfera, un cilindro....) perché compare di frequente nel corso di Fisica. Il punto di contatto con il suolo di un corpo che

rotola è istantaneamente fermo. Questo significa che il punto di contatto non si muove rispetto al suolo ovvero il corpo non striscia

(si usa spesso dire che il corpo rotola senza strisciare!).

y

xO

v

Δs = R Δθ

Δs

Δθ


35

La velocità angolare è una quantità vettoriale la cui direzione e verso si determina con la regola della mano destra: se disponiamo

le dita curve della mano a seguire il senso del moto rotatorio allora il pollice indicherà direzione e verso della velocità angolare. Il

modulo della velocità angolare è

ω =ω = dθdt

dove θ = θ(t) è

qualche angolo che descrive la rotazione. In particolare se θ

aumenta nel tempo allora ω = dθdt

altrimenti ω = − dθdt

. Se il corpo

ruota con velocità angolare di modulo ω allora il suo centro di

simmetria si muove con velocità di modulo uguale a v = Rω dove

R è il raggio del corpo che rotola (del disco, della sfera, o il raggio

di base del cilindro). Per dimostrare questa affermazione si

consideri, ad esempio, un disco che ruota con velocità angolare di modulo ω in senso orario come in figura. La rotazione in senso

orario definisce il verso della velocità del centro del disco (che è da

sinistra a destra). Quando il punto sulla circonferenza si sposta in senso orario descrivendo un arco di lunghezza Δs = R Δθ anche il

centro della circonferenza ed il punto di contatto con il terreno si saranno spostati di tratto Δs verso destra. Se la velocità di

rotazione è costante allora ω = ΔθΔt

ed il modulo della velocità v è

costante e vale ΔsΔt

= v . Quindi ω R = R Δθ

Δt= ΔsΔt

= v .


36

La relazione appena ottenuta esprime la “condizione di rotolamento puro” fra velocità angolare e modulo della velocità e vale anche per

moti in cui velocità e velocità angolare istantanee non sono

costanti. In generale avremo: v(t) = R ω (t) (dove il valore assoluto

è aggiunto perché non è specificato a priori in quale modo viene fissato come positivo il verso della velocità angolare).

x

y

O

P

rP

rC

rCP

C

Ora veniamo al problema originale. Il vettore posizionale del punto

P si può scrivere come la somma rP =rC +rCP dove

rC è il vettore

posizionale del centro del disco mentre rCP è il vettore posizionale

del punto P rispetto al centro della circonferenza. Il centro della

circonferenza si muove di moto rettilineo con velocità costante

v = v i . Il punto P rispetto al centro della circonferenza si muove

di moto circolare uniforme. Quindi il vettore posizionale rCP si può

scrivere come

rCP (t) = R cosθ(t) i + R sinθ(t) j


37

dove l’angolo è una funzione del tempo. In questa definizione del

vettore posizione l’angolo θ è l’angolo tra rCP ed i (si ricordi quanto

imparato per il moto circolare). Quindi θ aumenta quando il disco

ruota in senso antiorario e lo spostamento del disco è Δs = −R Δθ .

Perciò

v = Rω = −R dθdt

e la velocità di spostamento del centro del

disco è v = Rω i . Detto ciò vediamo di determinare

rC e rCP . Siccome

drCdt

= v allora

rC (t) = Rω t i + rC (0)

dove rC (0) è il vettore posizione del centro all’istante t = 0 s e si può

scrivere come rC (0) = xC (0) i + R j perché C è sempre alla quota R

da terra , mentreθ(t) = −ω t +θ(0)

dove θ(0) è l’angolo tra rCP ed i all’istante t = 0 s .

Ricapitolando:

rP (t) = Rω t + xC (0)+ R cos −ω t +θ(0)( )⎡⎣ ⎤⎦ i + R + R sin −ω t +θ(0)( )⎡⎣ ⎤⎦ j .

Per ottenere l’equazione della traiettoria si procede al “solito” modo:

scriviamo le coordinate del punto al variare del tempo

xP (t) = Rω t + xC (0)+ R cos −ω t +θ(0)( )yP (t) = R + R sin −ω t +θ(0)( )

⎧⎨⎪

⎩⎪


38

e cerchiamo una relazione f (xP , yP ) = 0 .

Si osserva che

−ω t +θ(0) = arcsin yP − RR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒ t =

θ(0)− arcsin yP − RR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ω ;

con questa inversione t risulta limitato dai valori massimo e minimo

della funzione arcoseno che è compresa fra − π2≤ arcsin x ≤ π

2.

L’equazione che otterremo della traiettoria varrà quindi solo

nell ’ intervallo di tempo 2θ(0)−π2ω

≤ t ≤ 2θ(0)+π2ω

. I l coseno

dell’arcoseno di x in generale è cos(arcsin x) = ± 1− x2 ma per i

valori dell’arcoseno in questione − π2≤ arcsin x ≤ π

2 il coseno è

positivo e quindi cos(arcsin x) = + 1− x2 ovvero

cos(arcsin yP − RR

) = 1−yP − R( )2R2

.

L’equazione finale della traiettoria è infine:

x − xC (0)+ R arcsin y − RR

−θ(0)⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= R 1− y − R( )2

R2


39

dove abbiamo sostituito x, y( ) al posto di xP , yP( ) . Le costanti θ(0) e

xC (0) sono arbitrarie e si fissano conoscendo la posizione del punto

all’istante t = 0 s . Se ad esempio il punto P si trova in

corrispondenza dell’origine all’istante t = 0 s , il raggio del disco è

R = 1m ed ω = −1s−1 allora xC (0) = 0 e θ(0) = − π2

e l’equazione

diventa:

x + arcsin y −1( ) = 1− y −1( )2 .

Questa equazione è disegnata in figura (arco rosso). Si noti che l’equazione della traiettoria non dipende da ω .

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

La traiettoria completa del cicloide (linea tratteggiata) e il ramo di traiettoria che si ottiene disegnando lʼequazione della

traiettoria (linea rossa).


40

Cambio del sistema di riferimentoIl sistema di riferimento cartesiano che si sceglie per descrivere la

posizione dei punti materiali per adesso è sempre stato fissato in modo arbitrario. La scelta di un sistema di riferimento (SdR) è

dovuta alla necessità di descrivere numericamente la posizioni dei punti dello spazio mediante terne ordinate di numeri. Inoltre,

quando si è introdotto il concetto di posizione di un punto materiale si è chiaramente specificato che non esiste una definizione assoluta

della posizione di un punto. La posizione di un punto è sempre espressa rispetto ad un altro punto di riferimento. Una volta che il

SdR è fissato il vettore posizione esprime automaticamente la posizione dei punti rispetto all’origine. Inoltre il SdR è naturalmente

associato ad una terna di versori tramite i quali è possibile esprimere tutte le quantità vettoriale utilizzate nella descrizione dei

fenomeni fisici. In due SdR diversi la descrizione di un moto è in generale

differente. Ad esempio il vettore posizionale rispetto a due SdR con origini diverse ed assi a due a due paralleli è diverso.

Attenzione però: gli eventi fisici (anche la posizione di un punto materiale nello spazio da considerarsi un evento fisico) si

realizzano in modo indipendente dal SdR scelto per descriverli. Il SdR serve solo a darne una rappresentazione in termini matematici

quindi SdR diversi conducono a descrizioni differenti dello stesso fenomeno. Ad esempio: se è vero che il concetto di posizione è un

concetto relativo (poiché non sarebbe possibile definire la posizione di un corpo senza un origine di riferimento) tuttavia un punto

materiale occupa comunque una certa posizione “assoluta” nello


41

spazio indipendentemente dal SdR scelto per descriverla; tale posizione sarà descritta da diversi vettori posizione in SdR

differenti.Ma fisicamente che cosa significa fissare un sistema di riferimento?

Fissare un SdR è equivalente ad individuare una serie di riferimenti “rigidi” da identificare con l’origine e gli assi del sistema.

Ad esempio un uomo in una stanza può pensare di scegliere le direzioni dei tre assi parallelamente agli spigoli della stanza e

l’origine in corrispondenza di un vertice della stanza stessa. Un uomo su una giostra che gira, invece potrebbe fissare l’origine nel

centro di rotazione della giostra e gli assi parallelamente a certe direzioni fisse sulla giostra stessa; un uomo sulla carrozza di un

treno associa naturalmente origine ed assi rispettivamente ad un punto e a tre direzioni fisse della carrozza.

Da un punto di vista percettivo l’uomo naturalmente è associato ad un sistema di riferimento che ha origine nel punto in cui si trova ed

ha gli assi puntati verso tre direzioni fissate dal suo corpo (ad esempio asse x verso destra e parallelo al suolo, asse y in avanti

parallelo al suolo, asse z verso l’alto ortogonale al suolo).

In generale vogliamo capire, a livello di cinematica del punto, come cambia la descrizione del moto al variare del SdR. Ci limiteremo

allo studio dei due casi più semplici lasciando al corso di Fisica A il caso più generale.


42

Esempio 1

i = ′i

j = ˆ′j

O '

O

P

r

′r

R

Se due SdR hanno gli assi a due a due paralleli ma origini differenti

(ferme o in moto l’una rispetto all’altra): vale la “solita” relazione

r =R + ′r che possiamo scrivere per componenti come

x i + y j = X i + x ' ′i +Y j + y ' ˆ′j = X + x '( ) i + Y + y '( ) j

dove abbiamo sfruttato il fatto che le direzioni degli assi sono le stesse due a due. Derivando rispetto al tempo e utilizzando il fatto

che i versori sono costanti si ottiene:

x i + y j =X + x '( ) i + Y + y '( ) j .

Ma v = x i + y j è la velocità del punto nel SdR non accentato,

V ′O = X i + Y j è la velocità dell’origine del SdR accentato misurata

nel SdR non accentato, ed infine ′v = x ' i + y ' j = x ' i '+ y ' j ' è la

velocità del punto nel SdR accentato. Riassumendo vale:


43

v =V ′O + v ' .

Derivando questa espressione e ripetendo passaggi analoghi a quelli appena descritti si troverà la seguente relazioni fra le

accelerazioni osservate nei due SdR

a =A ′O + a '

essendo a l’accelerazione nel SdR non accentato,

A ′O

l’accelerazione dell’origine del SdR accentato misurata nel SdR non

accentato ed infine a ' l’accelerazione del punto misurata nel SdR

accentato. Quindi in generale, i due SdR possono misurare

accelerazioni differenti se i due SdR si muovono di moto accelerato l’uno rispetto all’altro!

Esempio 2

j

i

i 'j '

xθ

x '

y '

O =O '

y

I due SdR hanno un asse e l’origine comune e ruotano fra di loro intorno all’asse comune. Abbiamo scelto z = z ' come asse comune.


44

Se θ è l’angolo che descrive la rotazione allora ω = θ è la velocità

angolare istantanea che descrive la rotazione dell’uno rispetto

all’altro. Essa sarà positiva quando il SdR accentato ruota in senso antiorario rispetto a quello non accentato. È piuttosto semplice

osservare che vale la seguente relazione fra i versori cartesiani dei due SdR:

i ' = cosθ i + sinθ j

j ' = − sinθ i + cosθ j

⎧⎨⎪

⎩⎪.

Il vettore posizionale di un punto nello spazio (per semplicità mettiamoci sul piano a z = z ' = 0 ) sarà lo stesso in entrambi i SdR

r = x i + y j = x ' i '+ y ' j ' . Se deriviamo rispetto al tempo assumendo

fermo il SdR non accentato (per cui didt

= djdt

= 0 ) avremo:

x i + y j = x ' i '+ y ' j '+ x ' di '

dt+ y ' dj '

dt.

Si noti che la relazione fra i , j , i ' , j ' è formalmente analoga a

quella trovata fra i , j , ir , iθ quindi varranno relazioni analoghe fra

le derivate: di 'dt

=ω j ' e dj 'dt

= −ω i ' . Dunque otteniamo

x i + y j = x ' i '+ y ' j '( ) +ω x ' j '− y ' i '( )


45

dove v = x i + y j è la velocità misurata nel SdR non accentato e

v ' = x ' i '+ y ' j '( ) è la velocità misurata nel SdR accentato. Ora

deriviamo ulteriormente per ottenere:

x i + y j = x ' i '+ y ' j '( ) + 2ω x ' j '− y ' i '( ) + ω x ' j '− y ' i '( )−ω 2 x ' i '+ y ' j '( )

dove a = x i + y j è l’accelerazione del punto nel SdR non

accentato, a ' = x ' i '+ y ' j ' è l’accelerazione misurata nel SdR

accen ta to , i l con t r ibu to aC = −2ω y ' i '− x ' j '( ) s i ch iama

a c c e l e r a z i o n e d i C o r i o l i s , i l c o n t r i b u t o

aT = − ω y ' i '− x ' j '( )−ω 2 x ' i '+ y ' j '( ) prende il nome di accelerazione

di trascinamento. Nella parte di trascinamento poi vi è un contributo

che si chiama centrifugo ed è −ω 2 x ' i '+ y ' j '( ) = −ω 2r ' . Si noti che

l’accelerazione di Coriolis dipende dalle componenti della velocità misurata nel SdR accentato mentre l ’accelerazione di

trascinamento dipende dalle componenti del vettore posizionale. Ricapitolando si ha

a = a '+ aC +

aT .

Esercizi

1) Un punto si muove nello spazio con vettore posizione

r (t) = (2m / s) t + (m / s2 ) t 2⎡⎣ ⎤⎦ i + (2m / s3 )⎡⎣ ⎤⎦ j + (2m) e

−(5/s ) t k .Calcolar

e la velocità e l’accelerazione vettoriali istantanee.


46

2) L’accelerazione di un punto materiale vale

a(t) = (5m) e−(3/s )t i + (4m)sin (5 / s)t[ ] j − (2m)cos t / s[ ] k ;

calcolare il valore della velocità vettoriale in funzione del tempo

sapendo che a t = 0 s la velocità è v(0 s) = −i − j + k( )m / s . Inoltre

determinare l’espressione del vettore posizione sapendo che

all’istante t = 0 s il punto si trova in corrispondenza delle coordinate

(2,1, 2)m .


47

La cinematica del punto materiale -...

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