CINEMATICA

La cinematica si occupa dello studio del moto dei corpi. In generale la cinematica si interessa semplicemente della descrizione del moto

dei corpi e non del motivo per cui essi assumono le traiettorie osservate.

Il primo problema che poniamo è dunque quello di definire la posizione di un punto nello spazio. Si noti anzitutto che la posizione

assoluta di un punto nello spazio non può essere definita matematicamente. Quando parliamo della posizione di un punto ci

riferiamo sempre alla posizione del punto rispetto ad un altro punto scelto come riferimento.

Per descrivere matematicamente la posizione possiamo : i) fissare un sistema di riferimento cartesiano con con origine nel

punto scelto come riferimento e tre assi ortogonali di orientamento arbitrario. La posizione del punto sarà definita

univocamente da una terna ordinata di numeri che rappresentano le coordinate (x, y, z) del punto nel sistema di riferimento scelto.

ii) costruire il vettore posizionale. Il vettore posizionale è il vettore

che congiunge lʼorigine al punto (con coda nellʼorigine)

Le due descrizioni sono equivalenti. Si considerino infatti i tre

versori ortogonali î , ĵ, k̂ con le stesse direzioni e verso degli assi

cartesiani del sistema di riferimento del punto i). Esprimendo le

componenti del vettore posizionale del punto ii) usando questi tre

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versori otterremo proprio che le tre componenti sono (x, y, z) ovvero

le coordinate del punto. Ovviamente una qualsiasi terna di versori

ortogonali può essere adottata per esprimere il vettore posizionale per componenti. Terne differenti corrisponderanno a componenti

differenti (ma il vettore risultante dalla sovrapposizione sarà sempre lo stesso).

Risulta perciò evidente che per definire univocamente la posizione di un punto sono necessari 3 numeri (con la loro unità di misura). Si

ricordi comunque che i 3 numeri non hanno significato se non si specificano 3 assi orientati ed unʼorigine rispetto ai quali dare

significato ai 3 numeri.

Arriviamo a questo punto al problema di descrivere il movimento di un punto materiale. Studiare il moto di un punto materiale significa

registrare la sua posizione al variare del tempo. Quando un punto si muove le sue coordinate cambiano nel tempo o equivalentemente il

vettore posizionale varia nel tempo. Il punto descrive una traiettoria. La traiettoria è lʼinsieme delle posizioni occupate dal punto

materiale durante il moto. Anche il moto è un concetto relativo. Supponiamo di essere su un treno in prossimità di una stazione ferroviaria. Fuori dal finestrino

vediamo un altro treno e notiamo che si sta muovendo rispetto a noi. E’ impossibile da questa sola osservazione stabilire quale dei

due treni si sta muovendo rispetto alla stazione.

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Ci sono due metodi per descrivere univocamente lo stato di moto di

un punto materiale (una volta scelto un sistema di riferimento): a) si può dare la traiettoria e la funzione spostamento sulla

traiettoria (in questo caso parleremo di descrizione intrinseca del moto)

b) si può dare il vettore posizionale in funzione del tempo (definendo una base di versori e quindi le tre componenti rispetto

a questa base in funzione del tempo). Parleremo in particolare di descrizione vettoriale del moto; parleremo di descrizione

cartesiana quando le tre componenti sono proprio le coordinate

x(t), y(t), z(t)( ) .

Si noti che la ricostruzione della traiettoria di un punto materiale (o del suo vettore posizionale in funzione del tempo) richiede lʼinterpolazione di una serie di dati: per studiare il moto di un punto

possiamo registrare la sua posizione a certi istanti di tempo (ad

esempio ogni 5 secondi) quindi, al termine della misura, siamo in grado di esprimere con certezza (a meno di errori di misura) solo alcuni punti della traiettoria. La nostra ricostruzione del moto

risulterà più completa se saremo in grado di misurare la posizione

del punto ad intervalli di tempo più piccoli fra una misura e lʼaltra.

Descrizione intrinseca del moto

La traiettoria di un punto che si muove è una curva nello spazio.

Per semplicità se ci limitiamo ai moti piani (ovvero al moto di punti materiali su un piano) allora la traiettoria di questi punti può essere

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descritta da unʼequazione del tipo f (x, y) = 0 avendo scelto un

opportuno sistema di riferimento cartesiano sul piano (in questo

caso con gli assi x,y sul piano e lʼasse z perpendicolare al piano).

Esempi Se la traiettoria di un punto è una retta allora lʼequazione è del tipo

ax + by + c = 0 ;

Se la traiettoria è una parabola allora lʼequazione potrebbe essere

del tipo y − ax2 + bx + c = 0 (questa equazione descrive solo le

parabole con asse di simmetria parallelo allʼasse y);

Se la traiettoria è una circonferenza allora lʼequazione è del tipo

x2 + y2 + ax + by + c = 0 ;

Se la traiettoria è unʼellisse allora lʼequazione potrebbe essere del

tipo x 2

a2 + y

2

b2 −1= 0 (questa equazione descrive ellissi con i fuochi

sullʼasse x).

Ovviamente lʼequazione potrebbe essere molto più complessa. Una volta determinata la traiettoria del moto è necessario definire il

modo in cui il punto materiale si muove su di essa. Per farlo si fissi su di essa un punto arbitrario O ed un verso di percorrenza

(attenzione a non confondere in questo contesto il punto O definito

sulla traiettoria e lʼorigine del sistema di riferimento cartesiano). La

posizione di un punto P sulla traiettoria sarà univocamente data da

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un numero reale che rappresenti lo spostamento sulla traiettoria “s ”

ovvero la lunghezza dellʼarco OP (assumendo s positivo quando P è

dalla stessa parte dellʼorientamento scelto sulla traiettoria ed s

negativo quando è dalla parte opposta)

Esempio 1: si immagini che un punto materiale abbia una traiettoria rettilinea y = 3x +1 . Determinare lo spostamento s sapendo che O

è scelto in corrispondenza dellʼintersezione con lʼasse delle ordinate, la retta è orientata in verso positivo nella direzione delle

ascisse crescenti e sapendo che P ha coordinate 2, 7( ) .

-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-2,5

2,5

5

7,5

10

O

P

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Soluzione: s è +OP essendo OP la distanza fra lʼorigine ed il

punto. Tale distanza si può calcolare con il teorema di Pitagora, essendo note le coordinate di O e di P , come:

OP = (2 − 0)2 + (7 −1)2 = 4 + 36 = 2 10 .

Esempio 2: si determini s per il punto P sulla parabola di equazione

y = 2x2 +1 essendo O 0,1( ) , P 2,9( ) ed essendo posi t ivo

lʼorientamento nel verso delle ascisse decrescenti.

-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-2,5

2,5

5

7,5

10

O

P

Soluzione: s è dato dallʼopposto della misura dellʼarco rettificato OP

(è quindi un numero reale negativo!).

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Si noti che lo spostamento s non dipende semplicemente dalle

posizioni relative di O e di P nello spazio ma dipende anche dalla

traiettoria che li congiunge. Quando il punto P si muove sulla traiettoria allora lo spostamento s

è una funzione del tempo s(t) . Questa funzione calcolata ad un

certo istante rende la posizione s del punto in quellʼistante.

Velocità media e velocità istantanea

Immaginiamo ora di conoscere la posizione s(t1) s(t2 ) del punto agli

istanti t1 e t2 e la sua traiettoria. Definiamo velocità media del punto

nellʼintervallo di tempo Δt = t2 − t1 la quantità

vm = Δs Δt

essendo Δs = s(t2 )− s(t1) ovvero la distanza fra le posizioni del

punto agli istanti t1 e t2 calcolata sulla traiettoria!

Un moto si dice uniforme se la velocità media è la stessa per

qualsiasi scelta di t1 e di t2 . Se il moto di un punto è uniforme esso

copre archi di circonferenza uguali in tempi uguali.

I moti che si osservano in natura difficilmente sono moti di tipo

uniforme: si parla in questi casi di moto vario. Per questi moti la velocità media dipende dallʼintervallo di tempo considerato e quindi

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è una proprietà poco rilevante. In questi casi è necessario

introdurre il concetto di velocità istantanea. La velocità istantanea è la velocità media calcolata su intervalli di tempo infinitamente

piccoli. Essa è definita solo teoricamente con unʼoperazione di limite:

v(t) = limΔt→0 s(t + Δt)− s(t)

Δt = ds(t)

dt ;

sperimentalmente possiamo pensare che misure della velocità media fatte con strumenti sempre più precisi e su intervalli di tempo

sempre più piccoli diano risultati molto vicini alla velocità istantanea.

Nel caso di moti uniformi la velocità media e la velocità istantanea sono u