La brochure compl¨te

download La brochure compl¨te

of 44

  • date post

    05-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    222
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of La brochure compl¨te

  • quipe acadmique Mathmatiques

    sous la coordination de l'inspection pdagogique rgionale de Mathmatiques

  • Les recherches sur linitiation au raisonnement sont trs nombreuses et la

    documentation abondante. Il ne saurait tre question, en quelques pages, de prsenter une tude exhaustive sur ce sujet, ni denvisager toutes les pistes actuellement explores.

    Nous avons choisi : - dune part, dexposer un exemple de progression pour linitiation au raisonnement dductif , - dautre part, de rpertorier et illustrer les diffrents types de raisonnement qui se prsentent au collge.

    Concernant le premier point, les progressions se dfinissent la plupart du temps en termes de contenus (chapitres clairement identifis, cohrence dans la prsentation des notions). Notre intention est de prsenter en complment un autre type de progression conu en terme de mthodes et non plus seulement en terme de contenus . Nous nous sommes attachs prsenter cette stratgie pour une initiation au raisonnement dductif . Elle peut schelonner de la sixime la quatrime. Cet expos ne constitue en aucun cas un modle destin tre calqu intgralement, il vise simplement alimenter une rflexion sur la mthode utiliser pour aborder et conduire cette initiation .

    Lanalyse de la structure du raisonnement dductif nous a suggr cette progression. Le franchissement des diffrentes tapes (ncessit de dmontrer, prise en compte des informations, fonctionnement dun thorme, rdaction) conditionne la mise en place de lapprentissage. Toutefois, celui-ci ne saurait tre linaire et lon peut sattendre des rgressions momentanes ou des progrs sensibles. Certaines dimensions ont t volontairement cartes, sans toutefois cder un schmatisme excessif : lintuition, laffectivit ou la capacit de comprhension... ont t occultes mais il est vident quelles jouent un rle important dans le processus dapprentissage. Les intgrer par la suite la trame que nous nous sommes fixe est possible, souhaitable et mme ncessaire. Ainsi enrichie, la mthode propose nen aura que plus defficacit. Par ailleurs, la dmarche expose ici a par essence un caractre analytique, tandis que lactivit de raisonnement mobilise simultanment plusieurs comptences. Il va de soi quil sagit dune facilit de prsentation pour garantir un minimum de clart.

    La progression que nous avons choisie sera illustre chaque tape par des exercices : ceux-ci auront deux vocations, dune part assurer le franchissement dun nouveau seuil et dautre part favoriser la remdiation pour les lves en difficult.

  • Sommaire PREMIRE PARTIE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

    Pour une initiation progressive au raisonnement dductif en gomtrie au collge ------------------------------------------4 I - Introduction ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 II - Structure du raisonnement --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 III - Une progression favorisant la mise en place du raisonnement -------------------------------------------------------------- 6

    Annexe 1 Premire tape---------------------------------------------------------------------------------------------------------12 Annexe 2 Deuxime tape--------------------------------------------------------------------------------------------------------15 Annexe 3 Troisime tape --------------------------------------------------------------------------------------------------------18 Annexe 4 Quatrime, Cinquime et Sixime tapes ------------------------------------------------------------------------20

    DEUXIME PARTIE ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 24 Les diffrents types de raisonnement au collge -----------------------------------------------------------------------------------25

    Les diffrents types de raisonnement travers le cours (dmonstrations de proprits et exercices dapplication)--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 26

    Exercices Le raisonnement dductif --------------------------------------------------------------------------------------------27 Exercices Le raisonnement par labsurde--------------------------------------------------------------------------------------30 Exercices Le contre-exemple-----------------------------------------------------------------------------------------------------35 Exercices La disjonction de cas -------------------------------------------------------------------------------------------------39

  • Le raisonnement au collge Premire partie

  • 4

    Pour une initiation progressive au raisonnement dductif en gomtrie au collge

    I - Introduction Un texte dexercice en classe de Quatrime : Tracer un cercle C de centre O et de rayon 3 cm. Tracer un diamtre [AB]. Placer deux points K et L sur le cercle C tels que K et L sont dans le mme demi-plan de frontire (AB). 1) Dmontrer que les triangles AKB et ALB sont

    rectangles. 2) Les droites (AK) et (BL) se coupent en C. Les droites

    (AL) et (BK) se coupent en H. Dmontrer que (CH) est perpendiculaire (AB).

    Voici les rponses donnes par trois lves diffrents dans une classe de quatrime. Le schma na pas prsent de difficults particulires. Les rponses dlves sont retranscrites telles quelles apparaissent sur les copies. lve 1

    1) On sait que [AB] sont le diamtre du cercle et que K et L sont sur le cercle. Dans un cercle circonscrit tout points se trouvant sur ce cercle est rectangle un triangle, l cest le cas AKB K est rectangle. Donc AKB est rectangle et ALB et rectangle.

    2) On sait que : cest le sommet du triangle ABC est H coupe le milieu du segment [AB]. Donc (CH) ! (AB).

    lve 2

    1) On sait que : [AB] est un diamtre du cercle C. Si un triangle coupe un autre triangle sur le milieu de son ct Alors il est rectangle. Donc : AKB et ALB sont des triangles rectangles.

    2) On sait que : [AB] est le diamtre du cercle C, (AK) et (BL) se coupent en C, (AL) et (BK) se coupent en H et AKB et ALB sont des triangles rectangles. Si dans un triangle, les trois mdianes se coupent en un mme point, alors elles sont concourantes et leur orthocentre est C. Donc : (CH) ! (AB).

    O

    A

    B

    K

    L

    C

    H

  • 5

    lve 3

    1) On sait que AB est un diamtre, K et L sont placs dans un mme demi-cercle et sur le cercle C. Si un triangle a un ct qui est un diamtre et un point sur un cercle C alors les triangles sont rectangles. Donc KAB est un triangle rectangle en K. ALB est un triangle rectangle en L.

    2) On sait que L est perpendiculaire (BC) K est perpendiculaire (AC) Et que les 2 points passent par un sommet. Dans un triangle les 3 hauteurs se coupent en un seul point qui sappelle lorthocentre. Donc : (CH) ! (AB).

    Ces trois lves font partie de la mme classe. Ils ont manifestement utilis un modle de rdaction similaire. Il est alors lgitime de sinterroger :

    1) Llve nest-il pas perturb par ce modle de rdaction ? Nest-il pas prfrable de le laisser sexprimer dans son langage ?

    2) A quel niveau de comprhension se situe chacun de ces lves ? 3) Quels exercices de remdiation envisager pour chacun deux ? Lexpos qui suit se propose de dfinir une stratgie et une progression cherchant rpondre ces questions. Deux attitudes semblent indispensables pour tenter datteindre cet objectif : - ne pas se contenter de sanctionner llve qui a donn une rponse fausse, mais analyser

    cette rponse, dans son langage, afin de dtecter les lments positifs de son discours. - tudier les erreurs de llve et lui proposer des activits de remdiation, la seule

    correction de lexercice tant insuffisante. II - Structure du raisonnement Chaque pas de dmonstration est constitu de ce que lon peut appeler un lot dductif . Chaque lot dductif est form par : 1) des noncs donns ou antrieurement dmontrs, 2) une rgle de substitution (thorme, dfinition...), 3) un nouvel nonc (ou conclusion). Remarques

    rgle de substitution

    nonc nouvel nonc

    1) Le nombre de conditions prendre en compte pour appliquer une rgle de substitution est variable.

    2) Lunit de base de toute organisation dductive comporte trois noncs, chacun ayant un statut diffrent, mme si, lors de la rdaction, on peut omettre la rgle de substitution et avoir limpression davoir affaire une structure binaire.

  • 6

    III - Une progression favorisant la mise en place du raisonnement A l'cole primaire, les enfants ont observ des figures, mesur, fait des dcoupages, compar des aires, expriment, reproduit, dcrit, reprsent, construit visant ainsi favoriser la construction d'images mentales et la mise en vidence de quelques proprits (cts de mme longueur, angles droits, paralllisme, axes de symtrie) , ils ont mis en place un vocabulaire minimum, prcis mais limit (face, arte, sommet, ct, segment, milieu, ligne droite, angle, perpendiculaire, parallle) ; ils ont appris utiliser les instruments du dessin (rgle, querre, compas), construire quelques figures planes (carr, rectangle, losange, cercle) et raliser des patrons de solides (cube, pav).

    En sixime, les lves ne travaillent pas sur des objets nouveaux , les travaux conduits ce niveau doivent prendre en compte les acquis antrieurs, ils doivent viser les stabiliser, les structurer, et peu peu les hirarchiser, avec, notamment, un objectif de prparation la dduction. La distinction entre dessin et figure gomtrique commence tre tablie, notamment en distinguant les proprits vrifies exprimentalement et les proprits tablies par dduction .