3a Lista de Exercícios de Cálculo II: Integrais Impróprias / EquaçõesDiferenciais Elementares

Licenciatura em Química- UNESP - 2013

Profa Responsável: Larissa Ferreira Marques

1. Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergeme calculando-as, caso contrário.

(a)∫ ∞0

e−xdx.

(b)∫ 1

−∞exdx.

(c)∫ 0

−∞x5−x

2

dx.

(d)∫ ∞1

2−xdx.

(e)∫ ∞−∞

3x

(3x2 + 2)3dx.

(f)∫ ∞√3

3

x2 + 9dx.

(g)∫ ∞−∞

dx

16 + x2.

(h)∫ ∞1

lnxdx.

(i)∫ ∞0

e−xcosxdx.

RESPOSTA:

(a) 1 (b) e (c) − 12ln5

(d) 12ln2

(e) 0 (f) π3

(g) π4

(h)∞(diverge) (i)12

2. Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade

(a) yy′+ t = 0 R : 1aordem não-linear.

(b) x2y′′+ bxy

′+ cy = 0 R : 2aordem linear.

(c)d4y

dt4+

d3y

dt3+

dy

dt+ y = 1 R : 4aordem linear.

3. Determine qual (ou quais) das funções y1(x) = x2, y2(x) = x3, y3(x) = e−x

são soluções da equação diferencial

(x+ 3)y′′+ (x+ 2)y

′ − y = 0.

R:y3(x)

1

4. Determine todas as soluções da equação diferencial

xy′′+ (x− 1)y

′ − y = 0,

que são funções de primeiro grau, ou seja, da forma y = ax + b, a e bconstantes.

5. Resolva os problemas de valor inicial abaixo (PVI):

(a) y′+ (1− 2x)y = xe−x, com y(0) = 2.

(b) y′+ 3t2y = e−t

3+t, com y(0) = 2.

(c) y′ − cost y = tet

2+sent, com y(0) = 2.

(d) y′+ x4y = x4e

4x5

5 , com y(0) = 1.

6. Resolva as equações diferenciais abaixo:

(a) y′ − 4

xy = − 2

x3.

(b) y′ − 1

xy = −x.

(c) y′ − 4

xy = x5ex.

7. Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:

(a) (1 + x2)y′ − xy = 0.

(b) y2 − 1− (2y + xy)y′= 0.

(c) xdx−√4− x

ydy = 0.

(d)dy

dx= 3x− 1.

(e) ydx− xdy = 0.

8. Encontre a solução do PVI :

dy

dx=

2x+ 1

3y2 − 3, com y(0) = 0.

9. Num tanque há 100 litros de salmoura contendo 30 gramas de sal em so-lução. Água (sem sal) entra no tanque à razão de 6 litros por minuto e amistura se escoa à razão de 4 litros por minuto, conservando-se a concen-tração uniforme por agitação. Vamos determinar qual a concentração desal no tanque ao fim de 50 minutos.

Dica: dQdt

= −4 Q100+2t

, com Q(0) = 30 modela o problema anterior.

Bom trabalho!

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