Université paul Sabatier

L2 EEA MECA GC : Energie Electrique

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Aide mémoire régime sinusoïdal

1 Représentation des grandeurs sinusoïdales

Une grandeur sinusoïdale est caractérisée par sa valeur efficace, sa phase à l’origineθ et sa pulsation ω. En régime sinusoïdal forcé la pulsation est identique pour toutesles grandeurs sinusoïdales. Une tension sinusoïdale ou une intensité sinusoïdale est donccaractérisée par deux nombres : sa valeur efficace et sa phase.

Une tension sinusoïdale u(t) s’écrira :

u(t) = U√2 cos (ωt+ θu)

— L’amplitude Um = U√2 est la valeur maximale de la tension. Elle est toujours

positive et s’exprime en V.— La valeur U est la valeur efficace de la tension. Elle est toujours positive et s’exprime

en V.— La pulsation ω est équivalente à une vitesse angulaire. Elle s’exprime en rad/s. La

période est T = 2πω

et la fréquence est f = 1

T= ω

2π.

— La phase est un angle qui s’exprime en rad. A l’origine des temps, la phase est θu.

1.1 Valeur efficace

La valeur efficace U d’une tension sinusoïdale est la valeur de la tension continue quiprovoquerait une même dissipation de puissance moyenne dans une résistance pureque la tension sinusoïdale appliquée aux bornes de la résistance.

U =Um√2

La valeur efficace I de l’intensité d’un courant sinusoïdal est la valeur de l’intensité ducourant continu qui provoquerait une même dissipation de puissance moyenne dansune résistance pure que l’intensité du courant sinusoïdal qui traverse la résistance.

I =Im√2

2

1.2 Représentation des grandeurs sinusoïdales en fonction du temps

Exemple : deux tensions sinusoïdales de même pulsation ω = 100π caractérisées parleurs valeurs efficaces et leurs phases à l’origine :U1 = 220V et θu1 =

π3rad et U2 = 110V et θu2 = −π

3rad.

Amplitude : valeur maximale positive de la tension sinusoïdale Um = U√2

Exemple : Um1 = 311V, Um2 = 155V

u1(t) = 311 cos(

100πt+π

3

)

V

u2(t) = 155 cos(

100πt− π

3

)

V

Dans ces formules nulériques, il est indispensable de préciser les unités.Période : T = 2π

ω

Exemple : T = 20ms

Fréquence : f = 1

T= ω

2π

Exemple : f = 50Hz

1.3 Représentation de Fresnel

Vecteur de Fresnel :−→U = U cos θu

−→ex + U sin θu−→ey

3

1.4 Représentation par les complexes

Valeur complexe de la grandeur sinusoïdale x(t) = X√2 cos (ωt+ θ) :

x(t) = X√2 exp (jωt)

X = X exp (jθ)

Xm = X√

(2) exp (jθ)

Il suffit de représenter la valeur efficace complexe X ou l’amplitude complexe Xm pourdécrire la grandeur sinusoïdale car la partie temporelle exp (jωt) est commune à toutesles grandeurs sinusoïdales en régime sinusoïdal forcé.

Valeur complexe de la tension efficace :U = U cos θu + jU sin θu = U exp (jθu)

Module : |U | = U

Argument : argU = θu

Exemple :

U1 = 220ejπ

3 = 220 cosπ

3+ j220 sin

π

3= 110 + 191j (V)

U2 = 110e−j π

3 = 110 cos−π

3+ j110 sin−π

3= 55− 95, 3j (V)

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1.5 Opérations sur les grandeurs sinusoïdales

Addition des vecteurs de Fresnel :

−→U =

−→U1 +

−→U2

U =

√

(U1 cos θu1 + U2 cos θu2)2 + (Um1 sin θu1 + U2 sin θu2)

2

θu = arctanU1 sin θu1 + U2 sin θu2U1 cos θu1 + U2 cos θu2

Addition des valeurs complexes efficaces :

U = U1 + U2 = U1 cos θu1 + U2 cos θu2 + j (U1 sin θu1 + U2 sin θu2)

5

U = |U |

θu = argU = arctanIm(U)

Re(U)

Exemple :

U = 165 + 95, 3j V

U = 190, 5V

θu =π

6rad

2 Impédance et admittance d’un dipôle en régime si-

nusoïdal

2.1 Conventions de signe

— En convention de signe récepteur la puissance électrique moyenne consommée estpositive, celle fournie est négative.

— En convention de signe générateur la puissance électrique moyenne fournie estpositive, celle consommée est négative.

Pour les dipôles passifs qui fonctionne en récepteur, on utilise la convention de signerécepteur (courant et tension sont opposés) :

Pour les dipôles actifs qui fonctionne en générateur, on utilise la convention de signegénérateur (courant et tension sont dans le même sens) :

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2.2 Définition

Loi d’Ohm :U = Z · I

Z = R + jX est l’impédance complexe du dipôle. Sa partie réelle est équivalente à unerésistance R, et sa partie imaginaire X est appelée réactance. Y = 1

Zest l’admittance

complexe du dipôle.

Z =U

I

Y =I

U

En posant :

I = I exp (jθi)

U = U exp (jθu)

ϕ = θu − θi

ϕ représente le déphasage de la tension u(t) par rapport à l’intensité i(t).

Z =U

Iexp (jϕ) = Z exp (jϕ) = Z (cosϕ+ j cosϕ)

Y =I

Uexp (−jϕ) = Y exp (−jϕ)

Vecteur de Fresnel :−→Z = Z cosϕ−→ex + Z sinϕ−→ey = R−→ex +X−→ey

Représentation complexe :

Z = R + jX

R = Z cosϕ

X = Z sinϕ

Z =√R2 +X2

ϕ = arg(Z) = arctanX

R

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2.3 Unités

L’impédance Z, la résistance R = Z cosϕ et la réactance X = Z sinϕ s’expriment enOhms (Ω). L’admittance Y , la conductance G = 1

Rs’expriment en Siemens (S)

2.4 Impédances de R, L et C

Tout dipôle peu être modélisé par une association de plusieurs dipôles idéaux : résis-tance pure, inductance pure et capacité pure.

Dipôle Z Z = |Z| ϕ = arg(Z) Y Y = |Y |Résistance R R R 0 G = 1

RG = 1

R

Inductance L jLω Lω π2

1

jLω1

Lω

Capacité C 1

jCω1

Cω−π

2jCω Cω

2.5 Déphasage

ϕ = θu − θi = arg(Z)

— ϕ = 0 : dipôle résistif, i(t) et u(t) sont en phase.— 0 < ϕ < π

2: dipôle inductif, u(t) en avance par rapport à i(t). La réactance X > 0.

— −π2< ϕ < 0 : dipôle capacitif , u(t) en retard par rapport à i(t). La réactance

X < 0.

2.6 Association d’impédances

2.6.1 Série

Z = Z1 + Z2 + . . .+ Zn

2.6.2 Parallèle

Y = Y 1 + Y 2 + . . .+ Y n

2.6.3 Exemple : R + L + C (RLC série)

Z = R + jLω +1

jCω= R + j

(

Lω − 1

Cω

)

Z =

√

R2 + j

(

Lω − 1

Cω

)2

tanϕ =Lω − 1

Cω

R

ϕ = arctanLω − 1

Cω

Rcar R > 0

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3 Puissance en régime sinusoïdal permanent

3.1 Puissance active

C’est la puissance moyenne consommée dans un dipôle. Elle s’exprime en W.

P = UI cosϕ

cosϕ est le facteur de puissance du dipôle.

3.2 Energie électrique

Elle s’exprime en wattheure (W.h) ou kilowattheure (k.W.h) : 1 W.h = 3600 J.Au cours d’une durée de fonctionnement d’un récepteur très grande devant la période

de la tension et de l’intensité du courant, l’énergie consommée est égale au produit de lapuissance moyenne consommée par la durée de fonctionnement :

E = P∆t

si P est constant.

3.3 Puissance apparente

C’est le produit des valeurs efficaces du courant et de la tension . Elle s’exprime enVolt Ampère (V.A.).

S = UI

3.4 Puissance réactive

Elle s’exprime en Volt Ampère Réactif (V.A.R.).

Q = UI sinϕ

9

3.5 Puissance apparente complexe

S = S exp(jϕ) = P + jQ

3.6 Relations entre les puissances

S2 = P 2 +Q2

Dans le cas de plusieurs dipôles récepteurs, les puissances actives et réactives sontconservatives :

Ptot =∑

i

Pi

Qtot =∑

i

Qi

3.7 Facteur de puissance

F.P. =P

UI=

P

S= cosϕ

Le facteur de puissance est toujours compris entre 0 et 1.— ϕ = 0 alors Q = 0 et P = S = UI . Le dipôle est purement résistif.— ϕ = ±π

2alors P = 0. Le dipôle est purement réactif.

— ϕ > 0 alors Q > 0. Le dipôle est inductif, le facteur de puissance est arrière.— ϕ < 0 alors Q < 0. Le dipôle est capacitif, le facteur de puissance est avant.

cosϕ =P

S

sinϕ =Q

S

tanϕ =Q

P

Pour un dipôle d’impédance Z = R + jX traversé par un courant d’intensité efficaceI sous une tension efficace U :

P = RI2R =U2R

R

Q = XI2X =U2X

X

S = ZI2 =U2

Z

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durée 2h00

TD N1

durée 2h00

Puissance et énergie électriques en régime sinusoïdal

Exercice I : Puissance et énergie électrique

Le graphique ci-dessous donne la consommation électrique en France le 8 février 2016.Les données correspondent au minimum de consommation à 4 h 30 du matin.

I.1. Evaluer l’énergie électrique consommée en France entre 9 h 00 et 12 h 00.I.2. Evaluer approximativement l’énergie électrique consommée en France dans la journéedu 8 février 2016. Expliquez les variations horaires de la puissance électrique consommée.I.3. Le graphique ci-dessous donne la puissance électrique produite en France le mêmejour. Les données correspondent au minimum de consommation à 4 h 30 du matin.

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Expliquez pourquoi certaines puissances sont négatives.Comparer la puissance produite à celle consommée à 4 h 30 du matin. Expliquez la

différence observée.Expliquez les fluctuations horaires observées pour certains mode de production d’éner-

gie électrique.

Exercice II : Energie électrique exportée

Le graphique ci-dessous donne les puissances électriques importées et exportées enFrance le 8 février 2016. Les données correspondent au minimum de consommation à 4 h30 du matin.

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II.1. Quelle convention de signe (récepteur ou générateur) a été choisie pour représenterces données ?II.2. La liaison entre la France et l’Angleterre permet à la France d’exporter de l’énergieélectrique vers l’Angleterre. Cette liaison HVDC est longue de 73 km. La partie sous-marine, longue de 46 km, comporte quatre paires de câbles à ±270 kV posées entre Fol-kestone (Royaume-Uni) et Sangatte (France), chaque paire étant séparée de ses voisinespar un kilomètre environ.

Evaluer l’intensité du courant dans chaque cable le 8 février à 4 h 30 du matin.II.3. Les cables sous en cuivre de section S = 900mm2. La résistance d’un fil est propor-tionnelle à sa longueur ℓ et inversement proportionnelle à sa section :

R =ℓ

σS

La conductivité du cuivre est égale à σ = 59, 6 × 106S · m−1. Calculer la résistanced’un câble et la puissance perdue par effet Joule dans chaque câble.II.4. En ne tenant compte que des pertes par effet Joule, calculer la puissance électriqueimportée par l’Angleterre le 8 février à 4 h 30 du matin. Quelles sont les autres pertes àprendre en compte ?II.5 La première liaison HVDC a été construite en 1961 et fonctionnait sous une tensionde ±100 kV. Les pertes par effet Joule dans un câble sont elles identiques sous une tensionde ±100 kV et sous une tension de ±270 kV si la puissance exportée est la même ?

Exercice III : Dipôle électriques

III.1. Les documents ci-dessous sont extraits de la documentation d’un fabriquant demoteurs électriques.

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La puissance nominale donnée par le constructeur correspond-elle à la puissance élec-trique consommée ou à la puissance utile c’est à dire à la puissance mécanique fourniepar le moteur ?

Le choix du type de moteur est-il limité si la puissance nominale de la ligne d’alimen-tation du moteur est de 1 kW?III.2. Le document ci-dessous est extrait de la documentation d’un fabriquant de lampes.Il donne la correspondance entre les lampes à incandescence et les lampes à base de LED.Ces lampes fonctionnent sur le secteur.

Déterminer pour chaque lampe l’intensité du courant qui la traverse sous la tensionnominale de 230 V. Calculer le coût de fonctionnement annuel d’une lampe à incandes-cence de 60 W sachant qu’elle est allumée 3 h par jour. Comparer à celle d’une LED demême puissance lumineuse. Le prix du kWh est de 0,15 epour le tarif de base.

Exercice IV : Distribution de l’énergie électrique

Une petite entreprise est alimenté par son fournisseur d’énergie électrique sous unetension de valeur efficace U = 400 V. Dans les périodes de plus forte consommation, elleconsomme une puissance active P = 15 kW avec un facteur de puissance cosϕ = 0, 8AR.

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IV.1. Calculer le courant qui circule dans la ligne d’alimentation monophasé de l’installa-tion.IV.2. Calculer sa puissance apparente S.IV.3. Calculer sa puissance réactive Q.IV.4. A l’aide du tableau ci-dessous donnant l’intensité nominale pouvant circuler dansune section de cable, calculer le diamètre du cable de la ligne d’alimentation.

IV.4. Le poste de distribution de EDF se trouve à une distance de 5 km. Calculer larésistance du câble et la perte de puissance électrique par effet Joule dans le câble.IV.5. Reprendre l’ensemble des questions avec U = 5 kV. P et cosϕ = 0, 8AR inchangés.IV.6. Reprendre l’ensemble des questions avec cosϕ = 0, 9AR, U = 400 V et P inchangée.

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durée 2h00

TD N2

durée 2h00

Dipôles électriques en régime sinusoïdal permanent

Exercice I : Caractérisation d’un dipôle

Une source idéale de tension sinusoïdale e(t) de pulsation ω et d’amplitude constanteE√2 alimente un dipôle linéaire traversé par un courant i(t) = I

√2 cos (ωt) et dont

la tension à ses bornes est u(t) = U√2 cos (ωt+ ϕ). L’intensité du courant électrique

est choisie comme origine des phases (θi = 0). On cherche à caractériser le dipôle eneffectuant un certain nombre de mesures qui permettront de le modéliser sous forme d’uncircuit équivalent composé d’une résistance R en série avec une réactance X. L’impédancedu dipôle s’écrit : Z = R + jX avec j2 = −1 . La première manipulation consiste àmesurer le courant efficace et la tension efficace à l’aide d’un voltmètre idéal de résistanceinterne infinie et d’un ampèremètre idéal de résistance interne nulle. Les mesures donnent :U = 220V et I = 5A.

Une deuxième mesure consiste à visualiser l’oscillogramme représentant le courant i(t)et la tension u(t).

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I.1 Déterminer la fréquence et la pulsation du courant i(t) et de la tension u(t).I.2 Quel est le signe du déphasage ϕ de la tension u(t) par rapport à l’intensité i(t) ?I.3 Déterminer la valeur algébrique du déphasage ϕ en degrés et en radians.I.4 Calculer la valeur du module de l’impédance |Z|.I.5 Exprimer la résistance R en fonction de U , I et ϕ. Calculer la valeur de R.I.6 Exprimer la réactance X en fonction de U , I et ϕ. Calculer la valeur algébrique deX.

Le dipôle d’impédance équivalente Z = R+ jX peut être soit une bobine (inductanceen série avec une résistance) soit un condensateur en série avec une résistance de sorte quela réactance X peut modéliser soit une inductance L soit un condensateur de capacité C.I.7 Donner l’expression de L en fonction de X et ω dans le cas d’une inductance.I.8 Donner l’expression de C en fonction de X et ω dans le cas d’un condensateur.I.9 A partir des mesures, déterminer si, dans notre cas, la réactance est formée par unecapacité C ou par une inductance L, et calculer sa valeur.I.10 Calculer les puissances active P , apparente S et reactive Q du dipôle.

Exercice II : Compensation de puissance

Une source idéale de tension sinusoïdale u(t) = U√2 cos (2πft) alimente, en régime

sinusoïdal permanent, à la fréquence f = 50Hz un dipôle constitué d’une inductanceL en série avec une résistance R. L’intensité du courant qui traverse le dipôle est notéei(t) = I

√2 cos (2πft− ϕ). La tension électrique est choisie comme origine des phases

(θu = 0). On effectue une mesure de puissance quand le dipôle est alimenté sous unetension efficace U = 220V. La puissance active mesurée est P = 8000W et la puissanceréactive mesurée est Q = 6000VAR.II.1 Faire un schéma du montageII.2 Calculer la valeur numérique de la puissance apparente S.

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II.3 Calculer le facteur de puissance du dipôle. En déduire la valeur du déphasage ϕ de latension par rapport au courant.II.4 Calculer la valeur numérique de I.II.5 Déterminer la valeur de la résistance R et celle de la réactance X du dipôle. Endéduire la valeur de L.

Pour modifier le facteur de puissance du dipôle, on place un condensateur de capacitéC aux bornes du dipôle de tel sorte que la puissance réactive Q′ de l’ensemble soit nulle.Dans ce cas la somme des puissance réactives du dipôle et du condensateur est nulle.II.6 Calculer le nouveau facteur de puissance de l’ensemble dipôle et condensateur. Endéduire la valeur du déphasage ϕ de la tension par rapport au courant.II.7 Calculer la nouvelle valeur du courant alimentant l’ensemble.II.8 Calculer la valeur de la réacteur du condensateur et la valeur de sa capacité C.II.9 Comparer la somme des courants traversant respectivement le dipôle et le condensa-teur au courant traversant l’ensemble.II.10 Expliquer l’intérêt de minimiser la puissance réactive d’un dipôle.

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durée 2h00

TD N3

durée 2h00

Méthode de Boucherot

Exercice I

Une installation, alimentée sous une tension de (230V , 50 Hz), comporte un ensemblede radiateurs de puissance P1 = 5 kW, un moteur de puissance utile Pu = 3 kW, derendement η2 = 85%, de facteur de puissance FP2 = 0, 7AR et un poste à soudure depuissance électrique P3 = 4 kW et de facteur de puissance FP2 = 0, 6AR.I.1 Calculer la puissance électrique P2 absorbée par le moteur électrique.I.2 Calculer la puissance active totale P lorsque tous les récepteurs sont en fonctionnement.I.3 Calculer la puissance réactive totale Q lorsque tous les récepteurs sont en fonctionne-ment.I.4 Calculer ensuite la puissance apparente totale S et en déduire le facteur de puissanceFP

de l’installation ainsi que le courant en ligne I.I.5 On désire relever le facteur de puissance FP ′ à 0,93 AR. Calculer la valeur de lacapacité C du condensateur à brancher en parallèle sur cette installation.I.6 Calculer l’intensité I ′ en ligne après le relèvement du facteur de puissance.

Exercice II

Un atelier est alimenté par une ligne monophasée (230 V, 50 Hz) . L’éclairage estassuré par des tubes fluorescents branchés en parallèle entre la phase et le neutre.II.1 En fonctionnement normal, chaque tube fluorescent consomme une puissance activeP1 = 60W sous 230V, avec un facteur de puissance FP = 0, 85AR. Calculer la valeurefficace de l’intensité du courant appelé par un ensemble de 24 tubes fluorescents. Onrappelle que les tubes fluorescents sont des récepteurs inductifs.II.2 A l’allumage des tubes fluorescents, le facteur de puissance des tubes est beaucoupplus faible, il vaut FP = 0, 30AR. Calculer l’intensité en ligne et la puissance réactiveabsorbée au moment de l’allumage des tubes sur le réseau monophasé. (La puissanceactive de chaque tube est inchangée, soit : 60 W sous 230 V)II.3 Les machines de l’atelier sont entraînées par des moteurs asynchrones monophaséesà quatre pôles.

Chaque moteur a pour caractéristiques :— tension 230V, fréquence 50 Hz, FP = 0, 78AR— puissance utile : 5,4 kW à 1440 tr/min en régime nominal ; rendement 90%.Calculer la valeur efficace de l’intensité du courant appelé en ligne par un moteur.

II.4 Calculer les puissances active et réactive absorbées par l’atelier quand 10 moteurs etles 24 tubes fluorescents fonctionnent normalement.II.5 En déduire l’intensité dans les lignes d’alimentation de l’atelier et le facteur de puis-sance de l’atelier.

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Exercice III

L’ installation électrique d’une P.M.E. alimentée en monophasé (230 V, 50 Hz) com-porte en parallèle :

— 2 fours électriques (chacune purement résistif) de 2 kW chacun— 1 moteur à induction ayant une puissance utile de 4 kW, un rendement de 85 % et

un facteur de puissance de 0,8 AR— 20 tubes fluorescents de puissance 60 W et de facteur de puissance 0,55 AR.L’installation est alimentée par une ligne assimilable à inductance ℓ = 4mH en série

avec une résistance r = 0, 3Ω.III.1 Faire un schéma de principe faisant intervenir la source, la ligne et les trois consti-tuants de la charge ainsi que les grandeurs électriques significatives. UCH est la tensionaux bornes de l’installation et USO la tension aux bornes de la source.III.2 UCH = 230V Calculer la puissance active PCH absorbée par l’installation, la puis-sance réactive QCH de l’installation, la puissance apparente SCH de l’installation, le cou-rant I qui alimente l’installation et le facteur de puissance FPCH de l’installation.III.2 L’installation peut être modélisée par une seule impédance complexe ZCH = RCH +jXCH . Calculer RCH et XCH .III.3 Déterminer la perte de puissance active dans la ligne.III.4 Calculer la chute de tension dans la ligne ULi

III.5 Calculer les puissances actives et réactives de la source.III.6 Calculer la tension USO aux bornes de la source.

UCH reste inchangée, et on branche en parallèle de l’installation précédente, une bat-terie de condensateurs parfaits (capacité totale C) permettant de relever le facteur depuissance de l’installation globale (installation + condensateurs) à 0,93 AR.III.7 Calculer dans ce cas la puissance active P ′

CH absorbée par l’installation, la puissanceréactive Q′

CH de l’installation, la puissance apparente S ′CH de l’installation, le courant I ′

qui alimente l’installation.III.8 Déterminer la nouvelle la tension efficace de la source.III.9 En calculant la nouvelle puissance active perdue dans la ligne, monter l’intérêt derelever le facteur de puissance d’une installation électrique.

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TD N4

durée 2h00

Transformateur

Exercice I : Bobine à noyau de fer

Une bobine à noyau de fer peut être modélisée par une résistance r représentant larésistance de l’enroulement, d’une inductance magnétisante Lµ et d’une résistance RF

représentant les pertes fer.

Pour caractériser la bobine , on effectue une première mesure en courant continu àl’aide d’un ampèremètre et d’un voltmètre. La bobine est branchée à une source idéale detension continue et on relève les mesures suivantes :

— U = 19, 5V— I = 1, 50A

Dans un second temps la bobine est alimentée par une tension sinusoïdale de fréquence50 Hz et on mesure les puissances active et réactive de la bobine à l’aide d’un wattmètre.On relève les mesures suivantes :

— U = 230V— P = 3, 8W— Q = 91, 2VAR

I.1 A l’aide de l’essai en continu, déterminer la resistance r du bobinage.I.2 A l’aide de l’essai en alternatif, déterminer la resistance RF et Lµ du modèle de labobine.I.3 Déterminer le facteur de puissance de la bobine.

Exercice II : transformateur idéal

Un transformateur monophasé est supposé parfait. Il comporte 1600 spires au primaireet 920 spires au secondaire. Le secondaire alimente un dipôle inductif de résistance R =39, 8Ω et d’impédance Z = 53Ω sous une tension secondaire efficace V2 = 230V.

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II.1 Calculer la tension efficace V1 au primaire.II.2 Calculer la l’intensité efficace I2 au secondaire.II.3 Calculer la l’intensité efficace I1 au primaire.II.4 Déterminer la puissance apparente S du transformateur.II.5 Calculer le facteur de puissance de la charge secondaire cosϕ2. Comparer ce résultatavec R

Z.

II.5 Déterminer la puissance active absorbée P2 par la charge.

Exercice III : transformateur réel

Un transformateur (220 V/ 44 V, 50 Hz) est modélisé par le modèle de la figure ci-dessous. On rajoute au transformateur idéal des dipôles élémentaires au transformateuridéal :

— une inductance magnétisante Lµ au primaireet ses défauts :— une résistance RF modélisant les pertes fer placée au primaire,— une résistance r placée au secondaire modélisant les pertes par effet Joule totale.— une inductance de fuite ℓF placée au secondaire.Le transformateur alimente une charge résistive modélisée par une resistance R2.Afin de caractériser le transformateur réel, on réalise deux essais à vide et en court-

circuit à puissances réduites.A vide :— V10 = V1N = 220V— P10 = 80W— I10 = 1, 0AEn court-circuit :— V1CC = 40V— P1CC = 250W— I2CC = 100A

III.1 Déterminer le rapport de transformation de tension m et le nombre de spires ausecondaire, si l’on en compte 500 au primaire.III.2 Déterminer RF et Lµ à l’aide des mesures de l’essai à vide.III.3 Vérifier que l’on peut négliger les pertes fer dans l’essai en court-circuit.

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III.4 Déduire des mesures en court-circuit les valeurs de r et ℓf . Le transformateur, ali-menté au primaire sous sa tension nominale, débite 100 A au secondaire avec un facteurde puissance égal à 0,9 AR.III.5 Déterminer la tension secondaire V2 du transformateur. En déduire la puissance P2

délivrée à la charge au secondaire.III.6 Déterminer la puissance P1 absorbée au primaire (au préalable calculer les pertesglobales). En déduire le facteur de puissance FP1 au primaire et le rendement η.

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TD N5

durée 1h00

Réseau en triphasé équilibré

Exercice I : Trois résistances en étoile

Trois résistances identiques R = 50Ω sont couplées en étoile et raccordées sous (230V 400 V) sans neutre.I.1 Calculer le courant efficace JC qui circule dans chacune des résistances.I.2 Calculer le courant efficace I qui circule dans chaque ligne.I.3 Calculer La tension efficace VC aux bornes de chaque résistance.I.4 Calculer la puissance totale PC consommée par les trois résistances.I.5 Un court circuit a lieu sur la phase 3 (la résistance de reliée à la phase 3 est devientnulle). Calculer les courants efficaces dans chaque ligne.I.6 Les trois résistances sont de nouveau en étoile et la phase 3 est coupée. Calculer lesvaleurs des courants de ligne.

Exercice II : Trois résistances en triangle

Trois résistances identiques R = 75Ω sont couplées en triangle et raccordées sous (230V / 400 V). Calculer :II.1 La tension efficace VC aux bornes de chaque résistance.II.2 Le courant efficace JC qui circule dans chacune des résistances.II.3 Le courant efficace I circulant dans chaque ligne et la puissance totale PC consomméepar les trois résistances.

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Dip

ôle

ZZ

YY

ϕ

RR

RG

=1 R

G=

1 R0

LjL

ωLω

1

jLω

1 Lω

π 2

C1

jCω

1

jCω

jCω

Cω

−π 2

R+

LR+jL

ω√R

2+L2ω2

1

R+jLω

1√R

2+L2ω2

tanϕ=

Lω R

R+

CR+

1

jCω

√

R2+

1

C2ω2

1 Z1 Z

tanϕ=

−1

RLω

C+

Lj(

Lω−

1

Cω

)

|Lω−

1

Cω|

1 Z1 Z

±π 2

R+

L+

CR+j(

Lω−

1

Cω

)

√

R2+(

Lω−

1

Cω

)

21 Z

1 Ztanϕ=

Lω−

1

Cω

R

R//

L1 Y

1 Y1 R+

1

jLω

√

1 R2+

1

L2ω2

tanϕ=

R Lω

R//

C1 Y

1 Y1 R+jC

ω√

1 R2+C

2ω2

tanϕ=

−RCω

C//

L1 Y

1 Yj(

Cω−

1 Lω

)

|Cω−

1 Lω|

±π 2

C//

L//

R1 Y

1 Y1 R+j(

Cω−

1 Lω

)

√

1 R2+(

Cω−

1 Lω

)

2tanϕ=

R(

1 Lω−Cω)

25