Deret

Referensi:

Mary L. Boas, Mathematical methods in the physical sciences, 3rd ed., John Wiley & Sons, New York, 2006

K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering 3rd edition ,Cambridge University Press, 2006:

DIC 225 Kuliah 1

Deret

Konsep Deret Deret Fourier untuk fungsi periodik Transform Fourier untuk fungsi aperiodik Transformasi Laplace

Tujuan:

dapat menjabarkan fungsi-fungsi tertentu dalam deret yang sesuai

dapat menggunakan jabaran deret Fourier untuk analisis harmonik dari fungsi periodik.

dapat menggunakan jabaran transform Fourier dan tabel Transform Fourier untuk analisis harmonik dari fungsi aperiodik.

dapat menggunakan jabaran transform Laplace dan tabel transform Laplace untuk analisis harmonik dari

fungsi aperiodik

1. Konsep Deret

33

2210

0

xaxaxaaxa nn

n

2210

0

)()()( axaaxaaaxa nn

n

8421

2

)( 32

0

xxxxn

n

n

Referensi:

Mary L. Boas, Mathematical methods in the physical sciences, 3rd ed., John Wiley & Sons, New York, 2006: Bab 1 hal 1– 45

K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering 3 rd edition ,Cambridge University Press, 2006: Bab 4 hal 115 - 150

- Deret merupakan representasi dari suatu fungsi!

- Deret pangkat adalah suatu deret yang memiliki variabel

Contoh:

n

n

n

xa

2

)(

Contoh Konsep Deret

Sebuah fungsi f(x) dapat diuraikan menjadi deret pangkat.

Tinjaulah fungsi f(x) = sin x. Maka sin x dapat dituliskan dalam bentuk deret pangkat yaitu :

Dalam hal ini, yang menjadi masalah adalah menentukan nilai konstanta-konstanta a0, a1, a2 dst.

nn xaxaxaxaax 3

32

210sin

Untuk mencari nilai konstanta-konstanta a0, a1, a2 dst tersebut, dapat dilakukan penghampiran di sekitar x = 0, maka :

Turunan pertama dari sin x:

0000sin0

sin

000

33

2210

aaax

xaxaxaax

11

00cos0

432cos

11

1

34

2321

aa

ax

xaxaxaax

Turunan kedua dari sin x :

Turunan ketiga dari sin x:

020

020sin0

1262sin

22

2

2432

aa

ax

xaxaax

!3

1

6

161

060cos0

246cos

33

3

43

aa

ax

xaax

Dengan cara yang sama akan diperoleh :

dst

!7

1

0!5

1

0

7

6

5

4

a

a

a

a

Sehingga akan diperoleh :

!7!5!3

sin753 xxx

xx

Dengan cara yang sama diperoleh deret pangkat untuk cos x :

!6!4!2

1cos642 xxx

x

Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Bagaimana bentuk umum deret fungsi f(x)?

Untuk mendapatkan bentuk umum deret fungsi f(x), f(x), dapat diuraikan di sekitar x = a. Bentuk deret pangkatnya dapat ditulis sebagai

nn axaaxa

axaaxaaxaaxaaxf

)()(

)()()()()(5

5

44

33

2210

Turunan f(x)

145

34

2321

1

)()(5

)(4)(3)(2)(

n

n axanaxa

axaaxaaxaaxf

2

35

2432

2

)())(1(

)(54)(43)(322)(

n

n axann

axaaxaaxaaxf

3

2543

3

)())(1)(2(

)(543)(43232)(

n

n axannn

axaaxaaxf

4

254

4

)())(1)(2)(3(

)(5432432)(

n

n axannnn

axaaxf

!))(1)(2)(3)(4(21)( nnnnnnxf n

Jika dimasukkan nilai x = a (penghampiran di sekitar x = a), maka :

!2

)(

2

)(2)(

!1

)(

1

)()(

!0

)(

1

)()(

22

222

11

111

00

afafaaaf

afafaaaf

afafaaaf

`!3

)(

32

)(32)(

33

333 afaf

aaaf

!

)())(1)(2)(3(4321)(

!4

)(

432

)(432)(

3

!

43

444

n

afaannnnaf

afafaaaf

n

n

n

n

Substitusi koefisien kedalam fungsi menghasilkan:

!

)()(

!4

)()(

!3

)()(

!2

)()())(()()(

44

33

221

n

axaf

axaf

axaf

axafaxafafxf

nn

Persamaan diatas disebut sebagai deret Taylor.

Apabila aproksimasi dilakukan di sekitar a = 0 (x = 0), maka deret Taylor tersebut berubah menjadi

)0(!

)0(!4

)0(!3

)0(!2

)0()0()(

44

33

22

1

nn

fn

xf

x

fx

fx

xffxf

Persamaan diatas disebut sebagai deret Maclaurin

Contoh

1. Tunjukan uraian Taylor fungsi eksponensial di sekiar x = 0 adalah

!4!3!2

1432 xxx

xe x

2. Tunjukan uraian Taylor fungsi logaritma di sekiar x = 0 adalah

432

)1ln(432 xxx

xx

2. Tunjukan uraian MacLaurin deret binomial

32

!3

)2)(1(

!2

)1(1)1( x

pppx

pppxx p

Uraian Deret untuk fungsi yang rumit

Fungsi yang rumit dapat diuraikan dengan menggunakan fungsi dasar MacLaurin. Uraian Maclaurin beberapa fungsi dasar:

!4!3!2

1432 xxx

xe x

!6!4!2

1cos642 xxx

x

!7!5!3

sin753 xxx

xx

432

)1ln(432 xxx

xx

32

!3

)2)(1(

!2

)1(1)1( x

pppx

pppxx p

‑ < x < .

‑ < x < .

‑ < x < .

‑1 < x < 1

‑1 < x < 1

1. Perkalian Fungsi

!5!3)1(sin)1(

53 xxxxxx

!5!5!3!3

65432 xxxxxx

2. Pembagian Fungsi

4321

432

1)1ln(

32

432

xxx

xxxx

xx

x

3. Penjabaran bentuk binomial dari sebuah fungsi

32

321

1

!3

)3)(2)(1(

!2

)2)(1(1)1(

1

1

xxx

xxxxx

4. Integrasi

64212

02

0

1)1(

tgarctgarc1

tttt

xtt

dtxx

753

)1(1

753

642

2

tttt

dttttt

dt

753

tgarc753 xxx

xx

Deret sebagai representasi Aproksimasi

Pada perhitungan aproksimasi, deret pangkat dipotong pada suku tertentu. Suku sisa menentukan ketelitian aproksimasi. Uraian Taylor f(x) di sekitar x = a:

Dengan Rn(x,a)adalah suku sisa

axRn

axaf

axafaxafafxf n

nn ,

!....

!2

221

)(

!1, )1(

)1(

cfmaksn

axaxR n

n

n

(a < c < x)

Deret sebagai representasi Aproksimasi

Menghitung bilangan e

Hitunglah bilangan e hingga ketelitian enam desimal!

Menghitung logaritma bilangan

Menghitung akar bilangan

Deret sebagai representasi Aproksimasi

Menghitung bilangan

Menghitung sinus/cosinus

Menghitung integral tertentu