LÝ THUYẾT ĐiỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GV: Th.S Nguyễn …€¢1 trƯỜng ĐẠi hỌc nÔng...

•1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TPHCM. KHOA CƠ KHÍ CÔNG NGHỆ

BỘ MÔN CƠ ĐiỆN TỬ.

BÀI GiẢNG :

LÝ THUYẾT ĐiỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc.

[email protected].

mailto:[email protected]

Chương 2: Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân.

2.2 Phép biến đổi Laplace.

2.3 Hàm truyền.

2.4 Sơ đồ khối.

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình.

2.6 Graph tín hiệu.

2.7 Phương trình trạng thái.

•2

•3




2.3 Hàm truyền.





2.1 Phương trình vi phân

•4

ai , bi : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…)

r(t) : tín hiệu vào

y(t) : tín hiệu ra

n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân

Với hệ thống thực tế : m n (nguyên lý nhân quả)

1 1

1 0 1 01 1

n n m m

n n m mn n m m

d y d y d r d ra a ... a y(t) b b ... b r(t)

dt dt dt dt

Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một

hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng

phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

Ví dụ 2.1: Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn

Áp dụng Định luật II Newton :

•5

m : khối lượng, [kg]

b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]

k : độ cứng lo xo, [N/m]

Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]

Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

2

2 i ms lx

d ym F F(t) F F

dt

2

2

d y dym b ky(t) F(t)

dtdt

ms

dyF b

dtlxF ky(t)

Lực giảm chấn :

Lực lò xo :

F(t)

Fms Flx

m

(+)

Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp

Theo định luật Kirchhoff :

•6

Tín hiệu vào: điện áp u

Tín hiệu ra: điện áp uc

R L Cu u u u

L

diu L

dt

1 Cu idt

C

Ru Ri

2

2

C CC

d u duLC RC u u

dt dt

Trong đó:

Cdui C

dt

CduRC

dt2

2 Cd u

LCdt

Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô

•7

dv

m bv(t) f(t)dt

m : khối lượng xe

b : hệ số cản của không khí (ma sát nhớt)

Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)

Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t)

f(t) b

v(t)

Ví dụ 2.4: Bộ giảm xóc của xe ôtô, xe máy

•8

m : khối lượng, [kg]

b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]

k : độ cứng lo xo, [N/m]

Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]

Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

2

2

d y dy drm b ky(t) b kr(t)

dt dtdt

•9

Ví dụ 2.5: Mạch điện RLC

2

C CC

d u duRLC L Ru Ru

dt dt

2

C CC

d u du duRLC L Ru L

dt dt dt

i

i




2.3 Hàm truyền.





•10

2.2 Phép biến đổi Laplace

•11

Nghieäm y(t)

Nghieäm Y(s)


2.2.1 Định nghĩa

• Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t0, biến đổi Laplace

của f(t) là:

•12

s : biến Laplace (biến số phức)

L : toán tử biến đổi Laplace

F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t)

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức

định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn).

st

0

F(s) L[f (t)] f (t)e dt


• Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một

hàm thời gian f(t) xác định bởi:

•13

Trong đó :

C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s

j là số ảo đơn vị (j2 =-1)

1 ts

c

1f (t) L [F(s)] F(s)e ds

2 j

t 0

2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.2 Tính chất

1) Tuyến tính

2) Ảnh của đạo hàm

Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •14

(n 1)f (0), f (0), f (0), ..., f (0)

L [f1(t) f2(t)] = F1(s) F2(s)

L[kf(t)] = kF(s)

0y( ) là vận tốc ban đầu (tại t=0).

2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0)

300 5 20 100 y(t) y(t) y(t)

Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai:


2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0

•15

( ) ( 1)

1

[ ( )] ( ) (0)

n

n n n i i

i

L f t s F s s f

2300 5 20 100s Y(s) sY(s) Y(s) R(s) 2300 5 20 100( s s )Y(s) R(s)

2L[f (t)] s F(s) sf (0) f (0) (3) 3 2L[f (t)] s F(s) s f (0) sf (0) f (0)

300 5 20 100y(t) y(t) y(t) r(t)

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được:

Ví dụ, xét ptvp:

( )[ ( )] ( )n nL f t s F s2b) Nếu các điều kiện đầu = 0


3) Ảnh của tích phân

•16

0

( )( )

t

F sL f t dt

s

4) Ảnh của hàm trễ

f(t-T) = f(t) khi t T

= 0 khi t<T

TsL[f (t T)] e F(s)

5) Ảnh của tích chập t t

1 2 1 2 1 20 0

f (t)*f (t) f ( ). f (t )d f (t ). f ( )dÑN

1 2 1 2L[f (t)*f (t)] F (s).F (s)


6) Nhân hàm f(t) với e-t

•17

0

[ ( )] ( ) [ ( )] ( )

t t st

L e f t e f t e dt L f t F s

8) Định lý giá trị đầu

t 0 sf (0) limf (t) lim [s.F(s)]

Nhân f(t) với e-t thay s bằng (s+) trong ảnh Laplace.

7) Định lý giá trị cuối

t s 0f ( ) lim f (t) lim [s.F(s)]


2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản

1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị

•18

Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t):

st st

00

1 1 1L[1(t)] e dt .e (0 1)

s s s

KL[K.1(t)] K.L[1(t)]

s


2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac)

•19

0 0st 0

0 0 0

(t)e dt (t)e dt (t)dt 1

3) Hàm mũ e -t ( <0)

t st (s )t

0 0

e e dt e dt

(s )t

0

e 1

s s

tL[e ]

L[ (t)]

t

(t)

0

t

0

1

a0

a

h


4) Hàm dốc đơn vị

•20

tr(t) t.1(t)

0

khi t 0

khi t < 0

steu t ; v

s

2 2

st stst

00 0

te e 1 1L[t.1(t)] te dt dt 0

s s s s

t

2

0

L[1(t)] 1L[t.1(t)] L 1(t)dt

s s

Lấy tích phân từng phần

Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân:

udv uv vdu

Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn …

t.1(t)

t 0


5) Hàm lượng giác sint, cost, …

•21

j t

j tcos t jsin t e

cos t jsin t e

s j t s j tj t j t st

0 0

1 1e e e dtL[cos t] e e dt

2 2

Công thức Euler:

j t j t j t j t1 1cos t e e ; sin t e e

2 2j

1 1 1...

2 j sL[sin

s jt]

j

1 1 1

2 s j s j

2 2

s

s

2 2s

Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20)

TT f(t) F(s)

1 1(t)

3

8

9

17

18


2 2

s

(s )

2 2(s )

te cos t

te sin t

1n(s )

1

s

2

1

(s )

1 / s

te

tte

n 1tt

e(n 1)!

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=?

Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức theo s:


m m 1

m m 1 0

n n 1

n n 1 0

b s b s ... bP(s)Y(s)

Q(s) a s a s ... a

PP giải: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức

đơn giản, sau đó áp dụng các công thức cơ bản.

Cách phân tích Y(s) hoàn toàn phụ thuộc vào loại

nghiệm của mẫu số Q(s) (nghiệm đơn/ bội/ phức).

n n1 1

i i

i 1 i 1

y(t) L [Y(s)] L [Y (s)] y (t)

(m<n)


1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn


Các hệ số Ai (i=1,2,…,n) xác định bởi:

n 1 2 nQ(s) a (s s )(s s )...(s s )

1 2 i n

1 2 i n

A A A AP(s)Y(s) ... ...

Q(s) s s s s s s s s

ii

s si i is s

A lim [(s s ).Y(s)] [(s s ).Y(s)]

i 1 2 n

ns t s t s t s t

i 1 2 n

i 1

y(t) A e A e A e ... A e

Tra bảng ta có: i1 ii

i

s tAL A e

s s

Giả sử Q(s) có n nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn Khi đó có thể phân tích :


Ví dụ : Tìm y(t) biết


2s 2 s 2

5s 3 7A lim [(s 2)Y(s)] lim

2s(s 5) 12

31 2AA A5s 3

Y(s)2s(s 2)(s 5) s s 2 s 5

1s 0 s 0

5s 3 3A lim [s.Y(s)] lim

2(s 2)(s 5) 20

Giải. Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn s1 =0, s2 =-2 , s3 =-5

và hệ số an=2. Do đó có thể phân tích :

2

5s 3Y(s)

s(2s 14s 20)

3s 5

A lim [(s 5)Y(s)]

s 5

5s 3 22 11lim

2s(s 2) 30 15



3 7 11Y(s)

20s 12(s 2) 15(s 5)

2t 5t3 7 11y(t) e e

20 12 15

t 0y(0) lim[y(t)] 0

ty( ) lim[y(t)] 3 / 20

s 0y( ) lim[s.Y(s)] 3 / 20

sy(0) lim[s.Y(s)] 0

Nhận xét:


2

18s 126Y(s)

s(s 23s 126)

9t 14t4 9y(t) 1 e e

5 5


2) Mẫu số của Y(s) có nghiệm bội


r

n 1 n r kQ(s) a (s s )...(s s )(s s )

1 n r r 2 1

r 21 n r kk k

A A B B BY(s) ... ...

s s s s s ss s s s

ii i

s sA lim [(s s ).Y(s)]

Giả sử Q(s) có (n-r) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-r

và một nghiệm bội sk lặp r lần

Khi đó có thể phân tích :

s sk

r ir

i kr i

1 dB lim (s s ) .Y(s)

(r i)! ds

( i=r,r-1,…,1)

( i=1,2,…,n-r)


s sk

r ir

i kr i

1 dB lim (s s ) .Y(s)

(r i)! ds

1 n r r 2 1

r 21 n r kk k

A A B B BY(s) ... ...

s s s s s ss s s s


2 2

2 k 1 ks s s sk k

dB lim (s s ) .Y(s) ; B lim (s s ) .Y(s)

ds

i k k k

r 1n rs t s t s t s t

i r 2 1

i 1

ty(t) A e B e ... B te B e

(r 1)!

Nếu r =2 (nghiệm kép), cần tìm 2 hệ số B2 , B1 :

( i=r,r-1,…,1)


Ví dụ : Tìm y(t) biết


1 2 2 1

22

A A B B5s 24Y(s)

s(s 4)(s 3) s s 4 s 3s 3

1 2s 0 s 0

5s 24A lim [s.Y(s)] lim

(s 4)(s 3)

Giải. Mẫu số của Y(s) có 2 nghiệm đơn s1=0 ; s2=-4

và một nghiệm kép sk =-3 nên có thể phân tích :

2

5s 24Y(s)

s(s 4)(s 3)

2 2s 4 s 4

5s 24A lim [(s 4)Y(s)] lim

s(s 3)

22

s 3 s 3

5s 24B lim [(s 3) Y(s)] lim

s(s 4)

24 2

36 3

41

4

93

3


2

2 1 3 1Y(s)

3s s 4 3(s 3)s 3


21

s 3 s 3

d d 5s 24B lim [(s 3) Y(s)] lim

ds ds s(s 4)

1 2 2s 3

5s(s 4) (2s 4)(5s 24) 3 1B lim

9 3s (s 4)

4t 3t 3t2 1y(t) e 3te e

3 3

2

'u u v v u

v v

Lưu ý:

•Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự

Động •32

2

3s 40Y(s)

s(s 5)(s 3)

5t 3t 3t8 5 31 13y(t) e te e

9 4 6 36- -


3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức


n 1 n 2 1 2Q(s) a (s s )...(s s )(s p )(s p )

1 n 2 1 2

2 21 n 2

A A C (s a) CY(s) ...

s s s s s a

Giả sử Q(s) có (n-2) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-2

và 2 nghiệm phức p1,2 = a j

Khi đó có thể phân tích :

2 2

n 1 n 2Q(s) a (s s )...(s s )[(s a) ]

Các hệ số Ai , C1 ,C2 xác định bằng :

- Phương pháp đồng nhất hệ số đa thức,

- hoặc Tính theo công thức:


1 n 2 1 2

2 21 n 2

A A C (s a) CY(s) ...

s s s s s a


i is si

A lim [(s s )Y(s)]

1 1 2 1s p

1C Im (s p )(s p )Y(s)

2 1 2 1s p

1C Re (s p )(s p )Y(s)

(i=1,…,n-2)

i

n 2s t at at

i 1 2

i 1

y(t) A e C e cos t C e sin t

Biến đổi ngược Laplace hàm ảnh Y(s) ta được :


Nhận xét : Có thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay cos của tổng/hiệu.


2 2

2 2 2 2sin t cos t sin t cos t

2 2 sin t cos cos t sin

2 2 sin( t )

Trong đó :

2 2 2 2arccos arcsin


Ví dụ: Tìm y(t) biết


1 2

2 2

C (s 3) 4C2s 5 AY(s)

s(s 6s 25) s s 6s 25

Giải. Mẫu số của Y(s) có một nghiệm đơn s=0 và hai

nghiệm phức p1,2 =-34j nên có thể phân tích :

2

2s 5Y(s)

s(s 6s 25)

2

1 1 2

2

(A C )s (6A 3C 4C )s 25AY(s)

s(s 6s 25)

25A 5

1A C 0

1 26A 3C 4C 2

A 1/ 5

1C 1/ 5

2C 7 / 20

So sánh với Y(s) đã cho, ta được:


2 2 2 2 2

1 7 1 7(s 3) (4) (s 3) ( )

1 15 20 5 20Y(s)5s s 6s 25 5s (s 3) 4 (s 3)

4

4


1 3t 3t1 1 7y(t) L [Y(s)] e cos4t e sin 4t

5 5 20

3t1 1e (7sin 4t 4cos4t)

5 20

3t1 65 7 4e sin 4t cos4t

5 20 65 65

3t1 65e sin(4t )

5 20

7 4arccos arcsin

65 65 Vôùi



20 0s s

2s 5 1A lim [sY(s)] lim

5s 6s 25

1 2 3 4 j1s p s

2s 5D (s p )(s p )Y(s)

s

1

1 1 4 1C Im D

4 5 5

Cũng có thể tính A, C1 , C2 bằng công thức :

2

1 8j 3 4j1 8j 35 20j 7 4D j

3 4j 25 5 59 16j

2

1 1 7 7C Re D

4 5 20


2

15s 225Y(s)

s(s 18s 225)

9t 9t1y(t) 1 e cos12t e sin12t

2-

•Tìm Hàm y(t) biết :

Bài tập: Cho Y(s), tìm y(t)=?


2

s 20Y(s)

s(2s 16s 30)

2

6s 15Y(s)

s(s 1)(s 8s 16)

2

s 5Y(s)

s(s 4s 5)

2ty(t) 1 2e sin t

4

3t 5t2 17 3y(t) e e

3 12 4

t 4t 4t15 3 1y(t) e te e

16 4 16- - +





2.3 Hàm truyền.





•41

2.3 Hàm truyền

n n 1 m m 1

n n 1 0 m m 1 0n n 1 m m 1

d y d y d r d ra a ... a y(t) b b ... b r(t)

dt dt dt dt


1) Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa

ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào

khi các điều kiện đầu bằng 0.

Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục :

Biến đổi Laplace hai vế với ĐKĐ =0 ta được :

n n 1 m m 1

n n 1 0 m m 1 0(a s a s ... a )Y(s) (b s b s ... b )R(s)

m m 1

m m 1 0

n n 1

n n 1 0

b s b s ... bY(s)G(s)

R(s) a s a s ... a

Lập tỉ số Y(s)/ R(s) ta được hàm truyền G(s):

2.3 Hàm truyền


2) Nhận xét

Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống

(hay phần tử) tuyến tính bất biến.

Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số và bậc của

hệ thống mà không phụ thuộc vào loại và giá trị của tín

hiệu vào, tín hiệu ra.

Giả thiết các ĐKĐ =0 nhằm mục đích dùng hàm truyền

để nghiên cứu bản chất động học của hệ thống.

Dùng hàm truyền để mô tả và phân tích hệ thống thuận

lợi hơn PTVP vì hàm truyền là phân thức đại số.

Quan hệ vào-ra sẽ đơn giản là phương trình đại số:

G(s) Y(s) / R(s) Y(s) R(s).G(s)

Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền

2.3 Hàm truyền


3) Đa thức đặc tính, Phương trình đặc tính

- Đa thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là đa thức đặc tính:

Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình đặc

tính có thể xét tính ổn định của hệ thống (chương 4).

n n 1

n n 1 0A(s) a s a s ... a

n n 1

n n 1 0a s a s ... a 0

- Cho mẫu số hàm truyền =0 ta có phương trình đặc tính:

4) Mô tả hệ MIMO

Để mô tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền.

Mỗi hàm truyền chỉ ứng với một cặp tín hiệu vào, ra.

ij i jG Y / RHệ MIMO 1Y

1R

3R 4Y

2.3 Hàm truyền


5) Biểu diễn hàm truyền theo dạng zero-cực-độ lợi

Trong đó:

zi (i=1,2,…,m) _ là nghiệm đa thức tử số, gọi là các zero.

pi (i=1,2,…,n)_ là nghiệm đa thức mẫu số, gọi là các cực

(pole); pi cũng chính là nghiệm của phương trình đặc tính.

1 2 m

1 2 n

Y(s) (s z )(s z )...(s z )G(s) K

R(s) (s p )(s p )...(s p )

m

n

bK

a _ là độ lợi (gain).

2

2

4s 28s 40 (s 2)(s 5)G(s) 4

(s 3)(s 10)s 13s 30

Ví dụ:


Động •46



2.3 Hàm truyền.







Động •47




2.3 Hàm truyền.





•47

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

2

2

d y dym b ky(t) F(t)

dtdt


2.5.1 Phần tử cơ khí

Hệ lò xo-khối lượng-giảm chấn

Phương trình vi phân:

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 :

2(ms bs k)Y(s) F(s)

Hàm truyền bậc hai:

2

Y(s) 1G(s)

F(s) ms bs k

- Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t)

- Tín hiệu ra: lượng di động y(t)



2.5.1 Phần tử cơ khí

Trục vít –đai ốc (bàn máy)

Phương trình chuyển động:

Biến đổi Laplace 2 vế :

Hàm truyền tích phân:

-Tín hiệu vào: vận tốc góc (t)

-Tín hiệu ra:lượng di động y(t)

n_số vòng quay;

P_bước ren vít t t

0 0

Py(t) P n(t)dt . (t)dt

2

P (s) KY(s) . (s)

2 s s

Y(s) K

(s) s

(K=P/2 : hệ số tích phân)





U(s) (Ls R)I(s)

Hàm truyền bậc nhất:

I(s) 1G(s)

U(s) Ls R

2.5.2 Phần tử điện

Mạch RL nối tiếp -Tín hiệu vào: điện áp u(t)

-Tín hiệu ra: dòng điện i(t)

L R

diu u u L Ri

dt





2

C(LCs RCs 1)U (s) U(s)

Hàm truyền bậc hai:

C2

U (s) 1G(s)

U(s) LCs RCs 1

2.5.2 Phần tử điện

Mạch RLC nối tiếp

Tín hiệu vào: điện áp u(t)

Tín hiệu ra: điện áp uc(t)

2

2

C CC

d u duLC RC u u

dt dt



Mạch RLC nối tiếp & //

i

- Theo Kirchoff :

CC C C

du1u i dt i C

C dt

LC L L C

di 1u u L i u dt

dt L

R L Cu Ri R i i( )

2

CRLCs Ls R U s LsU s( ) ( ) ( )

- Hàm truyền: C

2

U s LsG s

U s RLCs Ls R

( )( )

( )

R Cu u u (*)

- Lấy Laplace 2 vế, được:

CC C

du RRC u u dt u

dt L -Thế vào (*) , ta được:

2

C CC

d u du duRLC L Ru L

dt dt dt - Lấy đạo hàm 2 vế, được:



Khuếch đại thuật toán (op-amp)

0 2 1 1 2u K(u u ) K(u u )

- Op-amp thường được ghép nối thành các mạch khuếch

đại, mạch cảm biến, bộ lọc tín hiệu, bộ điều khiển.

- Tín hiệu ngõ ra u0 tỉ lệ với hiệu của hai tín hiệu vào.

- Hệ số khuếch đại K105106.



Cảm biến

Các cảm biến thường có tín hiệu ra yht(t) tỉ lệ với tín

hiệu vào y(t). Ví dụ:

- Một cảm biến đo áp suất trong tầm 010 bar và

chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền

là H(s)=K =10/10 = 1 [V/bar]

- Một cảm biến nhiệt đo nhiệt độ trong tầm 0500C và

chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền

là H(s)=K =10/500 = 0,02 [V/C]

Nếu cảm biến có độ trễ đáng kể thì được mô tả bằng

hàm truyền bậc nhất.

2.5.3 Động cơ điện DC


U(s) I(s)

(s)

Tín hiệu vào: điện áp u

Tín hiệu ra: vận tốc góc

R: điện trở phần ứng

L: điện cảm phần ứng

Ke: hằng số sức điện động

e=Ke: sức phản điện động

Sử dụng 3 phương trình cơ bản:

1) Phương trình mạch điện phần ứng : e

diu L Ri K

dt

eU(s) LsI(s) RI(s) K (s)

eU(s) K (s) Ls R I(s)

Biến đổi Laplace 2 vế:

Sơ đồ khối (1):

1

Ls R

Ke



2) Phương trình mômen điện từ:

mM(t) K i(t) mM(s) K I(s)

Km : hằng số mômen của động cơ I(s) M(s)

Km


t

dM(t) J B (t) M (t)

dt

tM(s) Js (s) B (s) M (s)

3) Phương trình cân bằng mômen cơ:

tM(s) M (s) (Js B). (s)

J: mômen quán tính của đcơ

và tải quy về trục động cơ

B: hệ số ma sát của đcơ và

tải quy về trục động cơ

Mt : mômen phụ tải (nhiễu)


M(s) (s)

Mt(s)

1

Js B



Kết nối các SĐK (1),(2),(3) ta được SĐK chung của động cơ DC:

Dùng đại số SĐK tìm hàm truyền động cơ (coi nhiễu Mt=0):

Km

M(s) (s)

Mt(s)

1

Js B

U(s) I(s)

(s) Ke

1

Ls R

m

m

m e m e

K

K(s) (Ls R)(Js B)G(s)

K KU(s) (Ls R)(Js B) K K1

(Ls R)(Js B)

m

2m e

K(s)G(s)

U(s) LJs (LB RJ)s K K RB

(2-47 tr.45)



Nếu đặt :

Thì hàm truyền có dạng:

t L / R _là hằng số thời gian điện

c J / B _là hằng số thời gian cơ

m m

2 m et c m et c t c

K K / RBG(s)

K KRB( s 1)( s 1) K Ks ( )s 1

RB

Nếu bỏ qua điện cảm: m

m em

m e

m e

K

RB K K(s) K KG(s)

RJU(s) RJs RB K K Ts 1s 1

RB K K

Nhận xét : Tổng quát, động cơ DC điều khiển vận tốc được

mô tả bằng hàm truyền bậc hai, nếu bỏ qua điện cảm thì có

thể mô tả bằng hàm truyền bậc nhất.

(2-49)

(2-48 tr.46)



Nếu động cơ được điều khiển góc quay (định vị); Do =d/dt

(s)=s.(s) nên sơ đồ khối có thêm khâu tích phân 1/s.

Hàm truyền:

Nếu bỏ qua điện cảm: m

m em

m e

m e

K

RB K K(s) K KG(s)

U(s) s(RJs RB K K ) s(Ts 1)RJs s 1

RB K K

(2-50 tr.46)

Km

M(s) (s)

Mt(s)

1

Js B

U(s) I(s)

(s) Ke

1

Ls R

1

s

(s)

m

m e

(s) KG(s)

U(s) s[(Ls R)(Js B) K K )


Động •60




2.3 Hàm truyền.






Động




2.3 Hàm truyền.





•61

2.7 Mô hình phương trình trạng thái


2.7.1 Giới thiệu

Mô hình hàm truyền có một số điểm hạn chế:

- Chỉ áp dụng được với điều kiện đầu bằng 0.

- Chỉ mô tả được quan hệ tuyến tính một vào, một ra (SISO).

- Chỉ áp dụng được cho hệ tuyến tính bất biến, không dùng được

cho hệ phi tuyến hay hệ có thông số biến đổi theo thời gian.

Để khắc phục, người ta dùng mô hình phương trình trạng thái.

Trạng thái của hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là

biến trạng thái) mà nếu biết giá trị các biến này tại thời điểm

t=t0 và biết các tín hiệu vào ở t t0, ta hoàn toàn có thể xác định

được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t t0. Với hệ tuyến

tính bất biến, thời điểm đầu thường được chọn là t0=0.

Biến trạng thái không nhất thiết phải là các thông số đo được

(biến vật lý). Các biến không đại diện cho các đại lượng vật lý

(chỉ là biến toán học) cũng có thể chọn làm biến trạng thái.



Để mô tả hệ thống bậc n cần dùng n biến trạng thái, hợp thành

véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu là:

T

1 2 nx x x ... x

Sử dụng biến trạng thái ta có thể chuyển ph. trình vi phân bậc n

mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất

viết dưới dạng ma trận như sau :

x(t) Ax(t) Br(t)

y(t) Cx(t) Dr(t)

Trong đó: x(t) là véctơ trạng thái

r(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra của hệ.

Với hệ tuyến tính bất biến MIMO thì A, B, C, D là các ma trận hệ số.

Với hệ tuyến tính bất biến SISO thì A là ma trận, B là vectơ cột, C là

vectơ hàng, D là một hằng số.

: Phương trình trạng thái

: Phương trình ngõ ra



11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

a a ... a

a a ... aA

... ... ... ...

a a ... a

n

1

2

b

bB

b

1 2 nC c c ... c

1D d const.

Nếu hệ tuyến tính bất biến SISO có hàm truyền với bậc tử số

nhỏ hơn bậc mẫu số (gọi là hệ hợp thức chặt) thì D = 0.

Việc chọn biến trạng thái không phải chỉ theo một cánh duy nhất.

Do đó: Một hệ thống có thể mô tả bằng nhiều phương trình trạng

thái khác nhau, tuỳ thuộc vào cách chọn các biến trạng thái.

Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC

mM(t) K i(t)

dM(t) J B (t)

dt


3 phương trình cơ bản:

-Phương trình điện :

e

diu L Ri K

dt

-Ph. trình mômen điện từ:

-Phương trình cân bằng mômen cơ:

(để đơn giản, xem mômen tải =0)

(1)

(2)

(3)

(1) di

dt

(2) và (3) d

dt

dJ M(t) B (t)

dt

(4)

(5)

eKR 1i u

L L L

mK Bi

J J

Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC

e1 1 2

KR 1x x x u

L L L

m2 1 2

K Bx x x

J J

x Ax Bu

Cx Du


e1 1

2 2m

R / L K / Lx x 1/ Lu

x x 0K / J B / J

Đặt 2 biến trạng thái 1 2x i ; x

(4) và (5)

1

2

x0 1

x

e

m

R / L K / LA

K / J B / J

1/ LB

0

C 0 1 D 0

Ví dụ 2.15 (trang 63) _Lập phương trình trạng thái


Các phương trình cân bằng lực:

2 2 1 2 2 1 2 2F b (y y ) k (y y ) m y

2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1b y y k (y y ) b y k y m y

Đặt 4 biến trạng thái: 1 1 2 2 3 1 4 2x y ; x y ; x y ; x y

Ta viết được hệ phương trình trạng thái :

Ví dụ 2.15 (trang 63)


1 3

2 4

x x

x x

2 1 2 2

3 1 1 2 1 2 3 4

1 1 1 1

k b b b1x y (k k )x x x x

m m m m

2 2 2 24 2 1 2 3 4

2 2 2 2 2

k k b b F(t)x y x x x x

m m m m m

1 1

1 2 2 1 2 22 2

1 1 1 13 3

4 42 2 2 22

2 2 2 2

0 0 1 00

0 0 0 1x x0

k k k b b bx x0. .F

m m m mx x1

x xk k b bm

m m m m

A x B r x

Ví dụ 2.15 (trang 63)

x(t) Ax(t) B.F(t)

y(t) Cx(t) D.F(t)


1

1 2 1

2 3 2

4

x

y x x1 0 0 0

y x x0 1 0 0

x

C x y

Dạng tổng quát :

Trong đó A, B, C được xác định như trên. Hằng số D=0.

2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân

x Ax Br

y Cx


1) Ph.trình vi phân không chứa đạo hàm tín hiệu vào

Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:

Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ tìm được phương trình

trạng thái mô tả hệ thống (trường hợp này có D=0):

n n 1

n 1 0 0n n 1

d y d ya ... a y(t) b r(t)

dt dt

(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên)

Quy tắc đặt biến trạng thái:

-Biến thứ nhất bằng tín hiệu ra: x1 =y

-Biến sau bằng đạo hàm của biến trước: xi= xi-1 (i=2,..,n)



2) Ph.trình vi phân có chứa đạo hàm tín hiệu vào

Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:

Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ xác định được các hệ số .

Từ đó lập được ph.trình trạng thái mô tả hệ thống, trong đó:

n n 1 n n 1

n 1 0 n n 1 0n n 1 n n 1

d y d y d r d ra ... a y(t) b b ... b r(t)

dt dt dt dt

(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên)

Quy tắc đặt biến trạng thái:

- Nếu bậc vế phải = vế trái (tức bn≠0), đặt x1 =y- 0r

Nếu bậc vế phải < vế trái (tức bn=0), đặt x1 =y

- Đặt biến thứ i (i=2,3,…,n):

- Và đặt n n 1 n n 2 n 1 1 2 0 1 nx a x a x ... a x a x r 1 1i i ix x r

1 2 0[ ... ] ;Tn nB D b


x Ax Br

y Cx


Ví dụ 1: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:

Giải. Đặt hai biến trạng thái:

5y(t) 2y(t) 7y(t) r(t)

1 2 1x y ; x x

2x y

Phương trình trạng thái: 1 2

2 1 2

x x

7 2 1x x x r

5 5 5

Viết theo dạng ma trận:

1 1

2 2

x x0 1 0.r

x 7 / 5 2 / 5 x 1/ 5

1

2

xy 1 0

x




Và đặt

Giải. Đặt các biến trạng thái:

y 5y 6y 8y 8r 24r

1

2 1 1

3 2 2

x y

x x r

x x r

3 2 3 1 2 0 1 3 3 2 1 3x a x a x a x r 5x 6x 8x r

1

1 2 1

2 1 3 2 1

y x

y x x r

y x r x r r

Ta được:

3 2 1 3 2 1 3 2 1y x r r 5x 6x 8x r r r

3 2 1 3 2 1y 5y 6y 8y ( 5x 6x 8x r r r)

3 2 1 2 1 1(5x 5 r 5 r) (6x 6 r) 8x



Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là:

So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:

Dạng ma trận:

1 2 1 3 2 1y 5y 6y 8y r ( 5 )r ( 5 6 )r

1

2 1 2

3 2 1 3 2 1

0

5 8 8

5 6 24 24 5 6 16

1 2 1 2

2 3 2 3

3 3 2 1 3 1 2 3

x x r x

x x r x 8r

x 5x 6x 8x r 8x 6x 5x 16r

1 1

2 2

3 3

x x 00 1 0

x 0 0 1 x 8 r

8 6 5 16x x




Và đặt:

Giải. Đặt các biến trạng thái như sau:

y 7y 4y 2r 8r 3r

1 0

2 1 1

x y r

x x r

2 1 2 0 1 2 2 1 2x a x a x r 7x 4x r

1 0

1 0 2 1 0

2 1 0 2 1 2 1 07x 4x r r r

y x r

y x r x r r

y x r r

Ta được:

2 1 2 1 0y 7y 4y ( 7x 4x r r r)

2 1 0 1 0(7x 7 r 7 r) (4x 4 r)

Đáp ứng ngõ ra:

1

1 2

3

x

y x 1 0 0 x

x



Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là:

Dạng ma trận:

0

1 0 1

2 1 0 2 1 0

2

7 8 6

7 4 3 3 7 4 37

1 1 0 2

2 2 1 2 1 2

x x r x 2

x 7x 4x r 4x 7x 37r

1 1

2 2

x x0 1 6r

4 7x x 37

1

2

xy 0 1 2r

x

So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:

0 1 0 2 1 0y 7y 4y r ( 7 )r ( 7 4 )r

2.7.3 Lập ph.trình trạng thái từ hàm truyền, sơ đồ khối

y 5y 6y 8y 8r 24r


Cách 1: Hàm truyền ph.trình vi phân ph.trình trạng thái

(Xem cách giải ví dụ 2.19 trang 69 sách ĐKTĐ )

Ví dụ:

Cách 2: Đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối

Ví dụ: 3 2

Y(s) 8s 24G(s)

R(s) s 5s 6s 8

3 2(s 5s 6s 8).Y(s) (8s 24).R(s)

(tiếp tục giải như ở ví dụ 2 mục 2.7.2 )

Lấy Laplace ngược 2 vế

2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái


Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình trạng thái:

- Để tránh phải tính ma trận nghịch đảo, có thể dùng công thức:

x Ax Br

y Cx Dr

Hệ thống sẽ có hàm truyền: 1Y(s)G(s) C(sI A) B D

R(s)

1 det(sI A BC)G(s) C(sI A) B D 1 D

det(sI A)

- Phương trình đặc tính của hệ thống:

det(sI A) 0

(xem chứng minh tr. 71_sách ĐKTĐ)



Ví dụ 2.21 (trang 71) Xét hệ thống có ph.trình trạng thái:

1G(s) C(sI A) B D Cách 1: Hàm truyền

1 1

2 2

x (t) x5 1 2r(t)

x (t) x1 0 0

1

2

x (t)y(t) 1 0,5

x (t)

1 0 5 1 s 5 1(sI A) s

0 1 1 0 1 s

1

1a b d b1

Mc d c adet(M)

1

2

s 1 s 11 1(sI A)

1 s 5 1 s 5det(sI A) s 5s 1

Hàm truyền

của hệ thống =?



1

2

s 1 s 11 1(sI A)

1 s 5 1 s 5det(sI A) s 5s 1

1

2 2

s 1 2 2s1 1(sI A) B

1 s 5 0 2s 5s 1 s 5s 1

1

2 2

2s1 2s 1C(sI A) B 1 0,5

2s 5s 1 s 5s 1

1

2

2s 1G(s) C(sI A) B D

s 5s 1



1 0 5 1 s 5 1sI A s

0 1 1 0 1 s

s 5 1 2

sI A BC 1 0,51 s 0

1 det(sI A BC)G(s) C(sI A) B 1

det(sI A)

2

2 2

s 7s 2 2s 1G(s) 1

s 5s 1 s 5s 1

Cách 2: Hàm truyền

s 5 1 2 1 s 7 2

1 s 0 0 1 s

Tổng kết chương 2


Một hệ thống có thể mô tả bằng một trong ba dạng mô

hình: Ph.trình vi phân, hàm truyền và ph.trình trạng thái.

Ba dạng mô hình này có thể chuyển đổi qua lại.

Ph.trình

vi phân

Hàm

truyền

Ph.trình

trạng thái

L-1 L Đặt x

1( ) ( ) G s C sI A B D

LÝ THUYẾT ĐiỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GV: Th.S Nguyễn …€¢1 trƯỜng ĐẠi hỌc nÔng...

Documents

Transcript of LÝ THUYẾT ĐiỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GV: Th.S Nguyễn …€¢1 trƯỜng ĐẠi hỌc nÔng...