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Enrico Borghi

L’OPERATORE MOMENTO ANGOLARE

Premessa.I rinvii del tipo (xxx∗) fanno riferimento a equazioni contenute non in questo studio ma nellaSeconda Parte dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegarela Meccanica quantistica”.—————————Riassumiamo le caratteristiche principali dell’operatore momento angolare L presentatenel par. 1.2.6 della Seconda Parte dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismo max-welliano per spiegare la Meccanica quantistica”.Una componente qualunque di L, convenzionalmente Lz, e il quadrato del modulo L2

commutano[Lz, L

2] = 0

quindi possiedono un insieme di autovettori comuni, percio possiamo scrivere per Lz e L2

le seguenti equazioni agli autovalori

Lzfl,ml= mlhfl,ml

; ml intero (1)

L2fl,ml= l(l + 1)h2fl,ml

; l intero (2)

dove fl,ml, con l ≥ 0 e −l ≤ ml ≤ l, e l’insieme degli autovettori comuni a Lz e L2.

Ora vogliamo studiare questi due operatori piu a fondo e nel modo piu generale, cioe nonconsiderandoli espressi ne come matrici ne come prescrizioni differenziali: ripresenteremo,partendo da questo presupposto, le loro regole di commutazione con gli operatori di usopiu comune (sezione A) e ricalcoleremo i loro autovalori (sezione B).Determineremo poi le loro espressioni matriciali (sezione C), le loro autofunzioni in coordi-nate sferiche (sezione D) e studieremo il problema della composizione dei momenti angolari(sezione E).L’utilita di questa ripresa in esame dell’operatore L apparira evidente nel corso dello studio.Iniziamo dalle regole di commutazione di L con altri operatori.

E. Borghi - L’operatore momento angolare

A) REGOLE DI COMMUTAZIONE

1. Commutazione [Li, xj ] di una componente del momento angolare con unacomponente del vettore posizione

Tenendo presente la definizione di momento angolare L = R× p = ε : (Rp) si ha

Li = εiklxkpl ; i, k, l = 1, 2, 3 (3)

e si puo scrivere[Li, xj ] = [εiklxkpl, xj ] = εikl[xkpl, xj ]

Ricordando che (v. eq. (347∗))

[uv,w] = u[v,w] + [u,w]v (4)

si ha

[Li, xj ] = εiklxk[pl, xj ] + εikl[xk, xj ]pl = εiklxk[pl, xj ] = −εiklxkihδjl = −ihεikjxk

dove si e tenuto conto dell’eq. (345∗), e infine

[Li, xj ] = ihεijkxk (5)

2. Commutazione [Li, pj ] di una componente del momento angolare con unacomponente del momento lineare

Si ha[Li, pj ] = [εiklxkpl, pj ] = εikl[xkpl, pj ]

Ricordando la (4) si puo scrivere

[Li, pj ] = εiklxk[pl, pj ] + εikl[xk, pj ]pl = εikl[xk, pj ]pl = εiklihδkjpl

dove si e tenuto conto dell’eq. (345∗) e infine

[Li, pj ] = ihεijlpl (6)

3. Commutazione [Li, Lj ] delle componenti del momento angolare

Si puo scrivere[Li, Lj ] = [Li, εjklxkpl] = εjkl[Li, xkpl]

Ricordando che (v. eq. (348∗))

[u, vw] = [u, v]w + v[u,w] (7)

si puo scrivere[Li, Lj ] = εjkl[Li, xk ]pl + εjklxk[Li, pl]

2


Ma tenendo conto delle (5) e (6) si ha

[Li, Lj ] = εjklihεikmxmpl + εjklxkihεilmpm = ih(εjklεikmxmpl − εjlkεilmxkpm)

Poiche risulta (v. l’eq. (9) dell’Appendice dello studio “La legge fondamentale della Mec-canica newtoniana per un sistema di particelle”)

εjklεikm = εkjlεkim = δjiδlm − δjmδli

εjlkεilm = εljkεlim = δjiδkm − δjmδki

si puo scrivere

[Li, Lj ] = ih(δjiδlm − δjmδli)xmpl − (δjiδkm − δjmδki)xkpm= ihδjixmpm − xjpi − δjixkpk + xipj= ih(xipj − xjpi)

= ihεijkLk (8)

Infine osserviamo che

εlij [Li, Lj ] = ihεlijεijkLk = ihεijlεijkLk

e anche

εlij [Li, Lj ] = εlijLiLj − εlijLjLi = εlijLiLj + εljiLjLi = 2εlijLiLj

percio2εlijLiLj = ihεijlεijkLk

Ma si ha εijlεijk = 2δlk (v. l’eq. (11) dell’Appendice dello studio citato) percio

2εlijLiLj = ih2δlkLk = ih2Ll

ovveroεlijLiLj = ihLl ; L× L = ihL (9)

La (9) mette in evidenza il fatto che le relazioni che stiamo esaminando riguardano opera-tori; se ci trovassimo in Meccanica di Newton avremmo L× L = 0.Notiamo che le regole di commutazione fra le componenti del momento angolare non chia-mano in causa ne R ne p singolarmente.Segue da cio che l’operatore momento angolare e rappresentabile senza far ricorso al pro-dotto di operatori gia noti, cioe R e p, ma direttamente mediante le (8).In altre parole un qualunque vettore dotato di componenti che soddisfino la relazione (8)e un operatore momento angolare.

4. Commutazione [Li, L2] di una componente del momento angolare con il

quadrato del modulo del momento angolare

Si puo scrivere

[Li, L2] = [Li, L

2i + L2

j + L2k] = [Li, L

2i ] + [Li, L

2j ] + [Li, L

2k] ; i 6= j 6= k

3


Tenendo presente la (7) segue

[Li, L2i + L2

j + L2k] = [Li, Li]Li + Li[Li, Li] + [Li, Lj ]Lj + Lj [Li, Lj ]+

+ [Li, Lk]Lk + Lk[Li, Lk]

= [Li, Lj ]Lj + Lj [Li, Lj ] + [Li, Lk]Lk + Lk[Li, Lk] (10)

Tenendo presente la (8) si ha:

[Li, L2i + L2

j + L2k] = ih(εijlLl)Lj + Lj(εijlLl) + (εikmLm)Lk + Lk(εikmLm)

= ih−εiljLlLj + εijlLjLl − εimkLmLk + εikmLkLm

= 0 (11)

Si trova cosı:[Li, L

2] = 0 (12)

5. Commutazione [Li, p2] di una componente del momento angolare con il qua-

drato del modulo del momento lineare

Si ha:

[Li, p2] = [Li, p

2i + p2

j + p2k] ; i 6= j 6= k

= [Li, pj ]pj + pj [Li, pj ] + [Li, pk]pk + pk[Li, pk] (13)

Segue quindi dalla (6)

[Li, p2] = ihεijlplpj + εijlpjpl + εiklplpk + εiklpkpl

e percio[Li, p

2] = 0 (14)

6. Commutazione [L2, p2] del quadrato del modulo del momento angolare conil quadrato del modulo del momento lineare

Si trova[L2, p2] = 0 (15)

7. Commutazione [Li, r] di una componente del momento angolare con la co-ordinata sferica r

Si ha

[Li, r] = [Li,√

x2i + x2

j + x2k] ; i 6= j 6= k

= [xjpk − xkpj ,√

x2i + x2

j + x2k]

= xj [pk,√

x2i + x2

j + x2k]− xk[pj ,

√

x2i + x2

j + x2k]

4


Dalla (353∗) si ricava

[Li, r] = −xj ih∂√

x2i + x2

j + x2k

∂xk+ xkih

∂√

x2i + x2

j + x2k

∂xj

= − ihr

(xjxk − xkxj)

e quindi[Li, r] = 0 (16)

8. Commutazione [Li, f(r)] di una componente del momento angolare con unafunzione della coordinata sferica r

Si trova[Li, f(r)] = 0 (17)

9. Commutazione [Li,H] di una componente del momento angolare con l’ha-miltoniano H

Se e

H =p2

2m0

+ V(r)

allora[Li,H] = 0 (18)

Infatti Li commuta con p2 (v. eq. (13)) e con V(r) (v. eq. (17)).

10. Commutazione [L2,H] del quadrato del modulo del momento angolare conl’hamiltoniano H

Se e

H =p2

2m0

+ V(r)

allora[L2,H] = 0 (19)

* * *

Nota al termine di questa sezione A.

Consideriamo una particella elettricamente carica in un campo di forze centrali coulom-biane.Gli operatori H = E = energia totale della particella, Lz = componente lungo z delmomento angolare della particella, L2 = quadrato del modulo del momento angolare dellaparticella commutano fra loro (v. eq. (12), (18), (19)) e quindi possiedono un insiemecomune di autovettori.La ricerca di questi autovettori e dei relativi autovalori e storicamente nota come il proble-ma dell’integrazione dell’equazione stazionaria di Schrodinger per l’elettrone dell’atomo diidrogeno (v. sezione C dell’Appendice J dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismomaxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica”).

5


B) AUTOVALORI DEL MOMENTO ANGOLARE

Consideriamo un operatore hermitiano vettoriale J ≡ Jx, Jy, Jz che obbedisca a regole dicommutazione del tipo (8) e (12), cioe

[Ji, Jj] = ihεijkJk (20)

[Ji, J2] = 0 (21)

Il motivo per cui introduciamo un operatore che ha le proprieta di commutazione di unmomento angolare ma simbolo diverso da quello usato finora per questa variabile dinamicaapparira chiaro alla fine di questa sezione B.Vogliamo determinare gli autovalori b di una componente di J , ad esempio Jz, e gli auto-valori a2 di J2, cioe vogliamo risolvere le

Jzfa2,b = bfa2,b (22)

J2fa2,b = a2fa2,b (23)

dove fa2,b e un insieme di autovettori ortonormali comune a Jz e J2.A questo scopo introduciamo gli operatori ausiliari non hermitiani

Jx + iJy ; Jx − iJy (24)

Il primo e detto operatore di salita e il secondo operatore di discesa: la ragione di questedenominazioni apparira chiara nella digressione che segue e che ha lo scopo di mettere inluce le proprieta di questi operatori. Al termine della digressione riprenderemo il problemadella ricerca degli autovalori di Jz e J2.

* * *

Richiamiamo la relazione operatoriale (573∗)∫

ψ∗Ω†Ωψdτ ≥ 0 e applichiamola all’opera-tore Jx + iJy:

∫

f∗a2,b(Jx + iJy)†(Jx + iJy)fa2,bdτ ≥ 0 (25)

Ma si ha(Jx + iJy)

† = (Jx − iJy) (26)

percio

(Jx + iJy)†(Jx + iJy) = (Jx − iJy)(Jx + iJy)

= J2x + J2

y + i(JxJy − JyJx)

= J2x + J2

y + i[Jx, Jy]

= J2x + J2

y − hJz

= J2x + J2

y + J2z − J2

z − hJz

= J2 − J2z − hJz (27)

Sostituendo nella (25) si ottiene∫

f∗a2,b(J2 − J2

z − hJz)fa2,bdτ ≥ 0

6


ovvero∫

f∗a2,bJ2fa2,bdτ −

∫

f∗a2,bJ2z fa2,bdτ − h

∫

f∗a2,bJzfa2,bdτ ≥ 0 (28)

Ora osserviamo che dalla (22) si ricava

J2zfa2,b = bJzfa2,b = bbfa2,b = b2fa2,b (29)

Inserendo nella (28) le (22), (23) e (29) si ottiene

∫

f∗a2,b(a2 − b2 − hb)fa2,bdτ = (a2 − b2 − hb)

∫

f∗a2,bfa2,bdτ ≥ 0 (30)

ovvero, poiche gli autovettori fa2,b sono ortonormali:

a2 − b2 − hb ≥ 0 (31)

Applichiamo ora la (573∗) all’operatore Jx − iJy:

∫

f∗a2,b(Jx − iJy)†(Jx − iJy)fa2,bdτ ≥ 0 (32)

Si ha

(Jx − iJy)†(Jx − iJy) = (Jx + iJy)(Jx − iJy)

= J2 − J2z + hJz (33)

Sostituendo nella (32) si ottiene

∫

f∗a2,b(J2 − J2

z + hJz)fa2,bdτ ≥ 0 (34)

Passando attraverso relazioni analoghe alle (28), (29), (30) si arriva alla

a2 − b2 + hb ≥ 0 (35)

Se ora sommiamo la (31) con la (35) otteniamo

a2 − b2 ≥ 0

ovveroa2 ≥ b2 (36)

La (36), una volta fissato a2, mostra che b, che puo essere maggiore o minore di zero,non puo superare un certo valore massimo che possiamo indicare con bM , e neppure puoassumere un valore inferiore a un certo minimo, che indichiamo con bm.

Infine tenendo conto della (21) si ottiene un’altra proprieta degli operatori (24):

[J2, (Jx + iJy)] = [J2, Jx] + i[J2, Jy] = 0

[J2, (Jx − iJy)] = [J2, Jx]− i[J2, Jy] = 0(37)

7


Si vede quindi che J2 commuta sia con (Jx + iJy) che con (Jx − iJy).

Cio posto applichiamo alla (22) l’operatore (Jx + iJy):

(Jx + iJy)Jzfa2,b = b(Jx + iJy)fa2,b (38)

Osserviamo che

(Jx + iJy)Jz = JxJz + iJyJz

Ma tenendo presente la (20), cioe [Jx, Jz] = −ihJy e [Jy, Jz] = ihJx, si puo scrivere

(Jx + iJy)Jz = (JzJx − ihJy) + i(JzJy + ihJx)

= Jz(Jx + iJy)− h(Jx + iJy)

= (Jz − h)(Jx + iJy) (39)

Sostituendo la (39) nella (38) si ottiene

(Jz − h)(Jx + iJy)fa2,b = b(Jx + iJy)fa2,b

ovveroJz(Jx + iJy)fa2,b = (b + h)(Jx + iJy)fa2,b (40)

Si vede cosı che, se fa2,b e un autovettore di Jz appartenente all’autovalore b, allora anche(Jx + iJy)fa2,b e un autovettore di Jz ed appartiene all’autovalore b + h; se pero fa2,b el’autovettore appartenente all’autovalore bM , allora la (40) diviene Jz(Jx + iJy)fa2,bM

= 0.

Ora applichiamo alla (22) l’operatore (Jx + iJy)2:

(Jx + iJy)2Jzfa2,b = b(Jx + iJy)2fa2,b (41)

ovvero(Jx + iJy)(Jx + iJy)Jzfa2,b = b(Jx + iJy)2fa2,b

da cui, per la (39):

(Jx + iJy)(Jz − h)(Jx + iJy)fa2,b = b(Jx + iJy)2fa2,b

e ancora(Jx + iJy)Jz(Jx + iJy)fa2,b = (b + h)(Jx + iJy)2fa2,b

Applicando nuovamente la (39) si ha

(Jz − h)(Jx + iJy)2fa2,b = (b + h)(Jx + iJy)2fa2,b

e infineJz(Jx + iJy)2fa2,b = (b+ 2h)(Jx + iJy)2fa2,b

8


Si vede cosı che se fa2,b e un autovettore di Jz appartenente all’autovalore b, allora anche(Jx + iJy)

2fa2,b e un autovettore di Jz appartenente all’autovalore b + 2h. Ripetendo piuvolte questo procedimento si arriva a

autovettori fa2,b (Jx + iJy)fa2,b (Jx + iJy)2fa2,b (Jx + iJy)3fa2,b . . . . . .

autovalori b b+ h b + 2h b+ 3h . . . . . .

Ci rendiamo cosı conto della denominazione di “operatore di salita” data a Jx + iJy: ognivolta che esso viene applicato in successione a fa2,b si genera un autovettore appartenentea un autovalore che e aumentato della quantita h (oppure si ottiene zero).

* * *

Se ora applichiamo alla (22) l’operatore Jx − iJy e ripetiamo ragionamenti analoghi aquelli sviluppati piu sopra a partire dalla (38) vediamo che, se fa2,b e un autovettore diJz appartenente all’autovalore b, allora anche (Jx − iJy)fa2,b e un autovettore di Jz edappartiene all’autovalore b − h; se pero fa2,b e l’autovettore appartenente all’autovalorebm, allora Jz(Jx − iJy)fa2,bm

= 0.Procedendo in successione con l’applicazione afa2,b di (Jx− iJy)2, (Jx− iJy)

3, . . . si arriva a

autovettori fa2,b (Jx − iJy)fa2,b (Jx − iJy)2fa2,b (Jx − iJy)3fa2,b . . . . . .

autovalori b b− h b − 2h b− 3h . . . . . .

Ci rendiamo cosı conto della denominazione di “operatore di discesa” data a Jx− iJy: ognivolta che esso viene applicato in successione a fa2,b si genera un autovettore appartenentea un autovalore che e diminuito della quantita h (oppure si ottiene zero).

* * *

Ora applichiamo (Jx + iJy) alla (23):

(Jx + iJy)J2fa2,b = a2(Jx + iJy)fa2,b

In virtu della (37) si puo scrivere

J2(Jx + iJy)fa2,b = a2(Jx + iJy)fa2,b

Si vede cosı che (Jx + iJy)fa2,b e anch’esso un autovettore di J2 appartenente all’autovalorea2.Applicando (Jx + iJy)2 alla (23) si ha

(Jx + iJy)2J2fa2,b = a2(Jx + iJy)2fa2,b

da cui si ricava facilmente, per la (37)

J2(Jx + iJy)2fa2,b = a2(Jx + iJy)2fa2,b

cosicche (Jx + iJy)2fa2,b e anch’esso un autovettore di J2 appartenente al medesimo auto-valore a2 cui appartiene (Jx + iJy)fa2,b.In generale si ha

J2(Jx + iJy)nfa2,b = a2(Jx + iJy)nfa2,b

9


e quindi gli (Jx +iJy)nfa2,b, n = 1, 2, . . . sono anch’essi autovettori di J2 tutti appartenenti

al medesimo autovalore a2.

Dunque ogni volta che l’operatore (Jx + iJy) viene applicato in successione a J2 si generaun autovettore appartenente a a2. Uguali ragionamenti valgono se si applica (Jx − iJy).

Termina qui la digressione sulle proprieta degli operatori Jx + iJy e Jx − iJy.

* * *

Facendo riferimento a quanto abbiamo detto finora possiamo passare alla soluzione delproblema della determinazione degli autovalori di Jz e J2.Infatti fissiamo un valore a2, cosicche, in virtu della (36), b avra il valore massimo bM .La (22) diviene

Jzfa2,bM= bMfa2,bM

(42)

D’altra parte per definizione di operatore di salita si ha

(Jx + iJy)fa2,bM= 0 (43)

Se moltiplichiamo la (43) per (Jx + iJy)† e teniamo conto della (27) otteniamo

(J2 − J2z − hJz)fa2,bM

= 0 (44)

Tenendo conto delle (22), (23), (25), (42) si ha

(a2 − b2M − hbM )fa2,bM= 0

da cui

bM = − h2

+

√

a2 +h2

4(45)

(l’altra radice dell’equazione di secondo grado in bM ha un valore inferiore a quello della(45)). Ma, sempre in virtu della (36), b deve avere, per ogni fissato valore di a2, un valoreminimo bm. La (22) diviene

Jzfa2,bm= bmfa2,bm

(46)

D’altra parte, per definizione di operatore di discesa, si ha

(Jx − iJy)fa2,bm= 0 (47)

Se moltiplichiamo la (47) per Jx + iJy e teniamo conto della (33), otteniamo

(J2 − J2z + hJz)fa2,bm

= 0

Tenendo conto delle (22), (23), (25), (46) si ottiene

(a2 − b2m + hbm)fa2,bm= 0 (48)

da cui

bm =h

2−

√

a2 +h2

4(49)

(l’altra radice dell’equazione di secondo grado in bm ha un valore superiore a quello della(49)).

10


Riassumiamo i risultati ottenuti finora.Servendoci degli operatori di salita e discesa abbiamo ottenuto:1) la relazione (36), che fissa per gli autovalori b di Jz un valore minimo bm e massimo bM

entrambi dipendenti dall’autovalore a2 di J2;2) la dimostrazione che gli autovalori b compresi fra bm e bM costituiscono una successione

discreta nella quale ogni autovalore differisce della quantita h dall’autovalore successivo;3) la dimostrazione che bm = −bM cosicche gli autovalori di Jz sono contenuti nell’inter-

vallo −bM a +bM .

In conseguenza dei punti 1), 2) e 3) possiamo affermare che gli autovalori di Jz devonoessere:

−bM ,−bM + h,−bM + 2h, . . . , bM − 2h, bM − h, bM (50)

L’intervallo −bM a +bM contiene un numero intero N di autovalori ciascuno differentedal successivo della quantita h, cosicche si puo scrivere

2bM = Nh (51)

Ora N puo essere pari o dispari.Se e pari si puo scrivere N = 2k, con k intero, e percio segue dalla (51):

bM = kh (52)

cosicche la (50) diviene

−kh,−kh+h,−kh+2h, . . . ,−kh+kh,−kh+(k+1)h, . . . ,−kh+(k+k−1)h,−kh+(k+k)h(53)

ovvero−kh,−(k − 1)h,−(k − 2)h, . . . , 0, h, . . . , (k − 1)h, kh (54)

Se N e dispari si ha N = 2m+ 1, con m intero, e quindi dalla (51) si ha

bM = (m + 12)h (55)


−(m+ 12)h,−(m+ 1

2)h+ h,−(m+ 1

2)h+2h, . . . ,−(m+ 1

2)h+mh,−(m+ 1

2)h+(m+1)h,

. . . ,−(m+ 12)h+ (m+m− 1)h,−(m+ 1

2)h+ (m+m)h,−(m+ 1

2)h+ (m+m+ 1)h

ovvero

−(m+ 12)h,−(m− 1

2)h,−(m− 3

2)h, . . . ,− 1

2h, 1

2h, . . . , (m− 3

2)h, (m− 1

2)h, (m+ 1

2)h (56)

Notiamo che in questa sequenza non compare lo zero, contrariamente a cio che succedenella (54). In definitiva vi sono due tipi di autovalori di Jz, quelli multipli interi di h equelli multipli semiinteri dispari di h. Se indichiamo gli uni e gli altri con mjh lo spettrodegli autovalori di Jz puo essere scritto cosı:

b = mj h = 0,±1

2h,±h,±3

2h,±2h,±5

2h, . . . (57)

* * *

11


Dalla (45) ricaviamo

(bM +h

2)2 = a2 +

h2

4ovvero

b2M +h2

4+ bM h = a2 +

h2

4

da cuia2 = bM (bM + h) (58)

Se bM e espresso dalla (52) si ha

a2 = k(k + 1)h2 (59)

Se e espresso dalla (55) si ha

a2 = (m+ 12)(m + 3

2)h2 (60)

Dunque anche per J2 vi sono due tipi di autovalori. Se indichiamo gli uni e gli altri conj(j + 1)h2 lo spettro degli autovalori di J2 puo essere scritto cosı:

a2 = j(j + 1)h2 = 0,3

4h2, 2h2,

15

4h2, . . . (61)

con

j = 0,1

2, 1,

3

2, 2, . . .

In definitiva le (22) e (23) diventano

Jzfj,mj= mj hfj,mj

(62)

J2fj,mj= j(j + 1)h2fj,mj

(63)

con−j ≤ mj ≤ j (64)

ed essendo j e mj entrambi o interi o semiinteri dispari e cosı il problema che ci eravamoposti all’inizio di questa sezione B e risolto.

Appare ora chiara la ragione per cui nello sviluppo formale di questa sezione si e fattoriferimento al simbolo J in luogo di L: gli spettri di J2 e Jz sono diversi da quelli di L2 eLz perche, oltre agli interi che gia conosciamo, comprendono anche semiinteri dispari.D’altra parte J2 e Jz sono dotati di regole di commutazione che li individuano come opera-tori del momento angolare e gli spettri dei loro autovalori sono stati ottenuti esclusivamentesulla base di tali regole, percio occorre ammettere che possano esistere sistemi meccaniciper i quali il quadrato del modulo del momento angolare e la componente del momentoangolare lungo un asse sono espressi da numeri semiinteri dispari.L’esperienza mostra che questo succede nel momento angolare intrinseco, o spin, dell’elet-trone, oltre che di altre particelle elementari.In definitiva le (1) e (2) sono comprese nelle (62) e (63) di cui peraltro non esauriscono glispettri.

12


C) RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE DI J

Riprendiamo in considerazione gli operatori Jx + iJy e Jx − iJy.Riscriviamo la (40) ponendo in essa b = mj h e indicando con fjmj

gli autovettori fa2,b

cosiccheJz(Jx + iJy)fj,mj

= (mj + 1)h(Jx + iJy)fj,mj(65)

e riscriviamo la (62) nel modo seguente

Jzfj,mj+1 = (mj + 1)hfj,mj+1 (66)

Analogamente si ha

Jz(Jx − iJy)fj,mj= (mj − 1)h(Jx − iJy)fj,mj

(67)

e ancheJzfj,mj−1 = (mj − 1)hfj,mj−1 (68)

Confrontando la (65) con la (66) e la (67) con la (68) si vede che (Jx + iJy)fj,mjdeve essere

proporzionale a fj,mj+1 , mentre (Jx − iJy)fj,mjdeve essere proporzionale a fj,mj−1.

Indicando con c+j,mje c−j,mj

i fattori di proporzionalita possiamo scrivere:

(Jx + iJy)fj,mj= c+j,mj

fj,mj+1 (69)

(Jx − iJy)fj,mj= c−j,mj

fj,mj−1 (70)

Per ricavare c+j,mje c−j,mj

calcoliamo la norma delle (69) e (70). Per cio che riguarda la

(69) si ha:‖ (Jx + iJy)fj,mj

‖2=‖ c+j,mjfj,mj+1 ‖2

ovvero∫

(

(Jx + iJy)fj,mj

)∗(Jx + iJy)fj,mj

dτ =

∫

(

c+j,mjfj,mj+1

)∗c+j,mj

fj,mj+1dτ

= c+∗j,mj

c+j,mj

∫

f∗j,mj+1fj,mj+1dτ

e quindi∫

(

(Jx + iJy)fj,mj

)∗(Jx + iJy)fj,mj

dτ = |c+j,mj|2

Ricordando la definizione di coniugato hermitiano Ω† di un operatore Ω (v. eq. (556∗))

∫

(Ωψ)∗χdτ =

∫

ψ∗Ω†χdτ (71)

si ha (ψ = fj,mj; Ω = (Jx + iJy) ; χ = (Jx + iJy)fj,mj

)

∫

f∗j,mj(Jx + iJy)†((Jx + iJy)fj,mj

dτ = |c+j,mj|2

13


Ma tenendo presente la (27) si puo scrivere

∫

f∗j,mj(J2 − J2

z − hJz)fj,mjdτ = |c+j,mj

|2

Segue allora (v. eq. (63) e (62))

∫

f∗j,mj

h2j(j + 1)−m2j h

2 − hmjh

fj,mjdτ = |c+j,mj

|2

da cui

h2

j(j + 1)−m2j −mj

∫

f∗j,mjfj,mj

dτ = |c+j,mj|2

percio

c+j,mj= h

√

j(j + 1)−mj(mj + 1) = h√

(j −mj)(j +mj + 1) (72)

Con ragionamento analogo si ottiene dalla (70)

c−j,mj= h

√

j(j + 1)−mj(mj − 1) = h√

(j +mj)(j −mj + 1) (73)

Le fasi di c−j,mje c+j,mj

dipendono dalla fase di fj,mj. Possiamo convenzionalmente assumere

che siano nulle, nel qual caso le due costanti sono reali.

Questa scelta e detta convenzione di fase di Condon-Shortley.

In definitiva le (69) e (70) diventano:

(Jx + iJy)fj,mj= h

√

(j −mj)(j +mj + 1)fj,mj+1

(Jx − iJy)fj,mj= h

√

(j +mj)(j −mj + 1)fj,mj−1

(74)

Ora ci serviremo delle (74) per determinare gli elementi di matrice di Jx + iJy e Jx − iJy

che nella base fj,mjsono espressi da

(Jx + iJy)m′

jmj

=

∫

f∗j,m′

j(Jx + iJy)fj,mj

dτ

(Jx − iJy)m′

jmj

=

∫

f∗j,m′

j(Jx − iJy)fj,mj

dτ

ovvero, tenendo conto delle (74)

(Jx + iJy)m′

jmj

=

∫

f∗j,m′

jh√

(j −mj)(j +mj + 1)fj,mj+1dτ

= h√

(j −mj)(j +mj + 1)δm′

j,mj+1

(Jx − iJy)m′

jmj

=

∫

f∗j,m′

jh√

(j +mj)(j −mj + 1)fj,mj−1dτ

= h√

(j +mj)(j −mj + 1)δm′

j,mj−1

(75)

14


Abbiamo cosı ottenuto la rappresentazione matriciale degli operatori ausiliari (Jx + iJy) e(Jx − iJy) nella base fj,mj

.Tenendo conto del fatto che

Jx =(Jx + iJy) + (Jx − iJy)

2; Jy =

(Jx + iJy)− (Jx − iJy)

2i(76)

si ottengono gli elementi di matrice di Jx e Jy. Si tratta di matrici non diagonali percherappresentate nella base fj,mj

degli autovettori di Jz e J2:

Jxm′

jmj

=

∫

f∗j,m′

jJxfj,mj

dτ =h

2

√

(j −mj)(j +mj + 1)δm′

j,mj+1+

+√

(j +mj)(j −mj + 1)δm′

j,mj−1

(77)

Jym′

jmj

=

∫

f∗j,m′

jJyfj,mj

dτ =h

2i

√

(j −mj)(j +mj + 1)δm′

j,mj+1+

−√

(j +mj)(j −mj + 1)δm′

j,mj−1

(78)

Infine gli elementi di matrice di Jz e J2 si ricavano tenendo presente che si tratta di matricientrambe diagonali perche rappresentate nella base dei loro autovettori e quindi

Jzm′

jmj

=

∫

f∗j,m′

jJzfj,mj

dτ = hmjδm′

jmj

J2m′

jmj

=

∫

f∗j,m′

jJ2fj,mj

dτ = j(j + 1)h2δm′

jmj

(79)

Puo essere utile determinare esplicitamente gli elementi di matrice in alcuni casi particolari(ordinando gli elementi a partire dagli indici piu alti, come e tradizione nella rappresenta-zione matriciale del momento angolare):

• per j = 12

si ha mj = 12,− 1

2(v. eq. (64)) e si pone abitualmente j = s; mj = msj

eJk = Sk e quindi

Sk =

Sk 1

2, 1

2

Sk 1

2,− 1

2

Sk− 1

2, 12

Sk− 1

2,− 1

2

; Sk = Sx, Sy, Sz

cosicche

Sx =1

2h

0 11 0

; Sy =1

2h

0 −ii 0

; Sz =1

2h

1 00 −1

(80)

S2 = S2x + S2

y + S2z =

3

4h2

1 00 1

(81)

e infatti, ad esempio, l’espressione (77)

Sxm′

j,− 1

2

=

∫

f∗12,m′

j

Sxf 1

2,− 1

2

dτ =1

2hδm′

j, 1

2

15


il cui membro destro e diverso da zero per m′j = 1

2ed e uguale a zero per m′

j = − 12

eprecisamente

Sx 1

2,− 1

2

=

∫

f∗12, 12

Sxf 1

2,− 1

2

dτ =1

2h ; Sx− 1

2,− 1

2

= 0

fornisce la seconda colonna della matrice Sx.

Le (80) sono le componenti dell’operatore momento angolare intrinseco, o spin, lungo ledirezioni x, y, z rappresentate nella base degli autovettori di Sz.

Lo spin descritto dalle (80) e (81) e una variabile dinamica avente le dimensioni di un mo-mento angolare (e peraltro priva di un preciso significato fisico) che l’evidenza sperimentalemostra essere associata all’elettrone e ad altre particelle.L’esperienza mostra anche che esistono particelle dotate di spin avente valore intero, inveceche semiintero, in accordo con quanto si e detto finora sul momento angolare.

Le (80) vengono usualmente scritte cosı:

Sx =1

2hσx ; Sy =

1

2hσy ; Sz =

1

2hσz (82)

avendo posto

σx =

0 11 0

; σy =

0 −ii 0

; σz =

1 00 −1

(83)

Le (83), che sono dette matrici di Pauli, sono unitarie, hanno traccia nulla e il loro deter-minante vale -1. Le matrici di Pauli non commutano fra loro. Infatti, in accordo con la(8) possiamo scrivere

[Si, Sj ] = ihεijkSk (84)

da cui [ 12hσi,

12hσj ] = ihεijk

12hσk ovvero

[σi, σj ] = 2iεijkσk

Sono inoltre hermitiane e percio i loro autovalori sono reali e valgono +1 e −1 cosicche gliautovalori delle (82) valgono ± 1

2h.

Talvolta l’autovalore + 12h viene indicato con spin SU e l’autovalore − 1

2h con spin GIU ′,

scrittura informale che non crea ambiguita perche l’unica differenza fra i due autovalori edovuta al segno e quindi al verso positivo o negativo della componente dello spin lungouna direzione.

Gli autovettori delle matrici di Pauli sono mutuamente ortogonali. Gli autovettori norma-lizzati, diversi fra loro perche, come si e mostrato, le matrici di Pauli non commutano fraloro, sono:

ηx1 =1√2

11

; ηx2 =1√2

−11

ηy1=

1√2

1i

; ηy2=

1√2

−1i

(85)

16


ηz1 =

10

; ηz2 =

01

con (ηk l, ηkn) = δln ; k = x, y, z ; l, n = 1, 2 ; nessuna somma sull’indice k.Notiamo che le (83) sono rappresentate nella base degli autovettori di σz cosicche σz ediagonale , mentre σx e σy non lo sono.

• per j = 1 si ha mj = 1, 0,−1 (v. eq. (64)) e si pone abitualmente j = l, mj = ml eJk = Lk e quindi

Lk =

Lk1,1 Lk1,0 Lk1,−1

Lk0,1 Lk0,0 Lk0,−1

Lk−1,1 Lk−1,0 Lk−1,−1

; Lk = Lx, Ly, Lz

cosicche

Lx =1√2h

0 1 01 0 10 1 0

; Ly =1√2h

0 −i 0i 0 −i0 i 0

; Lz = h

1 0 00 0 00 0 −1

(86)

L2 = L2x + L2

y + L2z =

h2

2

1 0 10 2 01 0 1

+h2

2

1 0 −10 2 0−1 0 1

+ h2

1 0 00 0 00 0 1

e infine

L2 = 2h2

1 0 00 1 00 0 1

(87)

e infatti, ad esempio, la prima equazione delle (79)

Lzm′

l,1 =

∫

f∗1,m′

lLzf1,1dτ = hδm′

l,1

il cui membro destro e diverso da zero per m′l = 1 ed e uguale a zero per m′

l = 0,−1 eprecisamente

Lz1,1 =

∫

f∗1,1Lzf1,1dτ = h ; Lz0,1 = 0 ; Lz−1,1 = 0

fornisce la prima colonna della matrice Lz;

• per j = 32

si ha mj = 32, 1

2,− 1

2,− 3

2(v. eq. (64)) e quindi

Jk =

Jk 3

2, 3

2

Jk 3

2, 1

2

Jk 3

2,− 1

2

Jk 3

2,− 3

2

Jk 1

2, 3

2

Jk 1

2, 1

2

Jk 1

2,− 1

2

Jk 1

2,− 3

2

Jk− 1

2, 3

2

Jk− 1

2, 1

2

Jk− 1

2,− 1

2

Jk− 1

2,− 3

2

Jk− 3

2, 3

2

Jk− 3

2, 1

2

Jk− 3

2,− 1

2

Jk− 3

2,− 3

2

; Jk = Jx, Jy, Jz, J2

cosicche

Jx =1

2h

0√

3 0 0√3 0 2 0

0 2 0√

30 0

√3 0

; Jy =1

2h

0 −i√

3 0 0i√

3 0 −2i 00 2i 0 −i

√3

0 0 i√

3 0

(88)

17


Jz =1

2h

3 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −3

(89)

J2 = J2x + J2

y + J2z =

15

4h2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(90)

e infatti, ad esempio, l’espressione (78)

Jym′

j, 1

2

=

∫

f∗32,m′

j

Jyf 3

2, 1

2

dτ =h

2i

√3δm′

j, 3

2

− 2δm′

j,− 1

2

il cui membro destro e diverso da zero per m′j = 3

2, e uguale a zero per mj = 1

2, e diverso

da zero per m′j = − 1

2ed e infine uguale a zero per m′

j = − 32

e precisamente

Jy 3

2, 1

2

=

∫

f∗32, 3

2

Jyf 3

2, 1

2

dτ = −1

2hi√

3 ; Jy 1

2, 1

2

= 0 ;

Jy− 1

2, 1

2

=

∫

f∗32,− 1

2

Jyf 3

2, 1

2

dτ = hi ; Jy− 3

2, 1

2

= 0

fornisce la seconda colonna della matrice Jy.

18


D) AUTOFUNZIONI DEL MOMENTO ANGOLARE

Le autofunzioni in coordinate sferiche del momento angolare sono le soluzioni del siste-ma formato dalle (62) e (63) nel quale J2 e Jz siano espressi sottoforma di prescrizionidifferenziali in coordinate sferiche, cioe, tenendo conto delle (522∗) e (525∗),

−

1

sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂

∂θ

)

+1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

ϕjmj(r, θ, ϕ) = j(j + 1)ϕjmj

(r, θ, ϕ) (91)

− i ∂∂ϕ

ϕjmj(r, θ, ϕ) = mjϕjmj

(r, θ, ϕ) (92)

Notiamo che J2 e Jz non dipendono da r, percio ϕjmj(r, θ, ϕ) deve essere della forma

ϕjmj(r, θ, ϕ) = g(r)Yjmj

(θ, ϕ)

con g(r) funzione arbitraria di r.Si tratta quindi di determinare le Yjmj

risolvendo il sistema di equazioni differenziali (91)e (92).Tuttavia un modo assai semplice e rapido per ottenere le Yjmj

si basa non sulla soluzionedelle (91) e (92) ma sulla soluzione delle (74) espresse in coordinate sferiche. Occorre quindiinnanzitutto esprimere in coordinate sferiche l’operatore di salita (Jx+ iJy) e l’operatore didiscesa (Jx− iJy) servendosi delle (529∗) che qui riscriviamo adattandole opportunamente,

Jx ←→ ih

(

sinϕ∂

∂θ+ cot θ cosϕ

∂

∂ϕ

)

Jy ←→−ih(

cosϕ∂

∂θ− cot θ sinϕ

∂

∂ϕ

)

Jz ←→−ih∂

∂ϕ

e poi occorre calcolare le espressioni Jx + iJy e Jx − iJy cosicche le (74) divengono

eiϕ

(

∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

)

Yjmj(θ, ϕ) =

√

(j −mj)(j +mj + 1)Yj,mj+1(θ, ϕ) (93)

−e−iϕ

(

∂

∂θ− i cot θ

∂

∂ϕ

)

Yjmj(θ, ϕ) =

√

(j +mj)(j −mj + 1)Yj,mj−1(θ, ϕ) (94)

Per determinare la Yjmjricordiamo che, per un dato valore di j, vi e un valore massimo

di mj , quello che corrisponde a mj = j, percio se applichiamo a Yjj l’operatore di salita(Jx + iJy) otteniamo zero. Dalla (93) si ricava cosı:

eiϕ

(

∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

)

Yjj = 0

ovvero∂Yjj

∂θ+ i cot θ

∂Yjj

∂ϕ= 0

19


PoniamoYjj(θ, ϕ) = f1(θ)f2(ϕ)

cosicche

f2(ϕ)∂f1(θ)

∂θ+ if1(θ) cot θ

∂f2(ϕ)

∂ϕ= 0

da cui1

f1(θ) cot θ

∂f1(θ)

∂θ= − i

f2(ϕ)

∂f2(ϕ)

∂ϕ

Deve percio essere

− i

f2

∂f2∂ϕ

= a ;1

f1 cot θ

∂f1∂θ

= a (95)

essendo a una costante arbitraria. Dalla prima di queste equazioni si ricava:

∂f2∂ϕ

= iaf2

Integrando si ottienef2 = eiaϕ

Poiche desideriamo che f2 sia a un sol valore dobbiamo imporre che sia a = j con j intero:

f2 = eijϕ ; j = intero

La seconda delle (95) diviene allora

∂f1∂θ

= jf1 cot θ

da cuif1 = cj sinj θ

e quindi in definitivaYjj = cje

ijϕ sinj θ (96)

dove cj e una costante di integrazione determinabile dalla condizione di normalizzazionedi Yjj :

∫

Y ∗jjYjjdτ = c2j

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

(sinj θ)2 sin θdθ = c2j

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sin2j+1 θdθ = 1

percio

c2j =1

2π

∫ π

0

sin2j+1 θdθ

=1

2π · 2 2 · 4 · 6 · · · · 2j1 · 3 · 5 · 7 · · · (2j + 1)

=1

4π

1 · 3 · 5 · · · (2j + 1)

2 · 4 · 6 · · · 2j

ovvero

c2j =1

4π

(2j + 1)!

(2 · 4 · 6 · · · 2j)2 =1

4π

(2j + 1)!(

(2 · 1) · (2 · 2) · (2 · 3) · · · (2 · j))2

=1

4π

(2j + 1)!

(2jj!)2

20


da cui

cj =1

2jj!

√

(2j + 1)!

4π

e quindi

Yjj =1

2jj!

√

(2j + 1)!

4πeijϕ sinj θ (97)

Rimangono da determinare le Yjmjper mj 6= j: per ottenerle basta applicare a Yjj l’ope-

ratore di discesa (Jx − iJy) che ricaviamo dalla (94) nella quale poniamo mj = j:

e−iϕ

(

− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

)

Yjj =√

2jYj,j−1

da cui, poiche Yjj e nota, puo essere ottenuta Yj,j−1.Applicando ad essa ancora l’operatore (Jx−iJy) si ottiene Yj,j−2 e cosı via, fino ad otteneretutte le Yjmj

(θ, ϕ).Le autofunzioni del momento angolare risultano cosı essere le ben note armoniche sferiche,introdotte nel par. 1.2.2 della Seconda Parte dello studio “Reinterpretare l’Elettromagne-tismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica” in occasione dell’integrazionedell’equazione di Schrodinger per l’atomo di idrogeno.

21


E) COMPOSIZIONE DI MOMENTI ANGOLARI

Affrontiamo ora il problema della composizione di momenti angolari J1 e J2 associati adue distinti sistemi meccanici o associati a un’unico sistema ma descritti in spazi vettorialidiversi come succede, ad esempio, in un atomo idrogenoide, nel quale il momento angolareorbitale dell’elettrone di valenza si compone con lo spin dell’elettrone di valenza.Indichiamo con J2

1 , J1z gli operatori compatibili relativi a J1 e con J22 , J2z gli operatori

compatibili relativi a J2. I problemi agli autovalori di questi due insiemi di operatori sisuppongono gia risolti, e indichiamo con j1,mj1

, j2,mj2gli autovalori corrispondenti.

Indichiamo poi con J l’operatore costituito dalla somma vettoriale di J1 e J2:

J = J1 + J2 (98)

e chiediamoci innanzitutto se J soddisfa le relazioni fondamentali di un operatore momentoangolare espresse dalle (20) e (21).La (20) diviene:

[Ji, Jj ] = [J1i + J2i, J1j + J2j ]

= [J1i, J1j + J2j ] + [J2i, J1j + J2j ]

= [J1i, J1j ] + [J1i, J2i] + [J2i, J1j ] + [J2i, J2j ]

Ma J1 e J2 si riferiscono a due sistemi distinti percio commutano fra loro. Segue:

[Ji, Jj] = [J1i, J1j ] + [J2i, J2j ]

= ihεijkJ1k + ihεijkJ2k

= ihεijk(J1k + J2k)

= ihεijkJk (99)

La (21) diviene:

[Ji, J2] = [J1i + J2i, J

21 + J2

2 + 2J1 · J2]

= [J1i, J21 ] + [J2i, J

22 ] + 2

[J1i, J1 · J2] + [J2i, J1 · J2]

= 2

[J1i, J1 · J2] + [J2i, J1 · J2]

= 2

[J1i,∑

k

J1kJ2k] + [J2i,∑

k

J1kJ2k]

= 2

∑

k

[J1i, J1k]J2k +∑

k

J1k[J1i, J2k] +∑

k

[J2i, J1k]J2k +∑

k

J1k[J2i, J2k]

= 2

∑

k,l

ihεiklJ1lJ2k +∑

kl

J1kihεiklJ2l

= 2ih∑

k,l

(

εiklJ1lJ2k + εiklJ1kJ2l

)

Scambiamo l con k nel secondo termine entro parentesi:

[Ji, J2] = 2ih

∑

kl

(

εiklJ1lJ2k + εilkJ1lJ2k

)

= 2ih∑

kl

εikl

(

J1lJ2k − J1lJ2k

)

= 0 (100)

22


Si vede cosı che J = J1 + J2 ha le caratteristiche di un operatore momento angolare.Il problema che ci proponiamo di risolvere e quello della ricerca degli autovalori j e mj edegli autovettori degli operatori J2 = (J1 + J2)

2 e Jz = J1z + J2z del sistema compostoespressi in funzione degli autovalori e degli autovettori degli operatori dei due insiemi dati.A questo fine osserviamo innanzitutto che J1 e J2 si riferiscono a sistemi distinti, e quindicommutano fra loro, cosicche esistono autovettori comuni di J2

1 , J22 , J1z, J2z espressi da

fj1j2mj1mj2

(101)

che permettono di scrivere

J21fj1j2mj1

mj2= j1(j1 + 1)h2fj1j2mj1

mj2

J22fj1j2mj1

mj2= j2(j2 + 1)h2fj1j2mj1

mj2

J1zfj1j2mj1mj2

= mj1hfj1j2mj1

mj2

J2zfj1j2mj1mj2

= mj2hfj1j2mj1

mj2

(102)

Osserviamo poi che J21 e J2

2 commutano con J2 e Jz percio

[Jz, J21 ] = [Jz, J

22 ] = [J2, J2

1 ] = [J2, J22 ] = 0

e anche[Jz, J1z] = [Jz, J2z] = 0

mentre pero[J2, J1z] 6= 0 ; [J2, J2z] 6= 0

perche J2 = (J1 +J2) · (J1 + J2) contiene il prodotto J1 · J2 = J1xJ2x +J1yJ2y +J1zJ2z.Percio un altro possibile insieme di operatori compatibili del sistema composto e dato daJ2

1 , J22 , Jz, J

2 con autovettori comuni espressi da

fj1j2jmj(103)

che permettono di scrivere

J21fj1j2jmj

= j1(j1 + 1)h2fj1j2jmj

J22fj1j2jmj

= j2(j2 + 1)h2fj1j2jmj

Jzfj1j2jmj= mj hfj1j2jmj

J2fj1j2jmj= j(j + 1)h2fj1j2jmj

(104)

Si puo cosı scrivere la trasformazione lineare che connette la base costituita dagli autovettori(101) con la base costituita dagli autovettori (103)

fj1j2jmj=

∑

mj1,mj2

∫

f∗j1j2mj1mj2

fj1j2jmjdτfj1j2mj1

mj2(105)

e l’inversa

fj1j2mj1mj2

=∑

j≥|mj |

∫

f∗j1j2jmjfj1j2mj1

mj2dτfj1j2jmj

(106)

23


Le quantita

Cj1j2mj1mj2

;j1j2jmj=

∫

f∗j1j2mj1mj2

fj1j2jmjdτ (107)

e

Cj1j2jmj ;j1j2mj1mj2

=

∫

f∗j1j2jmjfj1j2mj1

mj2dτ (108)

sono dette coefficienti di Clebsch-Gordan.

Espresse in funzione di questi le (105) e (106) diventano

fj1j2jmj=

∑

mj1,mj2

Cj1j2mj1mj2

;j1j2jmjfj1j2mj1

mj2(109)

efj1j2mj1

mj2=

∑

j≥|mj |

Cj1j2jmj ;j1j2mj1mj2

fj1j2jmj(110)

Il sistema di indici dei coefficienti di Clebsch-Gordan e un po’ intricato.Per semplificare la scrittura ometteremo gli indici j1 e j2 e quindi le (107) e (108) diventano

Cmj1mj2

;jmj=

∫

f∗mj1mj2

fj1j2jmjdτ (111)

Cjmj ;mj1mj2

=

∫

f∗jmjfj1j2mj1

mj2dτ

mentre le (109) e (110) diventano

fjmj=

∑

mj1,mj2

Cmj1mj2

;jmjfmj1

mj2(112)

efmj1

mj2=

∑

j≥|mj |

Cjmj ;mj1mj2

fjmj(113)

Ci riserviamo pero di riprendere occasionalmente la scrittura completa, o, talvolta, diomettere altri indici non indispensabili per la individuazione dei coefficienti.

• Cio posto iniziamo dalla ricerca degli autovalori dell’operatore

Jz = J1z + J2z (114)

per il quale si haJzfjmj

= mj hfjmj(115)

Inserendo la (112) nella (115) si ottiene

∑

mj1,mj2

Cmj1mj2

;jmjJzfmj1

mj2= mj h

∑

mj1,mj2

Cmj1mj2

;jmjfmj1

mj2(116)

24


Ma sommando a membro a membro le prime due equazioni (101) si ha

(J1z + J2z)fmj1mj2

= (mj1 +mj2 )hfmj1mj2

Tenendo presente la (114) si ottiene

Jzfmj1mj2

= (mj1 +mj2)hfmj1mj2

e inserendo questa nel membro sinistro della (116) si ha

∑

mj1,mj2

Cmj1mj2

;jmj(mj1 +mj2)hfmj1

mj2= mj h

∑

mj1,mj2

Cmj1mj2

;jmjfmj1

mj2

ovvero∑

mj1,mj2

(mj −mj1 −mj2)hCmj1mj2

;jmjfmj1

mj2= 0

Poiche i vettori fmj1mj2

sono linearmente indipendenti, la sommatoria puo annullarsi solose

(mj −mj1 −mj2)Cmj1mj2

;jmj= 0

ovvero se si annulla Cmj1mj2

;jmjoppure se

mj = mj1 +mj2 (117)

Abbiamo cosı ottenuto gli autovalori hmj di Jz in funzione degli autovalori hmj1 di J1z ehmj2 di J2z.

• Passiamo ora alla ricerca degli autovettori comuni a J2 e Jz.Moltiplichiamo scalarmente le (74) per fmj1

mj2, cioe per la (101) nella quale omettiamo

per semplicita di indicare gli indici j1, j2∫

f∗mj1mj2

(Jx ± iJy)fjmjdτ = h

√

(j ∓mj)(j ±mj + 1)

∫

f∗mj1mj2

fjmj±1 (118)

e teniamo presente la (111) che qui riscriviamo adattandola

Cmj1mj2

;jmj±1 =

∫

f∗mj1mj2

fjmj±1dτ (119)


∫

f∗mj1mj2

(Jx ± iJy)fjmjdτ = h

√

(j ∓mj)(j ±mj + 1)Cmj1mj2

;jmj±1 (120)

Ma si ha ancheJx ± iJy = J1x ± iJ1y + J2x ± iJ2y (121)

con (v. eq. (74))

(J1x ± iJ1y)fmj1mj2

= h√

(j1 ∓mj1)(j1 ±mj1 + 1)fmj1±1,mj2

(122)

25


e

(J2x ± iJ2y)fmj1mj2

= h√

(j2 ∓mj2)(j2 ±mj2 + 1)fmj1,mj2

±1 (123)

Moltiplichiamo scalarmente le (122) e (123) per fjmj:

∫

f∗jmj(J1x ± iJ1y)fmj1

mj2dτ = h

√

(j1 ∓mj1)(j1 ±mj1 + 1)

∫

f∗jmjfmj1

±1,mj2dτ

∫

f∗jmj(J2x ± iJ2y)fmj1

mj2dτ = h

√

(j2 ∓mj2)(j2 ±mj2 + 1)

∫

f∗jmjfmj1

,mj2±1dτ

Osservando che Jkx ± iJky = (Jkx ∓ iJky)† si puo scrivere:

∫

f∗jmj(J1x ∓ iJ1y)†fmj1

mj2dτ = h

√

(j1 ∓mj1)(j1 ±mj1 + 1)

∫

f∗jmjfmj1

±1,mj2dτ

∫

f∗jmj(J2x ∓ iJ2y)†fmj1

mj2dτ = h

√

(j2 ∓mj2)(j2 ±mj2 + 1)

∫

f∗jmjfmj1

,mj2±1dτ

Ricordando la (71) (∫

ψ∗Ω†χdτ =∫

(Ωψ)∗χdτ ) si puo scrivere

∫

(

(J1x ∓ iJ1y)fjmj

)∗fmj1

mj2dτ = h

√

(j1 ∓mj1)(j1 ±mj1 + 1)

∫

f∗jmjfmj1

±1,mj2dτ

∫

(

(J2x ∓ iJ2y)fjmj

)∗fmj1

mj2dτ = h

√

(j2 ∓mj2)(j2 ±mj2 + 1)

∫

f∗jmjfmj1

,mj2±1dτ

Effettuiamo ora su queste l’operazione di coniugazione complessa

∫

(Ωψ)∗χdτ →∫

(Ωψ)χ∗dτ =

∫

χ∗Ωψdτ

cosicche

∫

f∗mj1mj2

(J1x ∓ iJ1y)fjmjdτ = h

√

(j1 ∓mj1)(j1 ±mj1 + 1)

∫

f∗mj1±1,mj2

fjmjdτ

∫

f∗mj1mj2


√

(j2 ∓mj2)(j2 ±mj2 + 1)

∫

f∗mj1,mj2

±1fjmjdτ

Tenendo conto della (111) si ha infine:

∫

f∗mj1mj2


√

(j1 ∓mj1)(j1 ±mj1 + 1)Cmj1±1,mj2

;jmj(124)

e

∫

f∗mj1mj2


√

(j2 ∓mj2)(j2 ±mj2 + 1)Cmj1,mj2

±1;jmj(125)

26


Effettuiamo la somma a membro a membro delle (124) e (125) (segni superiori),

∫

f∗mj1mj2

(J1x − J1y + J2x − iJ2y)fjmjdτ =

= h√

(j1 −mj1)(j1 +mj1 + 1)Cmj1+1,mj2

;jmj+

+ h√

(j2 −mj2)(j2 +mj2 + 1)Cmj1,mj2

+1;jmj

e ricordiamo la (121) (segni inferiori)

∫

f∗mj1mj2

(Jx − iJy)fjmjdτ = h

√

(j1 −mj1)(j1 +mj1 + 1)Cmj1−1,mj2

;jmj+

+ h√

(j2 +mj2 )(j2 −mj2 + 1)Cmj1,mj2

−1;jmj

Ora ripetiamo il procedimento di somma a membro a membro delle (124) e (125) (segniinferiori) e ricordiamo la (121) (segni superiori) ottenendo

∫

f∗mj1mj2

(Jx + iJy)fjmjdτ = h

√

(j1 +mj1)(j1 −mj1 + 1)Cmj1∓1,mj2

;jmj+

+ h√

(j2 −mj2 )(j2 +mj2 + 1)Cmj1,mj2

∓1;jmj

e quindi

∫

f∗mj1mj2

(Jx ∓ iJy)fjmjdτ = h

√

(j1 ∓mj1)(j1 ±mj1 + 1)Cmj1+1,mj2

;jmj+

+ h√

(j2 ±mj2)(j2 ∓mj2 + 1)Cmj1,mj2

+1;jmj

Il membro sinistro di questa equazione diventa uguale al membro sinistro della (120) sein quest’ultima sostituiamo ± con ∓. Una volta effettuata questa sostituzione, poiche imembri sinistri sono uguali, diviene lecito uguagliare i membri destri e quindi

√

(j ±mj)(j ∓mj + 1)Cmj1mj2

;j,mj∓1 =

=√

(j1 ∓mj1 )(j1 ±mj1 + 1)Cmj1±1,mj2

;jmj+

+√

(j2 ∓mj2)(j2 ±mj2 + 1)Cmj1,mj2

±1;jmj(126)

Questa relazione costituisce la base per il calcolo dei coefficienti di Clebsch-Gordan.Infatti se poniamo nella (126) (segni superiori)

mj1 = j1 ; mj = j

otteniamo√

2jCj1mj2;j,j−1 =

√

(j2 −mj2)(j2 +mj2 + 1)Cj1,mj2+1;jj (127)

27


e, d’altra parte, deve essere verificata la condizione (117), che nella (126) diviene

mj1 + (mj2 + 1) = mj

e nella (127)j1 + (mj2 + 1) = j

da cuimj2 = j − j1 − 1 (128)


√

2jCj1,j−j1−1;j,j−1 =√

(j2 − j + j1 + 1)(j2 + j − j1)Cj1,j−j1 ;jj (129)

Analogamente, ponendo nella (126) (segni inferiori)

mj1 = j1 ; mj = j − 1 (130)

si ottiene

√

2jCj1mj2;jj =

√

2j1Cj1−1,mj2;j,j−1 +

√

(j2 +mj2)(j2 −mj2 + 1)Cj1,mj2−1;j,j−1 (131)

e, d’altra parte, deve essere verificata la condizione (117), che nella (126) diviene

mj1 + (mj2 − 1) = mj

e nella (131)j1 + (mj2 − 1) = j − 1

da cuimj2 = j − j1 (132)


√

2jCj1,j−j1 ;jj =√

2j1Cj1−1,j−j1;j,j−1+

+√

(j2 + j − j1)(j2 − j + j1 + 1)Cj1,j−j1−1;j,j−1 (133)

Si vede quindi che, se e noto il coefficiente Cj1,j−j1;jj , la (129) permette di calcolareCj1,j−j1−1;j,j−1; noto questo, la (133) permette di calcolare Cj1−1,j−j1 ;j,j−1 e cosı di seguitofino a calcolare tutti i coefficienti.

Rimane da determinare Cj1,j−j1;jj . Il modulo di questo coefficiente si ricava dalla condi-zione di normalizzazione

∑

mj1,mj2

Cmj1mj2

;jmjCmj1

mj2;j′m′

j= δmjm′

jδjj′ (134)

La fase puo essere posta uguale a zero, cosicche questo e tutti gli altri coefficienti sonoreali.

28


Una volta noti i coefficienti di Clebsch-Gordan diviene possibile ottenere, mediante la (109),gli autovettori fj1j2jmj

comuni a J21 , J2

2 , Jz e J2 in funzione degli autovettori fj1j2;mj1mj2

comuni a J1z, J21 , J2z e J2

2 .

• Per cio che riguarda gli autovalori di J2 osserviamo che vale la condizione

−j2 ≤ mj2 ≤ +j2 (135)

ovvero, per la (132)−j2 ≤ j − j1 ≤ j2 (136)

cosicche per j vale la condizione

j1 − j2 ≤ j ≤ j1 + j2 (137)

Notiamo peraltro che se poniamo nella (126) (segni superiori) dapprima

mj1 = j − j2 − 1 ; mj2 = j2 ; mj = j

e poi (segni inferiori)

mj1 = j − j2 ; mj2 = j2 ; mj = j − 1

otteniamo relazioni analoghe alle (129) e (133) che permettono di calcolare i coefficienti diClebsch-Gordan una volta che sia noto Cj−j2,j2;jj .In questo caso la condizione

−j1 ≤ mj1 ≤ +j1 (138)

essendo mj1 = j − j2 forniscej2 − j1 ≤ j ≤ j1 + j2 (139)

Dalle (137) e (139) si ottiene infine la “condizione triangolare”

|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2 (140)

cosı detta perche se j1 e j2 fossero vettori e j fosse la risultante della loro somma, iltriangolo avente lati j1, j2, j si chiuderebbe solo nel caso in cui sia verificata la (140).La (140) esprime l’intervallo di variabilita di j in funzione di j1 e j2:

j = j1 + j2, j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2, . . . , |j1 − j2|

Un risultato identico si ottiene, forse piu semplicemente, calcolando direttamente la dipen-denza di j da j1 e j2.Esaminiamo a questo fine la seguente tabella nella quale mj1 varia da +j1 a −j1 (v. eq.(138)) e mj2 varia da +j2 a −j2 (v.eq. (135))

29


mj1 mj2 mj = mj1+mj2 j

j1 j2 j1 + j2 j1 + j2j1 j2 − 1 j1 + j2 − 1 j1 + j2j1 − 1 j2 j1 + j2 − 1j1 j2 − 2 j1 + j2 − 2 j1 + j2j1 − 1 j2 − 1 j1 + j2 − 1j1 − 2 j2 j1 + j2 − 2j1 j2 − 3 j1 + j2 − 3 j1 + j2j1 − 1 j2 − 2 j1 + j2 − 1j1 − 2 j2 − 1 j1 + j2 − 2j1 − 3 j2 j1 + j2 − 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Da essa risulta evidente che il valore massimo di j e j1 + j2 e quindi j ≤ j1 + j2 in accordocon la (140).

Per cio che riguarda il suo valore minimo, osserviamo che la prima colonna termina quandomj1 = −j1 (v. eq. (138)) e la seconda quando mj2 = −j2 (v. eq. 135)). Segue quindi che laterza termina all’occorrenza di uno di questi due eventi, qualunque si presenti per primo,cosicche la quarta colonna termina quando

j = j1 + j2 − 2min(j1, j2) (141)

Se termina per prima la prima colonna si ha j = j1 + j2 − 2j1 = j2 − j1; se termina perprima la seconda colonna si ha j = j1 + j2 − 2j2 = j1 − j2 percio il valore minimo di j e

j = |j1 − j2|

e quindi |j1 − j2| ≤ j in accordo con la relazione (140).

Calcoliamo ora quanti sono gli autovettori fjmj. Iniziamo con l’osservare che per ogni j vi

sono 2j + 1 valori di mj, percio il numero degli fjmje dato da

j1+j2∑

j=|j1−j2|

(2j + 1) =

j1+j2∑

j=1

(2j + 1)−|j1−j2|−1

∑

j=1

(2j + 1)

dove si noti che l’intervallo |j1 − j2| a j1 + j2 e stato considerato come la differenza fral’intervallo 1 a j1 + j2 e l’intervallo 1 a |j1 − j2| − 1. Segue

j1+j2∑

j=|j1−j2|

(2j + 1) = 2

j1+j2∑

j=1

j + (j1 + j2)− 2

|j1−j2|−1∑

j=1

j − (|j1 − j2| − 1)

30


Poiche la somma dei primi n numeri e data da n(n+ 1)/2 si ha:

j1+j2∑

j=|j1−j2|

(2j + 1) = 2(j1 + j2)(j1 + j2 + 1)

2+ (j1 + j2)− 2

(|j1 − j2| − 1)(|j1 − j2|)2

+

− (|j1 − j2| − 1)

= j21 + j22 + 2j1j2 + 2(j1 + j2)− |j1 − j2|2 + 1

= j21 + j22 + 2j1j2 + 2(j1 + j2)− j21 − j22 + 2j1j2 + 1

= 4j1j2 + 2j1 + 2j2 + 1

= 2j2(2j1 + 1) + 2j1 + 1

= (2j1 + 1)(2j2 + 1) (142)

Si vede cosı che il numero degli autovettori fjmje uguale al prodotto del numero degli

autovettori fj1mj1per il numero degli autovettori fj2mj2

.

Esempio.

Consideriamo la composizione del momento angolare orbitale L dell’elettrone di un atomoidrogenoide con il momento angolare intrinseco o spin S dell’elettrone.Si ha allora j1 = s, j2 = l percio

numero degli autovettori di fjmj= (2s + 1)(2l + 1)

Ma s = 12

percio

numero degli autovettori di fjmj= (2 · 1

2+ 1)(2l + 1) = 2(2l + 1)

in accordo con l’eq. (35) dello studio “Esperimento di Stern-Gerlach; spin dell’elettrone”.

31

,L m interoE. Borghi - L’operatore momento angolare Ma tenendo conto delle (5) e (6) si ha [Li,Lj]...

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