l fr CVn'e-0 0.;J,

137
ESTOCAGHl l'OI( ESTl,ATlF l C,\ÇlíO T[RM I C/1 DE LJQUIDO LM RESEl(V/ITORJO /llcides Padilha TESE SUBMLTIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS UNIVERSIDADE REQUJSITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTEN(,:ÃO DO GRAU DE JvLCSTE[ EM CIENClAS (M.Sc.) Aprovada por: l 0 fr 0 lJ, CVn'e-0 0.;J,<{a/,,J &.J /.; ' Leopoldo Eurico Gonçalves Bastos Gi crto /1. Silva RIO Ili' .J/INEJIW, EJ - BR/\SJL JANEIRO de 1983

Transcript of l fr CVn'e-0 0.;J,

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ESTOCAGHl l'OI( ESTl,ATlF l C,\ÇlíO T[RM I C/1

DE LJQUIDO LM RESEl(V/ITORJO

/llcides Padilha

TESE SUBMLTIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÕS GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

UNIVERSIDADE

REQUJSITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTEN(,:ÃO DO GRAU DE JvLCSTE[ EM CIENClAS

(M.Sc.)

Aprovada por:

l 0 fr 0 lJ, CVn'e-0 0.;J,<{a/,,J &.J /.; ' Leopoldo Eurico Gonçalves Bastos

Gi crto /1. Silva

RIO Ili' .J/INEJIW, EJ - BR/\SJL JANEIRO de 1983

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ii

PADILHA, ALCIDES

Estocagem por Estratificação Térmica de Líquido em Reserva­

tório (Rio de Janeiro) 1982.

X , 127p. 29,7 cm (COPPE-UFRJ, M. Se., Engenharia Mecâni­

ca, 1982).

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro. Fac. de Eng~

nharia.

1. Estocagem de Energia Térmica I.COPPE-UFRJ II.Título (Série)

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iii

À memória de meu pai João Padilha e à minha mae Luzia,

exemplos de honestidade, trabalho e responsabilidade.

Ao Sr. Ismael de Marchi (em memória), ao Prof. Dr. Luiz

Ferreira Martins e a Sra. Angelina Brocco Foggetti pelo amor,

apoio e orientação a mim dedicados nos momentos difíceis da

minha vida.

Page 4: l fr CVn'e-0 0.;J,

lV

À minha esposa Maria

E a minha filha Juliana

pelo estímulo

Page 5: l fr CVn'e-0 0.;J,

V

AGRADECIMENTOS

Agradeço a todos aqueles que colaboraram para a

reali~ação deste trabalho e, em particular:

Ao prof. Dr. Leopoldo Eurico Gonçalves Bastos,

cuja seriedade e dedicada orientação guiaram-me nas muitas difi

culdades do trabalho.

Ao Prof. Marco Antônio Rahal Sacoman, da Funda­

çao Educacional de Bauru (FEB), pelas sugestões e esclarecimen­

tos.

Ao Prof. Emanuel Rocha Woiski, pela colaboração

durante a realização deste trabalho.

Ao Prof. Paulo César Primo Agostinho pelo apoio

e estímulo.

A Diretoria e aos professores da UNESP - Campus

de Ilha Solteira, pela atenção que me dispensaram quando solici

tados.

A Srta. Dulcinêia de Oliveira Costa; pelos tra

balhos de datilografia.

Ao Sr. Antonio Carlos Homem, pelos desenhos.

A CAPES, pelo Auxílio financeiro.

Page 6: l fr CVn'e-0 0.;J,

vi

RESUMO

A estocagem d~ energia via· estratificação t;rmi

ca de um líquido em um tanque, é um tema atual de pesquisa e

desenvolvimentp, visto sua grande aplicabilidade. Considerando

um.balanço de energia para o sistema de es~ocagem e proposto

um modelo semi-empirico unidimensional e tra~s{ent~ descreven­

do a hist6ria dos p~rfis de temperatura do liquido e da parede

do vaso durante os períodos de operação e repouso.

Os resultados teóricos são comparados com dados

experime~tais existentes, e estudado também a influência da

relação altura/diâmetro do tanque sobre a eficiência da exer­

gia.

Page 7: l fr CVn'e-0 0.;J,

vii

ABSTRACT

Storage of energy using the thermal stratification

of a liquid in a tank, is a present theme of research and

_deVe lopment, beca use i ts enormous appl icabil i ty; Cons idering

the energy conservation equations, it is proposed a tran~ient

one-dime~sional iemi-empirical model to the ·storage. system,

descri6ing the temperature profile history of.the liquid and

the vessel wall, during the normal operati~g conditions

(charging, discharging and static nade).

The theoretical results are compared to the existing

eXperimental data. Also, the influence of the height to

.dj.ameter ratio (H/D) of the vessel on the exergy efficiency is

studied.

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viii

INDICE

CAPÍTULO I - INTRODUÇAO ... . . . . . . . . . . . . .

I~l - Processos de Estocagem

I. 2 - Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.3 - Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO II - A ESTOCAGEM POR ESTRATIFICAÇAO

II.l - Descrição . . . . . . . . . . . .

II.2 - Exemplos de Aplicação da estocagem por

estratificação ..... . . . . .

Pág.

1

1

3

5

7

7

9

CAPITULO III - TEORIA. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III.l - Hipóteses simplificadoras . . . . . . . . . . . III.2 - Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . III.2.1 - Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.2 - Método de solução . . . . . . . . . . . . III.2.2.1 - Operação de carga e descarga

III.2.2.2 - Operação de resfriamento natural

III.2.2.3 - Caso particular ........ .

CAPÍTULO IV - EFICIENCIA TERMICA . . . . . . . . . . .

IV.l - Introdução ....... . . . . . . . . . . . .

14

16

16

21

23

29

34

39

39

Page 9: l fr CVn'e-0 0.;J,

lX

IV.2 - Energia e eficiência térmica do sistema de

estocagem, a partir da Primeira Lei da

Termodinâmica ...

IV.3 - Trabalho disponível e eficiência térmica do

sistema de estocagem, a partir da Segunda

Lei da Termodinâmica

CAPITULO V - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

V.l - Introdução .... . . . . . . . . . . . ' . . . . . V.2 - Operação de carga . . . . . . . . . . . . . .

V.3 - Operação de descarga . . . . . . . . . . . . .

V.4 - Operação de resfriamento . . . . . . . . . . . . .

40

43

47

47

49

57

68

CAPITULO VI - CONCLUSÕES ................ 73

VI.l - Validade do modelo e dos métodos de

solução utilizados

VI.2 - Limitações do modelo

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . VI.3 - Resultados e extensões imediatas

VI.4 - Resultados e extensões futuras . . . . . . . . .

APENDICE A - Adimensionalização do sistema de

equações (III-1) a (III-5) . . . . APENDICE B - Método implícito de Crank-Nicolson

APENDICE C - Solução do sistema de equações algébri­

cas lineares pelo método iterativo de

Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . .

73

73

75

76

77

79

81

Page 10: l fr CVn'e-0 0.;J,

X

APENDICE D - Solução do sistema de equaçoes algé-

bricas nao lineares pelo método ite-

rativo de Newton-Raphson

APENDICE E - Adimensionalização do sistema de

equaçoes (III-33) a (III-39) . . .

APENDICE F - Solução do sistema de equaçoes

(III-40) a (111-43) pelo método

da Transformada de Laplace . . .

APENDICE G - Solução do sistema de equaçoes

(III-40) e (III-44) a (III-46) pelo

método da Transformada de Laplace . APENDICE H - Comparação entre a eficiência térmica

do fluido estratificado e o homogêneo

no reservat6rio ....

89

. . 100

. . . 102

109

114

NOMENCLATURA . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Page 11: l fr CVn'e-0 0.;J,

CAPITULO I - INTRODUÇÃO

I,1 - P~oce~~o~ de E~tocagem

Um dos processos clássicos de estocagem de ene!

gia sob forma de energia interna é o de manter durante um certo

tempo, num tanque isolado, uma determinada massa de líquido a

um nível de temperatura. Esta forma de estocagem é conhecida co

mo estocagem térmica por calor sensível. Outro processo também

utilizado é o da estocagem térmica por calor latente, onde o

fluido mantem-se a uma temperatura constante enquanto cede ou

absorve energia.

Os fluidos mais comumente utilizados são a agua

pressurizada até 3009C (80 bar), os fluidos orgânicos e os sais

fundidos.

Em sistemas nao convencionais de aproveitamento

de energia, como aqueles utilizando energia solar, a estocagem

térmica adquire especial importância. O caráter aleatório dara

diação solar, as condições climáticas da região e o tipo de em­

prego previsto para o sistema de conversão da energia solar, dl

tarão as características e dimensões da unidade de estocagem

térmica adequada.

Foi somente a partir do final da década de 60, 1

Koefoed, que a estocagem térmica passou a receber a atenção

de diversos pesquisadores, em vista de sua crescente aplicabill

dade, a partir dessa época, em sistemas de conservaçao e apro­

veitamento de energia.

A unidade de estocagem térmica por calor sensí-

vel, quando acoplada a um determinado sistema como, por

plo, a uma bateria de coletores solares, operará com dois

exem

ní-

Page 12: l fr CVn'e-0 0.;J,

2

veis distintos de temperatura do fluido de trabalho. Caso haja

um processo de mistura no tanque entre as porções do fluido

quente (vindo dos coletores) e frio (da alimentação), a temper~

tura do fluido estocado terá um valor médio abaixo da temperat~

ra do fluido quente de entrada.

Em alguns sistemas de aproveitamento de ener-

gia, este nível médio de temperatura alcançado é indesejável,

por não ser suficiente para acionar uma máquina térmica, uma vez

que a eficiência dada pela Segunda Lei da Termodinâmica é muito

baixa, havenuo pouca disponibilidade do sistema de estocagem em

fornecer calor a níveis determinados de temperatura para uma rea

lização de trabalho.

Assim, considerando a necessidade da manuten­

çao de níveis constantes de temperatura nas fontes quente e

fria e da obtenção, ao mesmo tempo, de uma grande quantidade de

energia térmica armazenada, surgiu a idéia de se utilizar o pr~

cesso de estocagem por estratificação. Através deste processo,

num Único reservatório consegue-se manter um líquido a duas tem

peraturas distintas, sem ocorrer mistura. O fluido quente entra

no topo do tanque através de difusores, ficando aí estocado, ao

passo que o fluido frio segue o caminho inverso.

Quando o líquido no interior do vaso de estoca

geme pouco perturbado, devido à presença de difusores nas toma

das de entrada e saída, forma-se uma camada de fluido interme­

diária as regiões quente e fria, Dumond 2 .

A identificação da espessura, e da posição com

o tempo, desta camada intermediária (que apresenta um alto gra­

diente de temperatura) , pos si bili ta uma análise sobre a dispon i

bilidade desse sistema de estocagem em atender a uma determina-

Page 13: l fr CVn'e-0 0.;J,

3

da demanda de energia, mentendo constantes os níveis máximo e

mínimo de temperatura do fluido de trabalho.

A utilização da estocagem por termoclina é tam

bem do ponto de vista econ6mico, atraente, pois constitiu-se

num sistema simples, acarretando baixos custos tanto em materi-

3 ais, quanto em instalação e manutenção, Gross.

Esta forma de estocagem constitiu-se num tópi­

co bastante recente de pesquisa e desenvolvimento, pois apesar

de sua grande aplicabilidade, nao existe ainda definida uma me­

todologia de projeto. Pode-se observar, por outro lado, que gra~

de centros de pesquisa no exterior como o Sandia National Labo­

ratories, nos EUA, e o Laboratoire d'Energetique Solaire, na

França, estão desenvolvendo estudos experimentais comprotótipos

de tanques de estocagem por termoclinas, bem como exixtem diver

sos autores procurando desenvolver modelos teóricos visando a

simulação do comportamento da frente de estratificação e sua

possível relação com a posição dos difusores. De uma maneira g~

ral, a estocagem por termoclina é um assunto aberto, necessitan

do para o seu completo entendimento um grande esforço teórico­

experimental.

Cabelli4 em 1977 apresentou em estudo nume-

rico de um modelo bidimensional de escoamento com transferência

de calor para a água no interior de um vaso com estratificação,

para uso em aplicações solares. Foi determinada a influência da

posição de dois tubos nas regiões de alimentação e descarga do

tanque, o efeito do numero de Reynolds e a contribuição do emp~

xo na estratificação. Estabeleceu ainda uma comparação do mode-

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4

lo bidimensional com um modelo unidimensional, nao encontrando

uma grande discrepância entre os valores obtidos. 5

Lavan e Thompson realizaram estudos exper~

mentais também com tanques de agua quente. Os testes foram efe­

tuados para altas descargas e diferentes temperaturas de entra­

da e saída do fluido, considerando diversas razões entre o diâ­

metro e a altura do tanque. Foi apresentado além disso, o estu­

do do efeito da configuraçâo das tomadas de alimentação e des

carga na estratificação. Foi estabelecida uma correlação empírt

ca a partir dos dados disponíveis,resultando informações úteis

para o projeto de sistemas de estocagem de água quente. Foi pr~

posta ainda uma forma de configuração para um tanque de estoca­

gem específico.

Na França, entre outubro de 1976 e janeiro de

1977, foram efetuados diversos testes na Central Eletrosolar de

1 MWt, que dispõe de um sistema de estocagem térmica por estra­

tificação. Foi observado o comportamento dos componentes da cen

tral através de uma série de medidas. A estocagem térmica por

termoclinas foi alcançada com a utilização de um fluido orgâni­

co trabalhando a altas temperaturas, CNRS6 .

o conhecimento

foi enfatizada

A necessidade de resultados experimentais para

do processo 3

por Gross

de estocagem por meio de termoclinas

em 1980, quando da descrição de

um programa de testes a serem realizados com um protótipo. 7 Em 1981, Blay apresentou um modelo teórico

unidimensional, considerando as variações de temperatura de um

fluido orgânico em estratificação e o perfil de temperatura da

parede do tanque, quando em processo de resfriamento por conve~

ção natural. Foi adotado um modo estático de operaçã.o (ausência

Page 15: l fr CVn'e-0 0.;J,

5

de carga e descarga). A comparaçao dos resultados teóricos com

os dados experimentais comprovou a validade do modelo adotado.

Do histórico exposto acima, pode-se perceber a

necessidade do desenvolvimento de um modelo teórico geral, que

represente o processo de estratificação térmica sob as condi­

çoes de carga, descarga e resfriamento natural, bem como, que

seja capaz de fornecer dados sobre a capacidade da massa no in­

terior do tanque em armazenar energia interna e disponibilidade

para realização de trabalho.

I.3 - Objetivoh

A finalidade deste trabalho é a formulação de

um modelo matemático capaz de simular os perfis transientes de

temperatura do fluido e na parede de um tanque de estocagem por

estratificação durante as operações de carga, descarga, oures­

friamento natural (períodos de inatividade do sistema).

Para cada uma das situações acima, os resulta­

dos teóricos obtidos são comparados com dados experimentais dis

poníveis, CNRS 6

Deve-se observar que o modelo a ser apresentado

pode descrever de uma maneira geral as situações encontradas na

estocagem por estratificação, e que, por outro lado, reproduz

como casos particulares não soo modelo unidimensional formulado

4 por Cabelli , que admite como constante a temperatura de pa-7

rede para e tanque, mas também o de Blay no

amento natural do fluido no tanque de estocagem.

caso do resfri

Além disso, considerando a Primeira e aSegunda

Lei da Termodinâmica, apresenta-se a análise da eficiência ener

gêtica e da disponibilidade do processo com o tempo, tanto para

Page 16: l fr CVn'e-0 0.;J,

6

o fluido estratificado termicamente, quanto para o fluido homo­

geneizado.

Page 17: l fr CVn'e-0 0.;J,

7

CAP!TULO II - A ESTOCAGEM POR ESTRATIFICAÇÃO

I I. 1 - V e.é. c.1t.i.ç. ão

No processo de estratificação térmica.o fluido

no interior do reservat6rio distribui-se em três regi6es dis­

tintas: uma região onde o fluido é quente, fluido este provenl

ente do sistema de captação solar; uma região fria, alimentada

pelo fluido que retorna do sistema de utilização; e uma outra

região intermediária, que separa as duas precedentes e estásu~

metida a um apreciável gradiente de temperatura. A curva que

representa a história da temperatura do fluido em estratifica­

ção ao longo da altura do tanque é denominada de termoclina.

As figuras (II:-1) e (II-:-2) apresentam, esquem~

ticamente o tanque de estocagem e o seu posicionamento num sis

tema genérico de utilização da energia solar. Ao tanque de es­

tocagem associam-se dois circuitos independentes como pode ser

visto pela figura (II.2): o circuito primário, que compreende

o sistema de captação e conversão da energia solar em energia

térmica através do aquecimento de um fluido de trabalho que se

deslocará para a região superior do tanque de estocagem ou acu

mulador, e o circuito secundário, que constitui-se no sistema

que irá utilizar este fluido aquecido, resfriando-o e injetando­

º na reg1ao inferior do acumulador.

Conforme citado anteriormente, podem ser defi

nidas três situaç6es para o fluido no tanque de estocagem e que

serao analisadas neste trabalho: carga, descarga e resfriamento

natural. A primeira corresponde ao enchimento do tanque pelo

fluido quente, enquanto que a descarga corresponde a uma maior

entrada de fluido frio, com a consequente retração da frente

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ISÇ>LANTE TERMICO

DIFUSORES

SAIOA FLUIDO ->-­FRIO

8

Figuro II. 1 - Esquema do tanque de estocagem.

SISTEMA DE

TACÃO DE

ENERGIA SOLA TANQUE

l L

J ---~ ENTRADA FLUÍDO

FRIO

SISTEMA DE

UTILIZ ACÃO

FtQUra Il. 2 - Sistema captação-utilização de energia solar oom estocagem

te'rmica.

Page 19: l fr CVn'e-0 0.;J,

9

quente. Já o resfriamento natural corresponderá à situação em

que as duas frentes estão estacionárias, sendo que as perdas de

energia através das paredes do vaso para o ambiente, que ocorrem

também nos outros dois casos, adquirem aí, um papel mais impor­

tante.

11.2 - Exemploh de Apliea~ão da Ehtoeagem po4 Eht4ati6iea~ão

Apesar de existirem poucos artigos sobre o as­

sunto, pode-se mostrar sua atualidade pela existência de um

grande número de aplicações tecnológicas recentes. Notadamente

na área de energia podem ser identificados vários sistemas de

conversão heliotérmica ondeá estocagem por calor sensível uti­

liza a estratificação térmica do fluido de trabalho. Como exem­

plos, descrever-se-á em seguida, sucintamente, algumas -.aplica­

ções comerciais que utilizam esta forma de estocagem.

Na figura (II,3), é mostrado o diagrama esque­

rr,ático do programa francês denominado THEK, que compreende a

realização de unidades de produção de energia de média potência

da ordem 100 KW, pela conversao li~lietérmica da energia solar. e

Por intermédio de uma bateria de concentradores parabólicos a

energia solar é concentrada e absorvida por um fluido de traba­

lho que circula em cada absorvedor por meio de uma tubulação c~

mum, conectada a um sistema de regulação e de estocagem. A ene~

gia térmica disponível poderá ser utilizada de forma direta ou

indireta. Diretamente,para aquecimento, refrigeração, produção

de vapor, transformações industriais, agrícolas e outras aplic~

ções correlatas, e indiretamente para produção de energia elé­

trica. Uma das fases deste projeto compreende a realização de

testes com o reservatório de estocagem, utilizando Óleo gilotherm

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RADIACÂO -SOLAR

F,;ura [. 3

10

---------·, 1

CONVERSÃO HELIOTÉRMICA

1

26 MÓDJLOS HELIOTÉRMICOS

L __ _ .J

COLETOR

2 rr"c

LESTOCAGEM TÉRMICA --------- l ,..ONVERSÂO TERMODINÂMICA _j L.:::.--------·-·

GERADOR OE VAPOR IOOO Kg/h 2so•c 26 bors

- Módulos de conversao heliote'rmica 1 sistema de es1ocagem térmica e

sistema de conversão termodinâmica.

Page 21: l fr CVn'e-0 0.;J,

11

entre 2809C e 3209C. Este tanque destina-se tanto a regulação

do funcionamento do conversor, quanto à manutenção de um deter­

minado nível de energia térmica disponível.

A empresa italian2. Ansaldo, estâ desenvolvendo

uma planta solar de potência de 35 KWe, usando coletores sola­

res cilíndrico-parabólicos. No esquema mostrado na figura CTI.4),

pode ser visto que é utilizado um tanque de estocagem operando

por estratificação térmica.

A figura (II-5) mostra o esquema de um circui­

to utilizado em sistemas de aproveitamento de energia solar pela

firma francesa TOTAL. Observa-se a importância dada ao reserva-

tório de estocagem de âgua quente. Nele são delimitadas duas

regiões, quente e fria, por um diafragma deslizante numa haste

vertical que estâ engastada no topo do reservatório.A aplicação

tecnológica deste dispositivo é muito recente, uma vez que ai~

fluência dos difusores e do diafragma estâ ainda sendo

de pesquisa, SANDIA, GROSS 3 ,

objeto

Com a finalidade de obter subsídios para o pr~

jeto francês de uma central solar a alta concentração via con­

versão termodinâmica na faixa lMWt, foram realizados, em 1977,

em FONT ROMEU uma série de testes com uma central eletrosolar

piloto. Os resultados destes testes, assim como uma anâlise ge­

ral do sistema utilizado de conversão e estocagem de fluido tér

mico, usando o processo de estratificação, podem ser encontrados

em (6) .

Procurou-se através dos exemplos, mostrar a im-

portância desta forma de estocagem por calor sensível ficando

evidenciado, a necessidade de se obter um melhor entendimento so

bre o processo de formação das termoclinas. Este e precisamente

o objeto do estudo que se segue.

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·~ "

COLETORES

CILINORICO­PARABÓUCOS

SUBSISTEMA OE CAPTAÇÃO,

TURBINA

1

1 -PRE·-

ARMA NAMENTO jAQUECEOOR

SUBSISTEMA DE ARMAZENA­MENTO E TRANSFERÊNCIA OE

CALOR.

CONDENSADOR

ÁGUA DE

ESFRIAMENTO

SUBSISTEMA DE CONVERSÃO

TERMODINÃMICA.

Figuro Il-4- Planto solar de coletores cilindro-parabólicos de pot&ncia de 35 KW,

AOS

USUÁRIOS

AOS

AUXILIARES

SUISISTEMAS ELÉTRICOS.

...... N

Page 23: l fr CVn'e-0 0.;J,

Figuro II- 5 -

13

B

UTILIZAÇÃO

.. ---------•-==:::=J,,,a•---------'

Sistema de aquecimento com fonte de calor descondnua e

estocagem de água quente a alto nível de temperatura.

Page 24: l fr CVn'e-0 0.;J,

14

CAPITULO III - TEORIA

111.1 - Hipõte4e4 Simpli6ieado~a4

As seguintes hipóteses serao consideradas na

análise teórica do processo de estocagem térmica de líquidos

por estratificação, ver figura (III-1), durante as operaçoes

de carga, descarga e resfriamento natural:

1

De

·~

1

1

L 1

1 Fluido

1

- .. ~ H

1

'ºº'ª"'' 1

Figura (111-1)- Geometria do Problema.

(1) Nas operaçoes de carga e descarga do fluido, este conside­

rado incompressível, o processo de transferência de calor

sera por convecção forçada no interior do tanque, supondo-

se o escoamento laminar unidimensional, tendo uma velocida

de constante.

(2) As propriedades físicas do fluido, e do material do isolan-

te da parede ser ao consideradas constantes, e seus valores

Page 25: l fr CVn'e-0 0.;J,

15

numéricos determinados para uma temperatura média (semi-SQ

ma dos valores máximo e mínimo das temperaturas do flui-

do). A resistência térmica da parede metálica supor-se-a

desprezível em comparaçao com o material isolante.

(3) Para o fluido, o calor específico apresenta um valor gran­

de de modo que a temperatura do fluido não seja influenci~

da pelo atrito e portanto, pela dissipação viscosa.

(4) No caso em que há somente resfriamento natural do tanque

considerar-se-á que, internamente no mesmo, há

natural, sendo esta caracterizada por um alto

Grashof e de Prandtl.

convecçao

numero de

(S) Serão considerados para este sistema de estocagem quando em

operação, a ocorrência de três regiões distintas: uma re­

gião de camada limite no líquido em contato com a parede

interna do tanque, uma segunda região ainda no fluido, on­

de o campo de temperaturas é unidimensional e transiente

(a velocidade do fluido é pequena) e finalmente a região

da parede do tanque, considerada como sendo o isolante que

apresenta também um campo de temperatura unidimensional.

(6) Durante as operações de carga, descarga e resfriamento na­

tural o topo e o fundo do tanque de estocagem serao consi

derados totalmente isolados do ambiente.

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16

III.2 - Modelo Matemãt~eo

III. 2. 1 . - Ca..6 o G e.1tal

Serão agora determinados os.perfis de tempe­

ratura para o fluido e para a parede do reservatório, quando o

sistema de estocagem estiver submetido às operações de carga,

descarga e regime estático (só resfriamento natural).

Considerando as hipóteses formuladas e age~

metria do problema, resultarão para dois elementos diferenci­

ais um no meio fluido e o outro na parede, as seguintes equa­

ções resultantes do balanço de energia e que descrevem os cam

pos de temperatura correspondentes: no seio do fluido T(x,t) e

axialmente na parede T' (x, t):

Fluido

Parede

C ( oT p p at

oT' P' e, P at

+ u 3T)

ax

2 K ~ - Q( x,t )

ax

0 < X < H t > o

= K' º2

T' + Q' ( x,t) - Q0

( x,t) ~

0 < x < H t > o

II I-1

IIh 2

Page 27: l fr CVn'e-0 0.;J,

onde:

D

C' p

D, e

17

Calor específico do fluido e do isolante, a pressao

constante, respectivamente.

Diâmetro interno e externo do reservatório, res­

pectivamente.

Coeficiente de transferência de calor entre a p~

rede e o fluido no interior do reservatório, e

entre a parede e o meio ambiente respectivamente.

H Altura do reservatório.

K K'

Q(x,t) =

Q'(x,t) =

Condutividade térmica do fluido e do isolànte,

respectivamente.

4 h (T-T') D

4 D h (T- T' ) D2-D2

e

4 (T' -T )

Taxa de calor transferido à parede,

por unidade de volume do fluido.

Taxa de calor absorvido do flui­

do, por unidade de volume do iso

lante. 00

~(x,t) = ~~~-----­

(De-D ) (bt(De/D) + _l_) Taxa de calor perdida para

o meio ambiente, por unid~

·de de volume do isolante.

2 K' D h e oo

T : Temperatura do meio ambiente. 00

u : Velocidade do fluido no interior do reservatório para

operaçoes de carga ( u > O), descarga (u < O)

friamento natural (u = O).

e res-

p ' p 1 Massa específica do fluido e do material isolante,

respectivamente considerando as operaçoes indica­

das, para o sistema de estocagem, as condições de

contorno e iniciais serão as seguintes:

Page 28: l fr CVn'e-0 0.;J,

18

oT ( X' t ) = ar' ( X' t ) = o X = 0 t > o III-3

ax ax

are x,t) = oT' ( x,t) = 0 X= H t > o III-4 ax ox

T ( x, O ) = T' ( x, O ) = T0

( x ) O < x < H III-5

onde:

perfil de temperatura inicial. ...

O sistema .de equaçoes (III-1) a (III-5), ~ a

seguir adimensionalizado (ver Apãndice A), usando as variive­

is adimensionais.

e =

Sendo:

at Hz

T-T

l\T o

00

X X = H u = - u

H

T' -T 00

8';::; ---l\T

o

a

llT0

= T( 0,0 ) - T( H,O ) diferença inicial das temper~

turas do fluido no topo e no

fundo do reservatório.

a difusividade t~rmica do fluido.

Page 29: l fr CVn'e-0 0.;J,

19

Obtem-se então:

a e a -r

a e ' a -r

U ~ - 4B Nu (8 - 8') a X

Ó < X < 1 t > o

+ s C Nu (8 - 8') - F s Nu 8' eq

O < X < 1 t > o

As condições de contorno e inicial se tornam:

onde:

B

e

F

K

as(X,t) ax

as• ex,,) ax

o X=O,t>O

as ex,,)= as• ex,,) X 1

ax ax

8(X,O) = 8'( X,O)

= H/D

= 4 D H/(D 2 - D2) e

8 H

K'/(D 2 - D2) eq e

=8(X,O) o

t > o

O < X < 1

I II-6

III- 7

III-8

I II-9

I II-10

Page 30: l fr CVn'e-0 0.;J,

20

Nu= hH/k : Número de Nusselt, devido a convecçao interna.

Nu = K h/(K(ln(D /D) + 2K'/(D h )): Número de Nusselt e eq eq e e oo

W = K/K'

pC/(p'C') p p

quivalente.

Como o modelo teórico tem uma natureza semi-

empírica, o número de Nusselt ( Nu) deverá ser representado por

diferentes correlações para cada situação (convecção livre ou

forçada internamente no tanque de estocagem). No caso de carga

ou descarga, o Nu será definido pela seguinte correlação, dada 9 por Jones et al :

Nu= 0,023 Re 0 •5 rr0 •4

onde:

Pr = v/a Número de Prandtl.

Re = p u H/µ Número de Reynolds.

V = µ/p Viscosidade cinemática do

µ = Viscosidade dinâmica do fluido.

III-11

fluido.

Durante o período de regime estático (i. ê re~

friamento natural do fluido em repouso), Nu será aquele forneci

d K . hlO o por re1t :

Nu O , 13 ( Gr Pr ) 1 / 3 III-12

Page 31: l fr CVn'e-0 0.;J,

21

sendo o número de Grashof no caso de líquidos, Schlichting11

dado por:

Gr = g H3

S ( T - T' ) /v z

usando os parâmetros adimensionais já definidos:

onde:

Nu=0,13(Gr Pr(e-e'))l/ 3 o

Gr = g S H3 bT /v 2 o o

III-13

Considerando o processo de resfriamento da

parede externa do reservatório para o meio ambiente, como sen­

do de convecção natural, o coeficiente de transferência de ca-16 ~ lor entre a parede e o ambiente Welty , sera:

h = 0,119 ( Gr Pr )Z/S

III.2.2 - Mé~odo de Solução

9 Gr Pr > 10 III-14

Para a solução do modelo geral, será aplica­

do o método implícito de Crank-Nicolson (Apêndice B), para dis

cretização do sistema de equações (III-6) a (III-10).

Este método utiliza um centro de simetria p~

ra as equaçoes (III-6) a (III-10), sob a forma de diferenças

finitas, apresentando um erro de truncamento de elevada ordem.

Os pontos estarão distribuídos no fluido e

Page 32: l fr CVn'e-0 0.;J,

22

na parede interna do reservatório, como indicado na figura

(III-2).

N+I p

1

1 N+2 2 X

p

1

1 ISOLANTE FLUIOO ISOLANTE

1

1 2 N - 1 N- 1 X

p p

1

2 Np Np 1

Figuro 111 - 2 DISTRIBUIÇÃO DOS PONTOS NO RESERVATÓRIO

A discretização das equaçoes do modelo geral,

sera feita segundo a geometria da rede finita da figura (III-3).

1'.

" + 1

" [ i,M) ~

M-1

;

1 1

M=O 1 1 X

i: o i-1 i + 1

Figuro 111 - 3 PONTOS DA REDE FINITA

Page 33: l fr CVn'e-0 0.;J,

23

onde:

Fluido 1 < i < Np Topo : i = 1

Fundo : i = Np

Pontos internos 2 < 1. < Np - 1

Parede Np + 1 < i < 2 Np Topo: i = Np + 1

Fundo : i = 2 Np

Pontos internos

i=l,2,3,

rio.

... ' 2 Np

Np + 2 < i < 2 Np -1

Número de pontos no reservató-

M = O, 1, 2, ••• , Mt : Número do intervalo de tempo dis­

creto considerado.

bX = X. 1 - X. : Distância entre os pontos do fluido e 1. + 1.

da parede.

bT = TM+l - TM: Intervalo entre dois instantes de tem­

po consecutivos.

III.2.2.1 - Openação de Canga e Ve~canga

Fluido

Parede

08

a ;r

38'

dT

- u 08

ax - 4 B Nu (8 - 8')

E; a28 1

= - -,--,,-- + E; e Nu (8 - 8') - F E; Nu 8' w ax~ eq

Discretizando por diferenças finitas

Page 34: l fr CVn'e-0 0.;J,

24

Fluido

6 i ,M+ 1 -

8 i ,M ; 1 e _6_i_-_1_,_,_M_+_1_-_

2=6_i_,_,_M_+_1_+_e_i_+_1_,_,M_+_1 +

t, , 2 t,X z

e - e i+l,M i-1,M ) -U

6 i+l,M+l - 6 i-l,M+l - - e + 2 2 t,X 2 t,X

4 B Nu ( e + i,M+l 6 i,M - 6 i+N ,M+l

2 p

1 6 i,M+l (

/:, '[

+ ~ + 2 B Nu ) + e . M ( -1

+ 2 B Nu + .....!_,,. ) + !:,X l, !:, '[ t,XL

+ 1 6 i-l,M+l (--:;;;;_z

1 + e. M ( -

1-l, 1 z t,X L

U 1 - -- ) + 6i+l,M+l ( - ::--:--::-Z +

4 t,X 2 t,X

u 4 t,X

U 1 ---)+e.1,,C- z

4 !:,X i+ ,P 2 !:,X + -.!:!:._ )

4 t,X

- 6' ( 2 B Nu ) .., i+N ,M+l ei+N M ( 2 B Nu); O

p p'

2<i<N -1 p M > O

) +

III-15

Page 35: l fr CVn'e-0 0.;J,

25

Parede

8 '. M 1 - 8 '. M e 1 l, + l, ~ '-; (

fi T W 2

81'.-l,M - 2 8 '. M + 8 '. 1 M + l, 1+ , ) + l:iX

1 +E;CNu ( 2

8 i-N ,M+l + 8i-N M - 8i,M+l -p p,

8' ( i ,M+l 1

!:,,T +

8 ' ) - F E; Nu ( 8 ' 8 ' ) - i,M z eq . i,M+l + i,M

E; 1 ; !:iXZ

+ E; C Nu l + FI; Nu ) + 2 2 eq

+ 8'. M l,

( - 1 + .f ~ + E; e Nu ! + FE; Nu ) + /:i T W !:iX 2 2 eq

+ 8' ( E; 1 ) + 8' ( E; 1 ) + i-1,M+l - ZW l:iX2 i+l,M+l - ZW l:iX2

+ 8' ( - E; 1 ) + 8' ( E; 1 ) + i-1,M ZW l:iXZ i+l,M - ZW !:iX2

+ C 8 i-N ,M+l p + 8i-N M ) (-E;C Nu l)

p' 2 o

N + 2 < i < 2 N - 1 p p M > O Ill-16

Page 36: l fr CVn'e-0 0.;J,

26

Pontos extremos Condições de Contorno

Estas temperaturas nao sao conhecidas, então usa-se a expansao

em Série de Taylor

Fluido

Topo

Fundo

Parede

Topo

Fundo

1 = 1 e 1 = Np

e. 1

1

+ ~ L\X\ + ( !!.X

i=l ax i=l

e. 1 = 1-

3 +0(L\X)

e . 1

i=Np

~L\X ax

+ G e !!.X )3

1 = Np + 1 e i

e• i+Np+l

1

= e• / Np+i

+ ( !!.X

2 '.

i=Np+l

+

i=Np

2 Np

+~!!.X ax

1

e !!.X )2 a2e 2 '. a?

+

i=Np+l

3 + 0 ( !!.X )

8' i+Np-1 = e i +Np i=Np

ae• +

!!.X !!.XI +

i=Np

( !!.X <: 2 2 1 ) ~1 + 0 ( !!.X )

3

2 '. 'X"L º . N 1= p

+

i=Np

Page 37: l fr CVn'e-0 0.;J,

27

Utilizando as condições de contorno do problema

Fluido

Topo

i=l

Fundo

i=Np

Parede

Topo i;. l

Fundo

i=Np

e. 1

- e. 1- l

e• i+Np+l

i=l

i=Np

1

eNp+il

e' - e' i+Np-1 i+Np

= ( t,X

2

a2~i[

ax I i=l

i=l

= ( 6X

2

i=Np

= ( 6X ) 2

2

111-17

lII-18

lII-19

111-20

i=Np

Para o câlcllo das derivadas segundas que aparecem nas equaçoes

(111-17) a (III-20) são usadas as equaçoes (lII-6) e (IIl-7)

definidas agora para os pontos do contorno e discretizadas con

venientemente.

Fluido :

ae a,

- 4 B Nu (8 - e•)

Page 38: l fr CVn'e-0 0.;J,

28

Topo do tanque i 1

8 · M 1 - 8 · M 1, + l.,

tn

2 = l\Xz ( 8i+l,M - 8i,M) - 2 B Nu ( 8i,M+l +

Fundo do tanque

8i,M+l - 81,M =

ÍI T

Parede

08'

dT

Topo do tanque

8 8' - 8' ) + i,M - i+Np,M+l i+Np,M

J. = Np

- 8i+Np,M+l - 8i+Np,M)

+~e Nu (8 - 8') - F ~ Nu 8' eq

]. = 1

III-21

III-22

8i+Np,M+l - 8 i+Np,M =

ÍIT

f z ( 8' 8' ) + W llXZ i+Np+l ,M - i+Np,M

+ ~ C Nu l ( 8. M l + 8 - 8' -z 1, + i,M i+Np,M+l

1 8 ' ) ~ F ~ Nue q ( 8 ' + - i+Np,M z i+Np,M+l

+ 8! N M) III-23 1+ p,

Page 39: l fr CVn'e-0 0.;J,

29

Fundo do tanque i: Np

8 • - 8' i+Np,M+l i+Np,M: i; 2 e 8' - 8' ) + ; t:,Xz i+Np-1,M i+Np,M

Í',T

+ 1; e Nu 1

( 8i. M+l + 8. M - 8' -z , i, i+Np,M+l

- 8' ) ~ F i; Nu l ( i+Np,M eq z 8' + i+Np,M+l

+ 8' ) i+Np,M III-24

O sistema de equaçoes algébricas

constituido pelas equações (III-15), (III-16) e

lineares,

(III-21) a

(III-24), será resolvido pelo método iterativo de Gaus~-Seidel,

Carnahan8 (Ap~ndice C),

III.2.2.2 - Ope~ação de Re66~iamento Natu~al

Com a substituição da equaçao (III-13) nas

equaçoes (III-6) e (III-7), e considerando-se a velocidade do

fluido no interior do tanque como sendo nula, obtem-se o sis­

tema:

a8

dT

a8'

OT

-cr (8-8') 4/ 3 1

O < X < 1

: f a 2 e' + cr (8 - e') 4 / 3 - i; F w7 2

O < X < 1

Nu eq

T > Ü

T > Ü

8'

III-25

III-26

Page 40: l fr CVn'e-0 0.;J,

onde:

a1

= 0,52 B ( Gr0

Pr) l/ 3

a2

= 0,13 ~ C ( Gr Pr )l/ 3

30

As equaçoes (III-25) e (III-26) sao discreti

zadas para os pontos internos do reservatório, a seguir :

Fluido

8 · M 1 - 8 · M l., + l., = 8i-l,M+l - 28 i,M+l + 8i+l,M+l +

211X

e

+ 8i-l,M - 28 i,M + 8i+l,M 8i,M+l + 8 i,M

- a 1 ( -~------'--2!1X 2

8' + 8' i+Np,M+l i+Np,M )4/3

2

2 < i < Np - 1 M > O

1 1 1 + --:-::7 ) 8 i M+ 1 + ( - + 1 )8 1 8 -

nT nx ' ·6T l'IXZ i,M - 211 Xz i-1,M+l

1 1 1 8i+l,M+l 8i-l M 8i+l,M + - 26X 2

.;.

2nX 2 - 26X 2 '

8i,M+l + e. M 8' + 8' ) 4/3 + ª1 e l, i+Np,M+l i+Np,M = o

2 2

2 < i < Np - 1 M > O III-27

Page 41: l fr CVn'e-0 0.;J,

31

Parede

8'. M 1 - 8'. M e J., + J., = s e

8 '. 1 M 1 - 28 '. M 1 + 8 '. 1 M 1 J.-,+ J.,+ 1.+,+

e

i;

+

+ !n W 2nX

+ 8i-l,M - 28 i,M + 8 i+l,M ) +

zr:,.x

+ ªz e 8i-Np,M+l + 8i-Np,M

2

0' + 0' ) i,M+l i,M

8i,M+l + 0LM)4/3

2

Np + 2 < i < 2 Np - 1 M > O

1 + _i;_ +

r:,., wnx 2 i; F Nu 1

) 8 i M+ 1 + ( - + 2 , t,. "[

F Nueg, 8'. M

i; e 8' 8' 8i-l,M ) - + + + 2 ]. , 2wnxL i-1,M+l i+l,M+l

8 i-Np,M+l + 8 i-Np,M 8 '. M 1 + 8'. M )4/3 8 '. 1 M ) - G e ]. , + ]. , o ]. + , 2 2 2

Np + 2 < i < 2 Np - 1 M > O III-28

Para o cálculo das derivadas segundas que

aparecem nas equações (III-17) a (III-20) são usadas as equa­

ções (III-25) e (III-26) definidas agora para os pontos do con

torno e discretizadas convenientemente.

,

Page 42: l fr CVn'e-0 0.;J,

Fluido

38

3T

Topo do tanque

32

a (e - 6') 4/ 3 1

1 = 1

6 · M 1 - e. M J., + l., 2 = -z c_ei+l M -

t,X '

Fundo do tanque

8i,M+l - 6i,M = !:,T

Parede

Topo do tanque

e' + e' i+Np,M+l i+Np,M )4/3

2

i = Np

2 t,X2 ( 6i-l ,M

e' + e' i+Np,M+l i+Np,M) 4/3

2

+ a 2 (•e - 8 ' ) 4

/ 3 - 1:;, F Nu 8 ' eq

i = 1

8' - 8' i+Np,M+l i+Np,M = ç, z ( 8' - 8' ) + W t,Xz i+Np+l,M i+Np,M !:,T

III-29

III-30

Page 43: l fr CVn'e-0 0.;J,

33

e' + e' i+Np,M+l i+Np,M )4/3 _

2

e' + e' ) i +Np ,M+l i +Np ,M III-31

Fundo do tanque 1 = Np

e' - e' i+Np,M+l i+Np,M =

6. '[ 8' - B' ) i+Np-1,M i+Np,M +

8 ·M1+e.M e 1, + l,

+ ªz 2

e' + e' i+Np,M+l i+Np,M )4/3 _

2

(e , +e' ) . N M 1 . N M 1 + p, + 1 + 'P, III-32

As equaçoes (III-27) a (III-32), constituem

um sistema de equações algébricas não lineares e será resolvi

8 do pelo método iterativo de Newton-Raphson, Carnahan (Apêndi-

dice D).

A operaçao de resfriamento natural, foi tam-

7 bem estudada teórica e experimentalmente por Blay , para um

tanque, contendo 1 m3

de fluido orgãnico trabalhando a temper~

turas entre 509C e 2209C.

Page 44: l fr CVn'e-0 0.;J,

34

III.2.2.3 - Ca~o Pa~t{cula~: a temperatura da parede do reser-

vatõrio ê considerada constante nas operaçoes de

carga e descarga.

Nesta situação considerando um modelo u-

nidimensional e o referencial posicionado no fundo do tanque a

temperatura do fluido será determinada a partir da equaçao :

3T P CP at

p C u oT - Q ( x,t) P ax

o < X < H t > o III-33

Como condições de contorno e incial, sera con

siderada uma variação degrau para a distribuição inicial de tem

peratura nas operações de carga e descarga.

Carga

T ( x,t); Tmax X ; X o t > o

lim T (x,t) T . min t > o x-+-oo

T ( x,O )

Descarga

T . min X > Ü

T(x,t) T . min X ; X

o

1 im T ( x, t ) ; T max

x-++oo

T ( x,O ) ; T rnax

t > o

X > Ü

* condição de contorno fixada por Cabelli 4

t > o

III-34

* III-35

III-36

I II-3 7

III-38

III-39

Page 45: l fr CVn'e-0 0.;J,

onde:

35

Q (x, t) = (T -T00)/ (D/ (4h) + D

2 ln (De/D)/ (SK') + D

2 / (4Deh

00)) :

Taxa de calor perdida para o meio ambiente, por

unidade de volume do fluido.

h calculado a partir da equação (III-11).

T . m1n Temperaturas do fluido quente e frio res­

pectivamente.

x0

Posição de entrada do fluido quente ou frio no reser

vatório.

Para adimensionalizar o sistema de equaçoes

(III-33) a (III-39), serão utilizados os mesmos parâmetros defl

nidos no item (III-2.1), exceto a temperatura, que serã defini­

da como :

e ex,,) = T (x, t) - T . min

Após a adimensionalização (Apêndice E) do

sistema de equaçoes (III-33) a (III-39), resulta a equação:

ae dT

_ u ae ax

O < X < 1 T > Ü III-40

Sujeita às condições de contorno e inicial:

1. Para a operaçao de carga:

8 (X, T) = l X T > Ü III-41

Page 46: l fr CVn'e-0 0.;J,

36

1 irn (X, T) ; o T > o III-42 X + - 00

e ex, o) ; o X > o III-43

2 . Para a operaçao de descarga:

e (X,T) ; o X ; X o T > o III-44

lirn (X,T) ; 1 T > o III-45 X + + 00

8 ex, o) ; 1 X > o III-46

onde:

'!' H2

/ (K D/ (4h) + K D2 .C.n (De/D)/ (SK') +.. KD 2 / (@ h ) ) o e oo

A operaçao de carga, foi resolvida analitica 4

mente por Cabelli usando o método da Transformada de Laplace

e considerando a temperatura mínima do fluido de trabalho corno

a temperatura do ambiente no sistema de equações (III-40) a

(III-43). Neste trabalho a equação (III-40) é resolvida pelo

mesmo método (Apêndice F), porém sem a restrição de temperatura

mínima resultando:

8 ( X,T ) ; 0,5 ( exp ((,X - Xº ) ( cl - cz )) erfc CC Xº - X )/( Zv'T) -

- C/T) + exp CC Xº - X) ( cl + cz )) erfc CC Xº - X )/(2/r)+

+ cl/r)) - ~ ( 1 - exp (-'!' T ))/'!' + ~ /2 ( exp CC X - X) o o o o o

Page 47: l fr CVn'e-0 0.;J,

37

- x )! e 21r) - e c2 / Ir) III-47

onde:

C l = / ( U2

+ 4 '±' 0

) / 4 , C z = U/ 2

2 , c4 = U/2 - U /4

C = U4/16 - ( U

2 + 4'±' )/ 4 5 o

O sistema de equaçoes (III-40), (III-44) a

(III-46), representa a operaçao de descarga, que não foi anali­

zada por Cabelli4

, cuja solução; obtida pelo m;todo da Trans­

formada de Laplace (Apêndice G ), produzindo:

€ (X,T)= - 0,5 ( exp ( -'±' T) erfc ((X-X)/( Zff) -o o

- C 2 ff ) + exp ( ( X - X0

) U - '±' 0

T ) erfc ( ( X -

+ 2'±' ) ( exp ( -C 6T ) - exp ( -'±' T ) ) + <jJ / 2 ( exp o o o

( ( X - X0

) ( C z - C1 ) ) / ( C l - ( C z ) z ) erfc (J X -

Page 48: l fr CVn'e-0 0.;J,

38

2 + C

1 ))/(C

1 + (C

2)) erfc (( X- X

0 )/( Zv'T) +

II I-48

onde:

c6 = ( uz + 4'!' )/ 2 o

cs = - 3 U2/16 + 'l' o

Page 49: l fr CVn'e-0 0.;J,

39

CAPITULO IV - EFICIENCIA TERMICA

IV.1 - In.vr.odu~~o

Keste capítulo sao apresentados alguns con­

ceitos básicos da termodinâmica e determinadas as eficiências

de um sistema de estocagern térmica para fluidos com ou sem es­

tratificação térmica, considerando a Primeira e Segunda Lei da

Termodinâmica. Através deste estudo pode ser analizada a possi

bilidade de um fluido contido num reservatório estocar energia

sob forma de calor, corno também de apresentar urna disponibili­

dade em termos de trabalho Útil que poderá dai ser retirado.

A máxima quantidade de energia sob forma de

calor que um líquido num reservatório pode estocar depende de

vários parâmetros corno: características físico-químicas do flui

do (que podem ser denominadas

peraturas máxima e mínima, T e T . respectivamente, neces rnax rnin

sárias ao bom desempenho do sistema de estocagern e do subsiste

ma de conversão termodinâmica:

X ) n IV-1

Após um tempo t, a quantidade de energia térmica

contida na unidade de estocagern é urna função das característi-

cas térmicas do tanque

... ' X ' n T

max'

... ' z , e também dos rn pararne-

Trnin' da temperatura ambiente T0 e

do fluxo de massa que cruza a fronteira do volume de controle;

IV-2

Page 50: l fr CVn'e-0 0.;J,

40

Mas, para um sistema de estocagem, nao é im­

portante somente a sua capacidade de estocar energia térmica,

mas também a possibilidade que este sistema possui de armaze­

nar trabalho útil. Supondo B'e B' como os trabalhos disponí-max

veis estocados, quando as energias forem E e E , respectiva­max

mente tem-se:

B' = B' ( T . , T max max m1n max' X ) n

IV-3

e

B'=B'( T., T , xl, xz, ..• X, Zl, zz, ..• Z, t, TO' m) ·JV-4 run m~ m m

IV,2 - Ene4g~a e e6~c~ênc~a tê4m~ca do -0~-0tema de e-0tocagem, a

pa4ti4 da P4ime~4a Lei da Te4modinâmica

A massa no interior de um volume de controle

considerado no fluido é, constante pois os fluxo do fluido que

sai é igual ao fluxo de fluido que entra, nas situações de car

ga e descarga, ao passo que nenhuma massa abandona o sistema

na situação de resfriamento. O problema fica então reduzido ao

estudo da capacidade que uma massa constante no interior do

reservatório tem de conservar energia térmica.

Considerando um fluido imcompressível a ex­

pressao da energia conservada em um sistema fechado entre dois

estados quaisquer, desprezando-se as variações de energia ciné

tica e potencial, será:

E = M' i'>u'. l

IV-5

Page 51: l fr CVn'e-0 0.;J,

onde:

41

M' : Massa do fluido no interior do tanque.

nu'.: Variação da anergia interna específica do fluido no l

interior do tanque, entre dois estados ( i = 1, 2 ).

Também, sendo C independente da temperatura: p

nu'= e nT p

IV-6

Considerando que o fluido no interior do re-

servatório se apresenta estratificado num instante t ( porem

mantendo uma temperatura constante em pequenos elementos de

altura nH ), ele apresentará num tempo subsequente tf. 1 uma ina temperatura homogênea e de referência T .. Pode-se então, es­min crever para a variação da energia interna total da massa de

fluido no tanque, entre os instantes t e tfinal:

M ( u' t

u' ) = U' tfinal t

U' = pAC tfinal P O

J H ( T ( x, t) - T . ) dx min

onde:

A Área da seçao reta do reservatório.

IV-7

Portanto, a energia disponível entre um ins-

tante t qualquer e o instante t para a massa de flui-final' do estratificada no reservatório, será:

E = pAC 0

J H ( T ( x, t ) - Tmin ) dx t-tfinal p

IV-8

Page 52: l fr CVn'e-0 0.;J,

42

Considerando que, T ( x,t) sera conhecida

para um numero limitado de pontos distribuídos com espaçamento

constante ao longo da altura do reservatório, a equação (IV-8)

pode ser escrita em forma de sornátorio finito:

onde:

E = pAC t-tfinal P

Np-1 ~

i=l

( T (x,t) - T. ) 6x. rn1n 1 IV-9

N Número de pontos distribuídos ao longo da altura, no p

centro do reservatório.

6X. = x. - x. 1 : Espaçamento constante entre os pontos. l l 1-

Quando toda a massa de fluido, no interior do

reservatório, encontra-se a mesma temperatura para cada instan

te de tempo (caso de nao ocorrência de estratificação), a equ~

ção (IV-8) ou (IV-9) torna-se:

E = t-tfinal

M'Cp ( T ( t ) - T . ) rn1n IV-10

Por outro lado, no instante em que a carga é

máxima, a temperatura do fluido no interior do tanque fica ho­

rnogenea e igual a T , e partindo de um estado inicial a T . , rnax rn1n

a energia máxima será:

E = E = M'C ( T 0-tf. 1 rnax p rnax 1na

T . ) rn1n IV-11

Considerando a massa de fluido no interior

do reservatório, pode se definir urna eficiência térmica atra­

vés da Primeira Lei da Termodinâmica como sendo a relação en-

Page 53: l fr CVn'e-0 0.;J,

43

tre a energia interna no instante t e a energia interna mâxi

ma suportada pelo sistema, tomando-se como base a energia in­

terna mínima (suposta nula);

a) caso da estratificação térmica

E t-tfinal

---""'cc.;;._..;;;;,.- =

E max

!H ( T ( x,t) - T. o min ) dx IV-12

b) caso da temperatura homogênea em cada instante de tempo

E max

T(t)-T. min

T - T max min

IV-13

IV,3 - T4abalho dihponlvel e e6ieiêneia tê4miea do hihtema de

ehtoeagem, a. pa4ti4 da Segunda Lei da Te4modinâmiea.

O trabalho disponível pode ser obtido atra­

ves da determinação da capacidade que uma massa constante no

interior do reservatório tem de realizar trabalho por um pro­

cesso reversível.

A expressao do trabalho reversível obtenível

de um sistema fechado entre dois estados quaisquer, despreza~

do-se as variações de energia cinética e potencial FABRY17 , e:

onde:

B' = M ' ( ( ut' - T s ) - ( Ut' - T s ) ) O t final O tfinal

IV-14

s tfinal

Entropia específica do fluido no interior

do tanque nos estados te tfinal respect!

vamente.

Page 54: l fr CVn'e-0 0.;J,

44

Para um fluido incompressível e com C indepe~ p

17 te da temperatura, Fabry :

ns e ln p

IV-15

O mesmo raciocínio utilizado na obtenção da

equaçao (IV-7), aplicado à determinação da variação da entro­

pia total da massa no interior do tanque, fornecerá a expres­

sao:

M' ( s -s ) = S - S = pAC t tfinal t tfinal P

f H ln T ( x, t ) dx o

IV-16 T­nun

Portanto, a expressao do trabalho entre um

instante t qualquer e o instante tf. 1 , para a massa estra 1na

tificada termicamente no reservatório, ê obtida substituindo­

se as equações (IV-7) e (IV-16) na equação (IV-14), produzin­

do:

B' = pAC p

t-tfinal

((T(x,t) -Tmin) .,.\ln T(x,t)) dx T . min

IV-17

No instante em que a carga for máxima tem-se:

B'

o - t final

= B' max

T. min

) - T ln o

T max

T. min

) H IV-18

Definindo~se então, uma relação entre o tra­

balho reversível no tempo t e o trabalho reversível máximo,

como Índice da capacidade da massa estratificada termicamente,

no interior do tanque de realizar trabalho, do tempo t até

Page 55: l fr CVn'e-0 0.;J,

45

t (que é a eficiência térmica do sistema a partir da Se-final

gunda Lei da Termodinâmica), pode-se escrever:

E e

B' t-tfinal

B' max

0J

8 ((T(x,t)-Tmin)-T0 ln(T(x,t)/Tmin))dx

;-'---------------------H((T -T. )-Toln(T /T. )) max m1n max min

IV-19

Quando a massa no interior do reservatório ,

apresentar uma temperatura homogênea, dependente do tempo, a

equação (IV-17), ficará reduzida à expressão:

B' t-tfinal

pAH((T(t)-T. min

) T ln T( t ) ) - o T. min

IV-20

Consequentemente, a eficiência térmica a Pª!

tir da Segunda Lei para a massa termicamente homogênea no inte

rior do reservatório, torna-se:

B' t-tfinal ( T ( t) - Tmin) - T0 ln ( T ( t )Ir min 1 ; ______________ _

( T - T . ) - To ln ( T /T . ) max m1n max m1n IV-21

Por outro lado, a temperatura instantânea me

dia do fluido T (t) pode ser determinada a partir das tempera­

turas do fluido estratificado, pela relação:

T ( t ) 1

H

H

0! T ( x,t) dx IV-22

Portanto, conclui-se que, para os mesmos va­

lores de T , T . e iii, a eficiência térmica pela Primeira Lei max m1n

da Termodinâmica é a mesma, tanto para o fluido estratificado

quanto para o fluido com uma temperatura instantânea homogênea,

para qualquer instante de tempo.

Page 56: l fr CVn'e-0 0.;J,

46

Por outro lado, usando-se as.equaçoes (IV-19)

e (IV-21), juntamente com (IV-22), demonstra-se que para as

mesmas T , T. em, a eficiência térmica do fluido estrati­max min

ficado, pela Segunda Lei da Termodinâmica, é em qualquer ins-

tante de tempo, maior do que aquela para o fluido

(Apêndice H), ou seja:

E 'f· d > Eh -estrati ica o omogeneo

homogêneo,

IV-23

Page 57: l fr CVn'e-0 0.;J,

47

CAPITULO V - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

V.1 - Int4aduçãa

Nos capítulos precedentes foi proposto e an~

lisado um modelo matemático objetivando a simulação das opera­

ções de carga, descarga e resfriamento natural de um fluido em

um reservatório.

Procurou-se formular o modelo de forma a mais

geral possível, de modo a aproximar os resultados teóricos e os

dados experimentais, a níveis de precisão aceitáveis.

O fluido de trabalho utilizado nas operações

de carga, descarga e resfriamento, foi o Óleo "Gilotherm TH",

cuja temperatura de ebulição à pressão atmosférica é de 3609C,

Os resultados foram obtidos para uma vazao

constante (carga 1,85 kg/s e descarga 1,04 kg/s), e as temperatu­

ras do Óleo variando entre 25Q9C e 3309C na carga e de 2QQ9C

a 3309C na descarga, enquanto no resfriamento natural a varia­

ção foi entre 3309C e 3609C,

Com a finalidade de comparar os resultados

teóricos obtidos com o modelo semi-empírico desenvolvido com

os dados experimentais disponíveis na literatura (6), foram a­

dotadas as mesmas características de tipo de fluido, regime de

escoamento, nível de temperatura, reservatório de aço (cilindro

vertical de diãmetro interno 2,Sm e altura 6m) e miterial iso­

lante (lã de rocha de espessura 0,08m) assim como as condições

ambientais (temperatura ambiente 0,3ºC).

Embora o método implícito de Crank-Nicolson,

utilizado na solução numérica do modelo, seja estável para to-

Page 58: l fr CVn'e-0 0.;J,

48

2 8 dos os valores da razao À= ~T/~x Carnahan, para valores de

À > 2,5 (~T > 0,0173) ocasionava uma divergência nos res_llLtados,

o que poderá ser devido a uma aproximação imprecisa da deriva­

da primeira das temperaturas em relação ao tempo (ô8/ôT), como

citado por Smith18 .

Para obtenção dos resultados através da via

numérica, utilizando um computador Burroughs B6700, na operação

de carga como na descarga, foi necessário um tempo de process~

menta igual a 9,0 segundos, enquanto que na operação de resfri

amento foi de 180 segundos.

Neste capítulo, pretende-se analisar os re­

sultados obtidos seguindo basicamente quatro procedimentos:

- A precisão entre os resultados obtidos com o modelo propos­

to e os dados experimentais.

O comportamento do gradiente de temperatura na parede inter­

na do reservatório.

- A disponibilidade térmica do processo de estocagem, por es­

tratificação e homogeneização do fluido de trabalho, em rela

ção a Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica.

- A influência das características físicas e geométricas do re

servatório e do fluido de trabalho, no processo de estocagem.

Na operação de carga, o fluido quente entra

no topo do reservatório através de difusores, ocorrendo odes­

locamento da frente quente para o fundo do reservatório. O com

portamento desta operação é mostrado nas figuras (V-la,b,c)

(V- 2) , (V- 3) , (V-4) e (V- 5) .

As figuras (V-6a,b,c), (V-7), (V-8), (V-10),

(V-11) e (V-12), apresentam o comportamento da operação de des

Page 59: l fr CVn'e-0 0.;J,

49

carga ou seJa o fluido frio é injetado pelo fundo do reservató

rio, através de difusores, deslocando a frente quente para o

topo do reservatório.

O comportamento da operaçao de resfriamento

(aus~ncia de carga e descargaj é apresentado nas figu~as (V-13),

(V-14), (V-15), (V-16) e (V-17).

V.2 - Ope4ação de Ca4ga

A medida do tempo real na operaçao de carga

teve início a partir do tanque completamente descarregado

(t; 0,0S), mas o registro dos dados experimentais (6), foi i­

niciado (t; 0,0S) com o tanque parcialmente carregado, produ­

zindo urna defasagem de tempo de aproximadamente 1000 segundos

entre o tempo real de carga e o experimental, corno é mostrado

na figura (V-4), comparando-se os perfis de temperatura por s~

lução numérica para os instantes 1000 e 2000 segundos e os da­

dos experimentais apresentados para os instantes 0,0 e 1000

segundos.

Com o perfil inicial em degrau de temperatu­

ra em H; 6m (tanque completamente descarregado) e consideran

do-se a defasagem de tempo de 1000 segundos, são mostrados nas

figuras (V-1a,b,c) os perfis de temperatura por solução analí­

tica para os instantes 4000, 5000 e 6000 segundos respectiva­

mente, correspondentes aos dados experimentais apresentados p~

ra os instantes 3000, 4000 e 5000 segundos.

Os perfis de temperatura na operação de car­

ga, por solução numérica para os instantes 3000, 4000 e 5000

segundos (considerando o perfil inicial de temperatura corno

Page 60: l fr CVn'e-0 0.;J,

50

igual ao perfil experimantal no instante 2000 segundos), bem

como os dados experimentais (6) relativos aos mesmos instantes,

são também apresentados nas mesmas figuras (V-la,b,c) respect~

vamente.

Pode ser visto nas figuras (V-la,b,c), que o

perfil de temperatura fornecido pela solução numérica é o que

mais se aproxima dos dados experimentais. O erro máximo encon-

trado para os pontos fora da região de tansição é da ordem

1%; enquanto que na região de transição está na ordem de

devido ã influência de alguns fatores como:

de

7 ~ o ,

a) Os termopares utilizados na obtenção dos dados experimen-

tais, possuem tempo de resposta muito grande em relação ao

tempo de passagem da frente quente.

b) o espaçamento entre os termopares é maior do que a espessu­

ra da região de transição, impossibilitando a localização

precisa desta região.

c) o elevado gradiente de temperatura nesta regiao provoca uma

difusão de calor entre as camadas, o que gera uma zona de

mistura nao prevista no modelo proposto.

d) o uso de correlações ~ impiricas na formulação do modelo, im-

plica em simplificações que afetam os resultados obtidos.

e) As perturbações provocadas pela concepçao dos difusores uti

lizados no experimento, nao sao previstas no ~odelo.

A medida que a frente quente se aproxima do

fundo do reservatório, a solução numérica se afasta dos dados

experimentais, sendo que a solução analítica distancia-se ainda

mais, figura (V-lc) isto devido a zona de turbulência neste lo

Page 61: l fr CVn'e-0 0.;J,

H(m}

5

4

2

H(m)

8

4

2

51

t • 2000 S

t= 4000S ""

\. - . =-· _..,.. __.:::::: . _,,---

// V

230 255 280 305

/" / 1

1

i J

/

t • 5000 S

o ) Perfis de temperatura do fluido no centro do tonque

'S.2000 s--- / t=sooos ~

'r-~--.-1

El

230 255 280 305 330 T (•e)

b) Perfis de temperatura do fluido no centro do tanque

Figura V· 1 Operação de carga

T1mp1raturo ambiente e 0,3 •e ; vaz.c!o • 1,as Kg/s e R• = 2 1 04 x 1o'l

Perfi I inicial i Perfil H.p1rint1ntal Perfil por solução numer(ca Perfil por 101u;ão anol(tico

EJ Dados experimentais. cNRs6

Page 62: l fr CVn'e-0 0.;J,

H(ml

6

s

4

2

230

52

Temperotura ambiente : o,s•c; vozão ,., 1,85 Kg/a

----Perfil inicial'= Perfil experimental

---Perfil por solução numdrico

-·-·-Perfil por solução onolitico C:J Dados experimentais, CNRS6

·~ -- ------- t= 6000 s

-~·-·-· t= socos

255 280 ,os

/

·-/

330

Figuro V-IC Perfis de temperatura do fluido no centro do tanque no operação de cargo.

H!ml

6

5

4

2

230

Figura V· 2

--- Temperatura do fluido.

- - - - Temperatura do pored e i ntemo.

/ I

/

255

-

-

--2 80

/

,os

I /

t I I I

/ I

330 T[ºC}

Perfis de temperatura do fluido e do parede interna do tanque

poro a operação de descargo, pela solução numérica.

Temperatura cmbiente = 0,3ºC i Vazão = 1,es Kg/s

Page 63: l fr CVn'e-0 0.;J,

53

cal, provocada pela extração do fluido frio.

O perfil de temperatura correspondente aso­

lução analítica do modelo proposto simplificado, coincide com

os dados experimentais na região fria, afastando-se dos mesmos

nas regiões quente e de transição, urna vez que naquela região,

o fluido quente que desce encontra a parede interna do reserva

tório ainda com a temperatura de equilíbrio com o fluido frio.

Na operação de carga, a frente ·de fluido

quente, se desloca para o fundo do reservatório, em contato com

a parede interna fria, produzindo um elevado gradiente de tem­

peratura transiente, entre o fluido e a parede, corno mostra a

figura (V-2). Este fator nao é previsto no modelo proposto sim

plificado, que considera constante a temperatura na parede in­

terna do reservatório.

Este efeito é mais pronunciado na camada quen­

te, figuras (V-la,b,e) causando, nesta região, as maiores dis­

crepâncias entre os resultados experimentais e aqueles obtidos

pelo modelo simplificado.

Os perfis transientes da temperatura na par~

de interna do reservatório, durante a operação de carga, para

os instantes 3000, 4000 e 5000 segundos, obtidos pela solução

numérica são mostrados na figura (V-3).

Devido a inexistência de dados experimentais

para a parede do reservatório, adotou-se corno perfil inicial a

temperatura tal corno medida no centro do tanque. Observa-se

então, que após um certo tempo, o próprio modelo se encarrega

de corrigir estes perfis, com um efeito aparente de decréscimo

e posterior recuperação das temperaturas.

Observa-se também na figura (V-3), um eleva-

Page 64: l fr CVn'e-0 0.;J,

H(mJ

6

4

2

230

Figuro V· 4

1

1 i----t· o.o s

1

1

1

1

1

1

1

Q

255

54

l'il

til Dados experimentais para t; o.os

Q Oodo1 experimentais poro t = 1.000 s

Perfil de temperatura inicial do fluido

Temperoturo ambiente = 0,3°C ~vazão= ~es ICg/s

___ Per-fil de t.mperaturo por solw;õo num,rico

280 305 330

Perfis de temperatura por solucei, numerica. no operação de cargo, considerando o tanque descarregado totalmente no instante inicial.

Page 65: l fr CVn'e-0 0.;J,

H(ml

5

4

3

2

230

Figuro v~ 3

eo

70

60

50

o

Figuro \J-_s

55

I I

·~----= 5000

255 280 T("c l

Perfis de temperatura na parede interna do tanque durante o operação de e ergo.

Temperati,o ambiente = °'3ºC, ·vazão= 1,es Kgts

Perfil inicial'= Perfil de temperatura experime'ltol do fluido no centro do tanque. Perfis por solução numérica

Primeiro Lei do Tennodinâmico

Lei do Termodinâmico

2 3 4 5 tx103(sl

Eficiência térmico poro o fluido no interior de tanque ,no operação de cargo.

Temperatura ambiente 0,3?;; vazão = 1,85 Kg Is Fluido homogêneo Fluido e:strotiticado.

Fluido estrotifi cedo termicomr.nt~.

Fluido homogêneo termicomente.

Page 66: l fr CVn'e-0 0.;J,

56

do gradiente de temperatura axial transiente na parede do re­

servatório. Este comportamento gera um acúmulo de tensões tér­

micas na parede do reservatório e no isolante, , exigindo uma

atenção especial por parte do projetista, na escolha dos mate­

riais constitutivos e na construção do reservatório. Para o

cálculo destas tensões térmicas é necessário o conhecimento dos

perfis transientes de temperatura, o que é fornecido pelo mode

lo.

A partir de um perfil inicial em degrau de

temperatura para o fluido (tanque completamente descarregado).

figura (V-4), portanto diferente do perfil inicial até agora

considerado, obteve-se o perfil de temperatura no tempo t = 1000

segundos, que coincide razoavelmente com o perfil considerado

inicial no experimento. Comparando-se então o perfil numérico

no tempo t = 2000 segundos, com o perfil experimental considera

do a 1000 segundos, pode-se observar a boa concordância de am­

bos os pares de curvas.

Observa-se, ainda na figura (V-4), um erro

da ordem de 4%, entre o perfil de temperatura calculado e os

dados experimentais, para os pontos localizados na região de

transição, enquanto que os pontos fora desta região apresentam

um erro máximo de 1,5%. Embora as causas possam ser as mesmas

citadas na análise das figuras (V-la,b,c); a pequena diferença

entre os erros obtidos neste estudo e os encontrados nos estu­

dos anteriores (região de transição 7% e pontos fora desta re­

gião 1%), deve-se ao fato de que os perfis de temperatura num~

ricos da figura (V-4), não correspondem exatamente aos perfis

experimentais do mesmo instante real do tempo .. E essa corres­

pondência é muito difícil de ser obtida com precisão.

Page 67: l fr CVn'e-0 0.;J,

57

Na figura (V-5), é apresentado o comportame~

to da eficiência térmica com o tempo, pela Primeira e Segunda

Lei da Termodinâmica para o fluido estratificado e homogêneo

termicamente, durante a operação de carga, observando-se que:

1. As eficiências aumentam com o tempo, nesta operação.

2. A eficiência, pela Primeira Lei da Termodinâmica é maior que

a eficiência pela Segunda Lei da Termodinâmica para fluido

estratificado e esta maior que a eficiência pela Segunda

Lei da Termodinâmica para o fluido homogêneo termicamente.

3. Pela Primeira Lei da Termodinâmica, tanto o fluido homogê­

neo como o estratificado possuem a mesma eficiência, pois

esta lei considera somente o balanço energético no interior

do reservatório.

4. Ao se considerar a taxa de energia interna do reservatório

que pode ser convertida em trabalho, encontra-se uma dife­

rença entre as eficiências calculadas para o fluido estrat!

ficado e homogêneo, pois a homogeinização implica em aumen­

to da entropia do fluido no interior do reservatório.

Analogamente a operaçao de carga, na descar­

ga também ocorre uma defasagem de tempo de 1000 segundos entre

o tempo real de descarga e o experimental, como mostrado na

figura (V-8) pelos perfis de temperatura por solução numérica

para os instantes 2000 e 5000 segundos e os dados experimen­

tais apresentados para os instantes 1000 e 4000 segundos.

A partir de um perfil inicial em degrau de

Page 68: l fr CVn'e-0 0.;J,

58

temperatura em H = 0,0m (tanque totalmente carregado) e consi­

derando-se a defasagem de tempo de 1000 segundos, são aprese~

tados nas figuras (V-6a,b,e) os perfis de temperatura por sol~

ção analítica para os instantes 2000, 3250 e 5000 segundos

respectivamente correspondentes aos dados experimentais apre­

sentados para os instantes 1000, 2250 e 4000 segundos na oper~

ção de descarga.

Nas mesmas figuras (V-6a,b,e) sao mostrados

os perfis de temperatura por solução numérica para os instantes

1000, 2250 e 4000 segundos respectivamente (considerando-se o

perfil inicial de temperatura como igual ao perfil experimental

no instante 0,0 segundos), assim como os dados experimentais

(6) para os mesmos instantes de tempo na operação de descarga.

Observa-se que a solução numérica nesta ope­

raçao, está mais próxima dos dados experimentais, do que na

operação de carga. Isto pode ser devido à redução da vazao

1,85 kg/s na carga, para 1,04 kg/s na descarga, o que implica

em diminuição da velocidade da frente quente, permitindo uma

maior tolerância no tempo de resposta dos termopares.

O erro máximo encontrado nos pontos fora da

região de transição foi da ordem de 0,5% (na operação de carga

1%), enquanto que para os pontos na região de transição, foi

de 6% (na operação de carga 7%). Nota-se que os erros para os

pontos fora da região de transição caíram à metade, enquanto

que os erros para os pontos na região de transição sofrera~ p~

quena queda (-1%), uma vez que estas discrepâncias não dependem

somente da vazão utilizada, mas também dos parâmetros expostos

no item (5-2a,b,e,d).

Na operação de descarga, a solução analítica

Page 69: l fr CVn'e-0 0.;J,

H(m]

6

5

4

3

2

o

H(m)

6

5

4

3

2

o

59

O Dados experimentais po,o t=LOOOs

t=2000S t= 1000s t= O Os •

L \_.-·-\--·-·-·-;r/ ,-·-· ·--·--· \ / . . / ---- - -----200 225 250 275 300 325

ai Perfis de temperatura do fluido no centro do tanque

O Dados experimentais poro t= 2250S

t=3250 s t= 22 sos El

'\. t= oos

.,,,... _"\--==. ~~·=·=· =~· ~---=·-~---::::::--· ~-El ------ ----- --

200 225 250 275 300 325

bl Perfis de temperatura do fluido no centro do tanque.

Figura v-s o peracôõ de descargo

Tfluido: Solução numêrica

Tfuido; Solução analítico

Perfil inicial'= Perfil experimental

Temperatura ambiente = 0.3ºC ; Vazão:: 1,04 Kg/s ( Re = 1, 16 x 10')

TlºC}

1'1ºc>

Page 70: l fr CVn'e-0 0.;J,

H(ml

6

5

4

3

2

o 200

Figuro V- 6 e -

H(m)

6

5

4

2

60

8 Dados experimentais poro t::4.000s

t=OOs

--- _2 --- ---225 250 275 300 325 TlªC}

Perfis de temperatura do fluido no centro do· toOQue na operacão de descargo.

Tfuido

Tf1uido

Solução

Solução

nume'rico

onoli'tico

- - -- Perfil inicial : Perfil experimental

Temperatura ambiente = 0,5-C , vazão= 1,04 K9/s

t=4000 s

t=2250S

t=t 0005

-----~·

1

1

1

1

J

__ -- --..........._,=aos .----- .

o 200

Figuro V-7 -

225 250 275 300 325 T(ºC}

Perfis de temperatura no parede interno do tanque durante a operação de

descargo. Perfil inicial'= Perfil experimental : Perfil de temperatura do fluido no centro do tanque. Perfis de temperatura

Temperatura ambiente = 0.3 ºe ; no parede interno , por solucei:> vazão= t,04 Kg/s

nume'rico.

Page 71: l fr CVn'e-0 0.;J,

61

do modelo proposto simplificado aproximou-se mais dos dados ex

perimentais, no topo do tanque e na zona de transição ao con­

trário do que na operação de carga, isto devido a causas tais

como:

a) A redução na vazao deminui o efeito de mistura e consequen­

temente implicou num decréscimo na espessura da zoria de

transição.

b) A frente fria ao subir, encontra a parede interna do reser­

vatório ã temperatura do gradiente de equilíbrio, ou seja

razoavelmente inalterável, o que satisfaz a uma das hipóte­

ses do modelo simplificado.

A figura (V-7), apresenta os perfis de temp~

ratura transiente da parede interna do reservatório, para os

instantes de tempo 1000, 2250 e 4000 segundos, onde observa-se

que:

1) O perfil inicial de temperatura na parede interna, adotado

como igual ao perfil do fluido no centro do reservatório,

não corresponde ã realidade, uma vez que ocorre uma queda

brusca de temperatura entre o instante inicial e o primeiro

perfil calculado, o que nao ocorre com os demais perfis.

2) Ocorreu um gradiente de temperatura axial maior do que na

operação de carga. Isto ê devido ao fato de que, se antes

da chegada da frente fria, a parede interna perdia calor a­

penas ao ambiente, no instante da transição, a parede esta­

rá com temperatura maior do que a do fluido frio e a do

meio ambiente, o que faz com que ela perca calor para o

fluido e para o ambiente. No momento em que a temperatura da

parede igualar a temperatura do fluido, a perda de calor

Page 72: l fr CVn'e-0 0.;J,

62

dar-se-á apenas para a atmosfera, com um decréscimo ainda

maior da temperatura da parede com relação à do fluido, até

o estabelecimento do gradiente de equilíbrio.

Este elevado gradiente de temperatura tran­

siente axial, causa o aparecimento de tensões térmicas nesta

região do reservatório, como na operação de carga. Entretanto,

na operação de descarga, este fenômeno é ainda mais importante

do que nos outros casos.

A figura (V-8), apresenta seis perfis de te~

peratura transiente do fluido, quando o perfil inicial de tem­

peratura é considerado como uma função degrau (tanque complet~

mente carregado), além dos dados experimentais correspondentes

a dois instantes de tempo 1000 e 4000 segundos.

O perfil obtido através do estudo numérico

correspondente a 2000 segundos é o que mais se aproxima dos d~

dos experimentais para 1000 segundos, enquanto que aquele cor­

respondente a 5000 segundos é o que melhor se aproxima dos da­

dos experimentais para 4000 segundos, ou seja pode-se .afirmar

que as medidas experimentais foram registradas após decorrerem

aproximadamente 1000 segundos de descarga. A importância dessas

curvas e a mesma já explicada na operação de carga.

Os mesmos erros calculados entre a solução

numerica e os dados experimentais referentes aos testes anteri

ores tanto para os pontos na região de transição (-7%) quanto

fora desta (-1%), também se reproduzem aproximadamente na fig~

ra (V-8). As justificativas das discrepâncias são as mesmas da

análise da figura (V-la,b,c).

As figuras (V-9) e (V-10), apresentam a in­

fluência do Número de Nusselt equivalente (Nu ) que é função eq

Page 73: l fr CVn'e-0 0.;J,

5

4

2

o 200

Figuro V- 8

63

t= 6 000 1

t: 5000 1

tS: 4000 1

t• 5000 s

Q t=,ooo•

t= os

225 250 275 300 325 T('c)

Perfis de temperatura por solução numérica, na operação de descargo, considerando: o tanque carregado totalmente no instam, inicial.

Perfil de temperatura inicial do fluido Perfis de temperatura do fluido. por solução numérico

Dados experiment<1is Temperatura ambiente

-t::1QOOS1 ~t= 40001

0,3°C : vazão: 1,04 Kg/s

Page 74: l fr CVn'e-0 0.;J,

64

das características físicas e geométricas do reservatório e do

ambiente externo, nos perfis de temperatura na parede e no flui

do térmico.

O Número de Nusselt equivalente caracteriza

o efeito da energia dissipada através do isolante para o exte-

rior figura (V-9), e da energia conduzida axialmente

da parede, figura (V-10), na operação de descarga.

através

Para alto Nu , eq o gradiente de temperatura

entre a parede interna e o fluido térmico na figura (V-9), e

muito elevado no topo (região de fluido quente), onde ocorrem

as maiores parcelas de perdas de calor e diminui no fundo do

tanque (região de fluido frio), com menores perdas de calor,

ou seja, a temperatura da parede e sempre menor que a tempera­

tura do fluido e todo tanque perde calor (efeito condutivo).

Quando o Nu é baixo, figura (V-10), o gra­eq diente de temperatura entre o fluido e a parede e pequeno.

Porém, este gradiente no fundo do reservatório e negativo (te~

peratura da parede maior que a temperatura do fluido), ou seja,

a energia conduzida axialmente pela parede e maior que as per­

das térmicas (efeito capacitivo). Isto mostra claramente um

"curto circuito" entre o fluido quente e o fluido frio, por

meio da parede do reservatório.

Para a operação de descarga é apresentada na

figura (V-11), o comportamento da eficiência térmica, para o

fluido homogêneo e estratificado termicamente no interior do

reservatório, onde observa-se que:

1) A eficiência térmica tanto Primeira como Segunda Lei da Ter

modinâmica diminuem com o tempo.

Page 75: l fr CVn'e-0 0.;J,

Html

5

4

65

I 1 I I NUeq : 200

,.. ____ t.= 4000 s

t= 225015

1

1

1

1 I

/ 2 -· ---·-· ----

200

Figuro V-9 -

H(ml

6

5

4

3

2

200

Figuro v.10 -

- - - - --- --255 250 275 300 525 Tl"C)

influência do oito valor de Nueq nos. perfis e do parede interno do tanque na opera çõo numérico.

de temperatura do fluido de descargo, por soluc:õo

Perfil inicial: Perfil experimental i Tfluido i Tporede

Perfil de temperatura do fluido

Per-fil de temperatura do parede

vozõo::c 1,04 kg/s

NUeq :a 3 O

t•2250s

225 250 275 300 325 TlºCl

1nfluincia do t>oixo valor de Nueq nos perfis de temperatura do fluido e do parede interno do tanque no operocõo de descargo por soluç:õo numérico.

'Perfil inicial=' Perfil experimental: Tfluido 'S T parede

Perfil de tempe rotura do fluido

Perfil de temperatura no parede

Temperatura ambiente • 0,3ªC ; Vozão . 1p4 KGIS

Page 76: l fr CVn'e-0 0.;J,

66

2) Os perfis da eficiência pela Primeira Lei e Segunda Lei da

Termodinâmica para o fluido estratificado se aproximam en­

quanto os perfis pela Segunda Lei da Termodinâmica se afas­

tam, até o instante 4000 segundos.

3) A diferença entre as eficiências térmicas na descarga é maior

que na carga pela Segunda Lei da Termodinâmica.

Nas figuras (V-5) e (V-11), pode-se observar,

pela Segunda Lei da Termodinâmica, que quanto maior a estrati­

ficação térmica do fluido, maior o afastamento entre os perfis

de temperatura do fluido estratificado e homogêneo; o que evi­

dencia o uso do diafragma no interior dos reservatórios, sepa­

rando as regiões quente e fria.

A figura (V-12), apresenta o estudo numérico

realizado relacionando a queda da eficiência térmica com o au­

mento da relação altura-diâmetro do reservatório, pela Primei

ra e Segunda Lei da Termodinâmica para um fluido estratificado

termicamente no interior do reservatório.

de descarga feito

Segundo o estudo experimental com a operaçao 5 por Lavan , a eficiência térmica deveria au-

mentar com o aumento da relação altura-diâmetro (H/D). Na rea

lidade, isto é válido para descargas rápidas do fluido, quando

o calor perdido pelas paredes isolantes do reservatório pode­

ria ser desprezado. Portanto, na descarga rápida, a parede is~

lante em torno do reservatório se torna desnecessária, reprod~

zindo as condições do estudo de Lavan 5, o que caracteriza um

elevado Número de Nusselt equivalente (Nu ). eq

Porém nesta

condição, para descarga lenta, a eficiência térmica realmente

diminui, figura (V-12), pois as perdas térmicas são apreciáveis.

Page 77: l fr CVn'e-0 0.;J,

E tºlol

72,5

70.0

67.S

65.0

62.5

60.0

57.5

ss.o

52.5

50.0

47.5

45.0 o

~", "PRIMEIRA\LEI DA TERMODINÂMICA

,· <"· ," ,,

SEGUNOA LEI ' '\, · 0A TERMODINÂMICA'\, '\_

~. '\. '\.

'\.' '\. '\.

'\. '\

'

2 3

67

" " " ' " ' " 4 5 tx103<s)

Figuro v-11 • Eficiência termico poro o fluido no interior do tonQue, durante a operação de descargo.

Fluid:I homogêneo ou estratificado

Fluido estratificado

Fluido homogêneo

Temperatura ambiente ; o. ?iºC ; Vazão ; 1,04 K g/s

60

PRtMEtRA LEI DA TERMOD!NÃMICA

50 ·7· SEGUNDA LEI DA

·-·-. TERMODINÂMICA

40 2 3 4 H/0

Figuro v-12 - influência do retaçõo altura e dió'metro do tanque no eficiência térmico, dlronte o operoçáo de descargo.

fluido homogêneo ou estratificado Fluido e s trotificodo.

Temperatura ambiente: O?iºC ·, vozõo 1,04 Kg /s

Page 78: l fr CVn'e-0 0.;J,

68

V.4 - Ope~ação de Re-06~{amento

Os perfis de temperatura inicial, do fluido

por solução numérica e os dados experimentais para três instan

tes de tempo 2, 6 e 10 horas são apresentados na figura (V-13),

para a operaçao de resfriamento.

O erro máximo encontrado entre as temperatu­

ras calculadas pela solução numérica e os dados experimentais e

da ordem de 0.25%, para qualquer região do reservatório.

Observa-se que os pontos localizados na reg~

ao de transição não se afastaram diferentemente dos outros

pontos fora desta região, como ocorreu nas operações de carga

e descarga. Isto é devido à inexistência da influência, nesta

operação, de alguns dos fatores descritos na análise da figura

(V-1a,b,~). pois:

a) A frente quente (região intermediária), encontra-se estacio

nária nesta operação, fazendo com que o tempo de resposta

dos termopares nesta região não interfira nos resultados ob

tidos.

b) Inexistem zonas de misturas, ou seja, os difusores nao in­

terferem nesta operação.

c) Uma vez que o gradiente de temperatura na região de transi­

çao é muito mais suave do que nas outras condições de oper~

çao, o espaçamento entre os termopares pode ser maior.

É observado na figura (V-13), que o fluido

térmico, inicialmente estratificado, sofre uma homogeinização

térmica com o passar do tempo, enquanto cede calor ao meio am­

biente. Além disso, a homogeinização é mais rápida do que o

Page 79: l fr CVn'e-0 0.;J,

H(m}

6

s

4

2

Figura

H(m)

6

s

4

3

2

I!,.

330

1

I 1

li l l

330

Figuro V-14

11,,

/ /

/

69

0 o 1 1 I /

t::1oh t=en / /

/

/~,O.Oh

/ /

/ /

/ /

335 340 345 360 TlºCl

Perfis de temperatura do fluido no resfriamento

Temperatura ambiente = 0,3 ºe

oados ex.perimentais :

f; 10h

/ /

335

Perfil de temperatura inicial ': Perfil de temperatura experimento_! Perfis de temperatura do fluido : solução numérica

/

t= 6h

/ /.

I

! !

/

/ /

/

340

/ /

/

/ /

345

/

/ /

~''º·º"

1 I /

350 TlºCl

Perfis de temperatura do fluido e do parede interna no resfriamento.

Perfil inicial'= Perfil experimental~ T fluido = T parede

T fluido: solução num4rico

T parede: soltit;õo numérica

Page 80: l fr CVn'e-0 0.;J,

70

resfriamento do fluido.

Na figura (V-14), sao mostrados os perfis de

temperatura inicial, do fluido e da parede interna do reserva­

tório.

Nesta operaçao o gradiente de temperatura a­

xial na parede é menor do que o apresentado na carga e descar­

ga, figuras (V-3) e (V-7), amenizando os problemas de tensões

térmicas nas paredes do reservatório.

Observa-se, apôs dez horas de resfriamento,

que a estratificação térmica do fluido está prestes a desapar~

cer, ao mesmo tempo em que a temperatura da parede está próxi­

ma a temperatura do fluido.

E apresentado na figura (V-15), o estudo da

influência do Número de Nusselt equivalente (Nu ), no resfria eq

menta do fluido térmico, sendo que:

1) Para Nu nulo, ocorreu efeito capacitivo e a perda de calor eq

foi praticamente desprezível.

2) Para alto valor de Nusselt equivalente (Nu eq

= 20 O) , obser

vou-se um elevado gradiente de temperatura entre o fluido

térmico e a parede interna, o que acelerou as perdas de ca-

lor para o ambiente.

3) Para Nu = 43,3, representou-se as características do re­eq

servatôrio experimental, revelando-se este numa situação in

termediária superior.

Na figura (V-16), sao apresentados os perfis

de eficiência térmica pela Primeira e Segunda Lei da Termodinâ

mica para o fluido estratificado e homogêneo no interior dor~

serva tôr io, observando-se que a pouca estratificação do fluido,

Page 81: l fr CVn'e-0 0.;J,

71

.H{m)

6 !

5

I t= 6 h

/ Nu 00 • 200

4 / /

/ / 3

2 / / / /

315 320 325 330 335 330 345 350 T(•d

Figura V-15 - Influência do Nueq nos perfis de temperatura do fluido • do parede

e{%)

96

92

interno do tanque 1 no resfriamento.

Perfil inicial~ Perfil experimental ! Tfluido '= Tporede

Solução numérico

Tporede: Solução numérica

Nueq= 4313 : eorocter1stieos do tanque ensaiado experimentalmente

-...._ . .._:rimeira L\_e, da

'-:: ·-" ·-. Segunda Lei d~ -.::::.:

Termodinâmico

--Termodinâmico --. .._., -. -...;;:: ----

""'..;:: ·-·-•e+.-~~-..--~-~--~-~-~-~~-..---.------

o

Figuro V-16 -

2 3 4 6 7 • 9 Kl

Eficiência térmico do tanque experimental para o fluido

estratificado e homogineo termicomente. no resfriamento_

fhomogineo': 6 estrotificodo

E.estratificado

t -homogeneo

t(h 1

Page 82: l fr CVn'e-0 0.;J,

72

levou a uma diferença desprezível entre as eficiências pela

Segunda Lei da Termodinâmica, para o fluido estratificado e ho

mogeneo.

A figura (V-17), apresenta os perfis da efi­

ciência térmica tanto pela Primeira como pela Segunda Lei da

Termodinâmica, em função das características físicas e geome­

tricas do sistema de estocagem (Nu ), após seis horas deres-eq friamento.

Observa-se que, para um dado intervalo de

tempo de resfriamento, as eficiências diminuem para um aumento

do Número de Nusselt equivalente. Isto é devido ao fato que as

perdas de calor aumentam com o aumento de Nu e portanto, o eq

reservatório se resfria mais rapidamente com o tempo, para uma

mesma condição inicial.

'ºº

90 · ~ - . _ . - Prime,ro lei do termodin\_éimico

----- ·--·--·--...,; -....;: . -- . ----a: . ao -.;;;:: -..;;: ~ -- . -

--= ·-segundo lei da termodinâmico -._ -= · -70

60

so o IOO 200 500 400

Figura V-17 - Influência do Nueq na eficiência térmico do tanque. após seis horas de res_

friomento.

8 homogêneo; é-estratificado

E.estratificado

6 homogêneo

Page 83: l fr CVn'e-0 0.;J,

73

CAPITULO VI - CONCLUS0ES

VI..1 - Val{dade do modela e da~ me.;tada~ de ~aluç.ãa u;t{l{zada~

Os resultados obtidos e expostos no capítulo

anterior mostraram que, de um modo geral, o modelo proposto

podE simular as condições de estocagem por estratificação em

vaso, dentro de limitações que ocriío discutida~ mais adiante,

mas também, engloba todos os demais modelos da literatura, ge­

neralizando o problema da armazenagem de energia por calor sen

sível a estratificação de um fluido de trabalho.

As soluções analíticas desenvolvidas para as

operaçoes de carga e descarga, apresentam hipóteses mais res­

tritivas. Os resultados obtidos, concordam com os de Cabelli 4

e são mais gerais do que aqueles. Estes resultados tem a gran­

de utilidade de, devido às disparidades com os dados experime~

tais, mostrar a importância das hipóteses e condições de con­

torno, na modelagem do problema físico.

Para a operação de resfriamento, nao se pro­

curou desenvolver uma solução analítica com hipóteses restrit!

vas, como por exemplo, temperatura constante nas paredes, pois

tais hipóteses, uma vez que os fenômenos de perdas de calor

pelas paredes e consequente desenvolvimento de convecção livre

interna tornam-se muito importantes, e levariam a um afastamen

to ainda maior da realidade.

VI. Z - L{m{;taç.Õ e~ da ma dela

Tanto ao se procurar formular as hipóteses,

quanto ao se buscar solução para um modelo proposto, incorre-se

Page 84: l fr CVn'e-0 0.;J,

74

em simplificaçôes que iria naturalmente concorrer para um dis­

tânciamento de suas soluçôes com aquelas de resultados experi­

mentais,

Dessa forma, ao se utilizar para a operaçao

de resfriamento natural a correlaçio equação (III-9), se.é abri

gado a trazer para o modelo a restrição que o nGmero deGrashof

sera maior do que 109

, ou seja, deve-se garantir valores ade­

quadamente altos para o coeficiente da película na parede 1n­

terna do reservatório. Já para as operaçôes de carga e descar­

ga, a correlaçio empírica, equação (III-8), limita o modelo a

que o escoamento no interior do reservatório, apresente um nu­

mero de Reynolds entre 10 4 e 105 , o que implica num regime la­

minar próximo da transição. Um dos significados mais,importantes

dessa restriçio é que as turbulências que se desenvolvem nas

entradas e saídas do reservatório, devem ser o mais rápida e

eficientemente dissipadas. Este fato revela o enorme papel de-

sempenhado pelos difusores num processo de

estratificaçio.

armazenagem por

No modelo proposto, a parede metálica do ta~_

que foi considerada de espessura desprezível. Essa simplicaçio

implica em que o tanque a que o modelo se refere, nio trabalha

com fluido altamente pressurizado. Sob essas novas condiçôes,

que obrigariam ao aumento da espessura da parede metálica, não

apenas o gradiente de temperatura entre o fluido e o isolante

se torna um parâmetro importante, mas também ocorre o fenômeno,

já descrito em capítulo anterior, de que as camadas quente e

fria do fluido no interior do reservatório, seriam como que

curto-circuitadas pelo fluxo de calor axial na parede do tan­

que, o chamado efeito capacitivo, efeito de curto nio desejado

Page 85: l fr CVn'e-0 0.;J,

75

quando se utilizara estratificação térmica.

VI. 3 - Re..óul.tado.t, e. e.x..te.n.óÕe..ó -<.me.d-<.a.ta.ó

Em qualquer regime de operaçao, seja carga,,

descarga ou resfriamento, o aparecimento de tensões térmicas é

inevitável, tanto na direção radial, pela aplicação de materi-

ais diferenciados nas paredes, como na direção axial, devido

ao violento gradiente de temperatura que se estabelece entre o

topo e o fundo do reservatório.

Assim os perfis de temperatura apresentados

pelo modelo nao só revelam que as tensões térmicas obrigam a

um projeto do tanque de armazenamento mais cuidadoso do que se

poderia imaginar, mas também representam dados indispensáveis

ã própria determinação dos parâmetros estruturais de projeto.

Esses mesmos perfis podem, corno já referido

anteriormente, ser utilizados para a verificação da eficiência

dos difusores empregados num projeto real, urna vez que o mode­

lo é capaz de fornecer as curvas limite de estratificação para

difusores idealmente eficientes tanto na entrada corno na saida.

Por outro lado, se um dos objetivos princip~

1s da armazenagem e o de manter um alto nível de temperatura

no topo do tanque pelo maior tempo possível, então poder-se-ia

lançar mão do efeito capacitivo que ocorre para Nu suficien­eq

temente baixos, usando-se espessuras diferenciadas do isolante

na região do topo e no fundo do tanque.

Page 86: l fr CVn'e-0 0.;J,

76

VI.4 - Re.óul.ta.do.ó e ex.ten.óÕe.ó 6u.tuJr.a.ó

Do que foi exposto anteriormente, pode-se cl~

ramente perceber que existem inúmeras possibilidades de desen­

volvimento de aspectos que o modelo, tal como proposto, ou nao

consegue atingir ou deixa apenas entrever.

Evidentemente, a maior parte desses aspectos

corresponde ã eliminação de uma ou mais restrições que formam

o corpo de hipóteses sob o qual o modelo está subjacente.

Por exemplo, ao eliminar-se as hipóteses de

escoamento unidimensional, e parâmetros do fluido constantes,

abre-se todo um campo para se introduzir fenômenos atê agora

não tratados, como a presença e o efeito real dos difusores no

comportamento da estratificação, e os efeitos provocados pela

variação da densidade do fluido no interior do tanque.

Por outro lado, mesmo com a formulação atual,

existem aspectos que possibilitam um estudo mais detalhado co­

mo a obtenção de um projeto Ótimo de um tanque de estocagem

sob critérios econômicos, utilizando-se as curvas de eficiên­

cia termodinâmica, ou a pesquisa sistemática de fluidos de tra

balho com parâmetros mais adequados e de menor custo.

Além disso, toda a importância do modelo se

revela ao introduzi-lo na simulação de todo o ciclo energético.,

por exemplo do coletor a um sistema de conversao termo~-'~J.ê:tri

co, obtendo-se aí então dados e resultados mais confiáveis co­

mo base para anteprojetos de grande envergadura.

Page 87: l fr CVn'e-0 0.;J,

77

APtNDICE A

O sistema de equaçoes (III-1) a (III-5),

sera adimensionalizado, a partir das seguintes variáveis adi­

mensionais:

a t T = ~

X X = H

o que resulta,

P e p

a

H u = a

u

- P e a p H

e T-T __ oo

li T o

u~~­H ax

4h LIT o D

(e - 8')

O < X < 1 T > Ü A-1

LIT '6' 'C' o º -p ---p Hz dT

(8 - 8') . 4 LiT e'

(D2-D2) ln (D /D) 1 e (---e- + --)

2 K' D h a

e ""

O < X < 1 T > Ü A-2

Apôs algumas simplificações as equaçoes (A~l)

e (A-2), ficam reduzidas a:

a8 dT

a8' dT

- u ª8 - 4B Nu (8 ax

8')

+ ç C Nu (8 - 8') - ç F Nu e' eq

A-3

A-4

Page 88: l fr CVn'e-0 0.;J,

78

Enquanto as condições de contorno e inicial,

(equações (III-3) a (III-5), tornam-se:

aec x,, l = ae•c x,, l = 0 X o ax ax

38( X,,)= 38'( X,,)= O X = 1 ax ax

e e x,o l = e·c x,o l

onde:

B H/D

e = 4DH/ (D 2 - D2) e

F = SH

K = K/(D 2 - Dz) eq e

Nu = hH/K

= 8 ( X,O ) o

T > Ü

T > Ü

O < X < 1

Nu eq = K H/(K(ln(D /D) eq e + ZK'/(D h )) e ""

w = K/K'

E; P e /(p' p

C') p

A-5

A-6

A-7

Page 89: l fr CVn'e-0 0.;J,

79

APtNDICE B

Metada ImplZeito de C~rrnR-Nieol6on

Este método elimina a restrição de estabili­

dade e melhora a precisão da aproximação, devido ao uso de si­

metria na construção da equação diferença, levando a um erro

de truncamento de segunda ordem ao passo que a aproximação pe-

la diferença avançada ou atrasada implica num erro de

menta de primeira ordem.

trunca

Considere a seguinte geometria, figura (B-1),

a qual possui um centro de simetria no ponto A(x,t-K/2), que

não constitui um ponto da grade.

1 1

C(x,t•tO (x•h,t+K) --------li,--------''4--------><

• •

K (1-h, t • 1(/2} A(x, t+K/2) (1t+h, t +K/2)

h-11,t) • e 11.,tl (a +ti ,t) X

Figura ( B-1) Geometria da grade

As equaçoes diferença a partir da geometria

acima, com simetria no ponto A, para a variável

T(x,t), são obtidas como:

temperatura

Page 90: l fr CVn'e-0 0.;J,

80

aTI = T( x,t+K) - T( x,t ) ~,A K

aT T( x+h,t+K) - T( x-h,t+K)

ílx e

íl T 1

ax B

= Zh

= T( x+h,t) - T( x-h,t)

Zh

T( x~h,t) - ZT( x,t) + T( x+h,t) h2

= T( x-h,t+K) - ZT( x,t+K) + T( x+h,t+K)

h2

Tomando-se as derivadas da variável no ponto

A, como a média aritmética das derivadas nos pontos B e C, po­

de-se escrever:

ílT = 1 ( aT i + ílT )

ílx A 2 axlB ílx e

ql ílx A

1 e 2

)

e

Além disso, o valor da variável no ponto "A"

sera tomado como:

Page 91: l fr CVn'e-0 0.;J,

81

APt'.NDICE C

O sistema de equaçoes (III-15), (III-16) e

(III-21) a (III-24) é apresentado a seguir segundo a sequência

de distribuição dos pontos mostrados na figura (III-2).

F lu..í. do

topo do tanque

+8' )=O i+N ,M p

interior do tanque

fundo do tanque

+8'.NM)=O 1+ , p

Panede

topo do tanque

1 = 1

i

Z<i<N -1 p

1 = N p

N + 1 p

e e' + e e' + e e' e (8 9 i,M+l 10 i,M 11 i+l,M + 12 i-N M+l + p'

C-1

C-2

C-3

Page 92: l fr CVn'e-0 0.;J,

+ e i-N M ) = O p'

interior do tanque

82

N + 2 < i < ZN - 1 p p

+ 8i-l M + 8i+l M)+ cl2 (ei-N M+l + 8 i-N M) ' ' p' p'

fundo do tanque na parede

onde:

c1

= 1

+ z B Nu /n

l 2N p

1 2 + -:-7 + 2 B Nu

/'n /'ix

C-4

o C-5

C-6

2 !':,x2

- 2 B Nu l + l + 2 B Nu !':,xz

C6

- - 1 + 2 B Nu + l

/':,T /':,Xz

1 21':,Xz

u + --

41':,X

1 21':,Xz

u 41':,X

+ i;C Nu + F i; Nu 2 2 eq

l + §_ - 2- + .f.Ç_ Nu + Fi; Nu /':,T W !':,X 2 2 2 eq

Page 93: l fr CVn'e-0 0.;J,

res,

= - E;C Nu 2

1

{',T

83

+ ~ Nu + FE; Nu 2 2 eq

+ ~ Nu + FE; Nu 2 2 eq

Obtem-se um sistema de 2N equaçoes p linea-

representadas pelas equações (c-1) a (c-6), a 2N temper~ p

turas desconhecidas,

i = 1,2,3, ... N p

M > O

i = N +l,N +2, ... 2N p p p

as quais podem ser denominadas por:

X. l

i=l,2,3 ... 2N p

São conhecidas as temperaturas,

i

e! M l,

l

1,2,3 ... N p

1,2,3 ... N p

M > O

M > O

M > O

As constantes C. l

i = 1,2,3 ... n, bem co-

mo o produto destas pelas temperaturas conhecidas, serão deno­

minadas pelas novas constantes:

a .. l = 1 , 2 , 3 ... n,n+l lJ

J = 1, 2, 3 N p

Page 94: l fr CVn'e-0 0.;J,

84

Substituindo-se as variáveis X. e as constan­l

tes a .. nas equações (C-1) a (C-6), obtem-se o sistema de equ'.: lJ ções lineares na seguinte forma geral:

a 2n 1

p

X 1

+ a X 2N 2 2

p

a ZN n

p

= a 2 n +l

X 2N

p

= a 2N n+l

p

C-7

A solução de um sistema de equaçoes lineares

como (C-7) obtido pelo método iterativo de Gauss-Seidel, e en-8 centrada em Carnahan. O diagrama de blocos e a listagem do

programa correspondente são apresentados a seguir.

Page 95: l fr CVn'e-0 0.;J,

85

FLUXOGRAMA

T01 , T0 2 · · · T0 2 NP

T2 N , H , O , K', C~., ~·

r- , O • e , u, mt , to I t1 1 Xo , xf

T(O,O), T(H,O),n, kmox i E

C1,C2,. Cl5

i • ,,1., , u , Ke q • 'l"o, 'T"f , S,, w,

Re, Pr, 6 f" 1 B, C, Nueq NU ,

' ' Xo,Xf, 6X, m,

M', d'I, ,nn, 's k .cp, )J,D•

r-- --------------,

o o li 12

14-------1 xoi • xi i: 1,2 ... m

1 --, o o

n n-1 , n n

"-~~i: 2,3 ... n-1

ª i i- t

'>---O .. 1 •• 1 o

nm o

a n•I

ªn• I

r 1 1

r 1

n• J - 1 ,

n•ht

o o n• I "" n.i

a n, I m,1

a o m m-1 m m

a a m n m m,1

i e 2,5 ... n-1

1 _ _J

o

a

n,,

n• I 1

n m• I

a n,2 n•• n• 2

a . ntl m• 1

1---k ~ = 1 ,2 ... kmax ">---..i IN o .__ 1 f--~ i r 1,2 ... m

' __ _J 1 ___ _J

F (4.1--IINO - O 14---1 f x": X. f ,(_ E

'

F

V INO ~

1 L_ - - - - - - - - _...J

NÃO CONVERGE

K , X1 , X 2.. X m

K , M

TI ' T2

Page 96: l fr CVn'e-0 0.;J,

86

( G ~ "I L L r A 'l • l, t. " I ['-! F '.H r 'i ~ ',; F I' ·d R A ·, J ~ r A e,·,~, ·11r11 AC!<1,.1,1J,x<soi.,.rr·•A\,tt'~ t-<EAI. "{f. .. "í I, MI, ~~1, 'lu(•.;.~!{,. ~"'t~,.'\Ju cr n-,;, , · ,, r v u ,1 i • , e e 3 o > , q ( 3 o J • r ( 3 o J t· l A') ( 3, / ) u I T '1 r,,:, .. t. ~ ~ .,fAJ<'j,/} lfv<IJ,I=l,Z•NJ Sf A J ( 5, /l ( f r < í l • I = 1, 2 • '·1 J .-<lA.;< )./} d,..:•t.• JI.f.I,CPI, í~~.Ht fAt tr F;.. ,~ l j, / ) j Cl , ..., T,. T t T '\ tJ , 1 t- f r~ i-J • X 1) ü, X O t>

~ EA l l 'i, / l f F ,, '.) , f F 4 11

"rH ' ,. ( ·, • • / / ) '' • l T ~ A X , F t' ~ , " , ,; , f~ , · l l • K I , C 1- l , ff. , é r T Af , ú ) , 'I l , T 1:. 1 A O , f E TA 1 r', < ,. ,1,...: _, .. , • < r v < r), r = 1, 2"" ~,)

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, , i = f .J • : / 5" J J • l • 1· ~ P ( < f 2 4 • 5 I t 7 ~ • • 1 + f ;i J } • l • 5 2 • 2 l H=~It,F llrM=H/( JF·Ct'fl L=,,,•4/~LFJ\F LILl='l'.I/~ lFl'.;1=TLTAJt3JO). 11-. 1 ~ J.) a:; 11- r 1~ p 1 ~;_,d,,. ~~:;vf.rPF/(~I•í~I> n-=.\ F /"<. I .,i:=tJ~< .r JJ,~)/'lI r~= u,., f.\f 1AJ.\>=,,I f'f• IFIAjº/(rl• .. 2.l IA,HcJ=AI flf• ífcf~,vJ/lH .. 2,J J f A J A= l 1 ,\ J ., P • 1 ~ L, \ <! l / ( '.I 1 • l l L,=1/J (=UI'. f,uL. ')=í'j' .J·",1/1,{,t°'

~ J..: 2 • iJ 2 ~ • ( ·, I· JI{ "'J • 1 ) ,.. ( r' !< * *' J .. 1'.+)

A\J:,<,J,1/~

X ~ r, : ;( 1,·' / H cU=((t,.,-X~0)/('4+ll n '! l í t. ( ~ •. / / J J I F ,) • í ·: , Jf , r: r , r P F , '1 l , '1 I , ~ L F A F , U, ~ 5 I , , t., <' ~, '; LJ, ( f C C I >, I ..:1,"1), 'Jt·':.1,1,r t." ?.:::[-=1-t

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(. 7 = - i • / ( 2 • • .J X t • • 2 • ) • d/ ( '• , • IJ X A l

Page 97: l fr CVn'e-0 0.;J,

87

. .,,. • ... i .. ;. lt

C 'l= • l • / { 2. • O t A••?. > + iJ / ( 4. • u .<A) C 9= l • / ; f AU A+ " <I • C •NU/ 2 • + e • , H • ~ ~ l • N 1.Jt ~ e 11J = - 1 • 1 J r A u , , e •• J ~ r I e , • ; x A • , z. • 1 ,:;i ·,r • e • •.iu I ê • • 4 • • H • u f r • ~ 1., 1- o Lll = •? • .lSI/< w•úxA .. 2. l Cll~-.J~r~r•NL/2. C 11 = l • / ') 1 A, A + C ~ II ( h • i X A• • 2 • l + ns I • r • r: u /é. + 4. * h• ~ S I • : 1 J f Q

C. l <t = • l • / J f A U ~ + J ~ I / ( o lX A•• 2. J + .; S l • C • 1' lJ / 2 • t 4 • • H * Q SI• ''lU F • fl)=·J~!/Ci.•h~')X~•~l.! 1 = .l. A(l,1l=~l ~<I,•,+Il=C4 J([ ,2•\+ll=·C?•JV(IJ-rs.xV(I•ll-f4•X~(:l+ll Jr ., r =.' ,,,-1 A(l,l•lJ=r/ A(l,!J=r:5 A<:d+ll=íi A<l••+ll=f.,

J t(l ,~•·:+ll=·, 7•XVC I·l )·('~+XV{!l·t~•K\(I+ll•(<t•;(VUH!l [ = ., A(;.IJ=rl A<i,'~+.!J-=r4 A ( I • ê + '.! + 1 J = • C 5 • t V < I • 1 l ·rê•.< V ( I l • L 4• ( V ( ,, + I l I=l A< , + I , ·1 + I l = ( ;, A(·:+ I d l =r 12 A e, -! , é · r1 t 1 ) = - L 12 • X V ( I ) • (. l 1)• ;. V ( 1H l ) • ll l • ;( V ( N t ! + l ) cr ; I = 2 , ~, - 1 AC 'l + I , ·1 • I • l l = r i '> ~< .+I, ·>r>=fi3 -C:tI, ,•I+ll=Cl5 AC , + I, I l =C i ~

9 Al~+!,i•~+ll=·Cl~•CV(~+I-ll•Cl4•XVIN+Il·Cl5•XV(~tI+l)-(lZ•IV(IJ I =., A(,1+I,'..+Il=f> t.fí;+l,I)=r12 t 1 ,, d , ;> , iH l l , • r 11 • ~VI J< + I • 1 l • C l O• X V C'I + I l • [' 1 2• X V < ! ) CAI.L ~<.;ffft CC l·• I=l,·l

1 4 f ( I l = T f, + X ( I 1 • ~ ff ·,) "11 i f <. < 6 , ~ •l l l I fl ~ , '1, l 1 < I l , I = l , ~ 1

2 ú l r r < ~ A f 1 / , " r, ,, .H < G f '1 C I.~ tlf. ~ ;:, IJ C F Ll I J A "/ , " IT 1: H AC Ar = " , I3 /," X< l l , l ••• , .e. < .., • I 2 , " ) " I , .j t ') :· 1 9 • l I ) )

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cr 3 r" 1 , "

Page 98: l fr CVn'e-0 0.;J,

A S I A li = A < I , I l ufl 3 J.:l,~~'-'l

3 AC!,J)=All,JJ/A"l~h :r= 9 1r: {=l,ifM.\< tl.~ô=l ,.;r 7 r = 1 • ·, xsr,1,,x<IJ .~{I )-=A<; ,qi-11) CI "1 J-=t,·· 1Fll,f.«Jl Gt ' ' ~(I J =X<: l-A( l,.J)• ,tJ)

> rr,iTl!Ji'

88

[F(•,,•(,~l1\H•<t!)).U.1P~J CI I" 7 f L,.. J_1-= J

7 ('' I f l'i.H IF l F L \ ~ • , E • 1 l d' f 1' ,

• ~ l T 1. ( ,. 2 J3 l [ f f ,, , < ({ Il , ! = l , 'Jl Z!l' ffH'<Af(" r Fhl e: Jiv1',:ll , ci~: <lGiu, !iA IH.R=" ,I4/" Vl:.ffR $(it_UrAf' X

l l 1 l ••• ~ ( ,4 l" / < 1.t:;, 1 J > l 3. 4 } l :.: i r l. to:>

'i L r ··, f I • J t. •til T f:. ( ,, 2 ,. 4 ) l T hl , C X ( I } , [ = 1 , :n

2 <) ,, F f'~ ~ A f ( .. "A 11 r I" 1 V [ H:; E"/.. I j l 1< = • I ~" /" V E r lJ R ~ f ~ A L X ( 1 ) ••• ,. ( N ) "/ ( l ldJ, 1JF13,4} l

2 J5 í<I· 1 ,J ,'J t. ~:,

Page 99: l fr CVn'e-0 0.;J,

89

APÊNDICE D

O sistema de equaçoes (III-27) a (III-32) e

apresentado a seguir segundo a sequência de distribuição dos

pontos mostrados na figura (III-2).

F .e.u{do

topo do tanque

6 i+N ,M+l p

i = 1

- 6 i +N M ) 4 / 3 = O p'

interior do tanque 2 < i < N - 1 p

+ 6 i+l,M)

e' )4/3=0 i+N ,M

p

fundo do tanque

- 6 i+N ,M+l p

i = N p

-e' )4/3=0 i+N ,M

p

D-1

D-2

D-3

Page 100: l fr CVn'e-0 0.;J,

90

Pa.11.ede

topo do tanque

e e , e.' )4/3=º + i- Np , M - i , M + 1 - i , M -

interior do tanque

fundo do tanque l

N + 2 < i < p

ZN p

o

8 i-N ,M+l + 8 i-N M p p'

D-4

D-5

f'=D e• +D e• +D e• +D ce + f 8 i,M+l 9 i,M 10 i-1,M 11 i-N ,M+l

onde:

+ ei-N M - ei M+l - e: ) 4/3 = o p, , 1,M

1 1 + ---:-:7

li T llX

1 +

li T

2

llX 2

p

D-6

ol z4/ 3 '

Page 101: l fr CVn'e-0 0.;J,

DS = ln

1 + FE; Nu 2 eq

+ E;F Nu

91

02

24/3

2 eq

1 E;F + - Nu

2 eq

Seguindo-se a mesma sequência apresentada no

Apêndice (C), ou seja:

-Tomando o sistema constituído pelas 2N equaçoes nao p

(D-1) a (D-6), a 2Np temperaturas desconhecidas

lineares

( ei,M+l e

ei,M+l) denominadas por Xi;

e e'. M) as constantes D. e l, 1 1

as temperaturas conhecidas ( ei,M

o produto destas pelas temperatu-

ras conhecidas como sendo

forma:

f e X , X , X 1 1 2 2N

f e X X X 2 1 ' 2 ' 2N

p

p

a., l

)

)

=

=

f ( X ,X , ZN 1 2

X ) 2N

p p

obtem-se o sistema .na seguinte

o

o D-7

o

A solução do sistema de equaçoes nao lineares

como (D-7), obtido pelo método iterativo de Newton-Raphson, e

encontrado em Carnahan8 . O diagrama de blocos e a listagem do

programa correspondente são apresentados a seguir.

Page 102: l fr CVn'e-0 0.;J,

92

FLUXOGRAMA DO PANORAMA

1Tmox. iprint, n, f1

, 62

,

T02, T02 . . T02n alt ,

1, , T 2 ••• T2n C p , H

O , S K , E , '3 , \\"', c'p , T ~ , g ,

h 1 ~ • Ll. • m • to • tf •o • xf , T(.O,O), T( H,O)

Fun~ão SIMUL

Resolve o sistema <le n2 Subrotina

PRINCIPAL

.l. 6T , J , oe, Keq, ~,e, w. Nu

G r0 ,Pr, Re, '\"o,~ , 4 f' 1 Xo ,Xf

AX""',B,Kr,Krr, N2

X01, X02, .•. ·xoN2

XI • X2 ... XN2

c1, c2, ... c,4

C4LCN

~---, equações lineares incremento J;k ,

poro ºto----l calculo os elemen·to1 rÍ21<. de motriz A.

K= 1,2, ... ITmax.>---_,

dnk • o determinante d.

~-------- al!ATR I Z INCONOICIIQN.Ol!----f

V

F d = o

i = 1,2, ... n2

X -x i, kt l i k ik

)4-----i CONV . ._ 1

F

iJ. 1 ( ~2 ,__•__.. CONV-0

'" v,... ______ _

CONVERGE

K, d , n2

X l,K• 1

X º2 k .. 1

CONV +- O 1----.iNÃO CONVERGE

1

1

L

L ___ -1

>--..... FIM

1 1 1

__ _J

Page 103: l fr CVn'e-0 0.;J,

a

a

a

93

SUBROTINA CALC N

Argumentos ( A , X , N )

0 , , 0 12

a a 1 n• 1 ln2•1

1 L __ _

-a n• i n• i -1 n• i n•i

n+i n• i+ 1 a

n + i

n+i n2+1

2,3 ... n- 1

a n+I n•I

a

"' 1 1

---, 1

1

1

2

a

ºi i-1 CI i it l

nt-1 n+2

a i n1o1

a

a

a

a

n n2

1 _ _J

n n n n2+ 1

a a n2 n2-1 n2 n2

a a n2 n n2 n2+1

FIM RETORNA '4----'

Page 104: l fr CVn'e-0 0.;J,

94

FLUXOGRAMA DA FUNÇÃO SIMUL

Argumento,

m-n+'

- ---,

j: 1,2,>-t---<'= 1,2,>-..... --1 ... , n

, _____ -------~-, ' 1

' J

.----- - - - - ----- ---, 1 0rkck-

1= 1, 2, ... , n

--- -- ---, ' ' ' 1

)

1

_ • ..J,,,.,,,.) ~

r - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -, 1 r----------"" r

\ 1

Page 105: l fr CVn'e-0 0.;J,

95

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Page 106: l fr CVn'e-0 0.;J,

96

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Page 110: l fr CVn'e-0 0.;J,

100

APtNDICE E

Para a adimensionalização do sistema de equ~

çoes (III-33) a (III-39), serão utilizados os seguintes param~

tros:

X X = '[ = H u = u

H

e ( x,t) T( x,t) - Tmin T - Tmin

T - T . max m1n LI T

A substituição dos parâmetros apresentados a

cima, no sistema de equaçoes (III-33) a (III-39), resulta:

P e LIT a e P H2 3,

D +

4h

se:

Dz

38

OT

LI T

ln

e (De/D)

+ SK'

a - P e

p H

D2

4Dehoo

LITU ae -- -- -H ax

( T min D D2 ln

+ 4h

- T ) 00

E-1 (De/D)

+ DZ

SK' 4D h00 e

Uma vez simplificada, a equaçao (E-1) torna-

_ u ae ax

'Y e - <P o o E-2

Page 111: l fr CVn'e-0 0.;J,

101

Sujeita as seguintes condições de contorno e

inicial:

A) Ca.Jtga.

ec X,T) = 1

lime ( X,T) = o X+-oo

e(X,O)=O

B) Vu, ea.Jtg a.

8(X,T)=O

lime( X,T ) 1

X + + oo

e(X,O)=l

sendo:

X = X o

T > Ü

X > O

X = X o

T > Ü

X > O

T > Ü

T > Ü

<I> = ljl (T . - T00 ) / (T - T . ) o o min max min

E-3

E-4

E-5

E-6

E-7

E-8

Page 112: l fr CVn'e-0 0.;J,

102

APfNDICE F

A operaçao de carga e representada pelo sistema

de equaçoes (III-40) a (III-43), ou equações (F+l) a (F-4) aba~

xo, que será resolvido pelo método da Transformada de Laplace.

ae a2e !ui ae '!' e ~o o < X < 1 > o F-1 = ax 2 + - T

dT ax o

e e X, T ) = 1 X = X T > o F- 2 o

lim e e X,T ) = o T > o F-3 X + - 00

e e x,o ) = o X > o F-4

A geometria considerada no problema dado pelo

sistema de equações dimensionais (III-33) a (III-36) ou sistema

de equaçoes adimensionais (F-1) a (F-4), é representada na fig~

ra (F-1).

De

D

1

1

1

H Fluido

1

• --

1 -L=-- Isolante

f" o

Figura ( F -1 ) - Geometria da Problema

Page 113: l fr CVn'e-0 0.;J,

103

Fazendo-se uma mudança da variável dependente

( X ) p· . d 12 e . ,T , 1gue1re o , para:

e( X,T) = V( X,T) eµX+\T F-5

Comµ e À a serem determinados e, substituindo­

se a nova variável na equação (F-5) e suas derivadas na equa­

çao (F-1), obtem-se:

µX+ÀT µX+ÀT ( 2 + IU I µ-, -'" ) + µX+ÀT ( z v XX e + ve µ " r O

v X e µ +

+ 1 U 1 ) - V e µX+ À T - </i = 0 T O

(F-6):

Pela escolha adequada deµ e À,

µ = - IUl/2 e À - -u2 + 4'f

o

4

A equaçao (F-1) fica reduzida a:

F-6

na equaçao

F-7

Sujeita as seguintes condições de contorno e~-

nicial:

v( X, T ) = e -µX-ÀT X

1 im V ( X, T ) = 0

X-+-oo

v( X, O ) = O

T > Ü

X > O

T > Ü F-8

F-9

F-10

Page 114: l fr CVn'e-0 0.;J,

104

A aplicação da Transformada de Laplace no sis­

tema de equações (F-7) a (F-10), produz:

V ) - ~ e-µX i( e-ÀT) = o T O

Ou seja:

~o - ( p S - v( X,O )) -

-µX e

p + À o

F-11

:f-::12

Pela condição inicial, equaçao (F-10), tem-se:

- p s

-µX s e

p+À

p + À

Sujeita as condições de contorno:

X X o t > o

F-13

F-14

lim s o T > 0 F-15

X + - 00

O sistema de equaçoes (F-13) a (F-15), e cons-

tituido pela equaçao

1 - _ - 13 -uçao, Kreyszig , e

diferencial não homogênea (F-13), cuja so

apresentada a seguir:

Solução da equaçao geral (S~) = Solução da equaçao

(Sh) + Solução da equação particular (Sp)

homogênea

F-16

Page 115: l fr CVn'e-0 0.;J,

s p

105

Solução da Homogênea:

+ B e -lpX

Solução da Particular:

e e-µX

F-17

F-18

Pela substituição da equaçao (F-18) e de suas

derivadas na equaçao (F-13), tem-se:

Ou

e =

s p

cp o

e p+À J e 2 µ -p)

2 e P + À J e 11 -p J -µX

e F-19

Com as equaçoes (F-17) e (F-18), substituídas

em (F-16), obtem-se:

+ -/pX

B e

-µX rpo e

+ ------~z--C p+À J C µ -p )

F-20

As constantes A e B, sao determinadas a partir

das condiç6es de contorno, equaç6es (F-14) e (F-15).

Para que seja satisfeita a equação (F-15):

B = O

Page 116: l fr CVn'e-0 0.;J,

106

Substituindo-se o valor de B e a equaçao (F-14)

em (F-20), calcula-se:

(-v'pX -µX ) (-µX -lpX ) q,

0 e O 0

A=e o º+------~-p + À e p+À ) e p-µ )

Com os valores de A e B, substituídos na equa-

çao (F-20), a solução geral do sistema de equações (F-13) a

(F-15), se torna:

(- ~Xo) - ( X -X ) lp) c-L!:!Jx )- e X -X ) lp ) o e 2 ° o

SG = e u2 + 4

p -4

u2 + 4 11' e P -

4

'l'o +

<P o

u + 4 11' e P - ) e p -

4

) e P - u ) 4

Aplicando-se a Transformada Inversa

termo da equação (F-21), tem-se:

1. PoJt de6,úi-<.ção

v( X, T )

u2 -) 4

F-21

em, cada

14 2. Da tabela de T1tan~601tmada Inve1t~a, CaJtlaw :

MX - (X - X)/p 2 o o

e -=---------- ) = uz + 4 11'

e P - ) 4

Page 117: l fr CVn'e-0 0.;J,

10 7

X -X X -X erfc( o - e rc ) + exp (( X -X ) cl ) erfc e o + c

1/i ) ) )

2 rc 1 o zrc

cJ.filX + e 2 °

(X-X ) IP) o q, o i-1 1 2 e

uz ) q,

0 exp( c 2 X ) ( eXp ( C

1 T )

u +4'1'o o 2 e P - ) ( p -4

((X-X0

) c1

) e----~~-- erfc (

e - c2 1 2

exp

X -X erfc ( o

+ c 1 iT l l + Zn

X -X 2 o erfc e -- - c2n )

zrc

) 4

X -X o

zrc

q, uz o

exp (X0

-X ) c1 - e

1 iT ) + ---..,-----

-c z - c1

exp ( (X -X) o c4 + C5-r )

4 ( u4 uz + 4 'I' o )

16

)

4

-'!' o

Substituindo-se, a variável v( X,T) na equa­

ç~o (F-5), obtern-se a soluçio do sistema de equações (F-1) a

(F-4), corno:

8( X,-r) = 0,5( exp(( X-X0

)( c1-c

2 )) erfc (( X

0-X )/( 2/T) -

Page 118: l fr CVn'e-0 0.;J,

108

Onde:

c1 ./ ( uZ + 4 'l' ) J 4 o

Cz = [U[/2

c3 4c/l u 2 / ( u4 2 16'!' ) - 4U -o o

C4 = 1 u [ /2 u2/4

cs = U4/16 - ( Uz+ 4'!' )/4 o

Page 119: l fr CVn'e-0 0.;J,

109

APtNDICE G

A operaçao de descarga e representada pelo

sistema de equações (III-40) e (III-44) a (III-46) ou equações

(G-1) a (G-4) abaixo:

08 a28 [u[ 08

'l' 8 - <P o = ;? -a, ax o

o < X < 1 '[ > o G-1

8 e X ) = o X X '[ > o ~-' T o G-2

lim 8( :X, '[ ) = 1 '[ > o G-3 X + + 00

8(X,O)=l X > O G-4

A geometria considerada no problema dado pelo

sistema de equações dimensionais (III-33) e (III-37) a (III-39)

ou sistema de equações adimensionais (G-1) a (G-4) é represe~

tada na figura (F-1), (Apêndice F).

A solução do sistema acima, será obtida se­

guindo-se a mesma sequência de desenvolvimento e dos métodos

aplicados na solução do sistema de equações (III-40) e (III-43),

que representa a operação da carga (Apêndice F), ou seja:

Mudança da variável 8( X,,), Figueiredo 12

para:

8( X,,) = v( X,,) eµX+À, G-5

Page 120: l fr CVn'e-0 0.;J,

µ 1u 1 /2

equaçao:

v( X,T ) = o

lim v( X,T ) o X + + 00

v( x,o ) e -µX

11 O

Com uma escolha adequada deµ e À:

e À

u2 + 4'l'

o

4

E substituindo-se a nova variável, obtem-se a

-µX-ÀT o <j, e = o G-6

Sujeita as condições de contorno e inicial:

X = X T > o G-7 o

T > o G-8

X > o G-9

Aplicando-se o m~todo da Transformada de La­

place ao sistema de equações (G-6) a (G-9), obtem-se:

- e p s + v( x,o )) --µX

<j,o e o G-10

Pela condição inicial equaçao (G-9), tem-se:

- p s - e -µX G-11

Sujeita as condições de contorno:

s o G-12

lim S o X > O G-13 X -+ + oo

Page 121: l fr CVn'e-0 0.;J,

111

Solução do sistema de equaçoes (G-11) a (G-13):

Solução da equaçao geral (SG) = Solução da equaçao homogênea

(Sh) + Solução da equação particular (Sp)

Solução da Homogênea:

A lpX B -/px e + e

S = C e-µX p

Solução da Particular:

G-14

G-15

G-16

Substituindo-se a equaçao (G-16) e suas deri­

vadas na equaçao (G-11) obtem-se:

e q, o

( p+À ) ( p-µ )

Ou:

( -( p+À ) ( p-µ

+ 1

) p + )J

-µX ) e G-17

A substituição das equaçoes (G-15) e (G-17) em

(G-14) resulta:

q, e-µX S - A /px B -lpX -º------G - e + e -

( p+À ) ( p-µ ) +

-µX e

2 p - )J

G-18

As constantes A e B sao obtidas a partir das

equaçoes (G-12) e (G-13).

Para que seja satisfeita a equaçao (G-13):

A = O

Page 122: l fr CVn'e-0 0.;J,

112

Pela substituição da equaçao (G-12) em (G-18),

obtem-se:

e(-µXo + lpxo) + B - -

p - ]J e p+À ic p- 11 i

Substituindo-se os valores de A e B na equa­

ção (G-18), a solução geral torna-se:

(-µX ( X-X ) ip) cp e:(-µXo - e X-X ) rp :) - o SG

e, o o o = - + p - ]J e p+À ) e p - ]J )

<P o -µX -µX e e

G-19 2 + e p+À l e p-µ ) p - ]J

Onde:

u2 + 4'1' l.!!l À = o = e ]J

4 2

Aplicando-se a Transformada Inversa de Lapla-

14 ce, a partir das tabelas apresentadas por Carslaw e Kreys-

zig13, aos membros da equação (G-19) e substituindo-se o resul

tado na equação (G-5), obtem-se finalmente:

ec X,T ) = - 0,5 ( exp( -'!' T ) erfc (( X-X )/( 2/i'") -o o

( 2 fi'" ) + C z fi'" ) ) + e Xp ( - '!' T ) + 2 q, / ( U 2 + 2 '!' ) -o o o

-X o

Page 123: l fr CVn'e-0 0.;J,

113

Onde:

c1 = luz+ 4 'l' o )/4

Cz JUJ/2

C4 = JUJ/2 - u2/4

c6 = ( uz + 4'l' ) /2 o

c7 4 uz; C 2 'l' ) -3U - o

cs - - 3U2/16 + '!' o

Page 124: l fr CVn'e-0 0.;J,

114

APENDICE H

Deseja-se provar que:

E E -estratificado> homogeneo

JH ( ( T ( x, t ) - T . ) - T ln ( T ( X, t ) / T . ) ) dx o min o min

> H (( T - T ) - T ln ( T / T. ) max min o max min

l H (.!. H ) - J T( x,t) dx - T. - T ln H

0! T( x,t) dx/T. H o min o min

Simplificando resulta:

1 0

JH ln T( x,t) dx < ln 1 0

JH T( x,t) dx H H

1

U,x. l

Ou:

1

E6x. l

1

E6x. 1

Em termos de Somatórios:

E ( ln T. ( t )) 6x. < ln l l

ln IT ( T. ( t )) 6xi < ln 1

1

E6x. l

1

E6x. l

1

E T. 1

e t ) 6x. 1

E T. ( t ) 6x. 1 l

E T. l

e t ) 6x. 1

H-1

H-2

Page 125: l fr CVn'e-0 0.;J,

115

E também:

1 t;x. l:l';x.

1 ln e rr e T. e t ) ) l ) l < .e.n ,: T. e t ) t;x.

l l:l';x. l l

l

Ou seja:

J] e e

Ou:

Onde:

1 l';x. ,: t;x.

1 T. e t ) ) l ) l < ,: T. e t ) /';X. l l:/';x. l l

l

Admitindo-se /';x. = constante l

/';X

,: t;x t;x

e rr T. e t ) ) < ,: T. e t ) l ,: /';x l

e n J]

i=l T. ( t

l

n ,:

i=l T. ( t )

l

H Altura do reservatório.

H-3

= t;x

H-4

n Número de intervalos, distribuídos ao longo da altura

do tanque.

l';x: Espaçamento entre os pontos.

e

1

n rr T. ( t

i=l l

n ,: T. ( t )

l n i=l

Média geométrica das temperaturas.

Média aritmética das temperaturas.

Page 126: l fr CVn'e-0 0.;J,

116

Portanto,deve-se provar que a média geométri­

ca e sempre menor do que a média aritmética para qualquer n>O.

A inequação (H-4), foi verificada por KOROV­

KIN15, pelo método da Indução Finita. Tentar-se-á uma demons­

tração alternativa por Máximos e Mínimos, a seguir:

Dividindo-se ambos os membros da

(H-4) pela expressão l:Tj(t), j = 1, 2, 3, ... M:

1 ( IT T.( t )l/n < l ~-1~~ E T. ( t) 1 nET.(t) 1 l:T. ( t )

J

E definindo-se:

T. ( t ) l

l:T. ( t ) J

r. e t ) l

Obtem-se:

Mas:

n n ( IT y. ( t ))l/n < l E

1 1 n 1

n Eyi(t)=l 1

J

Y. e t ) l

Portanto, deve ser demonstrado que:

n e rr y.( t ))1/n < 1

1 1 n

Seja achar o extremo da função:

inequação

H-5

H-6

Page 127: l fr CVn'e-0 0.;J,

117

F ( y. ' Yz' ••• y ) 1 n

n ( II y.( t ))1/n

l l

Sujeito a:

n Eyi(t) 1 1

Considere-se:

Y e t ) n 1 -n-1

E 1

Y. e t ) l

Substituindo-se na equaçao (H-7):

e n-1

II 1

y.(t)(l-l

n-1 E 1

Portanto:

oG ay. e t )

l

n-1

=( II y.(t))(l­j f i J

n-1 E 1

y.(t))+ l

y.( t )))1/n l

+( II yi(t))(-1)=0 1

( i = 1, 2, 3, ... n-1 )

Ou seja:

( II j;li

y.(t))(l­J

n-1 E 1

y.(t))=( l

Donde obtem-se que:

1 -n-1

E 1

y.( t) = l

y. ( t ) l

( l =

n-1 II 1

y.(t)) l

1, 2, 3, ... n-1 )

H-7

H-8

Page 128: l fr CVn'e-0 0.;J,

118

Logo, pela relação (H-8):

Y e t ) = Y . e t ) ,J./-,. n i i

Ou seja:

E também, por (H-5):

Substituindo-se y. l

lt/,. l

na equaçao (H-7):

e n rr Y· ( t ))1/n = 1 1 1 n

Admitindo-se que o extremo determinado e um

maximo, conclui-se que a média geométrica sô será igual a me­

dia aritmética quando todos os T.( t) forem iguais, Em qual-1

quer outro caso, a média geométrica será sempre menor.

Supondo-se que F( y1

, y2

, ••• yn) não possua

pontos de sela, pode-se demonstrar que o extremo é um máximo.,

na forma que se segue.

Seja:

1 ( a > O e a'fl)

na

E também que:

y. J

1 J = 3, 4, ... n

n

Page 129: l fr CVn'e-0 0.;J,

119

Para determinar o valor de y2

:

Donde:

= 1 -Yz

Substituindo-se

(

Ou seja:

E então:

1 Za-1 ---na na

1 n n

n 1 l: = 1 3 n

1 n-2 Za-1

na na n

os y. assim determinados l

n 1 ) 1/n < 1 ll 3 n n

a 2 - Za + 1 > O

Ou:

na inequação

2 (a-1) >O ( a > O e a -f 1 )

(H-6) :

Fica portanto demonstrado que, se nem todos

os y. ( t) sas iguais: l

( lly.( t ))1/n< 1 l

n

Page 130: l fr CVn'e-0 0.;J,

120

E, se nao houver pontos de sela, o extremo e

um máximo.

Por outro lado, quando n cresce indefinida­

mente, a inequação (h-4) torna-se:

lim ( IT T.( t )l/n < lim ! I T. ( t) 1 n 1

n + "'

Ou seja:

lim ! .e.11 e rr r. e t l n

E ainda:

lim l I .C.11 T.( t) l n

n + "'

n + "'

) ) < ln 1

H

Que e a inequação (H-2) que se queria demonstrada.

Page 131: l fr CVn'e-0 0.;J,

121

NOMENCLATURA

A Área da seçao reta do tanque

B = H/D

B' - Trabalho disponível

C C' - Calor específico do fluido e do isolante a pressao p' p

constante respectivamente

Diâmetro interno e externo do reservatório respectiva­

mente

E - Energia térmica conservada

Gr - Número de Grashof

g - Aceleração gravitacional

H - Altura do reservatório

h h - Coeficiente de transferência de calor entre a parede e , 00

i

K,K'

o fluido no interior do reservatório e entre a parede

e o meio ambiente, respectivamente

Índice de localização do ponto no reservatório

Condutividade térmica do fluido e do isolante, respec­

tivamente

Keq - condutividade térmica equivalente

M - Número do intervalo de tempo discreto considerado

M' - Massa do fluido no interior do tanque

m - Fluxo de massa

Nu Número de Nusselt, devido a convecçao interna

Page 132: l fr CVn'e-0 0.;J,

122

Nu - Número de Nusselt equivalente eq

N - Número p de pontos do reservatório

Pr - Número de Prandtl

Re - Número de Reynolds

S - Entropia do fluido no interior do reservatório

s - entropia específica do fluido no interior do reservató-

rio

T - temperatura dimensional do fluido

T' - temperatura dimensional do isolante

T00

- temperatura do meio ambiente

6T - diferença inicial das temperaturas do fluido no topo e

no fundo do reservatório

t - tempo dimensional

U' - energia interna do fluido no interior do reservatório

u' - energia interna específica do fluido no interior do re

u

u

X

X

w

a' a'

s

serva tório

- velocidade dimensional

- velocidade adimensional

- coordenada dimensional

- coordenada adimensional

- K/K'

difusividade térmica do fluido e da parede, respectiv~

mente

coeficiente volumétrico de expansao térmica

Page 133: l fr CVn'e-0 0.;J,

T

e, e'

V

p,p'

123

- tempo adimensional

- temperaturas adimensionais do fluido e do isolante,

respectivamente

viscosidade cinemática

- viscosidade dinâmica

- massa específica do fluido e do material isolante, res-

pectivamente

eficiência térmica pela Primeira Lei da Termodinâmica

eficiência térmica pela Segunda Lei da Termodinâmica

o - sub-Índice relativo as condições iniciais.

Page 134: l fr CVn'e-0 0.;J,

124

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