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Dr. M. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Vorlesung 8. SS 2008

Kybernetik

Dr. Mohamed OubbatiInstitut für Neuroinformatik

SS 2008

Vorlesung 8

17 Juni 2008


Wiederholung vom letzten Mal !


Signalverarbeitungskette

Physikalische Größen

Sensoren

A/D Wandler

Digital Rechner

D/A Wandler

Verstärker

Energiewandler

Prozess (Bewegung)

Elektrische Energie

Mechanische Energie

Autonomer Mobiler Roboter


Heutiges Thema:

Bewegungsregelung


Motion Control has three basic problems:

Path followingTracking

Point stabilization

The Path

Find a smooth control input in the mobile robot, to minimise the distance between the mobile robot and the path ξ

ξ

Bewegungsregelung



Path following

TrackingPoint stabilization

actual robot

reference (robot, object,…)

Bewegungsregelung



Tracking

Path following

Point stabilization

goal

start

goal

stabilization with obstacle avoidance

start

Bewegungsregelung


,0)()(lim =−∞→ txtx rt 0)()(lim =−∞→ tyty rt 0)()(lim =−∞→ tt rt θθandObjective:

x

y

yr

θ

θ r

O X

Y

xr

Actual Mobile Robot

Reference (virtual) Mobile Robot

Bewegungsregelung


Control of an Ideal Mobile Robot

actual trajectory

desired trajectory

-

+ desired velocity kinematics

Kinematic-level

controller

Bewegungsregelung

Bewegungsregelung kontrolliert die glatte und zielsichere Bewegung des Roboters entlang des geplanten Pfads.


Die Kinematik beschäftigt sich mit der Geometrie und den zeitabhängigen Aspekten der Bewegung, ohne die Kräfte, die die Bewegung verursacht.

Was ist die Kinematik ?

Kinematik


Zentrale Probleme

1. Unter welchen Vorraussetzungen finden Bewegungen statt ?

2. Wie beschreibt man die Bewegung eines Roboters auf Rädern ?

3. Wie kann man anhand der Bewegungen der Räder die Positionbestimmen ?

4. Wie müssen sich die Räder bewegen, damit eine bestimmte Positionerreicht wird ?

KinematikKinematik


• Ideale Standart-Räder- reibungslose Rotation um Achspunkt- keine Kompression/Deformation- optimaler Kontakt (kein Schlupf etc.)

• Nur Betrachtung von getriebenen Rädern

• Passive Räder haben keinen Einfluss auf Dynamik der Bewegung

In dieser Vorlesung wird folgendes angenommen.

Unter welchen Vorraussetzungen finden Bewegungen statt ?

Kinematik


Instantaneous Center of Curvature (ICC)(oder auch Instantaneous Center of rotation ICR)

Der ICC ist der Schnittpunkt aller verlängertenRotationsvektoren

Kinematik


Randbegingungen der Bewegung

ICC

Für alle verlängerten Rotationsvektoren der Räder muss ein gemeinsamer ICC existiert werden.

Rad

Kinematik


Wie beschreibt man die Bewegung eines Roboters ?

• Interne Repräsentation der BewegungBewegung der Räder

• Externe Repräsentation der BewegungPositionsänderung des Roboters

Kinematik


BeispielVierrad mit Mecanum-Rädern

Interne Repräsentation der Bewegung

Externe Repräsentation der Bewegung

Kinematik


Wie kann man die interne Repräsentation auf eine externe Repräsentation abbilden ? Vorwärtskinematik

Wie kann man die externe Repräsentation auf die interne Repräsentation abbilden ? Rückwärtskinematik

If I do this, what will happen?

If I want this to happen, what should I do?


Differentialsantrieb


Differentialantrieb

Dieses besteht aus zwei angetriebene Räder auf einer Achse mit einem oder zwei passiv mitlaufenden Stützrädern, die sich frei drehen können.

Der Roboter bewegt sich bei konstanten Radgeschwindigkeiten auf einer Kreisbahn mit dem Radius r um ein Drehzentrum ICC(InstantaneousCenter of Curvature)

zwei angetriebene Räder

Stützrädern


Die beiden Antriebsräder liegen auf derselben Achse und werden getrennt angetrieben.

Differentialantrieb


• Hohes Moment für Kurvenfahrt

• Schwierige Positionsbestimmung

• Sehr starke Reibung auf dem Boden

Differentialantrieb

• Einfache Konstruktion

• Einfache Steuerung

• Auf der Stelle drehbar


[ ]θθ cos,sin ryrxICC +−=

x

y

Y

X

θ

2rl vvv

+=

2lr vvw

−=

lr

rl

vvvv

dr−+

=

d



2rl vvv

+=

2lr vvw

−=

lr

rl

vvvv

dr−+

=

rl vv = r= und w=0: der Roboter fährt geradeaus

rl vv −= r=0 und v=0: der Roboter dreht sich auf der Stelle


∞

d


x

y

Y

X

θ

robot pose: Position + Orientierungdes Roboters zu einem Zeitpunkt t.

Kinematik Model



In der Vorwärtskinematikberechnet man die Position des Roboters bei gegebenenGeschwindigkeit v und Winkelgeschwindigkeit w.

x

y

Y

X

θ

Vorwärtskinematik


x

y

Y

X

θ

Vorwärtskinematik


Gegeben: start und ziel Positionen: P(0) = [0,0,0], P(t) =[x(t),y(t),θ(t)] Aufgabe: Finde Steuersequenz V=[vr,vl], die die Positionsänderung P(0) P(t)realisieren.

Ziel: P(t)

Start: P(0)

Rückwärtskinematik


x

y

Y

X

θ

robot pose: Position + Orientierungdes Roboters zu einem Zeitpunkt t.

Kinematik Model

Positionsregelung (Kinematics Control)

Das Problem zu lösen ist, welche Werte die Translationsgeschwindigkeiten vund die Rotationsgeschwindigkeit wannehmen müssen, damit der Robotereine bestimmte Pose erreichen kann.

Dafür existiert aber kein allgemeines Verfahren.


Lösung: Es gibt mehrere Lösungen!

Differentialsantrieb: RückwärtskinematikPositionsregelung


Lösung 1

Differentialsantrieb: RückwärtskinematikPositionsregelung


Lösung 2

Differentialsantrieb: Rückwärtskinematik

Eine Lösung zu finden ist nicht ein Problem, aber die beste zu finden…

Es hängt von der Definition „beste“ ab:

• schnell

• Energie effizient

• smoothest velocity

vr, vl

t

Positionsregelung


Point stabilization

Positionsregelung

x

y

PZiel

θ

lΔ

Problem: Find a control law so that: 0→Δ l

Kinematik Model

This is not trivial since the variable does not appear in the kinematics model(Nonholonomic constraint)

lΔ


x

y

PZiel

θϕ

xref

yref

ϕΔ

lΔ

Positionsregelung

Point stabilization

Kinematik Model

To overcome thisproblem, we can define a new variable ϕΔ

θϕϕ −=Δ θϕ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=Δ −xxyy

ref

ref1tan


x

y

PZiel

θϕ

xref

yref

ϕΔ

lΔ

Positionsregelung

Point stabilization

Kinematik Model

Wenn Zeitvariant ist, das Kinematik-Model ist Nichtlinear Braucht man einen nichtlinearen Kontroller um das Problem zu lösen.

θ

0→Δϕ 0→Δ l

Die Tafel !

und


Positionsregelung

Point stabilization

Lösung 1: die Position und die Orientierung werden getrennt und nicht gleichzeitiggeregelt.

lΔ ϕΔ


Positionsregelung

Point stabilization

Lösung 2: die Position und die Orientierung werden getrennt aber gleichzeitiggeregelt.

lΔ ϕΔ

x

y

PZiel

θ

xref

yref

ϕΔ

lΔ R

λΔ

ϕλΔ

Δ=Δ

cosl

0→Δλ0→Δϕ

0→Δl

If and nearest point to Pziel

then


Positionsregelung

Point stabilization

Lösung 2: die Position und die Orientierung werden getrennt aber gleichzeitiggeregelt.

lΔ ϕΔ

θθ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

= −xxyy

eref

ref1tan

( ) ( ) )cos(22 θeyyxxe refrefp −+−=

x

y

PZiel

θ

xref

yref

ϕΔ

lΔ R

λΔ

0→pe 0→θeif

then 0→ΔlThis could be reached bytwo PID controllers. Die Tafel!


Positionsregelung

Point stabilization

θe

Roboter

(kinematik)

wd

vdθ

xy

xref

yref +-

+

-compute

θe

Die gesamte Positionsregelung

se p se p

PID1

PID2


Positionsregelung

Positionsregelung mit PID-Regler


,0)()(lim =−∞→ txtx rt 0)()(lim =−∞→ tyty rt 0)()(lim =−∞→ tt rt θθandObjective:

x

y

yr

θ

θ r

O X

Y

xr

Actual Mobile Robot

Reference (virtual) Mobile Robot

Bewegungsregelung

Tracking


Bewegungsregelung

Tracking

Kinematics model of a reference robot:

It is defined that

The desired linear and angular velocities (vd,wd) which make e1, e2, e3 converge to zeroare given by

where K1,K2,K3 are positive constants.

Fierro R. and Lewis F. L. Control of a Nonholonomic Mobile Robot UsingNeural Networks. IEEE Transactions on neuralnetworks, 9(4):589–600, July 1998.


Control of an Ideal Mobile Robot

actual trajectory

desired trajectory

-

+ desired velocity kinematics

Kinematic-level

controller

Positionsregelung


Control of a Real Mobile Robot

Kinematic-level

controllerKinematics

+

-

desired trajectory

actualtrajectory

outer loopInner loop Velocity control (motors)

outer loop position control

Dynamic-level

controllerDynamics

Vd torque Vr

Inner loopDie soll Geschwindigkeit

Bewegungsregelung


Geschwindigkeitsregelung (Dynamics Control)

Um ein stabiles und sauberes Fahren zu ermöglichen, muss die Drehgeschwindigkeit der Motoren geregelt werden. Dies erfolgt Z.b. mit Hilfe eines PID-Reglers.

Bewegungsregelung


Der Radenkoder gibt dem PID-Regler Informationen über die Aktuelle Geschwindigkeit des Rads. Durch die Stellgröße, hier die Frequenz und das Tastverhältnis der PWM, wird die Regelgröße also die Rad-Geschwindigkeit verändert (geregelt).

Bewegungsregelung

Geschwindigkeitsregelung


PID Left Motor

PID Right Motor

Desired left

speed vl

Desired right

speed vr

+

T

PWM

PWM

-

+ -

desiredlinear and angularvelocityvd, wd

T: Transformationsfunktion

Bewegungsregelung

Geschwindigkeitsregelung


Bewegungsregelung

Die gesamte Bewegungsregelung des Roboters.


Signalverarbeitungskette

Physikalische Größen

Sensoren

A/D WandlerD/A Wandler

Verstärker

Energiewandler

Prozess (Bewegung)

Elektrische Energie

Mechanische Energie

Kinematik & Dynamik

Kontrol

Bewegungsregelung

Übersicht

Wiederholung vom letzten Mal !�Instantaneous Center of Curvature (ICC)�(oder auch Instantaneous Center of rotation ICR)Randbegingungen der Bewegung

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