Fakulteta za matematiko in fizikoUniverza v Ljubljani

Seminar

Kvantni računalniki

Avtor:Matjaž Gregorič

Mentor:prof. N.S. Mankoč Borštnik

Ljubljana, november 2007

Povzetek

V seminarju so predstavljene teoretične osnove kvantnega računalni-štva. Predstavljen je pojem qubita, predstavljena so kvantna logična vratater nekaj kvantnih algoritmov. Poudarek je na Groverjevem algoritmu zaiskanje po nestrukturirani bazi. Omenjene so tudi najbolj obetavne mo-žnosti fizične realizacije kvantnih računalnikov s poudarkom na kvantnihračunalnikih na principu jedrske magnente resonance.

Vsebina1 Uvod 1

2 Model kvantnega računalnika 22.1 Qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Kvantni register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Kvantna logična vrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.1 Hadamardova vrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Fazna vrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.3 Vrata C-NOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.4 Univerzalni set kvantnih vrat . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Kvantni algoritmi 53.1 Groverjev algoritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Dvo-qubitni primer (N = 2n = 4) . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Realizacija kvantnih računalnikov 94.1 Kvantni računalniki na osnovi NMR . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1.1 NMR kvantna vrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Današnje stanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Zaključek 11

1 UvodO računalniku, ki za svoje delovanje izrablja kvantno mehanske efekte, se jezačelo resneje razmišljati v sedemdesetih letih prejšnjega stoletja. Velik zagonje raziskovanju vznemirljivih zmožnosti, ki jih ponujajo kvantni računalniki, dalRichard Feynman s svojim predavanjem leta 1981 [1]. Feynman je prišel naidejo, da bi kvantne sisteme simuliral s kvantnim računalnikom.

V osemdesetih letih se je začelo intenzivno raziskovanje možnosti kvantnihračunalnikov. Leta 1985 je David Deutsch objavil model univerzalnega kvan-tnega računalnika. Deutschev splošni kvantni računalnik ima v kvantnem ra-čunalništvu podobno vlogo, kot jo ima v klasičnem računalništvu univerzalniTuringov stroj.

Deutschevemu članku je sledilo ogromno raziskovalnega dela. Enega najboljimpresivnih rezultatov teh raziskav je objavil Peter Shor leta 1994. Predstavilje kvantni algoritem za razstavljanje števil na prafaktorje. Njegov kvantni al-goritem je mnogo bolj učinkovit od najhitrejšega znanega klasičnega algoritma,zato je pritegnil ogromno zanimanja.

1

2 Model kvantnega računalnika

2.1 QubitBit je osnovni element v klasičnem računalništvu. Podobno je osnovni elementv kvantnem računalništvu kvantni bit ali qubit.

Bit v klasičnemu računalništvu nosi informacijo 0 ali 1. Podobno ima vsakkvantni sistem (qubit) v kvantnem računalniku dve stanji, |0〉 in |1〉. Razlikamed biti in qubiti je, da je qubit lahko tudi v superpoziciji obeh stanj:

|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉, |α|2 + |β|2 = 1, (1)

kjer sta α, β ∈ C. Stanje qubita opišeta dve kompleksni števili. Klasičnemubitu lahko ob meritvi vedno natančno določimo stanje 0 ali 1. Za qubit pato ne velja, saj koeficientov α in β ne moremo določiti natančno. Kot vemoiz kvantne mehanike, lahko določamo samo pričakovane vrednosti operatorjev.Po opravljeni meritvi se sistem sesede v eno izmed obeh osnovnih stanj in seinformacije o prvotni superpoziciji izgubijo.

Qubit lahko realiziramo na različne načine. Možen kandidat za qubit jepravzaprav vsak dvonivojski kvantni sistem. Na primer: dve ortogonalni pola-rizaciji fotona, spin atomskega jedra v statičnem magnetnem polju, osnovno invzbujeno stanje elektrona v atomu, itd.

2.1.1 Kvantni register

Register je skupek večih bitov. Register dveh klasičnih bitov ima štiri različnamožna stanja, 00, 01, 10 in 11. Kvantni register dveh qubitov ima analognoštiri bazna stanja, |00〉, |01〉, |10〉 in |11〉. Kvantni register je lahko tudi v super-poziciji baznih stanj. Stanje registra torej predstavljajo kompleksni koeficienti(amplitude) pred baznimi vektorji

|ψ〉 = α00|00〉+ α01|01〉+ α10|10〉+ α11|11〉. (2)

Kvantni računalnik ima v splošnem v registru n qubitov. Bazna stanja takegasistema so |x1x2 . . . xn〉, kjer je xi = 0 ali 1. Stanje registra torej opisuje 2n

kompleksnih amplitud. Za n = 500 je to število večje od števila vseh atomov vvesolju! Na klasičnem računalniku je nemogoče shraniti toliko vrednosti. Naravapa očitno zmore upravljati s tako ogromnim številom informacij že samo prisistem z zgolj nekaj sto atomi. Ta ogromen računski potencial bi želeli izkoristiti.

2.2 Kvantna logična vrataKlasična računalniška vezja so sestavljena iz žic in logičnih vrat (NOT, AND,XOR,. . . ). Žice po vezju prenašajo informacije, logična vrata pa manipulirajoz biti, spreminjajo njihove vrednosti.

Funkcijo logičnih vrat v kvantnih vezjih nosijo kvantna logična vrata. Kvan-tna logična vrata so unitarni operatorji, ki delujejo na stanje kvantnega registra.Unitarnost je edina zahteva, kateri morajo zadostiti primerni kandidati za kvan-tna vrata. Vsak unitaren operator nam lahko predstavlja kvantna logična vrata.Če stanje vsakega od qubitov pišemo kot kompleksen dvokomopnenten vektor,lahko kvantna vrata, ki učinkujejo na en qubit, predstavimo z unitarnimi matri-kami 2x2 (v splošnem 2nx2n). Poglejmo si nekaj najbolj pomembnih kvantnihlogičnih vrat.

2

2.2.1 Hadamardova vrata

Hadamardova vrata so eno-qubitna vrata. Predstavimo jih z matriko

Ha =1√2

(1 11 −1

)a

, (3)

kjer sta bazni stanji

|0〉a :=(

10

)a

, |1〉a :=(

01

)a

, (4)

kjer indeks a pomeni, da vrata delujejo na a-ti qubit v registru. Hadamardovavrata takole delujejo na bazni stanji:

Ha|0〉a =1√2

(|0〉a + |1〉a) , (5)

Ha|1〉a =1√2

(|0〉a − |1〉a) . (6)

Slika 1: Simbolna oznaka Hadamardovih vrat.

Z delovanjem Hadamardovih vrat na kvantni register velikosti n v začetnemstaju |00 . . . 0〉, dobimo superpozicijo vseh 2n baznih stanj z enakimi koeficienti(α = 2−n/2). Kot primer poglejmo to operacijo na 3-qubitnem registru:

H|000〉 = H3H2H1 (|0〉3 ⊗ |0〉2 ⊗ |0〉1) (7)

=1√2

(|0〉+ |1〉)3 ⊗1√2

(|0〉+ |1〉)2 ⊗1√2

(|0〉+ |1〉)1 (8)

=1

2√

2(|000〉+ |001〉+ |010〉+ |011〉+ (9)

|100〉+ |101〉+ |110〉+ |111〉). (10)

2.2.2 Fazna vrata

Tudi fazna vrata so eno-qubitna kvantna vrata. Predstavimo jih z matriko

Ra,φ =(

1 00 eiφ

)a

. (11)

Ra,φ|0〉a = |0〉a, (12)

Ra,φ|1〉a = eiφ|1〉a. (13)

Iz Hadamardovih in faznih vrat lahko sestavimo unitarno transformacijo,ki iz qubita v stanju |0〉 zgenerira qubit v najbolj splošnem stanju, pomnoženz nekim globalnim faznim faktorjem, ki pa v kvantem računalništvu ne igrapomembne vloge, saj ga ni mogoče izmeriti.

e−iθRφ+ π2HR2θH|0〉 = cos θ|0〉+ eiφ sin θ|1〉. (14)

3

Slika 2: Simbolna oznaka faznih vrat.

2.2.3 Vrata C-NOT

Samo z vrati, ki delujejo na en qubit, ne moremo zgenerirati vseh možnih stanjkvantnega registra. Z njimi namreč lahko napravimo le separabilna stanja, ki sejih da zapisati kot produkt eno-qubitnih stanj. Stanje dvo-qubitnega registra

α|00〉+ β|01〉 = |0〉 ⊗ (α|0〉+ β|1〉) (15)

je separabilno, medtem ko se stanja

α|00〉+ β|11〉 6= |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉 (16)

ne da zapisati v obliki produkta stanj eno-qubitnih stanj.Splošno kvantno stanje za dva qubita lahko naredimo s pomočjo nekaterih

dvo-qubitnih vrat. Najpomembnejša izmed njih vrat so vrata C-NOT (kontro-lirana NOT vrata).

C =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

(17)

Bazna stanja zapišimo takole:

|00〉 =

1000

, |01〉 =

0100

, |10〉 =

0010

, |11〉 =

0001

, (18)

Prvega od obeh qubitov imenujemo kontrolni qubit. Vrata C-NOT imajosledečo funkcijo: če je kontrolni qubit v stanju |0〉, pustijo vrata C-NOT drugi(ciljni) qubit nespremenjen. Če pa je kontrolni qubit v stanju |1〉, delujejo vratana drugem qubitu kot vrata NOT (qubit negirajo, obrnejo - spremenijo muvektor):

C|00〉 = |00〉, (19)C|01〉 = |01〉, (20)C|10〉 = |11〉, (21)C|11〉 = |10〉. (22)

Vrata C-NOT iz separabilnih stanj lahko generirajo prepletena stanja. Pri-mer:

C (α|00〉+ β|10〉) = α|00〉+ β|11〉. (23)

C-NOT vrata so poseben primer C-U družine vrat (kontrolirana U vrata).Ta družina opravlja naslednjo funkcijo. Če je prvi qubit v stanju |0〉, C-U vrata

4

Slika 3: Simbolna oznaka C-NOT vrat.

ne naredijo ničesar, če pa je prvi qubit v stanju |1〉, vrata na drugem qubituopravijo U transformacijo.

|0〉|y〉 C−U−→ |0〉|y〉, (24)

|1〉|y〉 C−U−→ |1〉U (|y〉) , (25)

kjer je U lahko poljubna eno-qubitna unitarna transformacija.

2.2.4 Univerzalni set kvantnih vrat

Poljubno spremembo vrednosti n klasičnih bitov lahko sestavimo iz majhnegaseta osnovnih logičnih vrat (AND, OR, NOT). Pravimo, da je tak set vratuniverzalen set.

Pokazati se da, da podobno velja tudi za kvantna vezja. Hadamardova vrata,fazna vrata ter vrata C-NOT namreč tvorijo neskončni univerzalni set kvantnihvrat. To pomeni, da lahko poljubno unitarno transformacijo registra zapišemokot produkt vrat iz univerzalnega seta [5]. Ta set je neskončen zato, ker je faznihvrat Rφ neskončno, namreč za vse možne vrednosti φ so vrata drugačna.

Poleg neskončnega seta pa poznamo tudi končni univerzalni set kvantnihvrat, katerega tvorijo Hadamardova vrata, fazna vrata za kot π

4 (Rπ4) ter vrata

C-NOT. Dokazano je [5], da lahko katerokoli unitarno transformacijo do po-ljubne natančnosti aproksimiramo samo s produktom vrat iz končnega uni-verzalnega seta. Poenostavljeno rečeno to pomeni, da za kvantni računalnikpotrebujemo le kvantni sistem, na katerem znamo opraviti te tri transformacije.

3 Kvantni algoritmiIz stanja kvantnega registra, ki ga opisuje 2n kompleksnih števil, je zelo težkopridobiti določeno informacijo. Dokazano, da iz kvantnega registra n qubitovlahko izvlečemo samo n klasičnih bitov informacij [4]. Na prvi pogled se mordazdi, da to pomeni, da kvantni računalniki ne ponujajo bistvenih prednosti predklasiňimi. Vendar pa je z nekaterimi ustrezno zasnovanimi algoritmi možnosuperpozicijo primerno izrabiti in izkoristiti veliko potencialno računsko močkvantnega računalnika. Prvi kvantni algoritem, ki je pokazal to možnost, je bilDeutschev algoritem [6]. Deutschev algoritem ločuje med konstantnimi in ba-lansiranimi bitnimi funkcijami in nima uporabne vrednosti. Je pa ponudil idejeza razvoj bolj uporabnih algoritmov. Najbolj znana sta Shorov in Groverjevalgoritem.

5

Shorov algoritem [7] rešuje problem razstavljanja števil na prafaktorje. Gledena najhitrejši znani klasični algoritem ponuja eksponentno pohitritev, zato vzbujaveliko zanimanja. Danes uporabljane metode šifriranja in varnega prenosa po-datkov namreč temeljijo na dejstvu, da je dovolj velika števila praktično ne-mogoče razstaviti na prafaktorje. S kvantnim računalnikom z dovolj velikimregistrom in z uporabo Shorovega algoritma to postane realna možnost. Kobodo zmogljivi kvantni računalniki postali realnost, bodo danes uporabljanemetode šifriranja podatkov praktično neuporabne.

Groverjev algoritem [8] je kvantni algoritem za iskanje po nestrukturiranibazi N elementov. Klasično je za iskanje po bazi potrebnih O(N) korakov,časovna zahtevnost Groverjevega algoritem pa je O(

√N). Groverjev algoritem

ne prinese tako velike pohitritve glede na klasične algoritme kot Shorov, vendarje zaradi svoje vsestranske uporabnosti zelo velikega pomena. Z njim se namrečlahko lotimo vseh problemov, katerih rešitve je možno sistematično oštevilčiti.

3.1 Groverjev algoritemLov Grover je algoritem predstavil leta 1996. V bazi želimo najti element, kizadošča določenemu pogoju. Iskani element prepoznamo tako, da ga testiramo,če ustreza podanemu pogoju. Koliko testiranj je potrebnih, da iskani elementnajdemo? Klasično je potrebnih približno N testiranj, nimamo namreč drugemožnosti, kot da pregledamo vsak element posebej, dokler ne naletimo na iska-nega. Kvantni računalnik pa lahko izkoristi lastnosti kvantne mehanike in iskanielement najde v približno

√N operacijah.

Enostaven primer je iskanje po telefonskem imeniku. Imamo telefonski ime-nik in telefonsko številko, kateri bi radi našli pripadajoče ime in priimek. Kla-sično je največ, kar lahko naredimo, da gremo v telefonskem imeniku po vrstiin primerjamo telefonske številke. Ustrezno številko je enostavno prepoznati,vendar jo je težko najti.

Pri obravnavi Groverjevega algoritma ponavadi definiramo orakelj. Orakeljje kvantna transformacija, ki prepozna in ‘označi’ iskani element. Namestosamih elementov se osredotočimo na indeks posameznega elementa. Indeks ještevilo med 0 in N − 1. Zaradi lažjega računanja privzamemo N = 2n, tako jelahko indeks shranjen v n bitih. Vpeljemo funkcijo f , ki je definirana na množicicelih števil med 0 in N − 1. Funkcija je definirana tako, da je f(x) = 1, če je xiskani element, sicer pa je f(x) = 0.

Predpostavimo, da imamo na voljo kvantni orakelj — črno škatlo, ki znaprepoznati in označiti iskani element. Orakelj za svoje delovanje potrebuje do-datni qubit |q〉. Orakelj je unitarni operator O, definiran kot

|x〉|q〉 O−→ |x〉|q ⊕ f(x)〉. (26)

Tu je |x〉 register qubitov, v katerem je shranjen indeks, operator ⊕ pa pomeniseštevanje modulo 2. Pomožni qubit |q〉 se ‘obrne’ (negira), če je f(x) = 1, sicerpa ostane nespremenjen.

Pri Groverjevem algoritmu dodatni qubit pripravimo v stanje (|0〉−|1〉)√2

. Če

x ni indeks iskanega elementa, potem orakelj stanja |x〉 (|0〉−|1〉)√2

ne spremeni.Če pa x je indeks iskanega elementa, orakelj pomožni qubit negira, učinek papravzaprav samo sprememba predznaka, saj je pomožni qubit po negaciji v

6

stanju (|1〉−|0〉)√2

= − (|0〉−|1〉)√2

. Delovanje oraklja lahko zapišemo

|x〉 (|0〉 − |1〉)√2

O−→ (−1)f(x)|x〉 (|0〉 − |1〉)√2

(27)

Stanje dodatnega qubita |q〉 se po transformaciji ne spremeni. Pravzapravostane skozi celoten Groverjev algoritem v stanju (|0〉−|1〉)√

2, zato ga lahko v na-

daljevanju zavoljo enostavnosti izpuščamo.Delovanje oraklja lahko tako bolj pregledno zapišemo:

|x〉 O−→ (−1)f(x)|x〉 (28)

Pravimo, da orakelj označi iskani element s spremembo faze pred indeksomelementa.

Postavi se vprašanje, kakšen smisel sploh ima Groverjev algoritem. Če ora-kelj pozna indeks iskanega elementa, zakaj bi pravi indeks iskali, saj ga že vna-prej poznamo? Odgovor se skriva v dejstvu, da obstaja razlika med poznavanjemiskanega elementa in prepoznavanjem iskanega elementa, ni nujno, da indeks respoznamo. Iskani element namreč v nekaterih primerih lahko prepoznamo, neda bi ga vnaprej poznali. Primer je na primer faktorizacija. Denimo, da imamoveliko število m, za katerega vemo, da je produkt dveh praštevil p in q. Števil pin q vnaprej ne poznamo in jih je praktično nemogoče uganiti, če pa nam nekdop oziroma q poda, lahko z enostavnim deljenjem v trenutku ugotovimo, če jepodano število res prafaktor števila m.

Poglejmo si postopek Groverjevega algoritma:Začnemo s stanjem registra v stanju |0〉1|0〉2 . . . |0〉n, katerega nato s pomočjoHadamardovih transformacij spravimo v superpozicijo vseh baznih stanj z ena-komernimi faktorji:

|ψ0〉 = H1 . . .Hn (|0〉1 . . . |0〉n) =1√N

N−1∑x=0

|x〉 (29)

Nato na stanje večkrat zaporedno delujemo z Groverjevo iteracijo, ki jooznačimo z G. Groverjevo iteracijo lahko razdelimo na štiri korake:

1. Delovanje oraklja O.

2. Delovanje Hadamardove transformacije H1 . . .Hn.

3. Vsakemu stanju v superpoziciji, razen stanju |0〉, spremenimo predznak.To ustreza operatorju

2|0〉〈0| − I (30)

4. Ponovno delovanje Hadamardove transformacije H1 . . .Hn.

V vsaki Groverjevi iteraciji, je potrebno orakelj pognati samo enkrat. Itera-cijo lahko poenostavimo, če korake 2, 3 in 4 zapišemo združeno:

H1 . . .Hn (2|0〉〈0| − I)H1 . . .Hn = 2|ψ0〉〈ψ0| − I, (31)

kjer je |ψ0〉 superpozicija. Groverjevo iteracijo lahko tako kompaktno zapišemo

G = (2|ψ0〉〈ψ0| − I)O. (32)

7

Groverjeva iteracija je rotacija valovne funkcije kvantnega registra proti va-lovni funkciji iskanega elementa za določen konstantni kot, ki je odvisen le odštevila qubitov. Iteracijo je potrebno ustaviti, ko je valovna funkcija registranajbližje valovni funkciji iskanega elementa. Daljši račun pokaže [5], da je po-trebno iteracijo ponoviti k-krat,

k = round

(π

4 arcsin ( 1√N

)− 1

2

)(33)

kjer round pomeni najbližje naravno število. Za velike vrednostiN je arcsin ( 1√N

) ≈1√N

, zato je k = O(√N).

Groverjeva iteracija ob vsakem koraku povečuje amplitudo pred iskanim ele-mentom, amplitude pred ostalimi elementi pa se zmanjšujejo. Ob koncu algo-ritma je register v superpoziciji, kjer je amplituda pred iskanim elementom zeloblizu 1. To pomeni, da ob meritvi s precej veliko verjetnostjo izmerimo iskanielement. Verjetnost da bomo izmerili napačni element pada kot O( 1

N ).

3.1.1 Dvo-qubitni primer (N = 2n = 4)

Groverjevo iteracijo je po enačbi (33) za N = 4 potrebno opraviti samo enkrat,saj je k = 1. Primer za dva qubita je nekoliko poseben, saj je po končanemalgoritmu register v stanju iskanega elementa z verjetnostjo točno 1.

Denimo, da iščemo stanje |01〉. Začnemo z registrom v stanju |00〉 (pomo-žnega qubita ne pišemo, saj le-ta vedno ostaja v stanju (|0〉−|1〉)√

2) in ga s pomočjo

Hadamardovih transformacij spravimo v superpozicijo

|ψ0〉 =12

(|00〉+ |01〉+ |10〉+ |11〉) (34)

Nato je na vrsti Groverjeva iteracija. Najprej na stanje deluje orakelj O.Kot vemo orakelj spremeni predznak pred iskanim stanjem. To pomeni

O|ψ0〉 =12

(|00〉 − |01〉+ |10〉+ |11〉) . (35)

Ostane nam le še aplikacija operatorja 2|ψ0〉〈ψ0| − I. Najprej izračunajmo〈ψ0|O|ψ0〉

12

(〈11|+ 〈10|+ 〈01|+ 〈00|) 12

(|00〉 − |01〉+ |10〉+ |11〉) = (36)

14(1− 1 + 1 + 1) =

12

Končni rezultat (2|ψ0〉〈ψ0| − I)O|ψ0〉 = G|ψ0〉 je:

12

(|00〉+ |01〉+ |10〉+ |11〉)− 12

(|00〉 − |01〉+ |10〉+ |11〉) = |01〉 (37)

Po končanem algoritmu je torej kvantni register res v iskanem stanju

G|ψ0〉 = |01〉. (38)

8

4 Realizacija kvantnih računalnikovKvantne računalnike je moč realizirati na različne načine. Do danes še vednone znamo zgraditi kolikor toliko uporabnega kvantnega računalnika, vendar patehnologija hitro napreduje. Med možnimi kandidati za kvantne računalnike soračunalniki, ki temeljijo na jedrski magnetni resonanci (NMR), računalniki zioni, ujetimi v verige (trapped ion quantum computer), računalniki, ki temeljijona superprevodnikih,računalniki, ki temeljijo na kvantnih pikah,. . . Do sedaj sonajdlje prišli z računalnikom, ki temelji na jedrski magnenti resonanci.

4.1 Kvantni računalniki na osnovi NMRPodročje NMR je dobro razvito. NMR tehnika se uporablja v kemiji, biolo-giji in fiziki. Z njo je mogoče dokaj natančno opazovati in vplivati na stanjeposameznega atomskega jedra.

Qubite nam predstavljajo spini atomskih jeder v raztopini. Jedra s spinoms = 1

2 so kot dvonivojski kvantni sistem ustrezen kandidat za realizacijo qubi-tov. Kot večbitne kvantne registre uporabimo molekule z več jedri z različnimiprecesijskimi frekvencami. Tako lahko z izbiro prave frekvence manipuliramo zvsakim od qubitov posebej. Število qubitov pa je velika omejitev NMR kvantnihračunalnikov. Signal namreč hitro pada s številom atomov v molekuli [11]. Enaizmed težav je, da ob povečevanju števila atomov (večje molekule) razdalja medjedri raste in je spin-spin interakcija vse šibkejša. Zato ni realno pričakovati,da bo možno narediti NRM kvantne z računalnike z dovolj velikim številomqubitov, da bi njihova zmogljivost presegla zmogljivosti klasičnih računalnikov.

4.1.1 NMR kvantna vrata

Uporaben kvantni računalnik mora biti zmožen opravljati vse transformacijeizmed univerzalnega seta vrat. Najbolj pogosto uporabljan končni univerzalniset vrat je sestavljen iz faznih vrat, Hadamardovih vrat in vrat C-NOT. Iz faznihin Hadamardovih vrat lahko sestavimo poljubno unitarno transformacijo qubita.Pri kvantnih računalnikih na principu NMR lahko logična vrata realiziramo zelektromagnetnimi pulzi z ustreznim časom trajanja ter ustrezno fazo [11, 12].

Bolj zapletena je realizacija vrat C-NOT. Prvi dvo-qubitni NMR kvantniračunalnik je za sistem dveh qubitov uporabljal molekulo kloroforma (CHCl3).Enega od qubitov predstavlja spin vodikovega, drugega pa spin ogljikovega jedra.Za realizacijo vrat C-NOT izrabimo interakcijo med spinoma vodika in ogljika.Denimo, da je spin vodika postavljen paralelno ali antiparalelno na smer ma-gnetnega polja, spin ogljika pa kaže v smeri magnetnega polja. S primernimradijskim pulzom lahko spin ogljikovega jedra zavrtimo tako, da precesira vravnini pravokotni na magnetno polje. Hitrost precesiranja oglikovega spina jeodvisna od lokalnega magnetnega polja, to pa je odvisno od smeri, v katero jeobrnjen vodik. Po določenem času bo spin ogljika kazal ali v neko smer ali pav ravno nasprotno smer, odvisno od vodikove orientacije. V tistem trenutkudelujemo na ogljikov spin s še enim pulzom π

2 , ki ogljikov spin obrne navzdol, čeje vodik paralelen ali pa navzgor, če je vodik antiparalelen magnetnemu polju.To pa je res transformacija, kakršno opravljajo vrata C-NOT.

9

Slika 4: Srednja slika predstavlja spin v osnovnem stanju, poravnan s smerjokonstantnega magnetnega polja. S primerno izbranim radijskim pulzom, lahkospremenimo smer spina. π pulz (levo), na primer, obrne spin, pulz π

2 (desno)pa ga obrne v ravnino pravokotno na magnetno polje, kjer spin nato precesira.[12]

4.2 Današnje stanjeNajveč delujočih modelov kvantnih računalnikov je bilo narejenih na osnovijedrske magnetne resonance. Prvi delujoči dvo-qubitni NMR kvantni računalnikje bil zgrajen leta 1998, istega leta so izdelali tudi 3-qubitnega. Do leta 2000je število qubitov naraslo na 7. S 7-qubitnim NMR kvantnim računalnikom soleta 2001 tudi prvič demonstrirali Shorov algoritem. Uspešno so prafaktoriziralištevilo 15. Do danes je raziskovalcem uspelo sestaviti NMR računalnike z 12qubiti.

Že nekaj časa je jasno, da v kvantnih računalnikih na osnovi NMR ni priho-dnosti. Praktično nemogoče je namreč zagotoviti dovolj veliko število qubitov,saj signal z vsakim dodanim atomom v molekuli hitro pada. Zaradi relativnoenostavne izdelave in dobro izpiljenih NMR tehnik pa se z NMR kvantnimiračunalniki vseeno opravlja veliko poskusov.

Verjetno je najbolj obetavna vrsta kvantnih računalnikov tista, ki se po-služuje ujetih ionov (trapped ion) [13]. Ioni so s pomočju kvadrupolnega ele-ktričnega polja ujeti v verigah, zaradi medsebojnega elektrostatskega odbojapa ostanejo na razdalji nekaj valovnih dolžin svetlobe drug od drugega. Qubitpredstavljata dve stabilni elektronski stanji iona, kvantne logične transforma-cije pa opravljamo s pomočjo laserskih pulzov in elektromagnetnih valov. Na tanačin je raziskovalcem uspelo demonstrirati že kar nekaj potrebnih elementov,popolnega delujočega računalnika pa jim še ni uspelo zgraditi. Je pa ta tehnikazelo obetavna, saj je znan postopek, po katerem se lahko pasti sestavlja v večjeračunalnike in je maksimalno število qubitov praktično neomejeno.

Februarja letos je podjetje D-Wave Systems [14] demonstriralo svoj 16-qubitni kvantni računalnik Orion, ki naj bi temeljil na superprevodnosti. Česo trditve resnične, je to prvi delujoči kvantni računalnik s 16 biti. Vendarpa strokovnjaki ostajajo nekoliko skeptični, saj je bilo demonstrirano le nekajenostavnih programov, notranje sestave in principa delovanja računalnika pa

10

Slika 5: C-NOT vrata realizirana z dvema π2 sunkoma. [12]

podjetje ni razkrilo. Vse kaže, da gre za nekoliko omejen kvantni računalnik, kilahko izvaja le nekatere določene kvantne algoritme.

5 ZaključekKvantno racunalništvo je še vedno na začektu razvoja. Poznanih je že nekajprednosti kvantnih računalnikov, ki pa jih bo potrebno še potrobneje stestirati.Verjetno obstaja precej prednosti, ki še niso bile odkrite. Za testiranje poznanihin iskanje novih prednosti, pa bo potrebno zgraditi delujoče kvantne računalnike.Glavna ovira pri gradnji kvantnih računalnikov je dekoherenca, saj je sistemtežko izolirati od okolice, vsaka interakcija z okoljem pa vpliva na superpozicijoregistra in lahko pokvari računanje.

Morda bo do izdelave kvantnih računalnikov, ki bodo v računski moči preka-šali klasične računalnike preteklo še mnogo let, vendar se strokovnjaki večinomastrinjajo, da gre le za vprašanje časa.

11

Slika 6: 16-qubitni kvantni procesor Orion. [14]

Literatura[1] R. P. Feynman, International Journal of Theoretical Physics 21 (1982) 467.

[2] A. Ekert, P. Hayden, H. Inamori, Basic concepts in quantum computation(2000), e-print quant-ph/0011013.

[3] G. Benenti, G. Casati, G. Strini, Principles of Quantum Computation andInformation, Volume 1 (World Scientific Publishing, 2004).

[4] Alexander Holevo, Information theoretical aspects of quantum measure-ments, Probl. Info.Transm. (USSR), vol. 9, no. 2, pp. 31-42 (1973)

[5] M. Nielsen, I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information(Cambridge University Press, 2000).

[6] D. Deutsch, R. Josza, Rapid Solution of Problems by Quantum Computa-tion, Proc. R. Soc. London A439 (1992) 553-558.

[7] P. Shor, Algorithms for Quantum Computation: Discrete Logarithm andFactoring, Proc. 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Sci-ence (1994) 124-134 and SIAM J. Comput. 26 (1997) 1484-1509

[8] L.K. Grover, A fast quantum mechanical algorithm for database search,Proceedings, 28th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing(1996) p.212, quant-ph/9605043

12

[9] C. Lavor, L.R.U. Manssur, R. Portugal, Shor’s Algorithm for FactoringLarge Integers, quant-ph/0303175v1 (2003).

[10] C. Lavor, L.R.U. Manssur, R. Portugal, Grover’s Algorithm: QuantumDatabase Search, quant-ph/0301079v1 (2003).

[11] I. Chuang, M. Steffen, C. Ramanathan, N. Boulant, Z. Chen, D.G. Cory,NMR Quantum Information Processing, Quantum Information Processing,Vol 3, 15-44 (2004)

[12] N. Gerschenfeld, I. Chuang, Quantum Computing with Molecules ScientificAmerican, June 1998 (1998).

[13] Cirac, Zoller, Quantum Computation with cold trapped ions Physical Rev.Let., vol 74, p. 4091 (1995)

[14] http://www.dwavesys.com/

13