Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator...

80
Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Lukaˇ cevi´ c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja 2013. Igor Lukaˇ cevi´ c Kvantni harmonijski oscilator

Transcript of Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator...

Page 1: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Kvantni harmonijski oscilatorQuantum mechanics 1 - Lecture 10

Igor Lukacevic

UJJS, Dept. of Physics, Osijek

10. svibnja 2013.

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 2: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Contents

1 Osnovna svojstva

2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

4 Princip korespondencije

5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

6 Literature

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 3: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Contents

1 Osnovna svojstva

2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

4 Princip korespondencije

5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

6 Literature

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 4: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

Thomsonov model oscilirajucih naboja

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 5: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

md2x

dt2= −Kx2 ⇒ d2x

dt2+ ω2

0x = 0 , ω20 =

K

m

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 6: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

Pitanje

Znate li iz jednadzbe klasicnog oscilatora izvesti ukupnu energiju?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 7: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

Pitanje

Znate li iz jednadzbe klasicnog oscilatora izvesti ukupnu energiju?

Ako ne znate, nadite za DZ:

E =1

2mx2 +

1

2Kx2

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 8: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

x = 0 ⇒ E =1

2Kx2

0

⇒ x0 = ±√

2E

K

↓tocke okretista

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 9: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

1 x2 < x20

Pitanje

Kolika je kineticka energija uovom slucaju?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 10: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

1 x2 < x20

Ek = E −V =1

2K(x2

0 − x2)

⇒ Ek > 0

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 11: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

1 x2 < x20

Ek = E −V =1

2K(x2

0 − x2)

⇒ Ek > 0

2 x2 > x20

Pitanje

Kolika je kineticka energija uovom slucaju?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 12: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

1 x2 < x20

Ek = E −V =1

2K(x2

0 − x2)

⇒ Ek > 0

2 x2 > x20

Ek = E −V =1

2K(x2

0 − x2)

⇒ Ek < 0

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 13: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Klasicni oscilator

Ek > 0 , x2 < x20 klasicno

dopustenopodrucje

Ek < 0 , x2 > x20 klasicno

zabranjenopodrucje

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 14: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Kvantni oscilator

1D S .J. − ~2

2m

d2ϕ

dx2+

1

2Kx2ϕ = Eϕ

Klasicno dopusteno podrucje

ϕ′′ + k2ϕ = 0

~2k2

2m= E − 1

2Kx2 > 0

⇒ ϕ ∼ e±ikx

Klasicno zabranjeno podrucje

ϕ′′ − κ2ϕ = 0

~2κ2

2m=

1

2Kx2 − E > 0

⇒ ϕ ∼ e±κx

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 15: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Kvantni oscilator

Pitanje

Koliko iznosi κ2 u “asimptotskom podrucju” 12Kx2 � E?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 16: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Kvantni oscilator

Pitanje

Koliko iznosi κ2 u “asimptotskom podrucju” 12Kx2 � E?

κ2 =mK

~2x2

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 17: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Kvantni oscilator

Asimptotsko podrucje 12Kx2 � E

S.J.⇒ ϕ′′ =mK

~2x2ϕ = β4x2ϕ , β2 ≡ mω

~

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 18: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Kvantni oscilator

Asimptotsko podrucje 12Kx2 � E

S.J.⇒ ϕ′′ =mK

~2x2ϕ = β4x2ϕ , β2 ≡ mω

~

Supstitucija ξ = βx ⇒

ϕ′′ = ξ2ϕ , ϕ′′ =d2ϕ

dξ2

Pitanje

Koliki je ξ u odnosu na 1 u ovom podrucju?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 19: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Kvantni oscilator

Asimptotsko podrucje 12Kx2 � E

S.J.⇒ ϕ′′ =mK

~2x2ϕ = β4x2ϕ , β2 ≡ mω

~

Supstitucija ξ = βx ⇒

ϕ′′ = ξ2ϕ , ϕ′′ =d2ϕ

dξ2

⇒ ϕ ∼ Ae±ξ2/2 = Ae±

(βx)2

2

Pitanje

Da li su oba rjesenja valjana?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 20: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Osnovna svojstva

Kvantni oscilator

ϕ(x) ∼

Ae−

(βx)2

2 , |x | > x0

Ae±ikx , |x | < x0

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 21: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Contents

1 Osnovna svojstva

2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

4 Princip korespondencije

5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

6 Literature

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 22: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Operatori stvaranja i ponistavanja

a =β√2

(x +

ip

)a† =

β√2

(x − ip

)

Pitanje

Da li je operator a Hermitski?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 23: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Operatori stvaranja i ponistavanja

Komutacijska relacija

[x , p] = i~ DZ⇒

[a, a†

]= 1

aa† = 1 + a†a

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 24: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Operatori stvaranja i ponistavanja

[a, a†

]= 1

+

xDZ=

a + a†

β√

2

pDZ=

i

a− a†

β√

2

⇒ H = ~ω

(aa† + 1

)

H ! N ≡ a†a

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 25: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Pretpostavimo Nϕn = nϕn

⇒ Na†ϕn = a†aa†ϕn = a†(a†a + 1)ϕn

= a†(N + 1)ϕn

= a†(n + 1)ϕn = (n + 1)a†ϕn

⇒ a†ϕn = ϕn+1 , ∀n

a† operator stvaranja(podizanja)

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 26: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Pretpostavimo Nϕn = nϕn

⇒ Naϕn = a†aaϕn = (aa† − 1)aϕn

= a(a†a− 1)ϕn = a(N − 1)ϕn

= a(n − 1)ϕn = (n − 1)aϕn

⇒ aϕn = ϕn−1 , ∀n

a operator ponistavanja(spustanja)

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 27: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Pitanje

Koliko iznosi ocekivanje od H?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 28: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Pitanje

Koliko iznosi ocekivanje od H?

Hϕn = ~ω(N +

1

2

)ϕn = ~ω

(n +

1

2

)ϕn

En = 〈ϕn|H|ϕn〉 = ~ω(n +

1

2

)DZ

≥ 0

⇒ n ≥ −1

2

Pitanje

Koje vrijednosti moze imati n?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 29: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Pitanje

Koje vrijednosti moze imati n?

Pretpostavimo n ∈ R , i < n < i + 1 , i ∈ Z

aϕn 99K n − 1 > 0

a2ϕn 99K n − 2 > 0

...

aiϕn 99K n − i > 0

ai+1ϕn 99K n − (i + 1) < 0 ⇒⇐

⇒ n ∈ Z

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 30: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Pitanje

Koliko iznosi ocekivanje od H?

Hϕn = ~ω(N +

1

2

)ϕn = ~ω

(n +

1

2

)ϕn

En = 〈ϕn|H|ϕn〉 = ~ω(n +

1

2

)DZ

≥ 0

⇒ n ≥ −1

2

n ∈ Z

⇒ n = 0, 1, 2, 3, . . .

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 31: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Svojstvene vrijednosti kvantnogharmonijskog oscilatora

En = ~ω(n +

1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 32: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Svojstvene vrijednostikvantnog harmonijskogoscilatora

En = ~ω(n +

1

2

),

n = 0, 1, 2, . . .

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 33: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Primjer 1.

Koliko iznosi frekvencija fotona emitiranog pri prijelazu izmedu bilo koja dvavibracijska nivoa dvoatomne molekule?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 34: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Primjer 1.

Koliko iznosi frekvencija fotona emitiranog pri prijelazu izmedu bilo koja dvavibracijska nivoa dvoatomne molekule?

hν = En′ − En = ~ω(n′ +

1

2

)− ~ω

(n +

1

2

)= ~ω

(n′ − n

)= ~ωs

ν = sω

2π, s ∈ Z

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 35: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Primjer 2.

Razmak izmedu dva vibracijska nivoa molekule CO je 2170 cm−1

(mc = 12 amj, mo = 16 amj). Izracunajte efektivnu konstantu elasticnosti, kojaje mjera jakosti veze izmedu atoma u molekuli.

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 36: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Primjer 2.

Razmak izmedu dva vibracijska nivoa molekule CO je ωe = 2170 cm−1

(mc = 12 amj, mo = 16 amj). Izracunajte efektivnu konstantu elasticnosti, kojaje mjera jakosti veze izmedu atoma u molekuli.

ωe =ν

c=

1

2πc

√k

µ⇒ k = µ(2πωec)2

=mc ·mo

mc + mo· 1.66053892 · 10−27(2πωec)2

k = 1905 N/m

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 37: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Primjer 3.

U trenutku t = 0 stanje sustava je opisano funkcijom

|ψ〉 =1√2|0〉+

1√3|1〉+

1√6|2〉

a) Ako se mjeri energija sustava, koje vrijednosti se mogu naci i s kojomvjerojatnoscu?

b) Koliko iznosi prosjecna energija sustava?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 38: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Primjer 3.

U trenutku t = 0 stanje sustava je opisano funkcijom

|ψ〉 =1√2|0〉+

1√3|1〉+

1√6|2〉

a) Ako se mjeri energija sustava, koje vrijednosti se mogu naci i s kojomvjerojatnoscu?

b) Koliko iznosi prosjecna energija sustava?

a)

Funkcija baze Energija Vjerojatnost

|0〉 ~ω(0 + 1/2) = ~ω2

∣∣∣ 1√2

∣∣∣2 = 12

|1〉 ~ω(1 + 1/2) = 3~ω2

∣∣∣ 1√3

∣∣∣2 = 13

|2〉 ~ω(2 + 1/2) = 5~ω2

∣∣∣ 1√6

∣∣∣2 = 16

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 39: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene vrijednosti

Primjer 3.

U trenutku t = 0 stanje sustava je opisano funkcijom

|ψ〉 =1√2|0〉+

1√3|1〉+

1√6|2〉

a) Ako se mjeri energija sustava, koje vrijednosti se mogu naci i s kojomvjerojatnoscu?

b) Koliko iznosi prosjecna energija sustava?

b)

〈H〉 =∑i

PiEi =1

2

~ω2

+1

3

3~ω2

+1

6

5~ω2

=~ω4

+~ω2

+5~ω12

=7~ω

6

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 40: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Contents

1 Osnovna svojstva

2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

4 Princip korespondencije

5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

6 Literature

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 41: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

ξ2 =mω

~x2 = β2x2 ⇒

a

DZ=

1√2

(ξ +

∂ξ

)

a†DZ=

1√2

(ξ − ∂

∂ξ

)

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 42: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

ξ2 =mω

~x2 = β2x2 ⇒

a

DZ=

1√2

(ξ +

∂ξ

)

a†DZ=

1√2

(ξ − ∂

∂ξ

)

aϕ0 = 0 ⇔ 1√2

(ξ +

∂ξ

)ϕ0 = 0

Pitanje

Kako izgleda rjesenje ove jednadzbe?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 43: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

ξ2 =mω

~x2 = β2x2 ⇒

a

DZ=

1√2

(ξ +

∂ξ

)

a†DZ=

1√2

(ξ − ∂

∂ξ

)

aϕ0 = 0 ⇔ 1√2

(ξ +

∂ξ

)ϕ0 = 0

ϕ0 = A0e−ξ2/2

Pitanje

Koliko iznosi konstanta A0?

Hint:

∫ ∞−∞

e−ξ2

dξ =√

2

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 44: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

ξ2 =mω

~x2 = β2x2 ⇒

a

DZ=

1√2

(ξ +

∂ξ

)

a†DZ=

1√2

(ξ − ∂

∂ξ

)

aϕ0 = 0 ⇔ 1√2

(ξ +

∂ξ

)ϕ0 = 0

ϕ0 = A0e−ξ2/2

U.N.⇒ A0 =1√4

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 45: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

Valna funkcija osnovnog stanja

ϕ0(ξ) =1√4e−

ξ2

2

ϕ0(x)DZ=

(mωπ~

)1/4e−

mω2~ x2

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 46: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

Pitanje

Imate li ideju kako “stvoriti” valnu funkciju n-tog stanja iz ϕ0?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 47: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

Pitanje

Imate li ideju kako “stvoriti” valnu funkciju n-tog stanja iz ϕ0?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 48: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

Pitanje

Imate li ideju kako “stvoriti” valnu funkciju n-tog stanja iz ϕ0?

ϕ1 = a†ϕ0 =1√2

(ξ +

∂ξ

)· 1√

4e−

ξ2

2 = A1

(ξ +

∂ξ

)e−

ξ2

2

ϕ2 = a†ϕ1 =1√2

(ξ +

∂ξ

)[A1

(ξ +

∂ξ

)e−

ξ2

2

]= A2

(ξ +

∂ξ

)2

e−ξ2

2

...

ϕn = An

(ξ +

∂ξ

)n

e−ξ2

2

Pitanje

Sto dobijemo uzastopnim djelovanjem operatora a† na e−ξ2/2?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 49: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

Valna funkcija n-tog stanja [4]

ϕn = AnHn(ξ)e−ξ2

2 , Hn = Hermiteovi polinomi

En = ~ω(n +

1

2

)

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 50: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

Korisne relacije (dokaz u ref. [2])

aϕn =√n ϕn−1

a†ϕn =√n + 1 ϕn+1

a†aϕn = nϕn

aa†ϕn = (n + 1)ϕn

Pitanje

Mozete li, koristeci ove relacije, izraziti ϕn pomocu ϕ0?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 51: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

Korisne relacije (dokaz u ref. [2])

aϕn =√n ϕn−1

a†ϕn =√n + 1 ϕn+1

Valna funkcija n-tog stanja

ϕn =1√n!

(a†)nϕ0

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 52: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

Primjer 4.

Izracunajte ocekivanje potencijalne energije u n-tom stanju harmonijskogoscilatora. Provjerite da harmonijski oscilator zadovoljava tzv. virijalni teorem.

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 53: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

n-to stanje iz osnovnog stanja

Primjer 4.

Izracunajte ocekivanje potencijalne energije u n-tom stanju harmonijskogoscilatora. Provjerite da harmonijski oscilator zadovoljava tzv. virijalni teorem.

〈V 〉 =1

2mω2〈x2〉 =

1

2mω2

∫ ∞−∞

ϕ∗nx2ϕndx

x2 =~

2mω

[(a†)2

+ a†a + aa† + a2]

⇒ 〈V 〉 =~ω2

∫ϕ∗n

[(a†)2

+ a†a + aa† + a2]ϕndx

=~ω4

(n + n + 1) =1

2~ω(n +

1

2

)⇒ 〈V 〉 =

1

2〈E〉

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 54: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

Podsjetimo se

S .J.d2ϕ

dξ= (ξ2 − K)ϕ , K =

2E

⇒ ϕ(ξ) =

Ae−

ξ2

2 , ξ →∞

Ae±ikβξ, ξ ≈ 0

Pitanje

Kako bi moglo izgledati ukupno rjesenje Schrodingerove jednadzbe?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 55: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

Podsjetimo se

S .J.d2ϕ

dξ= (ξ2 − K)ϕ , K =

2E

⇒ ϕ(ξ) =

Ae−

ξ2

2 , ξ →∞

Ae±ikβξ, ξ ≈ 0

ϕ(ξ) = H(ξ)e−ξ2

2 , H(ξ) = polinomi u ξ

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 56: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,

H(ξ) = a0 + a1ξ + a2ξ2 + · · · =

∞∑j=0

ajξj

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 57: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,

H(ξ) = a0 + a1ξ + a2ξ2 + · · · =

∞∑j=0

ajξj

ref .[2,3]=⇒ aj+2 =

(2j + 1− K)

(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 58: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,

H(ξ) = a0 + a1ξ + a2ξ2 + · · · =

∞∑j=0

ajξj

ref .[2,3]=⇒ aj+2 =

(2j + 1− K)

(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.

a0

a2 =(1− K)

2a0 ,

a4 =(5− K)(1− K)

24a0 ,

...

a1

a3 =(3− K)

6a1 ,

a5 =(7− K)(3− K)

120a1 ,

...

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 59: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,

ref .[2,3]=⇒ aj+2 =

(2j + 1− K)

(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.

H(ξ) = Hp(ξ) + Hn(ξ) ,

Hp(ξ) = a0 + a2ξ2 + a4ξ

4 + . . . ,

Hn(ξ) = a1ξ + a3ξ3 + a5ξ

5 + . . .

Pitanje

Jesu li sva ovakva rjesenja valjana?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 60: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,

ref .[2,3]=⇒ aj+2 =

(2j + 1− K)

(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.

H(ξ) = Hp(ξ) + Hn(ξ) ,

Hp(ξ) = a0 + a2ξ2 + a4ξ

4 + . . . ,

Hn(ξ) = a1ξ + a3ξ3 + a5ξ

5 + . . .

Pitanje

Jesu li sva ovakva rjesenja valjana?

Ne.

j →∞ ⇒ aj+2 ≈2

jaj ⇒ aj ≈

C

(j/2)!⇒ H(ξ) ≈ C

∑ 1

(j/2)!ξj

≈ C∑ 1

s!ξ2s ≈ Ceξ

2

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 61: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,

ref .[2,3]=⇒ aj+2 =

(2j + 1− K)

(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.

H(ξ) = Hp(ξ) + Hn(ξ) ,

Hp(ξ) = a0 + a2ξ2 + a4ξ

4 + . . . ,

Hn(ξ) = a1ξ + a3ξ3 + a5ξ

5 + . . .

H(ξ) = polinomi konacnog reda u ξ

⇒ ∃ jmax = n , tdj. an+2 = 0

Zadatak

Iskoristite ovaj rezultat na rekurzivnoj formuli.

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 62: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

K = 2n + 1

K =2E

⇒ En =

(n +

1

2

)~ω , n = 0, 1, 2, . . .

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 63: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

E = 0.49~ω E = 0.51~ω

99K Pogledajte ref. [5]

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 64: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

Pitanje

Zasto mora vrijediti

a1 = a3 = · · · = 0 , n paran

a0 = a2 = · · · = 0 , n neparan ?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 65: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

Pitanje

Sto dobijemo iz rekurzivne relacije za K = 2n + 1? Iskoristite tu relaciju dadobijete Hn(ξ).

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 66: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

Svojstvene funkcije harmonijskog oscilatora

ϕn(ξ) =(mωπ~

)1/4 1√2nn!

Hn(ξ)e−ξ2

2

Za normiranje pogledajte ref. [3].

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 67: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

Hermiteovi polinomi

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 68: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Princip korespondencije

Contents

1 Osnovna svojstva

2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

4 Princip korespondencije

5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

6 Literature

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 69: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Princip korespondencije

Klasicni oscilator

Pkl =1

π√

x20 − x2

Kvantni oscilator

Pkv =

∫ϕ∗nϕndx ,

ϕn(x) =(mωπ~

)1/4 1√2nn!

Hn(ξ)e−ξ2

2

Pitanje

Sto dobijemo u limesu n→∞ za Pkv?

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 70: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Princip korespondencije

limn→∞

Pkvn = Pkl [6]

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 71: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

Contents

1 Osnovna svojstva

2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

4 Princip korespondencije

5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

6 Literature

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 72: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

3D Hamiltonijan:

H = − ~2

2m

(∂2

∂x2+

∂2

∂y 2+

∂2

∂z2

)+

mω2

2

(x2 + y 2 + z2

)= H(x) + H(y) + H(z)

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 73: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

3D Hamiltonijan:

H = − ~2

2m

(∂2

∂x2+

∂2

∂y 2+

∂2

∂z2

)+

mω2

2

(x2 + y 2 + z2

)= H(x) + H(y) + H(z)

[H(x) + H(y) + H(z)]φ(x , y , z) = Eφ(x , y , z)

φ(x , y , z) = ϕx(x)ϕy (y)ϕz(z)

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 74: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

3D Hamiltonijan:

H = − ~2

2m

(∂2

∂x2+

∂2

∂y 2+

∂2

∂z2

)+

mω2

2

(x2 + y 2 + z2

)= H(x) + H(y) + H(z)

[H(x) + H(y) + H(z)]φ(x , y , z) = Eφ(x , y , z)

φ(x , y , z) = ϕx(x)ϕy (y)ϕz(z)

H(x)ϕx(x) = Exϕx(x)

H(y)ϕy (y) = Eyϕy (y)

H(z)ϕz(z) = Ezϕz(z)

, E = Ex + Ey + Ez

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 75: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

Svojstvene funkcije i vrijednosti trodimenzionalnog kvantnog harmonijskogoscilatora

φnx ,ny ,nz (x , y , z) = NnxNnyNnz e− (βx x)

2

2 e−(βy y)

2

2 e−(βz z)

2

2 ··Hnx (βxx)Hny (βyy)Hnz (βzz)

Enx ,ny ,nz = ~ωx

(nx +

1

2

)+ ~ωy

(ny +

1

2

)+ ~ωz

(nz +

1

2

)

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 76: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

Izotropni oscilator

ωx = ωy = ωz = ω ⇒ βx = βy = βz = β

φnx ,ny ,nz (x , y , z) = NnxNnyNnz e− β

2

2(x2+y2+z2)Hnx (βx)Hny (βy)Hnz (βz)

Enx ,ny ,nz = ~ω(nx + ny + nz +

3

2

)

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 77: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

Degeneracija stanja

Npr. nx + ny + nz = 1

⇒ E100 = E010 = E001 =5

2~ω

φ100

φ010

φ001

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 78: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 79: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Literature

Contents

1 Osnovna svojstva

2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

4 Princip korespondencije

5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

6 Literature

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator

Page 80: Kvantni harmonijski oscilator · Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10 Igor Luka cevi c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 10. svibnja

Kvantni harmonijski oscilator

Literature

Literatura

1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.

2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.

3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.

4 Aplet - Operatori a i a†

5 Aplet - Rjesenja za razlicite E

6 Aplet - Klasicna i kvantna gustoca vjerojatnosti

Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator