Kvantni harmonijski oscilatorfizika.unios.hr/~ilukacevic/dokumenti/materijali_za...Kvantni...
Transcript of Kvantni harmonijski oscilatorfizika.unios.hr/~ilukacevic/dokumenti/materijali_za...Kvantni...
Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilatorQuantum mechanics 1 - Lecture 10
Igor Lukacevic
UJJS, Dept. of Physics, Osijek
21. svibnja 2013.
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
4 Princip korespondencije
5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
6 Literature
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
4 Princip korespondencije
5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
6 Literature
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
Thomsonov model oscilirajucih naboja
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
md2x
dt2= −Kx2 ⇒ d2x
dt2+ ω2
0x = 0 , ω20 =
K
m
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
Pitanje
Znate li iz jednadzbe klasicnog oscilatora izvesti ukupnu energiju?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
Pitanje
Znate li iz jednadzbe klasicnog oscilatora izvesti ukupnu energiju?
Ako ne znate, nadite za DZ:
E =1
2mx2 +
1
2Kx2
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
x = 0 ⇒ E =1
2Kx2
0
⇒ x0 = ±√
2E
K
↓tocke okretista
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
1 x2 < x20
Pitanje
Kolika je kineticka energija uovom slucaju?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
1 x2 < x20
Ek = E −V =1
2K(x2
0 − x2)
⇒ Ek > 0
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
1 x2 < x20
Ek = E −V =1
2K(x2
0 − x2)
⇒ Ek > 0
2 x2 > x20
Pitanje
Kolika je kineticka energija uovom slucaju?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
1 x2 < x20
Ek = E −V =1
2K(x2
0 − x2)
⇒ Ek > 0
2 x2 > x20
Ek = E −V =1
2K(x2
0 − x2)
⇒ Ek < 0
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Klasicni oscilator
⇒
Ek > 0 , x2 < x20 klasicno
dopustenopodrucje
Ek < 0 , x2 > x20 klasicno
zabranjenopodrucje
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Kvantni oscilator
1D S .J. − ~2
2m
d2ϕ
dx2+
1
2Kx2ϕ = Eϕ
Klasicno dopusteno podrucje
ϕ′′ + k2ϕ = 0
~2k2
2m= E − 1
2Kx2 > 0
⇒ ϕ ∼ e±ikx
Klasicno zabranjeno podrucje
ϕ′′ − κ2ϕ = 0
~2κ2
2m=
1
2Kx2 − E > 0
⇒ ϕ ∼ e±κx
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Kvantni oscilator
Pitanje
Koliko iznosi κ2 u “asimptotskom podrucju” 12Kx2 � E?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Kvantni oscilator
Pitanje
Koliko iznosi κ2 u “asimptotskom podrucju” 12Kx2 � E?
κ2 =mK
~2x2
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Kvantni oscilator
Asimptotsko podrucje 12Kx2 � E
S.J.⇒ ϕ′′ =mK
~2x2ϕ = β4x2ϕ , β2 ≡ mω
~
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Kvantni oscilator
Asimptotsko podrucje 12Kx2 � E
S.J.⇒ ϕ′′ =mK
~2x2ϕ = β4x2ϕ , β2 ≡ mω
~
Supstitucija ξ = βx ⇒
ϕ′′ = ξ2ϕ , ϕ′′ =d2ϕ
dξ2
Pitanje
Koliki je ξ u odnosu na 1 u ovom podrucju?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Kvantni oscilator
Asimptotsko podrucje 12Kx2 � E
S.J.⇒ ϕ′′ =mK
~2x2ϕ = β4x2ϕ , β2 ≡ mω
~
Supstitucija ξ = βx ⇒
ϕ′′ = ξ2ϕ , ϕ′′ =d2ϕ
dξ2
⇒ ϕ ∼ Ae±ξ2/2 = Ae±
(βx)2
2
Pitanje
Da li su oba rjesenja valjana?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Osnovna svojstva
Kvantni oscilator
ϕ(x) ∼
Ae−
(βx)2
2 , |x | > x0
Ae±ikx , |x | < x0
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
4 Princip korespondencije
5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
6 Literature
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Operatori stvaranja i ponistavanja
a =β√2
(x +
ip
mω
)a† =
β√2
(x − ip
mω
)
Pitanje
Da li je operator a Hermitski?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Operatori stvaranja i ponistavanja
Komutacijska relacija
[x , p] = i~ DZ⇒
[a, a†
]= 1
aa† = 1 + a†a
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Operatori stvaranja i ponistavanja
[a, a†
]= 1
+
xDZ=
a + a†
β√
2
pDZ=
mω
i
a− a†
β√
2
⇒ H = ~ω
(a†a +
1
2
)
H ! N ≡ a†a
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Pretpostavimo Nϕn = nϕn
⇒ Na†ϕn = a†aa†ϕn = a†(a†a + 1)ϕn
= a†(N + 1)ϕn
= a†(n + 1)ϕn = (n + 1)a†ϕn
⇒ a†ϕn = ϕn+1 , ∀n
a† operator stvaranja(podizanja)
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Pretpostavimo Nϕn = nϕn
⇒ Naϕn = a†aaϕn = (aa† − 1)aϕn
= a(a†a− 1)ϕn = a(N − 1)ϕn
= a(n − 1)ϕn = (n − 1)aϕn
⇒ aϕn = ϕn−1 , ∀n
a operator ponistavanja(spustanja)
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Pitanje
Koliko iznosi ocekivanje od H?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Pitanje
Koliko iznosi ocekivanje od H?
Hϕn = ~ω(N +
1
2
)ϕn = ~ω
(n +
1
2
)ϕn
En = 〈ϕn|H|ϕn〉 = ~ω(n +
1
2
)DZ
≥ 0
⇒ n ≥ −1
2
Pitanje
Koje vrijednosti moze imati n?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Pitanje
Koje vrijednosti moze imati n?
Pretpostavimo n ∈ R , i < n < i + 1 , i ∈ Z
aϕn 99K n − 1 > 0
a2ϕn 99K n − 2 > 0
...
aiϕn 99K n − i > 0
ai+1ϕn 99K n − (i + 1) < 0 ⇒⇐
⇒ n ∈ Z
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Pitanje
Koliko iznosi ocekivanje od H?
Hϕn = ~ω(N +
1
2
)ϕn = ~ω
(n +
1
2
)ϕn
En = 〈ϕn|H|ϕn〉 = ~ω(n +
1
2
)DZ
≥ 0
⇒ n ≥ −1
2
n ∈ Z
⇒ n = 0, 1, 2, 3, . . .
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Svojstvene vrijednosti kvantnogharmonijskog oscilatora
En = ~ω(n +
1
2
), n = 0, 1, 2, . . .
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Svojstvene vrijednostikvantnog harmonijskogoscilatora
En = ~ω(n +
1
2
),
n = 0, 1, 2, . . .
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Primjer 1.
Koliko iznosi frekvencija fotona emitiranog pri prijelazu izmedu bilo koja dvavibracijska nivoa dvoatomne molekule?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Primjer 1.
Koliko iznosi frekvencija fotona emitiranog pri prijelazu izmedu bilo koja dvavibracijska nivoa dvoatomne molekule?
hν = En′ − En = ~ω(n′ +
1
2
)− ~ω
(n +
1
2
)= ~ω
(n′ − n
)= ~ωs
ν = sω
2π, s ∈ Z
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Primjer 2.
Razmak izmedu dva vibracijska nivoa molekule CO je 2170 cm−1
(mc = 12 amj, mo = 16 amj). Izracunajte efektivnu konstantu elasticnosti, kojaje mjera jakosti veze izmedu atoma u molekuli.
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Primjer 2.
Razmak izmedu dva vibracijska nivoa molekule CO je ωe = 2170 cm−1
(mc = 12 amj, mo = 16 amj). Izracunajte efektivnu konstantu elasticnosti, kojaje mjera jakosti veze izmedu atoma u molekuli.
ωe =ν
c=
1
2πc
√k
µ⇒ k = µ(2πωec)2
=mc ·mo
mc + mo· 1.66053892 · 10−27(2πωec)2
k = 1905 N/m
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Primjer 3.
U trenutku t = 0 stanje sustava je opisano funkcijom
|ψ〉 =1√2|0〉+
1√3|1〉+
1√6|2〉
a) Ako se mjeri energija sustava, koje vrijednosti se mogu naci i s kojomvjerojatnoscu?
b) Koliko iznosi prosjecna energija sustava?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Primjer 3.
U trenutku t = 0 stanje sustava je opisano funkcijom
|ψ〉 =1√2|0〉+
1√3|1〉+
1√6|2〉
a) Ako se mjeri energija sustava, koje vrijednosti se mogu naci i s kojomvjerojatnoscu?
b) Koliko iznosi prosjecna energija sustava?
a)
Funkcija baze Energija Vjerojatnost
|0〉 ~ω(0 + 1/2) = ~ω2
∣∣∣ 1√2
∣∣∣2 = 12
|1〉 ~ω(1 + 1/2) = 3~ω2
∣∣∣ 1√3
∣∣∣2 = 13
|2〉 ~ω(2 + 1/2) = 5~ω2
∣∣∣ 1√6
∣∣∣2 = 16
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
Svojstvene vrijednosti
Primjer 3.
U trenutku t = 0 stanje sustava je opisano funkcijom
|ψ〉 =1√2|0〉+
1√3|1〉+
1√6|2〉
a) Ako se mjeri energija sustava, koje vrijednosti se mogu naci i s kojomvjerojatnoscu?
b) Koliko iznosi prosjecna energija sustava?
b)
〈H〉 =∑i
PiEi =1
2
~ω2
+1
3
3~ω2
+1
6
5~ω2
=~ω4
+~ω2
+5~ω12
=7~ω
6
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
4 Princip korespondencije
5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
6 Literature
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
ξ2 =mω
~x2 = β2x2 ⇒
a
DZ=
1√2
(ξ +
∂
∂ξ
)
a†DZ=
1√2
(ξ − ∂
∂ξ
)
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
ξ2 =mω
~x2 = β2x2 ⇒
a
DZ=
1√2
(ξ +
∂
∂ξ
)
a†DZ=
1√2
(ξ − ∂
∂ξ
)
aϕ0 = 0 ⇔ 1√2
(ξ +
∂
∂ξ
)ϕ0 = 0
Pitanje
Kako izgleda rjesenje ove jednadzbe?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
ξ2 =mω
~x2 = β2x2 ⇒
a
DZ=
1√2
(ξ +
∂
∂ξ
)
a†DZ=
1√2
(ξ − ∂
∂ξ
)
aϕ0 = 0 ⇔ 1√2
(ξ +
∂
∂ξ
)ϕ0 = 0
ϕ0 = A0e−ξ2/2
Pitanje
Koliko iznosi konstanta A0?
Hint:
∫ ∞−∞
e−ξ2
dξ =√
2
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
ξ2 =mω
~x2 = β2x2 ⇒
a
DZ=
1√2
(ξ +
∂
∂ξ
)
a†DZ=
1√2
(ξ − ∂
∂ξ
)
aϕ0 = 0 ⇔ 1√2
(ξ +
∂
∂ξ
)ϕ0 = 0
ϕ0 = A0e−ξ2/2
U.N.⇒ A0 =1√4
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
Valna funkcija osnovnog stanja
ϕ0(ξ) =1√4e−
ξ2
2
ϕ0(x)DZ=
(mωπ~
)1/4e−
mω2~ x2
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
Pitanje
Imate li ideju kako “stvoriti” valnu funkciju n-tog stanja iz ϕ0?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
Pitanje
Imate li ideju kako “stvoriti” valnu funkciju n-tog stanja iz ϕ0?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
Pitanje
Imate li ideju kako “stvoriti” valnu funkciju n-tog stanja iz ϕ0?
ϕ1 = a†ϕ0 =1√2
(ξ +
∂
∂ξ
)· 1√
4e−
ξ2
2 = A1
(ξ +
∂
∂ξ
)e−
ξ2
2
ϕ2 = a†ϕ1 =1√2
(ξ +
∂
∂ξ
)[A1
(ξ +
∂
∂ξ
)e−
ξ2
2
]= A2
(ξ +
∂
∂ξ
)2
e−ξ2
2
...
ϕn = An
(ξ +
∂
∂ξ
)n
e−ξ2
2
Pitanje
Sto dobijemo uzastopnim djelovanjem operatora a† na e−ξ2/2?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
Valna funkcija n-tog stanja [4]
ϕn = AnHn(ξ)e−ξ2
2 , Hn = Hermiteovi polinomi
En = ~ω(n +
1
2
)
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
Korisne relacije (dokaz u ref. [2])
aϕn =√n ϕn−1
a†ϕn =√n + 1 ϕn+1
a†aϕn = nϕn
aa†ϕn = (n + 1)ϕn
Pitanje
Mozete li, koristeci ove relacije, izraziti ϕn pomocu ϕ0?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
Korisne relacije (dokaz u ref. [2])
aϕn =√n ϕn−1
a†ϕn =√n + 1 ϕn+1
Valna funkcija n-tog stanja
ϕn =1√n!
(a†)nϕ0
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
Primjer 4.
Izracunajte ocekivanje potencijalne energije u n-tom stanju harmonijskogoscilatora. Provjerite da harmonijski oscilator zadovoljava tzv. virijalni teorem.
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
n-to stanje iz osnovnog stanja
Primjer 4.
Izracunajte ocekivanje potencijalne energije u n-tom stanju harmonijskogoscilatora. Provjerite da harmonijski oscilator zadovoljava tzv. virijalni teorem.
〈V 〉 =1
2mω2〈x2〉 =
1
2mω2
∫ ∞−∞
ϕ∗nx2ϕndx
x2 =~
2mω
[(a†)2
+ a†a + aa† + a2]
⇒ 〈V 〉 =~ω2
∫ϕ∗n
[(a†)2
+ a†a + aa† + a2]ϕndx
=~ω4
(n + n + 1) =1
2~ω(n +
1
2
)⇒ 〈V 〉 =
1
2〈E〉
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
Podsjetimo se
S .J.d2ϕ
dξ2= (ξ2 − K)ϕ , K =
2E
~ω
⇒ ϕ(ξ) =
Ae−
ξ2
2 , ξ →∞
Ae±ikβξ, ξ ≈ 0
Pitanje
Kako bi moglo izgledati ukupno rjesenje Schrodingerove jednadzbe?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
Podsjetimo se
S .J.d2ϕ
dξ= (ξ2 − K)ϕ , K =
2E
~ω
⇒ ϕ(ξ) =
Ae−
ξ2
2 , ξ →∞
Ae±ikβξ, ξ ≈ 0
ϕ(ξ) = H(ξ)e−ξ2
2 , H(ξ) = polinomi u ξ
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,
H(ξ) = a0 + a1ξ + a2ξ2 + · · · =
∞∑j=0
ajξj
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,
H(ξ) = a0 + a1ξ + a2ξ2 + · · · =
∞∑j=0
ajξj
ref .[2,3]=⇒ aj+2 =
(2j + 1− K)
(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,
H(ξ) = a0 + a1ξ + a2ξ2 + · · · =
∞∑j=0
ajξj
ref .[2,3]=⇒ aj+2 =
(2j + 1− K)
(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.
a0
a2 =(1− K)
2a0 ,
a4 =(5− K)(1− K)
24a0 ,
...
a1
a3 =(3− K)
6a1 ,
a5 =(7− K)(3− K)
120a1 ,
...
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,
ref .[2,3]=⇒ aj+2 =
(2j + 1− K)
(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.
H(ξ) = Hp(ξ) + Hn(ξ) ,
Hp(ξ) = a0 + a2ξ2 + a4ξ
4 + . . . ,
Hn(ξ) = a1ξ + a3ξ3 + a5ξ
5 + . . .
Pitanje
Jesu li sva ovakva rjesenja valjana?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,
ref .[2,3]=⇒ aj+2 =
(2j + 1− K)
(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.
H(ξ) = Hp(ξ) + Hn(ξ) ,
Hp(ξ) = a0 + a2ξ2 + a4ξ
4 + . . . ,
Hn(ξ) = a1ξ + a3ξ3 + a5ξ
5 + . . .
Pitanje
Jesu li sva ovakva rjesenja valjana?
Ne.
j →∞ ⇒ aj+2 ≈2
jaj ⇒ aj ≈
C
(j/2)!⇒ H(ξ) ≈ C
∑ 1
(j/2)!ξj
≈ C∑ 1
s!ξ2s ≈ Ceξ
2
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
SJ⇒ H ′′ − 2ξH ′ + (K − 1)H = 0 ,
ref .[2,3]=⇒ aj+2 =
(2j + 1− K)
(j + 1)(j + 2)aj ⇔ S .J.
H(ξ) = Hp(ξ) + Hn(ξ) ,
Hp(ξ) = a0 + a2ξ2 + a4ξ
4 + . . . ,
Hn(ξ) = a1ξ + a3ξ3 + a5ξ
5 + . . .
H(ξ) = polinomi konacnog reda u ξ
⇒ ∃ jmax = n , tdj. an+2 = 0
Zadatak
Iskoristite ovaj rezultat na rekurzivnoj formuli.
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
K = 2n + 1
K =2E
~ω
⇒ En =
(n +
1
2
)~ω , n = 0, 1, 2, . . .
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
E = 0.49~ω E = 0.51~ω
99K Pogledajte ref. [5]
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
Pitanje
Zasto mora vrijediti
a1 = a3 = · · · = 0 , n paran
a0 = a2 = · · · = 0 , n neparan ?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
Pitanje
Sto dobijemo iz rekurzivne relacije za K = 2n + 1? Iskoristite tu relaciju dadobijete Hn(ξ).
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
Svojstvene funkcije harmonijskog oscilatora
ϕn(ξ) =(mωπ~
)1/4 1√2nn!
Hn(ξ)e−ξ2
2
Za normiranje pogledajte ref. [3].
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
Hermiteovi polinomi
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Princip korespondencije
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
4 Princip korespondencije
5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
6 Literature
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Princip korespondencije
Klasicni oscilator
Pkl =1
π√
x20 − x2
Kvantni oscilator
Pkv =
∫ϕ∗nϕndx ,
ϕn(x) =(mωπ~
)1/4 1√2nn!
Hn(ξ)e−ξ2
2
Pitanje
Sto dobijemo u limesu n→∞ za Pkv?
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Princip korespondencije
limn→∞
Pkvn = Pkl [6]
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
4 Princip korespondencije
5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
6 Literature
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
3D Hamiltonijan:
H = − ~2
2m
(∂2
∂x2+
∂2
∂y 2+
∂2
∂z2
)+
mω2
2
(x2 + y 2 + z2
)= H(x) + H(y) + H(z)
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
3D Hamiltonijan:
H = − ~2
2m
(∂2
∂x2+
∂2
∂y 2+
∂2
∂z2
)+
mω2
2
(x2 + y 2 + z2
)= H(x) + H(y) + H(z)
[H(x) + H(y) + H(z)]φ(x , y , z) = Eφ(x , y , z)
φ(x , y , z) = ϕx(x)ϕy (y)ϕz(z)
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
3D Hamiltonijan:
H = − ~2
2m
(∂2
∂x2+
∂2
∂y 2+
∂2
∂z2
)+
mω2
2
(x2 + y 2 + z2
)= H(x) + H(y) + H(z)
[H(x) + H(y) + H(z)]φ(x , y , z) = Eφ(x , y , z)
φ(x , y , z) = ϕx(x)ϕy (y)ϕz(z)
H(x)ϕx(x) = Exϕx(x)
H(y)ϕy (y) = Eyϕy (y)
H(z)ϕz(z) = Ezϕz(z)
, E = Ex + Ey + Ez
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
Svojstvene funkcije i vrijednosti trodimenzionalnog kvantnog harmonijskogoscilatora
φnx ,ny ,nz (x , y , z) = NnxNnyNnz e− (βx x)
2
2 e−(βy y)
2
2 e−(βz z)
2
2 ··Hnx (βxx)Hny (βyy)Hnz (βzz)
Enx ,ny ,nz = ~ωx
(nx +
1
2
)+ ~ωy
(ny +
1
2
)+ ~ωz
(nz +
1
2
)
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
Izotropni oscilator
ωx = ωy = ωz = ω ⇒ βx = βy = βz = β
φnx ,ny ,nz (x , y , z) = NnxNnyNnz e− β
2
2(x2+y2+z2)Hnx (βx)Hny (βy)Hnz (βz)
Enx ,ny ,nz = ~ω(nx + ny + nz +
3
2
)
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
Degeneracija stanja
Npr. nx + ny + nz = 1
⇒ E100 = E010 = E001 =5
2~ω
φ100
φ010
φ001
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Literature
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora
3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora
4 Princip korespondencije
5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator
6 Literature
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator
Kvantni harmonijski oscilator
Literature
Literatura
1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.
2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.
3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.
4 Aplet - Operatori a i a†
5 Aplet - Rjesenja za razlicite E
6 Aplet - Klasicna i kvantna gustoca vjerojatnosti
7 Aplet - Energetski nivoi harmonijskog oscilatora
8 Aplet - Operatori stvaranja i ponistavanja
9 Aplet - Superpozicija dva stanja oscilatora
Igor Lukacevic Kvantni harmonijski oscilator