Kvadratické rovnice

• V daném odkaze se pokus zjistit následující informace:

• kdy se poprvé v historii objevil symbol pro neznámou a jaká byla nejvyšší mocnina neznámé

• jaká byla první pravidla pro řešení rovnic

• v jakém spise je tato informace zachycena

• kdo je autorem tohoto díla

• http://black-hole.cz/cental/wp-content/uploads/2010/04/Historie-rovnic.pdf

Co je kvadrat. rovnice

• ax² + bx + c = 0

• ax² - kvadratický člen, a – koef. kvadr. členu , a≠0

• bx - lineární člen, b – koef. lineár. členu

• c - absolutní člen

Jak řešíme kvadr. rovnici • 1. pomocí diskriminantu D

• D = b² - 4ac

• a. provedeme úvahu pro D

• D>0 → rovnice má 2 kořeny v R

• D=0 → rovnice má dvojnásobný kořen v R

• D<0 → rovnice nemá v R řešení, má řeš. v C

• b. určíme kořeny x1,2 =

• 2. pomocí Vietových vzorců.

• Tato metoda ovšem není tak univerzální .

• Nejprve je potřeba upravit rovnici na normovaný tvar:

• x² + px + q = 0

• Dále hledáme takové kořeny, které by vyhovovaly rovnicím:

• x1 + x2 = -p

• x1 . x2 = q

• Řešte rovnici

• a) 2x2 + 4x + 2 = 0

• D = 0 → dvojnásobný kořen x1 =x2= -1

• b) 2x2 + 6x + 2 = 0

• D =20 → dva různé reálné kořeny x1,2 =

• c) 2x2 + 4x + 3 = 0

• D =-8 → nemá řešení v R

• d) s využ. Viet. vzorců řeš. rovnici

• X2 - 5x + 6 = 0

• x1 + x2 = -p x1 . x2 = q

• x1 = 3 x2 = 2

Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5

Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34..0218

Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_05b

Vypracoval(a), Dne Mgr. Jana Čermáková, 11. 10. 2012

Ověřeno (datum) 20.11.2012

Předmět Matematika

Třída 4. A

Téma hodiny Kvadratické rovnice

Druh materiálu Pracovní list

Anotace

Vysvětlení způsobu řešení a procvičení řešení kvadratických rovnic. Materiál lze využít při probírání učiva v 1. ročníku , ale i při opakování učiva ve 4. ročníku.

Kvadratická rovnice je každá rovnice ve tvaru ax² + bx + c = 0

ax² - kvadratický člen, a – koef. kvadr. členu, a≠ 0

bx - lineární člen, b – koef. lineár. členu

c - absolutní člen

Kvadratické rovnice lze řešit dvěma způsoby:

1. pomocí diskriminantu D

D = b² - 4ac

a. provedeme úvahu pro D

D>0 → rovnice má 2 kořeny v R

D=0 → rovnice má dvojnásobný kořen v R

D<0 → rovnice nemá v R řešení, má řeš. v C

b. určíme kořeny podle vzorce x1,2 =

2. pomocí Vietových vzorců.

Tato metoda ovšem není tak univerzální .

Nejprve je potřeba upravit rovnici na normovaný tvar: x² + px + q = 0

Dále hledáme takové kořeny, které by vyhovovaly rovnicím: x1 + x2 = -p x1 . x2 = q

Úkoly k procvičení :

1 . Řeš kvadratické rovnice

a) 6x2 + 8x + 3 = 0

b) 3x2 + 8x + 3 = 0

c)2 x2 + 10x + 8 = 0

d) x2 + 6x + 4 = 0

e) x2 + 3x + 2 = 0

f) x2 + 6x + 2 = 0

2 . Rozhodni o počtu řešení kvadratické rovnice, na základě známé hodnoty

diskriminantu a danou rovnici vyřeš

a) 3x2 + 4x + 3 = 0 D = -20

b) 3x2 + 8x + 3 = 0 D = 28

c)1x2 + 5x + 4 = 0 D =9

d) 2x2 + 6x + 4 = 0 D = 2

e) 1x2 + 6x + 4 = 0 D = 20

f) 1x2 + 6x + 2 = 0 D = 28

3 . Sestav kvadratické rovnice,jestliže znáš její kořeny, využij vztahu pro rozklad

kvadratického trojčlenu

ax² + bx + c = a(x-x1).(x-x2 )

a) x1 = 3, x2 = 5

b) x1 = 4, x2 = 3

c) a) x1 = -3, x2 = 5

d) a) x1 = 3, x2 = -5

e) a) x1 = -3, x2 = -5

f) a) x1 =2, x2 = -3

4 . S využitím Viet. vzorců řeš kvadratické rovnice a daný kvadrat. trojčlen rozlož

na součin

a) ) x2 - 4x + 4 = 0

b) ) x2 -7x +12 = 0

c) ) x2 - 3x = 0

d) ) x2 + x -2 = 0

e) ) 3x2 + x = 0

Další úkoly k procvičení je možné čerpat např.:

PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám a vysoké školy. Praha: Prometheus, 2007. ISBN 978-80-7196-099-7.

KUBÁT, Josef. Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Prometheus, 2004. ISBN 80-7196-298-8.