Kuvvet Vektörleri Mühendislik Mekaniği Statikcivil.emu.edu.tr/courses/insa211/DERS-2.pdf ·...

Mühendislik Mekaniği: Statik

Bölüm 2: Kuvvet Vektörleri

Hedefler

Kuvvetleri toplama, bileşenlerini ve bileşke kuvvetlerini Paralelogram Kuralı kullanarak belirleme.

Diktörtgen (Cartesian) koordinat sistemi ile kuvvet ve yön belirleme ve herhangi bir vektörün büyüklüğü ile doğrultusunun bulunması.

Bölüm Öğrenme Çıktıları

Skaler ve Vektör

Vektör İşlemleri

Vektör Kuvvetlerinde Toplama

Düzlem Sisteminde Kuvvetlerin Toplamı

Dik Bileşenli Vektörler

Dik Bileşenli Vektörlerde Toplama

ve Çıkarma

Birim Vektörleri

Aynı Etki Çizgisi üzerindeki Kuvvet

Vektörleri

Dot Product

Bölüm Öğrenme Çıktıları

Sayı

Herhangi artı veya eksi değer.

Ör: 5, -3.07, π...

Skaler

Ölçü birimi ile birlikte ifade edilen herhangi artı veya eksi bir büyüklük (sayı).

Ör: kütle (5.1 kg), hacim (0.028 m3)...

Skalerler ve Vektörler

Vektör Sayı, ölçü birimi ve yön ifade eden herşey. (ölçü

birimi ve yönü olan herangi bir sayı)

Ör: Uzaklık (3.4 km Kuzey), Kuvvet (8.73 N sağ tarafta), ...

– Üzerinde ok olan büyük harf veya sadece kalın büyük harf ile ifade edilir A.

– Boyutu veya basitce A ile ifade edilir.

– Bu derste, vektör A ile büyük de (artı değer olarak) A ile ifade edilecektir.

A

A


Sayılar, Skalerler ve Vektörler

Sayılar

Skalerler

Vektörler

Karakteristiği

DEĞER

(ARTI

VEYA

EKSİ)

DEĞER

(ARTI

VEYA

EKSİ)

&

ÖLÇÜ BİRİMİ

(her ikisine birden

BÜYÜKLÜK denir)

DEĞER

(ARTI

VEYA

EKSİ)

ÖLÇÜ BİRİMİ

(her ikisine birden

BÜYÜKLÜK denir)

&

YÖN

Örnek 5 5 m/s 5 m/s yukarı

Uygulama

Manasız

kütle, sürat, hacim, zaman

hız, ivme, kuvvet

Toplama Kuralı Basit Aritmetik Basit Aritmetik Paralelogram Kuralı

Özel İşaret Yok Yok Üzerinde ok çizgisi olan veya

kalın yazılmış büyük harf


Vektör Grafiksel olarak ok çizgisi ile ifade edilirler

Okun Uzunluğu = Vektörün Büyüklüğüne

Referans ekseni ile ok çizgisi arasındaki açı =

Vektörün doğrultu çizgisini

Okun başı (ucu) = Vektörün yönünü Doğrultu çizgisi

Okun başı (ucu)

Okun sonu


Örnek

Vektörel Büyüklük = 4 birim

Vektörel Doğrultu = 20° ölçüm yatay eksenden

saatin ters yönüne doğru ölçülerek belirlendi

Vektörel Yön = Yukarı ve sağa taraf

O noktasına vektör okunun sonu

ve P noktasına vektör okunun

başı veya ucu denir.

Doğrultu çizgisi

Okun sonu

Okun başı (ucu)

Vektörel İşlemler

Vektörün Skaler ile Çarpımı veya Bölümü - Vektör A’nın skaler a ile çarpımı = aA

- Büyüklüğü =

- Eğer a değeri artı (+)ise, aA’nın yönü A vektörünün yönü ile aynı yönde

- Eğer a değeri eksi (-)ise, aA’nın yönü

A vektörünün yönüne terstir

aA

A vektörü ve –A vektörü


Vektörün Skaler ile Çarpımı veya Bölümü - Bir vektörün negatifi o vektörün ( -1 ) ile

çarpımından elde edilir.

- Çarpım kuralı uygulanır

Ör: A/a = ( 1/a ) A, eğer a≠0

Vektörün skaler ile çarpımı ve bölümü


Vektörel Toplama A ve B olarak verilen iki vektörün bileşke vektörü R paralelogram kuralı ile bulunur.

Yöntem: Ok ile ifade edilen kuvvetler, ortak ölçekte değerlendirilerek okların sonları bir noktada birleştirilip paralelogram oluşturul-maya çalışılır. Bileşke iki okun birleştirildiği nokta ile o noktanın diyagonalındaki (karşı köşesindeki) noktanın birleştirimesiyle elde edilir.


Bileşke R üçgen oluşturularak da bulunabilinir.

Yöntem: Ok ile ifade edilen kuvvetler, ortak ölçekte değerlendirilerek oklar arka arkaya birinin ucu diğerinin sonuna eklenerek oluşturulur. Bileşke de birinci okun sonu ile eklenmiş okun başının birleştirilmesinden elde edilir.

Yer Değiştime Kuralına uyar

Ör: R = A + B = B + A

Vektörel Toplama

Paralelogram Kuralı

Üçgen Oluşturma


Paralelogram kuralı

Üçgen oluşturma Üçgen oluşturma


Vektörel Toplama

Özel durum: Eğer A ve B vektörleri kolineer (her ikisi de aynı doğrultu çizgisinde) ise yani üçgen bir şekil oluşmazsa o zaman basit aritmetik kuralı uygulanır.

Kolineer vektörlerin toplamı


Vektörel Çıkarma

Toplama işleminin özel bir durumudur.

Ör: R’ = A – B = A + ( - B )

Vektörel Toplama Kuralları Uygulanır

Paralelogram kuralı Üçgen oluşturma


Vektör Bileşenleri Herhangi bir vektör paralelogram kuralına göre iki bileşene ayrıştırılabilinir.

Bu iki bileşke A ve B vektörlerinin sonları R vektörünün sonu uzatılarak elde edilir.

R vektörünün ucuna paralel çizgiler

çizerek bileşenler oluşturulur. Bileşenler

Bileşke

Vektörü bileşenlerine ayırmak paralelogram kuralının tersini uygulamak demektir.

Vektör İşlemleri

R vektörünün ucuna paralel çizgiler

çizerek bileşenler oluşturulur.

Bileşke

Bileşenler

q

q

p

p

365 N

β 38.5°

p ve q eksenleri birbirlerine dik değildir. Eğer 365 N kuvvetin pp eksenindeki bileşke kuvveti

237.5 N ise, qq ekseninde oluşan diğer bileşke kuvveti ile bilinmeyen β açısını bulunuz.

Örnek:

Vektör İşlemleri

Sinüs Kuralı

Kosinüs Kuralı



Çözüm:

Vektör İşlemleri

q

q

p

p

β 38.5°

Kosinüs Kuralı

Sinüs Kuralı

Paralelogram veya üçgen oluştur. Verilenler: Bileşke kuvvet ile pp eksenindeki bileşen.



Çözüm:

Vektör İşlemleri

q

q

p

p

β 38.5°

38.5° Kosinüs Kuralı

Sinüs Kuralı




Çözüm:

Vektör İşlemleri

q

q

p

p

β 38.5°

38.5°

β

Kosinüs Kuralı

Sinüs Kuralı


Kuvvetlerin Vektörel Toplamı

İki veya daha fazla kuvvetin toplanıp

bileşkesinin bulunabilmesi için ardışık

paralelogram kuralının uygulanmasını

gerektirir.

Ör: O noktasında bulunan F1, F2 ve F3 kuvvetlerinin bileşkesi için

- İlk, F1 + F2 bileşkesi

- Toplam bileşke de,

FR = ( F1 + F2 ) + F3

den oluşur

Analiz

Paralelogram Kuralı Uygulaması - Paralelogram kuralı kullanılarak diyagramı (skeçi)

çiz.

- İki bileşen kuvvetinin toplamı bileşke kuvvetini

oluşturur.

- Bileşke kuvveti paralelogramın diyagonal’idir.

- Bileşenleri ise paralelogram’ın kenarlarıdır.


1- Paralelogram Kuralı Uygulaması

- Kuvvetin bileşenlerini bulmak için paralelogramın herhangi bir köşesini oluşturan iki yan kenarı, iki eksen olarak değerlendir ve bileşenleri bulunacak olan ok şeklindeki kuvvet vektörünün sonu ile örtüştür,

- Bu okun ucunu esas alarak paralel çizgiler üret, - Tüm bilinen ve bilinmeyen büyükleri ve açıları isimlendir, - Bilinmeyen iki bileşeni hesapla.


2- Trigonometeri yöntemi

- Paralelogramın yarısını (üçgeni) çiz

- Bileşke kuvvet Büyüklüğü için KOSİNÜS (COSINE) kuralı

- Bileşke kuvvet Doğrultu açısı için SİNÜS (SINE) kuralı


Bileşke kuvvet Büyüklüğü için KOSİNÜS (COSINE) kuralı

Bileşke kuvvet Doğrultu Açısı için SİNÜS (SINE) kuralı


Sinüs Kuralı

Kosinüs Kuralı

Metot 1:

Paralelogram Kuralı graphical method Metot 2:

Trigonometri


Sinüs Kuralı

Kosinüs Kuralı

Örnek:

Şekildeki çengele iki kuvvet etki etmektedir.

Kuvvet F1 ve kuvvet F2.

Bileşke kuvvetinin

büyüklüğünü ve

doğrultu açısını bulunuz?


Çözüm I

Paralelogram Kuralı Bilinmeyenler:

FR büyüklüğü ve

θ açısı.


FR= Bileşke kuvvetinin büyüklüğü

(kosinüs kuralı ile)

θ= açı (sinüs kuralı ile)

ϕ = bileşke kuvvet açısı = θ +15.0000°

Paralelogramın yarısı


Çözüm II

Trigonometri Kosinüs kuralı

N552.212

4226.0300002250010000

115cosN150N1002N150N100F22

R


Çözüm II

Trigonometri Sinüs Kuralı

sin115

N 212.552

θ sin

N 150

7613.39

9063.0N552.212

N150sin

θ

θ


Çözüm II

Trigonometri Φ açısı yatay eksen baz alınarak

354.761

1539.7613

ϕ


FFR

Ayni noktadan geçen :

2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı

Dikdörtgenal Eksende Vektör Notasyonu

- Dikdörtgenel eksende birim vektörleri i ve j harf sembolleri kullanılır ve sırası ile x ve y eksenlerini ifade ederler.

- i ve j birim vektörleri boyutsuzdurlar ve büyüklükleri bir birimdir ( = 1 )

Büyüklük = 1


Dikdörtgenel Eksendeki Vektör Notasyonu F = Fx i + Fy j F’ = F’x i + F’y (-j)

F’ = F’x i – F’y j


Vektörleri x ve y eksenlerini kullanarak bileşenlerine ayır.

Vektörün her bileşeni büyüklük ve doğrultu’dan oluşur.

Yönler ise x ve y eksenlerince belirlenir. “Birim vektörler” i ve j harfleri ile sembolize edilirler ve sırası ile x ve y eksenlerini ifade ederler.

F = Fx i + Fy j

x ve y eksenleri herzaman birbirlerine diktir (90°). Birlikte kullanıldıklarında

herhangi eğimli bir çizgiyi

ifade ederler.


jFiFF yx

F

Vektör bileşenleri birim vektörlerle skaler

büyüklüğün çapımından oluşur..

Fx ve Fy vektörünün skaler bileşkeleridir.

Büyüklük = 1


Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi

Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi

İki veya daha çok Kuvvetin Bileşkesi:

Verilen her kuvveti istenilen eksenlerdeki bileşenlere

ayır;

Bezer bileşenleri cebirsel topla,

Bileşkeyi elde et.


Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi Ayni düzlemdeki birçok, 2 boyutlu, kuvvetin bileşkesi:

- Her kuvvetin bileşenleri x ve y ekseni için bul,

- Ayni bileşen skaler gruplarını cebirsel topla

- Bileşke kuvveti ise paralelogram kuramı ile bulunur.


Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi - Positif (artı) skaler = ok yönü positif

(artı) eksen yönü ile örtüşen,

- Negatif (eksi) skaler = ok yönü negatif

(eksi) eksen yönü ile örtüşen

- FR (bileşke) büyüklüğü ise Pisagor Bağıntısından

hesaplanır.

RyRxR FFF 22


Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi - Bileşkenin x-ekseni ile saatin ters yönüne doğru yapmış olduğu açı (bileşkenin eğimi) θ trigonometri ile hesaplanır.

Rx

Ry

F

F1tan


Kuvvetlerin toplamı okların birinin uçuna diğerinin

başı eklenerek poligon oluşturularak bulunur.

Örnek: Ayni düzlemdeki 3 kuvveti toplayınız?


Aşama 1: her kuvveti x-y bileşenlerine ayır,

Aşama 3: bileşke vektörünün

büyüklük ve açısını bul.

Aşama 2: tüm x bileşenleri ayrı

ve tüm y bileşenleri ayrı TOPLA

Bu iki toplanmış bileşen bileşke vektörüdür,

Dikdörtgenel Eksen Metotu (3 aşamalı çözüm)


Örnek: Ayni düzlemdeki 3 kuvveti toplayınız?

Dikdörtgenel notasyonda

F1 = F1x i + F1y j

F2 = - F2x i + F2y j

F3 = F3x i – F3y j

Aşama 1:


Vektörel bileşke

FR = F1 + F2 + F3

= F1x i + F1y j - F2x i + F2y j + F3x i – F3yj

= (F1x - F2x + F3x)i + (F1y + F2y – F3y)j

= (FRx)i + (FRy)j

Aşama 2:


Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi FRx = (F1x - F2x + F3x)

FRy = (F1y + F2y – F3y)

FRx = ∑Fx

FRy = ∑Fy

* Kullanılan + ve – işaretlerine dikkat et...


Aşama 3:

Scalar Notation:

Rx

Ry

RyRxR

F

F

FFF

1

22

tan

Bileşke vektörünün büyüklük ve x-ekseninden saatin ters yönüne ölçülen açısı.



2 Boyutlu Kuvvetin Bileşenlerini bulmak için 3 farklı yöntemle de

kullanılabilinir:

1- Vektör ile herhangi bir eksen arasındaki AÇI θ ile ifade.

(Her zaman açı hangi eksen baz alınarak verilmişse,

bileşen o eksenin Kosinüsü ile ifade edilir).

9 birim


7 birim

2- Vektör dik üçgenin değerleri bilinen kenarları

yardımı ile ifade edilir.


3- Vektör koordinatlar veya uzunluklar yardımı ile ifade edilir.

10 cm

18 cm

(18. 10)

(0, 0)

Örnek:

Mile bağlı bir kaldıracın ucu olan O noktasına ayni

düzlemde ve ayni noktadan geçen 2 boyutlu, 3

kuvvet etki etmektedir. Bileşke kuvvetinin:

büyüklüğünü, etki çizgisini

ve yönünü bulunuz? 3 35˚


Çözüm:

N788.324

N5

3200N35cos250F

:FF

N606.416

N5

4200N35sin250N400F

:FF

Ry

yRy

Rx

xRx

Σ

Σ

35˚

324.788 N

416.606 N


N250.528

N788.324N606.416F22

R

142.0598 37.9402-180

9402.37

N 606.416

N 788.324tan 1

θ

324.788 N

416.616 N


Bileşke kuvveti (vektörel toplama):

X-ekseninden saatin ters yönünde

ölçülen açı θ:

142.0598°


Tümü de dirseğin A noktasına etki ve farklı yollarla ifade edilmiş

F1, F2 ve F3 kuvvetlerinin x ve y bileşenlerini bulunuz?

Örnek:

Örnek:


V = V1 + V2 bileşkesinin büyüklüğü ile positif x-eksenine

olan açısını (θ) bulunuz?

7 birim

9 birim

Kuvvet Vektörleri Mühendislik Mekaniği Statikcivil.emu.edu.tr/courses/insa211/DERS-2.pdf ·...

Documents

Transcript of Kuvvet Vektörleri Mühendislik Mekaniği Statikcivil.emu.edu.tr/courses/insa211/DERS-2.pdf ·...