Kumpulan Rumus Cepat Matematika SMA

UJIAN NASIONALTAHUN PELAJARAN 2011/2012Disusun Per Bab Dilengkapi Penyelesaian Cara Biasa

Kumpulan Rumus Cepat

Matematika SMA(Program Studi IPA/IPS/BAHASA)Written by:

Mr. Big MethodDistributed by:

Pak Anang

Daftar IsiHalaman A. B. C. D. E. F. G. Persamaan Kuadrat ......................................................................................... 2 Fungsi Kuadrat ............................................................................................... 33 Pertidaksamaan ............................................................................................. 53 Statistika ............................................................................................................ 73 Program Linear............................................................................................... 93 Komposisi Fungsi ........................................................................................105 Trigonometri .................................................................................................121

H. Eksponensial ..................................................................................................149 I. J. K. L. Logaritma ........................................................................................................161 Peluang .............................................................................................................177 Matriks ..............................................................................................................185 Limit Fungsi ...................................................................................................201

M. Turunan............................................................................................................225 N. Barisan dan Deret ........................................................................................245

Kumpulan Rumus Cepat Matematika. Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

1. UMPTN 1991 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan 2x2-3x +5 = 0 adalah.. A. 2x2 -5x +3 = 0 B. 2x2 +3x +5 = 0 C. 3x2 -2x +5 = 0 D. 3x2 -5x +2 = 0 E. 5x2 -3x +2 = 0

Jawaban : E

r Missal akar-akar 2x2 -3x +5 = 0 x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya r =

1 Persamaan kuadrat yang akarakarnya kebalikan dari akar-akar ax2+bx +c = 0 Adalah : cx2 +bx +a = 0 (Kunchi : posisi a dan c di tukar )

1 1 dan x1 x2

1 1 dan = x1 x2 1 1 x1 + x 2 a + = + = x1 x 2 x1 .x 2 b b 3 = a =- = c c 5 a 1 1 a.= . = x1 x 2 1 a 2 = = x1 .x 2 c 5

1 Jika akar-akar yang diketahui x1dan x2 maka, kebalikan akarakarnya berbentuk : 1 dan 1x1 x2

@

Perhatikan terobosannya

r Gunakan Rumus : x2 (a +)x + a . = 0 3 2 x2 - x + = 0 5 5 5x2 -3x +2 = 0

2x2 -3x +5 = 0di tuker ..aja..OK !

5x -3x +2 = 0

2

http://meetabied.wordpress.com

2


2. Prediksi UAN/SPMB Persamaan kuadrat yang akar-akarnya berlawanan dengan akarakar persamaan 5x2-8x +6 = 0 adalah.. A. 2x2 -5x +3 = 0 B. 2x2 +3x +5 = 0 C. 5x2 -6x +8 = 0 D. 5x2 +8x +6 = 0 E. 5x2 -8x -6 = 0Jawaban : D

r Missal akar-akar : 5x2 -8x +6 = 0 , x1 dan x2 . maka Persamaan baru akarakarnya x1 dan x2 r = -x1 dan = -x2 a + = -x1 x2 = -(x1 +x2) -b b -8 == = a a 5 a . = -x1 .(-x2) = x1 .x2 c 6 = = a 5 r Gunakan Rumus : x2 (a +)x + a . = 0 -8 6 x2 x+ =0 5 5 5x2 +8x +6 = 0

1 Persamaan kuadrat yang akarakarnya BERLAWANAN dari akar-akar ax2+bx +c = 0 adalah : ax2 -bx +c = 0 (Kunchi : Tanda b berubah) 1 Jika akar-akar yang diketahui x1 dan x2 maka, Lawan akarakarnya berbntuk x1 dan -x2

@ Perhatikan terobosannya :5x2 -8x +6 = 0berubah tanda...!

5x +8x +6 = 0

2


3


3. UMPTN 2001/B Persamaan kuadrat yang masing-masing akarnya tiga kali dari akarakar persamaan kuadrat x2 +px+q = 0 adalah. A. 2x2+3px +9q = 0 B. 2x2-3px +18q = 0 C. x2-3px+9q = 0 D. x2+3px -9q = 0 E. x2+3px +9q = 0

r Missal akar-akar : x2 +px +q = 0 x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya 3x1 dan 3x2 r Misal : = 3x1 dan = 3x2 a + = 3x1 +3x2 = 3(x1 +x2) = - b - 3p 3. = = -3 p a 1 a . = 3x1 .3x2 =9( x1 .x2) c 9q = 9. = = 9q a 1 r Gunakan Rumus : x2 (a +)x + a . = 0 x2 (-3p)x + 9q= 0 x2 +3px +9q = 0

1 Persamaan kuadrat yang akarakarnya n kali (artinya : nx1 dan nx2) akar-akar persamaan ax2+bx +c = 0 adalah : ax2 +n.bx +n2.c = 0

@

Tiga kali, maksudnya : 3x1 dan 3x2

@

Perhatikan terobosannya x 2 +px +q =0kalikan

n=3

3

3

2

Jawaban : E

x 2 +3px +9q =0


4


4. UMPTN 1997 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar dari akarakar persamaan kuadrat 3x2 -12x+2=0 adalah. A. 3x2-24x+38=0 B. 3x2+24x+38=0 C. 3x2-24x-38=0 D.3x2-24x+24=0 E. 3x2-24x-24=0

r Missal akar-akar : 3x2 -12x +2 = 0 adalah x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya x1+2 dan x2+2 r = x1+2 dan = x2+2 a + = x1+2 +x2+2 = (x1 +x2) +4 =b -12 +4= +4 =8 a 3

@

Persamaan kuadrat yang akarakarnya k lebihnya (x1 +k) dan (x2 +k) dari akar-akar persamaan ax2+bx +c = 0 adalah : a(x-k)2 +b(x-k) +c = 0 Dua lebih besar, maksudnya : x1+2 dan x2 +2

@

a . = (x1+2)(x2+2) = (x1.x2) +2(x1+x2) +4c b + 2( - ) + 4 a a 2 24 38 = + +4= 3 3 3

=

r Gunakan Rumus : x2 (a +)x + a . = 0 x2 8x + 3x238 =0 3

@

Perhatikan terobosannya :

3(x -2)2 -12(x -2) +2 = 03(x2 -4x +4) -12x +24 +2 = 0

-24x +38 = 0 Jawaban : A

3x2 -24x +38 = 0


5


5. PREDIKSI UAN/SPMB Persamaan kuadrat 2x2 -3x+5=0 akar-akarnya a dan , maka 1 persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya - dan a 1 - adalah... b A. x2-24x+3 = 0 B. x2+24x+3 = 0 C. 5x2+3x +2 = 0 D. 5x2-3x +2 = 0 E. 5x2-2x-2 = 0

r Persamaan 2x2 -3x +5 = 0b -3 3 a + = - = - = a 2 2 c 5 a. = = a 2 1 1 J = Jumlah = - a b

@ akar-akar

-

1 1 dan a a

Ditulis :Berlawanan Berkebalikan

-

1 x

a + b = - a .b

3 2 =- 5 =-5 2

3

K = Kali = ( -

1 1 )( - ) b a 1 a 2 = = = a .b c 5

r Gunakan Rumus : x2 Jx + K = 0 x2 + x +3 5 2 =0 5

@

Perhatikan terobosannya :

5x2 +3x +2 = 0 Jawaban : C

2x2 -3x +5 = 0 Berkebalikan : 5x2 -3x +2 = 0 Berlawanan : 5x2 +3x +2 = 0


6


6. EBTANAS 2002/P1/No.1 Persamaan kuadrat x2 +(m -2)x +9 = 0 akar-akarnya nyata. Nilai m yang memenuhi adalah A. m -4 atau m 8 B. m -8 atau m 4 C. m -4 atau m 10 D. -4 m 8 E. -8 m 4

1 Persamaan kuadrat : x2 +(m -2)x +9 = 0 a =1 b = m -2 c=9 mempunyai dua akar nyata, maka D 0 b2-4ac 0 (m -2)2 -4.1.9 0 m2 -4m -32 0 (m -8)(m +4) 0 Pembuat nol : m = 8 atau m =-4 Garis Bilangan :

1 ax +bx +c = 0

2

D 0 syarat kedua akarnya Nyata, D = b2 -4.a.c bil.besar

1 0 ,artinya : bil.kecil atau

+

-

+1 x2 +(m -2)x +9 = 0 D 0 b2-4ac 0 (m -2)2 -4.1.9 0 m2 -4m -32 0 (m -8)(m +4) 0 Karena Pertidaksamaannya 0, maka : Jadi : m -4 atau m 8

-4 8 Jadi : m -4 atau m 8

Jawaban : A


7


7. EBTANAS 2003/P2/No.1 Persamaan kuadrat (k +2)x2 -(2k -1)x +k -1 = 0 akar-akarnya nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah 9 A. 8 2 8 B. D. 9 5 5 1 C. E. 2 5

1

(k +2)x2 -(2k -1)x +k -1 = 0

a = k+2 b = -(2k-1) c =k-1 D = 0 , syarat

1 ax2 +bx +c = 0 D = 0 syarat kedua akarnya Nyata dan sama 1 Jumlah akar-akarnya :

b2-4.a.c = 0 (2k-1)2-4(k +2)(k -1) = 04k2 -4k +1 -4k2-4k +8 = 0

x1 + x 2 = -

b a

k=

9 8

1

x1 + x 2 = -

b 2k - 1 = = a k +1

9 4 9 8

-1 +1

=

10 2 = 25 5

JAWABAN : D


8


8. EBTANAS 1995 Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2-9x +4= 0 adalah. 4 A. - 9 B. - 3 4 C. - 9 4 D.9 4

E.

1

3x2-9x +4= 0, missal akarakarnya x1 dan x2 maka :

1

x + x2 1 1 + = 1 x1 x 2 x1 .x 2 = b a c a -9 3 4 3 9 3 3 4 9 4 -

Jika akar-akar x1 dan x2 , maka yang dimaksud Jumlah Kebalikan adalah 1 1 b + =x1 x 2 c

=

= =

1

3x2 -9x +4 = 0

JAWABAN : D

1 1 b + =x1 x 2 c -9 9 == 4 4


9


9. PREDIKSI UAN/SPMB Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan : x2- (2m +4)x +8m = 0 sama dengan 52 maka salah satu nilai m adalah. A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 9

1

1

x2- (2m +4)x +8m = 0 x1 +x2 = 2m +4 x1x2 = 8m Jika akar-akar x1 dan x2 , maka yang dimaksud Jumlah kuadrat adalah x12+x22 = (x1 +x2)2 -2x1x22 2

1

Jumlah Kuadrat b 2 - 2ac 2 2 x1 + x2 = a2

1 x1 +x2 = 52

(x1 +x2)2 -2x1x2 = 52 (2m +4)2 -2(8m) = 52 4m2 +16m +16 -16m = 52 4m2 = 36 m2 = 9 m = 3 atau m = -32 2 x1 + x2 =

b 2 - 2ac

52 =2

a2 (2m + 4) 2 - 2.1.8m

JAWABAN : B

12 4m + 16m + 16 - 16m = 52 4m 2 = 36 m 2 = 9 m = 3


10


10. EBTANAS 2000 Persamaan x2 -8x +k = 0 mempunyai akar-akar yang berbanding seperti 3 : 1, harga k adalah A. 10 B. 12 C. 16 D. 8 E. -8

Persamaan x2 -8x +k = 0 x1 : x2 = 3 : 1 atau x1 = 3x2 .(i) b @ x1 + x 2 = - = 8 a 3x2+x2 = 8 4x2 = 8 berarti x2 = 21

1

Jika Persamaan : ax2 +bx +c = 0, mempunyai perban -dingan m : n, maka ; b 2 (m.n) c= a ( m + n) 2

@ x2 = 2 substitusi ke (i)x1 = 3.2 = 6

@ x1 .x 2 =

c =k a 6.2 = k berarti k = 12

1

x2 -8x +k = 0 .Perbandingan 3 : 1(-8) 2 .(3.1) 64.3 = = 12 16 1.(3 + 1) 2

k=

JAWABAN : B


11


11. PREDIKSI UAN/SPMB Akar-akar persamaan 2x2 -6x p = 0 adalah x1 dan x2, jika x1 x2 = 5, maka nilai p2 -2p adalah A. 42 B. 46 C. 48 D. 64 E. 72

1 2x -6x p = 0

2

1 Jika akar-akar persamaan ax

2

x1 x2 = 5 x1+x2 = 3 x1.x2 = p 2

+bx +c = 0, x1 dan x2 maka : D x1 - x 2 = atau a1 x1 - x 2 =

2 2 ( x1 - x 2 ) 2 = x 1 - 2 x1 x 2 + x 2 p 2 2 52 = x1 + x2 - 2.(- ) 2 25 = ( x1 + x 2 ) 2 - 2 x1 x 2 + p p 25 = 3 2 - 2(- ) + p 2 25 = 9 + p + p 2 p = 16 p =8

b 2 - 4ac a

1 2 1 2x -6x p = 0

1 p -2p = 64 -2.8

2

x1 x2 = 55=( -6 ) 2 - 4.2( - p ) 2

= 64 -16 = 48

JAWABAN : C

10 = 36 + 8 p 100= 36 +8p ,berarti p = 8 p2 -2p = 64 -2.8 = 64 -16 = 48


12


12. PREDIKSI UAN/SPMB Supaya persamaan x2 +ax +a = 0 mempunyai dua akar berlainan, harga a harus memenuhi A. a 0 atau a 4 B. 0 a 4 C. a < 0 atau a > 4 D. 0 < a < 4 E. 0 < a < 1

1 x +ax +a = 0

2

1 Jika ax +bx +c = 0, Kedua

2

kedua akar berlainan, syarat D > 0 atau : b2 -4ac > 0 a2 -4a > 0 a(a -4) >0 Karena > 0 artinya terpisah. Jadi : a < 0 atau a > 4 Mudeh. .!

akarnya berlainan maka : D > 0 atau b2 -4ac > 01 0

> 0, artinya terpisah Jadi : kecil ataubesar

JAWABAN : C


13


13. PREDIKSI SPMB Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 -2ax +a -2 = 0 tidak sama tandanya, maka. A. a < -1 atau a > 2 B. -1 < a < 2 C. -2 < a < 2 D. -2 < a < 1 E. a < -2

1 x -2ax +a +2 = 0

2

berlainan tanda, syaratnya : ( i ) x1 .x2 < 0 a +2 < 0 , berarti a < -2 ( ii ) D > 0 4a2-4.1.(a +2) > 0 4a2 -4a -8 >0 a2 a -2 > 0 (a -2)(a +1) > 0 a < -1 atau a > 2-2 -1 2 (i) (ii)

1 Jika akar-akar :

ax2 +bx +c = 0, tidak sama tandanya , maka : ( i ) x1 .x2 < 0 dan ( ii ) D > 0

Jadi : a < -2

JAWABAN : E


14


14. PREDIKSI UAN/SPMB Agar supaya kedua akar dari x2+(m +1)x +2m -1= 0 tidak real, maka haruslah A. m < 1 atau m > 5 B. m 1 atau m 5 C. m > 1 D. 1 m 5 E. 1 < m < 5

1 x +(m +1)x +2m -1 = 0

2

1

D A) Maka Zmin = AX Zmaks = By

(berat ke y) berarti hanya dibaca : maksimumkan Z = 10y Maksimum, PP harus Kecil , maksudnya pilih pertidaksamaan yang kecil ambil nilai Peubah yang kecil x +y 12 . y = 12 x+2y 16 y = 8, terlihat peubah kecil = 8 maka Zmaks = 10y = 10.8 = 80


95


4. Nilai maksimum dari z = 30x +20y untuk (x ,y) yang terletak dalam daerah x +y 6, x +y 3, 2 x 4 dan y 0 adalah A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 E. 180

p p

Sasaran Max, berarti pilih pertidaksamaan dan peubah (PP) Kecil

@ @ @

Z = 30x +20y ambil nilai x pertidaksamaan kecil pada interval 2 x 4, berarti x = 4 x = 4 substitusi ke x + y = 6 di dapat y=2. Dengan demikian nilai z maksimum akan di capai pada titik (4 ,2) zmax = 30.4 +20.2 = 120 + 40 = 160


96


5. Seorang anak diharuskan makan dua jenis vitamin tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 4 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B. Dalam satu hari ibu memerlukan 24 unit vitamin A dan 7 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp 50,00/biji dan tablet kedua Rp 100,00/biji, maka pengeluaran minimum untuk membeli tablet perhari. A. Rp 200,00 B. Rp 250,00 C. Rp 300,00 D. Rp 350,00 E. Rp 400,00

pp

p

p

x = unit vitamin A y = unit vitamin B, berarti : 4x +3y 24 3x +2y 7 z = 50x +100y, koefisien y besar, berarti pilih nilai y yang kecil saja (minimum) dari : 4x +3y =24 dan 3x +2y = 7. Dari 3x +2y = 7 di dapat y = 7/2. Zmin = 7/2 . 100 = 350

Min, Sasaran besar dan PP kecil


97


6. SPMB 2002/610/No.10 Nilai maksimum dari x +y -6 yang memenuhi x 0, y 0, 3x +8y 340, dan 7x +4y 280 adalah. A. 52 B. 51 C. 50 D. 49 E. 48

p

@ @ Fungsi Objektif

Objektif Z = Ax +By+C Misal Seimbang ( A =B) Maka Zmin = Ax+By+C Zmaks= Ax+ By+C

Z= x +y -6 Perhatikan Koefisien xdan y Seimbang Berarti penyelesaian ada di titik potong P kecilX2

x = 20 x = 20 susupkan ke : 7x +4y = 280 7(20) +4y = 280 y = 35 Z maks = 20 +35 -6 = 49

7x +4y = 280 3x +8y = 340 14x +8y = 560

- -11x = -220


98


7. Nilai maksimum f(x ,y) = 5x +10y di daerah yang diarsir adalah. 6 A. 60 B. 40 4 C. 36 D. 20 E. 164

p

6 4p

Penyelesaian terletak pada titik potong y = x dengan 6x +4y = 24 4 6x +4x = 24 x =12 5 12 5

karena y = x maka y =p

Fmax= 5.

12 5

+10.

12 5

= 12 + 24 = 36


99


8. Nilai maksimum dari x +y yang memenuhi syaratsyarat x 0, y 0, x +2y -6 0, 2x +3y-19 0 dan 3x +2y -21 0 adalah. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

p p6 4p

Sasaran Max, berarti pilih pertidaksamaan dan peubah (PP) Kecil

p

p

z = x +y di cari maksimum, maka pilih pertidaksamaannya yang kecil 4 yakni 2x +3y -19 0 dan 3x +2y -21 0, dipotongkan 2x +3y = 19 .3 6x +9y = 57 3x +2y = 21 .2 6x +4y = 42 5y = 15 y = 3, x = 5 zmax = 5 + 3 = 8


100


9. Nilai minimum P = 30x +10y dengan syarat : 2x +2y 4 6x +4y 36 2x y 10 x0 y 0 adalah. A. 5 B. 20 C. 50 D. 100E. 150

6 4

p p

Sasaran Min, berarti pilih pertidaksamaan dan peubah (PP) Besar

4

@

@

P = 30x +10y di cari minimum, maka pilih pertidaksamaannya yang besar yakni 2x +2y 4 , berarti : y = 2 (sasaran berat ke-x) Jadi Pmax= 10.2 =20


101


10. Pedagang buah akan membeli apel dan jeruk. Harga setiap kg apel dan setiap kg jeruk berturut-turut adalah Rp 6.000,00 dan Rp 4.000,00. Pedagang itu memiliki uang Rp 500.000,00 dan hanya ingin membeli buah paling banyak 200 kg. Misalnya banyak apel x kg dan banyaknya jeruk y kg, maka system pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah A. 3x +2y 250, x +y 200, x 0 , y 0 B. 3x +2y 250, x +y 200, x 0 , y 0 C. 3x +2y 250, x +y 200, x 0 , y 0 D. 2x +3y 250, x +y 200, x 0 , y 0 E. 2x +3y 250, x +y 200, x 0 , y 0

6 4

@ @

@ @

Misal x = apel y = jeruk Harga buah 4 : 6000x + 4000y 500.000 disederhanakan menjadi : 3x +2y 250( i ) Kapasitas : x + y 200 .( ii ) Syarat : x 0 dan y 0. (A)


102


11. Rokok A yang harga belinya Rp 1.000 dijual dengan harga Rp 1.100 per bungkus sedangkan rokok B yang harga belinya Rp 1.500 dijual dengan harga Rp 1.700 per bungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp 300.000 dan kiosnya dapat menampung paling banyak 250 bungkus rokok akan mendapat keuntungan maksimum jika ia membeli. A. 150 bungkus rokok A dan 100 bungkus rokok B B. 100 bungkus rokok A dan 150 bungkus rokok B C. 250 bungkus rokok A dan 200 bungkus rokok B D. 250 bungkus rokok A saja E. 200 bungkus rokok B saja

p

p p

p

6 Sistem pertidaksamaannya : 1000x +1500y 300.000 (harga beli) 4 disederhanakan : 2x +3y 600 ....( i ) Kapasitas : x + y 250 ...........( ii ) Fungsi sasarannya : z = 1100x +1700y 4 ke posisi y, berarti cari nilai y yang Terlihat berat kecil dari ( i ) dan ( ii ) 2x +3y = 600 x = 0, y = 200 x + y = 250 x = 0, y = 250 Kelihatan y yang kecil adalah 200 Jadi keuntungan maksimum pasti pada saat ia membeli 200 bunkus rokok B saja


103


12. UAN 2003/P-2/No.23 Daerah yang di arsir merupakan penyelesaian dari system pertidaksamaan .Y (0 ,8 ) (0 ,6 )

(0 ,2 ) O (2 ,0 ) (8 ,0 ) (1 2 ,0 ) X

A. B. C. D. E.

4x +y 8, 3x +4y 24, x + 6y 12 4x +y 8, 3x +4y 24, x + 6y 12 4x +y 8, 3x +4y 24, x + 6y 12 4x +y 8, 3x +4y 24, x + 6y 12 4x +y 8, 3x +4y 24, x + 6y 12

Terlihat : Jawaban : C

8 6 2 2

atas " Besar " 8 x + 2 y 16 atau 4 x + y 8 bawah " Kecil " 6 x + 8 y 48 atau 3x + 4 y 24 atas " Besar " 2 x + 12 y 24 ataux + 6 y 12

8

12


104


1. Jika f ( x ) = adalah. A. B. C.2x - 1 x x 2x - 1 x +1 2x

1 x

dan g(x) = 2x -1, maka (f og)-1(x)

D. E.

2x + 1 2x 2x - 1 2x

pp

ax + b , maka cx + d - dx + b f -1 ( x) = cx - a f ( x) =

@ f ( x) =

1 dan g(x) = 2x-1 x 1 0. x + 1 (f og)(x) = = 2x -1 2x -1 x +1 (f og)-1(x) = 2x


105


2. Jika (g of)(x) = 4x2 +4x, dan g(x) = x2 -1, maka f(x -2) adalah A. 2x +1 B. 2x -1 C. 2x -3 D. 2x +3 E. 2x -5

p

p f(x ) = ax +b maka : f(x -k) = a(x -k) +b p sebaliknya : f(x-k) = ax+b, maka : f(x) = a(x +k) +b

@ (g of)(x) = 4x2 +4x, g(x) = x2 -1

g(f(x)) = 4x2 +4x f2(x)-1 = 4x2 +4x f2(x) = 4x2 +4x +1 = (2x+1)2 f(x) = 2x +1 @ f(x -2) = 2(x -2) +1 = 2x -3


106


3. Jika f ( x ) = x + 1 dan g(x) = x2 -1, maka (g of)(x) adalah. A. x B. x -1 C. x +1 D. 2x -1 E. x2 +1

pp

a 2 = a , tapi :

( a 2 )2 = a 2

jadi : ( f ( x ) ) 2 = f ( x )p

@ f(x) =

x +1

, g(x) = x2 -1

(g of)(x) = g( f ) = ( ( x + 1) 2 - 1 =x+11 =x


107


4. Jika f ( x) =1 x 2 1+ x 1 2x

1 x dan ( fog )( x) = , maka g(x) 2x -1 3x - 2 sama dengan.

A. 2 + B. C.

D. 1 E.

2 x 1 22x

p

@ (f og) = @ f=

x , 3x - 2

1 2x - 1

f(g)=

x 3x - 2 1 x 3x - 2 = 2g -1 = x 2 g - 1 3x - 2 3x - 2 1 6 x + 4 + 2 x 8 x + 4 1 g = + = = =2+ x 2x 2 4x 4x


108


5. Fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh f(x) = 2x -1 dan g(x) = x2 +6x +9, maka (g of)(x) adalah. A. 2x2 +12x +17 B. 2x2 +12x +8 C. 4x2 +12x +4 D. 4x2 +8x +4 E. 4x2 -8x -4

p

p (g of)(x) = g(f(x))

@ f(x) = 2x -1,

g(x) = x2 +6x +9 (g of)(x) = g(f(x)) = (2x -1)2+6(2x -1) +9 = 4x2-4x +1 +12x -6 +9 = 4x2 +8x +4


109


6. Jika( fog )( x) = 1 x -5 1 B. x +1 1 C. x -1

f ( x) = x 2 + 11 x 2 - 4 x + 5 , maka g(x -3) = x-2

dan

A.

1 x -3 1 E. x+3

D.

p

f og)(x) =

1 x 2 - 4x + 5 x-2 1 g 2 +1 = x 2 - 4x + 5 x-2 1 g 2 +1 = ( x 2 - 4 x + 5) 2 ( x - 2)

x 2 - 4 x + 5 - ( x - 2) 2 1 = 2 ( x - 2) 2 ( x - 2) 1 1 1 g= g ( x - 3) = = x-2 x -3-2 x -5 g2 =


110


7. Diketahui fungsi f ( x) = 3 1 - x 3 + 2 . Invers dari f(x) adalah. A. 1 - 3 ( x - 2) 3 B. (1 (x -2)3)3 C. (2 (x -1)3)3 D. (1 (x -2)3)1/3 E. (2 (x -1)3)1/3

p

p

f ( x) = 3 1 - x 3 + 2 f - 2 = 3 1- x 3 (f -2)3 = 1 x3 x3 = 1 (f -2)3

x = 3 1 - ( f - 2) 3 = (1 - ( f - 2) 3 ) 3

1

f (x) = (1-(x - 2) )3

-1

1 3


111


8. Jika f(x) = x , x 0 dan g( x ) = (g of) (2) = A. B. C. 1 D. 2 E. 4-1

x ; x -1 , x +1

maka

p

f(x) =xg( x ) =

f-1(x) = x2

x x +1 x g -1 ( x ) = 1- xp

(g of)-1(x) = (f-1og-1)(x) x = 1- x -12

2 (g of) ( 2 ) = =4 1- 2

2


112


9. Jika f(x) = 2x -3 dan (g of)(x) = 2x +1, maka g(x) = . A. x +4 B. 2x +3 C. 2x +5 D. x +7 E. 3x +2

p

Jika f(x) = ax +b dan (g of)(x) = u(x) Maka : g(x) = u

x -b a

@ f(x) = 2x -3 ,(g of)(x) = 2x +1 x +3 g(x) = 2 +1 = x + 4 2


113


10. Jika (f og)(x) = 4x2 +8x -3 dan g(x) = 2x +4, maka f -1(x) = A. x +9 B. 2 +x C. x2 -4x -3 D. 2 + x + 1 E. 2 + x + 7

p

g(x) = 2x +4 , (f og)(x) = 4x2+8x -3x-4 x-4 f(x) = 4 )-3 + 8( 2 2 = x2 -8x +16 +4x -16 -3 = x2 -4x -3 = (x -2)2 -7 f-1(x) = 2 + x + 72


114


11. Prediksi UAN/SPMB Jika f(x) = 2x +3 dan (f o g)(x) = 4x2 +12x +7. Nilai dari g(1) =... A. 10 B. -12 C. 9 D. -9 E. 8

1

f ( x) = ax + b dan ( fog )( x) = px 2 + qx + r

g ( x) =maka :

px 2 + qx + r - b a 2 4 x + 12 x + 7 - 3 = 2 2 4.1 + 12.1 + 7 - 3 = 2 = 10


115


12. Prediksi UAN/SPMB f ( x) = 34 x maka invers dari f(x) adalah.... A. 3log 4x B. 4log 3x C. 3log x4 D. 4log x3 E. 3log 4 x

1

Jika f ( x ) = a

px

maka f

-1

( x ) = a log x p1

1

-1 3 3 f ( x) = 34 x maka f ( x)= log x 4 = log 4 x


116


13. UAN 2003/P-2/No.16Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x +p dan g(x) = 3x +120, maka nilai p =. A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 E. 150

1

g(f(x)) = f(g(x)) g(2x +p) = f(3x +120) 3(2x +p) +120 = 2(3x +120) +p 6x +2p +120 = 6x +240 +p 2p p = 240 -120 p = 120


117


14. UAN 2003/P-1/No.16Jika

A. B. C. D. E.

2x + 5 4 f ( x) = , x . Maka nilai f-1(2) sama dengan 3x - 4 32,75 3 3,25 3,50 3,75

f-1(x)

adalah

invers

dari

fungsi

O f ( x) =

ax + b , maka cx + d - dx + b f -1 ( x) = cx - a

1

f ( x) =

2x + 5 4x + 5 f -1 ( x) = 3x - 4 3x - 2 4.2 + 5 13 f -1 (2) = = = 3,25 3 .2 - 2 4


118


15. UAN 2003/P-2/No.17Fungsi

f ( x) =

f-1(x) = A.

2x - 1 -4 ,x .Invers dari fungsi f adalah 3x + 4 3 -2 3 2 3 2 3

f

:

R

R

didefinisikan

sebagai

4x - 1 ,x 3x + 2 4x + 1 B. ,x 3x - 2 4x + 1 C. ,x 2 - 3x

4x - 1 2 ,x 3x - 2 3 4x + 1 -2 E. ,x 3x + 2 3D.

O f ( x) =

ax + b , maka cx + d - dx + b f -1 ( x) = cx - a

1

f ( x) =

2x - 1 - 4x - 1 f -1 ( x) = (kali : -1) 3x + 4 3x - 2 4x + 1 f -1 ( x) = 2 - 3x


119


16. UAN 2003/P-1/No.17Diketahui f(x) = x +2 dan g(x) =

f-1(x) = fungsi invers dari f(x) dan g-1(x) = fungsi invers dari g(x), maka nilai (f-1 o g-1)(x) = 1 dipenuhi untuk x = . A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 E. 10

15 untuk x 0. Jika x

O O1 (f o g )(x) = 1-1 -1

f = x +2 ,maka : f-1 = x -2 g=

15 15 , maka g-1 = x x

f-1(g-1)(x) = 1 f-1(

O

15 )=1 x 15 -2 = 1 atau 3x = 15 x

Jadi : x = 5


120


1. Jika x di kuadran II dan tan x = a, maka sin x adalah. a A. (1 + a 2 ) a 1 B. D. (1 + a 2 ) (1 + a 2 ) C.1 (1 + a 2 )

E.

- (a - a 2 ) a

sin x =p

p p + q2 q2

tan x =

p q

cos x =

p2 + q2

p

Tan x = a =

a a sin x = -1 a2 +1


121


2. Jika cos x = A. 2 B. -3 C. 4 D. 5 E. 6

5 5

, maka ctg ( p - x ) = 2

p p p

p sin x = q ctg ( p 2 - x ) = tan x sin x tan x = cos x cos x =

q2 - p2 q

p

cos x =

p

5 25 - 5 20 sin x = = 5 5 5 20 sin x 20 tan x = = 55 = = 4=2 cos x 5 5


122


3.

cos q = ... 1 - sin q cosq A. 1 + sin q 1 + sin q B. cos q 1 + cos q C. sin q

1 - cos q sin q 1 + sin q E. sin q

D.

JAWABAN : B

cosq 1 + sin q = 1 - sin q cosq

Dituker, tanda penyebut berubahOK ?


123


4. Jika

p < x < p dan tan x = a, maka (sinx +cosx)2 sama 2 dengan. a 2 + 2a + 1 A. a 2 +1 a 2 - 2a + 1 a - 2a + 1 B. D. 2 a +1 a 2 -1 a 2 + a +1 a 2 - 2a - 1 C. E. a 2 +1 a 2 -1

JAWABAN : A

p

tan x = a =

a 1

sin x = cos x =

a a 2 +1 1 a 2 +12

a 1 (sin x + cos x) = + 2 2 a +1 a +1 a 2 + 2a + 1 = a 2 +12


124


5. (1 sin2A) tan2A = A. 2 sin2A -1 B. sin2A +cos2A C. 1 cos2A D. 1 sin2A E. cos2A +2

p

Sin2 x+cos2 x = 1

p

sin 2 x = 1 - cos 2 x 2 2 cos x = 1 - sin x sin x sin 2 x tan x = tan 2 x = cos x cos 2 xsin 2 A cos 2 A 2 = sin A = 1 cos2A

p

(1 sin2A).tan2A = cos 2 A.


125


6. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 45o dan CT garis tinggi dari titik sudut C. jika BC = a dan AT = A. a2 B. a3 C. a5 D. a7 E. a113 a 2 2

maka AC = .

C

C

aA 3 a 2

A

3 a 2 2

2 T

45o T

45o B B

p

CT = a sin 45o = a2 AC2 = AT2 +CT2 = (3/2 a2)2 + ( a2)2 9 1 = a 2 + a 2 = 5a 2 2 2 Jadi : AC = a5


126


7. Diberikan segitiga ABC siku-siku di C. Jika cos(A C) = k, maka sin A +cos B = . A. k B. k C. -2k D. k E. 2k

C

JAWABAN : C45o A

3 a 2

2

T

B

Cos(A +C) = k cos(A +90o) = k - sin A = k sin A = -k o o p 90 B = A sin(90 B) = sin A cos B = sin A = -k Jadi : sin A + cos B = -k k = -2kp


127


8. Dari segitiga ABC diketahui a = 30o dan b = 60o, jika a +c = 6, maka panjang sisi b adalah. A. 2 B. 3 C. 22 D. 23 E. 32

C

B45o

cAp A

60o

aCB

3 a 2 2 b

30o

T

a +c = 6 c = 6 a a a sin 30 o = = c 6-a a=2 1 a = 2 6-a c = 6 - 2 = 4

p

b = c 2 - a 2 = 4 2 - 2 2 = 12 = 2 3


128


9. Jika 0o < x < 90o diketahui tan x 1 - sin 2 x = 0,6 . Maka tan x = A. 2,25 B. 1,8 C. 1,25 D. 0,8 E. 0,75

C

Jika tan x =A

2 cos x = 2 1 - sin x

3

sin ox 45 maka : cos xT B

a

2

p

tan x 1 - sin 2 x = 0,6 sin x 3 . cos x = 0,6 = cos x 5 3 3 3 sin x = tan x = = 5 5 2 - 32 4


129


10. Jika

tan 2 x = 1, 1 + sec x

0o < x < 90o maka sudut x adalah.

A. 0o B. 30o C. 45o D. 60o E. 75o

C

p p

T y) x2A y2 3 =a (x +y)(x 2

tan 2 x = sec 2 x -45 12

o

B

p

tan 2 x =1 1 + sec x (sec x + 1)(sec x - 1) sec 2 x - 1 =1 =1 1 + sec x 1 + sec x sec x -1 = 1 sec x = 2 x = 60o


130


11. Sebuah tiang bendera tingginya 3 m mempunyai bayangan ditengah sepanjang 2 m. Pada saat yang sama pohon cemara mempunyai bayangan di tanah sepanjang 10 m. Maka tinggi pohon cemara tersebut adalah. A. 15 m B. 16 m C. 20 m D. 25 m E. 30 mC 45o

3A

xB

3 a 2

2

T

2p

10

x 10 = x = 15 3 2


131


12. Dalam segitiga siku-siku ABC, diketahui panjang Sisi BC = a dan ABC = b Panjang garis tinggi AD=. A. a sin2b cos b B. a sin b cos b C. a sin2b D. a sin b cos2b E. sin b

CC

45o A

3 a 2

2A

T

D

Bb

B

p

AD = BC sin C cos C = BC sin B cos B = a sin b cos b


132


13. Pada segitiga ABC diketahui a +b = 10, sudut A = 30o dan sudut B = 45o, maka panjang sisi b = A. 5(2 -1) B. 5(2 -2) C. 10(2 -2) D. 10(2 +2) E. 10(2 +1)

C p

Aturan Sinus :A

a b =o 45 sin A sin BT B

3 a 2

2

p p

a +b = 10 a = 10 b a b = o sin 30 sin 45 o10 - b1 2

=

b1 2

102 - 2 b = b2

b + 2 b = 102 (1 +2)b = 102 10 2 b= = 10(2 -2) 1+ 2


133


14. Jika p +tg2 x = 1, maka sec x sama dengan. A. 1 - p B. C. D. E.

p -1 2- p p-2 3- p

C

b cos x45 =o 2 a a + b2 tan A x3= T B a 2 a 2 + b2 2 b sec x = b

o p +tan2x = 1 tan2 x = 1 -p 1- p tan x = 1 - p = 1 1- p +1 o sec x = = 2- p 1


134


15. Nilai maksimum dan minimum dari : f(x) = 4 -3cos x adalah a dan b, maka nilai dari a2 +b2 = . A. 40 B. 42 C. 44 D. 45 E. 50

C

f = A+k 45o max f ( x) = - A cos x + k = -A + k 3 A T f min B a 22

p

f(x) = 4 -3 cos x = -3 cos x +4 a = 3 +4 = 7 b = -3 +4 = 1 a2 +b2 = 49 +1 = 50


135


16. Nilai dari 8 sin 18o sin 54o =. A. B. 1 C. 2 D. 4 E. 8

C 45o @ 2 sin x cos x = sin 2x @ cos = sin(90 T x) B A x3 a 2

2

@ 8 sin 18 sin 54 = 8 sin 18 cos 364(2 sin 18 cos18) cos 36 cos18 4 sin 36 cos 36 = cos18 2 sin 72 = =2 sin 72 =


136


17. Perhatikan gambar di bawah ini : Jika DC = 2p, maka BC = A. p sin2 a E B. p cos2 a C. 2p sin a D. 2p cos a E. p sin 2aA B

D

aC

C 45 sisi depan sudut @ sin a= 3 A T miring B a sisi 2 2 sisi apit sudut @ cos a = sisi miring p po

BCE = a CDE = a (kesetaraan) BC sin a = CE = 2p sin a CE BC cos a = BC = 2p sin a cos a CE = p sin 2a


137


18. Perhatikan gambar di bawah ini Nilai dari tg x adalah A. 1/8 B. 3/11 C. 5/8 x D. 7/8 y E. 1A 3

C 1 1 B

C 45 tan A + tan B @ tan( A + B) = 3 A T B a 2 1 - tan A tan Bo

2

@ Tg y = 1/31+1 2 tan x + tan y 2 = maka : = 3 3 1 - tan x tan y 3 3 tan x +1 = 2 -2/3 tan x 11/3 tan x = 1 tan x = 3/11 tan( x + y ) =


138


19. Persamaan grafik ini adalah. A. y = 2 sin 3 Y 2 x 3 B. y = -2 sin 2 x 2 2 C. y = -2 cos 3 x p D. y = 2 cos 3 2 x O 3 3 E. y = -2 cos 2 x-2

2p 3

p

X

Co Grafik tersebut adalah 45 cosinus terbalik. ( amplitude negative) 3 A T B a 2 Umum : y = 2 A cos nx

p p

p

A = -2 n = 4p / 3 = y = -2 cos 3 x 22p 3 2


139


20. Nilai dari sin A. 3 B. 1/3 3 C. 3 D. E.

p p cos =.. 3 6

Co p 18045 o p = 180 = = 60 3 A T B 3 a3 2 2 p 180 o = = 30 o 6 6oo

p

p

sin

p p cos = sin 60o cos 30o 3 6 = 3. 3 =


140


21. Jika

tan 2 x = 1, 0o < x < 90o , maka sec x adalah 1 + sec x A. -1 B. 0 C. 1/3 D. E. 1

C 45o Identitas tan2x = sec2 -1 Rumus A

p

3 a 2

2

T

B

p

tan 2 x = 1 tan2x =1 +sec x 1 + sec x sec2x -1 = 1 +sec x sec2x sec x -2 = 0 (sec x -2)(sec x +1) = 0 sec x = 2 atau sec x = -1


141


22. Dari segitiga ABC diketahui bahwa a = 30o dan b = 60o. Jika a +c = 6, maka panjang sisi b adalah A. 2 B. 3 C. 22 D. 23 E. 32

C

Aturan sinus jika diketahui 1 sisi o 2 45 sudutA

3 a 2

sin A sin B sin C T B= = 2 a b c

p

p

p

a = 30o, b = 60o berarti c = 90o sin 30o sin 90o = a=c a c Padahal : a + c = 6 c + c = 6 c = 4, a = 2 o sin 60 sin 90o = b = 23 b 4


142


23. Jika 0 < x < 90o diketahui tan x 1 - sin 2 x = 0,6 maka tan x =. A. 2,25 B. 1,8 C. 1,25 D. 0,8 E. 0,75

C p

Cos2x +sin2x = 1 trigonometri) 3A

o (identitas 45

p p

2 2- sin x cos x = 1 sin x tan x = cos x a a sin x = tan x = 2 b b - a2

a

2

T

B

p

tan x 1 - sin 2 x = 0,6 sin x 3 . cos x = 3 sin x = 5 cos x 5 3 3 tan x = = = 0,75 52 - 32 4


143


24. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 10 cm, sisi AC = 12 cm dan sin B = , nilai cos C adalah. A. 1 5 3 B. C. 2 5 5 9 D. 10 E.39 8

C

CA

3 a 2

122

45o T B

A

10

B

p

3 sin B sin C sin C = 4 = 12 10 12 10 5 82 - 52 39 sin C = cos C = = 8 8 8


144


25. Diketahui segitiga ABC dengan AC = 83 cm, B = 120o, C = 30o. Luas segitiga ABC adalah A. 83 cm2 B. 162 cm2 C. 163 cm2 D. 32 cm2 E. 48 cm2

C

CAo

45o Bo

3 a 2

2

30 T a120 10 B

A

p

p

1 1 3 sin 30o sin120o 2 = = 2 a a 8 3 8 3 a = 8. = 4 a = 8 L = .AC.BC sin C ( Rumus standart) = .83. 8 sin 30o = 323 . = 163


145


26. Diketahui cos(A B) = tan A.tan B = . A. -3 B. -1/3 C. D. 1/3 E. 3

8 2 dan cos A cos B = , nilai 9 3

C 45 + sin A sin B cos(A B) = cos A cosBo

p p

tan A. tan B a =

A

3 2

sin A . sin B T 2 cos A. cos B

B

p

cos(A B) = cos A cosB + sin A sin B 8 = 2 + sin A sin B 9 3 sin A sin B =8 9

-2 = 3

2 9

tan A. tan B =

2 sin A.sin B 1 = 9 = cos A. cos B 2 3 3


146


27. Diketahui cos2A = Nilai tan 2A = . A. 4 3 8 B. 10 C. 6 D. 10 E.5 10

8 10

untuk 0 2A p .

C 45o A

p

3 a 2

2

T

B

p

8 Diketahui cos2A = 10 Cos 2A = 2cos2A -1 ( sudut rangkap) 8 -1 = 3 = 2. 10 5

p

tan 2 A =

52 - 32 4 = 3 3


147


28. Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar adalah. A. y = -2 sin(2x -30)o B. y = 2 cos(2x -30)o 2 C. y = -2 cos(2x -30)o D. y = 2 cos(2x -60)o E. y = 2 sin(2x -30)o 15o 60o -2

C 45o A

p

3 a 2

2

T

B

p p

Susupkan saja x = 15o ke pilihan jawaban, mana yang menghasilkan y = 2 Pilihan B : 2 cos(2.15o-30o) = 2.cos 0o = 2 Sesuai dengan nilai y


148


1. UMPTN 1995 1 3 x-2 y = dan 2 x - y - 16 = 0 , maka nilai x +y =... 81 A. 21 B. 20 C. 18 D. 16 E. 14

1

a f ( x ) = a p maka f(x) = p

1 3x - 2 y =

1 =3-4 81

x -2y = -4

x y = 4 -y = -8 y = 8 x -8 = 4 x = 12 Jadi : x + y = 12 +8 = 20

2 x - y = 16 = 24


149


2. UMPTN 1995 Diketahui 2.4 x + 2 3- 2 x = 17 . Nilai dari 22x =... A. atau 8 B. atau 4 C. 1 atau 4 D. atau -4 E. atau -8

1

2.4 x + 2 3- 2 x = 17 , misal : 22x = a 8 2.2 2 x + 2 x = 17 2a + 8 = 17 a 2 2 2a -17a +8 = 0 (2a -1)(a -8) = 0 a = atau a = 8


150


3. UMPTN 1995 Penyelesaian persamaan : 2(25) x +1 + 5 x + 2 - 3 = 0 adalah x =.... A. 1 -2log 5 B. -1 -5log 3 C. -1 +5log 3 D. -1 -5log 3 E. 1 +5log 3

1

a f ( x ) = p maka f ( x) = a log p

1 2( 25) x +1 + 5x + 2 - 3 = 0

5x = a

50.52x +25.5x -3 = 0 50a2+25a -3 = 0 (10a -1)(5a +3) = 0 a = 1/10 1 5 x = 5 log 10 = log10-111 5 x = 10

=-5 log10 = -(5 log 5+ 5 log 2) = -1-5 log 2


151


4. UMPTN 1996 Untuk x dan y yng memenuhi sistem persamaan 5 x - 2 y +1 = 25 x - 2 y dan 4 x - y + 2 = 32 x - 2 y +1 , maka nilai x.y =.... A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 E. 20

1 a

f (x )

= a p maka f(x) = p

5 x - 2 y +1 = 25 x - 2 y 5 x - 2 y +1 = 5 2 x - 4 y x -2y = 1 x- y+2 x - 2 y +1 1 4 = 32 3x -6y = 3 2 x -2 y + 4 5 x -10 y + 5 2 =2 3x -8y = -1 2y = 4 y = 2 dan x -4 = 1 x = 5 Jadi : x.y = 5.2 = 101

-


152


5. UMPTN 1996 3 x -1 - y -2 Bentuk x - 2 + 2 y -1 negatif menjadi.... A. B. C.x (3 y - x ) y( y+2x2 )x (3 y 2 - x ) y ( x+2 x2 )

dapat ditulis tanpa eksponen

D. E.

x (3 y 2 - x ) y(y+ 2x 2 ) x (3 y 2 - x ) y(x -2x 2 )

x (3 y 2 - x ) y( y -2x 2 )

x - y12 3xy 2 - x 2 3 3x -1 - y -2 x(3 y 2 - x) @ -2 = = = x + 2 y -1 x12 + 2 y 2 + 2 yx 2 y ( y + 2 x 2 ) y

@ Dikalikan dgn :

x 2 .y 2


153


6. UMPTN 1998 x 3 .y -3 Bentuk 2 y 3 .x 2 2 4

-3 4

dapat disederhanakan menjadi....

A. x. y 2 B. xy C. x 2 . y D. x.yy E. y.xx

x .y @ 2 2 3 y .x2 3

-4 3

-2 3 = x .y = x.y 2 = xy y -1 -3 2 2 y . x 1

-3 4


154


7. UMPTN 1999

1 a+b ( a - b) - 3 =...... -3 b - a ( a + b) A. a2 b2 B. a2 +b2 1 C. a+b a+b D. ( a - b) 2 a+b E. a-b

-2

+b 1 (a - b ) b-a -3 a

-2

1 (a + b ) - 3

=

1 (a - b) 2 a+b . .( a + b ) 3 = 3 2 (a - b) (a + b) a -b


155


8. UMPTN 1999 Nilai x yang memenuhi persamaan : 5 x + y = 49 adalah..... x- y =6 A. 3 + 5log 7 B. (3 +5log 7) C. 6 5log 49 D. 49 +5log 6 E. 3 + 5log 7

1

a f ( x ) = p maka f ( x)= a log p

1 1

5 x + y = 49x + y = 5 log 49 = 25 log 7

x y = 6 + 2 x = 25 log 7 + 6 x = 5log 7 +3


156


9. EBTANAS 1996 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan : 2.92x-1 -5.32x +18 = 0, maka x1 +x2 = .... A. 0 B. 2 C. 3log 2 D. 2 -3log 2 E. 2 + 3log 2

1

a. p 2 x + b. p x + c = 0 ,maka c p x1 + x2 = a

1

2.92x-1 -5.32x +18 = 0 basis 9x 2.92x.9-1-5.9x +18 = 0 x9 2.92x-45.9x +18.9 = 0 18.9 9 x1 + x2 = = 92 2 Berarti : x1 +x2 = 2


157


10. SPMB 2002/No.20 Akar dari persamaan 3 5 x -1 = 27 x + 3 adalah.... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

1

3 5 x -1 = 27 x + 3 3 5 x -1 = 3 3 x + 9 5x -1 = 3x +9 2x = 10 x=5


158


11. SPMB 2002/No.16 Jika x > 0 dan x 1 memenuhi x p .x q = x pq , p dan q bilangan rasional,maka hubungan antara p dan q adalah.... A. p +q = -1 B. p +q = 1 C. 1 + 1 = 1p q1 1 1

D. p.q = 1 E. p.q =-1

1

x .x = x x p+q 1 = p +q = 1 pq pqp q pq

1

1

1

1 1 + p q

=x

1 pq


159


12. EBTANAS 2002/No.21 2 Jika 6 x -1 = ( ) x +1 , maka x =.... 3 A. 2log 3 B. 3log 2 C. 1/2 log 3 D. 3log 6 E. 1/3log 2

1

2 6 x -1 = ( ) x +1 (3.2) x -1 = ( 2 ) x +1 3 3 3 Berarti : x = log 2


160


1. UMPTN 1996 Jika 4log(4x.4) = 2 x, maka x = . A. -1 B. C. D. 1 E. 2

1 1

a m .a n = a m + n a log u = v u = a v

1

4

log(4x.4) = 2 x 4 log 4x+1 = 2 x 4x+1 = 42 x x +1 = 2 x x=


161


2. UMPTN 1996 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan log(x2 +7x +20) = 1, maka (x1 +x2)2 -4x1.x2 adalah. A. 49 B. 29 C. 20 D. 19 E. 9

1

Akar-akar ax2 +bx +c = 0 , x1 dan x2 Maka : b 1 x1 + x 2 = a c 1 x1 .x 2 = a

@ log(x2 +7x +20) = 1 =log 10

x2 +7x +20 = 10 x2 +7x +10 = 0 (x1 +x2)2 -4x1.x2 = (-7)2 -4.10 = 9


162


3. UMPTN 1996 1 Jika a log(1-3 log 27 ) = 2 , maka nilai a yang memenuhi adalah. A. 1/8 B. C. 2 D. 3 E. 4

@ a log u = v u = a v

1

a

1 1 = a2 log(1-3 log 27 ) = 2 1-3log 27 1 3log 3-3 = a2 1 (-3) = a2 a2 = 4 a = 2


163


4. UMPTN 1997 Jika 2 log x + log 6x log 2x log 27 = 0, maka x sama dengan.... A. 3 B. -3 C. 3 atau -3 D. 9 E. 9 atau -9

log x +alog y = alog x.y x a a a 1 log x - log y = log1y

a

1

2 log x + log 6x log 2x log 27 = 0 2 x 2 .6 x log = log1 x = 1 9 2 x.27 2 x = 9 , berarti x = 3


164


5. UMPTN 1997 Jika b = a4 , a dan b positif, maka alog b blog a adalah. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

1

Jika x = yn maka

y = xn

1

1

a

log b - b log a = a log a 4 - b log b 4=4=3

1


165


6. UMPTN 1997 Jumlah dari penyelesaian persamaan : 2 log2x +52log x +6 = 0 sama dengan. A. B. C. 1/8 D. 3/8 E. -5/8

1

a

log f(x) = p maka : f(x) = ap

@ 2log2x +52log x +6 = 0

(2log x +2)(2log +3) =0 2 log x = -2 atau 2log x = -3 x = 2-2 = atau x = 2-3 = 1/8 @ Maka : x1 + x 2 = 1 + 1 = 34 8 8


166


7. UMPTN 1997 Jika 9log 8 = p, maka 4log 1 3 sama dengan.... 3 A. 2p 3 4 B. D. 4p 3p 2 6 C. E. 3p 4p

@ Posisi basis terbalik :23 329

3 -1 22

log 8 = p 4 log

1 - 13 . 3 = = 3 2.2. p 4p


167


8. UMPTN 1998 Dari sistem persamaan 5log x +5log y = 5 dan 5log x3 5 log y4 = 1, nilai x +y adalah.... A. 50 B. 75 C. 100 D. 150 E. 200

1

5 5

log x + 5 log y = 5 35 log x +35 log y = 15

log x3 -5 log y 4 = 1 35 log x -45 log y = 1 ------------------- 5 7 log y = 14 5 log y = 2 y = 52 = 25 5 log x = 3 x = 53 = 125 Jadi : x + y = 25 +125 = 150


168


9. UMPTN 1998 Nilai x yang memenuhi ketaksamaan 2 log(2x+7) > 2 adalah.. A. x > - 7 B. C.2 3 x>2 7 3 - 3 2

( ii ) 2x +7 > 0 x> -72

Gabungan ( i ) dan ( ii ) di dapat : x > -

3 2


169


10. UMPTN 1999 Nilai x yang memenuhi persamaan : (3 x + 5) log 27 =3 log 3 adalah.... A. 42 B. 41 C. 39 D. 7 2 3 E.71 3

1

3x+5

log 27 = 1 27 = 3x +5 3x =22x= 22 1 =7 3 3


170


11. UMPTN 1999 Diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka log(3 2 . 3 ) =.... A. 0,1505 B. 0,1590 C. 0,2007 D. 0,3389 E. 0,3891

1

log(3 2 . 3 ) = log 21/3 + log 3 1/2 = 1/3 log 2 + log 3 = 1/3(0,3010) + (0,4771) = 0,3389


171


12. Prediksi SPMB Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan : 1 (2 log x - 1) x = log10 , maka x1.x2 = .... log10 A. 510 B. 410 C. 310 D. 210 E. 10

1

1 = log10 log10 (2log x -1) log x = 1 2log2x log x -1 = 0 1 b 1 log x1.x2 = - = x 1 . x 2 = 10 2 = 10 a 2 (2 log x - 1)x


172


13. Prediksi SPMB Jumlah dari nilai x yang memenuhi persamaan 3 log x(3 log x + 4) + 3 = 0 adalah.... 4 A. 27 8 B. 27 C. D. E.10 27 13 27 16 27

1

3

log x (3 log x + 4) + 3 = 0

3

log2x +43log x +3 = 0 ( log x +1)(3log x +3) = 0 3 log x = -1 atau 3log x = -3 1 x = 3-1 = 1 atau x = 3-3 = 27 331 @ Jadi : 1 + 27 = 10 3 27


173


14. Prediksi SPMB 1 3 1 Jika 2 log = dan 16log b = 5, maka a log 3 =.. a 2 b A. 40 B. -40 C. 40 D.3 40 3

E. 20

1

-3 1 3 = a=2 2 a 2 16 log b = 5 b = 1652

log

1 a log

1 b3

= -3 log b = - 3a

2 2

-3

log 16 54 2 log 2 -32

= - 15= -15.

2 2

-3

log 2 4 = -15.

8 = 40 -3


174


15. Prediksi SPMB Nilai x yang memenuhi (b log x) 2 + 10 < 7.b log x dengan b > 1 adalah.... A. 2 < x < 5 B. x < 2 atau x > 5 C. b2 < x < b5 D. x < b2 atau x > b5 E. 2b < x < 5b

(b log x) 2 + 10 < 7.b log x b log2x -7log x +10 < 0 b ( log x -2)(blog x -5) < 0 Pembuat Nol : x = b2 atau x = b5 Pert. Kecil jawaban pasti terpadu @ Jadi : b2 < x < b51


175


16. Jika log(y +7) +2log x = 2, maka .... A. B. C. D. E.100x 2 7 7 y= - x2 100 100 y= 7x 2 100 y = 2 -7 x y=y = 100 - x 2

1

Log(y +7) +2log x = 2 Log(y +7) +log x2 = log 102 x2(y +7) = 102 y +7 = 100 2 y=

x 100 -7 x2


176


n+2 n +1 1. Jika C5 = 2C4 dan n > 5, maka n = .... A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12

1

n+ p n + p -1 Jika Cn = kCn -1 n+ p Maka : =k n

1

n+2 n +1 C5 = 2C4 n+2 =2 n=8 5


177


2.

Dari angka 3 ,5 ,6 ,7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400, banyaknya adalah.... A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 E. 6

1 Angka-angka : 3 ,5 ,6 ,7 dan 9

Disusun atas 3 angka, nilainya < 4001 4 3

Kotak I hanya bisa diisi angka 3 (1 cara) Kotak II dapat diisi 5, 6,7 atau 9 (4 cara) Kotak III dapat diisi (4 -1) cara = 3 cara Jadi : banyaknya ada : 1 . 4 . 3 = 12 cara


178


3.

Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah.... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 10

1 No. 1 dan 2 harus dikerjakan, maka sisa nomor yang

dipilih : 3 ,4 ,5 ,6 ,7 Dipilih 3 soal lagi,maka :5 Banyaknya ada : C3 =

5 .4 = 10 2 .1


179


Jika Cn r menyatakan banyaknya kombinasi r elemenn 2n dari n elemen, dan C3 = 2n ,maka C7 =..

A. B. C. D. E.

160 120 116 90 80

n=1

3+ 7 =5 2 10.9.8 = 120 3 .2

n 2n 10 C3 = 2n C7 = C7 =


180


5.

Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu AS adalah....2 A. 52

B. C.

26 52 28 52

D. 30 52 E. 32 52

Jumlah kartu merah : 25 Jumlah Kartu AS : 4 1 P(M atau A) = P(M) +P(A) =

1 Jumlah kartu : 50

26 4 30 + = 52 52 52


181


6.

Dari sekelompok remaja terdiri atas 10 pria dan 7 wanita, dipilih 2 pria dan 3 wanita, maka banyaknya cara pemilihan adalah.... A. 1557 B. 1575 C. 1595 D. 5175 E. 5715

1 10 Pria, 7 wanita10 7 C2 .C3 =

dipilih 2 pria dan 3 wanita,maka :

10.9 7.6.5 . = 45.35 = 1575 2 .1 3 .2 .1


182


7.

Di suatu perkumppulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 calon. Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah... A. 84 B. 82 C. 76 D. 74 E. 66

1 1

Dipilih 6 calon, dari 5 pria dan 4 wanita.(sekurang-kurangnya 3 pria)5 4 5 4 5 4 C3 .C3 + C4 .C2 + C5 .C1

= 10.4 +5.6 +1.4 = 74


183


8.

Dari 9 orang siswa terdiri dari 6 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 6 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah.... A. 48 B. 52 C. 54 D. 58 E. 64

1 Dari 9 siswa dipilih 6 orang paling banyak 2 orang

putri :

1 6 putra 0 putri

6 3 C6 .C0 = 1 .1 = 1

6 3 5 putra 1 putri C5 .C1 = 6.3 = 18

6 3 4 putra 2 putri C4 .C2 = 15.3 = 45 Jadi banyaknya : 1 +18 +45 = 64


184


1. UMPTN 1997 Jika x dan y memenuhi hubungan : 2 - 3 x 8 -1 2 = , maka nilai x +y =... y - 5 A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2

1

a b x p c d = y q ( a - b ) q - (c - d ) p x+ y = ad - bc

1

2 - 3 x 8 -1 2 = y - 5 (2 + 3)(-5) - (-1 - 2).8 x+ y = 2.2 - (-1)(-3) - 25 + 24 = = -1 4-3


185


2. UMPTN 1997 1 2 0 t Jika A = 3 -1 4 dan A adalah transpos dari matriks A, maka baris pertama dari At.A adalah.... A. (10 1 12) B. (10 1 -12) C. (10 -1 14) D. (10 -1 12) E. (10 -1 -12)

1

Jawab : D

a b A= c d trasposenya a c AT = b d kolom,kolom jadikan baris

1 Baris jadikan

1 3 1.1 + 3.3 1.2 + 3(-1) 1.0 + 3.4 1 2 0 2 - 1 3 - 1 4 = 0 4 10 - 1 12 T A . A =


186


3. UMPTN 1996 Diketahui :x x + y B= , 1 x - y 1 -x 2 C= - 2y 3

dan matriks A

merupakan transpos matriks B. Jika A = C, maka x 2xy +y sama dengan.... A. 2 B. 3 C. 4D. 5 E. 6

x x + y - 1 1 -2 A=C = - 2y 3 - 2y 3 1 Pilih elemen seletak : x x=2 -1 = - 2

1

x + y = 1 y = -1 @ Jadi : x -2xy +y = 2 -2.2(-1) -1 = 5


187


4. UMPTN 1996 Titik potong dari dua garis yang disajikan sebagai persamaan matriks : - 2 3 x 4 1 2 = adalah.... y 5 A. (1 ,-2) B. (-1 ,2) C. (-1 ,-2) D. (1 ,2) E. (2 ,1)

1

a b x p c d y = q 1 d - b p x = y ad - bc - c a q

1

x 1 2 - 3 4 1 = y - 7 -1 - 2 5 = 2 = (1 ,2)


188


5.

Nilai a yang memenuhi :

a b 1 2 2 1 0 0 c d - = adalah.... 2 1 4 3 1 2 A. B. C. D. E. -2 -1 0 1 2

1

a b 1 2 2 1 c d 2 1 = 5 5 2a +b = 1 4a +2b = 2 -3a = 0, berarti a = 0

1 a + 2b = 2 a +2b = 2


189


6. Diketahui matriks A =

u1 u3 dan un adalah suku u2 u4

ke-n barisan aritmetik. Jika u6 = 18 dan u10 = 30, maka diterminan matriks A sama dengan... A. -30 B. -18 C. -12 D. 12 E. 18

1 U6 = 18 a +5b = 18

U10= 30 a +9b = 30 -4b = -12 b = 3 a + 15 = 18 a = 3 U1 = a = 3 U3 = a +2b = 9 U2 = a +b = 6 U4 = a +3b = 12

@ A= 6 12

3

9

det(A) = 3.12-6.9 = -18


190


7. Jika

z 4 - 1 1 2 7 = - 3 5 - 13 - 4 maka x +y+z x y

adalah.... A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 E. 4

1

z 4 - 1 1 2 7 x y - 3 5 = - 13 - 4 3 7 z 7 x - 3 y 2 x = 5 y = - 13 - 4 2x +5y = -4 2x +5y = -4 -11y = -22 y = 2 x = -7 Jadi : x + y +z = -7 +2 +3 = -2

1 x 3y = -13 2x -6y = -26

@


191


8. Jika diketahui 2

m n 1 2 24 23 4 3 = 14 13 maka nilai 3

m dan n masing-masing adalah.... A. 4 dan 6 B. 5 dan 4 C. 5 dan 3 D. 4 dan 5 E. 3 dan 7

1

m n 1 2 24 23 2 3 = 4 3 14 13 m + 4n 2m + 3n 24 23 =

m +4n = 24 2m +8n = 48 2m +3n = 23 2m +3n = 23 5n = 25 n = 5 2m +3.5 = 23 m = 4 ..(D)


192


9.

Jika diketahui :

4 x - 2 - 6 8 3 1 0 3 + = 2 3 - 2 4 2 - 11 - 6 - 1 1 nilai x adalah.... A. 0 B. 10 C. 13 D. 14 E. 25

maka

1

4 x - 2 - 6 8 3 1 0 3 + 3 = 2 2 - 11 - 6 - 2 4 - 1 1 D x + 6 D 3 .3 + 1 .1 10 = 2 = 2 , Perhatikan elemen-elemen seletak. Jadi : x +6 = 2.10 = 20 x = 14


193


10.

2 Diketahui persamaan : x 5 + - 2 maka nilai x =..... A. -2 B. -3 C. 0 D. 6 E. 30

-1 - 7 y - 6 = - 21 5 2 z - 1

2 1 x 5 + - 2

-1 -1 y - 6 = - 21 5 2 z - 1

1 2x y = -7

12x -6y =-42 5x -6y = -21 5x -6y = -21 7x = -21 x = -3


194


11. Diketahui A =

5 + x x 9 - x dan B = 7 4 Jika 3x 5

determinan A dan determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah.... A. 3 atau 4 B. -3 atau 4 C. 3 atau -4 D. -4 atau -5 E. 3 atau -5

1 det(A) = det(B)

3x(5 +x)-5.x = 36 -7(-x) 15x +3x2 -5x = 36 +7x 3x2 +x -12 = 0 x2 +x -12 = 0 (x +4)(x -3) = 0 x = -4 atau x = 3


195


12. Jika M = 1 matriks K =....

- 2

5 0 - 1 dan K .M = - 2 3 , maka - 3

3 4 - 2 - 1 1 - 2 B. 3 4 A. C.

- 1 - 2 4 3

3 - 4 1 - 2 1 2 E. 3 4 D.

1

0 - 1 0 - 1 -1 K .M = - 2 3 K = - 2 3 .M 0 - 1 1 - 3 - 5 K = - 2 3 . - 2 + 3 -1 - 2 0 - 1 - 3 - 5 1 2 K = - 2 3 . = -1 - 2 3 4


196


13. Diketahui matriks

2 4 A= 3 1 dan

1 0 I = 0 1 ,

Matriks (A kI) adalah matriks singular untuk nilai k =.... A. -2 atau 5 B. -5 atau 2 C. 2 atau 5 D. 3 atau 4 E. 1 atau 2

1

4 2 4 k 0 2 - k A - kI = 3 1 - 0 k = 3 1- k Matriks singular,berarti determinan =0 det(A-kI) =0 (2 k)(1 k)- 3.4 = 0 k2 -3k -10 =0 (k -5)(k +2) = 0 k = 5 atau k = -2


197


14.3 -1 0 2 Diketahui B = , C= dan determinan 2 0 3 - 6

dari matriks B.C adalah K. Jika garis 2x y = 5 dan x +y = 1 berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dan bergradien K adalah.... A. x -12y +25 = 0 B. y -12x +25 = 0 C. x +12y -23 = 0 D. y -12x -11 = 0 E. y -12x +11 = 0

1 BC =

3 -1 0 2 -3 12 = 2 0 3 - 6 0 4

1 2x y = 5

det(BC) = -12-0 = -12 = K = gradient

x+y=1 + 3x = 6 x = 2 dan y = -1 1 Pers.Garis : y (-1) = -12(x -2) y +12x -23 = 0


198


15. Diketahui 2x B= 2 3 x

matriks . Jika x1

3 2 A= 2 x dan x2

dan

matriks akar-akar

adalah

persamaan det(A) = det(B), maka x12+x22 = ..... A. 1 B. 2 C. 4 D. 4 E. 5

1 det(A) = det(B)

3x-4 = 2x2-6 2x2 -3x -2 = 02 2 x1 + x2 = ( x1 + x2 )2 - 2.x1x23 2 2 = 9 +2=41 = (- ) - 2. 2 2 4 4


199


16.

Diketahui matriks-matriks : 2 1 A= 3 4

,

-1 2 B= 5 6

dan

a -1 C= . 2 3

Jika

determinan dari 2A B +3C adalah 10,maka nilai a adalah.... A. -5 B. -3 C. -2 D. 2 E. 5

1 2A B +3C =

4 2 - 1 2 3a - 3 5 + 3a - 3 6 8 - + = 11 5 6 6 9 7 1 det(2A B+3C) = 55+33a +21

10 = 76 +33a 33a = -66 a = -2


200


1. SPMB 2002/Mat.Das/No.12 2 x2 - x + 4 lim = ... x 3 x 2 - 5A. - 5 4 2 B. 3 C. D.3 2 -5 4

E. ~

@

~ ucapkan BE >>SAR berarti : pilih koefisien variable pangkat besar

@

Perhatikan Triksnya ...

x ~

lim

2x 2 - x + 4 3x 2 - 5

=

2 3


201


2. SPMB 2002/Mat.IPA/No.5x 0 23 A. 9 19 B. 9 17 C. 9

lim

sin 2 3x tan 2 x - x3 x tan 2 3xD.

=....

8 9

E. 0

@ lim @

a n bx p n qx

x 0

=

a.b n p.q n

di isi x, tg x atau sin x

x0

lim

sin2 3x.tg2x - x3 x.tg 3x2

= limx0

sin2 3x.tg2x x.tg 3x2

-

x3 x.tg 3x2

=

32.2 32

-

1 17 =2- = 9 9 32

1


202


3. UMPTN 97

lim x d0A. B. C. D. E.

(2x 3 +3x) 3 =..... (5x 2 - 2x)(3 x 2)

-1 -2 -3 -4 -5

@

x0 ucapkan KE -1 E. x < 1 atau x > 2

Gunakan info smart :1

f(x) = 2x3-9x2+12x 6x2-18x +12 > 0 x2 -3x +2 > 0 (x -1)(x -2) >0 Jadi : x < 1 atau x > 2

1

Jika y = f(x) Naik , maka f (x) > 0 Perhatikan : Soal UAN 2002 Sama dengan soal SPMB 2002

@

Jawaban : E http://meetabied.wordpress.com 229


6. Nilai maksimum dari fungsi f ( x) = interval 0 x 3 adalah.... A. 9 2 3 B. 9 5 6 C. 10 D. 10 E. 10 2 3

1 3 3 2 x - x + 2 x + 9 pada 3 2

Gunakan info smart :1 f ( x ) = x - x + 2x + 93 2

1 Setiap Soal yang

1 3

3 2

@ @ @ @

f(x) = x2 -3x +2 = 0 (x -1)(x -2) = 0 x = 1 atau x = 2Uji x = 0 (interval bawah) f(0) = 0 0 +0 + 9 = 9 x = 1 (nilai stasioner) f(1) = 1/3 -2/3 +2 +9 = 11-1/3 = 10 2 3 x = 2 (nilai stasioner) f(2) = 8/3 -6 +4 + 9 = 7 +8/3 =9 2 3 x = 3 (interval atas) f(3) = 9 27/2 +6 +9 = 24 13 = 10

menanyakan nilai Maximum atau Minimum arahkan pikiran ke TURUNAN = 0

@

Jadi : fmax = 10 2 3

Jawaban : E


230


7. UMPTN 1996 Kurva f(x) = x3 +3x2 -9x +7 naik untuk x dengan... A. x > 0 B. -3 < x < 1 C. -1 < x < 3 D. x < -3 atau x > 1 E. x < -1 atau x > 3


f(x) = x3 +3x2 -9x +7 3x2 +6x -9 > 0 x2 +2x -3 > 0 (x +3)(x -1) >0 x < -3 atau x > 1

1

Jika y = f(x) Naik , maka f (x) > 0

1

> 0, artinya kecil atau besar

Jawaban : D http://meetabied.wordpress.com

231


8. UMPTN 1997 Garis singgung melalui titik dengan absis 3 pada kurva y = x + 1 adalah.... A. y -4x +5 = 0 B. y -3x -5 = 0 C. 4y x -5 = 0 D. 3y -4x -5 =0 E. y x -5 = 0


1 Turunan y = f(x) adalah

y = x + 1 , absis (x)= 3 , y =3+1 = 2 y = ( x + 1) 2 y =1 21

f(x) = m1 Persamaan Garis yang

melalui (a ,b) dengan gradient m adalah : y b = m(x a)

( x + 1)

-12

m = yx=3= (4)-1/2=

@

Persamaan Garis Singung :

y 2 = (x -3) 4y x -5 = 0

@ @

absis = x = 3 maka

y = 3 +1 = 2

Jawaban : C

(3,2) uji kepilihan : A. y -4x+5 = 2-8+5 0 (salah) C. 4y-x-5=8-3+5 = 0 (benar) Berarti Jawaban : C


232


9. UMPTN 1997 Diketahui f(x) = 3x2 -5x +2 dan g(x) = x2+3x -3 Jika h(x) = f(x) -2g(x), maka h(x) adalah... A. 4x -8 B. 4x -2 C. 10x-11 D. 2x -11 E. 2x +1

Gunakan info smart :1 h(x) = f(x) -2g(x)

= 3x2 -5x +2 -2x2-6x +6 = x2 -11x +8 h(x) = 2x -11

@

Jika g(x) = x2+3x -3 maka : 2g(x) = 2(x2+3x -3)= 2x2 +6x -6

Jawaban : D http://meetabied.wordpress.com

233


10. UMPTN 1997 Jika f ( x ) = A. B. C.8x - 10 ( x - 3)2 10 ( x - 3)2 8x (3 - x )2 14 - 8x ( x - 3)2 14 (3 - x )23x - 2 x+4

, maka turunan dari f-1(x) adalah....

D. E.

@

f (x) =

3x - 2 x+4

inversnya

- 4x - 2 f -1 ( x ) = x-3Missal y = f-1(x), maka :

f ( x) =

ax + b Turunan cx + d

dari inversnya :

- 4x - 2 y= x-3 u' v - u .v' y' = v2 - 4( x - 3 ) - ( -4 x - 2 ).1 = ( x - 3 )2 - 4 x + 12 + 4 x + 2 = ( x - 3 )2 14 = ( x - 3 )2

( f -1( x))' =

(ad - bc) (cx - a)2

@ f ( x) =

3x - 2 x+4 Turunan inversnya : ( 3.4 - ( -2 ).1 ( f -1 ( x ))' = ( x - 3 )2 14 = ( 3 - x )2



11. UMPTN 1997 Jika f ( x ) = A. 1 8 B.1 4 1 4

2x 3x - 2

,maka f(2) =...

D. - 1 8 E. 1 2

C.


f ( x) =f ' (x) =

2 2x

2x , 3x - 2 2 (3x - 2) - 2x.(3)(3x - 2)2 1 ( 4 ) - 2.( 3 ) 2

1 Diketahui f(x) =

f ' ( x) =

u v u '.v - u.v'v2

f'(2) =

( 4 )2 4 1 =16 4

=-

Jawaban : C


235


12. UMPTN 1997 grafik dari y =

1 3 3 2 x - x + 2 x mempunyai garis singgung 3 2

mendatar pada titik singgung.... A. (2, 2 ) 3 B. ( 2 ,2) 3 C. (1 , 5 ) dan ( 2 ,2) 8 3 D. ( 5 ,1) dan (2 , 8 E. (2,2 3 2 3

)5 6

) dan (1 ,

)

Gabungkan dengan info smart :1

y=

1 3 3 2 x - x + 2x 3 2

@

y = x2 -3x +2, mendatar y = 0 x2 -3x +2 = 0 (x -2)(x -1) = 0 x = 2 atau x = 1 Pilihan yang terlihat untuk nilai x saja : E


236


13. UMPTN 1998 Jika f(x) = a tan x +bx dan f ' ( p ) = 3 , f '(p )=9 4 3 Maka a +b =... A. 0 B. 1 C. p D. 2 E. p


f(x) = a tan x +bx f(x) = a sec2x +bf( p ) = 3 2a +b = 3 4 f( p ) = 9 4a +b = 9 3

2a = 6 a=3 b = -3 Jadi : a + b = 3 -3 = 0

Jawaban : A


237


14. UMPTN 1999 Jika f ( x) =

maka f( p) =... A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2

sin x + cos x , sin x 0 dan f adalah turunan f, sin x

Gabungkan dengan info smart :sin x + cos x sin x = 1 + cot x 1 f'( x) = sin 2 x 1 1 f '(p )== - 2 = -1 2 2 p (sin 2 ) 1 f(x)=

@

Jika y = 1 +cot x, maka : 1 y' = - 2 sin x

Jawaban : B


238


15. UMPTN 1999/16 Jika nilai stasioner dari f(x) = x3 px2 px -1 adalah x = p, maka p =.... A. 0 atau 1 B. 0 atau 1/5 C. 0 atau -1 D. 1 E. 1/5


1

f(x) = x3 px2 px -1 3x2 -2px p =0 x = p 3p2 -2p2 p = 0 p2-p =0 p(p -1) = 0 p = 0 atau p = 1

Stasioner arahkan pikiran ke : TURUNAN = 0

Jawaban : A http://meetabied.wordpress.com 239


16. UMPTN 1999/15 Grafik dari y = 5x3 -3x2 memotong sumbu x di titik P. Jika gradien garis singgung di titik P sama dengan m, maka nilai 2m +1 =... A. 2 1 5 B. 3 3 5 C. 4 3 54 D. 4 5

E. 8 1 5


1 13 5

y = 5x3 -3x2 5x3 -3x2 = 0 x (5x -3) = 0, x =2

Memotong sumbu X, berarti : y =0 y = f(x) ,maka gradient m = y

y = m = 15x2-6x = 15( 3 )2-3( 3 )= 9 5 5 51

2m +1 = 2( 9 )+1 53 = 23 =45 5

Jawaban : C http://meetabied.wordpress.com 240


17. UMPTN 1999/42 Diberikan suatu kurva dengan persamaan y = f(x) dengan f(x) = 4 +3x x3 untuk x 0. Nilai maksimum dari f(x) adalah.... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8


1

f(x) = 4 +3x x3 f(x) = 3 -3x2 0 = 3-3x2 x2 = 1 x = 1 f(1) = 4 +3.1-13 = 6 f(-1) = 4 -3 (-1)3 = 2 Jadi f(x) maksimum = 6

@

Jawaban : C http://meetabied.wordpress.com 241


18. Prediksi SPMB Jika nilai maksimum fungsi y = x + maka p = .... A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 E. 8

p - 2 x adalah 4,


p - 2x 2 y' = 1 2 p - 2x2 2 p - 2x = 1 Kuadratken

y = x+

@ Jika y = u , maka2 u @ Maksimum = 4 ,maksudnya : y = 4 y' = u'

4 =1 4( p - 2x )

p -2x = 1 2x = p -1 x = (p -1)1 Susupkan ke y = x + p - 2x

4 = (p -1) + 1 8 = p -1 + 2 p=7

Jawaban : D http://meetabied.wordpress.com 242


19. Prediksi SPMB Garis singgung di titik (2 ,8) pada kurva f ( x) = 2 x x + 2 memotong sumbu x dan sumbu y di titik (a ,0) dan (0 ,b). Nilai a +b =....1 A. - 1 10

B. - 1 1 53 C. - 1 10

3 D. - 1 10 3 E. - 1 5


f ( x) = 2 x x + 2

@ Jika y = u.v,makay = u.v +u.v1 2 x+2

f ' ( x ) = 2 x + 2 + 2x.m = f(x) = 4 + = 52 2

@ f ( x) = 2 x x + 2 ,u = 2x dan v = u = 2 dan

x+2

1 PG : melalui (2 ,8) dengan

gradient 5 y -8 = 5(x -2) x = 0 y = -2 b = -2 y = 0 x = 2/5 a = 2/51 a + b = 2/5 +(-2) =

v' =

1 2 x+2

-1

3 5



20. Prediksi SPMB Turunan fungsi y = 3 (3x 2 - 5) 4 adalah.... A. 8x 3 3x 2 - 5 B. 8x 3 (3x 2 - 5) 2 C. 12x 3 (3x 2 - 5)2 D. 12x 3 (3x 2 - 5)4 E. 16x 3 (3x 2 - 5)2

4 3 2 @ y = (3x -5) , misal u = 3x2 -5u = 6x

@ y = 3 u4 = u1

4 3

4 4 y' = u 3 .u' = ( 3x 2 - 5 ) 3 .6 x 3 31

1

= 8 x( 3x 2 - 5 ) 3 = 8 x3 3x 2 - 5

Jawaban : A

@

Perhatikan Triksnya :

y=

3

(3 x 2 - 5 ) 4 =

4 .6 x 3 (3 x 2 - 5 ) 4 - 3 3

= 8 x3 3x 2 - 5http://meetabied.wordpress.com 244


1. Uan 2004/P-7/No.13 Nilai dari A. B. C. D. E. 180 190 200 210 220

( 2 n + 10 ) = ....n =1

10


1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

( 2n + 10 )n =1

10

n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2Ataun =10

n =1

n =2

n Sn = ( a + U n ) 2

= (2.1+10)+2.2+10)+.....+(2.10+10) = 12 + 14 + ....+30

1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 12 b = 14 12 = 2 n = 10 n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 10 = ( 2.12 + ( 10 - 1 ). 2 ) 2 = 5( 24 + 9 .2 ) = 5( 24 + 18 ) = 5( 42 ) = 210 Jawaban : D

Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda Un = suku ke-n (terakhir)

akhir

( 2n + 10 ) =n =1angka tetap

10

10 ( 12 + 30 ) 2

awal

= 5 (42) = 210

Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 10


245


2. Nilai dari A. 25450 B. 25520 C. 25700 D. 50500 E. 50750

2k + ( 3k + 2 ) = ...k =1 k =1

100

100


1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah100

2k + ( 3k + 2 ) = ( 5k + 2 )k =1 k =1 k =1

100

100

n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2Atau

n=1

n=2

n = 100

n Sn = ( a + U n ) 2

= (5.1+2) + (5.2 +2) + ... +(5.100 +2) = 7 + 12 + ... + 502

1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a=7 b = 12 7 = 5 n = 100 (k=1 sampai 100) n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 100 = ( 2 .7 + ( 100 - 1 ). 5 ) 2 = 50 ( 14 + 99 .5 ) = 50 ( 14 + 495 ) = 50 ( 509 ) = 25450 Jawaban : A


akhir

( 5k + 2 ) =k =1

100

100 ( 7 + 502 ) 2

angka tetap

awal

= 50(509)=25450 Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 100


246


3. Nilai dari A. 5050 B. 10100 C. 10200 D. 100100 E. 100200

( k + 1 ) 2 - k 2 = ...k =1 k =1

100

100


( k + 1 )2 - k 2= ( k 2 + 2k + 1 - k 2 ) = ( 2k + 1 )k =1 k =1 100k =1 100 k =1

100

100

1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 n Sn = (a + U n ) 2

n=1

n=2

n = 100


= (2.1+1) + (2.2 +1) + ... +(2.100 +1) = 3 + 5 + ... + 201

1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a=3 b=53=2 n = 100 (k=1 sampai 100) n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 100 = ( 2 .3 + 99 .2 ) 2 = 50 ( 6 + 99 .2 ) = 50 ( 6 + 198 ) = 10200 Jawaban : C

akhir

( 2kk =1

100

+ 1)=

100 ( 3 + 201 ) 2

angka tetap

awal = 50 (204) = 10200

Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 100


247


4. Ebtanas 2000 Diketahui A. B. C. D. E. 190 180 150 149 145

ki = 25 .Nilai ( 4 + ki ) = ....i =5 i =5

35

35


1 Jumlah dari suatu bilangan asli k35 35

( 4 + ki ) =i=5

35

1 1

4 + kii=5 i =5

k = kni =1 n

n

= 4.35-4.4+25 = 140-16+25 = 140+9 = 149

i =1 + p

k = kn - kp

Keterangan : k = bilangan asli n = bilangan asli > 1 p = penambahan dari bil. 1

Jawaban : D


248


5. Uan 2004/P-1/No.13

( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 ( 2i + 2 ) - 3a 2 = ......k =1 i =1 a =1

n

n

n

1 n( n + 3 ) 2 1 B. n( n + 3 ) 2 1 C. n( n + 3 ) 2 D. 149

A.

1 n( n + 3 ) 2 1 E. n( n + 3 ) 2

D.

1 Batas atas sigma semuanya n, berarti batasbawah sigma dapat kita anggap k atau i = a = k, sehingga :n n n

( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 ( 2i + 2 ) - 3a 2k =1 i i =1 n n a =1

= ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 ( 2 k + 2 ) - 3k 2 = ( 3k - 5 k - 2 + 8 k + 8 - 3k )2 2 k =1 n k =1 n k =1 k =1 k =1

n

= ( 3k + 6 ) n ( 9 + 3n + 6 ) 2 n = ( 3n + 15 ) 2 3 = n( n + 5 ) 2 =

Jawaban : E


249


6. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = n 2 + dari deret aritmetika terseut adalah... 1 A. -5 2 B. -2 C. 2 1 D. 2 2 1 E. 5 2

5 n . Beda 2

Gunakan info smart :1 Sn = n2 +5 n 2

5 ( n - 1) 2 5 5 = n 2 - 2n + 1 + n 2 2 1 3 2 =n + n2 2 1 U n = S n - S n -1 5 1 3 = n 2 + n - n2 - n + 2 2 2 3 = 2n + 2 3 11 U2 = 2.2 + = 2 2 3 7 U1 = 2.1 + = 2 2 11 7 b = U2 U1 = - = 2 2 2 S n -1 = ( n - 1 ) 2 +

1 S n = pn 2 + qn suatu deret aritmetika, maka beda = 2p

1 Sn = n2 +

5 n 2

S n = 1 .n 2 +b = 2.1 = 2

5 n 2

Sangat mudeh ....ya...

Jawaban : C


250


7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = 3n 2 - 4 n . Suku ke-n dari deret aritmetika terseut adalah... A. 6n +2 B. 6n -2 C. 6n -5 D. 6n -7 E. 3n -8

Gunakan info smart :1 S n = 3n 2 - 4 nS n -1 = 3( n - 1 ) 2 - 4( n - 1 ) = 3( n 2 - 2 n + 1 ) - 4 n + 4 = 3n 2 - 6 n + 3 - 4 n + 4 = 3n 2 - 10 n + 7 U n = S n - S n -1 = 3n 2 - 4 n - 3n 2 + 10 n - 7 = -4 n + 10 n - 7 = 6n - 7

1 Jumlah koefisien variable untuk jumlah n suku pertama sama dengan jumlah koefisien variabel untuk suku ke-n

1 S n = 3n 2 - 4 n Jumlah koefisien : 3+(-4) = -1 1 Pada pilihan dicari jumlah koefisiennya yang -1, A. 6 + 2 = 8 (S) B. 6+(-2) = 4 (S) C. 6 +(-5) = 1 (S) D. 6 +(-7) = -1 (B) Jadi jawaban : D

Jawaban : D


251


8.. UAN 2003/P-1/No.10 Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usai anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah... A. 48,5 tahun B. 49,0 tahun C. 49,5 tahun D. 50,0 tahun E. 50,5 tahun

@ @ @U3 = 7 .. a +2b = 7 U5 = 12 .. a +4b = 12

Suku ke-n deret aritika : Un = a +(n-a)b Jumlah n suku pertama Sn = n(2a +(n -1)b)

-2b = -5 b = 5 2 a + 2. 5 = 7 , berarti a = 2 2

@

S6 = 1 .6(2.2 + (6 - 1). 5 ) = 3(4 + 12,5) = 49,5 2 2


252


9. SPMB 2002/Reg-II/No.19 Suku ke-n suatu deret adalah Un = 4n +1. Jumlah sepuluh suku pertama adalah.... A. 250 B. 240 C. 230 D. 220 E. 210

p p

Jika Un = an +b, maka

Sn = 1 an 2 + (b + 1 a)n 2 2

1

Un = 4n +1 4 4 S10 = .10 2 + ( 1 + ).10 2 2 = 2.100 + ( 1 + 2 ).10 = 200 + 30 = 230


253


10. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 20 m dan memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah.... A. 120 m B. 140 m C. 160 m D. 180 m E. 200 m

1 Bola jatuh di ketinggian t,

dan memantul sebesar

a b

kali tinggi sebelumnya, dst.maka Jumlah seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah : J=1

b+a t b-a

J=

b+a 4+3 t= .20 = 140 b-a 4-3


254


11. SMPB 2002/No. 17 Agar deret geometrix -1 1 1 , , ,.... x x x ( x - 1)

jumlahnya mempunyai limit,

nilai x harus memenuhi.... A. x > 0 B. x < 1 C. 0 < x < 1 D. x > 2 E. x < 0 atau x > 2

1

Konvergen , syarat : -1 < r < 1

1 1

x -1 1 1 1 , , ,.... r = x x x( x - 1) x -1Konvergen, maksudnya : -1 < r < 1 -1 1 , berarti : x 1 < -1 atau x -1 > 1 Jadi : x < 0 atau x > 2


255


12. Jika suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 10,maka.... A. -10 < a < 0 B. -16 < a < 0 C. 0 < a < 0 D. 0 < a < 20 E. -8 < a < 20

1 Deret geometri tak

hingga,diketahui Suku pertama : a Jumlah tak hingga : S Maka : 0 < a < 2S1

0 < a < 2S 0 < a < 2.10 0 < a < 20


256


13. UMPTN 1996 Dalam suatu barisan geometri,U1 +U3 = p, dan U2 +U4 = q, maka U4 =.... A. B. C.p3 p2 + q2 q3 p +q2 2

D. E.

q2 p + q22

p3 + q 3 p +q2 2

p2 + q3 p2 + q2

1

1

Deret Geometri : Jumlah 2 suku ganjil : U1 +U3 = x Jumlah 2 suku genap : U2 +U4 =y Maka :U1 = U2 = x3 x +y2 2

U4 = U3 =

y3 x + y22

x2y x 2 + y2

xy 2 x 2 + y2

1

U1 +U3 = p U2 +U4 = q U 4 =

q3 p2 + q2


257


14. UMPTN 1996 Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmetik. Jika a adalah suku pertama dan b beda deret itu, maka nilai Sn+2 Sn adalah... A. 2(a +nb) +1 B. 2a +nb +1 C. 2a +b(2n +1) D. a +b(n +1) E. a +nb +1

1

Jumlah n suku pertama deret Aritmetika adalah : Sn = n(2a +(n -1)b)

1

Sn+2 = (n +2)(2a +(n +1)b) Sn = n(2a +(n -1)b) Sn+2-Sn = 2a +(2n +1)b Mudeh.aja !


258


15. UMPTN 1996 Diketahui barisan aritmetik log 2, log 4, log 8,... Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah.... A. 8log 2 B. 20 log 2 C. 28 log 2 D. 36 log 2 E. 40 log 2

1

Jumlah n suku pertama deret Aritmetika adalah : Sn = n(2a +(n -1)b)

1

S8 = 8(2log2 +(8 -1)log2) = 4 (9 log 2) = 36 log 2


259


16. UMPTN 1997 Suku ke n barisan aritmetika adalah Un = 6n +4 disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru, sehingga terbentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah.... A. Sn = n2 +9n B. Sn = n2 -9n C. Sn = n2 +8n D. Sn = n2 -6n E. Sn = n2 +6n

1 1

Jika Un = pn +q beda b=p Beda setelah deret disisipi dengan k suku ,adalah : b' =b k +1

1

Un = 6n +4 b = 6

b' =

6 =2 2 +1

Sn = n(2.10+(n -1).2) = n2 +9n


260


17. UMPTN 1997 Antara dua suku yang berurutan pada barisan : 3 ,18 ,33,....disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah.... A. 78 B. 81 C. 84 D. 87 E. 91

1 1

Jika Un = pn +q beda b=p Beda setelah deret disisipi dengan k suku ,adalah : b' =b k +1

1

3 ,18 ,33 ,. b = 18 -3 = 15

b' =

15 =3 4 +1

S7 = 7(2.3+(7 -1).3) = 7(3 +9) = 84


261


18. UMPTN 1997 Diberikan deret geometri tak hingga dengan U1 = 1 dan rasio r = x2 x. Jika deret tersebut konvergen,maka x memenuhi.... A. ( -2) < x < ( +2) B. (1 -3) < x < (1 +3) C. ( -3) < x < (1 +3) D. (1 -5) < x < (1 +3) E. ( -5) < x < (1 +5)

1

Syarat Konvergen : -1 < r < 1

1

Konvergen : -1 < x2-x < 1 x2 x < 1 x2 x -1 < 0 Pemb.Nol : x2-x +(- )2 = 1 +( )2 (x )2 = 5 4 di dapat : x = (1+5) atau Jadi (1-5) < x < (1+5) x = (1 -5)

1


262


19. UMPTN 1997 Jika deret geometri konvergen dengan limit-8 3

dan suku ke-2 serta

suku ke-4 berturut-turut 2 dan , maka suku pertamanya adalah... A. 4 B. 1 C. D. -4 E. -8

1 1

Limit S~ =

-8 3 -8 3

, maksudnya

Deret geometri : Un = arn-1 U4 = ar3 , dst...

1 1

U 4 ar 3 1 = = r2 , r = - U2 ar 4 a -8 a S = = 1- r 3 1+ 1 2didapat a = -4


263


20. UMPTN 1998 Kota Subur setiap tahun penduduknya bertambah dengan 10 % dari tahun sebelumnya, bila pada tahun 1987 penduduk kota tersebut berjumlah 4 juta, maka pada tahun 1990 jumlah penduduknya adalah.... A. 4,551 juta B. 5,269 juta C. 5,324 juta D. 5,610 juta E. 5,936 juta

1 Pertumbuhan dalam waktu n

periode dan p % , dengan data awal M adalah : Mn = M(1 + p%)n

1

Periode 1987 1990 n = 4 Mn = 4(1 + 10 %)4 = 4(1 + 0,1)4 = 5,324

]


264


14. UMPTN 1998 Jika r rasio (pembanding) suatu deret geometrik tak hingga yang konvergen dan S jumlah deret geometrik tak hingga :

1 1 1 + + + .... ,maka...... 2 3 + r (3 + r ) (3 + r ) 2A. < S < 3

Kumpulan Rumus Cepat Matematika SMA

Documents

Transcript of Kumpulan Rumus Cepat Matematika SMA