Kuliah HidraulikaWahyu WidiyantoTeknik SipilUniversitas Jenderal Soedirman(Metode Integrasi Numerik, Integrasi Grafis, Langkah Langsung)

Persamaan Aliran Berubah Lambat LaunKedalaman aliran di sepanjang saluran dapat dihitung dengan menyelesaikan persamaan diferensial untuk aliran berubah lambat laun.y : kedalaman aliranx : jarakI0 : kemiringan dasar saluranIf : kemiringan garis energiQ : debit aliranT : lebar bagian atas salurang : percepatan gravitasiA : luas tampang saluran

Penyelesaian PersamaanAda beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan di atas, di antaranya:Metode integrasi numerikMetode integrasi grafisMetode langkah langsung (direct step)Metode langkah standar (standar step)

Metode Integrasi NumerikPersamaan aliran berubah lambat laun dibawa ke dalam bentuk sbb:Selanjutnya persamaan tersebut akan diselesaikan secara numerik dan ditulis sbb:dandengan f = dy/dx

Ingat!!!..... (a)..... (b)Lambang I boleh diganti SLambang y boleh diganti h

Langkah-langkah PenyelesaianBerdasarkan nilai yi awal yang diketahui, dihitung nilai fi dari persamaan (a)Pertama kali dianggap fi+1 = fiHitung nilai yi+1 dari persamaan (b) dengan menggunakan nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 2 atau nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 4Hitung nilai baru yi+1 dengan menggunakan nilai fi+1 yang dihitung dari nilai yi+1 dari langkah 3Apabila nilai yi+1 yang diperoleh dalam langkah 3 dan 4 masih berbeda jauh, maka langkah 3 dan 4 diulangi lagiSesudah nilai yi+1 yang benar diperoleh, dihitung nilai yi+2 yang berjarak Dx dari yi+1.Prosedur di atas diulangi lagi sampai diperoleh nilai y di sepanjang saluran

Contoh hitunganSuatu saluran lebar dengan tampang segiempat dengan debit tiap satuan lebar 2,5 m3/d/m. Kemiringan dasar saluran 0,001 dan koefisien Manning n = 0,015. Pada suatu titik diketahui kedalaman air adalah 2,75 m. Berapakah kedalaman air pada jarak setiap interval 200 m dari titik tersebut ke arah hulu? Gunakan metode integrasi numerik.

PenyelesaianUntuk saluran lebar R h sehingga:

hn5/3 = 1,186hn = 1,1076 m Kedalaman kritik : Karena hn > hc maka aliran adalah subkritis, dan hitungan profil muka air dilakukan dari hilir ke hulu. Kedalaman normal :

Untuk i = 1 : Pertama kali dianggap f2 = f1 sehingga dengan persamaan (b) dapat dihitung h2 : Kedalaman air pada jarak 200 m ke arah hulu.Untuk aliran subkritis x bernilai negatif

Dihitung kemiringan profil muka air di titik i = 2 : Kedalaman air di titik i = 2 dengan memperhitungkan kemiringan profil muka air di titik 1 dan 2, yaitu f1 dan f2, adalah :

Kemiringan profil muka air di titik i = 2, yaitu f2, dihitung berdasarkan kedalaman h2, yaitu : h3 = h2 f2x2 = 2,5543 0,0009756 x 200 = 2,3592 m Kemiringan profil muka air di titik i = 3 : Kedalaman air pada jarak 400 m ke arah hulu.

Hitungan selanjutnya dikerjakan dengan langkah yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel dan gambar berikut ini.

Tabel hasil hitungan profil muka air.

Sketsa profil muka air M1 (pembendungan) GKN : garis kedalaman normalGKK : garis kedalaman kritik

Metode Integrasi GrafisPersamaan semulaDitulis menjadi:Ruas kanan persamaan di atas hanya merupakan fungsi dari y untuk bentuk saluran tertentu, sehingga dapat ditulis sebagai f (y) dan dapat ditulis menjadi:dx = f(y) dy. (a). (b)

y1y2x1x=x2-x1x2xyProfil aliranyy1y2dyOSketsa integrasi grafisO

Dari gambar di atasDipandang suatu pias saluran yang dibatasi dua tampang lintang yang berjarak x1 dan x2 dari titik O yang mempunyai kedalaman y1 dan y2.

x = x2 x1Dengan menggunakan persamaan (b) untuk setiap nilai y dapat dihitung nilai dx/dy dan selanjutnya dapat digambar grafik hubungan antara dx/dy dan y seperti terlihat dalam gambar. Nilai x adalah sama dengan luasan yang diarsir. Dengan menghitung luasan tersebut maka dapat diperoleh nilai x.. (c)

Contoh HitunganSuatu saluran segiempat dengan lebar dasar B = 10 m. Kedalaman air normal yn = 2,71 m dan kedalaman air di batas hilir adalah 4,87 m. Kemiringan saluran Io = 0,0005. Koefisien kekasaran Chezy C = 50 m2/d. Koefisien Coriolis a = 1,11 dan percepatan gravitasi g = 9,81 m/d2. Hitung profil muka air dengan metode integrasi grafis.

PenyelesaianMenghitung debit aliranLuas tampang basah:A = 10 x 2,71 = 27,1 m2Keliling basah:P = 10 + 2x2,71 = 15,42 mJari-jari hidraulis:R=A/P = 1,76 mMenghitung profil muka airDebit aliran:Q=AC(RI) = 27,1 x 50 (1,76 x 0,0005) = 40,2 m3/d

Dimana nilai If dapat dihitung dengan rumus Chezy:Q = A C R1/2 If1/2atau. (1)Hitungan selanjutnya berdasarkan persamaan (1), dilakukan dengan menggunakan tabel di bawah.

Tabel Hitungan profil muka air dengan metode integrasi grafisNilai y pada kolom kedua dari tabel tersebut ditentukan secara sembarang kecuali nilai pada batas hulu dan hilir yang telah diketahui.

yf(y)2,713,03,54,04,54,870IIIIIIIVV

x0 - x1 = x01 = ( + 7972 ) 0,29/2 = x1 x2 = x12 = (7972 + 3928 ) 0,50/2 = .. mx2 x3 = x23 = (3928 + 3053) 0,50/2 = .. mx3 x4 = x34 = (3053 + 2683 ) 0,50/2 = mx4 x5 = x45 = (2683 + 2527 ) 0,37/2 = . mxmax x4 = .. mxmax x3 = .. mxmax x2 = .. mxmax x1 = ... mxmax x0 = Jarak kumulatif:

12345y5=4,87M1GKNyn=2,71y1=3,0y2=3,5y3=4,0y4=4,5x1x3x4xmaxx2Profil muka air hasil hitungan dengan metode integrasi grafis

Metode Langkah Langsung(Direct Step Method)Metode langkah langsung dilakukan dengan membagi saluran menjadi sejumlah pias dengan panjang Dx. Mulai dari ujung batas hilir di mana karakteristik hidraulis di tampang tersebut diketahui, dihitung kedalaman air pada tampang di sebelah hulu. Prosedur hitungan tersebut diteruskan untuk tampang di hulu berikutnya, sampai akhirnya didapat kedalaman air di sepanjang saluran. Ketelitian tergantung panjang pias, semakin kecil Dx semakin teliti hasil yang diperoleh.

Garis energiy1y2hf = If xz = Io xxPersamaan energi (Persamaan Bernoulli)

Mengingat:z1 z2 = Io xhf = If xdanmaka:atau

Dengan mengetahui karakteristik aliran dan kekasaran pada satu tampang maka kecepatan dan kedalaman aliran di tampang yang lain dapat dihitung dengan menggunakan persamaan di atas. Kemiringan garis energi If adalah nilai rerata di tampang 1 dan 2, yang dapat didasarkan pada persamaan Manning atau Chezy. Apabila karakteristik aliran di kedua tampang diketahui maka jarak antara tampang dapat dihitung dengan rumus di atas.

Contoh HitunganSuatu saluran segiempat dengan lebar B = 3 m mengalirkan air dengan debit Q = 3 m3/d. Kedalaman air pada suatu titik yang berdekatan adalah 1,3 m dan 1,2 m. Apabila koefisien Manning n = 0,018 dan kemiringan dasar saluran So = 0,0003, hitung jarak antara kedua tampang tersebut. (Metode langkah langsung)

PenyelesaianKarakteristik aliran pada tampang 1.Luas tampang basah : A1 = 3 x 1,3 = 3,9 m2Keliling basah : P1 = 3 + 2 x 1,3 = 5,6 m

Jari-jari hidraulis : R = = 0,696 m Tinggi kecepatan : = 0,03016

Karakteristik aliran pada tampang 2.Luas tampang basah : A2 = 3 x 1,2 = 3,6 m2Keliling basah : P1 = 3 + 2 x 1,2 = 5,4 m

Jari-jari hidraulis : R = = 0,667 m Tinggi kecepatan : = 0,0354 Tampang basah rerata : Ar = = 3,75 m2 Jari-jari hidraulis rerata : Rr = = 0,6815 m Kemiringan garis energi dihitung dengan rumus Manning berdasarkan nilai Ar dan Rr

Jarak antara kedua tampang adalah :

Metode Tahapan Standar(Standar Step Method)Metode ini dikembangkan dari persamaan energi total dari aliran pada saluran terbuka.E1E2E1 = E2 + hfPersamaan energi (Persamaan Bernoulli)

Prinsip metode standar stepDicoba harga y (kedalaman air) sedemikian hingga memenuhi persamaan:E1 = E2 + hfJika memenuhi persamaan tersebut maka telah diselesaikan satu tahap perhitungan.Cara tersebut diulangi untuk titik-titik selanjutnya.

ContohSuatu saluran berbentuk trapesium dengan kemiringan dinding 1 : 1, lebar dasar 3,0 m dan kemiringan dasar saluran 0,0015. Pemasangan bangunan pintu pengontrol menyebabkan kenaikan kedalaman air di hulu pintu menjadi 4,0 m pada debit 19,0 m3/d. Jika angka kekasaran Manning n = 0,017, maka hitung dan gambarkan profil muka air yang terjadi.

PenyelesaianMencari kedalaman normal dengan Rumus ManningMelalui metode coba-coba diperoleh y = 1,726 m

Mencari kedalaman air kritisHarga yc didapat dengan cara coba-coba, diperoleh yc = 0,546 my > yn > yc, maka profil aliran adalah M1Selanjutnya dihitung profil muka air, dimulai dari kedalaman yang sudah diketahui di hulu titik kontrol, y = 4,0 m, bergerak ke arah hulu. Pada titik kontrol ini diberi notasi x = 0.

Hasil perhitungan ditampilkan pada tabel berikut ini

Keterangan

Kemiringan Garis Energi(Manning)(Chezy)

Sketsa profil muka air M1 (pembendungan) GKN : garis kedalaman normalGKK : garis kedalaman kritik