Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari

7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari

1/77

KUANTUM MEKAN ALIMA SORULARI

PROBLEMLER VE ZMLER

1001

Kuantum olgusu makroskopik dnyada ou zaman ihmaledilebilir.

Aadaki durumlarda bu saysal olarak gsterilmitir:

(a) m=1kg ve =1 m ve uzunluunda bir sarka iin sfr noktas salnm genlii.

(b)Ktlesi m=5kg ykseklii H=5cm ve genilii w=1cmolan bir mermer engele kar 10cm/sn hz iin tnel olaslkhareketi.

(c)m=0.1kg ve v=0.5m/sn de hareket eden bir tenis topuiin 1x1.5metrekarelik bir pencere boyutunda krnm.

zm

(a)Harmonik osilatr teorisi ortalama kinetik enerjiyi verir.

1

2V E= , i.e.,

2 21 1

2 4m ww A = h /w g l=

olduundan ve kk ortalama kare sfr noktas iin sanlmgenliidir.Bundan dolay

17

0.412

10A x mmw

= h

dir.

Bylece sfr noktasndaki salnm makroskopik bir sarkaiin ihmal edilir.

(b)

22 1exp 22

wT m mgH mV

h

22

exp 2

mwgH V

=

h

, olduundan

2 302

2 0.9 10mw

gH V x h

Bylece 300.9 10 0xT e

Yani mermer iin tnel olaslk aslnda sfrdr.

(c)Tenis topu iin De Broglie dalga boyu,

301.3 10h h x cmp mw = = =

Yatay ve dikey yndeki krnm alar srasyla

321 1.3 10 .x radD

=

33

2 9 10 .x radL

=

Bylece o noktada herhangi bir n krlmas yoktur.1002

, , ,e c mh elektron asndan M=protonun ktlesi olarak

adlandrlmaktadr.Ayn zamanda herbirinden kabacasaysal boyutta fikir edinmek iin tahmin verin.

(a)Bohr yarap (cm)


2/77

(b)Hidrojenin balanma enerjisi(eV)

(c)Bohr manyetonu(kendi birim seimi)

(d)Bir elektronun Compton dalga boyu(cm)

(e)Klasik elektronun yarap(cm)

(f)Elektronun geri kalan enerjisi(Mev)

(g)Protonun geri kalan enerjisi(Mev)

(h)nce yap sabiti

(i)Hidrojenin tipik ince yap yarlmas(eV)

zm

(a)2

9

25.29 10 .a x cm

me

= =h

(b)4

213.6

2

meE= =

heV

(c) 21 19.27 102

B

ex erg Gs

mc = =

h

(d) 102

2.43 10x cmmc

= =

h

(e)2 13

22.82 10e

er x cmmc

= =

(f) 2 0.511eE mc Mev= =

(g) 2 938pE Mc Mev= =

(h)2

3 17.30 10137

ex

c = =

h

(i)8 2

4 2 4

2 4

11.8 10

8 8

e mcE mc x e

c = = =

h

1003

Aadaki saysal deerler iin bir tahmin veya karmtretiniz.

(a)Elektronun Comton dalga boyu.

(b)Elektronun Thomson kesiti.

(c)Hidrojenin Bohr yarap.

(d)Atomik Hidrojenin iyonizasyon potansiyeli.

(e)Atomik Hidrojenin taban seviyesi iin ar inceyarlma.

(f)ekirdein Z=3 olan 3 7Li iin manyetik dipol

moment.

(g)Proton ile ntron arasndaki ktle fark.

(h)mr boyu cretsiz ntron.

(i)Helyum-4 ekirdeinin balanma enerjisi.

(j)Byk bir ekirdein yarap.

(k)Bir 0 mezonun mr.

(I)Bir mezonun mr.

zm


3/77

2

2 31 2

2

2

2

( ) 2.43 10 .

8( ) 6.56 10 .

3

( ) 0.53 .

( ) 13.6 .2

e

e

e

e

ha x A

mc

b r x m

c a Ame

ed eV

a

= =

= =

= =

==

o

oh

(e)Taban enerji seviyesindeki yarlma

2

4113.6 10 .137

fE x eV =

Taban enerji seviyesinde ar ince yarlma

73 10 .10

fhf

EE eV

26 1

30

2

( ) 1.67 10

( ) 2.3 10 .

( ) 15 min 9 10 .

( ) 4 7 28

p n

n

f x J T

g m m m x kg

h x s

i E x Mev Mev

=

= =

== =

g

(f)Bir alan iindeki nkleer kuvvetin etkili olduu

yarap yledir

( )1 13 31.4 1.4 100 6.5 .r A x fm = =

(k) 178.28 10 .x s =

(I)Pi zayf etkileimi iin bozunma bylece

62.2 10 .x s = dir.

1004

Aadaki deneyler radyasyon ve mekanikkuantumlanmann ne olduunu aklar.

(a)Fotoelekrik olay

(b)Siyah cisim ma spektroskopisi

(c)Franck-Hertz deneyi

(d)Davisson-Germer deneyi

(f)Compton salmas

Deneylerde llen kasik olmayan etkilerin kuantumfenomeniyle nasl aklanr.Uygun olmas durumundadenklemleri veriniz.

zm

(a)Fotoelektrik olay:Vakumlanm bir ortamda metalplakaya gelen ultraviyole n, metal plakadan elektronunbiri yaylr, bu gzlenen olay elektronun emisyonunu ifadeeder.Bu ekilde retilen elektrik akm foton younluu iledoru orantldr.Eik frekans metalin cinsine baldrancak fotonlarn enerjilerinin artmas, elektron saysnarttrmaz enerjilerini arttrr.Bu sonular

klasik fizikle aklamak mmkn deildir.

1905 ylnda Einstein henerjisine sahipparacklardan oluan fotonlar olarak adlandrd.Metaldekibir elektron bir foton ile karlatnda henerjili fotontammen emilir.Bu enerjiyi alan elektron bir miktarn ifonksiyonu olarak W (yani metalden sklebilmek iin)harcyor.Kalan


4/77

21

2mv h W = Kalan enerji kinetik enerji olarak

ortaya kyor

Bu teori ile bylece n tanecikli niteliinionaylamtr.

(b)Siyah cisim mas:Siyah cisim, zerine denbtn may emer.Siyah cisim tarafndan yaylanradyasyonun spektral dalm elde edilebilir.Bunun iinmadde ve ma arasndaki etkileimi klasik teori ilekarlan Wien yasas ve daha sonraki Rayleigs yasas eskideneyle uyumluluk gsterir.

Fakat ilki sadece yelpazenin ksa dalgaboyuna,ikincisi ise uzun dalga boyu ile toplamndafarkllklara yol aar.

Planck, 1900 ylnda karlalan glkleringiderilmesi iin siyah cisim masn klasik fizikte enerjiyisrekli olduu gibi deil de paral yani kuantumlu yapdaolduunu varsayarak gsterdi.EnerjiyiE h= spektrumundaifade eder.Bu da deneyle uyum iindedir.

3

3

8 1,

1h

kt

hE

ce

=

h Planck sabiti olarak bilinen evrensel bir sabit

Planck hipotezi mikroskobik lekteki fizikselsreksizliklerin varln ortaya koymaktadr.

Yani kuantumlu yapy ortaya koymaktadr.

(c) Franck-Hertz deneyi:Franck-Hertz deneyinde tekenerjili elektronlar atomlarla arparak elektronlarn

hareket enerjileri llr.Varsayalm 0 1 2, , ...E E E atomlarn

ardk enerji seviyeleri ve T elektronlara den kinetikenerji

Tyi yle 1E E = ifade edilebilir.Atomlar enerjiyiabsorbe etmezler ve btn arpmalar elastiktir.imdiesnek olmayan arpmalar meydana gelen baz atomlarn

ilk uyarlm kinetik enerjileri 1 0>ET E dir.Benzer ekilde

atomlarn ikinci uyarlma halinde enerjileri 2 0>T E E vs.Bylece Franck-Hertz deneyi deneysel olarak atomik enerjiseviyelerinin kuantumlu olduunu aklar.

(d) Davisson-Germer deneyi:L.de Broglie madde ve temelinde birleik bir teori gibi varsayarak,madde ve her ikisini de dalga gibi gstermektedir.(hem kdalgasnn hem de maddesel dalgaybirletirmitir.)1927de Davisson ve Germer tarafndanelektron dalgalar elde edildi.Bu olay bir elektriksel

potansiyel vastasyla iinden geen elektronlarnhzlandrlmasyla saland.Kristal kafes parametrelerinibilmek mmkn olan bir elektronun dalga boyu iindeneysel deerlerin ve sonularnn anlalmasn salar

buda deBroglie dalgah

p= ve p elektronun momentumu ile

mkemmel bir uyum iindedir.Benzer deneyler bakalartarafndan Helyum atomlar ve Hidrojen moleklleri ileyapld.Elektronlarn dalga yaps hidrojen molekllerinin

dalga yapsna zg olmad gz nne serildi.(f) Compton salmas:Compton, zayf x nlarnn

salmasnda gzlenen elektron ve x n arasndaki asile dalga boyu fark arasnda

22 sin2

h

mc

= vardr


5/77

Burada h planck sabiti, m geri kalan ktledir ayrca gelenfotonun dalga boyundan bamszdr.

Compton etkisi, herhangi bir k gibi klasik dalga teorisi ileizah edilemez.Bundan dolay n foton kuramnonaylamaz.

1005

Kuantum mekanii iin nceleri byk problemdurdurulan bir atom n yayar.Aklaynz.Kuantummekanii sonralar byk problem uyarlm atomlar nyayarlar.Aklaynz.Uyarlm atomlar neden mayaparlar.

zm:Kuantum mekaniinden nce,Rutherford gre atommodeli elektronlar ekirdek etrafnda eliptik bir yrngedehareket ederler.Klasik elektrodinamik ykl bir parackhzlandrldnda radyasyon yayar bylece atom kyayar.Bu demektir ki elektronlar srekli enerji kaybedecekve sonuta ekirdek tarafndan yakalanacak.Gerekteelektronlar ekirdein iine dmezler.Bunun nedeniatomlar taban durumunda ma yapmazlar.Problem mayapan atomu nleyebilecek bir mekanizmakeffetmekti.Fakat tm bu giriimler baarszlklasonuland.

Kuantum mekaniinde temel prensib d bir etkileimolmadan, yani zamandan bamsz Hamiltonyenle ile

almaktr.Bunun anlam uyarlm durumda bir atom halasabit durumda ma yapmadan kalamaz ve kendiliindenma yaynlarlar.Ancak kendiliinden gei uyarlmatomlarda atomlarda meydana gelir ve ma yaparlar.

Kuantum mekaniine gre radyasyonun tesirsahasnda elektronlar ve atom iin iki kuantum sistemini

kapsar.Tek bir terim iin foton oluturma a+ operatr

ieren herhangi bir foton balangta olmasa biletamamiyle kaybolmaz.Bu terim uyarlm durumdakiatomlarn geileri srasnda kendiliinden ma yaparakyaymlanr.

1006

Bir elektron demetine ynelik bir deney dnn.ki

tane yark ieren plaka etiketli plaka tesinde A ve B gibibir dizi yeri belirlemeyi salayan dedektrlerledonatlmtr.Aadaki durumlarda kabataslak olarakelektronlarn bu durumlarnn bir fonksiyonu olarak ilikinekran boyunca olaylar tayin ediniz ve ksaca aklamaveriniz.

(a)A ak yark,B kapal yark

(b)B ak yark,A kapal yark

(c)Her iki yark ak

(d)Stern-Gerlanch aygt ekildeki gibi yarklarabalandktan sonra

2

zs =h

sadece Adan tek elektron geebilir2

zs =

hsadece

Bden tek elektron geebilir.

(e)Yalnz

2

zs =h

elektron Adan geer,yalnz

2

zs =

h

elektron Bden geer.

Ik younluu yksek olmayan yalnz bir elektron nekadar zaman iinde cihazdan geiyor?

zm


6/77

(a)Perdedeki bu olaslk A yarnn iinden geenelektronlardan meydana gelir.

(a) A

B

(b)

A

B

(c)

A

B

(d)

A

B

(e)

A

B

1 ( )A x =

(b)B yarndan geen elektronlarn olasl,

( )2 B x =

(c) ( )12 1 2 1 2c x giriim = = + + +

(d)Denklemin artlarndan biri A yarndan geenelektronlar veya B yarndan geen elektronlar veherhangibir giriim terimidir.Ekrandaki younluk sadece

toplamdr.

1 2d = +

(e) c ye benzerdir fakat younluk cnin yarsdr

2

ce

=

nk elektronlar dalga fonksiyonunun zkarlamasndaki bu olay yukarda geen n younluu

iin cevaplar geerli klar, bir seferde sadece bir elektrongemesi dk bir olaydr.

1007

m ktleli bir paraca ( ) ( )rF V r= kuvveti maruz

brakldnda ( ),p t dalga fonksiyonunun momentum

uzaynda denklemi

( )( )2 2 ,

,2p

p tpa p t im t

= ,

1=h deimeyen gerek sabit ve,

2 2 22

2 2 2p

x y zp p p

= + +

dir


7/77

F(r) kuvvetini bulunuz.

zm:Bir dalga fonksiyonunun koordinat ve momentumgsterimi yledir,

( ) ( )

( ) ( )

3/2

3/2

1, , ,

2

1, , ,2

ikr

ikr

r t k t e dk

k t r t e dr

=

=

pk =

holduundan ( 1=h ile) bylece,

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

, , ,

, , ,p

P p t r t

p t r r t

Schrdinger denklemi koordinat alannda

( )( )2 2 ,,

2

r tar r t i

m t

+ =

Bundan dolay potansiyel

2( )V r ar =

ve kuvvet ise

( ) ( ) ( ) 2r dF r V r V r arr dr

= = = dir.

1008

Tek boyutlu zamandan bamsz Schrdingerdenklemi dnn, V(a) keyfi bir potansiyel.

Eer ( )x dalga fonksiyonu x olduunda ( )x 0olacan ispat ediniz.Bundan dolay olas genel bir fazfaktr olacan gster.

pucu:Aksine varsaymn bir elikiye yol atngster.

zm:O noktada bulunan baka bir ( )x fonksiyonunolduunu farz edelim.Schrndinger denklemi ayn E

enerjisindeki ( ) ( )x ile x fonksiyonlar olduklarndan

( )lim 0x x = diyebiliriz.O zaman

( )

( )

2

2

2,

2,

m E V

m E V

=

=

h

h

ve bylece

0, = veya

deimez =

x snr durumunda 0 = verir. Veya

=

.

Sahip olduumuz integre ifademiz ln ln sabit = +

veya sabitx = dir.Bundan dolay ve dalga fonksiyonlar istatiksel olarakayn yorumu anlatr.

V(x) potansiyelinin olduu zaman * ve birlikte

ayn snr durumlarna getirildiinde ayn enerjiyi salar.


8/77

*lim 0x = dr.Burada*lim 0x = veya

* *C = den dolaybizim iin

21c = dir veya ic e = burada bir gerel saydr.Eer biz

=0 seersek o zaman c=1 olur

Buda bize (asl dalga) fonksiyonumuzu verir.

1009

Tek boyutlu bir parack dnn

(a) ( ) ( )* , , 0d

x t x t dxdt

+

= olduunu gsteriniz.

( sabit bir durumda olmas gerekmez)

(b)Parack belirli bir anda duraan durumda olduuzaman sabit kalacan gsteriniz.

(c)T=0 annda dalgal fonksiyonu -a


9/77


10/77

( ) ( )/

2

2

1, 0 , 0

2

exp2

ipxp e x dx

A x ipxdx

a

+

+

=

=

h

h

hh

2 2

2exp

42

Aa a p

= hh

(b)Serbest bir parack iin momentum uzayndaSchrndinger denklemi

( )( ) ( )

2, , ,

2

p t pi H p t p t

t m

= =h verir

( )2

, exp2

ip tp t B

m

=

h

t=0 zamannda ( ), 0B p= bundan dolay

( )2 2 2

2

2

22

, exp ,4 22

exp22

Aa a p ip tp t

m

Aa x

i ti taa

mm

=

=

++

h hh

hh

Ayrca dorusal bir dzlemde sperpozisyon gibi dalgafonksiyonunu geniletebiliriz

( )( )

( ) ( )1/21

, , 02

i k x wtx t p e dp

+

= h

( )

2 2

1/2 2

2

2 2 2

2

2

22

1exp

422

exp2

exp4 22

exp ,22

Aa a p

p p tx i x dp

m

Aa a p ip t ipx dpm

Aa x

i ti taa

mm

+

+

=

= +

++

hhh

h h

h h hh

hh

nceki sonucu kabul eder.

1011

Tekboyutlu m ktleli bir paracn 0 x a aralndaekilde gsterildii gibi t=0 annda dalga fonksiyonunugstermektedir.

( ) ( ), 0 8 / 5 1 cos sin /x

x t a x aa

= = +

(a) 0t t= annda dalga fonksiyonu nedir.

(b) 0t t= ve 0t = annda sistemin ortalama enerjisinedir.

(c) 0t t= da paracn kuyunun sol tarafnda bulunmaolasl nedir.(0 / 2x a aralnda)


11/77


12/77

( )2/2

0

0

/2 22 2 0

2

0

2

0

2

0 ,2

38sin 1 cos 2 cos cos

5 2

31 16cos

2 15 2

a

a

aP x x t dx

tx xdx

a a a a ma

t

ma

=

= + +

= +

h

h

1012

Tek boyutlu m ktleli bir paracn l uzunluunda birpotansiyel kuyusunda

0,

0 0 ,

V x

V x

V x

= = =

l

l

t=0 annda bu paracn dalga fonksiyonunun bilinen formu

( )50 30 / , 0 ,

0,

X X X

aksidurumda

=

l l l

Aada ( , 0)x t iin bir dizi ve dizi katsaylar iin ifadeleriyaznz.

zm:zfonksiyonlar ve enerji zdeerleri

2( ) sin ,

n

nxx n

= l l

22

,2

nE n

m

=

h

ln=1,2,3 bylece

,n

n n =

( ) ( )

( )

( ) ( )

5

0

3

3

2 300 sin

14 15 1 cos

4 15 1 1 1/ ,n

xn t n x x dx

nn

n

= =

= =

l

ll l l

ve bylece

( ) ( )

( )

2

1

2 1

2

3 30

, 0 exp

30 1 2 18 sin

2 1

nn

n

ni t

m

n

Ex t n t i t

nx e

n

=

+

=

= =

+ = +

h

l

h

l l

Ayegl AZL

(Blm-1)

1013

atalet momenti ile rijit gvde xy dzleminde izin verilirse as x-ekseni

ve rotator ekseni arasnda serbeste dner.

(a) enerji z deerleri ve karlk gelen z fonksiyonlarn bul

(b)t=0 zamannda bir dalga paketi tarafndan

aklanan t> 0 iin bu

zm :


13/77

bir yzey Hamiltonyeni

Ve bylece Schrdinger denklemi

zm olarak yazarsak

A,B keyfi sabitleri iin, dalga fonksiyonu olduu

yerlerde bize gerekli olan:

Enerji z deerden sonra

Ve ilgili z fonksiyonlar

Normlanmas

(a) t=0 da

m = 0 ve m = 2 de bir asal hz tarafndan

verir

Bu nedenle t zamanda

1014

Bir elektronun genilii tek boyutlu bir kutunun temel hali

ile snrldr. enerji 38eV

Hesaplayn.

(a) ilk uyarlm halde elektronun enerjisini

(b) elektron temel haldeki kutunun duvara olan ortalama gcn

zm:

Bir boyutlu kutu ile snrl bir elektron enerji seviyeleri (problem1011)

Bu nedenle ilk uyarlm durumuna (n = 2), enerji

(c) kutunun duvarlarna ortalama kuvvet

sabit durum denklemi ayrt edilmesi ve


14/77

ve dolaysyla

Yukardaki denklemin sol tarafn btnletirerek,

gerek olduundan denklemin sa tarafnda btnletirdiimizde

sfr verir.

Bundan dolay

n = 1 temel durumu iin,

1015

enerji dzeyleri tek boyutlu potansiyeli ekil 1.3 (a) da yan sra

enerji dzeyleri potansiyeli ekil. 1.3 (b) verir

zm:(a) ekil .1.4 de gsterildii gibi sistem koordinat kullann.

Schrdinger denklemi

burada

Bal durumlar iin

Schrdinger denklemi


15/77

Bu zmler olur

da artlarn gerektirir

ve Snr koullar x= dan sonra snrl olarak

A, B, C, D yok olmad iin zmler A = 0, ya da C = D

verirB=0 ya da C=-D de verir.

Bylece zmlere bal durumlar veren iki

blm mmkn

1.blm

enerji seviyeleri ve pozitif deerler ile snrl olduundan,

kar izilen radyan ile tan erisi daire ilk eyrek daire

iinde kesiimler bulunmaktadr. ekil1.5. ve a kesikli

seviyelerinin says ve a baldr ve Sadece kk bir iinolas belirlenmesidir

2.blm


16/77

Benzer bir yap ekil. 1.6. da byk iki zm verirken herhangi bir

kk deeri verir.

(b) ekil 1.7 de grld gibi kullanlan koordinat

Schrndingerin denklem zmleri

0 da X gider ve son olarak

yukardaki ikinci blm zmleridir.

1016

M ktleli bir paracn bir potansiyel iinde tek boyutlu bir problem

dnn

(a)Bal durumuna enerjileri denklemi tarafndan verildiini gster.

(b) baka zm olmadan, zemin durumuna balfonksiyontaslan

zm

(a) iki blge iin schrdinger denklemler


17/77

= 0 ve x = 0 snr koullar iin iin 0 x + .

zmler

ve srekli bir sabit olduunda x=a verir

b) taban-durum dalga fonksiyonu olarak ekil 1.8 de gsterilir

1017

Bir V (x) Potansiyeli Dinamikleri hamiltonyeni tek

boyutlu hareket eden bir paracn tarafndan ynetilir.

momentum operatrdr. , n=1,2,3,, z deer. Dnn. Bir

yeni hamiltonyen ve verilen bir parametre. , m ve

zdegerleri bul.

zm:

Yeni Hamiltonyenin

ve z fonksiyonlar ve z deerler yeni z

fonksiyonlar

Ve ilgili z deerler

1018

Tek boyutlu dalga fonksiyonu dnn

A, n ve sabitlerdir


18/77

schrndinger denklemini kullanarak, V (x) ve enerji E

(b) balants bu yrnge asal momentum I hydogenic dzlem iin

potansiyel ve etkili bir ekilde radyal potansiyeli arasnda gryor

musunuz?

zm:Verilen dalga fonksiyonu farkll

Ve zamandan bamsz schrndinger denklemde yerine

Biz

olarak ve dolaysyla

hidrojen atomu iin etkin radyal

potansiyelidir. karlatrarak grdmz terim ile

terim resmen zdetir. Burada asal momentum terimi yer alyor.

terimi ve n= hidrojen otumu iin potansiyel yrnge asal

momentumudur. Bu iki potansiyel arasndaki farktr.

1019

Aadaki tek boyutlu kuyuyu gz nnde bulundurun.

(a) derinlii iin bal durumunu nitel olarak

aklaynz?

(b) kuyu iin bal durumlarn enerjileri arasndaki ilikinedir?

(c) Verilen srekli enerji durumlar iin ka bamsz zmolabilir?

(d)Paracn snr durumlar iinde ve dnda bulunmaolasln aklayn?

ZM

(a) bal durumlar iin;

Burada iki durum dr.

ekil 1.9 da verilen potansiyel problem 1015 de zmleri

verilmektedir.

enerji seviyeleri yar apl dairenin merkezi ve kesitii ekil 1.16

da verilmektedir. Grld gibi ve , ve den


19/77

byk olmaldr. Dolaysyla snr koullar

verilir.

ekil 1.10 da gsterilen potansiyel iin iki zm mmkndr. ekil

1.16 daki durum ayn ve keyfi iin mmkn deildir. zmler

dier ksm tarafndan verilmektedir.

erisi orjinde olarak erisi ile kesien kesien kk

deerler olabilir. Ancak kk iin her zaman bal durumlar

vardr.

(b) ekil 1.10 da potansiyel iin ekil 1.9 da bal

durumlar potansiyelini bulunuz?

(c) Hhjj(d) parack iinde ve dndaki olaslklar

gstermektedir.

Burada iin

srekliliini x=a salar.

Daha nce olduu gibi dr.

Buradan

Parite zmleri verilmektedir.

Burada olur.

ve Analitik

zm olur.

olur.

1020

Aadaki m ktleli bir paracn ksa uzunluklu potansiyelinedeniyle bir boyutlu enerjisini elde edinin?

ZM

Schrdinger denklemi;

Ve olarak yazlabilir.


20/77


21/77

Burada A keyfi sabittir. Normalletirme tarafndan elde edilmitir.

1022

M ktleli bir parack ile verilen potansiyel bir boyut

olmayan relavistik hareket eder. Burada dirac delta

fonksiyonudur. Paraca baldr. paracn bulunmaolasl ye tam eit olduunda deerini bulun.

ZM

E


22/77

E enerji zdeeri iin m ktlesi, potansiyelini ve sistemin

boyutunu L ynnde bulun?

ZM

Schrdinger denkleminin her iki tarafna

uygulayarak

elde edilir.

Burada dr

Snr deerlerini uyguladmz zaman schrdinger

denklemi iin;

zmne sahiptir

Burada ve gelii gzel kk bir pozitif saydr. Dalga

fonksiyonu deki srekliliinden

elde edilir. Dalga

fonksiyonu (1) denklemde yerine yazarsak

elde edilir.

Burada denklemleri enerji z deerleri

iin transandantal

1024

Bir parack bir boyutlu sonsuz kare kuyu potansiyelinde

arasnda hapsedilmitir. En kk enerjili z durum iin dalgafonksiyonunu bulunuz? Eer bu sonsuz kare kuyu potansiyelinin

merkezine eklindeki itici delta potansiyel

fonsiyonu eklenir ise yeni dalga fonksiyonu elde ediniz ve enerjininazalmasn veya artmasn belirleyiniz. Eer enerji deimiyorsa

yani ise ne olur?

ZM

Sonsuz kare kuyu potansiyeli iin en dk enerji seviyesinekarlk gelen z fonksiyonlar ve z deerler srasyla aadakigibidir

Bu dalga fonksiyonun ekli ekil 1.12 deki gibidir.eklindeki delta potansiyeli eklediimiz zaman schrdingerdenklemi;

Burada dr. Snr deerleri

olur.


23/77

Denklem (2) schrdinger denkleminin her iki tarafna

uyguland zaman elde edilir. Ve denklem (3) in x= deki

srekliliinden elde edilir.

iin (1) denklemi salayan zmler

dr.

Taban durumu iin alalm. Denklem (3)olmasn gerektirir ve taban durum iin dalga fonksiyonu

eklinde olur.

Denklem 2, n eklindeki transistandal

denklemin en kk kk olduunu gsterir.

negatif olduu iin dr. Grld gibi enerji

artmtr.

Dolaysyla, eer a giderken ye gider ve yeni

taban durum enerjisi dr

1025

Relativistik olmayan m ktleli bir parack,

eklindeki potansiyel altnda hareket

etsin.

Burada g>0 olan bir sabit ve dirac delta fonksiyonu taban

durum enerji z fonksiyonlarn bulunuz ve nin sabit olduudurumlar iin enerji z deerlerini elde ediniz.

ZM


24/77


25/77

zm: Potansiyel yukardaki ekilde gsterildii gibi schrdinger

denkleminde

iin snrl iken, bu biimsel zmlere sahiptir.

gerekliliinin yan sra x=0 da dalga fonksiyonunun

sreklilii ve trevinin sreksizlii

verir. Burada bulduklarmz zersek

,

dir.


26/77

Yaklam bal sabiti veren denklemidir.

Son ifadenin ikinci ksm duvarn yol at enerji deiimidir. Bylece

enerji deiimi iin gerekli kkln olmas iin

olmaldr.bu uzakta olmak anlamna gelir.

(b) iken ikinci grafii i fade eden doru 1i ve

ifade eden eri 2 yi gsterir.

denklemi iin balang koulunun zm

noktasndaki 2 erisinin eiminin 1 dorusundan daha fazla olmasdr.

Bundan dolay, eer ise bir bal sabit vardr.

1027

m ktlesi ve k sabit kuvvetine sahip harmonik bir salncnn zemin durumundaki

dalga fonksiyonu

,

Klasik blge dnda paracn bulunma olasl iin bir ifade elde ediniz.

zm: Eer ise paracn klasik blge dnda bulunduu

sylenebilir. Zemin durumu iin ve klasik olmayan durum iin

ise. Yani:

dr. Bu nedenle, klasik olmayan blgede paracn bulunma olasl:


27/77

1028

Lineer bir harmonik salnc dnn ve srasyla normalize edilmi zeminin ve

birinci durumun enerji z fonksiyonlar olan i onun asl (reeli) olarak

alalm. ile A ve B reel saylarn salncnn anlk dalga fonksiyonu

olarak ele alalm. in ortalama deerinin genel olarak sfrdan farkl olduunu

gsterelim. A ve B nin ni maksimuma karan ve azaltan deerleri nelerdir?

zm: Ortonormal durum

,

i verir.

Genellikle A ve B sfr deildir. Bu yzden in ortalama deeri,

, sfra eit deildir.

Yukardaki ilemi

olarak yazarsak ve

de extramuma sahip olan olduunu dnerek,

eer ise maksimuma karldn; eer

ise in azaldn grrz.

1029

iken olduunda, basit bir harmonik

salncnn minimum enerjisinin h/2 olduunu gsterin.

zm: Harmonik bir salnc iin, dir ve bylece

dir. O zaman harmonik bir salncnn Hamiltonyeni

,

olarak ortalama bir enerji deeri verir. a,b pozitif reel saylar ve

veya ise

dir.

1030

Bir elektron olduu gibi, tek boyutlu harmonik

salncnn taban durumunda snrldr. Elektronun 1. uyarlm duruma uyarlmasiin gerekli olan enerjiyi eV cinsinden bulun. (virial teoremi yardmc olabilir.


28/77

zm:Virial teoremitek boyutlu harmonik salnc iin (T)=(V) yi belirtir.

Bylece ya da taban

durum iin

, olduunu vererek, harmonik bir

salnc iin iken

m yi elde ederiz. Bu

Nedenle 1. uyarlm duruma uyarlmas iin gerekli olan enerji:

1031

Harmonik bir salncda potansiyel iin dalga fonksiyonu t=0, ve A

reel sabit, iken

eklindedir ve hermitik polinoma dntrlyor ve bylece

oluyor.

(a)(x,t) iin bir ifade yazn.

(b) Bu durumdaki bir enerji lmnn olas sonular nelerdir ve bu

deerlerin alnmasnn greceli olaslklar nelerdir?

(c) T de nedir? zamanla nasl deiir?

zm:

(a) Sistem iin Schrdinger denklemi t=0 da deeri verilen yi

alrken

dir. t ye aka bal deilken,

, doyurucu enerji z

fonksiyonu iken, dir. genileyerek

asndan,

iken dir.

Bylece, dir.

Harmonik bir salnc iin, dir. Bu

nedenle,

dir.

Fonksiyonlar ortanormal iken,


29/77

hari, tm dr. Buradan

, olmas iin e gre

olarak verilir.

(b) Bu durum iin grnr enerji deerleri ve dir

ve bu deerlerin greceli olasl dr.

(c) , ift pariteye sahip olan ve in tek dorusal bileimiiken, dr. Bundan dolay, t=0 iin

dr. Zamanla deimeyen in ortalama

deerini takip eder.

1032

(a) Tek boyutlu harmonik salnm yapan m ktleli paracn potansiyeli

dir. Harmonik salncnn z durumlar cinsinden,

zamana bal schrdinger denklemi iin en genel zm yazn.

(b) (a) y kullanarakx in beklenen deerini gsterin. A ve B sabit ise

zamann fonksiyonu olarak yazlabilir.

(c) (a) da apak grld gibi geneldir. Bunu kullanarak ortalama

bir zamanda potansiyel enerjinin olduunu gsteriniz.

Eitlii dikkate aln

zm:

(a)Zamana bal schrdinger denkleminden iin

aka zaman bal olmakszn

elde ederiz. ve

ile in z fonksiyonlar iken

asndan geniletebiliriz. Bundan dolay

dr.

(b)

iken ve y kullandmzda, verilen eitlii kullanarak


30/77

yi elde ederiz.

(c)Zamanla potansiyel enerjinin ortalama deeri zerinden, operatrV nin genel etkisinin ortalama sresi olarak grlr. Bir tam salnm iin

geen ortalama zaman (periyodu) olarak almak yeterlidir.

ve y bir A operatrnn zaman ve genel ortalamas olarak ayr ayr

belirtelim.

iken,

ken, durumundadr. kinci terim sfr iken bir periyot zerinden

alnan ortalama potansiyel:

Dier taraftan,

ve dir. Bu yzden,

dir.

1033

m ktleli bir paracn bir boyutta potansiyeli


31/77

ile x=0 da harmonik salncnn potansiyelinden yksek ince

ve neredeyse alamaz engel vardr. ek 1.16.

(a) Tamamyla nfuz edilemez olan engelin tahminin altndaki alak enerjispektrumu nedir? Engelden tamamnn gemedii tahmin edilen dk

enerji spektrumu nedir?

(b) Engelin nfuz edilebilirlik snrnn spektrum zerindeki etkisini

bakmdan belirtin.

zm:

(a) Dk enerji spektrumlarn bariyer tamamen tamamen nfuz edemezken,potansiyel; harmonik salnc potansiyelinin iki ayr yarmna eittir ve

alak z fonksiyonlar duruma uymaldr . Dkenerji spektrumu bylece 2nin bir dejeneresiyle n=0,1,2,,x=0 ve

de iin tek kuantum saylaryla 2n + 1

normal bir salncya karlk gelir.bylece sadece tek pariteli dalga

fonksiyonlarnn alak seviyeleri iin izin verilir.

(b) Orada zayf olanlar engelin iine girecek. Apak parack iin olaslk

de engelinin dnda olasl nispeten daha byk olurken, engel

olduunda, herhangi bir potansiyel durum iin daha az olur. Balang

noktasna yakn ift pariteli durumlarn dalm olasl tek pariteli

durumlarnkinden daha bykken: ift parite zmlerinin kk bir ksmparack durumlarna kartrlr. Buna paralel olarak, enerjinin

kk bir ksm durum (a) iin enerjinin kartrlr.

engel potansiyeli | olduu iin, enerji seviyeler yukardoru kayacak. ift pariteli durum iin seviye deiimleri tekpariteli durumda olduundan daha byktr. Ayrca, enerjideiimi ayn eik durumlar iin olan daha byk enerjileriin daha kktr.

1034

Daha kk birimlerde (m=h==1) harmonik bir salnc iin Hamiltonyen

Burada

Normalize edilmemi bir enerji z fonksiyonu

dir

e enerji bakmndan en yakn olan dier iki normalize edilmemi z fonksiyonu

bulun.

zm: harmonik salncnn Fock gsterimi, ve aada gsterildii gibi

imha etme ve reme operatrdr.

, ,


32/77

,

ken, elde ederiz. Bundan dolay, ya en yakn enerji z

fonksiyonlar, ve olan normalize edilmemi dalga fonksiyonlardr.

Bunlar:

1035

t = 0 zamannda bir paracn potansiyeli , dalga fonksiyonu

Burada, enerjinin z durumlar ve z deerleridir.

olduu veriliyor.

(a) A sabitinin normalizasyonunu bulunuz.

(b) olduunda iin bir ifade yaznz.

(c) nin zamann periyodik bir fonksiyonu olduunu ve en uzun

periyot T yi gsterin.

(d) t=0 iin enerjinin beklenen deerini bulun.

zm:

(a) Normalizasyon durumu

Ay pozitif reel olarak aldmzda yi verir.

(b) Zamana bal dalga fonksiyonu


33/77

(c) Olaslk younluu

dir.

Not: Zaman faktr ve maksimum periyodu 2/ iken,

periyotlu bir fonksiyon olduuna dikkat ediniz.

(d) Enerjinin beklenen deeri

1036

potansiyelindeki ktleli bir paracn bir boyutlu hareket eden

bir parac gz nne alalm. Burada n pozitif bir tam deer ve .

paritelerin ve z deerlerin dalmn uygun z fonksiyonlara gre nitel olaraktartn. Byklk mertebesini elde etmek iin belirsizlik ilkesini kullanarak en

dk enerji z deerini tahmin edin. n=1 ve n iin bu tahminleri belirleyin.


34/77

Bu durumlarda V(x) in ne olduunu aklayn ve nceki sonularla bunu

karlatrn.

zm: a nk potansiyel de gider.burada potansiyeldeki

bal durumlarn says sonsuzdur ve enerji z deerleri kesiklidir. yleyse m.

uyarlm durum ile verilen blgesindeki m iaretteki

deiime sahip olmaldr. yavaa azald gibi m de azalr.

orantldr. Virial teoreminden

ve bylece

ifadesine sahip oluruz.

Genel olarak n in azalmasna karlk e deer enerji seviyeleri arasndaki fark da

azalr. olduunda z durumlar kesin paritelere sahiptir. Temel

durum ikinci, drdnc uyarlm durumlar ift pariteye sahiptir. Dier durumlartek pariteye sahiptir.

Paracn enerjisi bilirsizlik ilkesiyle tahmin edilebilir

burada

Bylece

1037

Bir boyutta hareket eden bir paracn Hamiltonyeni

Burada btn x ler iin ve V her yerde sfr deildir.en

az bir bal durum olduunu gsterin (zel bir dalga fonksiyonu iin Rayleigh-

Ritz) prensibini kullanmak bir metot dur) bununla birlikte eer baka bir metot

biliyorsan bunu da kullanabilirsin.


35/77

zm:

ekilde gsterildii gibi bir potansiyeli

varsayalm. yi bir kare potansiyel de yledir.

iyi bir potansiyeli iin en az bir bal durumunun olduunu biliyoruz;

Biz o zaman

lerle H z fonksiyonunu belirler ve geniletirsek:

Eitsizlii karlayan en azndan bir z fonksiyonu vardr.

Bu nedenle de en az bir bal durum vardr.

2. metot: b belirsiz bir parametre iken dalga fonksiyonu

olarak alalm.


36/77

ve bylece

Bylece

verimi iin ifadede yerine konulursa

Tm x ler iin iken dr ve V her yerde 0 deildir,

elde ederiz.ve bundan dolay dr. Aslndabu artlar altnda, belirli bir negatif deere sahip olan toplam enerji (T yi poziti f

yapmak iin V den byk olan) deeri, ne olursa olsun V iindeki bir parack

eklinde sonsuza kadar hareket edemez bir bal sabit kalmaldr.

1038

eklindeki bir boyutlu potansiyelde M ktleli bir paacn dalga fonksiyonu

Burada , ve pozitif sabitlerdir.

(a) Parack balmdr? Aklaynz.

(b) Paracn toplam E enerjisinin lm iin olaslk nedir?

(c) Verilen bykle gre in en kk enerji z deerini bulun.

zm:

(a) Paracn bal sabit olmas nedeniyle dalga fonksiyonu i karlar.


37/77

(b) (c) schrdinger denkleminde iin dalga fonksiyonu yerine,

veren

iin potansiyel

dir.

i karlayan paracn sabit bir dalga fonksiyonu olarak

veya

ayarlayarak

ve , yukardaki denklemin ile bir hidrojen atomunun

radyal dalga fonksiyonu ile karlandn gryoruz. Enerji seviyeleri

ken, ilgili Bohr yar ap dr. Bundan dolay,

dir. Ve sonu olarak en dk enerji z deeri


38/77

Dalga fonksiyonu ile dir. Olaslk younluu

dir. Bu nedenle

Demet KAHRAMAN

(Blm-1)

Soru 1039:m ktleli bir parack t=0 da serbest braklr.Tekboyutlu ift kare ekil 1.14 de gsteriliyor

yleki t=0daki dalga fonksiyonu bir sinzoideal lop(yarm sinsdalga) potansiyel konum grafiinde gsterilmitir.

V(x) a

(x)

x

(a)t=0 annda ortalama deeri bulunuz(yukarda belirtilensembollere gre)

(b) Enerjinin ortalama deeri takip eden denemelerde(izleyenzamanlarda) deimez midir?niin?

(c)Bu deimeyen bir enerji durumu olabilir mi?(Bu enerjinin birlm olabilir mi bu durumda hep ayn sonuca ulalr m?)niin?

(d)Dalga fonksiyonu t=0dan baka deerler alrsa deiir mi?Eercevap evet ise dalga fonksiyonunu nasl hesaplarsn?Eer cevap

hayrsa neden hayrdr?(e)Bir paracn potansiyelden kamas mmkn mdr?(ikidurum iinde geerlidir)Aklaynz.

zm: t=0 da dalga fonksiyonun normalizasyonu

(b) t>0 da sabittir ve bu nedenle olur.

(c)Bu durum sabit bir enerji durumu deildir.nk sonsuz karekuyunun z fonksiyonu balang aamasndaki a, ve verilenolaslktaki potansiyel deildir.z fonksiyonun belirttiisperpozisyondur.Bu yzden bu durumda enerji llnce her

zaman ayn deeri vermez.Fakat baz enerji paketleri bu durumundndadr.

(d)Dalga fonksiyonun ekli zamana gre deiir.Bu yzdensperpozisyon durumu iin yeterli bir zmlemedir.


39/77


40/77

(c) Tartalm

sonular gsteriyor ki gaussian dalga paketleri t zamannda da

sabittir.(t=0 da )

prensibi yeterlidir.

Problem 1041:

m ktleli bir parack tek boyutta V(x) potansiyeli etkisi altnda

hareket eder.Eer z durumunda bir enerji

yazarsak .

(a)Paracn ortalama konumunu bulun.

(b)Paracn ortalama momentumunu bulun.

(c)V(x) bulun.

(d)Paracn olas p ile p+dp arasndaki momentumu bulun.

zm:(a) Paracn ortalama konumu,

(b)Ortalama momentumu,

(c)Schrdinger eitliini yle yazabiliriz:

eklinde yazabilir.

Sahip olduumuz denklem,

Veya,


41/77

(d)Schrdinger eitlii momentum ifadesinde yle gsterilebilir;

Fonksiyonunu yukardaki eitlikteki yerine yazarsak bu ,

Veya

Yukardaki denklemde a=1/2 yerine yazarsak bu durumda,

Buna z fonksiyonu ile enerjinin belirtilmesi

denir.Momentumu gsterirsek normalizasyonu dr.Bu

paralarn momentumu p ile p+dp arasndadr.

dp

Unutmayalm ki fourier transformlar bu deeri direk verir ;

Problem 1042:Tek boyutlu, m ktleli bir parack ok kkparacklara ayrlm durumda iken uzayda kk bir blgedebirbirine potansiyelle balanabilir.t=0 da bu olaslk ortadankalkar.t>0 zamana ulaan paracn gzlemci L noktasndanuzakta iken muhtemel konumunu birim zaman cinsinden formleedin.

zm:Dalga fonksiyonu t=0 da,

Yerine yazarsak,


42/77

Bu yzden,

Gaussian dalgalarndan bir paket gsterirsek a:

En sonki integral bu deeri verir

Bundan dolay akm younluu;

Formlde yerine koyarsak birim zamanda paracn x=Lnoktasndan uzakta olan gzlemciye ulama zamann

hesaplayabiliriz.

Problem 1043:

m ktleli bir paracn balangtaki dalga fonksiyonu (x,0)dr.

(a)Balangtaki fonksiyonun dalga boyu

Fouier transformuna gre parack zerine etkisi ile t zamandayeteri kadar sre getikten sonraki yaylm nedir?

(b) a deerleri aral iin tahmin edici bilgi verin.

pucu: giderken zaman dikkate aln.

zm: (a) schrdinger eitlii


43/77

Fouier transformu ekildeki gibi yazlr,

eitlik bu duruma gelir,

integrali bunu verir,

bu yzden,

alrsak eer,

iin,

Uzun bir t sresi getikten sonra (t

Ve

(b)

nk fourier trasnformundaki ile ayndr


44/77

Deerlerine sahibiz

Buda bize toplam olasln korunduunu gsterir.t giderkensnrl durumda bulduumuzu yerine yazarsak,

Buda paracn dalga fonksiyonunun sonsuzda nasl yayldngsterir.

Soru 1044:m ktleli bir paracn tek boyuttaki kuantum

mekanii dikkate alnarak ki enerisi

ekil 1.19 da grld gibi t=0 durumunda paracn dalgafonksiyonu a


45/77

n=1,2. ile

En dk normal enerji fonksiyonu n=1 olarak verilmitir.

(b)x>-a iin schrdinger eitlii

veya

ile

st artlar ve srekli olmayan artlar yeterlidir

Kk bir aralktaki schrdinger eitlii en son denklemden elde

edilir ve da y grelim.

(c)Hem I ve hem de II blgedeki dalga boylardr.

.Bunlarn gerek zm sinzoideal fonksiyonlardr. st artlar iinyeterli zm,

Srekli olmayan ve normal artlar,

(d) durum iin nin dalga fonksiyonu geniletelim ve

Veya


46/77

(e) gibi

Sahip olduumuz

t=0 zamannda ok kk paralar halindeki parack sonsuz derin

kuyuda a engelini delip geer. dalga paketi,t>0 artylayaylr.nce unu hesaplarz.

Ve buradan

Blge I ve blge II iin yukar sradaki ve aa sradaki dalgalar iinu ifadeler verilmitir.

zamannda salnm faktr dr.Deiiklik ok hzl

olsada integral normal davranma eilimi gsterir.Bu yzden

dr.ok geni olduunda k numaral kk dalgay oluturanetmenler birinci rol oynar.O anda parack o blgeden kaabilir.

Soru 1045: radyoaktif izotoplar ve E=6.0 Mev da

kaybolur enerjinin paracklar tarafndan dar verilir.

(a)Yarlanma sresini hesaplamak iin ve ekil 1.20 deki potansiyelsnr dnmek gerekir.m ktleli bir paracn gei olasln Thesaplamak iin gereken enerji snr nedir?Enin snr T


47/77

(a)Eer T


48/77

parac ile,Tl ekirdeinde v hz ile hareket eder duvardaki

arpma her saniyesinde yarlanma sresi

veya

Kare potansiyelin en st snr budur. b= =33.

v=0.1 bizim bulduumuz

Problem 1046: E=1 eV enerjiye sahip olan elektron kare snrlar

iinde olan bir enerji iin rnek midir?Geiinsalanabilmesi iin snrn genilii ne olmaldr?

V(x) d

E

x

zm:zm olasl Problem 1045

nereden

Problem 1047:ekil 1.23 deki tek boyutlu potansiyel kareyidnn

pozitif iken m ktleli bir parack relativistik olmayan bir kinetik

enerjiye rnek olursa potansiyel arasndaki gei olasl nedir?Bunun iin Enin hangi deerleri olasdr?

V(x)

0 a x


49/77

zm:Deimeyen deerler,

Ve katsaylar

x=0 ve x=a ki bunlar R.S.A.B deerlerini verir ve ve bu

snrlar iin belirleyicidir.unu verir

Bu yzden

Ve gei olasl

Gei rezonans ka=n srasnda ortaya kar,bu paracn kinetik

enerjisi E olur,

Olas gei ,P,bir btnlk salar.

Soru 1048:Tek boyutta bir potansiyel kare dnelim,

(a)E


50/77

(b)E>0 da bir enerjiye sahip paracn bir durumu rnek tekilettiini varsayalm.Bu dalga ile dar kan dalgann aamalarnbulun.

zm:Schrdinger eitlii farkl blgelerdedir

(a)E0. Fonksiyonumuz

nereden

X=a da sreklidir

bylece


51/77

x>a iin

nereden

Bu aama deimesi olarak ortaya kan dalgann bahsettiimizdalga ile ilikisi vardr.

Soru 1049:ekil 1.25 deki tek boyutlu potansiyel sistemde

bir pozitif sabittir.Edeki paracktaki foton bir rnek tekil

ederse hangi ksmlara yaylr?Hangi ksmdan yansr?Enin olasbtn deerlerini gz nne aln.

V(x)

E

zm: x>0 iin,Schrdinger eitlii yledir

Bunun zmne baldr

nerede

x>0 iin, eitlik

Eer E< ise yukardakini yle yazn,

iin sabit olmaldr

nerde

Devam eden durum unu verir


52/77

Bu yzden r=(k+ik)/(ik-k)=(1-ik/k)/(1+ik/k).Bu ksmdanyansyan R=j/j=1,yaylan ise T=1-R=0 olur.

E> . x>0 iin .sahip olduumuz

nerede

Sadece darya kan dalgalar vardr. iin 1+r=t(ik-

ikr)=ikt,ver=(k-k)/(k+k).Bu yzden yansyan ksm R=,yaylan ksm T=1-R=4kk/ dr.

Soru 1050:m ktleli bir parack ve p momentumu ekil 1.26gsterilen admdaki potansiyele rnek olsun da geri planda kalanseyrek paracn olasln hesaplayn.

(a)

(b)

zm:schrdinger eitlii,

(a)Eer E< ise,sahip olduumuz,

Nerede

durumunda snrl olacandan durum byledir.Devameden artlar 1+r=t,ik- ikr=-kt bu yzden r=(k+ik)/(ik-k).Yansma

ihtimali R=j/j= dr.

(c)Eer E> ise,sahip olduumuz

Nerede


53/77

x> iin sadece dar kan bir dalgadan baka bir ey deildir.

Devamndan 1+r=t,ik- ikr=-kt olur.Bu yzden r=(k+ik)/(ik-

k).Olas yansma R= dr.

Soru 1051:ekil 1.27 de gsterilen bir aama iin tek boyutlupotansiyel yansma ve yaylma katsaylarn bulun eer potansiyelsadan bir rnekse,

x

zm:Eer potansiyel sadan byk bir rnekse E> dr.Herikiside tesadf ve x>0 blgesinde yansyan bir dalgadr.x>0 iinschrdinger denklemi

zm iin olmaldr

X


54/77

potansiyel srama tespit edilmitir.Potansiyel, iin sfr ve

iin 3E/4 tr. da yansyan paracklarn olasl nedir?

zm

Schrdinger eitliinden;

olduu yerde iin molekller zaten yansyan

dalgalar olacaktr. zm de u formda olur;

Dalga fonksiyonunun x=0 da sreklilik koullar ,

elde ederiz ve bylelikle ,

tr.Bylece da yansyan paracklarn olasl 1/9 dur.

1053

Dzlem dalgas tarafndan yaklatrlm, soldan x ekseni boyunca

yneltilmi, yke gre potansiyeli olan

molekl gz nne alndnda, Dirac delta fonksiyonu;

(a) iin, dalga fonksiyonunu veren form ?

(b) iin, dalga fonksiyonunu veren form ?

(c)Dalga fonksiyonunun snr blgeler arasndaki artlarn

veren form ?

(d)letim ihtimalini hesaplaynz ?

zm

(a) iin formunda gelen dalgalar ve

formunda yansyan dalgalar. Bylece;

(b) iin, sadece var olan iletilmi dalgalardr.

Bylece;

(c)Schrdinger eitliinden;

Ve bu zm problem 1020ye yeter.

Dalga fonksiyonu devamldr.

(d)(a), (b) ve (c) zmlerinden elde ettiimiz ,

bize,


55/77

0

E

x

V(x)

y verir.

Bu nedenle olduu yerde, iletim katsays ;

1054

emada gsterilen ekilde m ktleli bir parack stne gelen bir

boyutlu potansiyel problemi dnelim. da E enerjisinin

dan daha byk olduunu farzedelim. iken asimptotik

potansiyel deeridir.

Gelen bir gerilim tarafndan blnm, yansyan ve iletilen

gerilimlerin toplamn gsterir.

zm

iken asimptotik formlar varsayabiliriz.

r, t, k, lar burada sabitdirler.Tanmlanm younluk olaylar birim

zaman bana paracklar younluunun numaras dir.

Ayn ekilde, srasyla iletilen ve yansyan gerilimler;

Schrdinger eitlii a gre arpm ;

ve schrdinger eitlii a gre elenii ;

ve iki eitliin farkn ;

alrz.

Bunun manas udur ;


56/77

gstersin Gelen dalgann genlii 1 olsun O halde 2 ortama


57/77

1056

E enerjisinin izafi olmayan ntronlarnn tek enerjili paralel n t

kalnlndaki madde plakas dzleminden gemektedir.

Maddedeki ntronlar tek boyutlu ekici V potansiyelinde hareket

etmektedir. Resim 1.29da gsterildii gibi gelen n dzleme

normale nazaran 0lk bir a yapmaktadr.

(a) t sonsuz ise gelen n nasl krlr?

(b) V itici ve V = E ise gelen n nasl krlr? tyi sonlu aln.

zm

Alternatif zm:

zm, optikteki Fabry-Perot interferometresine benzer ekilde

sonsuz genliklerin aktrlmasyla da elde edilebilir (bkz. Resim

1.30).

Sadece dalgalarn x bileenini gz nne almamzgerekmektedir.T12 ve R12 srasyla 1. ortamdan 2. ortama

geen bir dalga eklinde genlik aktarm ve yansmasnn

katsaylarn gstersin. T21 ve R21 de 2. ortamdan 1. ortama

gerekleen genlik aktarm ve yansmasnn katsaylarn

gstersin. Gelen dalgann genlii 1 olsun. O halde 2. ortama

aktarlan dalgann genlii toplam

1057

-iV sabit sanal bir potansiyelin bir boyutta hareket eden

parack iin dalga fonksiyonunu bulun.Burada dir.

Gncel olasln hesaplayn ve paracn absorbsiyonunu

temsil eden sanal potansiyeli gsterin.Vnin absorbsiyon

katsaylarn temsil eden terimleri bulun.

zm

Schrdinger eitliinden

Diyelim ki ;

ik l Sanal potansiyel iV paracn absorbsiyonu iin


58/77

iken ; alrz.

Ve bylelikle ;

Burada srasyla sa ve soldan hareket eden

dalgalarn stel olarak azalmas ile ilgilidir.geerli olaslk;

Burada, ynergeler ayr ayr stel azalma

olasllaryd.absorbsiyon katsaysndan ;

Sanal potansiyel iV paracn absorbsiyonu iin

sorumludur.daha sonra madem j hayali olacak.Bylelikle ,

eer V gerekse orada absorbsiyon olmayacaktr.

1058

(x,t) koordinatlar erevesinde, O gzlemcisi civarnda

tanmlam dalga boyu olarak belirlenmi nin bir

boyutlu zamana bal serbest parac scrdinger

denkleminde zelim.imdi ayn parac dalga

fonksiyonuyla tanmlanm gzlemcisine gre (x,t) ye

bal koordinatlar ile beraber Galileo da ekildeitirdiini dnn.

(a) Ayn dalga boyunun , tanml dalgalarn

yapn?

(b) Ayr ayr koordinatlarnn schrdinger eitliini her ikisi

de salyorsa ve arasndaki iliki nedir?

zm

(a) Serbest parack iin bir boyutlu zamana bal


59/77

(a) Serbest parack iin bir boyutlu zamana bal

schrdinger eitlii;

dalga boyu ile belirli zme uyan;

Bununla birlikte ;

ki referans etrafnda paracn p momentumu farkldr

ayrca dalga boyu da farkldr.

(b) etrafnda schrdinger eitliini kullanarak yaplan

ve Galileo nun ekil deitirmesini uygulayarak buluruz.

Dnn;

Ve

nn (1) eitliini kullanarak ve tanmlayarak unu grrz.

Bu sadece shrdinger eitliinden doyumuna

ulamtr.Bylelikle, faz faktrn hatasz ilikilendiririz.

1059

frekansnn tek boyutlu harmonik osilatr potansiyelinde ve


60/77

frekansnn tek boyutlu harmonik osilatr potansiyelinde ve

taban durumda bulunan bir m ktle paracna itici gc

uygulanmaktadr.

Taban durumda kalma olasln bulun.

zm

Parack t = 0da ani p momentumu kazanr ve hz aniden p/m

eklinde deiir. Ancak itici gcn sresi dalga fonksiyonunu

deitiremeyecek kadar ksadr. Bu nedenle parackla birlikte

hareket eden K erevesi gz nnde bulundurulduunda

ikincisi harmonik osilatr nin taban durumunda kalr.

Ama hareketsiz K erevesi gz nnde bulundurulduunda

durumundadr. Sre boyunca paracnkonumunu makul derecede sabit tutabiliriz, bylece itici g

sona erdiinde paracn konumu K ve K iin ayn olur. Bu

nedenle Kdeki ilk dalga fonksiyonu;

Bylece itici g uygulandktan sonra paracn taban durumda

kalma olasl ;

Buradan;

1060

dealletirilmi m ktleli bir pin pon topu sadece hs ynylebirlikte bir boyutlu evrende geri tepmesiz masada, taban

durumunda zplyor.

(a) ye uyarak m,g,h enerjide uygun yerine

koyarak ispat ediniz ve y tespit ediniz.

(b) Ergin m=1 gram iin deerinin ve srekli K deerinin

deiken hesabn tahmin ediniz.

zm

(a) Boyut analizi metotunu kullanrsak ;


61/77

Buradan ; tr.

Bylece; verilirse topun enerjisi izah edilmi olur.

(b) Hz masadan orjin ile beraber yukar ynde x koordinatnda

alnrsa ; hamiltonyene gre ;

en aza indirilmi, alnr ve salanr.

Taban durum enerjisinden ;

verir.

1061

enerji zdeerleri ile ilgili teorem bir boyuttaschrdinger eitliini takip ediyor.

Teorem: Eer zdeerlerini veren potansiyeli ve

zdeerlerini veren potansiyeli ve tm x deerleri iin

ise, buradan dir.

(a) Bu teoremi ispat edin

pucu: potansiyelini dnn.Burada ve

(tm x deerleri iin) ve hesaplanr.

(b) imdi ekil (1.31) deki potansiyeli dnn.


62/77

Biz bu potansiyeli tutabilir bal durumlarn saysn belirlemek

isteriz. Bu say varsayalm. Bu en yksek bal durum iin

dalga fonksiyonunun kaitelibi resmini izmeye faydal olabilir.

zlebilir bir karlatrma potansiyeli ve N ye iddetli bal

alt deer veya N ye iddetli bal st deer belirlemek iin

yukardaki teoremi sein(her ikisi de yaplabilir fakat sadece biri

istenir.)

zm

(a) tanmlanr. Aka grlyor ki;

Hamiltonyenden;

Ve zgn denklemi ;

Buradan ;

Bundan dolay ;

alrz ve teorem ispatlanm olur. u

notu kullanrz.

(b) izin verilendir.Buradan dir. Eer

potansiyeli iin enerji seviyesi ise ; dr.

Burada dir. Bal durum iin dir.

yi zersek ;

Burada belirlemeleri maximum A tamsaysndan daha azdr.

imdi V(x) iin sonlu derinlikte bir kare kuyu seeriz.

U(x)e bal durumlarn says V(x) den daha azdr.kincisi iin

dir. ihmal edilebilir bir terim iin U(x) in

bal durumlarn saysn kadar bal stten

alabiliriz.


63/77


64/77

Denklemini veren ;

Eer operatrleri bazen nin zvektrleri ise , yan ;

Buradan ;

Bylelikle , nin zdeerleri ;

dir. Bununla beraber

lgili fonksiyonlarn matris denklemleri elde edilebilir.

Bununla ;

Veya;

1063

Neden Kristal katlarda enerji bantlar bulunduuyla ilgili ksa bir

aklama yapn. Kuantum mekanii fikirlerini kullann ancakkarmak hesaplamalar yapmayn. Aklamanz okuyan

herhangi birinin Kuantum mekaniini anlayacan ama katlarn

teorisiyle ilgili hibir ey anlamayacan varsaymalsnz.

zm

Kristal, 1065. sorudaki rg yap gibi potansiyel kuyularn

sonsuz periyodik dizilii olarak grlebilir. Bloch teoremine gre

Schrodinger denkleminin zm formundadr.

Burada K sabit ve u(x) rgnn belli aralklarla gereklemesiyle

periyodiktir. u(x) ve in kuyu snrlarndaki sreklilik

durumu yaylan paracn enerjisini belli deer aralklarna yani

enerji bantlaryla snrlandrr. 1065. soruda detayl bir rnek (d)Gizlevi olamayan E0dan daha byk E deerlerinin


65/77

j y y

verilmitir.

1064

m ktle parac sonsuz kapsamn periyodik potansiyelinde tek

boyutlu olarak hareket eder. ou alanda potansiyel sfrdr,

fakat b geniliinin a uzunluunun aralklaryla (b


66/77

y g

blgesinde, Blochun teoremine gre ;

Burada K, Bloch dalga saysdr.Snr artlarn veren ;

A ve B nin sfrdan farkl zmleri iin ihtiya duyduumuz;

Veya

Bloch dalga says, K determinesine gredir. Bu nedenle k nn izin

verilen dalgalar belirlenen aralkla snrldr.

Veya

y

(c) iin ;

Burada ;

normalizasyonunu verenler ;

x=a da snr atlarn veren ;

Yani ;

iin ; dalga fonksiyonu formundadr. Burada ;

(d) , burada , ufak bir pozitif saydr. Biz ;


67/77


68/77

=r - , r=

iletim ve yansma katsaylar olduu dalga olay iin ve r' srasyla .

t'=t , r'= .

Periyodik potansiyelde, komu interpotential noktalarnda iletim ve

yansma katsaylar ilikileri var = ve = exp(i2kl).bylece tek bir gsterim iletim katsays ile gsterilir.

(a) komu i potansiyel noktalarda dalgalar halinde gsterilmitir.

ekil 1.33belli ki, sadece yansmas vadeli ve iletim vadeli

katkda

+t

Benzer ekilde

+

bylece biz = +t

= +t

ekil 1.33

(b) n ile n +1 deitirilmesi vermektedir = +t

=

r ve r exp(i2nkl).Varsayabiliriz =

potansiyeli dnemi olarak l, blgedeki dalga fonksiyonu

,o zaman, exp( blgedeki dalga fonksiyonu

.

=

= ve =

1= ,

= +t ve = +t

) (1- +

+ + =0

Biz zmnde =

Ve -4

= -4

(d)Sonsuz periyodik alannda varln kararl bir dalga iin gereklibir kouldur.

=

1+ - =t (c) gzlemlenebilir olduunu kantlamak?


69/77

1+ - =t

= t(

Yerine yukardaki denklemin ve kullanlmas + =1

elde ederek

t + =2 cos ,

veya tanm kullanarak

(e) Metaller, pozitif iyonlar dzenli bir dalm olup iletimielektronlarn dnemsel bir potansiyelinin bir ekilde hareket ettii.

1066

ikinci derece denklemini cevap verici bir gerek bir operatr

verilir.

, -3

Bu deklem opratr ile oluan en dk dereceli denklem ise

(a) zdeer vektrleri nelerdir?

(b) n zdurumlar nelerdir?

g

zm:

(a)kinci dereceden bir denklemi olduu gibi karlayan 2x2matris tarafndan temsil edilebilir. z deerler ikinci dereceden

denklemin kkleri =1, =2

(b) matrisi ile temsil edilir.

z deer denklemi ,

a= 1, b = 0 = 1 ve a = 0, b = 1 = 2 verir.

(c ) , bu nedenle hermityenyendir.

SORU 1067

Qelektrik ykndeki operatrn q karlk gelenherhangi birzdeer denklemi,

demek ki, Q =q , ekim yk operatrn C uygulanan

bir eigenstate yol aar. zdeeri k Q'nun karlk gelen

q :

C =

(a) CQ+QC nin operatrn zdeerlerini bul

(b)Ayn anda C ve Q eigenstate olabilir?

ZM : =

Sonra

(CQ+QC) =qC +Q q q 0


70/77

R -q


71/77

(1+

Ayrca aadaki ekilde

R + (1+

= + + +

Deneysel bylece veren

bu nedenle sleri ve R matrisi i

R zdeerlerini bulmak iin, = 0

- =(1 ) ( 1 )=0 zlr.R=

1069

Bir manyetik alanda, ykl bir paracn, hz bileenleri ile ilgilioperatrleri iin komtasyon kurallarn belirlemek.

ZM:Manyetik alannda bir A vektr potansiyelini ortayaktn varsayalm;

=

= = ( - )

=

1070

Koordinat momentumu komtasyon ilikisini kullanarak patlamak

=constant,

ZM:

H= +V(x),

=


72/77

Hamilton ile tek boyutlu osilatr dnn H= + = coswt-w + sinswt+ m


73/77

(a) "balang pozisyonuna" beklenti deerleri zaman bamllkve "balang momentumu" operatrleri bulmak

)sinwt,

= +mwx.

Hamiltonyenin ile bu operatrlerin gidip gelmek?

(a) ve (b) uyumlu olmasnn sonularnbulun?

Heisenberg grnt operatrlerinin hareket denklemleri

nelerdir?

komtatr llmesi teori adna nemi nedir?

ilikisi faydalanarak

= -w -

coswt

= coswt-w - sinwt-

- +

+m

=0

bylece bu operatrlerinin beklenti deerleri zamanbamsz olarak bulundu.

(b) = coswt- sinwt

coswt+i

= coswt+mw sinwt

xcoswt+i

(c ) (a) ve (b) sonularn uyumludur. ve . ifadeleri

iin ise t ak bir ekildeH ile komtasyon kendi korunur.

= + =0

= + =0

bunlar aslnda korunur olduunu gsterir.

(c) Heisenberg grnt, bir operatr hareket denklemi

= + .

Bylece hareket denklemleri srasyla

=0 , =0 SORU 2001


74/77

ve ifadeler kullanarak

=

coswt+ mwsinwt

coswt+ mwsinwt

= co wt- si wt

=-

=-i

= =0, = i

genel denklemi, A ve B iki gzlenebilirler karlayan = i

Sonra onlarn karekk sapmalar anlamna , E zamanl

olarak llr zaman, belirsizlik ilkesi yerine getirmelidir.

Bu durumda

ortaya kar.

ayn anda llmesi, olas st limitlerinin arasndaki birilikidir.

Bir elektron boyutlu iyi sonsuz potansiyel snrldr. x,y vez eksenleri paralel kenarlarnda her L uzunluu ;

a) Uygun bir Schrdinger denklemi yazlr.

b) Mmkn olan en dk enerji durumuna tekabl edenzamandan bamsz dalga fonksiyonu yazlr.

c) Varsayalm ki iin baz verilen E ok daha az enerjiyesahip olan N says iin bir ifadesini verir.

Den

Buradan


75/77

Eksenleri olan bir koordinat sistemini gz nne

alalm. Bir N doal says yarap olan bir

krenin ilk eyrek dairesinin hacmine eitliine gereklilik

ksm iin salanmtr. Buradan

'Kuark' (ktlesi = ) kbik kutusunda uzunluu 2 fermis = 2xile snrl durum iin zemin t uyarma enerji Zemin durumuna

MeV ilk uyarlm hal uyarlma enerjisini bulun.

zm:

Kp eklinde kutusunun enerji dzeyleri tarafndan verilir.

= ( + , =1,2,3..

zemin durumuna gre enerjisi dolaysyla = ilk

uyarlm duruma = = .bu nedenle zemin

uyarlm hal ilk uyarlm durumuna uyarlma enerji olan

= =461MeV

SORU 2003

Bir NaCl kristalinde, Negatif iyonu bo bir elektron bulunduu,boyutlar sabit rg zerindeki bir hacim ierisindeki serbestehareket eden bu elektronlarn davran kristalin oda scaklndakielektronlar tarafndan gl bir ekilde absorbe edilenelektromanyetik nmn en uzun dalga boyunda iin saysal birtahmini bulmak.

zm: Bir elektronun enerji dzeyleri iki tarafn ile kbik

kutusunda tarafndan verilmektedir. =( (

n, m ve k pozitif tamsaylara temel durum enerjinin =(

= =112Ev

= =110

SORU 2004

Bir elektron yarap R almaz duvarlar olan ii bo bir kreselboluunun ilerine kadar snrldr.Elektronun duvarlarnauygulad basnc, zemine durumda iin bir ifade bulmak

ZM:

Zemin durumu iin, l = 0 veR(x)= radyal dalga fonksiyonugibisonra X (r) verilir

iin r

X=0 iin r l =0 taban durumu iin bylece radyal dalga fonksiyonu nemsiz


76/77

Bu durum karlayan zmler = sin , (n=1,2,3,)

=

duvarlarda elektron radyal hareket ortalama F kuvveti tarafndan

verilen

F= =- = ( = n=1 ve F= =

P= =

Mustafa DEVELOLU

(Blm-2)

2005

m ktleli bir paracn r=a ve r=b de snrlandrlmgeirimsiz iki kre arasnda baka bir potansiyel vardr.Tabandurumunda enerjiyi ve normalize edilmi dalga fonksiyonunubulunuz.

zm: Paracn radyal dalga fonksiyonu ( ) ( )R r X r r=

olsun.Sonra ( )X r denklemi

( )( )

( )2 2

120

mE V r X r

r

+ =

l l

h

( )a r b

olduundan ( )V r =0 izin vermektedir. 2 22K mE= h deyip denklemi

azaltrsak

2 0X K x + = ile

0r a r b

X X= =

= =

V(a)=0 formu zm gerektirir.

( ) ( )sinX r A K r a=

Sonra X(b)=0, K olas deerler olmak zere

( )K n b a= , ( )1,2,3...n =

n=1 de yani taban durumunda paracn enerjisi elde edilir.

( )2

2 2 2 22 2E K m m b a= = h h

normalize durumunda

( ) ( )2 2 2 1b b

a a

R r r dr X r dr= =

( )2A b a= olsun.Dolaysyla taban durum iin radyal dalga

fonksiyonu normalize durumu

( )( )2 1

sinr a

R rb a r b a

=

dir.

ve normalize edilmi dalga fonksiyonu


77/77

Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari

Documents

Transcript of Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari