Kótované promítání

Úvod

Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u

kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu, má toto promítání své uplatnění především ve stavebním

inženýrství, v horním inženýrství, a v geologicko-průzkumné praxi při řešení praktických úloh na topografických plochách.

Zobrazení bodu

Kótované promítání je rovnoběžné pravoúhlé promítaní na jednu rovinu, kterou nazýváme průmětnou, a označíme ji π. Bod A

prostoru zobrazíme tak, že tímto bodem proložíme přímku kolmou k průmětně, kterou nazveme promítací přímkou, a její

průsečík A1 s průmětnou π je průmětem bodu A.

Obrazem A1 není ovšem jeho vzor A v prostoru jednoznačně určen. Abychom dosáhli jednoznačnosti také v opačném směru,

užijeme tzv. kóty takto: Průmětna π dělí prostor na dva poloprostory. Jeden označíme za kladný a druhý za záporný. Vzdálenost

A1A bodu A od průmětny π bude mít kladné (záporné) znaménko, jestliže bod A bude ležet v kladném (záporném) poloprostoru;

leží-li bod A v průmětně, jeho vzdálenost je 0; (obr. 1).

Obr. 1 - Zobrazení bodu

Vzdálenost A1A se znaménkem označíme zA. Je tedy zA orientovaná vzdálenost A1A bodu A od průmětny π.

Orientovaná vzdálenost A1A = zA se nazývá kóta bodu A. Kótu zA připisujeme k průmětu A1 do závorky; píšeme A1(zA).

Pravoúhlý průmět bodu A s kótou nazýváme kótovaný průmět bodu A.

Z kótovaného průmětu A1(zA) můžeme jednoznačně určit jeho vzor A v prostoru. V bodě A1 sestrojíme kolmici, na ni naneseme

orientovanou vzdálenost zA, a tím dostáváme vzor A obrazu A1(zA).

Kótované promítání je vzájemné jednoznačné zobrazení bodů prostoru do kótovaných průmětů v průmětně. Na obr. 1 a 2 jsou

znázorněny v kótovaném promítání body A1(zA), B1(4), C1(-3), D1(0).

Obr. 2 - Kótovaný průmět

V pravoúhlém souřadnicovém systému {0;x;y;z} volíme souřadnicovou rovinu (xy) za průmětnou π kótovaného promítání a

kladný poloprostor bude obsahovat kladnou část osy z.

Kótovaný obraz A1(zA) bodu A[xA, yA, zA]sestrojíme tak, že v souřadnicovém systému {0;x;y} v průmětně π sestrojíme bod A1 o

souřadnicích xA, yA a jako kótu připíšeme jeho zetovou souřadnici zA. Pro vynášení souřadnic budeme užívat levotočivý

souřadnicový systém.

Obr. 3 - Kóta bodu

Zobrazení přímky

Při zobrazování přímky v kótovaném promítání stačí znát kótované průměty dvou různých bodů přímky. Pravoúhlý průmět p1

přímky p, určené body A a B, je spojnice A1B1, když A1 ≠ B1. V případě, že A1 = B1, pak p1 = A1 = B1, což nastane právě tehdy,

když přímka p je kolmá k promítací rovině.

Obr. 4 - Zobrazení přímky

Stopník přímky

Stopník P přímky p je průsečík přímky p a promítací roviny.

Hlavní přímky

Hlavními přímkami rozumíme takové přímky h, které jsou rovnoběžné s průmětnou a všechny její body mají tedy stejnou

kótu.

Obr. 5 - Hlavní přímka

Spád a interval přímky

Intervalem přímky nazýváme vzdálenost průmětu dvou bodů na přímce p, jejichž kóty se liší o jednotku měřítka.

Na obrázku je vyznačen kótou i.

Spád udává výškový zdvih na přímce p při vodorovném posunu o jednu jednotku.

Spád přímky p potom můžeme spočítat následovně: s= tan e/i = tan α

Obr. 6 - Spád a interval přímky

i - interval přímky p

e - ekvidistance

α - odchylka přímky p od průmětny

Stupňování přímky

Jestliže na přímce, která není hlavní ani promítací, určíme body, jejichž kóty se vzájemně liší o zvolenou konstantu,

říkáme, že přímku stupňujeme.

Spádové přímky roviny

Spádové přímky jsou takové přímky, které jsou kolmé ke stopám resp. hlavním přímkám.

Každým bodem roviny prochází právě jedna spádová přímka.

Odchylka od příslušné průmětny je zároveň odchylkou celé roviny od průmětny.

Obr. 7 - Spádová přímka roviny

Vzájemná poloha přímek

1. Různoběžky

Dvě různoběžné přímky určují rovinu.

Přímky spojující body o stejných kótách jsou hlavní přímky této roviny.

Speciální případ: průměty přímek splývají - rovina jimi určená je kolmá k průmětně.

Obr. 8 - Různoběžky

2. Rovnoběžky

Situace je podobná jako u přímek různoběžných.

Obr. 9 - Rovnoběžky

3. Mimoběžky

Dvě mimoběžné přímky neurčují žádnou rovinu, proto ani přímky, které spojují body o stejných kótách, nejsou

rovnoběžné.

Speciální případ: průměty přímek jsou rovnoběžné - všechny přímky spojující body o stejných kótách se protínají

v jednom bodě.

Obr.10 - Mimoběžky

Řešené úlohy k procvičení

Úloha 1

Určete skutečnou velikost úseček AB a CD, stopník přímek p = AB a q = CD a odchylku těchto přímek od průmětny.

Řešení:

Řešíme pomocí sklápění. V bodech A a B vztyčíme kolmice k přímce p. Z bodu A naneseme na kolmici kótu bodu A a

dostáváme sklopený bod (A). Tímto postupem zkonstruujeme i bod (B). Kóty obou bodů mají stejné znaménko, sklopené body

tedy musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkou p. Body (A) a (B) určují sklopenou přímku (p). Skutečná velikost úsečky

AB je rovna velikosti úsečky (A)(B). Průnikem přímek p a (p) je hledaný stopník P, odchylka těchto přímek je rovna odchylce

přímky p od průmětny. V případě přímky q mají kóty bodů C, D různá znaménka, sklopené body tedy musí ležet v opačných

polorovinách s hraniční přímkou q.

Obr. 11 Obr. 12

Úloha 2

Najděte na přímce p = PQ bod R, který má kótu z R = 3.

Obr. 13

Obr. 14

Řešení:

Řešíme opět pomocí sklápění. Sklopíme body P a Q a na přímce (p) najdeme bod, jehož vzdálenost od p je 3. To je bod (R).

Z tohoto bodu spustíme kolmici na p a bod, ve kterém tato kolmice protne p, je hledaný bod R.

Úloha 3

Vystupňujte přímku p = AB.

Obr. 15 Obr. 16

Řešení:

Řešíme obdobně jako úlohu 2. Na sklopené přímce (p) najdeme body, jejichž vzdálenost od p je 2, 3 a 4, a po kolmici je

odvodíme na p.

Spádové plochy

Spádová plocha je plocha, jejíž tečné roviny mají týž spád, tedy jsou rovnoběžné s tečnými rovinami spádového kužele.

Spádový kužel je množina přímek, které mají stejnou odchylku od průmětny a procházejí týmž bodem V.

Obr. 17 - Spádový kužel

Osový řez spádového kužele

Rovinu α, která není rovnoběžná s průmětnou π, protínají ekvidistantní roviny v horizontálních přímkách h. Takové přímky

nazýváme hlavní přímky roviny. Hlavní přímky jsou jejími vrstevnicemi, tj. množinami bodů, které mají stejné kóty. Hlavní

přímka p roviny α s nulovou kótou se nazyvá stopa roviny α.

Na obrázku 18. můžeme vidět osový řez spádového kužele.

Obr. 18 - Osový řez spádového kužele tg α = 4/3

Tečné roviny spádového kužele

Spád roviny α je spád její libovolné spádové přímky s. Hledáme-li rovinu α daného spádu sα = tg φ, která prochází bodem V,

sestrojíme spádový kužel s vrcholem V. Rovina α je tečnou rovinou plochy spádového kužele. Společná přímka s roviny α a

spádového kužele je spádová přímka roviny α.

Tečné roviny spádového kužele prochází vrcholem a mají od průmětny stejnou odchylku jako površky spádového kuželu.

Roviny daného spádu procházející danou přímkou

a) Přímka a je kolmá k průmětně

můžeme položit jen roviny kolmé k průmětně

Obr. 19 - a) přímka a je kolmá k průmětně

b) přímka a je rovnoběžná s průmětnou

můžeme položit roviny libovolného spádu

Obr. 20 - b) přímka a je rovnoběžná s průmětnou

c) přímka a je v obecné poloze

roviny daného spádu procházející jedním bodem obalují kuželovou plochu - jejich spádové přímky procházející tímto

bodem tvoří spádový kužel

Obr. 21 - c) přímka a je v obecné poloze

Příklad

Přímkou PM proložte rovinu o spádu 4/3.

Obr. 22 Obr. 23 - Řez spádovým kuželem Obr. 24 - Rovina o spádu 4/3

Řešení:

Najdeme úhel odpovídající spádu 4/3. Nejdeme poloměr r podstavy spádového kužele (obr. 23). Vezmeme přímku PM.

Sestrojíme podstavu spádového kužele jako kružnici k(M,r). Stopy hledaných rovin jsou tečny ke kružnici k z bodu P. Pro rovinu

α sestrojíme spádovou přímku S1. Hlavní přímka h(30) roviny α prochází bodem M. Vystupňujeme spádovou přímku a

sestrojíme další hlavní přímky. Výsledné přímky nám dávají rovinu o spádu 4/3 procházející přímkou PM (obr. 24).