KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value...
-
Upload
truongphuc -
Category
Documents
-
view
239 -
download
3
Transcript of KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value...
![Page 1: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/1.jpg)
KS091206KS091206KS091206KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Eigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen Value
Eigen VectorEigen VectorEigen VectorEigen Vector
TIM KALIN
![Page 2: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/2.jpg)
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan pertemuan ini
mahasiswa diharapkan :
– Dapat menghitung eigen value dan eigen
vector suatu matriks
Page 2Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 2
vector suatu matriks
– Dapat mengetahui contoh aplikasi dari eigen
value dan eigen vektor suatu matriks
![Page 3: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/3.jpg)
eigenvalues eigenvectors
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR3
eigenvectors
![Page 4: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/4.jpg)
Definisi:
Matriks A (n×n); x ∈ Rn dan Ax = λx
maka λ disebut eigenvalue A, dan x disebut eigenvector dari A yang “berpasangan” dengan λ
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ?
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR4
eigenvalue(s) dari matriks A ?
1. Bentuk persamaan karakteristik determinan (λI – A ) = 0(akan terbentuk persamaan derajat n)
2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A
![Page 5: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/5.jpg)
Jika diketahui matriksA (n×n), maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λ x
Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR5
Vekto x = 1 adalah vektor eigen dari A = 3 0
2 8 -1
Yang bersesuain dengan nilai eigen λ = 3, karena:
Ax = 3 0 1 = 3 = 3x
8 -1 2 6
![Page 6: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/6.jpg)
Jika diketahui matriks A (n ××××n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ?
1. Bentuk persamaan karakteristik determinan ( λλλλI – A ) = 0 (akan terbentuk persamaan derajat n)
2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A
Contoh: A = 3 0 → (λλλλI – A) = λλλλ–3 0–0 = λλλλ–3 0
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR6
8 –1 0–8 λλλλ+1 –8 λλλλ+1
Det ( λλλλI – A ) = 0 → ( λλλλ – 3 ) ( λλλλ + 1 ) + 0 = 0
maka λλλλ1 = 3 & λλλλ2 = –1
![Page 7: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh: A = 3 2 → (λλλλI – A) = λλλλ–3 0–2 = λλλλ–3 -2
-1 0 0-(-1) λλλλ-0 1 λλλλ
det (λλλλI – A) = det λλλλ–3 -2 = 0
1 λλλλ
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR7
= λλλλ2 – 3 λλλλ + 2 = 0
λλλλ = 1 dan λλλλ = 2
![Page 8: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/8.jpg)
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR8
![Page 9: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/9.jpg)
Definisi:
Matriks A (n× n); x ∈ Rn dan Ax = λλλλx
makaλλλλ disebuteigenvalue A, danx disebuteigenvector dari A yang “berpasangan” denganλλλλ
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencarieigenvector(s) darimatriksA ?
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR9
eigenvector(s) darimatriksA ?
Setelaheigenvalue λλλλk dari matriks A diperoleh, makaeigenvector(s) xk yang “berpasangan” denganλλλλkditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) xk = 0
![Page 10: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/10.jpg)
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ?
Setelah eigenvalue λλλλk dari matriks A diperoleh, maka eigenvector xk yang “berpasangan” dengan λλλλk ditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) xk = 0
Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λλλλ1 = 3 & λλλλ2 = –1
8 –1
eigenvector x1 : (λλλλ1I – A ) x1 = 0 → (3I – A ) x1 = 0
Untuk λλλλ = 3
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR10
Untuk λλλλ1 = 3
3–3 0–0 x11 = 0
0–8 3+1 x12 0
0 0 x11 = 0 → x12 = 2x11
–8 4 x12 0 → x11 = skalar s
eigenspace = himpunan eigenvector x1 = { ( s , 2s ) }
![Page 11: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/11.jpg)
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ?
Setelah eigenvalue λλλλk dari matriks A diperoleh, maka eigenvector xk yang “berpasangan” dengan λλλλk ditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) xk = 0
Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λλλλ1 = 3 & λλλλ2 = –1
8 –1
eigenvector x2 : (λλλλ2I – A ) x2 = 0 → (–1 I – A ) x2 = 0
Untuk λλλλ1 = -1
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR11
Untuk λλλλ1 = -1
–1 – 3 0 – 0 x21 = 0
0 – 8 –1+ 1 x22 0
– 4 0 x21 = 0 → x21 = 0
–8 0 x22 0 → x22 = skalar s
eigenspace = himpunan eigenvector x2 = { ( 0 , s ) }
![Page 12: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/12.jpg)
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR12
![Page 13: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/13.jpg)
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR13
![Page 14: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh:
Carilah Eigen Value (λλλλ) dari:
1.
2.
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR14
2.
3.
![Page 15: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/15.jpg)
Diagonalisasi:
Matriks A (n ×××× n)
akan dicari matriks P yang invertibel
sedemikian sehingga P–1AP = matriks diagonal
Matriks A disebut diagonalizable
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR15
Matriks P disebut mendiagonalisasi (diagonalizes) matriks A
Teorema:Matriks A (n × n)
Matriks A disebut diagonalizable ↔ A memiliki n eigenvectorsyang linearly independent
![Page 16: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/16.jpg)
Algoritma untuk menentukan matriks P
Matriks A (n ×××× n) diagonalizable, maka langkah-langkah untuk menentukan P sbb.:
1. Bentuk fungsi karakteristik determinan (λλλλI – A ) = 0
2. Tentukan eigenvalues dari A: λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR16
1 2 3 n
3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn tersebut
4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas
5. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis tersebut sebagai vektor kolom
![Page 17: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh:
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR17
![Page 18: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/18.jpg)
Diagonalisasi
Akan dibuktikan bahwa
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR18
Eigen Vector
![Page 19: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/19.jpg)
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR19
![Page 20: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/20.jpg)
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR20
![Page 21: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/21.jpg)
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR21
Karena A adalah matrix 3x3 dan hanya ada 2 vektor basis, maka A tidak diagonalizable
![Page 22: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/22.jpg)
Diagonalisasi Ortogonal:
Matriks A (n ×××× n)
akan dicari matriks P yang ortogonal (P–1 = PT)
sedemikian sehingga P–1AP = PTAP = matriks diagonal
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR22
sedemikian sehingga P AP = P AP = matriks diagonal
Matriks A disebut orthogonally diagonalizable
Matriks P disebut mendiagonalisasi secara ortogonal (orthogonally diagonalizes) matriks A
![Page 23: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/23.jpg)
Algoritma untuk menentukan matriks P
Matriks A (n ×××× n) orthogonally diagonalizable, maka langkah-langkah untuk menentukan P sbb.:
1. Bentuk fungsi karakteristik determinan (λλλλI – A ) = 0
2. Tentukan eigenvalues dari A: λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn
3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR23
3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn tersebut
4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas
5. Aplikasikan metode Gram-Schmidt untuk mendapatkan basis-basis ortonormalnya
6. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis hasil langkah 5 tersebut sebagai vektor kolom
![Page 24: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/24.jpg)
Teorema:Jika matriks A (n ××××n), maka yang berikut ini ekivalen
a) Matriks A simetrik
b) Matriks A orthogonallly diagonalizable
c) Matriks A memiliki n eigenvectorsyang ortonormal
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR24
c) Matriks A memiliki n eigenvectorsyang ortonormal
Jika a) benar maka b) dan c) benar, dsb
Jika a) salah maka b) dan c) salah, dsb
![Page 25: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh:
A = 4 2 2
2 4 2
2 2 4
determinan ( λλλλI – A ) = 0 →→→→ ( λλλλ – 2 )2 ( λλλλ – 8 ) = 0
eigenvector x1 : (λλλλ1I – A ) x1 = 0 →→→→ ( 2I – A ) x1 = 0
–2 –2 –2 0 →→→→ 1 1 1 0
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR25
–2 –2 –2 0 →→→→ 1 1 1 0
–2 –2 –2 0 0 0 0 0
–2 –2 –2 0 0 0 0 0
eigenspace (λλλλ1)
– x12 – x13 = x12 –1 + x13 –1
x12 1 0
x13 0 1
![Page 26: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh:
A = 4 2 2
2 4 2
2 2 4
determinan ( λλλλI – A ) = 0 → ( λλλλ – 2 )2 ( λλλλ – 8 ) = 0
eigenvector x2 : (λλλλ2I – A ) x2 = 0 → ( 8I – A ) x2 = 0
4 –2 –2 0 → 2 –1 –1 0
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR26
4 –2 –2 0 → 2 –1 –1 0
–2 4 –2 0 0 1 –1 0
–2 –2 4 0 0 0 0 0
eigenspace (λλλλ2)
x23 = x23 1
x23 1
x23 1
![Page 27: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/27.jpg)
Basis eigenspace (λλλλ1)
–1 , -1 dengan Gram-Schmidt –1/√√√√2 , –1/√√√√6
1 0 & normalisasi 1/√√√√2 –1/√√√√6
0 1 0 2/√√√√6
Basis eigenspace (λλλλ2)
1 dengan Gram-Schmidt 1/√√√√3
→
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR27
1 & normalisasi 1/√√√√3
1 1/√√√√3
Maka matriks P yang –1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
matriks (A) adalah 0 2/√√√√6 1/√√√√3
→
![Page 28: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/28.jpg)
A = 4 2 2
2 4 2
2 2 4
Maka matriks P yang –1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR28
orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
matriks (A) adalah 0 2/√√√√6 1/√√√√3
![Page 29: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/29.jpg)
CONTOH:
Sistem persamaan perpindahan penduduk,
untuk n ≥ 0
Dalam hal ini :
1
1
0,85 0,10
0,15 0,90n n n
n n n
C C S
S C S+
+
= += +
nn
n
Cx
S
=
Page 29Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 29
Matriks transisinya :0,85 0,10
0,15 0,90A
=
Persamaan karakteristik dari A :
![Page 30: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/30.jpg)
Persamaan karakteristik dari A :
( )( )2
17 9 3 10;
20 10 20 10
17 20 9 10 3 0
200 350 150 0
λ λ
λ λ
λ λ
− − − =
− − − =
− + =
Page 30Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 30
( )( )
2
2
1 2
200 350 150 0
4 7 3 0
1 4 3 0 1, 0, 75
λ λλ λλ λ λ λ
− + =− + =
− − = → = =
![Page 31: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/31.jpg)
*) Untuk λ1, pers. (A-λI)= 0
*) Untuk λ2 = 0,75, pers. (A-λI)=0
( )1
0,15 0,10 02,3 ,
0,15 0,10 0
xx S
y
− = → = −
Page 31Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 31
( )20,10 0,10 0
1,1 ,0,15 0,15 0
xx S
y
= → = −
![Page 32: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/32.jpg)
1 1
1 02 1 1 11
, , ,33 1 3 250
4
A PDP P D P− − − = = = = −
30
4
k ≈
untuk k >>
Page 32Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 32
1 02 1 1 11
33 1 3 2504
k kA
− = −
2 1 1 0 1 1 2 21 1
3 1 0 0 3 2 3 35 5
− = = −
( )00 0 0
0
2 2 0,413 3 0,65
kk
Cx A x C S
S
= ≈ = +
Dengan k yang cukup besar,
![Page 33: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/33.jpg)
• Untuk waktu yang lama (k >>) karena vector
(0,4,0,6) dengan λ=1, pembagian penduduk antara
kota dan pinggiran tidak mengalami perubahan lagi,
yaitu menjadi 40% berada di kota dan 60% berada di
pinggiran
Page 33Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 33
![Page 34: KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value …share.its.ac.id/pluginfile.php/481/mod_resource/content/1/KALIN_12.pdf · KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021615/5c88e33809d3f2ff638c3ad7/html5/thumbnails/34.jpg)
LATIHAN:
1. a. A = 19 -9 -6
25 -11 -9
17 -9 -4
b. A = -1 4 -2
-3 4 0
-3 1 3
Tentukanlah apakah A dapat didiagonalisasi.
Jika ya, maka carilah matriks P yang mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Page 34Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 34
-3 1 3
2. a. A = 5 0 0
1 5 0
0 1 5
b. A = 0 0 0
0 0 0
3 0 1