KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS,

FORGÓMOZGÁS

1

EGYENLETES KÖRMOZGÁS

Pálya → kör

Út → ív

Definíció:

Test körpályán azonos irányban haladva azonos

időközönként egyenlő íveket tesz meg.

Periodikus mozgás 2

PERIODICITÁS JELLEMZÉSE

Keringési idő (T),

Azon időtartam, mely alatt a test egy fordulatot megtesz

Fordulatszám (n),

Megmutatja az 1s alatti fordulatok számát

Kapcsolat: a keringési idő és a fordulatszám egymás reciproka:

3

𝑇 = 1𝑠

𝑛 = 11

𝑠

𝑇 =1

𝑛

KÖRMOZGÁS SEBESSÉGE – IRÁNY

Δt „nagy”

Δt→0

Sebesség vektor iránya az elmozdulás vektor

irányával egyezik meg → folyamatosan változik

Egyenletes körmozgás sebessége minden

időpillanatban érintőirányú.

Elnevezés: KERÜLETI SEBESSÉG (vk) 4

𝑣 =∆𝑟

∆𝑡

KÖRMOZGÁS SEBESSÉGE – NAGYSÁG

Definíció alapján: ahol

Ha Δt = T → Δi = 2Rπ

Tehát:

5

𝑠 = ∆𝑖

𝑣𝑘 =∆𝑖

∆𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑣𝑘 =2𝑅𝜋

𝑇= 2𝑅𝜋𝑛

𝑣 =𝑠

𝑡

SZÖGSEBESSÉG

Δi mérése nehéz

Új definíció:

Test körpályán azonos irányban haladva azonos

időközönként egyenlő középponti szöggel fordul el.

Mivel Δi ~ Δφ →

SZÖGSEBESSÉG

Ha Δt = T → Δφ = 2π

Tehát: 6

∆𝑖

∆𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

∆𝜑

∆𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝜔 =∆𝜑

∆𝑡

∆𝜑 = 1𝑟𝑎𝑑, 𝜔 = 11

𝑠

𝜔 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝑛

SZÖGSEBESSÉG ÉS KERÜLETI SEBESSÉG

KAPCSOLATA

7

𝑣𝑘 =2𝑅𝜋

𝑇

𝜔 =2𝜋

𝑇

𝑣𝑘 = 𝑅𝜔

KÖRMOZGÁS GYORSULÁSA – IRÁNY

vk változik → gyorsulás

A gyorsulás iránya minden időpillanatban megegyezik a

sebesség-változás vektor irányával.

Ábra alapján:

Egyenlőszárú háromszög

β = Δφ (merőleges szárú szögek)

Ha Δt → 0

akkor Δφ = β → 0

és α = 90°

Gyorsulás iránya minden időpillanatban merőleges a mozgó test sebességének

irányára → pálya középpontja felé mutat (sugárirányú)

Elnevezés: CENTRIPETÁLIS GYORSULÁS (acp)

8

𝑎 =∆𝑣

∆𝑡

KÖRMOZGÁS GYORSULÁSA – NAGYSÁG

9

𝑎𝑐𝑝 =𝑣𝑘2

𝑅

𝑣𝑘 = 𝑅𝜔 → 𝑎𝑐𝑝 = 𝑅𝜔2

CENTRIPETÁLIS GYORSULÁS CENTRIFUGÁBAN

Centrifugákon általában a percenkénti fordulatszám

(jele N vagy rpm = revolutions per minute) állítható be:

10

ahol 𝑎𝑐𝑝 = 𝑅𝜔2 𝜔 = 2𝜋𝑛

𝑎𝑐𝑝 = 𝑅4𝜋2𝑛2

𝑎𝑐𝑝 = 4𝜋2𝑁

60

2

𝑅 = 0,011𝑁2𝑅

RELATÍV GYORSULÁS

Dimenzió nélküli szám

Megadja, hogy a centrifugában fellépő gyorsulás hányszorosa a nehézségi gyorsulásnak

Pl.: N = 3000, R = 10 cm → 1000 g-t állít elő

Ultracentrifuga → 106 g-t állít elő

(= relatív centrifugális erő, RCF = relative centrifugal force)

11

𝑎𝑟𝑒𝑙 =𝑎𝑐𝑝

𝑔

KÖRMOZGÁS DINAMIKÁJA

ΣF = ma

12

ok okozat

Mivel a →nagysága állandó

→iránya kör középpontja felé mutat

ΣF →nagysága állandó

→iránya kör középpontja felé mutat

Elnevezése: ΣF = Fcp centripetális erő

Dinamikai feltétel:

Testre ható erők eredője állandó

nagyságú legyen, és iránya a kör

középpontja felé mutasson

Fcp = ΣF = macp

EGYENLETESEN GYORSULÓ KÖRMOZGÁS Érintő irányban is hat erő → gyorsuló körmozgás

Jellemzése:

Tangenciális gyorsulás:

Szöggyorsulás:

Megmutatja a szögsebesség változási gyorsaságát 13

𝑎𝑡 =∆𝑣𝑘∆𝑡

𝛽 =∆𝜔

∆𝑡, 𝛽 = 1

1

𝑠2

EGYENLETESEN GYORSULÓ KÖRMOZGÁS

Eredő erő és eredő gyorsulás

Szerkesztés: paralelogramma módszer

Számítás: pitagorasz tétel

14

KÖRMOZGÁS – ÖSSZEFOGLALÓ Periódusidő (T)

Fordulatszám (n)

Kerületi sebesség (vk) irány: érintő

nagyság:

Szögsebesség (ω)

Centripetális gyorsulás (acp) irány: sugár

nagyság:

Tangenciális gyorsulás (at) irány: érintő

nagyság:

Szöggyorsulás (β) 15

𝑇 =1

𝑛

𝑣𝑘 =2𝑅𝜋

𝑇= 2𝑅𝜋𝑛

𝜔 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝑛

𝑣𝑘 = 𝑅𝜔

𝑎𝑐𝑝 =𝑣𝑘2

𝑅= 𝑅𝜔2

𝑎𝑡 =∆𝑣𝑘∆𝑡

𝛽 =∆𝜔

∆𝑡

KÖRMOZGÁS – FELADATOK

1) Egy test 12m/s állandó nagyságú sebességgel mozog. Mekkora a gyorsulása és mennyi idő alatt tesz meg 300 m-t, ha a) egyenes pályán mozog? b) 20 m sugarú körpályán mozog?

2) Egy körpályán mozgó test 2 s alatt 5 m hosszúságú félkörívet fut be állandó nagyságú sebességgel. a) Mekkora a kerületi sebessége és a szögsebessége? b) Mekkora a gyorsulása?

3) Egy centrifugában az anyagminta 3000-szer fordul körbe percenként, 15 cm sugarú körpályán. a) Mekkora a kerületi sebesség? b) Mekkora a centripetális gyorsulás? c) Mekkora a relatív gyorsulás?

16

HARMONIKUS REZGŐMOZGÁS

17

A

Definíció:

A test egyenes mentén két szélső helyzet között periodikusan kitéréseket

végez.

y(t) pillanatnyi helyzetet megadó vektor, a kitérésvektor

y(t)max = A (amplitúdó)

y(t)

PERIODICITÁS JELLEMZŐI

Rezgésidő (T),

Egy rezgés megtételéhez szükséges idő

Rezgésszám → frekvencia

Másodpercenkénti rezgések száma

Kapcsolat: a rezgésidő és a frekvencia egymás

reciproka:

18

𝑇 = 1𝑠

𝑓 , 𝑓 = 11

𝑠≡ 1𝐻𝑧 (ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧)

𝑇 =1

𝑓

KITÉRÉS VIZSGÁLATA

Kísérlet: http://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBI

Matematikai előállítás: körmozgás vetületeként

http://www.youtube.com/watch?v=9r0HexjGRE4

19

Ábra alapján:

ahol

Kitérés vektormennyiség:

SEBESSÉG VIZSGÁLATA

20

Ábra alapján:

ahol

Tehát:

Megjegyzés: vmax = Aω és vmin = 0 v(t) = y’(t)

GYORSULÁS VIZSGÁLATA

21

Ábra alapján:

ahol

Tehát:

Gyorsulás és kitérés ellentétes irányú →

Megjegyzés: amax = Aω2 , amin = 0 és a(t) = -ω2y(t) a(t) = v’(t) = y”(t)

REZGŐMOZGÁS DINAMIKÁJA Harmonikus erő: olyan erő, mely az általa okozott kitéréssel egyenesen

arányos, de vele ellentétes irányú.

Rugóerő harmonikus erő

Dinamikai feltétel: testre ható erők eredője harmonikus legyen

Ezek alapján:

22

Fh

ΣF = ma ahol a = - ω2y(t) és F = Dy(t)

𝐹𝑟∆𝑙= 𝐷

𝐹𝑟 ↔ ∆𝑙

−𝐷𝑦 𝑡 = −𝑚𝜔2𝑦(𝑡)

𝐹ℎ𝑦(𝑡)= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝐹ℎ ↔ 𝑦(𝑡)

Fr

HARMONIKUS REZGÉS REZGÉSIDEJE

Sejtés: T(m, D)

23

Példa:

m

T(m)

𝒇 =𝟏

𝟐𝝅

𝑫

𝒎

REZGŐMOZGÁS – ÖSSZEFOGLALÓ

Kitérés:

Sebesség:

Gyorsulás:

Rezgésidő:

24

𝑦 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

𝑣 𝑡 = 𝐴𝜔 cos𝜔𝑡

𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔2 sin𝜔𝑡

𝑇𝑟 = 2𝜋𝑚

𝐷

REZGŐMOZGÁS – FELADATOK

1) Rugóra függesztett testet függőlegesen 10 cm amplitúdóval hozunk rezgésbe. Mekkora a test kitérése az egyensúlyi helyzeten történő áthaladástól számított 0,1 s múlva ha T = 0,8 s? Mekkora a maximális sebesség?

2) Egy rezgő test rezgésszáma 2 1/s, amplitúdója 0,2 cm. Mekkora a kitérése és gyorsulása 0,125 s múlva?

3) Egy rugót 20 N erő 5 cm-rel nyújt meg. Erre a rugóra 4 kg tömegű testet akasztunk és rezgésbe hozzuk. Mekkora lesz a frekvencia?

25

MEREV TESTEK FORGÁSA

Merev test Definíció: bármely két pontjának távolsága állandó

Mozgástípusok Rögzített pontok száma szerint:

0 rögzített pont: forogva halad

1 rögzített pont: test pontjai a rögzített pont körüli gömbfelületen mozognak

2 rögzített pont: az általuk meghatározott tengely körüli forgás, a test pontjai körmozgást végeznek

3 rögzített pont: adott helyzet, nincs mozgás

26

FORGÓMOZGÁS DINAMIKAI VIZSGÁLATA

Forgató hatás jellemzése:

Függ:

Erő (F)

Erőkar (k): forgástengely és az

erő hatásvonalának távolsága

FORGATÓNYOMATÉK (M)

ΣM→β

27

𝑀 = 𝐹𝑘

ok okozat

𝑀 = 1𝑁𝑚

KAPCSOLAT A FORGATÓNYOMATÉK ÉS A

SZÖGGYORSULÁS KÖZÖTT

28

Kapcsolat:

Egyenes arányosság

Két mennyiség hányadosa

állandó:

θ: tehetetlenségi nyomaték

𝑀

𝛽= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝜃

FORGÓMOZGÁS ALAPEGYENLETE

θ: tehetetlenségi nyomaték=forgási tehetetlenség

29

𝜃 = 𝑚𝑖𝑟𝑖2

𝑖

𝜃 = 1𝑘𝑔𝑚2

Példák:

Henger:

Gömb:

𝜃 =1

2𝑚𝑅2

𝜃 =2

5𝑚𝑅2

Alapegyenlet:

ΣM = θβ

http://www.youtube.com/watch?v=AQLtcEAG9v0&feature=results_main&play

next=1&list=PL9296A42AEDCA4600

ANALÓGIA A HALADÓ ÉS FORGÓMOZGÁS KÖZÖTT

FORGÓMOZGÁS – ÖSSZEFOGLALÓ

Haladó

Megtett út: s

Sebesség:

Gyorsulás:

Tömeg: m

Erő: F

Alapegyenlet: F=ma

Lendület: I=mv

30

Forgó

Szögelfordulás:

Szögsebesség:

Szöggyorsulás:

Tehetetlenségi nyomaték:

Forgatónyomaték: M

Alapegyenlet: ΣM = θβ

Perdület:

𝑣 =∆𝑠

∆𝑡

𝑎 =∆𝑣

∆𝑡

𝜔 =∆𝜑

∆𝑡

𝜑

𝛽 =∆𝜔

∆𝑡

𝜃

𝑁 = 𝜃𝜔

FORGÓMOZGÁS – FELADATOK

1. Mekkora fordulatszámra gyorsul fel a 0,3 kg tömegű 2 cm

sugarú gömb, ha rá 5 s-ig 2 Nm forgatónyomaték hat?

2. Mekkora perdületre tesz szert az 1 kg tömegű, 6 cm sugarú

henger, ha egy kerületi pontjára 5 N erő hat 2 s-ig?

31

KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!

32