1

[= *00.0

Chicago Spire 2012

Energioptag i buede solfangerekarsten.schmidt@mat.dtu.dk

Køreplan

01005 Matematik 1 - FORAR 2011

1. BaggrundFør 1900 var glashuse mest kendt fra botaniske haver, palmehuse osv., men under denfunktionalistiske periode i første halvdel 1900-tallet forsøgte førende arkitekter sig medbeboelseshuse i ”glas og stal”. Det sunde menneske blev dyrket og skulle bo i lyse oggennemsigtige huse. Stilen skulle være enkel og ren, alle vinkler rette, og husene blevoftest bygget efter kasse-modeller. Under dette koncept blev der bygget smukke eksem-pler pa glashuse, som tilhører verdensarkitekturen, men i tiden efter kom der masser afkedelige efterligninger som først og fremmest udnyttede at byggemetoden var billigog egnede sig for masseproduktion. Ofte havde husene darligt indeklima, og der blevbrugt masser af energi til ventilation og afkøling om sommeren.

Der har været to ledende trends i glashusarkitekturen i artiet efter 2000, dristige formerog ambitiøse miljøkrav. Pa figuren ovenfor ses en af de smukkeste visioner, det aktuelleprojekt Chicago Spire, planlagt til at være færdigt ca. 2012, og som hvis det realiseres,bliver verdens højeste beboelsesejendom. Ofte er ideen at glashusene via solenergi skalvære energineutrale, og i nogle tilfælde (som fx det aktuelle projekt pa WestminsterPlace i London, se nedenfor) skal de endda levere overskydende energi til omgivelserne.

Forskningen i glastyper og belægninger er omfattende, der ønskes multitasking glasfa-cader der er smukke og medvirker til et sundt indeklima, som ofte har changerendefarver og samtidigt skal virke som solceller. Det aktualiserer selvsagt spørgmalet omhvordan man beregner solenergioptaget i et dristigt formet glashus eller i en buet sol-fanger/solcelle, fx over en hel dag. Hvilket er emnet for dette projekt.

2

Besvarelserne af projektopgaven forventes illustreret med fx Maple, og man bedes be-mærke at det kan vise sig helt nødvendigt at prioritere mellem de stillede opgaver.

2. Matematisk modelI dette projekt arbejder vi med den følgende meget simple model.

1. Solfangerens placeringVi forestiller os at solfangeren er placeret pa ækvator en jævndøgnsdag, og at solenderfor star op kl. 6:00, star lodret over huset kl. 12:00 og gar ned kl. 18:00.

2. Solens baneVi lægger scenariet ind i et sædvanligt (x, y, z)-koordinatsystem, saledes at solfan-geren placeres pa (x, y)-planen. Solen ses kl. 6:00 ved enden af y-aksens positivedel, kl. 12:00 ved enden af z-aksens positive del og kl. 18:00 ved enden af y-aksensnegative del.

3. SolstralingenBestralingen fra solen repræsenteres af et vektorfelt, et system af parallelle en-hedsvektorer, rettet fra solen mod solfangeren. Himlen er skyfri, og vi ser væk frairradiation og ”bøjning” af stralerne som følge af deres passage gennem atmos-færen etc.

4. EnergioptagetVi antager at energioptaget E(t) til tiden t er proportionalt med den indadgaendeflux, som betegnes B+(t). Hermed menes mere præcist fluxen til tiden t gennemden del af solfangerfladen hvorpa vinklen mellem solvektorfeltet og fladens ind-adgaende normalenhedsvektor n er mindre end π

2 . For nemhed skyld (og udenat det ændrer opgavens indhold) vil vi i det følgende forudsætte at proportion-alitetsfaktoren er lig med tallet 1 . Vi antager med andre ord at B+(t) = E(t).

5. Solfangerfladens repræsentationI langt de fleste tilfælde vil vi lade solfangeren repræsentere af en passende injek-tiv, næsten overalt differentiabel, parametriseret flade i rummet.

Opgave 1

1. Begrund at man med rimelighed kan beskrive solvektorfeltet ved

V(x, y, z) = (0, − cos(t), − sin(t) ) hvor t ∈ [0, π ] .

2. Bestem de eksakte værdier af t for hvilke klokken er henholdvis 9:00, 10:00 og 17:00.

3. Diskuter de øvrige modelantagelser.

3

3. Solfangere bygget af plane flader

De mest almindelige solfangere bestar af bare en plan flade. De ses jo ofte i villakvarterne,hvor der er indsat en optimistisk rektangulær solfanger eller solcelle i husets tag. Andreeksempler pa denne type er glashuse der er bygget efter ”kassemodel”, i Københavnhar vi fx det aften-illuminerede Koncerthuset. I verdens første glas-hovedbanegard iBerlin ses der dristige vinkler mellem plane flader afvekslende med enkeltkrummedeoverdækninger.

Københavns Koncerthuset 2008 Berlin Hauptbahnhof 2008

I den følgende opgave skal vi undersøge et simplet ”drivhus”, formet som et spejdertelt:

Opgave 2

Under de nævnte modelbetingelser bestar en solfanger af to skra plane flader, hvoraf denførste er udspændt mellem de fire punkter (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0,−1, 1), (1,−1, 0) og den andenmellem (0, 1, 1), (−1, 1, 0), (−1,−1, 0), (0,−1, 1). Solfangerens ”gavle” anses som neutrale, ogmedtages ikke i beregningerne.

1. Bestem for et vilkarligt t den indadgaende flux B+(t) for hver af fladerne. Bestemherefter det samlede energioptag Etotal for solfangeren for hele dagen.

2. Solfangeren drejes nu vinklen π2 omkring z-aksen, saledes at solfangerens ”ryg” er par-

allel med x-aksen. Bestem igen for et vilkarligt t den indadgaende flux B+(t) for hver affladerne. Bestem herefter det samlede energioptag Etotal for hele dagen.

3. Til sidst drejes solfangeren saledes at dens ”ryg” danner en vinkel s med x-aksen. Finddet kritiske tidspunkt t0 for hver af fladerne hvor fladen veksler fra at ligge i skygge tilat være solbelyst eller omvendt. Bestem herefter Etotal som funktion af s ∈

[0; π

2

], og

plot denne funktion.

4

. 4. Enkeltkrummede solfangere

Solfangeren i opgave 2 er et af de simpelste eksempler pa enkeltkrummede flader. Dennetype indeholder alle flader der populært sagt kun krummer pa den ene led, og som kantænkes bukket at et ark papir uden at man krøller papiret. Der findes overalt i verdeneksempler pa glashuse, som helt eller delvist bestar af enkeltkrummede flader, her er etnogle eksempler. Til venstre Kew Garden i London og til højre et parti fra lufthavnen iBangkok.

London 1846 Bangkok Airport 2006

En enkeltkrummet flade kan alternativt karakteriseres som en cylinderflade hvis lede-kurve/profilkurve er givet i en plan, som indeholder z-aksen, og hvis frembringere starvinkelret pa ledekurven.

Opgave 3

Vi betragter en solfanger som er en cylinderflade, hvis ledekurve i (x, z)-planen har ligningenz = 1− x2, og som opfylder x ∈ [−1; 1 ] og y ∈ [−1; 1 ] .

1. Angiv en parameterfremstilling for cylinderfladen, og bestem et udtryk for dens ind-adgaende enhedsnormalvektor n.

2. Bestem for et vilkarligt t den indadgaende flux B+(t) for solfangeren. Bestem herefterdet samlede energioptag Etotal for solfangeren for hele dagen.

3. Solfangeren drejes nu vinklen π2 omkring z-aksen, saledes at solfangerens ledekurve nu

er parallel med y-aksen. Hvordan ser parameterfremstillingen nu ud? Bestem for ethvertt den indadgaende flux B+(t) for solfangeren. Bestem herefter det samlede energioptagEtotal for hele dagen.

5

4. Til sidst drejes solfangeren saledes at ledekurven danner en vinkel s med x-aksen.Bestem herefter et eksakt udtryk for Etotal som funktion af s ∈

[0; π

2

], og plot denne

funktion. Vink: Man kan evt. vælge at fastholde parameterfremstillingen fra spørgsmal1, og i stedet forestille sig at den lodrette plan som solen bevæger sig i, drejes vinklen smed uret omkring z-aksen, hvorved vektorfeltet V bliver afhængigt af bade s og t.

5. Solfangere som er omdrejningsflader

Runde glashuse er næppe sa praktiske som dem der star pa et rektangulært fundament,men de har været populære som have- og prydhuse, og nu ser man ogsa skyskraberesom med geometerens blik kan karakteriseres som omdrejningsflader. Her er eksemplerpa glashuse med de nævnte funktioner og kvaliteter:

Palmehuset Kbh 1874 Gherkin London 2003

I den følgende opgave vil vi overveje hvordan vi skal skære en solfanger ud af englaskugle for at optimere dagens samlede energiudbytte.

6

Opgave 4

En solfanger A har form som enhedshalvkuglefladen, dvs. den del af enhedskuglefladen medligningen x2 + y2 + z2 = 1 som ligger over (x, y)-planen. En anden solfanger B er en kug-lekalot, den bestar af den del af enhedskuglefladen med ligningen x2 + y2 + (z + 1

2 )2 = 1 som

ligger over (x, y)-planen. Endelig er en tredje solfanger C den del af enhedskuglefladen medligningen x2 + y2 + (z− 1

2 )2 = 1 som ligger over (x, y)-planen.

1. Bestem for hver af de tre solfangere B+(t) pa et vilkarligt tidspunkt af dagen, og bestemderefter Etotal for hver af de tre solfangere.

2. Hvilken af solfangerne A, B og C giver det største totale energioptag pr. dag pr. areal(dvs i forhold til solfangernes areal)?

En af de store udfordringer i beregningerne indtil nu, er at afgøre hvordan man tilbestemte tidspunkter finder grænsen mellem beskygget og beskinnet omrade pa sol-fangeren, heraf afhænger jo de omrader der skal integreres over. I visse tilfælde kanman med fordel indrette sin parametrisering (eller reparamterisere) saledes at det enesæt koordinatkurver følger grænsen mellem lys og skygge pa fladen. Pa figuren neden-for er dette sæt koordinatkurver tegnet pa en halvellipsoide.

Parametriseret efter skyggegrænsen

Hver af solfangerne vi har arbejdet med, kræver sin særlige inspektion eller beregningaf skyggegrænsen pa fladen - og vi har endda kun arbejdet med geometrisk megetsimple former. Er der mulighed for ved beregning af Etotal at komme ud over dissebesværligheder? Det er den røde trad i resten af projektopgaven. Vi starter med igen atse pa enkeltkrummede soltage. Derefter ga vi løs pa omdrejningsfladerne. Og til sidstskal vi se pa hvad vi gør nar de geometriske former er endnu mere avancerede.

7

6. Nyt blik pa enkeltkrummede solfangere

Vi skal nu betragte solfangere i planen! Det betyder at vi for en stund ikke betragterglasflader, men glaslinjer eller rettere solfangere som bestar af plane kurver. Nedenforundersøges en enkelt ret glaslinje med længden x som er en del af en trekant-solfanger.Vi betragter den i tre forskellige situationer. Til venstre har den ret vinkel ind mod sol-fangeren, i midten spids og til højre stump:

ret spids stump

Vektorfeltet kan nu beskrives ved vektorfeltet V = (− cos(t),− sin(t)) for t ∈ [ 0; π ].Solens straler kommer altsa ind fra højre om morgenen, star lodret over huset ved mid-dag og gar ned til venstre om aftenen.

Lad os beregne E(t) for fladen pa figuren til venstre. Den indadgaende enhedsnor-malvektor er her n = (−1, 0). Fluxintegranden V · n er for et givet t konstant langshele linjen. Vi har dermed følgende enkle resultat:

E(t) = x ·V · n = x · cos(t) ⇒ Etotal = x∫ π

2

0cos(t)dt = x .

Opgave 5

Bestem Etotal for glaslinjen i figuren i midten udtrykt ved x og xp, længden af glaslinjens pro-jektion pa grundlinjen (jordoverfladen). Det samme for figuren til højre.

Vi afprøver nu to solfangere som er opbygget af to glaslinjer. De er for nemheds skyldindført i den samme figur nedenfor, men afprøves uafhængigt af hinanden. Deres grundlin-jer ligger pa jordlinjen mellem de to brændpunkter i en ellipse og deres toppunkterligger pa ellipsen. Den ene solfanger (den bla) udgør sammen med grundlinjen enligebenet trekant, den anden (den grønne) udgør sammen med grundlinjen en stumpvin-klet trekant. Pa figuren ses en morgensolstrale.

8

Ligebenet og stumpvinklet solfanger

Opgave 6

1. Hvilken af de to solfangerne pa figuren ovenfor har det største Etotal ?

2. Hvilken af solfangerne har det største energioptag pr. glaslinjelængde?

3. Hvilken af solfangerne har det største areal (mest plads til tomaterne!) i forhold til Etotal?

Herefter er vi rede til at betragte plane solfangere som er polygoner, som ikke nødvendigvisstar pa jorden, men kan svæve i luften eller understøttes af et stillads. Pa figuren neden-for betragtes til venstre en glastrekant (alle tre sider er en glaslinje). Glasfirkanten tilhøjre fremkommer af trekanten ved at siden c fjernes, og at der derefter foretages enkonveks udvidelse af solfangeren med siderne d og e.

Opgave 7

1. Angiv Etotal for hver af de to solfangere.

2. Antag nu at en plan solfanger er bygget som en vilkarlig lukket konveks stykkevis differ-entiabel glaskurve, som hviler eller ikke hviler pa jorden. Overvej ud fra de foregaendeovervejelser Etotal for solfangeren, vi er pa udkig efter et vigtigt resultat til brug i detfølgende!

9

Opgave 8

Ga nu tilbage til ”parabelsolfangeren” i opgave 3, spørgsmal 3. Hvordan kan vi verificere detresultat vi naede frem til vha. de metoder, vi nu har udviklet for solfangere i planen?

Opgave 9

Betragt igen situationen vedr. ”parabelsolfangeren” i opgave 3, spørgsmal 4. Kan vi for en-hver enkeltkrummet solfanger med rektangulær bund afgøre hvordan solfangeren skal drejesomkring z-aksen for at give maksimalt Etotal?

7. Nyt blik pa solfangere som er omdrejningsflader

Det totale energioptag i løbet af en dag for omdrejningsflader er generelt langt vanske-ligere at beregne end for de enkeltkrummede. Vores undersøgelser nedenfor byggerpa de sakaldt elliptiske funktioner, som historisk stammer fra den vanskelige opgaveat bestemme kurvelængden af ellipser. At ellipser pa en eller anden made indgar i e-nergioptaget for omdrejningsflader, er maske ikke sa overraskende, fra en skæv vinkelrammer solvektorfeltet de omdrejningscirkler, fladen populært sagt er opbygget af, somellipser. Alligevel er de matematiske sammenhænge ikke nemme at gennemskue! Førstser vi pa den integralformel, vi skal bruge til de numeriske beregninger. Bagefter skal vise pa hvordan formlen kan vises bl.a. med hjælp fra Maple.

En solfangerO har form af en omdrejningsflade hvis meridiankurve i en (u, z)-plan er grafen for en (stykvis) differentiabel funktion z(u) for u ∈ [ 0 ; r ], somoveralt i definitionsmængden opfylder z′(u) ≤ 0. Der gælder da for Etotal afO:

Etotal =∫ r

02u (π + 2

∫ 1

0

√1 + z′(u)2 τ2√

1− τ2dτ) du .

Opgave 10

Afprøv integralformlen pa fladen A og fladen B i Opgave 4. (Vink: Den funktion I brugertil meridiankurven for A er nok ikke differentiabel i u = 1, find resultatet ved at integrere”næsten” helt hen til u = 1).

Et energiforbrugende silo-anlæg af et givet rumfang ønskes omsluttet af en parabolskklimaskærm/solfanger saledes at der opnas maksimalt energioptag pr. arealenhed afklimaskærmen, dette er enmet for den følgende opgave.

10

Silo inddækket af parabolsk klimaskærm/solfanger

Opgave 11

En nedadvendt omdrejningsparabloide har toppunkt i (x, y, z) = (0, 0, h), og dens bundcirkeler punktmængden {( x, y, z) | x2 + y2 = 1 og z = 0 } .

1. Plot forholdet mellem solfangerens Etotal og dens overfladeareal som funktion højden h.

2. En cylinder med rumfang π2 ønskes drejet om z-aksen, saledes at den har sin bundcirkel

pa (x, y)-planen, mens dens topcirkel rører parabloiden hele vejen rundt. Bestem parab-loidens højde, samt cylinderens radius og højde, saledes at parabloiden opnar maksi-malt Etotal pr. arealenhed. Angiv denne maksimal-værdi.

Herefter følger nogle hints til hvordan integralformlen kan udledes. Først skal vi un-dersøge den enkleste af de elliptiske funktioner, den hedder i Maple’s katalog EllipticE.Bemærk at EllipticE i Maple opskrives bade som en funktion af en variabel og af to vari-able. Vi har i denne sammenhæng kun brug for den førstnævnte, men skal ogsa se pakonsekvenser af at vælge denne som en kompleks variabel.

Opgave 12

1. Undersøg ved hjælp af Maple funtionen EllipticE(x) for x ∈ R, kan den plottes, er dendifferentiabel, har den en stamkfuntion osv. Det samme med funktionen EllipticE(i · x)for x ∈ R.

2. Bestem med hjælp fra Maple den eksakte værdi af Etotal for en opretstaende omdrej-ningskegle K som har højden h og bundradius r. Vink: Dette grundlæggende resultat

11

for omdrejningsflader er vi nødt til at finde ved elementær inspektion af de omrader derskal integreres over pa forskellige tidspunkter af dagen, med metoder svarende til deførste opgaver.

3. Vi snitter nu omdrejningskeglen K i spørgsmal 2, to forskellige steder med en vandretplan og betragter den abne keglesnitsring ∆K der udgøres af den midterste, afsnittededel af omdrejningskeglen. Forskellen mellem ∆K’s bundradius og topradius kalder vi∆u. Bestem ∆Etotal for ∆K.

Vejen frem mod integralformlen gar via appproximation af omdrejningsflader med keglesnits-ringe. Pa den følgende figur er der plottet en enkelt keglesnitsring, som fremkommerved drejning af et tangentstykke til omdrejningsfladens meridiankurve.

Opgave 13

Eftervis den benyttede integralformel. Vink: Find evt. først Etotal udtrykt ved EllipticE og an-vend derefter definitionen i Maples online help pa EllipticE(k) til en enkelt variabel, her kaldetk.

8. Lukkede konvekse solfangere

Vi skal nu introducere vores generelle metode til numerisk bestemmelse af E(t) ogEtotal for parametriserede lukkede konvekse solfangere. Her er nogle aktuelle glasfa-cader som hverken er opbygget efter enkeltkrummet model eller omdrejningsmodel:

12

Beijing Opera 2007 Westminster Place 2012

Metoden vi skal bruge, bygger pa Gauss’s divergensteorem. Det viser sig at solfan-gerens skygge fortæller en masse om solfangerens aktuelle energioptag. Hvis vi kenderskyggens areal, kender vi energioptaget! Lad os tage udgangspunkt i en solfanger somhar form af en keglesnitsflade, metoden vi introducerer kan derefter umiddelbart overførestil andre opgaver af denne type.

Opgave 14

Et massivt omrade A i rummet er afgrænset af planen med ligningen z = 4 og af en keglesnits-flade som har ligningen

x2

4+ y2 + z = 5 .

En solfanger dannes af overfladen af A. Der er altsa tale om en lukket flade. Den er af praktiskegrunde og uden at ændre pa den principielle situation hævet over jorden, dvs. over(x, y)-planen, med afstanden 4.

1. Bestem en parameterfremstilling for solfangeren (dvs. for hver af de to flader som denbestar af).

2. Lad→

OP være stedvektoren for et vilkarligt punkt P(x, y, z) i rummet og lad αt væreen plan som gar gennem Origo, og som til ethvert tidspunkt t har solvektorfeltet som

normalvektor. Bestem koordinaterne for projektionen af→

OP pa αt udtrykt ved x, y, z ogt.

3. Plot solfangeren sammen med den vinkelrette projektion af solfangeren ned pa αt, idetder vælges en testværdi af t.

4. Bestem arealet af solfangerens skygge paαt som funktion af t.

13

5. Gør ved hjælp af Gauss’s divergenssætning rede for at B+(t) for solfangerhuset er ligmed arealet af solfangerens skygge paαt.

6. Plot B+(t) som funktion af t, og bestem Etotal .

Opgave 15

Vi udvider det solfangertag vi arbejdede med i opgave 3 til et solfangerhus, idet vi forsynerdet med to lodrette gavle og en bund, saledes at hele det lukkede solfangerhus er potentieltenergioptagende. Antag som i Opgave 3, spøgsmal 4, at huset er drejet omkring z-aksen medvinklen s (eller antag i det følgende alternativt og nemmere at solfeltet er drejet tilsvarende).Af praktiske grunde, og uden at ændre pa den principielle situation, parallelforskyder vi sol-fangeren opad med 4 i z-aksens retning.

1. Bestem en parameterfremstilling for solfangerhuset (dvs. for hver af de fire flader somhuset bestar af).

2. Lad→

OP være stedvektoren for et vilkarligt punkt P(x, y, z) i rummet og lad αt væreen plan som gar gennem Origo, og som til ethvert tidspunkt t har solvektorfeltet som

normalvektor. Bestem koordinaterne for projektionen af→

OP pa αt udtrykt ved x, y, z, tog s.

3. Plot for en valgt værdi af t og s solfangerhuset sammen med projektionen af dets fire delened paαt. Vink: Bestem først en parameterfremstilling for hver af de fire projektioner.

4. Plot Etotal for solfangerhuset som funktion af s og aflæs den værdi af s som giver maxi-malt energioptag.

5. Gør rede for at resultatet i Opgave 3, spørgsmal 4 kan reproduceres ved i udregningerneat se bort fra husets to gavle (saledes at solfangeren kun bestar af parabeltaget og bun-den)!

Opgave 16

En konveks lukket solfanger bestar af to flader givet ved parameterfremstillingerne

r1(u, v) =

√

3 cos(v)− 12 cos(u)

cos(v) +√

32 cos(u)

3 sin(u) sin(v)

for u ∈ [ 0; π ] og v ∈ [ 0; π ] ,

og

r2(u, v) =

√

3 cos(v)− 12 cos(u)

cos(v) +√

32 cos(u)

0

for u ∈ [ 0; π ] og v ∈ [ 0; π ] .

14

1. Vi ønsker et plot af E(t). Vink: Disse beregninger begynder at bliver krævende selvfor Maple. Derfor kan man her - og ogsa i kommende opgaver - evt. ga frem ved atbestemme E(t) for en række værdier af t ∈

[0; π

2

], og plotte grafen ved hjælp af de

tilsvarende punkter. Hvornar pa dagen er energioptaget størst?

2. Bestem Etotal for solfangeren.

De sidste to opgaver handler om en omdrejningsflade der fremkommer ved drejningaf en helt specielt plan figur, en sakaldt Reuleaux trekant. Reuleaux trekanten pa figurennedenfor til venstre er tegnet i (u, z)-planen vha. af tre cirkelbuestykker som har centrei (−1, 0) henholdvis (1, 0) og (0,

√3).

Opgave 17

1. Gør rede for at trekantens skygge pa en ret linje som er vinkelret pa det plane solvektor-felt, er konstant.

2. Gør rede for at den højre halvdel af Reuleaux trekanten er en kurve K som kanparametriseres ved:

z1(u) =√

4− (u + 1)2 for u ∈ [ 0; 1 ] og z2(u) =√

3−√

4− u2 for u ∈ [ 0; 1 ] .

15

3. Lad R betegne det omdrejningslegeme der opstar ved drejning af K omkring z-aksen.Overvej om R har konstant bredde, dvs: Hvis R placeres mellem to parallelle tangent-planer, er afstanden mellem tangentplanerne da den samme uanset hvilket sæt af paral-lelle tangentplaner der er valgt?

4. Er E(t) forR konstant i løbet af dagen?

5. Antag at vi ændrer R’s position ved at dreje den en vilkarlig vinkel omkring en akseparallel med x-aksen. Vil Etotal forR da være uændret? Samme spørgsmal hvis vi drejeromkring en akse parallel med y-aksen.

Opgave 18

Der skal i København rejses en solfanger af formen R (omdrejningsfladen fra forrige opgavemed Reuleaux-trekanten som meridiankurve). Som udgangspunkt ønskes der maksimalt EtotalafR ved jævndøgn.

1. Først overvejes opstilling afRmed lodret symmetriakse. Plot solfangerens energioptagved jævndøgn som funktion af tiden, og illustrer evt. med en animation af R’s skyggepa ”Gauss-projektionsskærmen” hen over dagen. Bestem Etotal .

2. Beskriv hvordan R positioneres optimalt, saledes at der opnas maksimalt Etotal vedjævndøgn i København.

SLUT