Frederiksberg Seminarium

Computerundervisning

Koordinatsystemer og funktioner

Elevmateriale

30-01-2009

Udarbejdet af:

Pernille Suhr Poulsen

Christina Klitlyng

Julie Nielsen

Opgaver GeoGebra

Om at genkende funktioner

En funktion er en sammenhæng mellem to variable størrelser.

Den ene kaldes ”den uafhængige variabel x”, den anden kaldes ”den afhængige variabel f(x)

Det vil sige, at f(x) afhænger af x. Man kalder kun en sammenhæng for en funktion hvis der til

enhver x-værdi findes højst en y-værdi/en værdi for f(x).

Åben GeoGebra.

Nederst på siden findes et felt kaldet ”input”.

1

Her indsættes følgende ligninger, en ad gangen: (Afslut en ligning ved at trykke på Enter)

x= 2 f(x)= x+4 y2+x

2=1 k(x)=-4x

g(x)= 2x2+2x-1 x= 2+3 h(x)=3 y

2+x

2=5

De forskellige ligningers kurver vil blive vist i koordinatsystemet.

- Hvilke kurver for de 8 ligninger er grafer for funktioner?

- Forklar med ord hvad der kendetegner en funktion og hvordan man ud fra billedet kan se om

en kurve er en graf for en funktion.

Om at aflæse på grafer

Åben en ny tegning i GeoGebra. Dette gøres ved at klikke på Fil oppe i venstre hjørne og vælge

”Ny tegning”

2

Indtegn de to følgende grafer i koordinatsystemet ved brug af input:

f(x)=x+2 og g(x)=8/x

- Aflæs funktionsværdierne, når x antager følgende værdier.

Dette gøres ved at afsætte et punkt på grafen udfor den ønskede x-værdi.

Brug funktionen ’Nyt punkt’ til at afsætte et punkt. Koordinatsættet vil nu komme til syne i

venstre side af skærmen under ”Frie objekter”. Hvis det ikke har været muligt at ramme den

ønskede x-værdi helt præcist, kan man dobbeltklikke på koordinatsættet og rette x-værdien til. På

denne måde kan man få en helt nøjagtig aflæsning.

f(x) g(x)

x= 5 x= 0 x= 1 x= 2 x= -3 x= -2

x= 3 x= -1 x= -2 x= 6 x= 16 x= 1

- Find nu skæringspunkter mellem de to grafer f(x) og g(x),

(Skæringspunktet er der hvor grafer rammer hinanden) ved brug af funktionen

’Skæring mellem to objekter’ . Klik på de to grafer, og skæringspunktet vil blive vist

med et punkt. Skæringspunktet kan aflæses under Afhængige objekter.

Om at tegne grafer

Åben en ny tegning i GeoGebra

3

- Tegn grafen for funktionerne.

a(x)= -x b(x)= x-2 c(x)= 2x d(x)= -2

1 x e(x)= 2x–3 f(x)=

2

1 x +3

- Beskriv med egne ord, hvad der sker med grafen når der står minus før x.

- Hvad fortæller det tal der står på b´s plads om grafen?

Om at bestemme regneforskrift

Åben ny tegning i GeoGebra

GeoGebra kan bruges til at finde en regneforskrift, hvis der er oplyst to tilfældige punkter på en

graf.

1. I værktøjslinjer vælges funktionen ’Nyt punkt’ . To punkter indtegnes i

koordinatsystemet.

2. Derefter vælges funktionen ’Linje gennem to punkter’ Klik nu på de to punkter, og en

graf vil komme til syne.

3. Nu vælges funktionen ’Hældning’ . Klik på grafen og hældningen vil blive vist. Dette

svarer til a i regneforskriften.

4. Vælg nu funktionen ’Skæring mellem to punkter’ . Klik på grafen og derefter på y-

aksen. Et punkt vil komme frem, hvor koordinatsættet kan aflæses til venstre under

’Afhængige objekter’. Dette svare til b i regneforskriften.

1. 2. 3. 4.

Ved hjælp af denne vejledning kan du løse opgaverne på næste side

4

- Bestem regneforskriften for graferne ud fra følgende punkter

(4; 5) og (-2; 7) (3,4 ; 5) og (5; 7,2) (-1 ; -4) og (2 ; -7)

En regneforskrift kan også være beskrevet ned ord. Åben en ny tegning i GeoGebra

- Bestem regneforskrifter ud fra følgende sætninger og indtegn derefter graferne i samme

koordinatsystem

a f(x) er 5 større end x d f(x) er det halve af x minus 2

b f(x) er en mindre end x e Jeg tjener 50 kr. mere end Bo

c f(x) er det tredobbelte af x f Jeg får 6 kr. mindre end Lene

Om proportionalitet

Ligefrem proportionalitet

En funktion kaldes ligefrem proportional, når regneforskriften kan skrives som f(x)=ax. Det betyder, at hvis

x eksempelvis bliver fordoblet, så bliver f(x) også fordoblet, og hvis x bliver halveret, så bliver f(x) også

halveret. Det kan bl.a. ses på grafen ved at den altid vil gå gennem punktet (0,0). a er konstant. f(x) og x er

variable.

5

- Tegn følgende funktioners graf i samme koordinatsystem

a f(x)=4x c h(x)=10x e j(x)= - 2x

b g(x)=½x d i(x)=7+8x f k(x)= - 3x+4

- Hvilke af funktionerne er en ligefrem proportionalitet?

Omvendt proportionalitet

En funktion kaldes omvendt proportionalitet, når regneforskriften kan skrives som f(x)= x

a

Det betyder, at hvis x eksempelvis bliver fordoblet, så bliver f(x) halveret. Og hvis x bliver halveret, så

bliver f(x) fordoblet. a er konstant. x og f(x) er variable

6

- Tegn følgende funktioners graf i samme koordinatsystem

a f(x)= x

8 c h(x)= 4+

3

x

e j(x)=x

2– 6

b g(x)=x-1 d k(x)=x

1 f Tag selv pizza. Spis hvad du kan for 49 kr.

- Hvilke af funktionerne er en omvendt proportionalitet?

Spilleregler til domino med grafer

Spillet indeholder 60 brikker, som fordeles ligeligt mellem spillerne. Spillerne kan selv vælge om

de vil spille med åbne brikker (hvor alle spillere kan se hinandens brikker), eller med lukkede

brikker.

Det gælder om at komme af med alle sine brikker.

Den yngste spiller starter med at lægge en valgfri brik på bordet. Derefter går turen videre i urets

retning. Den næste spiller skal nu prøve at se, om han/hun har en brik, der passer sammen med en af

enderne af den allerede lagte brik på bordet. Det skal altså enten være en regneforskrift der passer til

den afbildede graf, to ens grafer eller regneforskrifter, eller en graf der passer til regneforskriften.

Hvis spilleren ikke kan dette, går turen videre i urets retning.

Dette er et eksempel på et igangværende spil.

Opgaver Microsoft Excel

Indtegn punkter i koordinatsystem

Når vi skal lave grafer i Excel skal vi starte med at indtegne punkterne i Excel arket ligesom

vi ville skrive det ind i et sildeben.

Derefter skal vi indtegne punkterne i et koordinatsystem det gør man ved at markere tallene

og trykke på ikonet som findes på ikon listen.

o Derefter kommer der en række menuer. I den første skal man til venstre vælge

’XY-punkt’ og til højre, billedet med prikkerne. Tryk næste.

o Næste menu vi ses hvordan koordinatsystemet kommer til at se ud. Her skal ikke

ændres på noget.

o I tredje menu kan man navngive x og y aksen og koordinatsystemet. Fx x aksen

kilometer, y aksen tid i timer. Og koordinatsystemet kunne så hede funktion over

kilometer over tid.

o Fjerde og sidste menu skal heller ikke ændres. Men her er der mulighed for at ligge

grafen på en side for sig selv,

Nu skulle man gerne ha fået et koordinatsystem frem med kun punkter i.

Tilføj tendenslinje

Får at vi kan få selve grafen tegnet ind ordentligt skal vi tilføje det der hedder en tendens linje.

Vi laver vores tendenslinje ved at højreklikke på punkterne (alle punkterne skal blive

markeret)så vælger man ”tilføj tendenslinje”.

o I den menu der nu kommer frem nu(undermenu tilføj). Vælger man billedet der

hedder lineær.

o Så vælger man den undermenu der hedder indstillinger. Her kan man tilføje

ligningen til tendenslinjen ved at aktivere ”vis ligning i diagram” og så trykker man

ok.

Nu har i et koordinatsystem med nogle punkter og en graf for de punkter.

Opgaverne på næste side laves efter samme fremgangsmåde

Tegn grafen for funktionerne:

1 a)

x 0 1 2 3

f(x) 2 4 6 8

b)

x -2 0 2 4

f(x) 0 2 4 6

c)

x 0 2 4 6

f(x) 6 4 2 0

d)

x -2 0 2 4

f(x) 2 2 2 2

e)

x 0 3 6 9

f(x) 0 1 2 3

f)

x -2 -1 0 1

f(x) 2 4 6 8

2

Indsæt punkter i sildeben og tegn i Excel

a) c)

(3;4) (2,5;3) (5;8) (-3;3) (-1;1) (2;-2)

b) d)

(0;3) (4;7) (12;15) (3;1) (8;5) (13;9)

Ligefrem proportionalitet

Hvis en funktion af x, f(x) er ligefrem proportional skrives dette som: f(x) = a * x

eller lidt anderledes udtrykt, hvis a er isoleret: f(x) / x = a

a er konstant! Hvis x vokser med et tal, så vokser f(x) med a gange så meget

En ligefrem proportional funktion vil altid skære punktet (0;0)

Når vi skal finde frem til om sammenhænge er ligefrem proportionale i Excel. Ligger vi ud med at

tegne punkterne ind i et koordinatsystem. Derefter skal vi lave en tendenslinje som skær punktet

(0;0). Dette gør man ved at i menuen for tendenslinjen undermenuen indstillinger(samme sted som

vi tilføjede ligningen for tendenslinjen) aktivere man:

Nu vil grafen tvinges igennem (0;0)nu kan man så se om tendenslinjen passer sammen med resten

af punkterne i koordinatsystemet.

Et eksempel på en graf der ikke er ligefrem proportional:

Som det kan ses passer tendenslinjen ikke sammen med punkterne som er indskrevet.

3

Er sammenhængende ligefrem proportionale

a)

x -1 0 1 2

f(x) -5 0 5 10

b)

x 3 4 5 6

f(x) 7 9 15 21

c)

x -2 -1 0 1

f(x) 2 4 6 8

Indsæt følgende koordinatsæt i sildeben og tjek om de er ligefrem proportionale.

d)

(10;5) (8;4) (15;7,5)

e)

(3;2) (6;3) (9;4)

f)

(0;5) (4;11) (-2;2)

Ekstraopgave

Det er meningen at I nu skal prøve at lave en opgave, hvor I skal benytte enten GeoGebra

eller Excel til jeres besvarelse.

Jens vil forære sin mor chokolade på mors dag.

Han køber et antal stykker, til 4 kr. stk.

a) Hvad er de variable i Jens’ køb af chokolade?

b) Vis sammenhængen mellem den samlede pris og det antal stykker chokolade Jens køber:

o Ved tekst

o ved regneforskrift

o ved graf