KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR
-
Upload
britanni-lowe -
Category
Documents
-
view
128 -
download
7
description
Transcript of KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR
![Page 1: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/1.jpg)
KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR
DERS ÖĞRETMENİ:
MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ
BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN...
![Page 2: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/2.jpg)
LİNEER CEBİR
• MATRİSLER
• DETERMİNANTLAR
![Page 3: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/3.jpg)
tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir.
TANIM: m,n için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , reel sayılarından oluşturulan;
N a ij
......
::::::
......
::::::
......
......
21
21
222221
111211
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
mnmjnn
inijii
nj
nj
i. satır
j. sütun
Satranç tahtası 8x8 tipinde bir matris örneğidir.
![Page 4: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/4.jpg)
A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a ijelemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir.
elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir.
n* m aij
.A matrisinin elemanlarına i.satır elemanları;
elemanlarına da j. sütun elemanları denir.
aaaa inij2i1i,,,
aaaa mjijj2j1,,,
a ij
![Page 5: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/8.jpg)
B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)
B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi) . . . . . . . . . . . .
Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi)
A matrisi satır matrisine bağlı olarak,
m
2
1
B
.
.
B
B
A= [aA= [aijij]]m x n =m x n = şeklinde şeklinde gösterilir.gösterilir.
Satır MatrisSatır Matris
TanımTanım: : A= [aA= [aijij]]m x nm x n matrisinin her satırına, matrisinin her satırına, satır matrisisatır matrisi denir.denir.
![Page 9: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/9.jpg)
• A1 :1.satır matrisi• A2 : 2.satır matrisi• ...• ...• An : n.satır matrisi
mn
n
n
n
mm a
aa
A
a
aa
A
a
aa
A....
,......,....
,....
2
1
2
12
12
2
1
21
11
1
A matrisi sütun matrisine bağlı olarak ,A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir.
Sütun MatrisSütun Matris
TanımTanım: : A= [aA= [aijij]]m x nm x n matrisinin her sütununa, matrisinin her sütununa, sütun matrisisütun matrisi denir. denir.
![Page 10: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/10.jpg)
Kare MatrisKare Matris
Tanım:Tanım: n x n tipindeki A= [a n x n tipindeki A= [aijij]]m x nm x n matrisine, n. basamaktan matrisine, n. basamaktan kare kare
matrismatris denir denir..
matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir.
51
43
Satranç tahtası aynı zamanda 8x8 ‘lik bir kare matris örneğidir.
![Page 11: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/11.jpg)
Sıfır MatrisiSıfır Matrisi
matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir.
32000
000
x
TanımTanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisisıfır matrisi denir ve denir ve OO harfi ile gösterilir. harfi ile gösterilir.
![Page 12: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/12.jpg)
Asal Köşegen , Yedek KöşegenAsal Köşegen , Yedek Köşegen
Tanım :Tanım : A= [a A= [aijij]]n x n n x n kare matrisine akare matrisine a1111,a,a2222,a,a3333,...,a,...,annnn elemanlarının elemanlarının
oluşturduğu köşegene, oluşturduğu köşegene, asal köşegenasal köşegen; a; an1n1,a,a(n-1)2(n-1)2,...,a,...,a1n 1n terimlerinin terimlerinin
oluşturduğu köşegene, oluşturduğu köşegene, yedek köşegenyedek köşegen denir. denir.
a11,a22,a33 : asal köşegen
a31,a22,a13 :yedek köşegen
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Yedek köşegen Asal köşegen
![Page 13: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/13.jpg)
Köşegen MatrisKöşegen Matris
Tanım:Tanım: A= [a A= [aijij]]n x n n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki kare matrisinde asal köşegen üzerindeki
elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise, matrise, köşegen matrisköşegen matris denir. denir.
matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir.
000
040
003
![Page 14: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/14.jpg)
Skalar MatrisSkalar Matris
matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir.
50
05
Tanım:Tanım: A= [a A= [aijij]]n x n n x n köşegen matrisinde aköşegen matrisinde a1111 = a = a2222 = a = a3333 ...= a ...= annnn = k ise, = k ise,
(k (k R) bu matrise, R) bu matrise, skalar matrisskalar matris denir. denir.
![Page 15: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/15.jpg)
Birim MatrisBirim Matris
Tanım:Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları
sıfır olan kare matrise, sıfır olan kare matrise, birim matrisbirim matris denir. n x n tipindeki bir denir. n x n tipindeki bir birim matrisbirim matris IInn ile gösterilir. ile gösterilir.
matrisi , 4.sıradan bir birim matrisidir. I4 ile gösterilir.
1000
0100
0010
0001
4I
(asal köşegen)
![Page 16: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/16.jpg)
Şekildeki bulmaca 15x15 tipinde bir matris örneğidir.
![Page 17: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/17.jpg)
İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİİKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ
ÖRNEK:ÖRNEK:
2
4
y
xBveA
52
235
ba
bab
a
olmak üzere, A = B ise kaçtır ?y
x
Tanım:Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrislereşit matrisler denir. denir.
(i, j) M x N için, aij = bij [aij]m x n = [bij]m x n
![Page 18: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/18.jpg)
52
235
ba
bab
a
=
2
4
y
x matrislerinineşitliğinden,
ÇÖZÜMÇÖZÜM : A = B
5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan
5a = 22
5b = 2 52b = 22
5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa;
bulunur.24
8
22
2)2(3
2
23
b
b
bb
bb
ba
ba
y
x
![Page 19: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/19.jpg)
?x
ise 21
016
241-
01yx :Örnek
3232
xx yx
![Page 20: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/20.jpg)
5 x 102x 4y- x
6y x:Çözüm
![Page 21: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/21.jpg)
MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİMATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Tanım:Tanım: A= [a A= [aijij]]m x n m x n ve B= [bve B= [bijij]]m x n m x n matrisleri verilmiş olsun.matrisleri verilmiş olsun.
A + B = [aA + B = [aijij]]m x n m x n + [b+ [bijij]]m x nm x n= A= [a= A= [aij+ ij+ bbijij]]m x nm x n matrisine, matrisine, A ve B A ve B
matrislerinin toplamı denir.matrislerinin toplamı denir.
O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.
![Page 22: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/22.jpg)
ÖRNEK:ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B
matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?
![Page 23: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/23.jpg)
ÇÖZÜM:ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi.Buna göre;
m+1 = n+1 p-2 = 2 m = n p = 4
3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3 k = 2
m =n 2 , p = 4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.
![Page 24: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/24.jpg)
?z)y,(x, ise
2
1
4
5
x
1
2-
:Örnek
z
y
![Page 25: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/25.jpg)
3z z52-
-2y -1y1
6 x 24- x:Çözüm
![Page 26: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/26.jpg)
TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ
1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır.
AB BA
için, matrisleri bB veaA ijij
mxnmxn
2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır.
olur. C B)(A C)(BA
için, matrisleri cC , bB , aA ijijij
mxnmxnmxn
![Page 27: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/27.jpg)
3. Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
olur.A A0
için, matrisleri 0,0 aA mxnij
mxn
4. matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,
matrisidir.
mxnijaA
mxnija-A-
A+(-A) = mxn 0
![Page 28: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/28.jpg)
Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi
6-54
312-A
65-4-
3-1-2
Örneğin:Örneğin: matrisinin toplama işlemine göre tersi,
matrisidir.
mxna ij
A A - a ij mxn
mxna ij
A
Tanım: matrisi verilmiş olsun. matrisine ,
matrisinin toplama işlemine göre tersi denir.
![Page 29: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/29.jpg)
İKİ MATRİSİN FARKI
Tanım : matrislerinin farkı, bB , aA ijij mxnmxn
mxnmxn ijij b-a (-B) A B-A olur.ba
ijij mxn
![Page 30: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/30.jpg)
MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI
bulunur. 312
96
14
3-23. k.A :ÇözümÇözüm
matrisinik.A
3k vematrisi 14
3-2 :ÖrnekÖrnek
sayısı için
bulalım.
Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir.
C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denirÖrneğin: k=5 bir reel skalar dır.
![Page 31: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/31.jpg)
Skalarla Çarpmanın Özellikleri
Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1,k2 olsun.
Her ve mxnijaA için matrisleri bB ij mxn
1. k.(A+B) = k.A + k.B
2. (k1+ k2).A = k1.A + k2.A
3. k1.(k2.A) = (k1.k2).A
![Page 32: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/32.jpg)
?232
101).4(
13-2-
021-3. :Örnek
![Page 33: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/33.jpg)
32112114
467
8128
404
39-6-
063- :Çözüm
x
![Page 34: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/34.jpg)
MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
nxpjkmxnij ba B A
babababac nkink22ik1i1jk
n
1jijik
.......
mxpikcC
BAC nxpmxnmxp.
Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için ;1. matrisin sütun sayısı , 2.
matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.
olmak üzere; elemanları
toplamıyla bulunan matrisine A ve B
matrislerinin çarpımı denir ve biçiminde
gösterilir.
![Page 35: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/35.jpg)
10
43B
03
12AÖrnek: olduğuna göre A.B ve B.A’yı
bulalım.
![Page 36: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/36.jpg)
Çözüm:
129
96
1.04.30.03.3
1.14.20.13.2
10
43 .
03
12A.B
03
318
0.11.03.12.0
3.12.03.42.3
03
12 .
14
03B.A
Buna göre A.B ve B.A birbirine eşit değildir.
![Page 37: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/37.jpg)
MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
22. . A A O ve B O ve B O olduğu halde, A . B = O olabilir. O olduğu halde, A . B = O olabilir.
12
12A
22
11Bve olup;
00
00
2222
2222.BA dır.
11.Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B .Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B B . A B . A
![Page 38: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/38.jpg)
33. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde . A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır.yutan elemandır.
44. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.
5.5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [a A = [aijij]]m x n m x n ve B = [bve B = [bjkjk]]n x p n x p , C = [c, C = [cjkjk]]p x r p x r olmak üzere ;olmak üzere ;
A.(B .C) = (A .B) . C dir. A.(B .C) = (A .B) . C dir.
![Page 39: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/39.jpg)
6.6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.
a.a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; dağılma özelliği;
A = [aA = [aijij]]m x n m x n ve B = [bve B = [bjkjk]]n x p n x p , C = [c, C = [cjkjk]]n x p n x p olmak üzere ;olmak üzere ;
A.(B +C) = A .B + A . C dir.A.(B +C) = A .B + A . C dir.b.b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; dağılma özelliği;
A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler,
(A +B) C . = A .C + B . C olur.(A +B) C . = A .C + B . C olur.
![Page 40: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/40.jpg)
7.7. A = [a A = [aijij]]m x n m x n ve B = [bve B = [bjkjk]]n x p n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.
(k.B)=(k.A).B dir.(k.B)=(k.A).B dir.
8.. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir.
Örnek: veriliyor.A.B=B.C
olduğunu gösterelim.
41
13C ,
14
31B ,
46
23A
![Page 41: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/41.jpg)
22
11 .11
2222
1111
14
31 .
46
23A.B
2 2
1 1 . 11
22 22
11 11
4 1
1 3 .
4 6
2 3A.C
O halde A.B=A.C dir. Dikkat edilirse , A.B =A.C iken , B , C’ye eşit değildir.
Çözüm:
![Page 42: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/42.jpg)
KARE MATRİSİN KUVVETİ
Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. kN+ olmak üzere
A0 = In , A1 =A, A2 = A.A , A3 =A.A2 , ..., Ak =A.Ak-1 dir.
![Page 43: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/43.jpg)
BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.
A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir.
A.A-1 = A-1.A =In dir.
Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri
1. olmak üzere , n. sıradan bir A kare matrisinin
çarpma işlemine göre tersi varsa, 1-1- A . k
1 k.A)(
0-Rk
![Page 44: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/44.jpg)
1-11- A.BA.B)(
dc
baA
ac
bd
bcad
1A 1
2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri,
ve ise; 1A 1B
3. ise, dır.
Eğer ad-bc=0 ise, yoktur.1A
![Page 45: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/45.jpg)
BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ)
Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları
sütun haline getirmekle elde edilen matrisine
A matrisinin devriği denir ve AT veya Ad ile gösterilir.
mxnijaA
nxmjia
65
14
23
AA dT
612
543A matrisinin transpozu,
Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise;
1. 2. 3.A)(A TT TT BAB)A( TT A.k)A.k(
![Page 46: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/46.jpg)
Teorem: ve matrisleri için,
dir.
mxnijaA nxpjkbB
TTT A.B)B.A(
Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir.T11T )A()A(
..,543
211. bulalımmatrisleriniABiseBA TT
.
52
41
31
543
211... dirABiçinABBA
T
TTTTT
Örnek:Örnek:
Çözüm:Çözüm:
![Page 47: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/47.jpg)
Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal
1. = A ise, A matrisine, simetrik matris denir.
2. = -A ise A matrisine, antisimetrik matris denir.
3. = ise A matrisine, ortogonal matris denir.
TATATA 1A
Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun;
Örnek:
064
603
430
,53
32BA matrislerinin hangisinin
simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.
![Page 48: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/48.jpg)
Çözüm:
53
32A simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir.
064
603
430
B matrisi, antisimetrik matristir. Çünkü, AT = -A dır.
Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.
![Page 49: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/49.jpg)
DETERMİNANTLAR
Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir.
Örneğin; A=[7] matrisi için dir.
a11A a11
A
7A
Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı
aaaa
2221
1211A
aaaaaaaa
211222112221
1211 ..A dir.
![Page 50: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/50.jpg)
)......(A
tııdeterminan matrisinin A ibiçimindek 33:
231231133221332211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaaa
aaaaaa
aa
aaaaaaaaaaa
aaa
a
Tanım
. )......(211233113223312213
diraaaaaaaaa
82
63AÇözüm:
82
63A:Örnek
olduğuna göre , yı hesaplayalım. A
3.8-(-2).(-6) = 24-12 = 12 bulunur.
![Page 51: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/51.jpg)
ım.hesaplayal yı A göre, olduğldu
4-50
012
301-
A :Örnek
![Page 52: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/52.jpg)
bulunur. 34)000()0304(
2.0).4()1.(5.00.1.30.0.03.5.2)4.(1).1(
4-50
012
301-
A:Çözüm
![Page 53: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/53.jpg)
MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)
Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir.
ifadesine, elemanının kofaktörü yada işaretli minörü denir.
a ij
ijM
ijji
ij M.)1(A a ij
Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi olsun.
olmak üzere,
3M
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
A 3M
ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir.
131312121111AAAdet(A) aaa RM:D 3
![Page 54: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/54.jpg)
Örnek: determinantını hesaplayalım.29992997
30033001A
1a3a
3a1a
29992997
30033001A
A
Çözüm: 3000=a dersek, olur.
Buna göre, açılımını yapalım:
=(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8 bulunur.
![Page 55: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/55.jpg)
DETERMİNANT FONKSİYONU
Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi Mn olsun.
ile tanımlı
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= ifadesine de A matrisinin determinantı denir.
aaa
n
nn2n1n
n22221
n11211
M
aaaaaa
olmak üzere
n1n112121111A...AAAdet(A) aaa RM:D 3
A
![Page 56: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/56.jpg)
Örnek: değerini bulalım.4231
1210
1011
0201
A
![Page 57: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/57.jpg)
431
110
111
.)1.(2
423
121
101
.)1.(1A 42
Çözüm:
A = -1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) = -1.(-10)+2.(3)=16
bulunur.
A
![Page 58: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/58.jpg)
DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ
1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.
TAA A karesel matris ise, dir.
0-R cb,a,
111
cba
c22b2a
A
0A
determinantı verilmiş olsun.
Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır.
2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır.
![Page 59: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/59.jpg)
043
01-4
02-4
A =0 dır.
3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.
4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.
aaaaaaaaa
332211
33
2322
131211
..
00
0A (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.)
![Page 60: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/60.jpg)
6ba
d c 6
dc
ba ise dır. (1. Satır ile 2. Satır yer
değiştirmiştir.)
5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.
dc
kbkaAk.
dc
baA ise olur.
6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar.
![Page 61: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/61.jpg)
kbdkac
ba
dc
ba
dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra
eklenmiştir.)
7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.
![Page 62: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/62.jpg)
cbacba
cba zyx
A
333
222
111
Determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ;
cbacba
cbacbacba zyx
A
333
222
333
222
111
olur.
8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.
![Page 63: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/63.jpg)
3. Sıradan bir determinantta a11.A21+a12.A22+a13.A23 = 0 dır.
9) Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur.
4dc
baA 7
tz
yxBve 287.4.. BABA
BABA .. 10) N. Mertebeden A ve B matrisleri için, dir.
![Page 64: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/64.jpg)
EK MATRİS
Tanım: n. mertebeden kare matrisi verilmiş
olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise ; matrisine, A
matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.
nnijaA
*
TijA
![Page 65: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/65.jpg)
aaaaaaaaa
A
333231
232221
131211
AAAAAAAAA
AAAAAAAAA
T
A
332313
322212
312111
333231
232221
131211
matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma
göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır.
Örneğin;
Ek(A) , matrisek için matrisi A
ac
bd
dc
ba
İşaretleri değişir. Yerleri değişir.
![Page 66: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/66.jpg)
Ek Matris Özelliği
Yukarıdaki özelliği, A=
dc
bamatrisi için gösterelim:
adbc
bcad
adbdcdcd
ababbcad
ac
bd
dc
ba
0
0.
=(ad-bc) dııIA '.10
012
A .IA.Ek(A)=Ek(A).A=
![Page 67: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/67.jpg)
A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu:
0ATeorem: A matrisi olan bir matris olmak üzere,
A
AEkA )(1
‘dır.
İspat: A.Ek(A) =A.I eşitliğinin her iki tarafını, soldan A-1 ile çarpalım:
A
AEkA
AAAEkAAAEk
AAAEkAAAEkAA
)(
.)(..)(
..)(..)(..
1
11
111
![Page 68: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/68.jpg)
814
312
201
A matrisinin tersini bulalım.
olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım.
Örnek:
Çözüm:)det(
)(1
A
AEkA
olur.
1-1-6
104-
2211-
det(A)
Ek(A) A halde, O bulunur.olarak
1-1-6
104-
2211-
Ek(A) dıırvarA , olduğlduğu 01
814
312
201
)det(
1-
1-
A
dıır bc-ad
1
det(A)
Ek(A) A
; ise 0 bc- ad det(A) , matrisinde dc
ba:Sonuç
1-
ac
bd
![Page 69: KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012317/568135e7550346895d9d5b8b/html5/thumbnails/69.jpg)