Kontroll Automatik 2009

PROF. DR. GËZIM KARAPICI

Tiranë 2009

2

1 HYRJE NË SISTEMET E KONTROLLIT AUTOMATIK (SKA)

1.1 Hyrje

Kontrolli automatik është mekanizmi bazë me anën e të cilit, sistemet qofshin ato mekanike, elektrike apo biologjike, mbajnë ekuilibrin e tyre. Një nga sistemet tipike të kontrollit automatik gjendet tek gjallesat e në veçanti tek njeriu. Një ndryshim i temperaturës së njeriut me gjysëm grade në pergjithësi tregon shenja sëmundjeje. Mbajtja e temperaturën në kufijtë normale bëhet e mundur nga egzistenca e vetisë së brëndëshme të kontrollit që ka trupi i njeriut.

Kontrolli automatik mund të perkufizohet si përdorim i diferencës së sinjaleve, e përcaktuar nga krahasimi i vlerave aktuale të variablave të sistemit me ato të dëshëruarat, si mjete për kontrollin e sistemit. Një shembull që haset në jetën e përditëshme është kontrolli i shpejtësisë së automobilit, duke përdorur diferencën mdis shpejtësisë aktuale dhe asaj të dëshëruarës për të ndryshuar sasinë e lëndës djegëse. Meqenëse dalja e sistemit përdoret për të rregulluar hyrjen e tij, një sistem i tillë e merr emrin Sistem kontrolli i mbyllur.

Në këtë libër do të tregojmë se si të perdorim teorinë e kontrollit për analizën dhe projektimin e sistemeve të kontrollit automatik që perdoren gjërësisht në jetën e përditëshme e sidomos në industri.

3

1.2 Historiku i zhvillimit të automatikës

Kontrolli automatik është një displinë inxhinierike e si e tillë është i lidhur ngushtë me çdo fazë të zhvillimit të njerzimit. Zhvillimet themelore në historinë e njerëzimit që kanë çuar në progresin e kontrollit automatik mund të permblidhen si vijon: a) Preokupimi i grekëve të lashtë dhe arabëve për matjen e saktë të

kohës. Kjo periudhë shtrihet nga vitet 300 para erës sonë deri në vitet 1200 të erës sonë.

b) Revolucioni Industrial në Evropë që filloi në çerekun e tretë të shekullit të XVIII, megjithëse fillimet i ka rreth viti 1600.

c) Fillimi telekomunikacionit dhe Lufta e I-rë dhe e II-të botërore që pehin periudhën 1910 - 1945.

d) Fillimi i epokës së përdorimit të kompjutrave dhe eksplorimit të hapësirës që fillon nga viti 1957.

Orët me ujë të grekëve të lashtë dhe arabëve

Rreth vitit 270 p.e.s. greku Ktesibios shpiku rregullatorin e nivelit (Fig. 1-1).

Figura 1-1 Ora me ujë e Ktesibios

Uji rrjedh me prurje konstante nga rezervuari 1 në rezervuarin 2 që mat kohën në bazë të nivelit të lëngut. Niveli i ujit në rezervuarin 1 mbahet konstant (në mënyrë që uji të rrjedhë me prurje konstante) më anë të një valvole të komanduar nga një notues krejt i ngjashëm me ato që hasim sot në kasetat e banjove.

4

Një rregullator niveli u përdor nga Filoni (Philon) i Byzantit në vitin 250 p.e.s. për të mbajtur konstant nivelin e vajit në një llampë.

Në shekullin e parë të e.s. Heroni i Aleksandrisë ndërtoi rregullatorë të ndryshëm niveli për orët me ujë, për hapjen e dhe mbylljen automatike dyerve të tempujve (Fig.1-2), etj.

Figura 1-2 Rregullatori i Heronit të Aleksandrisë për hapjen dhe mbylljen automatike të dyerve të tempullit.

Në Fig.1-2 zgjerimi i ajrit të ngrohtë i prodhuar nga zjarri në altar ven nën presion ujin e një balloni që nëpërmjet të një sifoni mbush një kovë të varur. Ulja e kovës sjell hapjen e portave të tempullit. Në se zjarri shuhet, presioni në ballon zvogëlohet dhe uji kthehet mbrapsh në të, duke e zbrazur kovën. Atëhere pesha w duke rënë bën mbylljen e portave.

Nga viti 800 deri në vitin 1200 inxhinierë të ndryshëm arabë si Musai, Al-Jazari e Ibn al-Saati përdorën rregullatorët e nivelit për orët me ujë dhe aplikime të tjera. Revolucioni industrial Revolucioni Industrial në Europë u shqua me shpikjen e mullijve modernë të grurit, furrave, bojlerëve dhe motorrave me avull. Të gjitha këto paisje nuk mund të rregulloheshin me dorë e kështu lindën kërkesa të reja për Sistemet e Kontrollit Automatik. U shpikën kështu rregullatorët e nivelit, temperaturës, presionit e të shpejtësisë.

5

J. Watt shpiku motorrin me avull e së bashku me të dhe rregullatorin e shpejtësisë më 1769, dhe kjo datë shënon fillimin e Revolucionit Industrial.

Rregullatorët e Temperaturës

Rreth vitit 1624 hollandezi Cornelis Drebbel nga Holland shpiku një sistem kontrolli automatik të temperaturës së një furre, si dhe për inkubator zogjsh.

Rregullatorët e temperaturës u studjuan nga J.J. Becher në vitin 1680, dhe Prince de Conti and R.A.F. de Réaumur në 1754. Jo më vonë se viti 1777, një regullator temperature për qëllime industriale u realizua nga Bonnemain, që e përdori në një inkubator. Kjo pajisje u përdor më vonë në një furrë të një impjanti ngrohës me ujë të nxehtë.

Rregullatorët me notues

Regullimi i nivelit të një lëngu doli i nevojshëm aty nga fundi i vitit 1700, në bojlerin e një motorri me avull dhe në sistemet e shpërndarjes së ujit. Rregullatori i nivelit me notues paraqiti interes veçanërisht në Britani. Në librin e tij në vitin 1746, W. Salmon jep çmimet për rregullatorët e nivelit të rezervuarëve të ujit. Ky rregullator u përdor në tualetet rreth vitit 1775. Përdorimi më i hershëm i rregullatorit me notues është në një boiler me avull të patentuar nga J. Brindley në 1758. Ai e përdori atë në një motor me avull për pompim uji. S.T. Wood e përdori rregullatorin me notues për një një motor me avull të një fabrike birre në 1784. Në Siberi (Rusi), minatori i qymyrgurit I.I. Polzunov ndërtoi në 1765 rregullatorin me notues për një motor me avull që vinte në lëvizje ventilatorët e furrave me fryrje. Duke filluar nga viti 1791, kur u adaptua nga firma Boulton & Watt, rregullatori me notues u përdor gjerësisht në motorrët me avull.

Rregullatorët e presionit

Një problem tjetër që lidhet me motorrët me avull është ai mbajtjes konstant të presionit të avullit në bojlerat e tyre. Në vitin 1681 D. Papin shpiku një valvol sigurimi për një furnellë me presion, dhe në 1707 ai e përdori atë si pajisje kontrolli në një motor me avull. Që prej asaj kohe, ai u bë një pajisje standarde e motorrave me avull.

6

Rregullatori i presionit u përsos në vitin 1799 nga R. Delap dhe M. Murray. Në vitin 1803 regullatori i presionit u kombinua me rregullatorin me notues nga firma Boulton & Watt për tu përdorur në motorrët me avull.

Rregullatorët Centrifugalë

Në vitin 1788 Watt realizoi një rregullator centrifugal për kontrollin e shpejtësisë së motorrave me avull me lëvizje rrotulluese në dalje. Kjo pajisje përbëhet nga dy sfera që tentojnë të largohen nga njëra tjetra nga forca centrifugale. Me rritjen e shpejtësisë sferat ngrihen lart dhe mbyllin valvolën e avullit duke bërë që zvogëlohet shpejtësia e motorrit. Kështu, arrihej mbajtja konstant e shpejtësisë në mënyrë automatike.

Kontrolli automatik luan një rol mjaft të rëndësishëm në jetën tonë të përditëshme. Atë e gjejmë në elektroshtëpiaket, në kondicionerët, në raketat kozmike pa harruar dhe organizmin e njeriut.

Teoria e kontrollit automatik ashtu si të gjitha teoritë e tjera ka lindur nga praktika dhe njëkohësisht i ka hapur rrugën më tej kësaj praktike. Mjafton të përmendim që pasi doli rregullatori i parë centrifugal (1784) praktika shtroi detyrën e qëndrueshmërisë së SRA. Dolën në dritë me rradhë historikisht kriteret e qëndrueshmërisë së Rauthit (1870), Hurvicit (1870), Najkuistit (1932).

Deri nga viti 1950 analiza e SRA bëhej me metodën klasike, të bazuar me metodën e frekuencës dhe të vendit gjeometrik të rrënjëve. Me daljen në dritë të SRA me shumë variabla, teoria klasike që merrej me sistemet me një variabël u bë e pafuqishme. Kohët e fundit është përpunuar plotësisht teoria moderne e kontrollit me anën e së cilës analizohen plotësisht SRA e sotëm me shumë variabla.

Një ndihmë e konsiderueshme në studimin dhe në projektimin e SRA luajnë softwarët aplikativë si Matlab, Mathcad, Labview etj.

7

1.3 Përcaktime terminologjike

Si çdo displinë dhe disiplina e Kontrollit Automatik ka nevojë për disa përcaktime terminologjike dhe përkufizime mbi të cilat ngrihet e gjithë teoria e saj.

Sistem - quhet një kombinim hallkash (nyjesh) që bashkëveprojnë dhe realizojnë një objektiv të caktuar.

Ngacmim - Madhësitë fizike që veprojnë në hyrje të hallkës do t’i quajmë ngacmime, sinjale, madhësi në hyrje, shkaqe, kurse kundërveprimin e hallkës ndaj ngacmimit do ta quajmë madhësi në dalje, kundërveprim, pasojë.

Hallkë – do të quajmë një pjesë të caktuar të sistemit, ku hyrja përcakton daljen e jo anasjelltas, pra kemi veprim të orientuar hyrje-dalje. Konvencionalisht hallka është paraqitur në figurën 1-3, Në të cilën shigjetat tregojnë karakterin e orjentuar hyrje-dalje.

Figura 1-3 Paraqitja skematike e hallkës

Ngacmimet apo sinjalet që veprojnë në sistem mund të jenë ngacmime nga më të ndryshmet, qoftë nga natyra fizike, qoftë edhe nga forma e tyre si funksione të kohës. Në përgjithësi ngacmimet ndahen në:

Ngacmime (sinjale) reale

Ngacmime (sinjale) prove

Ngacmimet reale

Këta ekzistojnë aktualisht në sistem e që në të shumtën e rasteve është e pamundur të përshkruhen me saktësi në mënyrë matematike, madje të panjohur për ne kur jemi në fazën projektuese.

8

Ngacmimet e provës

Këto janë ngacmime (sinjale) të prodhuara në mënyrë artificiale nga njeriu të cilat nuk është e nevojshme të jenë të njëllojta me ato që veprojnë aktualisht në sistem, por janë hartuar në mënyrë të tillë që të jenë të thjeshta për t’u përshkruar matematikisht dhe të afta për gjykimin e sistemit në kushte reale. Sinjalet e provës më të përhapura janë:

(1) Funksioni shkallë njësi

Përkufizimi dhe paraqitja grafike e këtij funksioni që njihet dhe me emrin funksioni i Hevisajd-it jepet në Fig. 1-4.

⎩⎨⎧

≤>

=0,00,1

)(1tt

t

a) Paraqitja grafike b) Vetitë matematike Figura 1-4 -Funksioni njësi

(2) Funksioni impulsiv

Përkufizimi dhe paraqitja grafike e këtij funksioni që njihet dhe me emrin funksioni ( )tδ i Dirak-ut jepet në Fig. 1-5.

( )⎩⎨⎧

<>

=0000

t,t,

tδ

a) Paraqitja grafike b) Vetitë matematike

Figura 1-5 Funksioni impulsiv

(3) Funksioni i pjerrët njësi

Përkufizimi dhe paraqitja grafike e këtij funksioni jepet në Fig. 1-6.

9

⎩⎨⎧

≤>

=000

t,t,t

)t(p

a) Paraqitja grafike b) Vetitë matematike Figura 1-6 Funksioni i pjerrët njësi

(4) Funksioni parabolik njësi

Përkufizimi dhe paraqitja grafike e këtij funksioni jepet në Fig. 1-7.

⎩⎨⎧

≤>

=0002

)(2

t,t,/t

tp

a) Paraqitja grafike b) Vetitë matematike Figura 1-7 Funksioni parabolik impulsiv

(5) Funksionet periodike

Janë funksionet që gëzojnë vetinë ( ) ( )f t f t nT= + , ku n – është numër i plotë pozitiv, dhe T quhet perioda e funksionit. Nga të gjitha funksionet periodike më i rëndësishmi është ai sinusoidal. Në qoftë se në hyrje të një hallke lineare aplikohet një sinjal sinusoidal, dalja do të jetë po sinusoidale me të njëjtën frekuencë por me amplituda dhe me fazë të ndryshme që varen nga karakteristika e hallkës për frekuencën e dhënë. Pra sinjalet sinusoidale mund të përdoren me sukses si sinjale provë.

(6) Funksionet e rastit (sinjalet stokastike)

Funksionet e rastit apo sinjalet stokastike, mund të përshkruhen vetëm me anë të vetive të tyre statistikore, p.sh. për një tension të rastit duhet specifikuar probabiliteti që duhet të ketë në një çast të dhënë që vlera e tij të jetë midis V1 volt dhe V2 volt. Zhurmat e ndryshme në SRA, ndryshimet e rrymës së ngarkesës së gjeneratorëve në sistem etj. duhen

10

shikuar si funksione të rastit. Këto po luajnë një funksion të madh në studimin e SRA.

1.4 Sistemet e Kontrollit Automatik (SRA)

SRA është një bashkësi pajisjesh të cilat gjatë veprimit të ndërsjelltë tentojnë të mbajnë sipas një ligji të caktuar, pa ndërhyrjen e njeriut, disa madhësi fizike që do ti quajmë madhësi të rregulluara.

Vetë SRA mund të ndahet në disa hallka ose nyje. Kjo ndarje është konvencionale sepse dhe vetë një hallkë (një pjesë e sistemit të futur brenda një katërkëndëshi) mund të jetë e përbërë prej disa nënhallkash të tjera, ose vetë SRA në shqyrtim mund të jetë një hallkë e një SRA të ndërlikuar.

Ndarja e SRA në hallka megjithëse është konvencionale ajo nuk mund të jetë arbitrare, sepse duhet respektuar parimi i karakterit të orientuar të hallkës, që do të thotë që hallka e dytë e lidhur në dalje të hallkë së parë nuk duhet t’i prishë regjimin kësaj të fundit.

1.4.1 Skema funksionale e SRA me një hyrje e me një dalje

Më poshtë trajtohen dy shembuj hartimi skemash funksionale gjatë kontrollit të tensionit në gjeneratorët sinkronë.

Figura 1-8 Kontrolli me dorë i tensionit

Thamë që sistemin mund ta ndajmë (ose mund ta mendojmë të tillë) në hallka (nyje) te veçanta që bashkëveprojnë me njëra-tjetrën. Pikërisht

11

ky bashkëveprim pasqyrohet në skemën funksionale.Njeriu në Fig. 1-8 dëshiron të mbajë tensionin e gjeneratorit të pandryshueshëm 0GV . Voltmetri lejon të matet tensioni aktual i gjeneratorit GV . Njeriu shikon voltmetrin dhe në qoftëse konstaton se G GoV V< , atëherë ai rrit rrymën e eksitimit të eksituesit ie me anë të reostatit, çka sjell rritjen e tensionit të eksitimit të gjeneratorit Vf, rritje e cila shkakton rritjen e tensionit të gjeneratorit GV . Doreza e reostatit do të lëvizet nga njeriu deri sa G GoV V= . Veprimet e njeriut do të përsëriten në drejtim të kundërt në qoftë se konstatohet që G GoV V> .Duke bërë një ndarje hallkash të këtij sistemi kontrolli, ne mund të hartojmë skemën funksionale të tij si në figurën 1-9.

Figura 1-9 Skema funksionale e sistemit të kontrollit me dorë të tensionit

Pamë që njeriu ndërhyn me muskujt e tij për të lëvizur reostatin sa herë që shfaqet një 0G GV V VΔ = − që do ta quajmë gabim të sistemit të kontrollit dhe që këtej e tutje do ta shënojmë me ( )tε .

Është e qartë se në rast se do të zëvendësohej njeriu me një pajisje të tillë që do të kryente po atë punë, d.m.th. që të ndryshonte ( )fi t sa herë që shfaqet ( )tε , atëherë ky sistem kontrolli do të merrte emrin sistem i kontrollit automatik të tensionit (SRAT). Pajisja që do të zëvendësonte njeriun ka marrë emrin rregullator.

Nga arsyetimet e mësipërme del se rregullatori duhet të ketë “syrin” e tij (që e merr emrin organi matës) për të matur gabimin, “trurin” e tij (që e merr emrin element kompensues ose bllok algoritmik) që ta përpunojë gabimin sipas një ligji të dhënë, “muskujt e tij” (që e marrin emrin element amplifikues dhe zbatues).Duke vazhduar arsyetimin më tej SRA duhet të ketë një element të tillë që të krahasojë madhësinë e

12

dëshiruar Vgo me atë aktuale e të bëjë diferencën për të krijuar gabimin, i cili do të futet në hyrje të rregullatorit. Gjithashtu për të ndryshuar sipas dëshirës VGO, duhet parashikuar një organ që do të japë ligjshmërinë e kontrollit, që këtej e tutje do ta quajmë element dhënës. Duke i përmbledhur të gjitha arësyetimet e mësipërme nuk është e vështirë të arrihet në skemën funksionale të përgjithshme të SRA me një madhësi të rregulluar (figura 1-10), apo siç quhen dhe shpesh sisteme me një hyrje dhe me një dalje (NHND).

Figura 1-10 Skema standarde e SRA me një hyrje e me një dalje

Le t’i shqyrtojmë me rradhë hallkat e ndryshme të SRA.

1. Objekti i Kontrollit - Proçesi

a) Paraqitja e përqëndruar b) Paraqitja më e hollësishme

Figura 1-11 Objekti i kontrollit (Proçesi)

Objekti i Kontrollit (Proçesi) është ajo hallkë e SRA e lidhur drejtpërsëdrejti me madhësinë e rregulluar y(t). Në hyrje të objektit të kontrollit veprojnë dy ngacmime:

a) Ngacmimi shqetësues, që tenton të shmangë y(t) nga vlera e dëshiruar v(t).

13

b) Ngacmimi rregullues, u(t) që tenton të kompensojë shmangiet e y(t) nga v(t) e që vjen nga elementi zbatues (përforcues) i rregullatorit.

2. Rregullatori

Ky përbëhet nga tre hallka: 1. Blloku algoritmik, 2. Elementi dhënës, 3. Nyja krahasuese.

Le t’i analizojmë me radhë këto hallka: Blloku algoritmik

Ky është truri i SRA dhe ka për detyrë të përpunojë gabimin ε(t) në mënyrë të përshtatëshme duke e dërguar në hyrje të elementit zbatues-përforcues. Në dalje të këtij të fundit përftohet sinjali u(t) që do të sjellë ndryshimet e nevojshme të y(t) me qëllim përfundimtar përputhjen e y(t) me v(t).

Figura 1-12 Blloku algoritmik dhe zbatues

Elementi dhënës

Me anën e tij futet një ngacmim referues r(t) i përshtatshëm sipas vlerës së dëshiruar për y(t).

Figura 1-13 Elementi dhënës Figura 1-14 Nyja krahasuese

Nyja krahasuese

Këtu bëhet diferenca e r(t) me z(t) duke krijuar një sinjal:

14

( ) ( ) ( )t r t y tε = −

i cili quhet gabimi i SRA. Gabimi i SRA futet në nyjen e bllokut algoritmik.

3. Lidhja e kundërt kryesore

Me anë të saj bëhet matja e y(t) dhe përpunimi i tij në një sinjal të lidhjes së kundërt z(t) të përshtatshëm për një nyje krahasuese.

Figura 1-15 Lidhja e kundërt kryesore

Parimi i punës së SRA del qartë nga skema funksionale. Me të vërtetë nga skema funksionale kemi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2t r t z t k v t k y tε = − = − (1-1)

Në regjim të vendosur ( ∞→t ),rregullatori tenton të çojë ( ) 0ε ∞ → . Pra nga (1-1) kemi:

( ) ( ) ( ) ( )11 2

2

0 kk v k y y vk

= ∞ − ∞ ⇒ ∞ = ∞ (1-2)

Në qoftë se zgjedhim ( ) ( )1 2 ,k k y v= ∞ = ∞ , rrjedhimisht SRA në mënyrë automatike përputh madhësinë e rregulluar me vlerën e dëshiruar.Duhet të theksojmë se një SRA real çfarëdo mund të jetë më shumë ose më pak i komplikuar se ai i paraqitur në figurën 1-11. Kështu për shembull në qoftë se disa ngacmime shqetësuese d1(t), d2(t),…., futen në pika të ndryshme të SRA, atëherë duhen përcaktuar edhe elementet hyrëse të ngacmimeve përkatëse shqetësuese. Po kështu mund të zgjerohen edhe aspektet e tjera të skemës së dhënë.Vlen të përmendet gjithashtu se emërtimet e bëra jo gjithnjë përputhen me ato të dhëna nga literatura. Kështu për shembull blloku algoritmik shpesh në literaturë emërtohet rregullator. Në disa raste të tjera bëhen edhe grupime hallkash që ndryshojnë me grupimin e pranuar në këtë tekst. Sigurisht që këto ndryshime emërtimesh dhe

15

grupimesh janë të dorës së dytë për nga rëndësia mbasi themelore është të mos humbasë bashkëveprimi real i hallkave fizike të sistemit.Dhe tani jemi në gjendje që skemën e figurës 1-9 ta automatizojmë duke vënë në vend të njeriut rregullatorin (Fig. 1-16 a).

Figura 1-16 SRA të tensionit të GS

Nga figura 1-16a nuk është vështirë të kalojmë në skemën funksionale (Fig 1-16b).

1.4.2 Sistemet me shumë hyrje e me shumë dalje

Prodhimi dhe transmetimi i energjisë elektrike kërkon gjithnjë e më me forcë kontrollin automatik të proçeseve të prodhimit. Gjithashtu kontrolli automatik në çentrale, me qëllim që të prodhohet energji me minimumin e kostos, është bërë një domosdoshmeri e diteve tona. Kjo gjë kërkon marrjen parasysh të sa më shumë faktorëve ndikues. Kështu si nevoja të praktikës lindën “sistemet me shumë variable” apo

16

sistemet me shumë hyrje e me shumë dalje të kontrollit automatik, që në kohën e sotme kërkojnë patjetër një kompjuter që të luaj rolin e rregullatorit.

Figura 1-17 SRA optimal i prodhimit të energjisë në TEC

Në figurën 1-17 është treguar në mënyrë të thjeshtuar një SRA i tillë që shërben për prodhimin optimal (me minimum të kostos) të energjisë elektrike në një TEC(Termo Elektro Central).

Duke u nisur nga sa u tha në §1.4, e duke pasur parasysh dhe skemën funksionale të figurës 1-17, ne mund të kalojmë lehtë në kuptimin e hallkës dhe të sistemit të kontrollit me shumë hyrje e me shumë dalje (Fig. 1-18 dhe Fig. 1-19 respektivisht).

Në hyrje të hallkës (apo sistemit) SH.H.SH.D nuk vepron më ngacmimi skalar por vektori:

[ ]1 2 mu u u= Tu L (1-3)

17

që përfaqëson bashkësinë e m ngacmimeve në hyrje. Në dalje të hallkës SH.H.SH.D kemi jo me daljen skalare por vektorin:

1 2 py y y⎡ ⎤= ⎣ ⎦T

y L (1-4)

M M

Figura 1-18 Hallka me shumë hyrje dhe shumë dalje

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

qr

rr

M2

1

r

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

py

yy

M2

1

y

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

pz

zz

M2

1

z

[ ]Tmuuu L21=u

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

qd

dd

dM2

1

Figura 1-19 Skema funksionale e përgjithësuar e një SRA me SH.H.SH.D.

Në figurën 1-19 është treguar skema funksionale e përgjithësuar për një SRA me SH.H.SH.D. Detyra e rregullatorit në këtë sistem në ngjajshmëri me ato që thamë në paragrafin 1.4, është që në bazë të krahasimit të vektorit referues ( )tr me vektorin ( )tz që vjen nga lidhja e kundert kryesore, të përcaktojë një vektor të përshtatshëm ( )tu kontrolli, me qëllim që vektori i madhësive të rregulluara ( )ty të ndjekë me saktësi inxhinierike vektorin referues ( )tr .Në fig. 1-20 me vektorin ( )td kemi përfaqësuar një bashkësi ngacmimesh shqetësuese që veprojnë në sistem e që mund të jenë të natyrave të ndryshme fizike.

18

1.5 Ndarja e SRA

Me poshtë po rreshtojmë disa nga ndarjet më të përhapura të SRA.

1. Sipas llojit të ngacmimit referues ( )r t const= – SRA quhet sistem i stabilizimit automatik

( )r t një funksioni njohur− – SRA quhet sistem i programimit automatik.

( )r t e panjohur= n – SRA quhet sistem ndjekës.

2. Sipas mënyrës së komunikimit me burimet e jashtme

Sipas mënyrës së komunikimit me burimet e jashtëme sistemet ndahen në:

Sisteme me veprim të drejtpërdrejtë, të cilat nuk komunikojnë me burime të jashtme. Në kohën e sotme numri i tyre sa vjen e zvogëlohet.

Sisteme me veprim të tërthortë kur komunikojnë me burime të jashtme. Këto janë dhe më të përhapurat.

3. Sipas regjimit të punës

Sipas regjimit të punës sistemet ndahen në: Sistemet me veprim të vijueshëm, ku në çdo hallkë të SRA

marrëdhëniet hyrje dalje janë të vijueshme. Sistemet diskrete, në të cilët të paktën ekziston një madhësi

fizike në formë impulsesh. 4. Sipas natyrës së karakteristikës së kontrollit

Karakteristika madhësi e rregulluar - ngacmim shqetësues për regjim të stabilizuar d.m.th. ( ) ( ( ))y f d∞ = ∞ , njihet me emrin karakteristikë kontrolli (Fig. 1-20).

19

Figura 1-20 Karakteristikat e kontrollit të SRA.

Dallojmë dy raste:

a) 0( )y y const∞ = = – sistemi quhet astatik b) 0( ) ( )y y kd∞ = + ∞ – sistem quhet statik

5. Sipas natyrës së ekuacionit diferencial që përshkruan SRA

Në rast se ekuacioni diferencial është linear, sistemi quhet linear.Në qoftë se SRA përshkruhet nga ekuacioni diferencial jolinear, ai quhet SRA jolinear.

1.5.1 Sistemet e kompensimit automatik

Duke qenë se ngacmimi shqetësues d(t) është shkaktari i prishjes së ligjshmërisë së madhësisë së rregulluar y(t), u mendua që ky ngacmim të matet e të perpunohet në mënyrë të tillë që ngacmimi i përpunuar u(t) të shkaktojë ndryshime të kundërta me ato që jep d(t). Skema funksionale e një sistemi të tillë që e merr emrin sistem i kompensimit automatik jepet në Fig. 1-22.

Figura 1-21 Skema funksionale e sistemit të kompensimit

20

E mira e këtyre sistemeve qëndron së thjeshtësinë e tyre. Megjithatë ato kanë preçizion të ulët mbasi në objektin e kontrollit nuk vepron vetëm një ngacmim shqetësues, madje shpesh këto ngacmime as nuk mund të maten.Një skemë konkrete e realizimit të sistemit të kompensimit është ajo e kompaundimit të gjeneratorit sinkron (Fig. 1-23) në të cilën ngacmimi shqetësues është rryma Gi e ngarkesës së GS.

Figura 1-22 Kompaundimi në G.S.

Bashkëpunimi i sistemit të kompensimit automatik me SRA jep sistemin e kombinuar(Fig. 1-24). Pjesëmarrja e sistemit të kompensimit automatik bën që luhatjet e y(t) të zvogëlohen dhe rrjedhimisht lehtësohet puna e SRA, duke bërë që ky i fundit të dalë më ekonomik.

Figura 1-23 Sistemi i kombinuar

Konceptet mbi ndarjet e sistemeve u dhanë me ilustrime për sistemet me një hyrje e me një dalje, por ato vlejnë edhe për sistemet me shumë hyrje e me shumë dalje.

21

2 MODELET MATEMATIKE TË SISTEMEVE TË KONTROLLIT

2.1 Kuptime të përgjithshme

Me qëllim që të kuptohet puna e një SKA, duhet të fitohet modeli matematik i tij, që paraqet mardheniet sasiore ndërmjet variablave që bëjnë pjesë në të. Modeli matematik i një sistemi është i nevojshëm për të kuptuar dinamikën e tij. Pa një model të përshtatshëm e të saktë të objektit të kontrollit, nuk mund të bëhet sinteza e rregullatorit që duhet për të rregulluar në mënyrë automatike proçesin në objekt.

Modelet matematike mund të ndërtohen në rrugë të ndryshme. Ato mund të ndërtohen në rrugë thjesht teorike, në rrugë thjeshtë empirike nëpërmjet eksperimenteve ndaj sistemit ekzistues, ose me anë të një kombinimi të drejtë midis dy rrugëve të para.

Ndërtimi teorik i modeleve matematike bëhet i nevojshëm në rast se eksperimentet në një objekt janë krejt të pamundura.Në rast se objekti nuk ekziston atëherë rruga e vetme për ndërtimin e modelit matematik është ajo teorike. Në këtë rast saktësimi i modelit do të bëhet pas ndërtimit të objektit.

Ndërtimi eksperimental i modeleve matematike që njihet me emrin identifikim bazohet në matjet e bëra për hyrjet dhe daljet e sistemit që i nënshtrohen eksperimentit. Matjet pastaj vlerësohen me anën e një

22

proçedure të posaçme identifikimi që na jep si rezultat modelin matematik të sistemit.

Hartimi i modelit matematik zakonisht kërkon thjeshtime të ndryshme. Në veçanti gjatë analizës teorike, këto thjeshtime bëhen me qëllim që të evitohen ndërlikimet panevojshme. Rrjedhimisht aspekti i saktësisë së modelit merr mjaft rëndësi dhe kjo gjë zgjidhet në baza të një kompromisi midis saktësisë së pranueshme dhe shkallës së ndërlikimit të modelit.Modelet mund të ndahen si më poshtë:

Modele me parametra të shpërndarë, dinamika e të cilave përshkruhet nga ekuacione me derivate të pjesshme parabolike eliptike hiperbolike.

Modele me parametra te përqendruar, ku sjellja e sistemit përshkruhet me ndihmën e ekuacioneve me derivate të zakonshme lineare apo jolineare.

Shpesh për lehtësi modelet me parametra të shpërndarë me anë të diskretizimit në hapësirë mund të transformohen me parametra të përqëndruar.Modelet me parametra të përqëndruar nga ana e tyre ndahen në:

1. Modele të vijueshme, që përshkruhen nga ekuacione diferenciale;

2. Modele diskrete, që përshkruhen nga ekuacione me diferenca Tipi a mund të kalojë në tipin b me anë të diskretizimit në kohë. Gjithashtu modelet ndahen në:

Modelet stokastike, ku mardhëniet ndërmjet variablave jepen me terma statistikore.

Modelet deterministike, ku probabilitetet e ngjarjeve nuk shfaqen.

Modelet deterministike nga ana e tyre ndahen në: Modele parametrike, siç janë ekuacionet algjebrike diferenciale,

funksioni transmetues, etj. Modelet joparametrike, siç është për shembull përgjigja

kalimtare. Duhet shënuar se nga modeli joparametrik mund të kalohet në modelin parametrik në bazë të metodave të ndryshme të identifikimit.

23

Së fundi, modelet mund të klasifikohen në: a) Dinamike b) Statike

Sjellja statike e një sistemi përfshihet gjithnjë nga sjellja dinamike e tij. Megjithatë shpesh kur dinamika e sistemit është mjaft e shpejtë, atëherë ajo mund të mos merret parasysh.

Para se të kalohet në modelet matematike të sistemeve me shumë hyrje e shumë dalje (SH.H.SH.D.), është e natyrshme të trajtohen me parë ato me një hyrje e me një dalje (N.H.N.D.). Modelet matematike për sistemet me një hyrje e me një dalje kanë rëndësinë e tyre, jo vetëm se ka shumë të tillë, por çka është më e rëndësishme, kurrë nuk mund të arrihet të ndërtohet një model i një sistemi të ndërlikuar pa u ndërtuar më parë modelet e nyjeve përbërëse të tij. Nën këtë prizëm një sistem me një hyrje e me një dalje mund të shihet si një tullë përbërëse e ndërtesës së sistemit kompleks. Kështu pra, modeli i sistemit me një hyrje e me një dalje do të jetë etapa e parë për kuptimin dhe për ndërtimin e modeleve të sistemeve të ndërlikuara.

2.2 Modelet matematike për sistemet N.H.N.D.

2.2.1 Metodat operatore dhe të frekuencës

Në këtë paragraf do të bëhet fjalë për sistemet e vijueshme, dinamika e të cilave përshkruhet nga një ekuacion diferencial linear me koefiçienta të pandrushueshëm.Për analizën e këtyre sistemeve, shndërrimi i Laplasit luan një rol mjaft të rëndësishëm.Me anën e këtij shndërrimi kalohet në një nga modelet më të njohura e mjaft të përshtatëshme për sistemet N.H.N.D. në funksionin transmetues. Koncepti i funksionit transmetues është bazë për përdorimin e metodës operatoriale, apo shndërrimit të Laplasit për analizën e SKA.

Krahas metodës operatoriale, me instrumentat e saj “Metodën strukturore” e “Grafet e sinjaleve”, “Metoda e frekuencës” është një

24

nga më të rëndësishmet për studimin e SKA. E mira e kësaj metode e cila në vend të funksionit transmetues përdor karakteristikën amplitudo fazore (KAF), konsiston në analizën e SKA duke u nisur nga të dhëna të drejtpërdrejta eksperimentale. Kështu duke njohur KAF të sistemit të hapur, që mund të përcaktohet eksperimentalisht, mund:

Të gjykohet qëndrueshmëria e S.R.A. (kriteri i Najkuistit) Të ndërtohet funksioni transmetues (identifikim) Të ndërtohet proçesi kalimtar (shndërrimi i kundërt i Furjesë) pa

pasur nevojë të zgjidhet ekuacioni diferencial. Megjithëse dalja në dritë e kompjuterave e ngushton zonën e përdorimit, si të metodës operatoriale, ashtu edhe të frekuencës, ato nuk e humbasin rëndësinë e tyre, sidomos kur kërkohet një gjykim i shpejtë cilësor e në një farë shkalle dhe sasior mbi sjelljen e sistemit. Për sistemet N.H.N.D. edhe sot e kësaj dite keto dy metoda nuk e kanë humbur aktualitetin.

2.2.2 Trasformimi i Laplace-it

Shembujt për sistemet dinamike (Fig. 2-1) tregojnë që zhvillimi në kohë mund të përfaqësohen me modele matematike lineare stacionare (parametra konstante) të tipit ekuacione diferenciale lineare të zakonshme të rendit n:

1 1

1 0 1 01 1

n n m m

n n m mn n m m

d y d y d u d ua a a y b b b udt dt dt dt

− −

− −+ + + = + + +− −

L L (2-1)

Figura 2-1 Paraqitja skematike e një hallke

Për studimin e këtyre sistemeve, duhet të zgjidhim ekuacione të këtij tipi, d.m.th. të dimë të llogarisim një funksion y(t) që e vërteton. Është e nevojshme pra njohja e vetive e të procedurave të zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale lineare, në veçanti të ekuacioneve

25

diferenciale lineare me koeficiente konstante. Kjo natyrisht është një procedurë e vështirë.

Një mënyrë më e thjeshtë për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale është përdorimi i Trasformimit të Laplace-it, për të cilin duhet të fusim konceptin e numrit kompleks e të funksionit të variabëlit kompleks.

Trasformimet e Laplace-it, bëjnë të mundur zgjidhjen relativisht thjeshtë të ekuacioneve diferenciale të zakonshme, si dhe lidhjen direkte të zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale me teknika të analizës harmonike, një mjet tjetër mjaft i rëndësishëm për analizën e sistemeve dinamike.

Funksionet e variablit kompleks

Duke bërë shndërrimin e Laplasit të të dy anëve e duke i supozuar të gjitha kushten fillestare baraz me zero, arrihet:

1 1

1 0 1 01 1

n n m m

n n m mn n m m


− −

− −+ + + = + + +− −

L L (2-2)

Në transformimet e Laplace-it, përdoren variabla komplekse s ∈ , ku – bashkësia e numrave komplekse, të cilët mund të paraqiten si pika

të një plani (plani i Gauss-it), në koordinatat reale e imagjinare (Fig.2-2).

Figura 2-2 Paraqitja e numrit kompleks në planin s (Plani i Gauss-it)

Një numër kompleks s mund të shprehet në format e mëposhtëme:

26

arctan( )

Re( ) Im( ) Forma karteziane (algjebrike)

Forma polarej j

s s j s j

s s e eω

ϕσ

σ ω

ρ

= + = + ⇒⎧⎪⎨

= = ⇒⎪⎩(2-3)

Në formën karteziane (algjebrike):

{ }Re sσ = - pjesa reale e numrit kompleks

{ }Im sω = – pjesa imagjinare e numrit kompleks

Në formën polare:

sρ = – m oduli (amplituda) e numrit kompleks

{ }{ } { }Im

arctan argRe

ss

sϕ

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦–argumenti (faza) e numrit

kompleks Nga marrëdhënia:

cos sinje jϕ ϕ ϕ= + (2-4)

nxirren formulat e mëposhtme për kalimin nga forma polare në formën karteziane e anasjelltas.

2 2

2 2

cos ; sin

; arctan arcsin

σ ρ ϕ ω ρ ϕω ωρ σ ω ϕσ σ ω

= =⎧⎪⎨ = + = =⎪ +⎩

(2-5)

Një funksion i variablit kompleks w(s) në formën e tij algjebrike mund të shprehet:

( ) ( ) ( ), ,w f s u j vσ ω σ ω= = + (2-6)

ku:

( ),u σ ω - pjesa reale e w

( ),v σ ω - pjesa imagjinare e w

dhe vendos një korrespondencë biunivoke ndërmjet pikave të dy planeve: planit Gauss të variablit të pavarur s e atij të variablit të varur w.

27

Figura 2-3 Korrespondenca midis funksionit w dhe variablit kompleks s

Për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale kanë rëndësi transformimet funksionale, dmth transformime që lidhin funksionet me funksionet siç transformimi i Laplace-it. Transformimet funksionale vendosin një korrespondencë biunivoke ndërmjet funksionit objekt, normalisht funksione të kohës, e funksioneve përfytyrim të një natyre tjetër. Operacionet e kryera mbi funksionet objekt, si për shembull derivimet, u korrespondojnë operacione më të thjeshta mbi funksionet përfytyrim dhe problemit objekt i bashkëngjitet problemi përfytyrim që mund të zgjidhet më lehtë. Nga zgjidhja përfytyrim kalohet pastaj në zgjidhjen objekt (antitransformimi ose transformimit të kundërt). Transformimi i Laplace-it i një ekuacioni diferencial ose integro-diferencial transformohet në një ekuacion algjebrik, që zgjidhet më lehtë se ai origjinal.

Figura 2-4 Procedura e zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale me anën e Transformimit të Laplace-it

28

Transformimi i Laplace-it lidh në mënyrë biunivoke një funksion të kohës ( )f t real ose kompleks me një funksion F(s) të variablit kompleks s.

( ) ( ) ;( )

sf t F s

F s∈⎧

⇔ ⎨ ∈⎩ (2-7)

ku - bashkësia e numrave komplekse.

Në Trasformimin e Laplace-it përdoret shënimi i mëposhtëm:

[ ]( ) ( )F s f t= L (2-8)

që ka kuptimin: “F(s) është transformimi i Laplace-it i ( )f t :

Për biunivocitet të korrespondencës, mund të shkruajmë:

[ ]1( ) ( )f t F s−= L (2-9)

që ka kuptimin: ( )f t është antitransformimi i Laplace-it i ( )F s . Transformimi dhe antitransformimi i Laplace-it përcaktohen nga marrëdhënjet:

0

( ) ( )

1( ) ( )2

c

c

st

jst

j

F s f t e dt

f t f s e dsj

σ

σπ

∞−

+ ∞

− ∞

⎧= ⋅⎪

⎪⎨⎪ = ⋅⎪⎩

∫

∫ (2-10)

ku mund të provohet që në se integrali i dytë ekziston për

c c cs jσ ω= + , atëhere ai ekziston për çdo vlerë s jσ ω= + , ku

cσ σ≥ (Fig. 2-5).

Figura 2-5 Zona e konvergjencës së integralit të Laplace-it

29

Transformimi përcaktohet në një zonë D të planit s . D quhet zonë e konvergjencës dhe abshisa cσ quhet abshisë e konvergjencës. Për shumë funksione σc = 0, pra gjysmë plani i djathtë s. Shembull 2-1 Funksioni shkallë njësi, i vlerësuar për s reale (s = σ):

[ ]0 0

1 0( ) 1( )

0 0

( ) 1( ) 1tt

t

t

tf t t

t

eF s t e dtσ

σ

σ

=∞∞ −−

=

⎧ >⎧= = ⎨⎪ ≤⎩⎪

⎨⎪ = = ⋅ =⎪⎩

∫L

(2-11)

është konvergjent për σ > 0, pra σc = 0.

Kushtet e nevojshme që një funksion ( )f t të pranojë trasformim sipas Laplace janë:

1. ( )f t = 0 për t<0; 2. ( )f t të jetë e kufizuar: pra për çdo vlerë to të fundme të

egzistojë një konstante M1 e tillë që:

1 0( ) ; 0f t M t t< ≤ ≤ (2-12)

3. ( )f t të jetë e vazhdueshme në një numur të fundëm segmentesh kohore për 0t > .

Veti të transformimit të Laplace-it

Lineariteti

Në se c1 dhe c2 janë konstante komplekse arbitrare dhe

( ) [ ]( ) [ ]

1 1

2 2

( )

( )

F s f t

F s f t

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

L

L (2-13)

ka vend marrëdhënja:

[ ] ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )c f t c f t c F s c F s+ = +L (2-14)

30

Për vlera të konjuguara të variablit kompleks s, funksioni F(s) merr vlera të konjuguara:

* *( ) ( )F s F s= (2-15) Shkallëzimi

1( ) sf at Fa a

⎛ ⎞⇔ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2-16)

Zhvendosja në kohë

00 0( ) ( ) ( ) stt t f t t F s e−− − ⇔1 (2-17)

Zhvendosja në frekuencë

00( ) ( )s tf t e F s s⇔ − (2-18)

Konvolucioni në kohë

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b

a

f t f t f f t d F s F sτ τ τ∗ = − ⇔ ∗∫ (2-19)

Derivimi

1 2 (1) ( 1)( ) (0 ) (0 ) (0 )n

n n n nn

d y s F s s f s f fdt

− − − − − −⇔ − − − −L (2-20)

Për kushte fillestare zero ka vend:

( )n

nn

d y s F sdt

⇔ (2-21)

Integrimi

0

( )( )t F sf d

sτ τ

−

⇔∫ (2-22)

Teorema e vlerës fillestare (0 ) lim ( )

sf sF s+

→∞= (2-23)

Teorema e vlerës përfundimtare

0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s→∞ →

= (2-24)

31

Në tabelën e mëposhtëme jepen sinjale tipike për analizën e SRA, paraqitjet në funksion të kohës dhe transformimet e tyre të Laplasit.

Tabela 2-1 Funksionet elementare dhe Transformimi i Laplasit

FUNKSIONI PARAQITJA GRAFIKE TRANSFORMIMI I LAPLASIT

Impuls i

Dirakut [ ]0

1 0( ) ( )

0 0

( ) ( ) ( ) 1st

tf t t

t

F s t t e dt

δ

δ δ∞

−

=⎧= = ⎨ >⎩

= = =∫L

Shkallë njësi [ ]

{ }0

0

1 0( ) 1( )

0 0

( ) 1( ) 1

1 1

st

st st

t t

tf t t

t

F s t e dt

e es s

∞−

− −

→∞ =

>⎧= = ⎨ ≤⎩

= = ⋅

= − − =

∫L

i Pjerrët njësi

[ ] 20

0( ) 1( )

0 0

1( ) 1( ) st

t tf t t t

t

F s t t t e dts

∞−

>⎧= = ⎨ ≤⎩

= = ⋅ =∫L

Parabolik njësi

22

2 2

30

2 0( ) 1( )

2 0 0

1( ) 1( )2 2

st

t ttf t tt

t tF s t e dts

∞−

⎧ >= = ⎨

≤⎩⎡ ⎤

= = ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫L

32

FUNKSIONI PARAQITJA GRAFIKE TRANSFORMIMI I LAPLASIT

Eksponencial

0

0( ) 1( )

0 0

1( ) 1( )

atat

at at st

e tf t t e

t

F s t e e e dts a

∞−

⎧ >= = ⎨

=⎩

⎡ ⎤= = ⋅ =⎣ ⎦ +∫L

Sinusoidal [ ]

2 20

sin 0( ) 1( )sin

0 0

( ) 1( )sin

sin st

t tf t t t

t

F s t t

t e dts

ωω

ω

ωωω

∞−

>⎧= = ⎨ =⎩=

= ⋅ =+∫

L

Kosinusoidal [ ]

2 20

cos 0( ) 1( )cos

0 0

( ) 1( ) cos

cos st

t tf t t t

t

F s t t

st e dts

ωω

ω

ωω

∞−

>⎧= = ⎨ =⎩=

= ⋅ =+∫

L

Pothuaj të gjitha transformimet e Laplasit të funksioneve më të përdorshme në analizën e sistemeve lineare mund të nxirren duke përdorur marrëdhënjen e mëposhtëme:

( ) 1

!n atn

nt es a +

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ −L (2-25)

ku • n është një numur i plotë çfarëdo pozitiv • a është konstante reale ose komplekse

Të mos harrojmë se shprehjet e funksioneve që do të transformohen janë identikisht zero për 0t ≤ , për rrjedhojë mund të kenë jovazhdimësi për t = 0.

33

Në tabelën e mëposhtëme paraqiten transformimet e Laplasit për një sërë funksionesh kohore më të pëhapura në analizën e SRA.

FUNKSIONI I KOHËS TRANSFORMIMI I LAPLASIT

( )f t 0

( ) ( ) stF s f t e dt∞

−= ⋅∫

( )tδ (impulsi i Dirakut) 1

1(t) (funksioni shkallë njësi) 1s

t 1(t) (funksioni shkallë njësi) 2

1s

( )11

1 !nt

n−

− 1

ns

1(t-a) (funksioni shkallë njësi për t=a) 2

1 ases

−

ate− 1

s a+

1 t

e τ

τ−

1 1

1 1s sτ

τ τ=

+ +

( )11

1 !n att e

n− −

− 1 n

s a⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )11

1 !

tn

n t en

τ

τ−−

− 1

1

n

sτ⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

1 ( )at bte eb a

− −−−

( )( )1

s a s b+ +

1 2

1 2

1 t t

e eτ τ

τ τ

− −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠

( )( )1 2

11 1s sτ τ+ +

( ) ( )1 at bta e b eb a

β β− −⎡ ⎤− − −⎣ ⎦−

( )( )( )

ss a s b

β++ +

34

FUNKSIONI I KOHËS TRANSFORMIMI I LAPLASIT

( )f t 0

( ) ( ) stF s f t e dt∞

−= ⋅∫

1 2

1 2 1 2

1 1 1t tT Te eτ τ

τ τ τ τ

− −⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

( )( )1 2

11 1

Tss sτ τ+

+ +

sin tω 2 2sω

ω+

cos tω 2 2

ss ω+

Shembull 2-2

Gjeni transformimin e Laplace-it të funksionit 2 3( ) 5 7 cos 4 ; 0t tf t te e t t− −= + >

Zgjidhje Në bazë të vetisë së linearitetit dhe duke ju referuar tabelës së mësipërme, fitojmë

( )( )

( )2 2 2

7 35( )2 3 4

sF s

s s

+= +

+ + +

Shembull 2-3

Gjeni transformimin e Laplace-it të funksionit të dhënë në Fig. 2-6

Figura 2-6 Grafiku i ( )f t

35

Zgjidhje Sinjali mund të mendohet si shumë e një ngacmimi shkallë njësi me një ngacmim të pjerrët njësi të zhvendosur në kohë (me vonesë kohe 5 sek) siç tregohet në figurën e mëposhtme: .

Figura 2-7 Zbërthimi i ( )f t në shumë dy funksionesh

( ) ( ) ( ) [ ]1 2 1( 5) 1( 5) ( 5)f t f t f t t t t= + = − + − −

Duke kaluar sipas Laplace-it e duke ju referuar tabelës së mësipërme kemi:

5 55 5

1 2 2 2 2

1 1 1( ) ( ) ( )s s

s se e sF s F s F s e es s s s s

− −− −+⎛ ⎞= + = + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Funksioni transmetues

Siç e kemi parë dhe në (2-1), një model matematik i një sistemi dinamik linear e stacionar (konstantet e ekuacionit diferencial nuk varen nga koha) mund të shprehet me anën e një ekuacioni diferencial i tipit:

1 1

1 0 1 01 1

n n m m

n n m nn n m m


− −

− −+ + + = + + +− −

L L (2-26)

Për kushte fillestare zero ka vend:

( ) ; 0,1, ,i

ii

d y s F s i ndt

⇔ = L (2-27)

Duke bërë transformimin e Lapalce-it për kushte fillestare baras me zero do të kemi:

( ) ( )1 11 0 1 0( ) ( )n n m m

n n m na s a s a Y s b s b s b U s− −− −+ + + = + + +L L (2-28)

36

Përkufizime


Me funksion transmetues të një hallke apo një sistemi do të quajmë raportin e përfytyrimeve sipas Laplace-it të daljes ndaj hyrjes:

( )( )

11 0 0

11 0

0

( )( )( )

mj

m m jm n j

nn nin n

ii

b sb s b s bY sG sU s a s a s a a s

−− =

−−

=

+ + += = =

+ + +

∑

∑

L

L (2-29)

Duhet pasur gjithnjë parasysh që funksioni transmetues varet vetem nga vetitë e brendshme dinamike të sistemit (hallkës) dhe nuk varet nga ngacmimet e jashtme. (Në G(s) bëjnë pjesë , i ia b , që janë veti të brendëshme të sistemit).

Funksioni kalimtar

Funksioni kalimtar h(t) i sistemit do të quhet pasoja që përftohet në dalje të sistemit kur në hyrje aplikohet:

1( ) 1( )u t ts

= ⇔ (2-30)

Pra:

[ ]1( ) ( ) /h t G s s−= L (2-31)

Funksioni impulsiv kalimtar ( )g t i një sistemi quhet pasoja që përftohet në dalje të sistemit kur në hyrje aplikohet impulsi i Dirakut ( ) 1tδ ⇔ .

Pra:

[ ]1( ) ( )g t G s−= L (2-32)

Shembull 2.-4

Të ndërtohet modeli matematik i hallkës së rendit të dytë në fig. 2-8 duke u bazuar në ligjet fizike që shprehin dinamikën e hallkës.

37

R

C( )u t ( )cu t( )i t( )cu t( )u t

(0)cuL

Figura 2-8 Hallka e rendit të dytë

Të gjëndet përgjigja e hallkës (madhësia në dalje) ndaj ngacmimit në hyrje kur ky i fundit ndryshon sipas funksionit u(t)|t ≥0=0 dhe kushtet fillestare për këtë hallkë janë:

0 0 0

0 0 0

( )( ) 0

C C

C C

u t u yu t u y

= =⎧⎨ = = =⎩ & & &

Të paraqitet grafikisht procesi kalimtar.

Zgjidhje

Ekuacioni diferencial që shpreh dinamikën e hallkës (nyjes) është i formës:

( )( ) ( ) ( )Cdi tu t R i t L u tdt

= ⋅ + + (2-33)

duke ditur që sinjali në dalje:

∫= dttiC

tuC )(1)(

shprehim sinjalin i(t) në varësi të sinjalit të daljes, duke e shënuar këtë të

fundit si )()( tytuc = ;

)()()]([)( tyC

dttdyC

dttud

Cti C &===

Duke kryer zëvendësimet përkatëse, ekuacioni (2-33) shndërrohet në:

LCy RCy y u+ + =&& &

ose:

38

1 1( ) ( ) ( ) ( )Ry t y t y t u t

L LC LC+ + =&& & (2-34)

duke zëvendësuar:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

21

2

n

n

LC

LR

ω

ζω

ekuacioni (2-34) merr formën:

2 1( ) 2 ( ) ( ) ( )n ny t y t y t u tLC

ζω ω+ + =&& & (2-35)

Ekuacioni diferencial (2-35) jep modelin matematik të hallkës (qarkut) të rendit të dytë.

Për gjetjen e përgjigjes (daljes) së hallkës, së pari kryhet transformimi i Laplasit i ekuacionit (2-35) nga i cili gjendet përfytyrimi sipas Laplasit të sinjalit në dalje, dhe më pas me ndihmën e transformimit të kundërt të Laplasit gjendet dalja ( )y t .

[ ]2 2 20 0 0( ) 2 ( ) ( ) ( )n n ns Y s sy y sY s y Y s U sζω ω ω⎡ ⎤− − + − + =⎣ ⎦&

Duke bërë veprimet dhe zëvëndësuar kushtet fillestare të dhëna kemi:

0 2 2

2( )2

n

n n

sY s ys s

ζωζω ω+

=+ +

(2-36)

Polet e Y(s) përcaktohen nga :

2 2

2 2 21 2

21 2

2 0

1

n n

n n n

n n

s s

s

s

ζω ω

ζω ζ ω ω

ζω ω ζ

+ + =

= − ± −

= − ± −

(2-37)

Polet mund jenë realë ose kompleksë të koniuguar, në varësi të vlerave të koefiçientit të shuarjes ζ . Dallohen tre raste:

1) ζ = 0 - lëkundje të stabilizuara;

39

2) ζ > 1 - lëkundje aperiodike;

3) ζ < 1 - lëkundje harmonike Le t’i analizojmë të tre rastet e mësipërme.

1) Lëkundje të stabilizuara, ζ = 0 Duke iu referuar ekuacionit (2-36), y(s) merr formën:

0 2 2( )n

sY s ys ω

=+

(2-38)

Transformimi i kundërt i Laplasit i Y(s) jep sinjalin në dalje të hallkës në rrafshin e kohës:

[ ] ( )1 1 20 2 2( ) ( ) cosn

o nn

sy t Y s y y ts

ωω

− − ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥+⎣ ⎦

L L (2-39)

Grafikisht procesi kalimtar i hallkës paraqitet në figurën 2-9.

Figura 2-9 Procesi kalimtar i hallkës së rendit të dytë për 0ζ =

Përfundimisht për koefiçient të shuarjeve ζ= 0 në dalje të hallkës gjenerohen lëkundje të stabilizuara.

2) Lëkundje aperiodike, ζ >1

Duke iu referuar ekuacionit (2-36), Y(s) merr formën:

0 02 21 2

2 2( )2 ( )( )

n n

n n

s sY s y ys s s p s p

ζω ζωζω ω+ +

= =+ + + +

(2-40)

ku polet janë reale dhe të ndryshme:

y(t) = uc(t)

t

y0

-y0

0

40

2

1

22

1

1d n

d n

s p

s p

σ ω ζ

σ ω ζ

⎧ = − = − + −⎪⎨

= − = − − −⎪⎩ (2-41)

ku:

d nσ ζ ω= ⋅ (2-42)

Për gjetjen e transformimit të kundërt të Laplasit të sinjalit y(s) është e nevojshme që ky i fundit të shprehet në thyesa të thjeshta.

01 2

( ) A BY s ys p s p

⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

(2-43)

ku koefiçientët A dhe B gjenden me ndihmën e teoremës së mbetjeve si vijon:

1

2

11

1 2 2 1

22

1 2 1 2

2 2lim ( )( )( )

2 2lim ( )( )( )

n n

s p

n n

s p

s pA s ps p s p p p

s pB s ps p s p p p

ζω ζω

ζω ζω

→−

→−

+ − += ⋅ + =

+ + −+ − +

= ⋅ + =+ + −

Dalja e hallkës në rrafshin e kohës është:

[ ] ( )1 210( ) ( ) 1( )p t p ty t y s y Ae Be t− −−= = + ⋅L (2-44)

Grafikisht procesi kalimtar i hallkës paraqitet në figurën 2-10.

a) b)

Figura 2-10 Procesi kalimtar (sinjali në dalje) i hallkës

a) lëkundje aperiodike që shuhen b) lëkundje aperiodike që rriten

Përfundimisht për koefiçient të shuarjeve ζ > 1 në dalje të hallkës gjenerohen lëkundje aperiodike që shuhen ose rriten në varësi të pozitivitetit ose negativitetit të polit p1.

41

3) Lëkundje periodike, ζ <1

Shprehja e Y(s) është si në ekuacionin (2-40), por në këtë rast polet janë kompleksë të koniuguar:

2 1 1 d ds p jσ ω= − = − ±

Ndryshe Y(s) mund të shprehet si:

( )( )( )sY ss

=NE

ku:

( ) ( )0 0

2 21 2

( ) 2 2

( ) ( )( ) ( )( ) ( )d d

d d d d d d

s y s y s

s s p s p s j s j s

= + ζω = + σ

= + + = − σ − ω − σ + ω = + σ + ω

N

E

pra përfundimisht :

0 2 2 2 2( )( ) ( )

d d d

d d d d d

sY s ys s

⎡ ⎤+ σ σ ω= +⎢ ⎥+ σ + ω ω + σ + ω⎣ ⎦

(2-45)

[ ] ( ) ( )10( ) ( ) cos sind t d

d dd

y t Y s y e t t−σ− ⎡ ⎤σ= = ω + ω⎢ ⎥ω⎣ ⎦

L (2-46)

Me anë të transformimeve trigonometrike y(t) mund të shkruhet si:

( )( ) sind tm dy t Y e t−σ= ω + ψ (2-47)

Me qenë se 0 ( ) 0d ty t →∞σ > ⇒ =

Figura 2-11 Procesi kalimtar në dalje të hallkës për ζ < 1

Përfundimisht për koefiçient të shuarjeve ζ < 1 në dalje të hallkës gjenerohen lëkundje sinusoidale që shuhen.

y(t) = uc(t)

t

Ym

-Ym

0

42

Shembull 2-5

Gjeni funksionin transmetues të një nyje mekanike (fig. 2-12) duke supozuar si madhësi hyrjeje forcën u(t) dhe zhvendosjen e sustës si dalje të kësaj nyje.

Figura 2-12 Hallkë mekanike

Zgjidhje

Në bazë të ligjit të Njuton për lëvizjen drejtvizore:

( ) ( ) ( )ii

my F f y t ky t u t= = − − +∑&& &

Duke pasur parasysh shndërrimet e Laplasit:

[ ][ ] [ ][ ]

2( ) ( ) (0) (0)

( ) ( ) (0)

( ) ( )

my t m s Y s sy y

f y t f sY s y

u t U s

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦= −

=

&& &

&

L

L

L

dhe duke supozuar kushtet fillestare baraz me zero, ekuacioni diferencial shndërrohet si më poshtë:

2 ( ) ( ) ( )ms s k Y s U s+ + =

Funksioni transmetues do të jetë:

2

( ) 1( )( )

Y sG sX s ms fs k

= =+ +

Konvencionalisht në planin s nyja në shqyrtim paraqitet si një katërkëndësh, brenda të cilit shënohet funksioni transmetues (fig. 2-13).

Figura 2-13 Funksioni transmetues

43

Shembull 2-6

Të gjendet funksioni i transmetimit të një nyjeje mekanike si në fig. 2-14, duke supozuar në hyrje momentin rrotullues M(t) dhe në dalje shpejtësinë këndore.

Figura 2-14 Lëvizje rrotulluese

Në bazë të ligjit të Njutonit për sistemet rrotulluese

( ) ( ) ( ) ( )i

i

d tJ M t M t f tdtω ω= = −∑ (2-48)

Duke kaluar sipas Laplasit për kushte fillestare zero:

( ) ( ) ( )sJ f s M s+ Ω = (2-49)

Pra funksioni transmetues është:

( )

1( ) 1( )( ) 11

s KfG s JM s sJ f Tssf

Ω= = = =

+ ++ (2-50)

Ku: K –koefiçienti i përforcimit i nyjës, T –konstante e inercisë së nyjës në fjalë.

44

2.3 Metoda strukturore Kemi parë që SKA me një hyrje e me një dalje mund të paraqitej me anën e skemës funksionale, në të cilën pasqyrohej lidhja funksionale e hallkave të ndryshme të tij dhe çdo hallkë paraqitej me një katërkëndësh dhe më sy sinjale, funksione të kohës, njëri në hyrje e tjetri në dalje. Në rast se në skemën funksionale në vend të sinjaleve në funksion të kohës vendosen përfytyrimet e tyre sipas Laplasit dhe në katrorët e hallkave vendosen funksionet transmetuese, atëherë fitohet skema strukturore e SKA, që nuk është gjë tjetër veçse një model matematik i këtij sistemi i bazuar në funksionet transmetuese, si modele matematike të hallkave përbërëse. Skemat strukturore për një SKA të dhënë mund të jenë të ndryshme, por kjo larmi nuk duhet të influencojë në mardhëniet midis ngacmimit referues dhe madhësesë së rregulluar.

2.3.1 Simbolet e përdorura në skemat strukturore

Në skemat strukturore do të përdoren këto simbole (fig. 2-15).

a) Sinjali, ngacmimi b) Pikë shpërndarëse

c) Pikë shumatore d) Hallkë, nyje, sistem

Figura 2-15 Simbolet e skemave strukturore

Është e qartë se për të studiuar dinamikën e SKA në planin s duhet gjetur mardhënia e drejtpërdrejtë e përfytyrimeve sipas Laplasit të ngacmimit në hyrje dhe madhësisë së rregulluar. Për të gjetur këtë lidhje të drejtpërdrejtë duhet të barazvlerësohen skemat strukturore të

45

SKA. Për këtë ndihmojnë teoremat e barazvlerësimit të skemave strukturore të cilat janë paraqitur të përmbledhura në tabelën 2-1.

Tabela 2-3 TEOREMAT E BARASVLERËSIMIT TE SKEMAVE STRUKTURORE

Teorema Çfarë bëhet Para shndërrimit Pas shndërrimit

1 Ndryshimi i pozicionit të ndërsjelltë të hallkave të lidhura ne seri NUK KA RËNDËSI

2 2 1

2 1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Y s G s Y sG s G s U s

= ⋅ == ⋅

2 2 1

2 1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Y s G s Y sG s G s u s

= ⋅ == ⋅

2 Ndryshimi i pozicionit te ndërsjellë të pikave shpërndarëse NUK KA RËNDËSI

3 Ndryshimi i pozicionit të pikave shumatore NUK KA RËNDËSI

4 Rigrupimi i pikave shumatore NUK KA RËNDËSI

47


a) Pika shumatore

zhvendoset nga dalja ne hyrje te hallkës

1 2( ) ( ) ( ) ( )Y s G s X s X s= ±

[ ]1 2

1 2

( ) ( ) ( ) / ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Y s X s X s G s G sY s G s X s X s

= ±

= ±

5

b) Pika shumatore zhvendoset nga hyrja ne dalje te hallkës

[ ]1 2( ) ( ) ( ) ( )Y s X s X s G s= ±

1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s X s X s G s= ±

48


1) Pika shpërndarëse zhvendoset nga dalja ne hyrje te hallkës.

1( ) ( ) ( )Y s G s X s=

1( ) ( ) ( )Y s G s X s=

6

2) Pika shpërndarëse zhvendoset nga hyrje në dalje të hallkës

49


7

Zhvendosja e ndërsjelle e pikës shpërndarëse dhe shumatore (kur ruhen marrëdhëniet hyrje-dalje) NUK KA RËNDËSI

1 2( ) ( ) ( )Y s X s X s= ±

8

Barasvleresimi i disa hallkave te lidhura ne seri (dalja e hallkës para ardhëse – hyrje për pasardhësen) Funksioni transmetues barasvlerësues = me produktin e funksioneve transmetuese te hallkave përbërëse.

1

1 2

1 2

1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n n

n n n

n

n

ii

Y s Y s G s Y sG s G s Y sU s G s G s G s

G s U s

−

− −

=

= = =

= = =

= =

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∏

L

L

∏=

=n

iiEK sGsG

1

)()(

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

ek ii

Y s G s U s U s G s=

= = ∏

50


9

Barasvlerësimi i disa hallkave te lidhura ne paralel(hyrje e përbashkët dhe mbledhje sinjalesh te daljes) Funksioni transmetues barasvlerësues = me shumën e funksioneve transmetuese te hallkave përbërëse.

1( ) ( ) ( )

n

ii

Y s U s G s=

= ∑

∑=

=n

iiEK sGsG

1

)()(

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n

i eki

Y s U s G s U s G s=

= =∑

10

Lidhja e kundërt e hallkave: Dalja e se parës shërben si hyrje e së dytës. Në hyrje të se parës kemi daljen e se dytës me te njëjtën shenjë ose me shenja të kundërta

[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

1 ( ) ( )

Y s s G sR s H s Y s G s

G sY s R sG s H s

= Ε =

= ±

=±

)()(1)()(

sHsGsGsGEK ±

=

( )( ) ( )

1 ( ) ( )G sY s R s

G s H s=

±

Shembull 2-8

Jepet skema strukturore e SRA. Të gjendet funksioni transmetues ekuivalent: a) përkundrejt ngacmimit referues R(s), për

D(s)=0 b) përkundrejt ngacmimit shqetësues D(s), për

R(s)=0

Figura 2-16 Skema strukturore e SRA me një hyrje e me një dalje

Zgjidhje

Përkundrejt ngacmimit referues skema strukturore merr formën e fig. 2-17

Figura 2-17 Skema strukturore përkundrejt ngacmimit referues

Nga teorema T 8:

( ) ( ) ( )d r ORG s G s G s=

Nga teorema T 10:

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )r OR

r OR

G s G sY sG sR s G s G s H s

= =+ ⋅ ⋅

(2-51)

Përkundrejt ngacmimit shqetësues skema strukturore merr formën fig. 2-18.

52

Figura 2-18 Skema strukturore përkundrejt ngacmimit shqetësues. Nga skema e Fig. 2-18 kemi:

'

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )OR r OR

OR r OR

Y s D s G E s G G s

D s G s Y s H s G s G s

= − + =

= − −

Nga ku:

' ( )( )'( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )OR

r OR

G sy sG sd s H s G s G s

= = −+ ⋅ ⋅

(2-52)

Përkufizim

Me funksion transmetues të sistemit të hapur do të kuptohet funksioni transmetues barazvlerësues i hallkave që formojnë një kontur të mbyllur që përfshin dhe LKK. Duke e shënuar me W(s) funksionin transmetues të sistemit të hapur do të kemi:

( ) ( ) ( ) ( )ORrW s G s G s H s= (2-53)

2.4 Grafët e sinjaleve dhe metoda strukturore

Një nga detyrat themelore në automatikë është gjetja e varësisë funksionale midis madhësive (variableve) që veprojnë në sistem. Për kërë, siç e pamë na vinte në ndihmë metoda strukturore. Për sisteme të ndërlikuara gjetja e varësisë funksionale midis variablave të sistemit, p.sh. të G(s) apo Gd(s) me metodën strukturore bëhet mjaft e ngatërruar.

53

Kështu kalohet ne paraqitjen e SKA me anë të “grafeve të sinjaleve”, që janë ashtu si dhe metoda strukturore, një paraqitje grafike e sistemit në fjalë. Një skeme strukturore të dhënë i korrespondon një graf sinjalesh përkatëse.

Edhe në rastin kur si model matematik për SRA është përdorur një sistem ekuacionesh diferenciale, mund të hartohe grafi i sistemit. Kjo kërkon më parë që me anë të shndërrimit të Laplasit të kalohet në një sistem algjebrik ekuacionesh. Grafi i sinjaleve Me graf sinjalesh nënkuptohet një paraqitje grafike e ekuacioneve algjebrike, në të cilën: a) pikat të cilat do të quhen nyje të grafit, paraqesin variablet e

sistemit. b) Segmentet e orientuara, paraqesin vartësitë funksionale ndërmjet

variableve. Këto të fundit mund të merren si përforcues me koefiçient përforcimi të shënuar mbi shigjetën e segmentit. Vetë shigjeta tregon rrugën e kalimit të sinjalit.Duhet shënuar se nyja gëzon dhe vetinë e shumës algjebrike të sinjaleve që hyjnë në të.

Me këto që u thanë, sistemit të ekuacioneve:

1 0 2

3 1

4 1

x Ax Bxx cxx Dx

= +⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

(2-54)

i përgjigjet grafi i figurës 2-13.

Figura 2-19 Grafi i sistemit (2-54)

54

Sistemit të ekuacioneve:

1 01 0 11 1 21 2

2 12 1

3 03 0

4 04 0

5 35 3 45 4 25 2

x t x t x t xx t xx t xx t xx t x t x t x

= + +⎧⎪ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪ = + +⎩

(2-55)

i përgjigjet grafi i fig. 2-20.

Figura 2-20 Grafi i sistemit (2-55)

Nëpërmjet grafit të fig. 2-20 do të bëhen disa përcaktime mbi grafet e sinjaleve:

Nyjet në graf shpesh shënohen jo me “xi” por me “i”, duke nënkuptuar që ato përfaqsojnë variablin “xi”.

Degë të grafit “jk” do të quhet segmenti i orientuar nga j në k që tregon se sinjali shkon nga j në k. Ky kalim sinjali shoqërohet me një përforcim tjk që quhet trasmetancë e degës e që shpreh varësinë

funksionale midis xj dhe xk, pra jjkk xtx = .

Nyje hyrëse ose burim quhet ajo që përmban vetëm degë dalëse. E tillë është nyja “0”. Nyja burim paraqet variabël të pavarur.

Nyje dalëse ose pus quhet ajo nyje që përmban vetëm degë hyrëse. E tillë është nyja “5”. Nyja pus paraqet variabël të varur.

55

Nyje e përzjerë quhet ajo nyje që përmban si degë hyrëse ashtu dhe degë dalëse. Të tilla janë nyjet 1,2,3,4. Nyja e përzier mund të trajtohet si pus, në rast se asaj i shtojmë një degë dalëse më trasmetancë 1 njësi (dega 3-3 në fig. 2-20).

Rrugë do të quhet ajo pjesë e grafit që përbëhet prej një numri të njëpasnjëshëm (sipas shigjetave) degësh. Kur një variabël nuk haset më shumë se një herë, rruga quhet e mbyllur.

Lak quhet një rrugë e mbyllur. Laku quhet vetjak kur rruga nis e mbyllet po në atë variabël, pa i prekur nyjet e tjera të grafit.

Trasmetancë e rrugës (lakut) quhet produkti i tasmetancave të degëve përbërëse të saj (tij).

Rrugë e drejtë quhet ajo rrugë e hapur që niset nga burimi e përfundon tek pusi.

Trasmetancë e rrugës së drejtë quhet produkti i trasmetancave të degëve përbërëse.

Për reduktimin e grafit ka mjaft teorema, por më e rëndësishmja që i përfshin të gjitha është formula e Mejsonit (Mason), e cila na jep lidhjen funksionale ose trasmetancën barasvlerësuese ndërmjet nyjes burim j dhe një nyje çfarëdo k.

1 11 21 31

1 2 3

2 12 22 32

1 2 3

(1 )1

(1 )1

kek

j

P L L LyTu L L L

P L L LL L L

− + − += = +

− + − +

− + − ++ +

− + − +

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

L

L

LL

L

(2-56)

Në esencë metoda strukturore dhe e ajo e grafëve të sinjaleve janë metoda grafike për zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike, apo lidhjen direkte të sinjalit dalës me atë hyrës, që shprehet me funksionin transmetues ekuivalent. Ndryshimi konsiston se përdorimi e metodës së grafëve ka një zgjidhje elegante e të thjeshtë vetëm me një formulë, atë të Masonit, ndërsa metoda strukturore përdor një sërë teoremash ekuivalentimi që e bëjnë shumë të lodhshme dhe me mundësi gabimi

56

zgjidhjen e po të njëjtit problem. Në tabelën 2-2 jepen lidhjet reciproke ndërmjet dy metodave.

Tabela 2-2 Metoda strukturore dhe ajo e grafëve të sinjaleve

N Sipas metodës strukturore Sipas metodës se grafeve te sinjaleve 1 2

3

4

5

Shembull 2-9

Për SRA e dhënë në Nr. 5 të tabelës 2-2 të gjenden funksionet transmetuese përkundrejt ngacmimit referues G(s) dhe atij shqetësues G’(s).

Zgjidhje

Aplikojmë formulën e Mason-it për grafin përkatës të dhënë në tabelën 2-2.

1. 1

1

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )

r OR r OR

r OR

G s G s G s G sPY sG sR s L G s G s H s W s

⋅ ⋅= = = =

− + ⋅ ⋅ +∑

57

2. 1

1

' ( )( )'( )( ) 1 1 ( )

ORG sPY sG sR s L W s

= = = −− +∑

Shembull 2-10

Te gjendet funksioni transmetues përkundrejt ngacmimit referues për sistemin me skemë strukturore si në fig. 2-21a.

a)

b)

Figura 2-21 Skema strukturore dhe grafi i sistemit a) Skema Strukturore b) Grafi i sistemit

Zgjidhje

Grafi i sistemit të dhënë në fig. 2-21 a, jepet në fig. 2-21 b. Në bazë të formulës së Mezonit për grafin në fjalë mund të shkruajmë:

[ ]

1

1

1 2 3

1 1 2 2 2 3 1 2 3

( )( )( ) 1

( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

PY sG sR s L

G s G s G sH s G s G s H s G s G s G s G s G s

= = =−

⋅ ⋅=

− − −

∑

58

2.5 Funksioni Transmetues dhe Karakteristika Amplitudo- Fazore e Sistemit

Le të shohim ç’ndodh në një hallkë (apo sistem) kur në hyrje aplikohet një ngacmim i formës sinusoidale, që mund të jepet p.sh. me anë të një gjeneratori sinjali.

( ) sinmu t U tω=

Figura 2-22 Sistemi nën veprimin e një sinjali sinusoidal

Eksperimentalisht konstatohet se mbasi shuhen lëkundjet e lira, në dalje përftohet një lëkundje sinusiodale më të njëjtën frekuencë por me amplitudë dhe me fazë të ndryshme, të cilat nga ana e tyre varen nga frekuenca e sinjalit të hyrjes, pra:

( ) ( )sin ( )m yy t Y tω ω ϕ ω⎡ ⎤= +⎣ ⎦ (2-57)

Përkufizim 1: Karakteristikë e Amplitudës

Raporti i amplitudave të madhësisë në dalje ndaj asaj në hyrje, quhet karakteristikë e amplitudës së hallkës (apo sistemit); shënohet me

( )G ω dhe është funksion i ω . Pra:

( )( )( )

m

m

YGU

ωωω

= (2-58)

Në rast se Um = 1, atëhere ( ) ( )mG Yω ω= , pra numerikisht e barabartë me amplitudën e madhësisë në dalje për amplitudë njësi të ngacmimit në hyrje.

Përkufizim 2: Karakteristikë e Fazës Diferenca e fazave fillestare të madhësisë në dalje me atë në hyrje quhet karakteristikë e fazës. Ajo shënohet ( )ϕ ω dhe në rastin tonë është:

59

( ) ( )yϕ ω ϕ ω= (2-59)

Përkufizim 3: Karakteristika amplitudo-fazore

Karakteristikë amplitudo-fazore e sistemit quhet vartësia:

[ )[ ( )], 0,G ϕ ω ω ∈ ∞ (2-60)

Këto që thamë, duke u nisur nga premisa eksperimentalo-praktike, vërtetohen lehtë teorikisht.

Të supozojmë që hallka ka për model matematik një funksion transmetues të formës:

( )( )( )

B sG sA s

= (2-61)

Ku A(s) dhe B(s) jane polinome të variablit kompleks s. Duke supozuar qe G(s) ka pole të thjeshta, të cilat ndodhen në anën e majtë të boshtit imagjinar e duke bërë shpërthimin në thyesa elementare kemi:

( ) i

i i

kG ss p

=+∑ (2-62)

Ku ki – janë mbetjet e G(s) për is p= − :

lim ( ) ( )i

i is pk s p G s

→−= + (2-63)

Meqenëse në hyrje zbatohet sinjal sinusoidal, kemi të drejtë të shkruajmë: ( ) sinmu t U tω= (2-64)

Sipas Laplasit:

2 2( ) mU s Us

ωω

=+

(2-65)

Është e qartë se përfytyrimi sipas Laplasit i madhësisë në dalje do të jetë:

2 2( ) ( ) ( ) ( )mY s U s G s U G ss

ωω

= =+

(2-66)

60

Duke bërë zbërthimin në thyesa elementare kemi:

*( ) i

i i

kk kY ss j s j s pω ω

= + ++ − +∑ (2-67)

Duke e zbërthyer ne zonën e kohës kemi:

( ) * ip tj t j ti

iy t ke k e k eω ω −−= + + ∑ (2-68)

Në regjim të vendosur komponentet e lira shuhen:

lim ( ) lim 0ip ti it t

y t k e−

→∞ →∞= → (2-69)

Si rrjedhim:

( ) *j t j ty t ke k eω ω−= + (2-70)

Le të përcaktojmë k:

2 2

( )lim ( ) ( )2

( )2

m ms j

m

U U G jk s j G ss j

G j Uj

ωω ω ωωω ω

ω

→

−⎡ ⎤= + = −⎢ ⎥+⎣ ⎦−

= − (2-71)

Rrjedhimisht:

( )*2 m

G jk Ujω−

= (2-72)

d.m.th.:

( ) ( )( )

2

j t j t

mG j e G j ey t U

j

ω ωω ω −− −= (2-73)

Duke menduar G(jω) si vektor me modul ( ) ( ) ( )G G j G jω ω ω= = − dhe fazë ( ) ( ) ( )G j G jϕ ω ω ω= ∠ = −∠ − mund të shkruajmë:

( )

( ) ( )

( ) ( )2

( )sin( ) sin( )

j t j t

m

m m

e ey t U Gj

U G t Y t

ω ϕ ω ϕ

ω

ω ω ϕ ω ω ϕ

+ − +−= =

= + = + (2-74)

61

Prej ku:

( )( ) m

m

YGU

ωω = (2-75)

që quhet karakteristika e amplitudës së hallkës. Ndërsa ( ) ( )G jϕ ω ω= ∠ quhet karakteristikë e fazës. Kemi kështu përputhje

me ato që thamë kur u nisëm nga premisa eksperimentalo-praktike. G(jω) natyrisht si vektor kompleks, duke u nisur nga perkufizimi 3, paraqet karakteristikën amplitudo-fazore të hallkës.

Rrjedhimisht karakteristika amplitudo-fazore e hallkës me funksion transmetues G(s) është:

( ) lim ( )s jG j G sωω →= (2-76)

Lind pyetja, po faza e G(jω) a është sa diferenca e fazave të sinjalit në dalje me ate të hyrjes? Për t’ju pergjigjur kësaj pyetjeje do të nisemi nga përkufizimi i funksionit transmetues, d.m.th.:

( )( )( )

Y sG sU s

= (2-77)

Duke kaluar në limit, kur s jω→ , kemi:

( ) ( )

( )( )( )( )

( )

yjm j

m

Y eY jG j G eU j U

ϕ ωϕ ωωωω ω

ω= = = (2-78)

Sepse për ( ) 0uϕ ω = kemi:

( ) ( ) ( ) ( )yG j Y jω ω ϕ ω ϕ ω∠ = ∠ = = (2-79)

Pra karakteristika amplitudo fazore del nga raporti i përfytyrimeve sipas Furjesë të sinjalit në dalje ndaj atij në hyrje. KAF (karakteristika amplitudo-fazore) mund të paraqitet edhe në trajtë algjebrike. ( ) ( ) ( )G j P jQω ω ω= + (2-80)

ku:

62

2 2( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

G G j P QQG j arctgP

ω ω ω ωωϕ ω ωω

⎧ = = +⎪⎨

= ∠ =⎪⎩

(2-81)

Lidhja e ngushtë ndërmjet funksionit transmetues dhe KAF mund të shfrytëzohet për ndërtimin lehtë të kësaj të fundit.

Për të ndërtuar KAF ( )G jω të një hallke (ose sistemi), mjafton tu jepen vlera ω e te gjenden vlerat përkatëse të ( )P ω dhe ( )Q ω ose të

( )G ω dhe ( )ϕ ω (fig. 2-23).

Q(ω1)

Q(ω2)

Q(ω)

P(ω1) P(ω2) P(ω)φ(ω1)φ(ω

2)G(ω1)G(ω

2)ω=ω1

ω=ω2

Figura 2-23 Ndërtimi i KAF

Kjo gjë kërkon punë të madhe veçanërisht kur ( )P ω dhe ( )Q ω janë polinome të rendeve të larta. Për qëllime inxhinierike, kur njihet funksioni transmetues i hallkës, drejtpërdrejt nga konfiguracioni pole zero i G(s) në planin kompleks s, jemi në gjendje që të përcaktojmë grafikisht KAF ( )G jω .

Të supozojmë që:

63

( )

( )( )

ll

ii

s zG s K

s p

+=

+

∏∏

(2-82)

Për thjeshtësi paraqitjeje supozohet që zl dhe pi janë reale (fig. 2-24).Për të fituar ( )G jω , i duhen dhënë vlera vetëm gjatë boshtit imagjinar d.m.th. qs jω= , ku 1,2,q = L .

2( )ϕ ω

2

i

j

pω

+

2jω

1jω

1( )ϕ ω

2( )θ ω

1( )θ ω

ip− lz−

2l

jz

ω

+

1i

jp

ω + 1

l

jz

ω+

jω

σ

Figura 2-24 Ndërtimi i KAF nga konfiguracioni pol zero i funksionit transmetues Siç shihet edhe nga figura 2-24, mund të përcaktohet grafikisht:

[ ( ) ( )]

( )( ) ; 1, 2,

( )l q i q

l i

q l jl

qq i

i

j zG j K e q

j p

θ ω ϕ ωω

ωω

−∑ ∑+

= ⋅ =+

∏∏

L (2-83)

Modulet ,q l q ij z j pω ω+ + dhe këndet e poleve ( )i qϕ ω dhe të zerove

( )l qθ ω mund të përcaktohen lehtë drejtpërdrejt në planin s.

64

2.6 Karakteristikat logaritmike të amplitudës dhe të fazës. Diagramet logaritmike

Për të pasur një tablo më të qartë mbi sjelljen e sistemit si për frekuenca të larta, ashtu dhe për ato të ulëta, lind nevoja që të përdoret jo shkalla natyrore, por ajo logaritmike.

Përcaktim 1 – Me Karakteristikë Logaritmike të Amplitudës ( )L ω do të kuptohet varësia funksionale e 20 lg ( ) 20lg ( )G j Gω ω= [db] ndaj frekuencës në shkallë logaritmike.

Njësia matëse e ( )L ω është pranuar të quhet decibel (db). Lakorja ( )L ω ndërtohet në letër gjysëmlogaritmike duke përdorur në abshisa

shkallë logaritmike me njësi dekadën1 përsa i përket frekuencës, dhe shkallë lineare me njësi db, në ordinata përsa i përket ( )L ω .

Figura 2-25 Diagramet Logaritmike

1 Me dekadë nënkuptohet distanca që respekton raportin : ( )2 1 2 1/ 10 log / 1ω ω ω ω= ⇔ =

65

Si karakteristika logaritmike e amplitudës, ashtu edhe ajo e fazës, vendosen përballë njëra-tjetrës ndaj frekuencës në shkallë logaritmike , duke formuar një çift karakteristikash që quhen diagramë logaritmike, (fig. 2-25).

Përdorimi i diagramave logaritmike lejon që të përcaktohet lehtë funksioni transmetues nga të dhënat eksperimentale.

Epërsia themelore në përdorimin e diagramave logaritmike qëndron në faktin që shumëzimi i moduleve kthehet në mbledhje, KLA ndërtohet lehtë me anë përafrime vijash të drejta (asimptotash). Kur duhet saktësi mund të bëhen korrigjimet përkatëse.

2.6.1 Ekuacionet diferenciale, funksionet transmetuese, KAF dhe diagramet logaritmike të hallkave elementare.

Nga sa thamë gjatë këtij paragrafi, ekziston lidhje e ngushtë e modeleve të ndryshme klasike që zanafillën e kanë tek ekuacioni diferencial. Nëpërmjet shembujve të mëposhtëm del në pah pikërisht kjo lidhje.

1. Hallka përforcuese

a) Ekuacioni që përshkruan në zonën “t”:

( ) ( )y t ku t= (2-84)

b) Funksioni transmetues:

( )( )( )

Y sG s kU s

= = (2-85)

c) KAF

( ) ( )s j

G j G s kω

ω=

= = (2-86)

d) Karakteristika e amplitudës (KA) dhe e fazës respektivisht janë

( ) ; ( ) 0G kω ϕ ω ο= = (2-87)

66

e) Diagramat logaritmike

KLA: ( ) 20log [ ]KLF: ( ) 0

L k dbωϕ ω

=⎧⎨ = °⎩

(2-88)

Në fig. 2-26 paraqiten grafikisht KAF, KA dhe diagramat logaritmike të hallkës përforcuese.

Figura 2-26 Hallka përforcuese

2. Hallka diferencuese a) Ekuacioni diferencial

( )( ) du ty t

dt= (2-89)

b) Funksioni transmetues Duke bërë shndërrimin e Laplace-it për kushte fillestare zero, kemi:

( ) ( )Y s sU s=

Nga ku, funksioni transmetues:

( )( )( )

Y sG s sU s

= = (2-90)

c) KAF 90 0( ) ( ) 90j

s jG j G s j e

ωω ω ω ω°

== = = = ∠

d) Karakteristika e amplitudës dhe e fazës

( )G ω ω= ; 0( ) 90ϕ ω =

67

e) Diagramat logaritmike

KLA: ( ) 20lgL ω ω=

Duke konsideruar logω si një variabël që matet me dekada dhe ( )L ω në db, KLA paraqet një drejtëz që kalon nëpër origjinë (log 0)ω = dhe me pjerrësi:

( ) 20 /

lg( )dL db dekd

ωω

=

KLF: 0( ) 90ϕ ω =

Figura 2-27 Hallka diferencuese

3. Hallka integruese a) Ekuacioni diferencial

( ) ( )y t u t=&

b) Funksioni transmetues Duke bërë shndërrimin e Laplasit për kushte fillestare zero kemi:

( ) ( )sY s U s=

Nga ku funksioni transmetues:

( ) 1( )( )

Y sG sU s s

= = (2-91)

c) KAF

090 01 1 1( ) 90jG j e

jω

ω ω ω−= = = ∠ (2-92)

68

d) Karakteristikat e amplitudës dhe e fazës 1( )G ωω

= ; 0( ) 90ϕ ω = −

e) Diagramet logaritmike

KLA: ( ) 20log ( ) 20logL Gω ω ω= = −

Pra fitohet një drejtëz që kalon nga origjina dhe ka pjerrësinë –20db/dek

KLF: 0( ) 90ϕ ω = −

Figura 2-28 Hallka integruese

4. Hallka aperiodike 1. Ekuacioni diferencial

( ) ( ) ( )T y t y t u t+ =&

2. Funksioni transmetues Duke bërë shndërrimin e Laplasit për ekuacionin diferencial, për kushte fillestare zero kemi:

( 1) ( ) ( )Ts Y s U s+ = nga ku:

( ) 1( )( ) 1

Y sG sU s Ts

= =+

(2-93)

3. KAF

Vektorët ( )G jω dhe ( )j TG jω ω janë ortogonale dhe japin si shumë vlerën 1. Prej këtej del që ( )G jω paraqet një gjysmë rreth (fig. 2-29) me diametër njësi.

69

Ts11G(s)

+=

1b Tω =

1b Tω =

Figura 2-29 Hallka aperiodike

Karakterisitika e amplitudës dhe e fazës

2 2

1( )1

GT

ωω

=+

; ( ) arctg Tϕ ω ω= −

4. Diagramet logaritmike

KLA: 2 2( ) 20lg ( ) 10lg(1 )L G Tω ω ω= = − +

Këtë karakteristikë mund ta përafrojmë me dy asimptota:

- Asimptota e parë ( 1Tω << pra për 1/Tω << ):

0)( =ωL - Asimptota e dytë ( 1Tω >> pra për 1/Tω >> )

( ) 20lgL Tω ω= −

që është drejtëz me pjerrësi:

[ 20lg 20lg ] 20 /lg lgdL d T db dek

d dω

ω ω= − + = −

Kjo drejtëz e pret boshtin logω për 1/Tω =

KLF: ( ) arctg Tϕ ω ω= −

Karakteristikat respektive në zonën e frekuencës jepen me vija të plota në fig. 2-29.

70

5. Hallka përpjestimoro – diferenciale a) Ekuacioni diferencial

( )( ) ( )du ty t T u tdt

= +

b) Funksioni transmetues

( ) 1G s Ts= + (2-94)

Karakteristikat respektive në zonën e frekuencës jepen me vija të ndërprera në fig. 2-29.

6. Hallka e gradës së dytë a) Ekuacioni diferencial

2 2( ) 2 ( ) ( ) ( )n n nÿ t y t y t u tζω ω ω+ + = ⋅&

b) Funksioni transmetues

2

2 2( )2

n

n n

G ss s

ωζω ω

=+ +

(2-95)

c) Karakteristika amplitudo-fazore

2

2 2 2 2

1( )( )2 2 (1 / ) 2 /

n

n n n n

G jj j

ωωω ω ζω ω ω ω ζω ω

= =− + − +

(2-96)

Paraqitja grafike për ζ të ndryshme jepet në fig. 2-30a.

Karakteristika e amplitudës dhe e fazës

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1( )( )2 (1 / )2 4 /

2 2 /( )1 ( / )

n

n n n n

n n

n n

G

arctg arctg

ωωω ω ζ ω ω ω ω ζ ω ω

ζω ω ζω ωϕ ωω ω ω ω

= =− + − +

= − = −− −

(2-97)

Karakteristikat respektive në zonën e frekuencës jepen me vija të plota në fig. 2-30a.

71

( )ϕ ω

o120−

40−

o60−

o90−

20−

nω ω a) KAF b) KLA dhe KLF

Figura 2-30 Hallka e gradës së dytë

d) Diagramet logaritmike KLA:

2 2 2 2 2 2

( ) 20lg ( )40lg 10log[ ) 4 ]n n n

L Gω ω

ω ω ω ζ ω ω

= =

= − − +

( )L ω mund të përafrohet me dy asimptota:

- Asimptota e parë ( 1Tω << pra për nω ω<< ):

1( ) 0L ω =

- Asimptota e dytë ( 1Tω >> pra për nω ω>> ):

2 ( ) 40log 40lognL ω ω ω= −

Kjo paraqet një drejtëz që fillon nga nω ω= , sepse ( ) 0nL ω = , dhe ka pjerrësi:

40 /logdL db dek

d ω= −

Në fig. 2-30b jepen diagramat logaritmike për ζ të ndryshme, që siç shihet dhe nga figura, ato devijojnë për nω ω= , nga asimptotat. Në fig. 2-31 jepen

72

diagramat logaritmike ku KLA janë përafruar asimtotat përkatëse, që siç shihet dhe nga figura, ato devijojnë për nω ω= , nga asimptotat.

L(ω)

ω

lgω

ωlgω

-180o

180o

-90o

900

φ(ω)

nω

nω

40

- 4 0

60-

-

-

1 10

2

100

- 40db/dek

[db]

40db/dek

-1

0.1

0 1

2

2 2( )2

n

n n

G ss s

ωζω ω

=+ +

2 2

2

2( ) n n

n

s sG s ζω ωω

+ +=

log nω

1 10

2

100

-1

0.1

0 1 log nω

Figura 2-31 Hallka e gradës së dytë. Përafrimi i KLA me asimptota

7. Hallka me numërues të gradës së dytë Hallka me funksionin transmetues të mëposhtëm është një faktor në një funksion transmetues të ndërlikuar, por që nuk mund të egzistojë vehte:

2 2

22 2

2 1( ) 2 1n n

n n n

s sG s s sζω ω ζω ω ω

+ += = + + (2-98)

a) Karakteristika amplitudo-fazore ( )G ω jepet në fig. 2-30a dhe me vija të ndërprera.

73

b) Diagramet logaritmike.

Është e qartë se këto janë reflektimi karshi boshtit të abshisave të diagramave të paraqitura në fig. 2-30b apo në fig. 2-31. Kështu ( )L ω paraqet një drejtëz me pjerrësi ÷40db, që fillon nga nω ω= , kurse ( ) 0ϕ ω > , (00÷1800).

2.6.2 Diagramet Logaritmike të Sistemeve të hapura një konturore

Zakonisht sistemi i hapur një konturor përbëhet prej disa hallkash elementare të lidhura në seri. Rrjedhimisht funksioni transmetues i sistemit të hapur në rastin e përgjithshëm ka formën:

22

22

1( 1) ( 2 1)( ) 21( 1) ( 1)

lq

q l l l

n mk

k m m m

T s s sW s

s T s s s

ζω ω

ζω ω

+ + +=

+ + +

∏ ∏

∏ ∏ (2-99)

Në këtë rast KAF ka formën:

0

2 2

90 22

(1 ) [(1 / ) (2 / )]( )

[(1 / ) (2 / )] (1 )

q l l lq l

n jm m m k

m k

j T jW j

e j j T

ω ω ω ζ ω ωω

ω ω ω ζ ω ω ω

+ − +=

− + +

∏ ∏

∏ ∏(2-100)

Duke shënuar me: Lq - KLA të hallkave me funksion transmetues:

(1 )q qG sT= +

Lk - KLA të hallkave me funksion transmetues:

1

1kk

GsT

=+

74

Lm - KLA të hallkave me funksion transmetues:

2

2 22m

mm m m

Gs s

ωζ ω ω

=+ +

Ll - KLA të hallkave të tipit:

21 2 1ll

l l

G s sζω ω

= + +

Ln - KLA të hallkës me funksion transmetues:

( ) nG s s= Nuk është vështirë të konstatohet që për të tërë sistemin:

( ) 20lg ( )ek q l m k nq l m k

L W j L L L L Lω ω= = + + + −∑ ∑ ∑ ∑ (2-101)

Duke shënuar me , , ,q k m lϕ ϕ ϕ ϕ këndet e hallkave respektive, për të gjithë sistemin mund të shkruhet:

0( ) 90ek q l m kq l m k

nϕ ω ϕ ϕ ϕ ϕ= + + + −∑ ∑ ∑ ∑ (2-102)

2.7 MODELET MATEMATIKE NË SISTEMET Sh.H.Sh.D.

2.7.1 Gjendja a sistemit dhe variablat e gjendjes

Me gjendje të sistemit në një çast çfarëdo kohe t0 do të kuptojmë një bashkësi minimale numrash 1 0 2 0 0( ), ( ), , ( )nx t x t x tL , të cilët së bashku me hyrjet në sistem 1 2( ), ( ), , ( )mu t u t u tL , mjaftojnë për të përcaktuar sjelljen (gjendjen) e sistemit për të gjitha t ≥ t0. Me fjalë të tjera, gjendja e sistemit paraqet sasinë minimale të informacionit që duhet të

75

dihet për një sistem në çastin 0t t= , me qëllim që e ardhmja e sistemit të përcaktohet pa iu referuar hyrjeve për 0t t< .

Teoria bashkëkohore e kontrollit si model për sistemet e vijueshme merr një sistem ekuacionesh diferenciale të zakonshme të formës:

1 1 1 1 2

2 1 1 1 2

1 1 1 2

( , , ; , , , ; )( , , ; , , , ; )

( , , ; , , , , )

n m

n m

n n m

x f x x u u u tx f x x u u u t

x f x x u u u t

==

=

& L L

& L L

M M

& L L

(2-103)

që përshkruajnë dinamikën e sistemit. Në formë matricore këto shkruhen:

1 1 1 21

2 1 1 1 2

1 1 1 2

( , , ; , , , ; )( , , ; , , , ; )

( , , ; , , , , )

n m

n m

n n m

f x x u u u txx f x x u u u t

x f x x u u u t

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

& L L

& L L

M M

& L L

(2-104)

ose në formë kompakte:

[ ]( ) ( ), ( ),t t t t=x f x u& (2-105)

Në rast se parametrat e sistemit nuk ndryshojnë në lidhje me kohën, atëhere, duke e nënkuptuar variablin e kohës t mund të shkruajmë:

[ ],=x f x u& (2-106)

ku x,u,f - janë vektorë kollonë me përmasat respektive n, m, n:

[ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2, , , ; , , , ; , , ,n m nx x x u u u f f f= = =T T Tx u fL L L (2-107)

Numri i variablave të gjendjes n përcakton rendin (përmasat) e sistemit. Shpesh përdoret dhe termi hapësire e gjendjes për të përcaktuar hapësirën me n përmasa, në të cilën ndodhet vektori x.

76

Figura 2-32 Trajektorja e gjendjes në hapësirën e gjendjes me n=3 Vendi gjeometrik që përshkruan ( )tx në hapësirën e gjendjes quhet trajektore e gjendjes. Vlerat në çastin t, të variablave të gjendjes

1 2( ), ( ), , ( )nx t x t x tL , formojnë komponentet e vektorit x të gjendjes në atë çast. Për hapësirën me tre përmasa duket qartë (fig. 2-32) kuptimi i trajektores dhe i komponenteve të vektorit të gjendjes.

2.7.2 Sistemet lineare. Linearizimi

Një sistem thuhet se është linear në rast se ai i bindet principit të superpozimit. Ky princip shërben si bazë për përcaktimin eksperimental të linearitetit të një sistemi. Principi i superpozimit thotë: Në rast se në hyrje të sistemit aplikohet një ngacmim u1 (u2), në dalje regjistrohet një x1 (x2), atëherë nën veprimin e u1 + u2 në dalje përftohet x1 + x2. Në kategorinë e sistemeve dinamike lineare hyjnë sistemet e formës: ( ) ( ) ( )t t t= +x Ax Bu& (2-108)

ku: x – vektor me m përmasa; u – vektor me m përmasa; A – matricë n n× ; B – matricë n m×

77

Figura 2-33 Sistemi Sh. H. Sh. D

Është e qartë që lineariteti është një kufizim i madh që i bëhet sistemeve dinamike, të cilat në shumicën e rasteve janë jolineare.

Pavarësisht nga ky fakt, teoria e sistemeve lineare ka marrë zhvillim të madh në teorinë bashkëkohore të kontrollit automatik, mbasi shumë sisteme mund të zgjidhen duke shqyrtuar sjelljen e sistemit përreth një gjendjeje referimi. Kjo gjë realizohet nëpërmjet proçesit të linearizimit të sistemit rreth gjendjes së referimit.

Lë të shikojmë tani proçesin e linearizimit përreth gjendjes së referimit x0 dhe gjendjes së ngacmimit u0 korrespondues, për sistemin me model matematik:

1

2

( , )( , )

( , )

( , )n

ff

f

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x ux u

x f x u

x u

&M

(2-109)

ku f paraqet një vektor funksion jolinear me n përmasa.

Në qoftë se u0 është hyrja e sistemit, atëhere gjendja e sistemit do të jetë x0 dhe natyrisht do të kënaqet ekuacioni:

0 0 0=x f(x ,u )& (2-110)

Duhet të theksohet që në rastin e përgjithshëm, ka një trajektore 0 0 ( )t=x x dhe një ngacmim 0 0 ( )t=u u . Rast i veçantë do të ishte,

0 .=x const , (natyrisht dhe 0 .=u const ), që i përgjigjet të ashtuquajturës pikë ekuilibri.

78

Duke shënuar me x dhe u gjendjen dhe hyrjen aktuale të sistemit si rezultat i faktit që 0≠u u , ndryshimet respektive të gjendjes dhe ngacmimit mund të shprehen:

0

0

= + Δ⎧⎨ = + Δ⎩

x x xu u u

(2-111)

Pas zëvendësimit në ekuacionet e gjendjes arrihet në:

0 0 0 )+ Δ = + Δ + Δx x f(x x,u u& & (2-112)

Duke supozuar që shmangiet aktuale janë të vogla, komponentet fi të vektorit f, mund të shpërthehen në seri të Tejlorit rreth trajektores së referimit duke marrë në konsideratë vetëm termat ë para; arrihet kështu në ekuacionet e mëposhtme:

0000

0 0 01 1

( )

1, 2, 3, ,

i

n mi i

i i j kj kj k

f fx x f x ux u

i n

== ====

∂ ∂⎧+ Δ = + Δ + Δ⎪⎪ ∂ ∂⎨

⎪=⎪⎩

∑ ∑x xx xu uu u

x ,u&

L

(2-113)

Duhet theksuar që derivatet e pjesshme llogariten gjatë trajektores së referimit x0 (fig. 2-34).

Figura 2-34 Trajektorja e referimit dhe ajo e ngacmuar (hapësira R3)

Duke shënuar matricat përkatëse Jakobiane:

79

1 1 1 1

1 1

2 2 2 2

1 1

1 1

;

n m

n m

n n n n

n m

f f f fx x u uf f f fx x u u

f f f fx x u u

∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B

L L

L L

M O M M O M

L L

(2-114)

ekuacionet e gjendjes të linearizuara mund të shkruhen në formën: Δ = Δ + Δx A x B u& (2-115)

Në rastin e përgjithshëm dalja e sistemit mund të jetë një funksion jolinear i gjendjes x dhe i hyrjes u. ( )t=y g x,u, (2-116)

ku g, y janë vektorët me p përmasa. Linearizimi i (2-116) në mënyrë të ngjajshme na jep:

Δ = Δ + Δy C x D u (2-117)

ku C është matricë p n× dhe D, matricë p m× .

Shpesh në literaturë përdoret shprehja që dinamika e një sistemi linear përshkruhet nga çifti (A,B) dhe ekuacionet e daljes nga çifti (C,D). Arrijmë në përfundimin që një sistem linear apo i linearizuar mund të përshkruhet nga çifti i mëposhtëm i ekuacioneve, (për sistemet e linearizuara kemi hequr shenjën Δ, për thjeshtësi paraqitjeje):

ekuacionet e gjendjesekuacionet e daljes

= + →⎧⎨ = + →⎩

x Ax Buy Cx Du&

(2-118)

Në modelet matematike të para më sipër nuk u mor parasysh efekti i ngacmimeve shqetësuese të personifikuara nga vektori i ngacmimeve:

1 2, , ,T

qd d d⎡ ⎤= ⎣ ⎦d L (2-119)

80

Në këtë rast ekuacionet diferenciale algjebrike jolineare që përshkruajnë dinamikën e një sistemi do të jenë të formës:

( )( )

tt

=⎧⎨ =⎩

x f x,u,d,y g x,u,d,&

(2-120)

Paraqitja e sistemit në bazë të ekuacioneve të mësipërme mund të bëhet me anën e bllokskemës së dhënë në fig. 2-34.

x&

Figura 2-35 Bllokskema e sistemit jolinear

Për një sistem linear do të kishim:

= + +⎧

⎨ = + +⎩

x Ax Bu Edy Cx Du Fd&

(2-121)

ku:

matricë matricë

n qp q

− ×⎧⎨ − ×⎩

EF

Këto ekuacione janë pasqyruar me anën e bllokskemës së dhënë në fig.2-36.

Për sistem të linearizuar matricat A ÷ F paraqesin Jakobianët përkatës. Në veçanti matricat E dhe F janë:

81

1 11 1

11

2 22 2

11

1 1

;

qq

qq

p pn n

q q

g gf fd dd dg gf fd dd d

g gf fd d d d

∂ ∂∂ ∂ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂ ∂∂ ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂ ∂∂ ∂= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

E F

LL

LL

M O MM O M

L L

(2-122)

x&

Figura 2-36 Bllokskema përgjithshme e një sistemi linear (të linearizuar)

Në literaturë shpesh matrica A quhet matricë e sistemit, matrica B quhet matricë e shpërndarjes, kurse matrica E- matricë e shqetësimeve.

Vërejtje

Gjatë linearizimit duhet pasur parasysh që shmangiet nga trajektorja e referimit të jenë sa më të vogla, përndryshe mund të ketë raste që linearizimi të sjellë gabime të palejueshme. Gjithnjë përpara se të linearizojmë duhet të kemi parasysh gabimin që bëjmë (ose që bëhet).

Gjatë studimeve të mëtejshme në shumicën e rasteve do të kemi të bëjmë me sisteme të paraqitura me model të formës:

; ( )= + =⎧

⎨ = +⎩0x Ax Bu x 0 x

y Cx Du&

(2-123)

82

ku A, B, C, matrica konstante.

Ky model e mbulon dhe modelin e dhënë në (2-121). Me të vërtetë në rast se shënojmë:

[ ][ ]

1

1

, matricë ( )

, matricë ( )

n m q

p m q

⎧ = − × +⎪⎨

= − × +⎪⎩

B B E

D D F (2-124)

Do të fitojmë ekuacionet:

= += +

1 1

1 1

x Ax B uy Cx D u&

(2-125)

ku:

1⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

uud

(2-126)

është një vektor me (m+q) përmasa.

83

Shembull 2-11

Të hartohet modeli matematik dinamik i një gjeneratori sinkron i lidhur me një sistem me fuqi infinit me anë të një linje. Për gjeneratorin sinkron të mos merren parasysh efektet elektromagnetike dhe të rregullatorëve automatike të tensionit dhe të shpejtësisë.

Figura 2-37 Gjeneratori sinkron i lidhur me shinat infinit

E δ∠ng piy y+

dx′ slz

V

E δ∠

12y

10y

a) Qarku i njëvlershëm b) Qarku i njëvlershëm pas reduktimit të nyjes 3

Figura 2-38 Qarku i njëvlershëm i sistemit të fig.2-37

Zgjidhje Në fig 2-38a është paraqitur qarku i njëvlershëm i sistemit. Në të kemi treguar:

E& – f.e.m. e gjeneratorit pas reaktancës dx′ .

V& – tensioni i sistemit me fuqi ∞ . y& – përcjellshmëria e ngarkesës (zëvendëson fuqinë e ngarkesës

Png).

Në fig. 2-38b kemi treguar qarkun e njëvlershëm pas kthimit në trekëndëshin 1-2-0, dhe kemi shënuar përcjellshmërinë përkatëse y12, y10.

c) ekuacioni diferencial që përshkruan lëvizjen e masave rrotulluese:

2

2

( )( ) ( ) ( )mm e

d tJd t J m t m tdt dt

δΩ= = − , [w sek] [N m] (2-127)

ku:

84

Ω - shpejtësia këndore mekanike me rad/sek. mm – momenti mekanik i turbinës në Nm me – momenti elektrik J – momenti i inercisë i masave rrotulluese në kg·m2

mδ - këndi mekanik i rrotullimit në rad.

Duke shumëzuar me Ω të dyja anët e barazimit të mësipërm e duke zëvendësuar:

m pδδ = (2-128)

ku: δ – këndi elektrik në rad. p – numri i çift poleve kemi:

2

2 m edM p pdt

δ= − [w] (2-129)

ku: • M – masa inerte në Joul sek (W sek2) • pm, pe – respektivisht fuqitë mekanike të turbinës dhe elektrike të

gjeneratorit (nuk përfillen humbjet mekanike). Për t’i pasur fuqitë në njësi relative, pjesëtojmë me fuqinë nominale Sn [VA], të dy anët e barazimit dhe kemi:

2

2 m edM p pdt

δ= − [nj.r.] (2-130)

Tani masa inerte shprehet në sek2:

n

JMpS

Ω= (2-131)

Duke supozuar që Ω = Ωn, mund të shkruajmë:

2 2

n n M

n n s n s

J J TMp S Sω ω

Ω Ω= = =

Ω (2-132)

ku s npω ω= - shpejtësia këndore elektrike sinkrone, dhe

85

22 2

1[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

nM

n

kgmJ w seksekT sekS w wΩ ⋅

= ⋅ = = (2-133)

konstantja mekanike e kohës. Në formulën e TM, madhësitë janë dhënë në sistemin SI. Në praktikë zakonisht uzinat japin:

a) GD2 – momentin volan ne T m2 [1000 kG m2] b) J – momentin e inercisë në kgm2 c) n – numrin e rrotullimeve në minutë d) ω - shpejtësia këndore bazë në rad/sek e) p – numri i çift poleve f) Sn – fuqinë nominale në MVA.

Prandaj dhe llogaritja e TM do të bëhet mbi këtë bazë. Kështu modeli i inercisë del:

2

21000 [ ]4

GDJ kgmg

= (2-134)

Duke zëvendësuar dhe:

0

260

nn

nπΩ = (2-135)

ku nn – numri nominal i rrotullimeve në minutë, kemi:

22

2 2 2

6 6

2 2 26

210001000 460

4 10 3600 4 10

1036

Mn n

n

nGDGD nT

g S g S

GD n nS g

ππ

−

⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎝ ⎠= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

(2-136)

Këtu duhet të dallojmë dy raste: 1) Rasti kur momenti volan na jepet në tm2 dhe Sn në MVA Në ketë rast nuk bëhet pjesëtimi me gravitacionin tokësor dhe kemi:

2 2 2 2

2 62,7415568 1036

n nM

n n

GD n GD nTS S

π −= = (2-137)

86

2) Kur GD2 jepet në Tm2, atëherë:

2 2 2 22

60, 2794655 1036

n nM

n n

GD n GD nTS g S

π −= = (2-138)

d) Dypolari i fig. 2-38 përshkruhet nga ekuacioni:

1 11 12 1

2 21 22

I Y Y EI Y Y V

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

& & & &

& & & & (2-139)

ku: 11 11 1 12 12 12 12 12 12;Y Y y y Y Y yθ θ= ∠ = + = ∠ = −& & & && & & (2-140) (Me germa të vogla kemi shënuar përcjellshmërinë aktuale, ndërsa me të mëdha, elementet e matricës së përcjellshmërive, kurse rrethi sipër tregon madhësi komplekse).

Fuqia elektrike që prodhon gjeneratori, d.m.th. fuqia që shkon në nyjën 1:

*1 1 11 12

2 * 211 12 11 12 12

( , ) ( )*

cos( )

e e e

e

p p R E I R E EY VY

R E Y EVY E G EVY θ δ

⎧ ⎡ ⎤= = = − =⎣ ⎦⎪⎨

⎡ ⎤= − = + −⎪ ⎣ ⎦⎩

& & & & &

& & & (2-141)

ku:

2/12 πθγ −=

Gjithashtu:

max sin( )e cp P P δ γ= + − (2-142) Duke zëvendësuar pm = PT dhe (2-142) në ekuacionin diferencial (2-129), kemi:

max sin( )MT c

s

T P P P yδ δω

= − − −&& (2-143)

Duke pasur parasysh që δ ω=& , ekuacioni (2-143) merr formën:

[ ]max sin( )sT c

M

P P P yTωω δ= − − −& (2-144)

duke shënuar 1x δ= dhe 2x ω= , kemi:

87

2

1

max 12 [ sin( )sT c

M

xx

P P P x yxTω

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

&

& (2-145)

Arritëm kështu në ekuacionin e gjendjes së formës:

Tu P

=⎧⎨ = =⎩

x f(x,u)u&

(2-146)

Duke linearizuar kemi:

1 11 1 2

1 2

2 22 1 2 max 1 1 2

1 2

0

cos( (0) ) 0s s

M M

x xx x x ux xx xx x x P x y x x ux x T T

δ δδ δ

ω ωδ δδ δ

⎧Δ = Δ + Δ + Δ⎪⎪⎨⎪Δ = Δ + Δ = − Δ + Δ + Δ⎪⎩

& &&

& &&

Duke shënuar me:

12 max 1

2

1 1

cos( (0) )

/(0) (0)

s

M

s M

a P x yT

b Tx këndi i regjimit i makinës sinkrone

ω

ωδ

⎧ = − −⎪⎪⎪ =⎨⎪ = →⎪⎪⎩

(2-147)

në formë kompakte do të kemi:

1

21 22

0 1 00

xx u

a bxΔ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

&

& (2-148)

88

2.8 Ekuacionet e Gjendjes dhe Shndërrimi i Laplasit

2.8.1 Hyrje

Kur trajtuam metodën strukturore për sistemet N.H.N.D., konstatuam rëndësinë e ndarjes së sistemit në blloqe më të thjeshta, për të analizuar sistemin në studim. Kjo gjë merr rëndësi akoma më të madhe për sistemet Sh.H.Sh.D.. Bllokskema, e cila shpreh topologjinë e sistemit, pra lidhjet dhe bashkëveprimet e hallkave përbërëse të tij, edhe në këtë rast do të na vijë në ndihmë për ndërtimin e modelit matematik të sistemit në tërësi. Ashtu si për sistemet N.H.N.D. edhe për sistemet Sh.H.Sh.D., shndërrimi i Laplasit nuk e humbet rëndësinë e tij. Natyrisht fusha e tij shtrihet vetëm për sistemet lineare e të linearizuara.

Veçoria dalluese e sistemeve Sh.H.Sh.D. nga ato N.H.N.D. është se në vend të madhësive skalare, kemi madhësi vektoriale. Megjithatë gjithçka që thuhet për shndërrimin sipas Laplasit të madhësisë skalare f(t), vlen edhe për madhësinë vektoriale f(t), mbasi vlen për çdo përbërëse fi(t) të vektorit:

[ ]1 2( ) ( ), ( ), , ( ) Tnt f t f t f t=f L (2-149)

Natyrisht supozohet që lexuesi tashmë është i njohur me konceptet themelore të shndërrimit të Laplasit.

2.8.2 Matrica e Transmetimit dhe Funksioni Transmetues

Matrica e transmetimit

Le të ndalemi tani në një sistem linear të përshkruar nga ekuacionet e mëposhtme diferencialo – algjebrike:

89

= += +

x Ax Buy Cx Du&

(2-150)

Ekuacionet e mësipërme janë paraqitur në zonën e kohës. Por këto ekuacione mund të paraqiten edhe në zonën e variablit kompleks s, me ndihmën e shndërrimit të Laplasit.

Kështu duke pasur parasysh që:

( ) ( ) (0); 1, 2, ,( ) ( ); 1, 2, ,

( ) ( ); 1, 2, ,

i i i

j j

k k

x t sX s x i nu t U s j m

y t Y s k p

⎧ ⇔ − =⎪

⇔ =⎨⎪ ⇔ =⎩

& L

L

L

(2-151)

Në formë vektoriale, respektivisht do të kemi:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

t s st st s

⇔ −⎧⎪ ⇔⎨⎪ ⇔⎩

x X x 0u Uy Y

&

(2-152)

Kështu ekuacionet (2-150) mund të shkruhen:

( ) (0) ( ) ( )

( ) ( ) ( )s s s s

s s s− = +⎧

⎨ = +⎩

X x AX BUY CX DU

(2-153)

ose:

1 1( ) ( ) ( ) ( ) (0)

( ) ( ) ( )s s s ss s s

− −⎧ = − + −⎨

= +⎩

X I A BΥ I A xY Cx DU

(2-154)

Ekuacionet e mësipërme mund të paraqiten në formën e bllokskemës së figurës 2-39a). Në këtë figurë 1( )s −−I A , 1( )s −−I A B , që janë paraqitur brenda katërkëndëshave simbolike, janë matrica komplekse respektivisht me n n× dhe n m× përmasa. Në hyrje dhe në dalje të çdo katërkëndëshi kemi “sinjalet” që paraqesin vektorë në planin kompleks s. Meqenëse matricat përkatëse i shndërrojmë në një mënyrë ose në një tjetër vektorët në hyrje, atëhere ato marrin emrin matricë transmetimi.

Zakonisht në praktikë jemi të interesuar të lidhim madhësitë në dalje me ato në hyrje, në rastin tonë vektorin në hyrje me atë në dalje.

90

Meqenëse jemi në sistemet lineare, atëhere kushtet fillestare nuk i ndryshojnë vetitë sinamike të tij, rrjedhimisht ne gjithnjë kemi të drejtë ta sjellim sistemin në kushte fillestare të barabarta me zero.

Kështu, duke i supozuar kushtet fillestare ( ) =x 0 0 , mund të kalojmë lehtë në bllokskemën e figurës 2-39b, në të cilën kemi marrëdhënie të drejtpërdrejta ndërmjet hyrjes dhe daljes. Kjo marrëdhënie shprehet me ndihmën e matricës së transmetimit:

1( ) ( )s s −= − +G C I A B D (2-155)

Është e qartë se: ( ) ( ) ( )s s s=Y G U (2-156)

Në rastin e sistemeve me një hyrje e me një dalje ( 1m p= = ) kalohet në funksionin transmetues, që është natyrisht një madhësi skalare.

( )( )( )

y sG su s

= (2-157)

që siç e kemi parë është i barabartë me raportin e përfytyrimeve sipas Laplasit të daljes ndaj hyrjes për kushte fillestare të barabarta me zero.Prej këtej nuk është e vështirë të arrihet në përfundimin që për rastin e sistemeve me shume hyrje e me shumë dalje, një element

( )ijg s i matricës së transmetimit paraqet raportin:

( )( ) ; 1, , ; 1, ,( )

iij

j

y sg s i n j mu s

= = =L L (2-158)

me kushte fillestare të barabarta me zero. Rrjedhimisht matrica e transmetimit është një përgjithësim i funksionit transmetues për rastin e sistemeve me shumë hyrje e me shumë dalje.


Duke shënuar për rastin e sistemeve NHND:

91

[ ][ ]

1 2

1 2

, , ,

, , ,

Tm

Tn

b b b

c c c

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

b

c

L

L (2-159)

C(sI-A)-1B+UU(s) U(s)

b) Matrica e transmetimit

D

C(sI-A)-1B

(sI-A)-1

X(s) Y(s)U(s)

a) Ekuacionet e gjendjes sipas Laplasit

+++

+( )x 0

Figura 2-39 Skema strukturore e SRA linear

ekuacionet e gjendjes (2-150) marrin formën:

0

buy d u

= +⎧⎨

= +⎩T

x Axc x

& (2-160)

Në mënyrë të ngjajshme(2-155) mund të shkruhet:

10( ) ( )G s s d−= − +Tc I A b (2-161)

Ekuacioni i fundit lejon kalimin nga paraqitja e sistemit me ndihmën e variablave të gjendjes në paraqitjen e tij me anën e funksionit transmetues.

92

2.9 Ekuacionet e Gjendjes dhe Funksioni Transmetues

2.9.1 Hyrje

Në praktikë është bërë më se e zakonshme që të nxirren eksperimentalisht vetitë dinamike të një sistemi e pastaj këto veti të shprehen në formën e raportit të dy polinomeve të variablit s që nuk është gjë tjetër veçse funksioni transmetues.

Qëllimi i këtij paragrafi është formulimi i ekuacioneve të gjendjes kur njihet funksioni transmetues.

Ndryshimi themelor ndërmjet paraqitjes se dinamikës së një sistemi me anë të funksionit transmetues dhe variableve të gjendjes, konsiston në faktin që në rastin e parë vektori i variableve të gjendjes suprimohet, me fjalë të tjera metoda e funksionit transmetues na jep karakteristikat hyrje – dalje të sistemit, ndërsa metoda e variableve të gjendjes na siguron mënyrë suplementare dhe sjelljen e brendshme të sistemit.

Në lidhje me këto dy metoda duhet pasur parasysh, se kur këto janë të njëvlershme, d.m.th. cilat janë kushtet që duhet të kënaqë një sistem që ai të paraqitet drejt nga të dy metodat. Përgjigja e kësaj pyetjeje ka të bëjë me konceptet e drejtueshmërisë së sistemit, koncepte këto që do të shtjellohen në një kapitull më vete.

Në paragrafin e mëparshëm ne pamë se si mund të gjendet funksioni transmetues kut njihen ekuacionet e gjendjes. Tani do të ndalemi në proçesin e anasjelltë, d.m.th. njihet funksioni transmetues, të hartohen ekuacionet e gjendjes. Këtu duhet pasur parasysh që zgjidhja nuk është e vetme. Me të vërtetë, ndërsa funksioni transmetues specifikon mardhëniet hyrje – dalje të një sistemi, me zgjedhjen e variableve të gjendjes ka një farë arbitrariteti. Kjo do të thotë që për një funksion transmetues ekzistojnë në përgjithësi një numër i pafundëm paraqitjesh në formën e ekuacioneve të gjendjes. Nga ana tjetër siç e pamë edhe në paragrafin e mëparshëm njohja e ekuacioneve të gjendjes përcakton në mënyrë të vetme një funksion transmetues. Fakti që paraqitja në

93

formën e variableve të gjendjes përcakton në mënyrë të vetme funksionin transmetues të një sistemi, ndërsa kemi një infinitet paraqitjesh me ndihmën e variableve të gjendjës, tragon që paraqitja me ndihmën e variableve të gjendjes e përshkruan më mirë sistemin.

2.9.2 Diagramet e gjendjes

Në kalimin e ndërsjelltë nga funksioni transmetues në ekuacionet e gjendjes, luan një rol mjaft të rëndësishëm një lloj i posaçëm i grafit të sinjalit që njihet me emrin diagrami i gjendjes. Ky i fundit dallohet nga fakti që nyjet e tij paraqesin variablet e veçanta të gjendjes së sistemit.

Për t’u familjarizuar me diagramet e gjendjes, le të nisemi së pari nga ekuacionet diferencialo – algjebrike të mëposhtme, që përshkruajnë dinamikën e një sistemi të rendit të parë.

( ) ( ) ( )( ) ( )

x t ax t bu ty t cx t

= +⎧⎨ =⎩

& (2-162)

Për të shfrytëzuar grafët e sinjaleve, këto ekuacione duhen kthyer në ekuacione algjebrike. Një gjë e tillë mund të bëhet me ndihmën e shndërrimit të Laplasit. Kështu për sistemin në fjalë kemi:

( ) (0) ( ) ( )

( ) ( )sX s x aX s bU sY s cX s

− = +⎧⎨ =⎩

(2-163)

Ose:

(0) 1( ) [ ( ) ( )]

( ) ( )

xX s aX s bU ss s

Y s cX s

⎧ = + +⎪⎨⎪ =⎩

(2-164)

Nga ku arrihet në grafin e fig. 2-40a. Ky graf nuk është gjë tjetër veçse paraqitja grafike e ekuacioneve të gjendjes të shndërruara sipas Laplasit.

94

(t)x&

Figura 2-40 Diagramet e gjendjes për sistemin e gradës së parë

Duke e parë operatorin e Laplasit si një operator diferencimi:

dsdt

= (2-165)

dhe inversin e tij:

1s dt− = ⋅∫ (2-166)

si një operator integrimi, mund të kalohet lehtë në një diagramë e përzier gjendjeje, ku integratorët (ose operatorët e integrimit) do të shënohen më 1s− , kurse variablet do të paraqiten në zonën e kohës.

Me këtë kuptim kalohet në diagramën e figurës 2-33b, e cila do të përdoret gjerësisht duke e quajtur thjesht “diagrama e gjendjes së sistemit”.

2.9.3 Nxjerrja e ekuacioneve të gjendjes nga funksioni transmetues. Format kanonike

Siç u theksua edhe më parë, një funksioni transmetues i përkasin një pafundësi paraqitjesh në formën e ekuacioneve të gjendjes. Ne do të ndalemi në ato më të rëndësishmet.

Do të nisemi nga trajta e përgjithshme e funksionit transmetues:

95

1

1 1 01

1 1 0

.....( )( )( ) .....

n nn n

n nn

b s b s b s by sG su s s a s a s a

−−

−−

+ + + += =

+ + + + (2-167)

Duke pjestuar lart e poshtë me sn, fitohet:

1 ( 1)

1 1 01 ( 1)

1 1 0

.....( )( )( ) 1 .....

n nn n

n nn

b b s b s b sy sG su s a s a s a s

− − − −−

− − − −−

+ + + += =

+ + + + (2-168)

Varianti I

Ekuacioni (2-168) mund të rishkruhet:

1 1( 1)

( 1)1 1

( 1)( 1)

1 1

( )( )( ) 1 1

n nj n

j jj j

n ni n

i ii i

b s Py sG su s a s l

+ +− −

−= =

− −−

= =

= = =+ +

∑ ∑

∑ ∑ (2-169)

Duke i marrë si laqe të grafit faktorët:

( 1)1

i ni il a s − −

−= (2-170)

Dhe si rrugë të drejta nga burimi u(s) tek pusi y(s), faktorët:

( 1)1

j nj jP b s − −

−= (2-171)

s-1 s-1 s-1 s-1nx&1 1 1b0

x1x2xn

1nx −&

b1

bn-1

-a0

-an-1

-a1

1x&

Figura 2-41 Diagrami e gjendjes së funksionit transmetues

96

mund të kalohet lehtë në grafin e dhënë në figurën 2-40. Në këtë graf është patur parasysh marrëdhënia operatoriale:

1 ; 1, ,i ix x i ns

= =& L (2-172)

Duke bërë emërtimet e mëposhtme

1 2

2 3

1n n

x xx x

x x−

=⎧⎪ =⎪⎨⎪⎪ =⎩

&

&

M

&

(2-173)

arrihet në:

0 1 1 2 1n n nx a x a x a x u−= − − − − +& K (2-174)

dhe në:

0 0 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n n n ny b a b x b a b x b a b x b u− −= − + − + + − +K (2-175)

Rrjedhimisht në formë matricore mund të shkruhet:

0 1 2 1

0 1 0 0 00 0 1 0 0

0 0 0 1 01n

u

a a a a −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦

x b

L

L

& M M M O M M

L

L

(2-176)

[ ]0 0 1 1 1 1( )( ) ( )n n n n ny b a b b a b b a b u− −= − − − +xLL (2-177)

pra në formë kompakte:

u

d u= + ⋅⎧

⎨= + ⋅⎩

T

x Ax by c x

& (2-178)

ku:

97

( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1

0 0 1 1 2 2 1 1

0 1 0 0 00 0 1 0 0

,0 0 0 1 0

1

, , , ,n

Tn n n n n n n n

a a a a

b a b b a b b a b b a b−

− − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦

A b

c

L

L

M M M O M M

L

L

L

(2-179)

Në rast se bn = 0, atëhere ekuacionet marrin formën:

= +⎧

⎨=⎩

T

x Ax buy c x

& (2-180)

ku A, b, mbeten si më parë, ndërsa:

[ ]0 1 1, , , ; 0Tn nb b b d b−= = =c LL (2-181)

kjo formë e ekuacioneve të gjendjes njihet me emrin forma kanonike e kontrollit.

Varianti i dytë

Le të emërtojmë me xi nyjen xn-i+1 ( 1, 2, , )i n= L në grafin e fig. 2-40. Fitohet kështu grafi i figurës 2-41.

nx&

1nx −

1x& 2x&

1x

1nb −

Figura 2-42 Një emërtim i variablave të gjendjes

98

Në këtë rast ekuacionet e gjendjes marrin formën:

1 11 2 1 0

2 2

1 1

11 0 0 0 0

00 0 0 0 0 00 0 1 0 0

n

n n

n n

x xa a a ax x

ux xx x

−

− −

− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

& L

& L

M MM M O M M

&

& L

(2-182)

Ekuacioni i daljes nga grafi:

[ ]1 1 0 0( ) ( )n n n n ny b a b b a b b u− −= − − +xL (2-183)

ose në formë kompakte:

u

du= +⎧

⎨= +⎩

T

x Ax by c x

& (2-184)

Varianti III

Dihet se grafi i një sistemi nuk është unik. Kështu i njëjti funksion transmetues i dhënë në (2-167) mund të paraqitet edhe me grafin e dhënë, fig. 2-42. Nga diagrami i gjendjes së fig. 2-42, nxjerrim:

Ekuacionet e gjendjes

1 2 1 1

1 1 1

0 0

n n

n n

n

x x b u a y

x x b u a yx b u a y

− −

−

= + −⎧⎪⎪⎨ = + −⎪⎪ = −⎩

&

M M M

&

&

(2-185)

Ekuacioni i daljes

1 ny x b u= + (2-186)

99

Duke zëvendësuar në ekuacionet e gjendjes (2-185), ekuacionin e daljes (2-186), kemi:

1 1 1 2 1 1

2 2 1 3 2 2

1 1 1 1 1

0 1 0 0

1

( )( )

( )( )

n n n n

n n n n

n n n

n n

n

x a x x b a b ux a x x b a b u

x a x x b a b ux a x b a b u

y x b u

− − −

− − −

−

= − + + −⎧⎪ = − + + −⎪⎪⎪

= − + + −⎪⎨ = − + −⎪⎪⎪⎪⎪ = +⎩

&

&

M M

&

&

Ekuacionet e gjendjes

Ekuacioni i daljes

(2-187)

Prej nga:

1 1 1

2 2 1

1 1 1

0 0 0

1 0 0 10 1 0 0

, , ,0 0 1 00 0 0 0

n n n n

n n n n

n

n n

n

a b a ba b a b

d ba b a ba b a b

− − −

− − −

−

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A b c

L

L

M M M O M M M

L

L

(2-188)

1( )x& 1( )x 2( )x& 1( )nx −2( )x1nx −1nx −&nx&

( )nx&1x&

( )nx1xnx

Figura 2-43 Një graf i ri i gjendjes për funksionin transmetues

100

Varianti IV

Në rast se bëjmë emërtimet e variableve të gjendjes si ato që kemi shënuar në kllapa në fig. 2-42, atëhere nxjerrim që:

0 0 0

1 1 1

2

2 2 2

1 1 1

0 0 0 01 0 0 00 1 0

, , ,

0 0 1 00 0 0 1

n

n

n

n n n n

n n n n

a b a ba b a ba

d b

a b a ba b a b

− − −

− − −

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−

= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A b c

L

L

L M M

M M O M M M M

L

L

(2-189)

2.9.4 Disa forma kanonike të ekuacioneve të gjendjes

Të supozojmë që funksioni transmetues i dhënë në formën e raportit të dy polinomeve N(s) dhe E(s):

( ) ( )( )( ) ( )

Y s sG sU s s

= =NE

(2-190)

polet e tij, d.m.th. rrënjët e ekuacionit:

( ) 0s =E (2-191)

i ka të ndryshme nga njëra tjetra:

1 2 ..... nλ λ λ≠ ≠ ≠ (2-192)

Në këtë rast funksioni transmetues mund të shprehet i formës:

1

( )n

i

i i

cG ss λ−

=−∑ (2-193)

ku:

101

( )lim( ) ( ) ( ) |i

i

ii is

s

c s G s d sds

λ

λ

λλ→

=

= − =N

E (2-194)

Forma e parë kanonike

Funksioni transmetues, duke pjesëtuar me s çdo term, merr formën:

1

1( )1

i

i i

c sG ssλ

−

−=−∑ (2-195)

Prej këtej e kemi të lehtë të ndërtojmë grafin të përbërë nga degë paralele (fig. 2-43)

1x&

2x&

nx&

2x

1x

nx

1λ

nλ

2λ

Figura 2-44 Forma e parë kanonike– Grafi i gjendjes

Nga grafi del e qartë se:

1

; 1, ,i i in

i ii

x x u i n

y c x

λ

=

= + =⎧⎪⎨ =⎪⎩

∑

& L

(2-196)

prej nga ekuacionet e gjendjes në formë kanonike janë:

102

1

2

0 0 10 0 1

00 1

0 0 1n

u

λλ

λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

x x

L L

L M

& M O O M M

M M O O

L L

(2-197)

Ndërsa ekuacioni i daljes është:

[ ]1 2, , , ny c c c= xL (2-198)

D.m.th. 1 2[ , ,....., ]ndiag λ λ λ= =A Λ (2-199)

ku iλ janë polet e sistemit e që siç do të shohim më vonë përputhen me vlerat e veta të matricës A.

Ndërsa:

[ ] [ ]1 21,1, ,1 ; , , , ; 0nc c c d= = =T Tb cL LL (2-200)

Forma e dytë kanonike

Në rast se ndërtojmë grafin e fig. 2-44.

s-11x&

s-12x&

s-1nx&1

1

1c1

c2

cn

u y2x

1x

nx

1λ

nλ

2λ

Figura 2-45 Forma e dytë kanonike – Grafi i gjendjes

103

Nga grafi i fig.2-44 del e qartë se:

1

; 1, ,i i i in

ii

x x c u i n

y x

λ

=

= + =⎧⎪⎨ =⎪⎩

∑

& L

(2-201)

Në këtë rast matrica A mbetet diagonale si më parë, ndërsa

[ ] [ ]1 2, , , ; 1,1, ,1nc c c= =T Tb cL L (2-202)

Forma kanonike e Jordan-it

Le të ndalemi në rastin kur funksioni transmetues përmban një pol të rendit k, d.m.th.

0

1

( )( )( ) ( )

nk

i ii k

N sG s cs sλ λ

= +

= +− −∏

(2-203)

Dihet që në këtë rast funksioni transmetues mund të shprehet në fraksione si më poshtë.

011 11 1

( )( ) ( )

k nj i

k jj i k i

c cG s cs sλ λ− +

= = +

= + +− −∑ ∑ (2-204)

ku:

1

1

111,2, ,

1 ( )lim [( ) ]( 1) ( )

lim( ) ( )i

jk

j jsj k

i is

d N sc sj ds E s

c s G s

λ

λ

λ

λ

−

−→=

→

= ⋅ −−

= −L (2-205)

Funksionit G(s) mund t’i japim një trajtë tjetër:

( 1) 1

01 1 11 11

( )( )( ) (1 ) 1

k jk nj i

k jj i k i

c s c sy sG s cu s s sλ λ

− − + −

− − + −= = +

= = + +− −∑ ∑ (2-206)

104

Prej kësaj formule ne kalojmë në hartimin e grafit që ka për transmetancë të njëvlershme nga u(s) në y(s) pjesën e djathtë të barazimit të mësipërm. Grafi jepet në fig. 2-45.

kx& 1kx −& 1x&

1kx +&

nx&

Figura 2-46 Forma kanonike e Jordan-it – Grafi i gjendjes

Nga grafi duket qartë që kanë vend barazimet:

1 1 1 2

2 1 2 3

1

1 1 1

k k

k k k

n n n

x x xx x x

x x ux x ux x u

λλ

λλ

λ+ + +

= += +

= += +

= +

&

&

M M M

&

&

&

(2-207)

dhe:

01

n

i ii

y c x c u=

= +∑ (2-208)

Në këtë mënyrë arrijmë në ekuacionet e gjendjes që njihen me emrin “forma kanonike e Jordanit”:

j

u

d u

= +

= +j j

Tj

x A x b

y c x

& (2-209)

ku:

105

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

0

1

2

1 0 00 1 0

0 0 10 0 0

00

0; ;1

11

1

00

0

0

k

k

k

k

k j

k

k

n

cc

cc d c

cc

c

λλ

λλ

λ

λ

λ

+

+

+

−

+

+

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥

=⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨⎪ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

j j

A

b c

L

L

M M O O M

L

L

O

MM

MM

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

(2-210)

Përfundime

Në këtë paragraf u ndalëm në disa forma nga format më të përhapura të paraqitjes së ekuacioneve të gjendjes së sistemeve NHND. Lexuesi inkurajohet që të nxjerrë edhe ai forma të tjera të ekuacioneve të gjendjes. Kështu, një skemë strukturore mund të ndahet në disa blloqe, ku për secilin prej tyre, duke e trajtuar si një nënsistem, mund të hartohen ekuacionet e gjendjes me një nga metodat e para më lart. Ekuacionet e përgjithshme të gjendjes do të dalin nga lidhjet që kanë ndërmjet tyre blloqet e veçanta.

106

3 PERFORCUESIT OPERACIONALE

3.1 Përforcuesit me një hyrje

Në sistemet e kontrollit kanë gjetur përdorim të gjerë përforcuesit elektronikë, që përdoren si për përforcimin dhe përpunimin e sinjalit, ashtu edhe si përforcues fuqie.

Përforcuesit elektronikë të fuqisë realizohen në skema nga më të ndryshmet dhe dallohen rrënjësisht nga ato të përforcuesve të sinjalit. Meqenëse për komandimin e fuqive të mëdha në organet ekzekutuese kërkohet një rendiment i mirë, si përforcues elektronikë fuqie zakonisht, përdoren përforcues me tiristorë. Për përforcimin e sinjaleve përdoren përforcues elektronike lineare në formë qarqesh të integruara. Me përforcimin e sinjalit është lidhur ngushtë edhe përpunimi i tij. P.sh. mund të kërkohen veprime matematike nga më të ndryshimet: shuma, diferenca, shumëzime sinjalesh me një konstante apo shumëzime ndërmjet tyre, shndërrime të sinjalit me ndihmën e një mjeti korrektues në mënyrë të tillë që të arrihen kërkesa të caktuara të cilësisë së SRA etj. Këto që thamë mund të realizohen lehtë me ndihmën e përforcuesve operacionalë (P.O.).

Përforcuesi operacional (fig. 3-1) është një përforcues i rrymës të vazhduar (d.m.th brezi i lejimit të tij përfshin dhe frekuencën zero) që përforcon dhe njëkohësisht ndryshon shenjën e tensionit në hyrje, me koeficient përforcimi G mjaft të madh ( 200,000G ≥ ).

107

hV ′ dVG−

hV ′ dVhG V ′− ⋅

a) Simboli b) Qarku i njëvlershëm

Figura 3-1 Përforcuesi operacional

Karakteristikat kryesore për një përforcues operacional janë:

1. Koeficient mjaft të lartë përforcimi, në zonën e frekuencave që na interesojnë.

2. Rezistencë të hyrjes Rh mjaft të lartë 3. Rezistencë në dalje mjaft të ulët (Rd) 4. Ndikim të vogël nga zhurmat

3.1.1 Realizimi i Operacioneve Aritmetike me Ndihmën e P.O.

Përforcuesi operacional ideal do të kishte

, , 0h dG R R→ ∞ → ∞ → (3-1)

Megjithatë, për analizën e punës së përforcuesit operacional do t’i referohemi këtyre idealizimeve që praktikisht nuk janë shumë larg realitetit.

Do të supozojmë që përforcuesi operacional është ideal dhe është i lidhur me një qark rezistencash komplekse Zh, Zk, siç tregohet në fig. 3.2.

Në bazë të parimit të mbivendosjes tensioni në hyrje të përforcuesit do të jetë(rryma në hyrje është zero sepse hR → ∞ ):

108

' ( ) ( )( ) ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

k hb h d

b k b k

Z s Z sV s V s V sZ s Z s Z s Z s

= ++ +

(3-2)

ose: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h b dV s B s V s H s V s′ = + (3-3)

ku:

( ) ( )( ) ; ( )

( ) ( ) ( ) ( )k h

h k h k

Z s Z sB s H sZ s Z s Z s Z s

= =+ +

(3-4)

( )hZ s

( )kZ s

hV ′

hV dV

G−( )B s

( )H s

−+ dVhV

hV ′

a) Përforcuesi operacional b) Bllokskema e PO

Figura 3-2 Përforcuesi operacional dhe bllokskema e tij

Nga (3-3) mund të kalohet në skemën strukturore të fig. 3-2. Nga kjo skemë:

( ) ( ) ( )

1( ) 1 ( ) ( )d

h

V s G B s B sV s G H s H s

G

− −= =

+ + (3-5)

Në zonën e frekuencave ku:

( ) ( ) 1G j H jω ω >> (3-6)

mund të shkruajmë:

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

d kd

h h

V s Z sB sG sV s H s Z s

= = − = − (3-7)

Formula (3-7) është baza e opetacioneve të ndryshme matematikore si: shumëzimi me një kostante, integrimi, diferencimi, të cilat jepen në figurën 3-3.

109

Vh VdRh

Rk

( ) ( )

d k

h h

d h

V R kV RV t kV t

= − = −

= −

0

1 ;

1( ) ( ) (0)

d

h st

d h d

V T RCV T

V t V t dt VT

= − =

= − +∫

a) Shumëzimi me një konstante b) Integrimi

dVhV

hV dV

kR

C

1

( ) ( )

d

h

d h

V RV RV t V t

= − = −

= −

( ) ;( )

( ) ( )

d

h

d h

V s Ts T RCV s

dV s T V tdt

= − =

= −

d) Invertimi d) Derivimi Figura 3-3 Operacionet elementare matematikore me P.O.

Vihet re që operacionet e mësipërme aritmetike shoqërohen me ndryshimin e shenjës,çka nuk paraqet problem mbasi mund të krijohen elemente operacionale që ndryshojnë vetëm shenjën e që quhen invertorë. Për këtë mjafton të bëjmë Rk=Rh. Në qoftë se kthehemi edhe një herë tek figura 3-1a dhe kemi parasysh që sinjali i daljes së P.O. është i kufizuar, kurse përforcimi i tij G shumë i madh mund të supozojmë që tensioni i hyrjes së tij

0dh

G

VVG →∞

= =−

(3-8)

Rrjedhimisht hyrja e PO ka potencialin e tokës (referimit), e shpesh njihet me emrin “tokë virtuale”. Kështu PO mund të konsiderohet si një rregullator që kërkon të mbajë zero gabimin Vh. Duke u bazuar në këtë

110

veti, nxjerrja e funksionit transmetues të PO me lidhje të kundërta mund të bëhet lehtë duke shkruar ligjin e parë të Kirkofit për “tokën virtuale”. ( )d h hV G V V′ ′′= − − (3-9)

Në rastin e qarkut të figurës 3-2a mund të shkruhet:

( ) ( ) 0( ) ( )

h d

h k

V s V sZ s Z s

+ = (3-10)

Prej nga:

( ) ( )( ) ( )

d k

h h

V s Z sV s Z s

= − (3-11)

Në rastin e qarkut me shumë hyrje të paraqitur në figurën 3-4 në mënyrë të ngjashme del:

1

( ) ( ) 0( ) ( )

i

i

nh d

i h k

V s V sZ s Z s=

+ =∑ (3-12)

Prej nga:

1

( )( ) ( )i

nk

d ii h

Z sV s V sZ=

= − ⋅∑ (3-13)

1 i

nk

d ii h

ZV VZ=

= −∑

Figura 3-4 Njësi e përgjithësuar llogaritëse

Duke vendosur tipe të ndryshme rezistencash komplekse në qarkun e fig. 3-4 fitohen njësi llogaritëse analoge të paraqitura në fig. 3-5

111

1 ;

1( ) ( )

d i i ii i

d ii i

V V T R CT s

V t V t dtT

= − =

⎡ ⎤= − ⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

∑∫

1 1

n nk

d i i ii ii

RV V k VR− −

= − = −∑ ∑

a) Integrimi i shumës së sinjaleve b) Shuma e sinjaleve

Figura 3-5 Njësi llogaritëse analoge

Një ose disa nga elementët që përbëjnë qarkun e rezistencave të figurës 3-4, mund të mos jenë thjesht rezistenca, por qarqe të ndërlikuara siç tregohet në figurën 3-6a.

Z1T

Z2T

ZnT

ZKT

V1

V2

Vn

Vd

a) Dypolari b) PO me dypolarë

Figura 3-6 Përftimi i funksioneve transmetues me ndihmën e një P.O

112

Duke supozuar që P.O. është ideal (Vh ≈ 0), mund të përdoret akoma marrëdhënia (3-11),duke zëvendësuar në vend të çdo rezistence rezistencën e transmetimit, me të cilën duke iu referuar figurës 3-6a kuptohet:

1

2

( )( )( )k

Ls

V sZ sI s

= (3-14)

ku V1(s), I2Ls(s), janë përfytyrimet sipas Laplasit respektivisht të tensionit të zbatuar në bornën 1 të qarkut e të rrymës së lidhjes së shkurtër me tokën të bornës 2 (figura 3-6a). Për rastin në shqyrtim lidhja e shkurtër realizohet nëpërmjet tokës virtuale.

Shpesh përdoren qarqe T, rezistenca e transmetimit e të cilave gjendet në bazë të shndërrimit yll-trekëndësh (figura 3-7a)

1 2 1 2 3/tZ Z Z Z Z Z= + + (3-15)

Përdorimi i qarqeve të ndërlikuara të hyrjes dhe të lidhjes së kundërt lejon, që me ndihmën e një P.O. të vetëm të realizohen funksione transmetimi nga më të ndryshmet. 1 2 1 2 3/tZ Z Z Z Z Z= + + (3-16)

a) b) Figura 3-7 Llogaritja e rezistencës së transmetimit

Qarqet e përdorura më shumë në fushën e kontrollit automatik janë ato të paraqitura në tabelën 3-1, që paraqesin në vetvete qarqe kompensuese pasive (filtra pasive), parametrat e të cilave zgjidhen për përmirësimin e cilësisë së S.R.A.

113

Tabela 3-1

Impedenca e transmetimit Zt(s) Dypolari Marrëdhëniet me dypolar

A(1 Ts)+

A=2R T=RC/2

1 1 TsBs Ts

+⋅

B=C/2 T=2RC

A =2R1R2/(2R1+R2)

T=R1C/2

α=2R1/(2R1+R2)

A=2R1 T=(R2+R1/2)C

α=2R2/(2R2+R1)

1 TsA1 αTs

++

A=2R T=R/2(C1+C2)

α=2C2/(C1+C2)

1 22

1 2

(1 T s)(1 T s)1Bs T T s

+ +⋅

B=C1C2/(C1+C2) T1=RC1 T2=R(C1+2C2)

12

1 2

1 T sA1 T T s

++

A=2R1 T1=R1C1/2=2R2C2

T2=R1C2

12

1 1 2

1 T sA1 T s T T s

++ +

A=R2 T1=2R1C T2=R1C/2

114

Shembull 3-1

Të përcaktohet qarku i lidhjes së kundërt të P.O. që realizon një karakteristikë logaritmike të amplitudës së dhënë në figurën 3-8a.

Zgjidhje

Funksioni transmetues që i përgjigjet diagramit të figurës 3-8a është: Duke u bazuar në marrëdhëniet e dhëna në tabelën 3-1 fitohet skema e dhënë në figurën 3-8b.

a) KLA b) Realizimi i funksionit transmetues

Figura 3-8 P.O. me dypolar në lidhjen e kundërt

3.1.2 Përforcuesi Operacional me Hyrje Diferenciale

Deri tani u morën në shqyrtim PO me vetëm një hyrje. P.O. me hyrje diferenciale (fig.3-9) kanë elasticitet në përdorim. Duke iu referuar figurës 3-9a, që paraqet simbolin e PO me hyrje diferenciale (POD) dhe figurës 3.5-8b që paraqet skemën e zëvëndësimit të POD mund të shkruajmë: ( )d h hV G V V′ ′′= − − (3-17)

a) Simboli b) Qarku i njëvlershëm

Figura 3-9 Përforcuesi Operacional Diferencial (POD)

115

Duke patur parasysh që G→∞ (3-17) na jep:

h hV V′ ′′≈ (3-18)

Kjo formulë është dhe baza e operacioneve matematikore të realizuara me POD. Në rast se 0hV ′′≈ , kthehemi në rastin e PO të zakonshme me një hyrje.

dV ′′

hV ′′

hV ′

Figura 3-10 Skema e përgjithëshme e një P.O.D.

Në figurën 3-10 është paraqitur skema e përgjithshme e lidhjes së një POD. Për të gjetur marrëdhëniet e tensioneve Vi(i = l,2,…,n) dhe V”h me Vd, do t’i referohemi parimit të mbivendosjes. Kështu duke supozuar V”h = 0 fitojmë P.O. e zakonshëm, për të cilin ka vend barazimi:

1

( )( ) ( )( )

nk

d ii i

Z sV s V sZ s=

′ = −∑ (3-19)

Për rastin kur 0; ( 1,2, , )iV i n= = L dhe 0hV ′′≠ , duke pasur parasysh dhe (3-18) fitohet:

1 1

1

1( ) ( )1( ) ( ) 1 1 1 1( )

1 ( ) ( ) ( )( )

d kh h n n

k ni ii k i

i i

V s Z sV s V sZ s

Z s Z s Z sZ s

= =

=

′′ ′= = ⋅ =+ +∑ ∑

∑

(3-20)

Duke shënuar me :

116

1

1 1( )( ) ( )

n

ik i

Y sZ s Z s=

= + ∑ (3-21)

përcjellshmërinë e plotë të hyrjes negative të POD, fitohet:

( ) ( ) ( ) ( )d k hV s Z s Y s V s′′′′ = (3-22)

Rrjedhimisht, në bazë të parimit të mbivendosjes:

1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

nk

d d d i k hi i

Z sV s V s V s V s Y s Z s V sZ s=

′ ′′ ′′= + = − +∑ (3-23)

Shembull 3-2

Të gjendet operacioni që kryen POD i figurës 3-11.

-+

R

R

RR hV ′

hV ′′1V

2V

dV

Figura 3-11 Skema realizimit të shumës së dy tensioneve vetëm me një P.O.D.

Zgjidhje

Llogarisim hV ′

2 2

d dh

V VV RR

′ = ⋅ =⋅

(3-24)

Prej nga, duke pasur parasysh dhe (3-18):

2 2d h hV V V′ ′′= = (3-25)

Në bazë të parimit të mbivendosjes:

117

2

1

10

20

2

2

h V

h V

VV

VV

=

=

⎧ ′′ =⎪⎪⎨⎪ ′′ =⎪⎩

(3-26)

Kështu:

2 10 0 1 2

1 ( )2h h V h VV V V V V= =′′ ′′ ′′= + = + (3-27)

Duke zëvendësuar (3-27) në (3-25) kemi:

1 2dV V V= + (3-28)

Shembull 3-3

Të gjendet operacioni që kryen POD i figures 3-12

Figura 3-12 Realizimi i diferencës së dy tensioneve me anë e POD

Zgjidhje

Në bazë të ekuacionit (3-23):

1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

nk

d i k hi i

Z sV s V s Y s Z s V sZ s=

′′= − +∑

Duke bërë zëvendësimet e mëposhtme (fig. 3-12) :

21

2; ; ; ( )2i k h

VV V Z R V Y sR

′′= = = =

kemi:

118

21 2 1

22d

VRV V R V VR R

= − + = −

Pra skema realizon diferencëne dy sinjaleve hyrëse.

3.1.3 Rregullatorët e P, I, PI, PD, PID

Në kontrollin e proceseve industriale kanë gjetur përdorim të gjerë të ashtuquajturit rregullatorë P, I, PI, PD e PID – që në varësi të funksionit transmetues të tyre, marin dhe emrat përkatës, siç tregohet në tabelën e mëposhtëme: Tabela 3-2 Tipet standarde të rregullatorëve industriale

Tipi i Rregullatorit Emërtimi Funksioni Transmetues Përpjesëtimor P ( )p pG s K= Integrues I

1( )I pG s K T s= Përpjesëtimor – Integrues PI ( ) (1 1 )PI p iG s K T s= + Përpjesëtimor – Derivues PD ( ) (1 )PD p DG s K T s= +

Përpjesëtimor–Derivues–Integrues PID ( ) (1 1/ )PID p D iG s K T s T s= + + Duke e përfytuar rregullatorin si një pajisje që në hyrje ka gabimin ε(s) të SRA dhe në dalje ngacmimin rregullues u(s), skema strukturore e rregullatorit PID nga i cili rrjedhin të gjitha tipet e dhëna në tabelën e mësipërme jepet në figurën 3-13.

( )u s( )sε

dT s

1

iT s

pK

Figura 3-13 Skema strukturore Rregullatorit PID

119

Në tabelën e mëposhtme jepen realizime të mundshme të rregullatorëve PI, PD, dhe PID që i referohen skemës strukturore të fig. 3-13. Tabela 3-3 Skemat parimore të rregullatorëve industriale

Tipi Skema Parimore Marrëdhënjet midis variablave

Rre

gu

llato

ri P

I

dVα

dVhV

1/( ) 1 1( ) (1 )( )

h d

d

h

V VR R sC

V sG sV s Ts

T RC

α

α

− = →+

= = − +

=

Rre

gu

llato

ri P

D dVα

dVhV

/1/

( ) 1( ) (1 )( )

hd

d

h

V VR sC RR sC

V sG s TsV s

T RC

α

α

= − →

+

= = − +

=

Rre

gu

llato

ri P

ID

1 1

1( ) (1 )

;

PID p Di

D i

G s K T sT s

T RC T R C

= + +

= =

120

3.2 Filtrat Analoge (Aktive)

3.2.1 Hyrje

Në paragrafin e mëparshëm u njohëm me disa tipe filtrash aktivë; do të merremi me sintetizimin, me ndihmën e PO të funksionit të përgjithshëm transmetues të formës:

1

1 1 01

1 0

......( )( )( ) ......

m mm m

n nn

b s b s b s bB sG sA s s b s a

−−

−−

+ + += =

+ + (3-29)

Në këtë paragraf nuk do të trajtohet teoria e filtrave që është argument i një shkence më vete, por do të jepen njohuritë minimale inxhinierike për sintetizimin praktik të funksionit transmetues të dhënë në (3-29), me ndihmën e përforcuesve operacionalë me qarqe RC, si në hyrjet, ashtu edhe në lidhje të kundërta. Të gjitha skemat aktive në studim do të konsiderohen të normalizuara, ku me normalizim kuptohet referimi ndaj një moduli bazë të rezistencës dhe e një frekuence bazë. Me normalizim sipas rezistencës së plotë me shkallë α0 nënkuptohet:

1) Zëvëndësimi i një rezistence R [Ω] me rezistencën α0R [Ω].

2) Zëvëndësimi i çdo kondensatori C (Fd) me C/α0 [Fd].

Me normalizimi sipas frekuencës me koeficient shkalle ω0 nënkuptohet zëvëndësimi i çdo kondensatori C [Fd] me kondensatorin C/ω0 [Fd].

Për m≤n funksioni transmetues (3-29) mund të paraqitet në formën:

( ) ( )jj

G s G s= ∏ (3-30)

ku ( )jG s ose është nyje e rendit të parë:

1 0

0

( ) j jj

j

b s bG s

s a+

=+

(3-31)

ose nyje e rendit të dytë:

121

2

2 1 02

1 0

( ) j j jj

j j

b s b s bG s

s a s a+ +

=+ +

(3-32)

Ka dy grupe metodash themelore të projektimit të filtrave aktive:

1) metodat e realizimit të drejtpërdrejtë të cilat e realizojnë funksion transmetues të dhënë në (3-29) në mënyrë të plotë,

2) metodat kaskadë, që e realizojnë funksionin me fjalë nëpërmjet realizimeve të pjesshme të tipit (3-31) e (3-32)

Do të ndalemi shkurtimisht veçmas në secilin grup.

3.2.2 Metodat e realizimit të drejtpërdrejtë

Këto metoda bazohen në të ashtuquajturën teoremë e shpërbërjes RC—RC, e cila thotë:

“Funksioni racional F(s)=C(s)/D(s) me pole reale negative dhe me rende nc, np të polinomeve përkatëse C(s) e D(s), mund të shprehet si:

1 2

1 2

( ) ( ) / ( ) ( ) ( ); ( )( ) ( ) / ( ) ( ) ( ); 1 ( )

C D

C D

F s C s D s Z s Z s n n aF s C s D s Y s Y s n n b

= = − ≤⎧⎨ = = − ≤ +⎩

(3-33)

ku: Z1(s), Z2(s) Y1(s), Y2(s), janë funksione hyrëse të rezistencës (përcjellshmërisë) së plotë të realizuara me elementë pasive RC.”

Për realizimin e funksionit transmetues G(s) të formës së dhënë në ekuacionin (3-33) a, atë e shkruajmë në formën:

( ) ( ) / ( )( )( ) ( ) / ( )

B s B s D sG sA s A s D s

= = (3-34)

ku D(s) është një polinom arbitrar i rendit nd, i cili ka vetëm rrënjë reale negative, si dhe max( , ) 1Dn m n≥ − ; ku m, n janë respektivisht rendet e B(s) dhe të A(s).

122

Për thjeshtimin e skemës së realizimit, rrënjët e D(s) merren të barabarta me rrënjët reale negative të polinomeve A(s) ose B(s). Në bazë të teoremës së shpërbërjes:

1 2

3 4

( ) ( )( ) / ( )( )( ) / ( ) ( ) ( )

Y s Y sB s D sG sA s D s Y s Y s

−= =

− (3-35)

Funksionet e nevojshme të hyrjes së përcjellshmërisë së plotë përcaktohen nëpërmjet krahasimit të termave përkatëse të funksionit transmetues G(s) si dhe asaj të skemës realizuese.Mbetet të realizohen vetëm këto dypolarë RC.

Metoda e Laveringut Sipas kësaj metode funksioni transmetues mund të realizohet me një PO dhe dypolarët e lidhur si në figurën 3-14.

0 0Y arbitrare≠ − Figura 3-14 Skema e realizimit sipas Laveringut

Funksioni transmetues i skemës përcaktohet nga shprehja:

( )( )( )

d b a

h c d

V s Y YG sV s Y Y

−= =

− (3-36)

Shembull 3-4 Të realizohet me metodën e Laveringut funksioni transmetues:

123

1( )

( 2)( 3)sG s

s s s+

=+ +

(3-37)

Zgjidhje Zgjedhim polinomin ( ) ( 1)( 2)D s s s= + + (3-38) Kemi:

( ) 1 (1/ 2)( ) 2 2( ) 2( ) 1

B s sD s sA s ssD s s

⎧ = −⎪ +⎪⎨⎪ = +⎪ +⎩

(3-39)

Duke pasur parasysh dhe (3-36), mund të shkruajmë:

/ 21/ 2( ) / ( ) 2( ) 2( ) / ( )1

b a

c d

sY YB s D s sG s sA s D s Y Y s

s

−− += = =− +

+

(3-40)

Rrjedhimisht:

/ 21/ 2;2

2 ; 01

b a

c d

sY Ys

sY s Ys

⎧ = =⎪⎪ +⎨⎪ = + =⎪ +⎩

(3-41)

Duke vendosur dy polarët me përcjellshmëritë përkatëse në bazë të skemës së përgjithshme të figurës 3-14, fitohet skema e figurës 3-15.

Figura 3-15 Realizimi i G(s) sipas Laveringut

124

Metoda e Mitras Sipas kësaj metode funksioni transmetues mund të realizohet me një PO dhe dypolarët e lidhur si në figurën 3-16.

Figura 3-16 Skema e realizimit sipas Mitras

Le të shqyrtojmë skemën e fig. 3-16, ku potencialet e hyrjeve i janë referuar tokës. Për nyjet A dhe B mund te shkruhet:

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0b h d f h

a h c e d

Y V V Y V Y V V

Y V V Y V Y V V

− + + − =⎧⎪⎨

− + + − =⎪⎩ (3-42)

Nga ekuacioni i parë i (3-42) fitohet:

1b b f d

b d f

Y V Y VV

Y Y Y+

=+ +

(3-43)

Pas zëvëndësimit në ekuacioni i dytë të (3-42) arrihet në barazimin e mëposhtëm:

( ) ( )

( ) ( )

a b d f b a c e b

f a c e e b d f d

Y Y Y Y Y Y Y Y V

Y Y Y Y Y Y Y Y V

⎡ ⎤+ + − + + =⎣ ⎦⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦

(3-44)

Në këtë mënyrë funksioni transmetues i skemës:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )a b d f b a c ed

b f a c e e b c f

Y Y Y Y Y Y Y YV sG sV s Y Y Y Y Y Y Y Y

+ + − + += =

+ + − + + (3-45)

Sipas kësaj metode zakonisht zgjidhet:

125

a c e b d fY Y Y Y Y Y+ + = + + (3-46)

dhe funksioni transmetues merr formën:

( ) d a b b a

b f e e f

V Y Y Y YG sV Y Y Y Y

− −= = =

− − (3-47)

Etapat e projektimit sipas Mitras mund të përmblidhen si më poshtë: 1. Jepet funksioni G(s) i formës (3-29). 2. Zgjidhet një polinom arbitrar D(s) i rendit nD

( )max( , ) 1Dn m n≥ − , kurse rrënjët e polinomit të thjeshta, reale negative.

3. Shpërbëhet funksioni G(s) në formën:

1 2

3 4

( ) ( )( ) ( ) / ( )( )( ) ( ) / ( ) ( ) ( )

Y s Y sB s B s D sG sA s A s D s Y s Y s

−= = =

− (3-48)

4. Barazohen koeficientët përkatës të shprehjeve (3-47) e (3-48) sipas varianteve a ose b, si më poshtë:

( )( )

1 2 3 4

1 2 3 4

, , ,

, , ,a b f e

b a e f

Y Y Y Y Y Y Y Y a

Y Y Y Y Y Y Y Y b

⎧ = = = =⎪⎨

= = = =⎪⎩ (3-49)

5. Gjenden Yc dhe Yd.

a) Sipas variantit a të (3-49), nga (3-46) marrim:

3 4 1 2( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

c d f e a bY Y Y Y Y Y Y Y Y Y

A s B s A s B sD s D s D s

− = − − − = − − −

−= − =

(3-50)

b) Në mënyrë të ngjashme sipas variantit b të (3-49) marrim:

( ) ( )

( )c dB s A sY Y

D S−

− = (3-51)

Rrjedhimisht:

5 6( ) ( )

( )c dB s A sY Y Y Y

D S−

− = ± = − (3-52)

126

Si rezultat : 5 6;c dY Y Y Y= = (3-53)

6. Realizohen dypolarët me përcjellshmëritë e hyrjes përkatëse Ya, Yb, Yc, Yd, Ye, Yf duke u bazuar në sintezën e qarqeve pasive RC. Për qarqet e thjeshta mund të vlejë edhe tabela 3-1.

7. Së fundi vendosen përcjellshmëritë Ya ÷ Yf në skemën e fig. 3-16.

Shembull 3-5

Të realizohet sipas metodës së Mitras funksioni transmetues:

1( )( 2)( 3)

sG ss s s

+=

+ +.

Zgjidhje

Procedura e projektimit do të jetë:

• Zgjedhim

( ) ( 1)( 2)D s s s= + + (3-54)

• Shpërbëjmë G(s):

11 22 2( ) 2

1

s

sG s sss

−+=

++

(3-55)

• Sipas variantit a të (3-49) kemi:

1221/ 2, , , 0

( 2) 1a b f e

s sY Y Y s Ys s s

= = = + =+ +

(3-56)

• Gjejmë Yc,Yd

127

3 2

( ) ( ) ( 2)( 3) ( 1)( ) ( 1)( 2)5 5 1 ( )

( 1)( 2) ( )

c dA s B s s s s sY Y

D s s ss s s C s

s s D s

− + + − +⎧ − = = ⇒⎪ + +⎪⎨

+ + −⎪ ⇒ =⎪ + +⎩

(3-57)

Vëmë re që:

1 1( ) 22 21( ) 1 2

C ss D s s s s

−= + + +

+ + (3-58)

Rrjedhimisht:

12 2( ) (1/ 2)

1 2c d

ssY Y ss s

− = + + −+ +

(3-59)

Pra:

2 (1/ 2) , 1/ 2

1 2c ds sY s Y

s s= + + =

+ + (3-60)

Skema e realizimit jepet në fig. 3-17.

Figura 3-17 Realizimi sipas Mitras i G(s)

128

Metoda kaskadë Sipas mënyres kaskade realizimi i funksionit transmetues bëhet me lidhjen në seri te filtrave të rendit të parë dhe të dytë. Kjo mënyrë është mjaft e parapëlqyer për standardizimin, sepse kërkon vetëm dy tipe nyjesh. Kjo gjë sjell dhe thjeshtimin e procesit të sintetizimit të funksionit transmetues. Përsa i përket realizimit të nyjeve të gradës së parë ato u trajtuan në paragrafin 3.1. Mbetet vetëm trajtimi i nyjeve të gradës së dytë forma e përgjithshme e të cilave mund te shprehet me:

2

2 1 02

1 0

( ) b s b s bG ss a s a

+ +=

+ + (3-61)

Kjo formë paraqitjeje njihet me emrin bikuadrate mbasi ka rendin 2 si për emëruesin, ashtu edhe për numëruesin.

Për raste të veçanta nga (3-61) fitohen për: • 1 2 0b b= = , filtri i frekuencave te ulëta. • 2 0 0b b= = , filtri i brezit. • 1 0 0b b= = , filtri i frekuencave të larta. • 1 2 0 00;b b b a= ≤ , filtri kufizues i frekuencave të ulëta. • 1 2 0 00;b b b a= ≥ , filtri kufizues i frekuencave të larta.

Nyja e gradës së dytë mund të realizohet si me një P.O. ashtu edhe me disa P.O. Ne do të ndalemi në metodën dytë.

Duke ju referuar hartimit të diagrameve të gjendjes, në rast se operacioni i lintegrimit do të zëvëndësohej me integratorët përkatës, dhe operacionet e mbledhjes me shumatorët atëhere mbi bazën e grafit të gjendjes së funksionit transmetues (3-61) do të ndërtohej skema realizuese e funksionit transmetues (fig. 3-18).

Në skemë ka vend marrëdhënia:

0 0 1 sec.R C =

129

1x&2x&

1x0b

yu2x

a)

R0

C0

R0

y

−+

−+

R0

C0R0

R0

u

0 0R b

0 1R b

0 2R b

1x−

1x&2x− & −

+

−+

0 0R a

0 1R a 2x

b)

Figura 3-18 Realizimi i nyjës bikuadrate me metodën e variableve të gjendjes a) Grafi i gjendjes së FT të gradës së dytë (3-61) b) Skema realizuese së FT

1

4 QËNDRUESHMËRIA E SRA

4.1 Hyrje

Detyra e një SRA është ndjekja me saktësi e vektorit të vlerave të dëshiruara nga vektori i madhësive të rregulluara. Por para se ta kryejë këtë detyrë sistemi duhet të jetë i qëndrueshëm.

Të supozojmë që një SRA çfarëdo ndodhet në një farë gjendje ekuilibri. Le të zbatojmë në këtë sistem një ngacmim në formën e një impulsi me kohëzgjatje mjaft të shkurtër. Idealisht ky impuls përfytyrohet me δ funksionin e Dirakut (kap. 1). Nën veprimin e këtij impulsi sistemi do të lëkundet si rezultat i shkëmbimit të energjisë ndërmjet elementeve inerciale të tij, pra lind një proces kalimtar, i cili do të çojë në një nga këto tri raste:

1. Sistemi kthehet në gjendjen e mëparshme 2. Sistemi mbetet në lëkundje të pashueshme 3. Në sistem lindin lëkundje që vazhdimisht rriten Në rastin e parë sistemi do të quhet i qëndrueshëm, në të dytin sistemi ndodhet në

pragun e qëndrueshmërisë dhe në të tretin sistemi do të quhet i paqëndrueshëm. Meqenëse një SRA nuk mund të luajë rolin e tij edhe në rastin e dytë, shpesh edhe për këtë rast sistemi quhet i paqëndrueshëm. Nga këto që thamë vetëkuptohet se kërkesa e parë për një SRA është qëndrueshmëria e tij.

Kuptimin më të plotë për qëndrueshmërinë e një sistemi e ka dhënë Liapunovi. Për verifikimin e qëndrueshmërisë do t’i referohemi ekuacioneve të lëkundjeve të lira në sistem të shprehura me ekuacionin e gjendjes

=x f(x)& (4-1)

Për të kuptuar përkufizimin sipas Liapunovit të qëndrueshmërisë e shikojmë me vend të kujtojmë disa përcaktime të nevojshme

(1) Gjendja e ekuilibrit. Në një sistem gjendja xe që kënaq

2

( )e =f x 0 (4-2)

quhet gjendje ekuilibri.

Për sistemet lineare kemi:

=f(x) Ax (4-3)

Kur det( ) 0≠A , ekziston një gjendje ekuilibri ( x = 0 ), ndërsa kur det( ) 0=A , ka shumë gjendje ekuilibri. Përcaktimi i gjendjes së ekuilibrit nuk kërkon zgjidhjen e ekuacionit diferencial (4-1), por të ekuacionit algjebrik (4-2).

Në rast se gjendjet e ekuilibrit janë të izoluara nga njëra tjetra, atëherë ato quhen gjendje ekuilibri të izoluara. Çdo gjendje ekuilibri e izoluar, me anë të një shndërrimi koordinatash mund të zhvendoset në origjinën e koordinatave. Pas kësaj zhvendosjeje

=f(0) 0 (4-4)

(2) Norma euklidiane e vektorit x. Kjo na jep “gjatësinë” e përgjithësuar të vektorit x ose largësinë nga origjina të pikës me koordinata [ ]1 2, , , T

nx x xL në hapësirën me n përmasa të llogaritur sipas

( )1/2 2i

ix= = ∑Tx x x (4-5)

Ilustrimin mbi konceptin e qëndrueshmërisë sipas Liapunovit do ta bëjmë për sistemin me ekuilibër në xe dhe që për t = t0 gjendja fillestare e tij është x0. Me qendër në xe le të përfytyrojmë një zonë sferike me rreze ε dhe sipërfaqe S(ε).

(3) Qëndrueshmëria. Gjendja xe e ekuilibrit e sistemit (4-1) quhet e qëndrueshme në rast

se për çdo pambarimisht të vogël 0ε > mund të gjendet një δ > 0 e tillë që një proces kalimtar i cili fillon në x0 brenda S(δ) nuk del jashtë S(ε). Me fjalë të tjera trajektorja që nis në x0 brenda S(δ) nuk del jashtë S(ε).

Në figurën 4-1 është treguar një gjendje e qëndrueshme për një sistem të gradës së dytë. Nga pikëpamja matematike:

xe është gjendje ekuilibri e qëndrueshme për sistemin, dinamika e të cilit përshkruhet nga (4-1), në rast se për çdo ε > 0 mund të gjendet një δ = δ(ε) > 0 e tillë që

( ) ; 0t tε− ≤ ≥ex x (4-6)

me kusht që

δ− ≤0 ex x (4-7)

(4) Qëndrueshmëria asimptotike. Një gjendje ekuilibri xe e sistemit (4-1) quhet asimptotikisht e qëndrueshme në rast se ajo është e qëndrueshme si dhe

lim ( ) 0t et→∞ − =x x (4-8)

Qëndrueshmëria e përcaktuar në këtë mënyrë (ε – madhësi p.m.v.), njihet me emrin qëndrueshmëri lokale. Megjithatë ne na interesojnë shpesh lëkundjet e mëdha. Arrihet kështu në përcaktimin e mëposhtëm.

3

a) b) c)

Figura 4-1 Përkufizimet e Liapunovit a) Gjendje ekuilibri e qëndrueshme b) Gjendje ekuilibri asimptotikisht e qëndrueshme c) Gjendje ekuilibri e paqëndrueshme.

(5) Qëndrueshmëria globale. Sistemi quhet globalisht i qëndrueshëm në xe, në rast se është asimtotikisht i qëndrueshëm për çdo kusht fillestar x0. Në këtë rast në të gjithë hapësirën e gjendjes ka vetëm një gjendje ekuilibri (konditë e nevojshme). Në problemet e rregullimit automatik dëshirohet që sistemi të jetë globalisht i qëndrueshëm. Shpesh kjo nuk arrihet. Për qëllime praktike mjafton një zonë S(ε) aq e madhe sa asnjë ngacmim shqetësues të mos sjellë tejkalimin e saj.

(6) Paqëndrueshmëria. Një gjendje ekuilibri quhet e paqëndrueshme kur nuk është as e

qëndrueshme, as asimptotikisht e qëndrueshme. Matematikisht kjo do të thotë që për një ε > 0 e për çdo δ > 0 sado të vogël qoftë, mund të gjendet një zonë rrethuese S(δ) e x0 e tillë që trajektorja e nisur në x0 arrin zonën rrethuese S(ε)

Në kapitujt e mëparshëm u trajtua ndërtimi i modeleve matematike të SRA me veprim të vijueshëm dhe me parametra të pandryshueshëm. Këto modele klasifikoheshin si më poshtë (shih kap. 2): I. Modeli e SRA jolineare i përbërë nga një sistem ekuacionesh diferencialo–algjebrike

jolineare

( )( )

=⎧⎨ =⎩

x f x,uy g x,u&

(4-9)

II. Modelet e SRA lineare:

1) Modelet për SRA SH.H.SH.D. a) Ekuacionet e gjendjes të përbëra nga një sistem ekuacionesh diferencialo–

algjebrike lineare

u

= +⎧⎨ = +⎩

x Ax Buy Cx D&

(4-10)

b) Matrica e transmetimit e dalë nga shndërrimi i Laplasit i ekuacioneve të mësipërme:

1s s −= − +G( ) C( I A) B D (4-11)

ku respektohet

4

( ) ( ) ( )s s s=y G u (4-12)

2) Modele për SRA NHND

a) Ekuacion diferencial linear që lidh hyrjen me daljen y (t)

( ) ( 1) ( ) ( 1)1 1 0 1 1 0

n n m mn m my a y a y a y b u b u b u b u− −− −+ + + + = + + + +& &K K (4-13)

b) Ekuacionet e gjendjes

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t t u t

y t t du t= +⎧

⎨= +⎩

T

x Ax bc x

& (4-14)

c) Funksioni transmetues

1

1 1 00 1

1 1 0

( )m m

m mn n

n

b s b s b s bG s s ds a s a s a

−− −

−−

+ + + += − + =

+ + +T 1c ( I A) b K

K (4-15)

d) Karakteristika amplitudo-fazore

lim ( )s j

G j G sω

ω→

=( ) (4-16)

Detyra që shtrohet në këtë kapitull është përcaktimi i kushteve të qëndrueshmërisë të sistemit, kur njihet modeli matematik i tij në një nga format e dhëna më sipër.

Mënyra më e drejtpërdrejtë për të përcaktuar qëndrueshmërinë do të ishte ndërtimi i procesit kalimtar të sistemit, por kjo është një rrugë mjaft e gjatë dhe me shumë llogaritje, sepse do të kërkohej ose integrimi i ekuacioneve diferenciale, ose shndërrimet e kundërta të Laplasit e të Furjesë sopas modelit të sistemit. Në këtë kapitull do të ndiqet një rrugë tjetër për konstatimin e qëndrueshmërisë së SRA me anë të të ashtuquajturave kritere të qëndrueshmërisë. Kjo rrugë nuk kërkon ndërtimin e procesit kalimtar, por nëpërmjet strukturës së modelit na jep përgjigje për qëndrueshmërinë e SRA.

4.2 QËNDRUESHMËRIA E SISTEMEVE LINEARE

4.2.1 Vlerat e veta qëndrueshmëria

Analiza e qëndrueshmërisë së sistemeve lineare me parametra të pandryshueshëm është e rëndësishme, jo vetëm se shumë sisteme konkrete mund të përafrohen me modele lineare, por sepse edhe qëndrueshmëria lokale e një gjendjeje ekuilibri të një sistemi jolinear mund të studiohet nëpërmjet analizës së qëndrueshmërisë së modelit të linearizuaër të këtij sistemi.

Lëkundjet e lira të një sistemi linear në rastin e përgjithshëm përshkruhen nga ekuacioni:

( ) ( )t t=x Ax& (4-17)

ku x është vektori i gjendjes me n përmasa (n x 1) dhe A matrica jo e veçantë ( )n n× .

5

Gjendja e ekuilibrit e këtij sistemi është origjina, pra

=ex 0 (4-18)

Në rast se 0 (0)=x x , atëherë duke kaluar sipas Laplasit,(4-17) merr formën

0 0) ( )s s s−= − =1x( ( I A) x Φ x (4-19)

ku:

{ }( ) [ ] ( )s t s −= = − 1Φ Φ( ) I AL (4-20)

Matrica Φ(t), ashtu si edhe përfytyrimi i saj sipas Laplasit Φ(s) është matricë katrore ( )n n× dhe njihet me emrin matricë kalimtare e sistemit. Për të llogaritur Φ(t), me qëllim që të konstatohet si do të shkojë procesi i lëkundjeve të lira të sistemit, duhet marrë parasysh që Φ(s) mund të shprehet:

( ) ( )( )

11 1

1

( ) ( )( )

det( ) ( )

n

n nn

s sadj

s ss s

ϕ ϕ

ϕ ϕ

−⎡ ⎤

− ⎢ ⎥= − = = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

1 sI AΦ I A

sI A

L

M O M

L

(4-21)

ku:

( )adj s −I A (4-22)

quhet matricë lidhëse dhe paraqet matricën e fituar nga (sI-A) nëpërmjet transponimit të matricës që del nga zëvendësimi i çdo elementi të (sI – A) me minorin e tij. Është e qartë që elementet e matricës ( )sadj −I A janë të rendit jo më të lartë se (n – 1) (rendi më i lartë i minorit).

Shprehja

( )det s −I A (4-23)

tregon determinantin e matricës ( )det s −I A dhe paraqet në fakt një polinom të rendit n. Rrënjët e tij që gjenden nga ekuacioni i mëposhtëm i njohur me emrin ekuacioni

karakteristik:

( ) 11 1 0det 0n n

ns s a s a s a−−− = + + + =I A K (4-24)

quhen vlerat e veta të matricës A. Në rast se shënojmë me λj (j = 1,2,…,n) këto vlera të veta është e qartë se çdo element φij(s) i matricës Φ(s) mund të shprehet në formën

( )

1

( )ijn

kij

k k

css

ϕλ=

=−∑ (4-25)

në rast se λi ≠ λj për çdo i ≠ j, d.m.th. kur nuk kemi vlera vetjake të shumëfishta. Duke bërë shndërrimin e kundërt të Laplasit

( )

1( ) k

ntij

ij kk

t c eλϕ=

=∑ (4-26)

ku elementet ( )ijkc u përkasin koefiçientëve në emërues që dalin nga zbërthimi në faktorë i

φij(s). Në rast se kemi vlera vetjake të shumëfishta, p.sh. vlera e ν-të është e q – fishtë, atëherë:

6

( ) ( ) ( )1

11

1 1

( )( )

ij ij ijq nk k k

ij q kk k k qk y k

c c css s s

υυ

υ

ϕλ λ λ

−+ −

− += = = +

= + +− − −∑ ∑ ∑ (4-27)

Si rrjedhojë

1

( ) ( ) ( )1

1 1

( ) k k

q qt t tij q k ij ij

ij k k kk k k q

t c e t c e c eυ

υλ λ λ

υυ

ϕ−

−+ −

= = = +

= + +∑ ∑ ∑ (4-28)

Për të kaluar në zgjidhjen e (4-17) bëjmë tani shndërrimin e kundërt të Laplasit të (4-19)

0( ) ( )t t=x Φ x (4-29)

Çdo element xi(t) i vektorit x(t) do të jetë pra:

01

( ) ( )n

i ij jj

x t t xϕ=

=∑ (4-30)

Në rast se matrica A ka vetëm p vlera të veta të ndryshme nga njëra-tjetra dhe (n – p ) vlera të veta të shumëfishta, duke pasur parasysh (4-26), (4-28) dhe (4-30), mund të shkruajmë

1

( ) ( ) jp

ti ij

jx t g t eλ

=

=∑ (4-31)

ku λj mund të jenë ose reale, ose komplekse të konjuguara. Por sido që të jetë, çdo komponente xi(t)→0 vetëm në rast se pjesa reale e λj është negative (fig. 4-2).

ttt

jω

σ

a) Vlerat e veta reale b) Vlerat e veta komplekse të konjuguara

Figura 4-2 Qëndrueshmëria në planin kompleks

Përfundim

Sistemi linear me parametra të pandryshueshëm

=x Ax& është i qëndrueshëm asimtotikisht në qoftë se e vetëm në qoftë se asnjë nga vlerat e veta të matricës A nuk ndodhet në pjesën e djathtë të planit kompleks s duke përfshirë edhe boshtin jω. Konditat e qëndrueshmërisë nuk ndryshojnë edhe për rastin kur sistemi ngacmohet nga një vektor u(t), komponentet e të cilit janë funksione të fundëm të kohës, pra që përshkruhet nga

7

= +x Ax Bu&

Lëkundjet e lira për këtë sistem mbeten po ato, ndërsa fitohen lëkundje të detyruara të shprehura sipas Laplasit

( ) ( ) ( )d

s s s=x Φ Bu (4-32)

dhe duke kaluar në zonën e kohës, në bazë të teoremës së thurjes do të kemi

0

( ) ( ) ( )t

dt

t t dτ τ τ= −∫x Φ Bu (4-33)

Uniciteti i vlerave të veta

Për një sistem të caktuar zgjedhja e variablave të gjendjes nuk është e vetme. Kështu p.sh. me ndihmën e shndërrimeve lineare mund të kalohet nga vektori i gjendjes x në vektorin x*:

*x = Tx (4-34)

ku, T – matricë ( )n n× me det( ) 0≠T .

Lind pyetja, ç’bëhet me vlerat e veta të sistemit në rast se dinamika e tij shprehet nga ekuacioni:

= +x Ax Bu& (4-35)

Duke zëvendësuar në ekuacionin e mësipërm kemi

= +Tx* ATx* Bu& (4-36)

Prej nga:

* * * *= +x A x B u& (4-37)

ku

*

*

−

−

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

1

1

A T ATB T B

(4-38)

Vlerat e veta të sistemit të ri do të jepen nga

*det( ) 0− =sI A (4-39)

Duke zëvendësuar shprehjen për *A , kemi

( )( ) ( ) ( ) ( )

det s det

det det det det

det( )det(s )det(s )

s s

− − −

− −

−

− = −

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦= −= −

1 1 1

1 1

1

( I T AT) T T T AT

T I A T T I A T

T T I AI A

Pra:

( ) ( )det det s= −*sI - A I A

8

Rrjedhimisht arrijmë në përfundimin që vlerat vetjake të sistemit janë unike e nuk varen nga shndërrimet lineare ndaj variablave të gjendjes. Ato pasqyrojnë veti të brendshme të sistemit, të tilla si p.sh. të qenurit ose jo i qëndrueshëm i tij.

4.2.2 Vlerat vetiake të ekuacionit karakteristik për sistemet N.H.N.D

Për gjetjen e vlerave vetjake duhej zgjidhur (4-24). Për këtë së pari duhet ndërtuar polinomi:

( ) 10 1 1( ) det s n n

nP s a s a s a s a−= − = + + + +I A L (4-40)

që e merr emrin polinom karakteristik, e pastaj të gjenden rrënjët e ekuacionit karakteristik

( ) 0P s = (4-41)

që janë vlerat e veta të matricës A. Ndërtimi i polinomit karakteristik mund të bëhet me ndihmën e software-it MATLAB

në rast se njihet matrica A. Megjithatë, për sistemet me një hyrje e me një dalje, kur njihet skema strukturore e tyre, llogaritja bëhet shumë thjesht (fig. 4-3).

Figura 4-4 Skema strukturore e sistemi njëkonturor

Duke iu referuar skemës së figurës 4-3, gjejmë që funksioni transmetues i sistemit të

mbyllur është:

( ) ( )( )1 ( ) ( ) 1 ( )

d d

d

G s G sG sG s H s W s

= =+ +

(4-42)

ku

( ) ( ) ( )dW s G s H s= (4-43)

është funksioni transmetues i sistemit të hapur. Polet e G(s) gjenden nga barazimi:

1 ( ) 0W s+ = (4-44)

Në rast se shikojmë barazimin (4-15), arrijmë në përfundimin që po këto pole gjenden nga barazimi

( )det 0s − =I A (4-45)

Për pasojë dhe (4-44) paraqet ekuacionin karakteristik të sistemit N.H.N.D. Meqënëse Gd(s) dhe H(s) paraqesin raporte polinomesh të s, rrjedhimisht dhe W(s) do të

paraqesë raport polinomesh

9

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

G Hd

G H

N s N s N sW s G s H sE s E s E s

= = ⋅ = (4-46)

ku NG(s), NH(s), N(s)- polinomet e numëruesve përkatës dhe EG(s), EH(s), E(s) – polinomet e emëruesve përkatës.

Ekuacioni karakteristik (4-44) merr tani formën

( )1 0( )

N sE s

+ = (4-47)

ose

( ) ( ) 0E s N s+ = (4-48)

Sigurisht ana e majtë paraqet polinomin karakteristik të sistemit N.H.N.D.

( ) ( ) ( )P s E s N s= + (4-49)

Për verifikimin e qëndrueshmërisë së sistemit, d.m.th. për verifikimin në se të gjitha rrënjët e ekuacionit karakteristik kanë pjesë reale negative, janë hartuar një varg kriteresh të cilat mënjanojnë nevojën e gjetjes së rrënjëve. Më të përhapurit janë kriteret e Routh-it, Hurwitz-it, kriteri i argumentit dhe ai i Nyquist-it.

4.2.3 Kriteri i Routh-it.

Le të jetë dhënë ekuacioni karakteristik i SRA:

11 1 0 0n n

n na s a s a s a−−+ + + + =K (4-50)

Sipas Routh-it konditë e nevojshme që SRA të jetë i qëndrueshëm është që 0ia > , ku 1i n= ÷ . Por kjo konditë nuk është e mjaftueshme. Prandaj kalohet në ndërtimin e tabelës së mëposhtme të koefiçientëve, që ka marrë emrin tabela e Routh-it.

Tabela e Routh-it Llogaritjet e koefiçientëve

2 4 6 2

1

1 3 5 7 2 1

2

1 2 3 4

1 2 3 4

2

1 2

1

1

0

1

n

n n n n n k

n

n n n n n k

n

s a a a a a

s a a a a a

s b b b b

c c c c

s e e

s f

s g

− − − −

−

− − − − − +

−

L L

L L

L

M L

M M M M M L

L

L

L

2 4

1 3 1 51 2

1 1

1 51 3

1 31 21 2

1 1

, ,

, ,

n n n n

n n n n

n n

n nn n

a a a aa a a a

b ba a

a aa ab bb b

c cb b

− −

− − − −

− −

− −− −

= − = −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − = −

K

K

Në tabelën e mësipërme ndërtohen fillimisht dy rreshtat e pare përkatësisht me

koefiçientët me indeks çift dhe me index tek. Rreshtat e tjerë gjenerohen duke bërë llogaritjet përkatëse të paraqitura në tabelë.

Ky proces vazhdon derisa të arrihet rreshti pranë s0. Kriteri thotë që numri i rrënjëve me pjesë reale pozitive është i barabartë me numrin e ndryshimeve në shenjë të

10

koefiçentëve të kolonës së parë të tabelës së Routh-it. Përfundimisht, kriterin e Routh-it mund ta përmbledhim në këtë mënyrë:

Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që rrënjët e ekuacionit karakteristik të kenë pjesë reale negative (pra që SRA të jetë i qëndrueshëm), është që të gjithë termat e kolonës së parë të tabelës së Routh-it të jenë pozitive.

Koefiçientët në fjalë zakonisht shënohen

0 0 1 1 2 1 3 1 1, , , , , nR a R a R b R c R g= = = = =K

Raste të veçanta

Rasti 1 Në qoftë se një nga termat e kolonës së parë R0, R1,…,Rn është zero, kurse të tjerat janë të ndryshme nga zero, atëherë termi me vlerë zero zëvendësohet me një vlerë pambarimisht të vogël ε dhe vlerësohet pjesa tjetër e tabelës.

Rasti 2 Në qoftë se njëri nga rreshtat e tabelës së Routh-it del zero, atëherë ai zëvendësohet me koefiçentët që dalin nga derivati i polinomit të formuar me koefiçientët e rreshtit sipër atij në fjalë.

Shembull 4-1. Rasti i veçantë 1

Të studiohet qëndrueshmëria e SRA me ekuacion karakteristik

3 22 2 0s s s+ + + = (4-51)

Zgjidhje. Formojmë tabelën e Routh-it

3

2

1

0

1 1

2 2

0

2

s

s

s

s

ε≈

Sistemi është i qëndrueshëm meqënëse nuk kemi ndryshim shenje në termat e kolonës së parë të tabelës (ε është numër pozitiv pambarimisht i vogël).

Shembull 4-2 . Rasti i veçantë 2

Të studiohet qëndrueshmëria e SRA me ekuacion karakteristik: 3 23 2 0s s s− + + =

Zgjidhje. Formojmë tabelën e Routh-it

3

2

1

0

1 30 0

23

2

ss

s

s

ε

ε

−

≈

− −

Shohim që kemi dy ndryshime shenje në termat e kolonës së parë. Rrjedhimisht kemi dy rrënjë pozitive në anën e djathë . Me të vërtetë:

11

3 23 2 ( 1) ( 2) 0s s s s− + = − + =

Shembull 4-3

Të studiohet qëndrueshmëria e SRA me ekuacion karakteristik:

5 4 3 22 24 48 25 50 0s s s s s+ + + − − = Zgjidhje.Formojmë tabelën e Routh-it

5

4

3

2

1

0

1 24 25

2 48 50

0 0

0

0

0

s

s

s

s

s

s

−

−

Formojmë polinomin ndimës me koefiçentët e rreshtit përbri s4:

4 2( ) 2 48 50P s s s= + −

Gjejmë derivatin

3( )8 96

dP ss s

ds= +

Le t’i zëvendësojmë zerot e rreshtit në shqyrtim me koefiçentët e polinomit të ri, pra kemi:

5

4

3

2

1

0

1 24 252 48 508 9624 50

112.750

ssssss

−

−

−

−

Meqenëse kemi vetëm një ndryshim shenje, atëherë sistemi ka një rrënjë me pjesë reale pozitive, d.m.th., sistemi është i paqëndrueshëm.

Shembull 4-4

Të studiohet qëndrueshmëria e SKA me skemë strukturore te dhënë në figurën 4-5, për vlerat e mëposhtme të parametrave:

1 1 2 2 3 3100; 10 ; 1, 0.6 ; 0.9, 7K T sek K T sek K T sek= = = = = = Gjithashtu të gjendet diapazoni i ndryshimit të K1, për të cilin SRAT mbetet i qëndrueshem.

1

1 1K

T s +3

3 1K

T s +2

2 1K

T s +

( )r s ( )y s( )sε

12

Figura 4-5 Skema strukturore e SKA

Zgjidhje. Ekuacioni karakteristik duke e lënë të lirë vlerën e K1 , jepet nga:

10.9

1 ( ) 1 0(0.1 1)(0.6 1)(7 1)

KW s

s s s+ = + =

+ + +

Duke bërë veprimet përkatëse arrijmë në:

3 2

111.81 18.326 2.38 2.142 0s s s K+ + + + =

Formojmë tabelën e Routh-it

3

0

2

1 1

1 12

0

3 1

1 18.326

11.81 2.38 2.142

2.38 2.14218.326 0

11.812.38 2.142

R s

R s K

KR s

R s K

+

+−

+

Sipas Routh-it, për të pasur qëndrueshmëri mjafton që të gjitha elementet e kolonës së parë të jenë pozitive. Meqënëse R3 = 2.38 + 2.142K1 është pozitive për çdo vlerë të K1, diapazoni i K1 për qëndrueshmëri do të përcaktohet nga kushti R2 > 0

1

2

2.38 2.14218.326 0

11.81

KR

+= − >

Prej nga

10 99.893K< <

Si rrjedhim për K1 = 100 sistemi është i paqëndrueshëm.

Shembull 4-5

Për sistemin me skemë strukturore si në figurën 4-5 të studiohet qëndrueshmëria e sistemit

80s

1( 2)( 3)s s+ +

Figura 4-6 Skema strukturore SRA

Zgjidhje. Funksioni transmetues i SRA të hapur është:

80( )

( 2)( 3)W s

s s s=

+ +

Polinomi karakteristik i këtij SRA është:

[ ] 3 2( ) 1 ( ) 5 6 80P s Numruesi W s s s s= + = + + +

13

Meqenëse të gjithë elementët e polinomit karakteristik janë pozitive, kondita e nevojshme për të pasur qëndrueshmëri, plotësohet. Verifikimi i plotë kërkon ndërtimin e tabelës së Routh-it

0

1

2

3

1 65 8010 0

80

RRRR

−

Meqenëse elementi R2 është negativ, sistemi është i paqëndrueshëm.

4.2.4 Qëndrueshmëria relative

Kriteri i Routh-it jep përgjigje dhe mbi qëndrueshmërinë relative ose e shprehur me fjalë të tjera, mbi aftësinë e rrënjëve të ekuacionit karakteristik ndaj boshtit imagjinar. Për këtë qëllim zhvendosim majtas me σ0 boshtin imagjinar nëpërmjet zëvendësimit të mëposhtëm të variablave në ekuacionin karakteristik

0s z σ= − (4-52)

Nëpërmjet këtij zëvendësimi na del një ekuacion i ri me terma të z. Për këtë ekuacion të ri zbatojmë kriterin e Routh-it. Numri i ndryshimeve të shenjave në kolonën e parë të tabelës së Routh-it tregon numrin e rrënjëve me pjesë reale në vlerë absolute më të vogël se σ0.

Figura 4-7 Qëndrueshmëria relative

4.2.5 Kriteri i Hurvicit

Sipas Hurwitz-it konditat e nevojshme dhe të mjaftueshme që rrënjët e ekuacionit karakteristik :

1 21 2 1 0 0n n n

n n na s a s a s a s a− −− −+ + + + + =K (4-53)

të kenë pjesë reale negative janë:

• Të gjithë koefiçientët 0 1, , , na a aK , të jenë pozitivë

• Të gjithë determinantët e Hurwitz-it Hi të jenë pozitivë:

14

1 3 5 2 1

2 4 2 2

1 3 2 3

2 2 4

01, 2, ,

0

0 0

n n n n i

n n n n i

n n n ii

n n n i

n i

a a a aa a a a

a a aH i n

a a a

a

− − − − +

− − − +

− − − +

− − +

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

LK

L

M M M O M

L L

(4-54)

Në (4-54), koefiçientët ak për k > n merren të gjithë zero. Duhet të theksojmë që ekziston një lidhje e ngushtë ndërmjet determinantëve Hi të Hurwitz-it dhe koefiçientëve të kolonës së parë të tabelës së Routh-it dhe pikërisht

1 1 1 2 2 1 1 1, / / , /n i i i n n nR H a R H H R H H R H H− − −= = = = =K K (4-55)

Rrjedhimisht, në lidhje me ekzistencën e rrënjëve me pjesë negative të ekuacionit karakteristik, kriteri i Routh-it dhe ai i Hurwitz-it kanë të njëjtën vlerë.

4.2.6 Kriteri i argumentit

Sipas këtij kriteri , konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që rrënjët e ekuacionit

karakteristik:

1 20 1 2 1( ) 0n n n

n nP s a s a s a s a s a− −−= + + + + + =K (4-56)

Të jenë të gjitha majtas boshtit jω, është që vektori kompleks

( ) lim ( )s j

P j P sω

ω→

= (4-57)

kur ω ndryshon nga 0 në ∞, të rrotullohet rreth origjinës nëpër n kuadrante në sens antiorar (Figura 4-7).

∞→

ω

ω←∞

∞→ω

ω←∞

Figura 4-8 Vendi gjeometrik i P(jω)

a) Sistem i qëndrueshëm b) Sistem i paqëndrueshëm

15

4.2.7 Kriteri i Nyquist-it

Le të jetë dhënë skema strukturore e një SRA si në Figura 4-4. Siç e kemi parë,

funksioni transmetuesi sistemit të mbyllur përkundrejt ngacmimit referues është:

( )( )1 ( ) ( )

d

d

G sG sG s H s

=+

(4-58)

Për SRA me parametra të përqendruar kemi të drejtë të shkruajmë:

( ) ( )( ) , ( )( ) ( )

d Hd

d H

N s N sG s H sE s E s

= = (4-59)

ku: Nd(s), Ed(s), NH(s), EH(s) janë polinome të s. Duke bërë zëvendësimet përkatëse në (4-58), fitohet

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

d H

d H d H

N s E sG sE s E s N s N s

=+

(4-60)

Për të qenë SRA i qëndrueshëm, duhet që rrënjët e ekuacionit karakteristik

( ) 1 ( ) 0P s W s= + = (4-61)

ose të

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0d H d HP s E s E s N s N s= + = (4-62)

të jenë në të majtë të boshtit imagjinar. Kriteri i Nyquist-it ka rëndësi të madhe, sepse nëpërmjet KAF të sistemit të hapur

W(jω), e cila mund të nxirret eksperimentalisht kur ky i fundit është i qëndrueshëm, mund të gjykohet qëndrueshmëria e sistemit të mbyllur. Kur zbatojmë kriterin e Nyquist-it duhet pasur parasysh që:

a) Sistemi të shprehet me ekuacion diferencial linear, pra sistemi të jetë linear.

b) lim ( )s

W s→∞

të jetë zero ose një numër i fundëm.

Shënojmë me:

( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )dS s W s G s H s= + = + (4-63)

që mund të shprehet me formën

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

d H d H

d H

E s E s N s N sS sN s E s

+= (4-64)

Duke shënuar me ri rrënjët e ekuacionit karakteristik P(s)=0 mund të shkruajmë:

1

( ) ( )n

iiP s s r

== Π + (4-65)

Po kështu, duke shënuar me – ph rrënjët e Ed(s)EH(s) = 0 që nuk janë gjë tjetër veçse polet e W(s) (që quhen edhe polet e sistemit të hapur), mund të shkruajmë

1

( ) ( ) ( )m

d H hhE s E s s p

== Π + (4-66)

16

Kështu (4-65) merr formën

1

1

( )( )

( )

n

iim

hh

s rS s

s p=

=

Π +=Π +

(4-67)

a) b) c)

Figura 4-9 Kriteri i Nyquist-it a) Konfiguracioni i poleve të sistemit të hapur dhe të mbyllur; b) Konturi i 1+ W(s); c)Konturi i W(s)

Në figurën 4-8, duke supozuar që (s + rj) rrotullohet në sensin orar (pra pika s

përshkruan rrethin me rreze rj ) ndryshimi i argumentit të këtij vektori është -2π, dhe zero për të gjithë vektorët e tjerë. Pra kur skaji i vektorit (s + rj) rrotullohet përreth një zeroje në sens orar, ndryshimi i argumentit është -2π.

Në mënyrë të ngjashme, në rast se skaji i një vektori s rrotullohet në sens orar rreth një poli, atëherë ndryshimi i argumentit të vektorit (s + pk) është përsëri -2π, por në S(s) ai sjell një ndryshim prej 2π të argumentit.

Rrjedhimisht, në rast se skaji i vektorit s rrotullohet në sens orar gjatë boshtit imagjinar dhe gjysmërrethi me rreze ∞ në gjysmëplanin e djathtë të planit s duke përshkruar të ashtuquajturin “kontur i Nyquist-it” do të fitohet një ndryshim i argumentit të S(s):

arg ( ) 2 (P Z)S s πΔ = − (4-68)

ku: − P është numri i poleve të W(s) që ndodhen në të djathtë të boshtit imagjinar; − Z është numri i zerove të P(s) apo rrënjët e ekuacionit karakteristik (4-65), që

ndodhen në të djathtë të boshtit imagjinar.

Përderisa

lim ( ) 0s

W s→∞

= (4-69)

ose

lim ( ) const.s

W s→∞

= (4-70)

nuk ka ndryshim të argumentit kur s lëviz gjatë gjysmërrethit me rreze ∞. Kështu duke vendosur s = jω dhe duke ndryshuar ω nga -∞ në ∞ numri i rrotullimeve të S(s) përreth origjinës në sens antiorar do të jetë P-Z.

jω

σ

s + rj

- rj

- rj+1= rj *

- rq

-rq+1=- rq * -ph+1=-ph

*

-ph -pk

-pk+1=-pk *

s

-1

Im[S(s)] Plani S(s)=1+W(s)

Im[W(s)]

Plani W(s)

Re[S(s)] Re[W(s)]

∞

17

R = (P- Z) (4-71)

Për të patur sistem të qëndrueshëm është e qartë që asnjë rrënjë e ekuacionit karakteristik (4-65) nuk duhet të ndodhet djathtas boshtit imagjinar, pra Z = 0, e si rrjedhim kondita e qëndrueshmërisë është:

R = P (4-72)

Para se të vazhdojmë arsyestimin do të bëjmë një artificë të vogël. Në vend që të pasqyrojmë konturin e Nyqyist-it (boshti imagjinar + gjysmërrethi me rreze ∞) në planin S(s) = 1+ W(s), zakonisht është më e përshtatshme të pasqyrohet ai në planin W(s). Të dyja lakoret S(s) dhe W(s) dallohen nga njëra tjetra me një njësi (fig. 4.9 b,c). Rrjedhimisht, tani rrotullimet R do të numërohen përreth pikes ( 1, 0)j− .

Duke patur parasysh se W(-jω) është simetrikja e W(jω) përkundrejt boshtit të abshisave, pasqyrimi i konturit të Nyquist-it në planin W(s) fitohet duke ndërtuar KAF të sistemit të hapur W(jω) për 0ω = ÷∞ si dhe duke marrë simetriken e saj ndaj boshtit të abshisave.

Kriteri i Nyquist-it mund të formulohet kështu: “Në rast se P është numri i poleve të W(s) në të djathtë të boshtit imagjinar, për të qenë

sistem i mbyllur i qëndrueshëm duhet që kur variabli s të përshkojë konturin e Nyquist-it, W(s) të përfshijë pikën (-1,j0) në sensin antiorar (R = P) herë”.

Në rast se sistemi i hapur ka W(s) pa pol në origjinë ose në boshtin imagjinar, atëherë për të ndërtuar pasqyrimin e konturit të Nyquist-it në planin W(s), mjafton të ndërtojmë KAF të sistemit të hapur W(jω) për 0ω = ÷∞ e të marrim pastaj pasqyrimin e saj ndaj boshtit real. Në rast të kundërt, konturi në fjalë duhet modifikuar me një gjysmërreth me rreze pambarimisht të vogël ε që përjashton pikën e veçantë.

Në qoftë se P = 0, (në këtë rast sistemi quhet minimalofazor) mjafton të ndërtojmë KAF të sistemit të hapur W(jω) për 0ω = ÷∞ . Në këtë rast kriteri i Nyquisti-it mund të formulohet kështu:

SRA është i qëndrueshëm në rast se KAF e sistemit të hapur nuk përfshin pikën (-1, j0), në rast të kundërt sistemi është i paqëndrueshëm.

Shembull 4-6 Të studiohet me kriterin e Nyquist-it qëndrueshmëria e SRA me funksion transmetues të

sistemit të hapur:

11 1 1 1

1( ) ; ,1

k K kW s K pT s s p T T

= = = =+ +

1

Kp

Plani ( )W jω

[ ]Im ( )W jω

[ ]Re ( )W jω( )W jωω →∞

∞

ω

0ω =( )1, 0j−

Figura 4-10 Hallka Aperiodike. Ndërtimi i KAF nëpermjet konfiguracionit pol-zero

18

Shembull 4-7

Të studiohet me kriterin e Nyquist-it qëndrueshmëria e SRA, funksioni transmetues i sistemit të hapur të të cilit është

1 2

( )( )( )

KW ss p s p

=+ +

Zgjidhje. Edhe në këtë rast do të shikojmë ndryshimin e vektorëve ( jω + p1) dhe ( jω + p2) në planin s, për të ndërtuar W(jω). Duke përdorur të njëjtën metodë si në shembullin e mëparshëm kemi

1 2

0

(0)

( ) 180

KW

p p

W j

=

∠ ∞ → −

⎧⎪⎨⎪⎩

Rrjedhimisht për çfarëdo K, pika (– 1, j0) nuk përfshihet në W(jω). Pra SRA është i qëndrueshëm

1 2

Kp p

Figura 4-11 Hallka me funksion transmetues ( )( )( )1 2

KW s

s p s p=

+ +

Shembull 4-8

SRA ka funksion transmetues të sistemit të hapur

3

1

( )( )i

i

KW s

s p=

=+∏

Të përcaktohet qëndrueshmëria e SRA. Zgjidhje. Duke patur parasysh ndryshimin e vektorëve ( jω + p1), ( jω + p2) dhe ( jω + p3) në planin s, ne jemi në gjendje të ndërtojmë W(jω) për [ )0,ω∈ ∞

19

jω+p

1

321 PPPK

a) Plani s b) KAF

Figura 4-12 Hallka me funksion transmetues ( )( )( )( )1 2 3

KW s

s p s p s p=

+ + +

Siç shihet (figura 4-11), qëndrueshmëria e sistemit varet nga vlera e K. Movement in me rritjen e K arrijmë në një vlerë të tillë që W(jω) të kalojë nga pika (-1, j0) dhe sistemi bëhet i paqëndrueshëm. Pra për një K = Kkr, për të cilën K > Kkr e bëjnë sistemin të paqëndrueshëm.

Shembull 4-9

Të shqyrtohet qëndrueshmëria e SRA në fig.Figura 4-13 me funksion transmetues të sistemit të hapur

1

( )( )

KW ss s p

=+

Zgjidhje. Edhe në këtë rast do të ndërtohet W(jω) për [ )0,ω∈ ∞ , kurse për ( ],0ω∈ −∞ fitohet lakore simetrike në lidhje me boshtin e abshisave. Konturi i Nyquist-it në këtë rast duhet të përjashtojë polin në origjinë. Drejtëza BC në planin s pasqyrohet me lakoren B’C’ në planin W(s).

Harku AB , ekuacioni i të cilit është . (0 / 2)js e θε θ π= < < , pasqyrohet në harkun A B′ ′ me ekuacion

1

( ) jKW s ep

θ

ε−=

Kështu p.sh,. pika A(εejθ) pasqyrohet në planin W(s) me pikën A’( 0je∞ )

0

010

lim ( ) limj

jjs e

KW s ep eϑ ϑεε

ϑε→→

→

= →∞

Në mënyrë të ngjashme pika B(o90jε ) pasqyrohet pikën B’(

o90je −∞ ). Siç duket dhe nga figura 4-12 , SRA është i qëndrueshëm për çfarëdo K, për arsye se meqenëse konturi i Nyquisti-t nuk përfshin pole të sistemit të hapur djathtas boshtit imagjinar, për të qenë sistemi i mbyllur i qëndrueshëm KAF e sistemit të hapur nuk duhet të përfshijë pikën ( 1, 0)j− .

20

1psK+

s1

)()(

1pssKsW+

=

∞

ω→∞

∞

a) Skema strukturore b) Konturi Nyquist c) KAF sistemit të hapur

Figura 4-13 Analiza e qëndrueshmërisë së sisytemit me Kriterin Nyquist

Përfundime

Nga pikëpamja e rezultateve kriteret që pamë janë të njëvlershme, megjithatë kriteri i Nyquist-it duhet parë me kujdes kur kemi të bëjmë me sisteme shumë konturore mbasi gjatë reduktimit të laqeve të brendshme duhet patjetër të dihet ekzistenca e poleve dhe e zerove që shfaqen në gjysmëplanin e djathtë s. Kjo e vështirëson përdorimin e kriterit të Nyquist-it për sistemet shumë konturore. Në raste të tilla këshillohen kriteret e Routh-it, Hurwitz-it dhe argumentit. Po kështu kriteri i Nyquist-it nuk ka kuptim të përdoret për sistemet me shumë hyrje e shumë dalje.

21

5 CILËSIA E RREGULLIMIT

HYRJE

Për të thënë që një SRA i përgjigjet plotësisht kërkesave të shtruara ndaj tij, nuk mjafton që ai të jetë i qëndrueshëm. Sigurisht qëndrueshmëria është kërkesa e parë e cilësisë së SRA. Por, çfarë kuptohet me Cilësi Sistemi?

Detyra e një SRA është që vektori i madhësive në dalje të sistemit të ndjekë me saktësi vektorin referues r(t). Pas çdo shqetësimi që ndodh në sistem, ky i fundit duhet të reagojë në mënyrë të tillë që përputhja e r(t) me y(t) të realizohet nëpërmjet një proçesi kalimtar që duhet të shuhet sa më shpejt. Në varësi se si reagon sistemi në rivendosjen e vlerave të dëshiruara të vektorit(madhësisë) të rregullimit, mund të thuhet që kemi sistem me cilësi të “lartë“ ose të “ulët“ .

Prej këndej del nevoja e përcaktimit të treguesve të cilësisë së sistemit që do të përkufizohen si një bashkësi specifikimesh cilësie, plotësimi i të cilave do të garantojë se si do të sillet sistemi, si gjatë regjimit kalimtar, ashtu edhe në atë të vendosur. Shpesh del më e dobishme që të gjitha specifikimet e cilësisë të përmblidhen në një numër të vetëm skalar që quhet kriter rregullimi ose tregues i cilësisë.

Për të pasur një kuptim sa më të qartë, si dhe pse një shumicë SRA janë me një hyrje e me një dalje, ne së pari do të ndalemi në gjykimin e cilësisë së këtyre sistemeve dhe pastaj do të bëjmë plotësimet e nevojshme për sistemet me shumë hyrje e me shumë dalje. Në të dy rastet sistemet do të konsiderohen lineare.

5.1 CILËSIA E RREGULLIMIT NË REGJIM TË VENDOSUR

5.1.1 Treguesit e cilësisë në regjim të vendosur

Përderisa kërkojmë që madhësia në dalje të ndjekë me saktësi ngacmimin referues r(t), kjo gjë është e natyrshme para së gjithash të kërkohet për vlerat e vendosura të tyre. Diferenca

( ) ( ) ( )r yε ∞ = ∞ − ∞ (5-1)

22

do të quhet gabim statik dhe vlera e tij do të jetë një numër që do të tregojë mbi cilësinë e sistemit në regjim të vendosur.

Në figurën 5-1a është treguar skema strukturore e një SRA me një hyrje e me një dalje. Në skemë, modeli matematik i objektit të rregullimit është i përbërë nga dy funksione transmetuese:

(a) GOR(s) – që shpreh dinamikën ngacmim rregullues – madhësi e rregulluar;

(b) G‘OR(s) – që shpreh dinamikën ngacmim shqetësues – madhësi e rregulluar.

Për të gjetur gabimin statik do t‘i referohemi grafit të sistemit të dhënë (Figura 5-1b).

Figura 5-1 Sistemet me një hyrje e me një dalje a) Skema strukturore ; b) Grafi

Para se të konstatojmë gabimin në sistem, le të bëjmë një klasifikim paraprak të SRA,

në bazë të poleve në origjinë që ka funksioni transmetues i sistemit të hapur W(s). Për rastin tonë:

( )( )( ) ( ) ( )( )

hR OR h h

W sN sW s G s G ss E s s

= = = (5-2)

ku N(s), E(s) - polinome të variablit kompleks. Do të quajmë:

(a) Sistem të tipit “0” sistemin me h=0 (s’ka pole në origjinë) dhe koefiçient përforcimi (0)W ≠ ∞ .

(b) Sistem të tipit “1” sistemin me h=1 (një pol në origjinë) dhe koefiçient përforcimi 1(0)W ≠ ∞

(c) Sistem të tipit “2” sistemin me h=2 (me dy pole në origjinë) dhe koefiçient përforcimi 2 (0)W ≠ ∞ etj.

Meqenëse natyra e gabimit do të varet nga lloji i ngacmimit që do të zbatohet në sistem, do të bëjmë gjithashtu këto përkufizime:

23

(a) Gabim statik pozicional kur ( ) 1( )r t t= (b) Gabim statik i shpejtësisë kur ( ) 1( )r t t t= ⋅

(c) Gabim statik i shpejtimit kur 2

( ) 1( )2tr t t= ⋅

ku 1(t) -funksion shkallë i Hevisaidit.

Le të analizojmë së pari gabimin statik të sistemit, për rastin kur në hyrje të sistemit zbatohet r(t), kurse ngacmimi shqetësues d(t) = 0. Këtë lloj gabimi statik do ta quajmë gabim statik përkundrejt ngacmimit referues. Nga grafi (Figura 5-1b) del se përfytyrimi sipas Laplace-it i gabimit do të jetë:

1( ) ( )1 ( )

s r sW s

ε =+

(5-3)

Siç shihet gabimi është funksion si i natyrës së sistemit W(s),ashtu edhe i natyrës së ngacmimit hyrës r(t).

5.1.2 Gabimet statike për sistemet e tipeve të ndryshme

1) Sistemi i tipit “0”

(a) Gabimi statik pozicional Duke zbatuar teoremën e vlerave skajore

0 0

1 1 1( ) lim ( ) lim 01 ( ) 1 (0)s s

s s sW s s W

ε ε→ →

∞ = = ⋅ = ≠+ +

(5-4)

(b) Gabimi statik i shpejtësisë

20 0

1 1( ) lim ( ) lim1 ( )v vs s

s s sW s s

ε ε→ →

∞ = = ⋅ = ∞+

(5-5)

(c) Gabimi statik i shpejtimit

30 0

1 1( ) lim ( ) lim1 ( )a as s

s s sW s s

ε ε→ →

∞ = = ⋅ = ∞+

(5-6)

Në figurën 5-2 janë dhënë kuptimet e këtyre gabimeve.

Figura 5-2 Gabimet statike për sistemin e tipit zero (a) Gabimi statik pozicional; (b) Gabimi statik i shpejtësisë; (b) Gabimi statik i përshpejtimit

24

2) Sistemi i tipit 1

(a) Gabimi statik pozicional Duke zbatuar teoremën e vlerave skajore

0 0 1

1 1( ) lim ( ) lim 0( )1s s

s s s W s ss

ε ε→ →

∞ = = ⋅ =+

(5-7)


20 0 1 1

1 1 1( ) lim ( ) lim 0( ) (0)1v vs s

s s s W s s Ws

ε ε→ →

∞ = = ⋅ = ≠+

(5-8)


30 0 1

1 1( ) lim ( ) lim ( )1a as s

s s s W s ss

ε ε→ →

∞ = = ⋅ = ∞+

(5-9)

Kuptimi i gabimeve statike për sistemin e tipit 1 ilustrohet në figurën 5-3.

1

1( )(0)v W

ε ∞ =

Figura 5-3 Gabimet statike për sistemin e tipit 1 (a) Gabimi statik pozicional; (b) Gabimi statik i shpejtësisë; (b) Gabimi statik i përshpejtimit

3) Sistemi i tipit 2

(a) Gabimi statik pozicional

Duke zbatuar teoremën e vlerave skajore

0 0 2

1 1( ) lim ( ) lim 0( )1s s

s s s W s ss

ε ε→ →

∞ = = ⋅ =+

(5-10)


20 0 22

1 1( ) lim ( ) lim 0( )1v vs s

s s s W s ss

ε ε→ →

∞ = = ⋅ =+

(5-11)

25


30 0 2 22

1 1 1( ) lim ( ) lim 0( ) (0)1a as s

s s s W s s Ws

ε ε→ →

∞ = = ⋅ = ≠+

(5-12)

Kuptimi i gabimeve statike për sistemin tip 2 ilustrohet më poshtë (figura 5-4)

a)

h(t)

t0

ε(t)

ε(∞)=0r(t)=1(t)

y(t)=h(t)

r(t)=t

y(t)

tb)

ε(∞)=0

y(t)

2

1( )(0)a W

ε ∞ =y(t)

r(t)=t2/2

y(t)

tc)

Figura 5-4 Gabimet statike për sistemin e tipit 2

(a) Gabimi statik pozicional; (b) Gabimi statik i shpejtësisë; (b) Gabimi statik i përshpejtimit

Përfundimet për sistemet e tre tipeve po i mbledhim në tabelën e mëposhtme:

Tabela 5-1 Gabimet statike

Lloji i ngacmimit r(t) Tipi i sistemit 1( )t 1( )t t⋅

2

1( )2t t⋅

0 1

1 (0)W+ ∞ ∞

1 0 1

1(0)W ∞

2 0 0 2

1(0)W

Për sa i përket gabimit përkundrejt ngacmimit shqetësues, nga grafi i figurës 5-1b, duket

qartë se ai është funksion jo vetëm i natyrës së sistemit por dhe i llojit të ngacmimit shqetësues. Pavarësisht nga kjo, gabimi statik ashtu si dhe në rastin përkundrejt ngacmimit referues r(t), do të jetë në përpjesëtim të zhdrejtë me koeficientin W(0), W1(0), W2(0), respektivisht për sistemet e tipit 0, 1, 2 .

Përfundimi që arrihet është ky: për të zvogëluar gabimin statik duhet rritur koeficienti i përforcimit të sistemit të hapur.

26

5.2 CILËSIA E RREGULLIMIT NË REGJIM KALIMTAR Në paragrafin e mëparshëm treguam se pasja e një gabimi statik sa më të vogël është një tregues i cilësisë së SRA . Megjithatë kjo nuk mjafton, mbasi gabimi statik mund të jetë i vogël, kurse koha për të arritur gjendjen e vendosur mund të jetë shumë e gjatë, ose pas çdo shqetësimi sado të vogël në sistem vlera e vendosur arrihet pas një numri të madh lëkundjesh me amplituda të konsiderueshme. Kështu lind nevoja për përcaktimin e disa treguesve të tjerë që do të tregojnë për cilësinë e sjelljes së SRA në regjim kalimtar.

5.2.1 Treguesit e cilësisë në zonën e kohës

Treguesit e cilësisë në zonën e kohës janë shumë të rëndësishëm për vetë faktin që

dinamika e SRA zhvillohet në kohë. Në rast se sistemi është i qëndueshëm, atëherë procesi kalimtar i madhësisë në dalje për një ngacmim të caktuar në hyrje do të na sigurojë një sërë treguesish për cilësinë e sistemit në regjim kalimtar. Sigurisht ky proçes kalimtar është funksion si i strukturës së sistemit, e përfaqësuar kjo me modelin matematik të tij, ashtu edhe i natyrës së ngacmimit në hyrje. Meqënëse ngacmimet reale zakonisht nuk njihen (kap.I ) si ngacmim në hyrje do të përdoren ngacmimet standarte të provës njëlloj siç u bë për analizën e gabimit statik.

Si ngacmim prove për gjykimin e SRA do të përdorim ngacmimin shkallë, rrjedhimisht cilësia e sistemit do të konstatohet nëpërmjet funksionit kalimtar h(t) .

+ (s)

( ) ( )( )1 ( ) 1 ( ) ( )

d d

d

G s G sG sW s G s H s

= =+ +

( )r s ( )y s

_( )dG s

( )H s

Figura 5-5 SRA NHND

Mbasi zbatohet ngacmimi shkallë r(t) = 1(t) në hyrje të sistemit (Figura 5-5), madhësia

e rregulluar y(t) = h(t) nuk do të arrijë menjëherë vlerën e saj të vendosur h(∞), por pas njëfarë kohe, duke u lëkundur rreth kësaj vlere ekuilibri. Është e natyrshme që derisa po flasim për cilësinë e SRA në regjim kalimtar, qëndrueshmëria e tij konsiderohet e siguruar.

Në figurën 5-6 janë treguar specifikimet e funksionit kalimtar të SRA në formën e pesë treguesve të cilësisë në zonën e kohës:

■ t1 – quhet koha e rritjes, është koha që i duhet madhësisë në dalje y(t)=h(t) të rritet nga 10% deri në 100% të vlerës së vendosur.

27

rmpt0.02 0.05÷

1t

rtt

Figura 5-6 Treguesit e cilësisë në zonën e kohës

■ tp –koha e pikut, është koha e arritjes së majës së parë të shmangies nga vlera e

vendosur. Shmangia nga vlera e vendosur quhet mbirregullim. ■ %

rm – mbirregullimi maksimal në %, ose me fjalë të tjera maksimumi i shmangies së y(t) nga vlera e vendosur y(∞).Në se ( ) 1y ∞ ≠ , atëhere

% ( ) ( )100%

( )p

r

y t ym

y− ∞

= ⋅∞

(5-13)

■ tr – koha e rregullimit që tregon kohën që i duhet madhësisë së rregulluar të arrijë vlera të tilla që nuk kalojnë zakonisht 2% ose 5% të vlerës së vendosur të sajë.

Specifikimet e mësipërme janë mjaft të rëndësishme për gjykimin e cilësisë së SRA

pavarësisht nëse janë lineare ose jolineare. SRA me cilësi të mirë duhet t’i kenë treguesit e sipërpërmendur brenda kufijve të lejuar nga proçesi i rregullimit konkret.

5.2.2 Treguesit e cilësisë në planin kompleks s

Ndërsa për sistemet jolineare proçesi kalimtar është i vetmi që lejon verifikimin e cilësisë së rregullimit, për sistemet lineare problemi qëndron ndryshe. Kështu shndërrimi i Laplasit bën që bashkësisë së treguesve të cilësisë në zonën e kohës t’i përgjigjet një bashkësi treguesish në planin kompleks s.

Pamë që qëndrueshmëria e SRA lineare përcaktohej nga kërkesa që pjesa reale e vlerave vetiake të matricës A të sistemit

0

T

ry d r= +

= +

x Ax bc x

& (5-14)

apo pjesët reale të rrënjëve të ekuacionit karakteristik, të jenë negative

1 ( ) ( ) 1 ( ) det( ) 0dG s H s W s s+ = + = − =I A (5-15)

Kështu që kërkesa e parë për cilësinë e SRA është që rrënjët e ekuacionit karakteristik, që njihen dhe me emrin polet e sistemit të mbyllur, të ndodhen në planin kompleks majtas boshtit jω. Për të parë problemin nga pikpamja sasiore le të gjejmë funksionin kalimtar të sistemit, kur njihen Gd(s), H(s). Është e qartë që

28

1 ( ) ( ) 1( )1 ( )

G s Gd sh ts W s s

− ⎧ ⎫= = ⋅⎨ ⎬+⎩ ⎭

L (5-16)

Pas veçimit të poleve reale (-pj) dhe atyre komplekse të konjuguara, funksioni i transmetimit të sistemit të mbyllur mund të shprehet në formën e përgjithshme

2 2

1 1

2 2

1 1

( ) ( 2 )( )

( ) ( 2 )

p l

i h nh nhi h

q r

j k nk nkj k

K s z s sG s

s p s s

ζ ω ω

ζ ω ω

= =

= =

+ + +=

+ ⋅ + +

∏ ∏

∏ ∏ (5-17)

ku q + 2r = n dhe p+2l=m. Duke supozuar që të gjitha polet janë të ndryshme nga njëri-tjetri, kemi të drejtë të

shkruajmë për r(s)=1/s :

2

02 2

1 1

( ) 1( )( )2

q rj k k nk k nk k

j kj k nk nk

a b s caG sy ss s s p s

ζ ω ω ζζ ω ω= =

+ + −= = + +

+ + +∑ ∑ (5-18)

ku bk, ck llogariten në bazë të mbetjeve në polet * *1 2 1; ks p s s p= − = = − . Rrjedhimisht

funksioni kalimtar do të jetë

2 20

1 1( ) cos( 1 sin( 1j k nk k nk

q rp t t t

j k nk k k nk kj k

y t a a e b e c eζ ω ζ ωω ζ ω ζ− − −

= =

⎡ ⎤= + + − + −⎣ ⎦∑ ∑ (5-19)

ose

( )/2

1 1

( ) ( ) ( ) sin( )j dk

q n qt t

j k dk kj j

y t h t h a e B e tσ σ ω ϕ−

− −

= =

= = ∞ + + +∑ ∑ (5-20)

ku – σj = – pj janë polet reale. Kurse

21

dk k nk

dk nk k

σ ζ ω

ω ω ζ

=⎧⎪⎨

= −⎪⎩ (5-21)

janë përkatësisht pjesa reale dhe pjesa imagjinare e rrënjëve komplekse të konjuguara që dalin nga zgjidhja e ekuacionit të gradës së dytë

2 22 0k nk nks sζ ω ω+ + = (5-22)

d.m.th.

2

* 2

1

1

k k nk k nk dk dk

k k nk k nk dk dk

p j j

p j j

ζ ω ζ ω σ ω

ζ ω ζ ω σ ω

⎧− = − + − = − +⎪⎨− = − − − = − −⎪⎩

(5-23)

dhe

2 2 , ( / )k k k k k kB b c arctg c bϕ= + = (5-24)

29

Është e qartë, që SRA do të ketë cilësi aq më të mirë sa më shpejt të shuhen lëkundjet e lira, që përfaqësohen nga dy komponentet e fundit të barazimit (5-20). Kjo gjë do të arrihet kur pjesa reale e rrënjëve të ekuacionit karakteristik (5-15) të jetë sa më e madhe.

jtja e σ−

j jp σ− = −

sin( )dktk dk kB e tσ ω ϕ− +

*k

p−

dkσ−

kp−

dktkB e σ−

Figura 5-7 Dy tipet e lëkundjeve të lira dhe pozicioni i rrënjëve përkatëse në planin kompleks

Duke shënuar Tj konstanten e kohës së lëkundjes së lirë, që i përgjigjet pjesa reale e

rrënjës –pj të ekuacionit karakteristik, kemi

1j

j

Tσ

= (5-25)

Në rast se të gjitha rrënjët e ekuacionit karakteristik kanë pjesën reale të tyre në vlerë absolute më të madhe se një σ0 ( në këtë rast T0=1 /σ0 ), atëherë nuk është e vështirë të bindemi që një nga parametrat e cilësisë së SRA në regjim dinamik e pikërisht koha e rregullimit tr do të respektohet në rast se respektohet mosbarazimi

0

4rt σ≥ (5-26)

ose

04

rtσ ≥ (5-27)

Respektimi i (5-27) siguron një tolerancë prej 2%. Për një tolerancë 5% duhet që

03

rtσ ≥ (5-28)

Pra që një SRA të ketë një kohë rregullimi të dhënë tr, duhet që pjesa reale e rrënjëve të ekuacionit karakteristik në vlerë absolute të mos jetë më e vogël se σ0 e përcaktuar sipas(5-27) ose (5-28). Me fjalë të tjera, rrënjët e ekuacionit karakteristik duhet të ndodhen në të majtë të drejtëzës 0s jσ ω= − + (figura 5-8).

30

Figura 5-8 Respektimi i tr në planin s

Përfundimi që arritëm nuk është i plotë për rrënjët komplekse të konjuguara, të cilat

paraqesin në vetvete lëkundje sinusoidale që shuhen. Për këtë gjë mund të bindemi nga krahasimi i dy lëkundjeve të lira 1

11 1sin( )d tdB e tσ ω ϕ− + dhe 1

21 2sin( )d tdB e tσ ω ϕ− + , pra lëkundje

me të njëjtën amplitudë, me të njëjtën shuarje, por me frekuenca të ndryshme (figura 5-9) .

a)

k

*P−

b) c)

Figura 5-9 Ndikimi i koefiçentit shuarës

31

Siç shihet edhe nga figura 5-9 rast më i papërshtatshëm është ai me ωd1>ωd2, sepse proçesi kalimtar është mjaft lëkundës në krahasim me atë me ωd2. Për të karakterizuar këtë fakt për rrënjët komplekse të konjuguara futet kuptimi i raportit të shuarjes ksh

dsh

d

k σω

= (5-29)

Kështu, sa më i madh të jetë raporti i shuarjes ksh në kushte aq më të mira do të jetë dhe SRA. Arritëm kështu në një kusht tjetër që duhet respektuar për cilësinë. Në bazë të (5-23) kemi për rrënjën komplekse -pk

2 21 1k

dk k nk ksh

dk nk k k

k σ ζ ω ζω ω ζ ζ

= = =− −

(5-30)

Prej ku gjejmë koeficientin shuarës

21

shkk

shk

kk

ζ =−

(5-31)

Nga figura 5-9b dhe (5-31)

tan arctan

sin arcsinshk k k shk

k k k k

k kβ βζ β β ζ

= ⇔ =⎧⎨ = ⇔ =⎩

(5-32)

Këshillohet që për të pasur SRA me cilësi të pranueshme nga pikëpamja dinamike të respektohen mosbarazimet :

1) Për sistemet e stabilizimit automatik

(0.2 0.4) (12 24 )ζ β≥ ÷ ⇔ ≥ ÷o o (5-33)

2) Për sistemet ndjekëse

(0.6 0.8) (37 53 )ζ β≥ ÷ ⇔ ≥ ÷o o (5-34)

Kështu ne arrijmë në përfundimin e dytë, që rrënjët e ekuacionit karakteristik është e dëshirueshme të ndodhen brenda sektorit të vijëzuar (figura 5-9c), duke respektuar vlerat e β sipas (5-33) dhe (5-34).

(0.2 0.4)ζ ≥ ÷

0

3 4rt σ

÷≤

σ

jω

β

β

β

Figura 5-10 Treguesit e cilësisë në planin kompleks

32

Duke i bashkuar të dy përfundimet, mund të themi që një Sistem Kontrolli Automatik do t’i përgjigjet kërkesave në regjim dinamik, në rast se rrënjët e ekuacionit karakteristik do të ndodhën brënda sektorit të vijëzuar (figura 5-10).

Nga analiza e mësipërme pamë që sjellja e SRA në procesin kalimtar varet nga pozicioni i rrënjëve të ekuacionit karakteristik, ose me fjalë të tjera i poleve të këtij sistemi në planin kompleks s . Nuk është e vështirë të kuptohet që tonin procesit kalimtar do t’ja japin ato pole që ndodhen më pranë boshtit imagjinar, mbasi lëkundjet që ato përfaqësojnë do të shuhen më me vonesë se të tjerat.

Në rast se raporti i pjesëve reale të këtyre rrënjëve me ato që ndodhen jashtë rrënjëve më larg boshtit imagjinar i kalon 5 herët, atëherë polet më pranë boshtit imagjinar dominojnë në procesin kalimtar dhe marrin emrin pole dominuese. Shpesh polet dominuese shfaqen si një çift polesh komplese të konjuguara. Çifti i poleve dominuese merr një rëndësi të madhe gjatë sintezës së SRA, ku në shumicën e rasteve përpiqemi të kemi një çift të tillë me një ζd dhe σd sipas kërkesave të cilësisë. Respektimi i σd dhe ζd do të sjellë një plotësim të të pesë specifikave për funksionin kalimtar të SRA të dhënë në figurën 5-6.

Edhe gjatë analizës së SRA ka rëndësi të përcaktohen polet dominuese, mbasi nëpërmjet tyre ne vlerësojmë në mënyrë të përafruar vetitë dinamike të tij.

5.2.3 Treguesit e cilësisë në planin W(s)

Kemi parë që KAF e sistemit të hapur në planin W(s) është pasqyrimi konform i

konturit të Nyquist-it në planin s, d.m.th. i konturit të përbërë nga boshti imagjinar dhe gjysmërrethi me rreze ∞ në të djathtë të boshtit në fjalë. Në vend të atij konturi le të psqyrojmë konturin e modifikuar të Nyquist-it (Figura 5-11).

jω

σ

( )0, jσ ω−( )1, 0j−

( )0 ,W jσ ω−

( )W jω

Plani ( )W s

[ ]Im ( )W s

[ ]Re ( )W s

a) b)

Figura 5-11 Pasqyrimi i konturit te modifikuar te Nyquist-it ne planin W(s)

Ne mund të themi : në rast se pasqyrimi i këtij konturi në planin W(s) nuk e përfshin

pikën (-1, j0) dhe W(s) nuk ka pole brenda sektorit të vijëzuar, atëherë ekuacioni karakteristik nuk ka zero brenda këtij konturi. Me fjalë të tjera, të gjitha rrënjët e ekuacionit

33

karakteristik qëndrojnë në të majtë të drejtëzës s = - σ0 + jω. Në figurën 5-11b është treguar KAF e sistemit të hapur W(- σ0 + jω) . Duke zgjedhur σ0 sipas (5-27) ose(5-28), jemi në gjendje të gjykojmë mbi sigurimin e njërit parametër të cilësisë, e pikërisht kohës së rregullimit tr .

Është e qartë se, që të sigurohen kushtet e cilësisë [(5-33) dhe (5-34)], duhet që konturi i Nyquis-it të modifikohet (figura5-12a), në mënyrë të tillë që në planin W(s) të pasqyrohet

2( 1 )d d d dW jζ ω ω ζ− + − për ω nga - ∞ ÷ + ∞ . Në mënyrë të ngjashme, po të duam që të respektohen kushtet e cilësisë (5-27), (5-33)

apo (5-34), njëkohësisht duhet të bëjmë pasqyrimin konform të konturit ( figura 5-12b) në planin W(s). Në këtë rast me anë të numrit të rrotullimeve të lakores W(s) përreth pikës (–1, j0) gjykojmë nëse ekuacioni karakteristik i SRA ka ose nuk ka rrënjë brenda konturit të vijëzuar. Në rast se konstatojmë që nuk ka rrënjë brenda konturit në fjalë atëherë është e qartë që të gjitha rrënjët e ekuacionit karakteristik të SRA kanë faktor shuarës ζ jo më të vogël se sinβ dhe konstante kohe jo më të vogël se 1/σ0 .

a) b)

Figura 5-12 Dy konture te modifikuara te Nyquist-it

Në rast se në konturin e modifikuar të Nyquist-it marrim σ0 të barabartë me atë të

poleve dominuese të SRA ne jemi në gjendje që t’i gjejmë këto pole në bazë të procedurës së mëposhtme.

Në planin W(s) ndërtojmë KAF të sistemit të hapur W(jω) . Bashkojmë me drejtëzën më të shkurtër AB pikën A(-1, j0) me lakoren W(jω). Ndërtojmë katrorin lakore vijëzor CDEF, duke hequr një lakore PQ të ngjashme me W(jω) e që kalojnë nga pika A(-1, j0). Bëjmë që

FB=BE, CA=AD, FE+CD=EC+ED (5-35)

Këtij “katrori” i korrespondon në planin kompleks s, katrori C’D’E’F’ bashkë me pikën A’(poli i W(s) më pranë boshtit imagjinar).

Në bazë të vetisë së pasqyrimeve konforme kemi që

d E F dω ω ω σΔ = − = (5-36)

Nga ndërprerja e AB me W(jω) përcaktohet ωd. Kështu çifti i poleve dominuese do të jetë (figura 5-13):

d d dp jσ ω− = − ± (5-37)

34

a) b)

Figura 5-13 Përcaktimi i poleve dominante nga vetitë e pasqyrimeve konforme

Duke pasur parasysh marrëdhëniet (5-21), kemi

2 2

k k

k k

d dk

nkd d

σ σζ

ωσ ω= =

+ (5-38)

Nga të gjitha arsyetimet e mësipërme del se sa më afër pikës (-1, j0) të ndodhet W(jω), aq më ngadalë do të shuhen lëkundjet e lira (σ0 është e vogël) dhe anasjelltas, sa më larg pikës (-1, j0) të ndodhet W(jω), aq më shpejt shuhen lëkundjet e lira në sistem (σ0 është e madhe), pra aq më të mira janë vetitë dinamike të SRA. Megjithatë, zvogëlimi i koeficientit të përforcimit të sistemit të hapur, si masë për largimin e W(jω) nga pika(-1, j0), jo gjithmonë është efikas, mbasi ai sjell si pasojë zvogëlimin e saktësisë së sistemit (rritjen e gabimit statik). Rrjedhimisht, KAF e sistemit të hapur W(jω) duhet të vendoset në një largësi të përshtatshme nga pika (-1, j0).

Madhësitë që shprehin largësinë e KAF të sistemit të hapur nga pika (-1,j0) do t’i quajmë :

a) Rezervë në fazë γ, me të cilën kuptohet ai kënd shtesë që i duhet dhënë KAF të sistemit të hapur për frekuencën ω0, për të cilën ⎥W(jω0)⎢=1, për t’a sjellë sistemin në kufirin e qëndrueshmërisë. Pra

00180 ( )W jγ ω= +∠ (5-39)

b) Rezervë në amplitudë, me të cilën kuptohet i anasjellti i |W(jω)| në frekuencën ω1, për të cilën W(jω1) = -180o,pra përforcimi shtesë që e sjell SRA në prag të qëndrueshmërisë

11/ ( )h W jω= (5-40)

Zakonisht h shprehet në decibel:

[ ] 1 120 log 20log ( ) ( )h db h W j Lω ω= = − = − (5-41)

Nga figurën 5-14 shihen qartë interpretimet e rezervës në fazë dhe asaj në amplitudë për sistemet minimalo–fazore, me anë të KAF të sistemit të hapur, të diagramave logaritmike dhe diagramit Nikols.

Siç shihet nga figura 5-14 dhe në bazë të kriterit të Nyquist-it, që sistemi minimalo–fazor, në rradhë të parë të jetë i qëndrueshëm, duhet të ketë rezerva pozitive në fazë dhe në amplitudë. Për të plotësuar kërkesat e cilësisë së SRA, rekomandohen:

35

a) Rezerva ne amplitude 10 20b) Rezerva ne faze 40 60

h dbγ

= ÷

= ÷o o (5-42)

Shpesh për analizën e cilësisë në vend të diagrameve logaritmike të fazës dhe të amplitudës përdoren diagramet Nikols, që paraqesin KAF e sistemit të hapur në koordinatat L(ω) në db dhe ϕ(ω) në gradë (figura 5-14c). Prerja e diagramit Nikols me boshtin L(ω)=0 jep rezervën e fazës, ndërsa prerja me boshtin ϕ = –180o na jep rezervën në amplitudë. Gjithçka që u tha vlen për sistemet minimalo–fazore, d.m.th. për ato sisteme me pole të sistemit të hapur në të majtë të boshtit jω (në limit dhe në këtë bosht). Për sistemet jominimalo–fazore analiza bëhet më e ndërlikuar prandaj këshillohet të veprohet ose në zonën e kohës, ose në zonën e planit kompleks s .

a)

b)

c)

Figura 5-14 Treguesit e cilesise ne zonen e frekuences a) KAF; b) Diagrami logaritmik; c) Diagrami Nikols

36

5.2.4 Treguesit e cilësisë në planin KAF të sistemit të mbyllur

Duke iu referuar skemës strukturore të përgjithshme të një SRA njëkonturore (figura

5-5) kemi:

( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( )

dG sy s G s r s r sW s

= =+

(5-43)

Në rast se :

0 0

| ( ) | dhe | ( ) |r t dt y t dt∞ ∞

∫ ∫ (5-44)

konvergjojnë, shndërrimet Furie të r(t) dhe y(t) përkojnë me ato të Laplasit për s→jω. Kështu që:

( ) ( ) ( )y j G j r jω ω ω= ⋅ (5-45)

Në rastin ideal duhej të kishim për zonën e egzistencës së r(jω):

( ) ( )y j r jω ω≈ (5-46)

pra :

( ) 1G jω ≈ (5-47)

Që mund të kënaqet nga karakteristikat e një filtri ideal (figura 5-15a) me funksion transmetues:

0

0( )s

G s eϕω

φ

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= (5-48)

që i përgjigjet KAF:

0

00

0

, 0( )0

j

eG jφ ωω

φω ωωω ω

−⎧⎪ < <= ⎨⎪ >⎩

(5-49)

Për rrjedhojë:

0 0( / )10 0( ) ( ) ( / )sy t r s e r tφ ω φ ω−− ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦L (5-50)

)(jωGΦ∠

a) b)

Figura 5-15 KAF a) Filtri ideal b) Procesi kalimtar

37

Pra dalja ndjek me saktësi hyrjen por me vonesë kohe r = ϕ0/ω0. Kuptohet se sa më i vogël të jetë r aq më i mirë është sistemi.

Funksioni kalimtar i filtrit ideal llogaritet në bazë të shndërrimit të kundërt të Laplasit:

[ ]0 0/

0 0 01 1 1( ) ( /

2 2

c

c

j sst

ij

eh t e ds S tj s

σ ω φ ω

σ ω

ω φ ωπ π

+ −

Φ−

= = + −∫ (5-51)

ku σc –abshisa e konvergjencës dhe Si është shenja e sinusit integral.

Në paraqitjen grafike të funksionit kalimtar të filtrit ideal (figura 5-16) janë shënuar me : trr -koha e rritjes t0.5 -koha e arritjes së gjysmës së vlerës së vendosur.

0

00.5 ω

t ϕ=

0ωπ

0ωπ

Figura 5-16 Funksioni kalimtar i filtrit ideal

Në SRA e zakonisht marrëdhëniet e r(t) dhe y(t) nuk mund të karakterizohen nga një filter ideal. Megjithatë për të vlerësuar në mënyrë të përafërt funksionin kalimtar e përafrojmë KLA të sistemit 20lg⎟G(jω)| me atë të një filtri ideal (figura 5-17). Frekuenca e prerjes ω0 përcaktohet në përputhje me vlerën –3db nën 20lg⎟G(0)|.

-3db

ω

ω

( )( ) 20 logL G jω ω=

20log (0)G

0ωrω

0ϕ

( )G jω∠

Figura 5-17 Përafrimi i KLA me ate te filtrit ideal

38

Për të kuptuar ndikimin e maksimumit të KLA për ω=ωr (frekuenca e rezonancës), do t’i referohemi faktit që një SRA mund të përafrohet me një sistem të rendit të dytë (polet dominuese) të formës :

2

2 2

( )( )( ) 2

n

n n

y sG sr s s s

ωζω ω

= =+ +

(5-52)

KAF do të jetë :

2

2

1( )1 2

n n

G jj

ωω ωζω ω

=− +

(5-53)

Moduli i G(jω) :

( ) ( )2 22 2

1( )1 / 2 /n n

G jωω ω ζω ω

=− +

(5-54)

Maksimumi i modulit (për 0 ≤ ζ ≤ 0.7) arrihet kur :

( ) ( )2 22 2( ) 1 / 2 / minn nG ω ω ω ζω ω= − + = (5-55)

Frekuenca për të cilën arrihet minimumi i G(ω) është :

21r nω ω ζ= − (5-56)

Për këtë frekuencë

2

1( ) max2 1

rG jωζ ζ

= =−

(5-57)

Si përfundim, një vlerë e madhe e maksimumit të KLA të sistemit të mbyllur tregon për shuarje të vogël (ζ e vogël) të proçesit të kalimtar.

Për ngacmim shkallë në hyrje të sistemit të gradës së dytë funksioni kalimtar do të jetë :

2

( ) 1 cos sin1

ntd dh t e t tζω ζω ω

ζ−

⎛ ⎞⎜ ⎟= − +⎜ ⎟−⎝ ⎠

(5-58)

ku :

21d r nω ω ω ζ= = − (5-59)

Mbirregullimi i h(t) llogaritet të jetë :

21

rm eπζ

ζ

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎝ ⎠= (5-60)

Kështu pra ζ të vogla japin mbirregullime të mëdha dhe njëkohësisht vlera të mëdha të mëdha të maksimumeve të KLA të sistemit.

39

Vlera të pranueshme të maksimumit të |G(jω)| janë (1.1÷1.4) që u përgjigjen (1÷3)db të KLA.

5.2.5 Treguesit integralë të cilësisë

Për vlerësimin e cilësisë së rregullimit janë propozuar disa tregues të veçantë që

njihen me emrin kritere integrale të gabimit, të cilët japin informacion mbi gabimin e sistemit gjatë gjithë procesit kalimtar.

1) Kriteri integral i gabimit kuadratik:

21

0

( ) minJ t dtε∞

= =∫ (5-61)

2) Kriteri integral i kohës shumëzuar me gabimin në katror.

22

0

( ) minJ t t dtε∞

= =∫ (5-62)

3) Kriteri integral i gabimit absolut :

23

0

| ( ) | minJ t dtε∞

= =∫ (5-63)

4) Kriteri integral i kohës shumëzuar me gabimin absolut :

40

| ( ) | minJ t t dtε∞

= =∫ (5-64)

J1÷J4 quhen treguesë cilësie. Ato janë numra që tregojnë cilësinë e sistemit. Shpesh ato janë bazë për sintetizimin e funksionit transmetues të sistemit të rregullimit. Parametrat e këtij funksioni transmetues zgjidhen të tillë që të minimizojnë treguesin integral të pranuar si kriter cilësie.

40

6 SINTEZA DHE KOMPENSIMI KLASIK I SRA LINEARE

6.1 Hyrje

Shpesh një SRA nuk i kënaq treguesit sasiorë të cilësisë, për të cilët u fol në kapitullin e mëparshëm. Natyrshëm lind pyetja: në këto raste çfarë duhet bërë? Le të ndalemi në fillim në sistemet NHND (Figura 6-1). Rruga më e thjeshtë për t’i kënaqur treguesit në fjalë do të ishte ndryshimi i vlerës së një ose më shumë parametrave të sistemit. Këto parametra mund të jenë, koeficienti i përforcimit të sistemit të hapur, konstante të ndryshme kohe mjetesh korrektuese etj. Megjithatë, kjo rrugë mund të mos sjellë përfundimet e kërkuara dhe shpesh jemi të detyruar të rishikojmë strukturën e sistemit dhe t’a riprojektojmë ose t’a sintetizojmë sistemin me qëllim që të fitojmë një sistem më të përshtatshëm. Sinteza e një SRA ka të bëjë me strukturizimin dhe zgjedhjen e komponentëve e të parametrave të përshtatshëm, me qëllim që të arrihen treguesit sasiorë të cilësisë, të domosdoshëm për një punë normale të vetë sistemit. Vetë treguesit e cilësisë varen nga karakteristikat dhe nga kërkesat që shtron dinamika e objektit të rregullimit. Kështu p.sh. në SRAT kërkohet një kohë rregullimi tr < (1-2) sek për SRASH kërkohet një tr e rendit të minutit, ndërsa për proceset termike tr mund te kaloje disa minuta. Po kështu dhe mbirregullimet e lejuara ndryshojnë nga një proces në tjetrin etj.

+( )r s ( )y s

_( )dG s

( )H s

( )sε

Figura 6-1 Skema fillestare strukturore e sistemit NHND

41

Shpesh ristrukturimi i SRA me qëllim që të arrihen treguesit e cilësisë, konsiston në futjen e një pajisjeje shtesë, që ka për detyrë të kompensojë ose të korrektojë mangësitë e sistemit fillestar në drejtim të treguesve të mësipërm. Kalohet kështu në të ashtuquajturin “kompensim” të SRA. Pajisja kompensuese ose korrektuese mund të jetë elektrike, elektronike, mekanike, hidraulike, pneumatike etj. dhe zakonisht njihet me emrin kompensator. Kjo pajisje (figura 6-2) vendoset në një vend të përshtatshëm brenda strukturës së SRA. Në vartësi të vendit të vendosjes së kompensatorit dallohen:

a) Kompensim kaskadë ose seri. b) Kompensim në lidhjen e kundërt kryesore. c) Kompensim në hyrje d) Kompensim në lidhjen e kundërt lokale

Këto skema kompensimi janë më të përhapurat, por duhet theksuar që ka edhe skema të tjera që mund të jenë kombinime të tyre. Zgjedhja e tipit të kompensatorit varet nga rrethanat konkrete, si për SRA, ashtu edhe për pajisjet kompensuese që janë në dispozicion. Siç e pamë në kapitullin e mëparshëm, cilësia e një SRA mund të përshkruhej me anën e treguesve sasiore të cilësisë në regjim të stabilizuar e në regjim kalimtar. Treguesit e cilësisë në regjim kalimtar mund të specifikoheshin në zonën e kohës e prej andej të nxirreshin treguesit e njëvlershëm në zonën e planit kompleks s, nëpërmjet kërkesave për vendin e ndodhjes së poleve (dhe të zerove) të funksionit transmetues të sistemit të mbyllur G(s).

+

-

H(s)

+--

y1(s)

r(s)+ -

+-

( )kG s ( )dG s

( )H s ( )H s

( )dG s

( )kG s

(s)y(s) r(s) y(s)

a) b)

r(s) y(s) y(s)r(s)( )kG s ( )dG s

( )H s ( )kG s

1( )G s 2 ( )G s

c) d)

Figura 6-2 Skemat e kompensimit

Shpesh, siç e thamë që në fillim, mjafton që të përshtaten një ose disa nga parametrat e sistemit, me qëllim që të fitohet një vendosje e kërkuar e poleve të

42

funksionit transmetues të sistemit të mbyllur G(s) d.m.th. të rrënjëve të ekuacionit karakteristik.

1 ( ) 0W s+ = (6-1)

Rrjedhimisht, do të ishte mjaft me vlerë, të përcaktohej se si do të shpërndaheshin rrënjët e ekuacionit karakteristik me ndryshimin e parametrave të sistemit.

Në 1948, Evans nxorri në dritë metodën e vendit gjeometrik të rrënjëve (VGJR). Kjo është një metodë grafike për vizatimin e VGJR, kur ndryshon një parametër nga 0 ÷ ∞. Metoda e VGJR mund të përdoret për të fituar informacion për qëndrueshmërinë dhe për cilësinë e sistemit. Ajo është një urë kalimi nga cilësia në sintezën e SRA.

6.2 Metoda e Vendit Gjeometrik të Rrënjëve

6.2.1 Përcaktimi i VGJR

Në mungesë të elementit kompensues (figura 6-2), funksioni transmetues i sistemit të mbyllur është:

( ) ( )( )1 ( ) ( ) 1 ( )

d d

d

G s G sG sG s H s W s

= =+ +

(6-2)

Ekuacioni karakteristik fitohet siç e kemi parë, duke barazuar me zero emëruesin e (6-2):

1 ( ) 0W s+ = (6-3)

Le t’a rishkurajmë këtë ekuacion, duke nxjerrë në dukje një parametër me interes, i cili do të shfaqet si faktor shumëzimi në formën:

11 ( ) 0kW s+ = (6-4)

ose

11( )W sk

= − (6-5)

Parametri k mund të jetë pozitiv ose negativ. Në rast se 0k ≥ , atëherë meqenëse W1(s) është madhësi komplekse, ekuacioni (6-5) është i njëvlershëm me dy ekuacionet e mëposhtme:

a) Kushti i amplitudës

11( )W sk

= (6-6)

b) Kushti i këndit

43

1( ) (2 1) , ( 0,1,2, )W s ν π ν∠ = ± + = K (6-7)

Për 0k ≤ ekuacioni (6-5) është i njëvlershëm me:

a) Kushti i amplitudës

11( )W sk

= − (6-8)

b) Kushti i këndit

1( ) 2 , ( 0,1,2, )W s νπ ν∠ = ± = K (6-9)

Për ndërtimin e VGJR mjafton plotësimi i kushteve (6-7) ose (6-9) të këndit.

Përkufizim. VGJR janë ato pika të planit kompleks që kënaqin kushtin e këndit. Rrënjët e ekuacionit karakteristik, që i përgjigjen një vlere të caktuar të parametrit k, mund të gjenden nga respektimi i kushtit të amplitudës (6-6) ose (6-8), në varësi të shenjës së k.

6.2.2 Procedura e ndërtimit të VGJR

Të ndërtosh VGJR don të thotë se ku do të ndodhen në planin kompleks s rrënjët e ekuacionit karakteristik (6-4) kur:

[ )0,k ∈ ∞ (6-10)

Le ta supozojmë W1(s) një raport dy polinomesh të variablit kompleks s. Duke vënë në dukje polet dhe zerot e tij, (6-5) merr formën:

1

1

( )1

( )

m

jjn

ii

s z

ks p

=

=

+= −

+

∏

∏ (6-11)

Pikat e nisjes së VGJR. Këto janë ato pika s të planit kompleks që kënaqin (6-11) për 0k = , ose

1

0

1

( )1lim

( )

m

jjn k

ii

s z

ks p

=

→

=

+= − →∞

+

∏

∏ (6-12)

pra janë polet e fundme ( ); 1, 2, ,is p i n= − = K të sistemit të hapur.

Pikat e mbërritjes së VGJR. Këto janë ato pika s të planit kompleks që kënaqin (6-11) për k →∞ , ose

44

1

1

( )1lim 0

( )

m

jjn k

ji

s z

ks p

=

→∞

=

+= − →

+

∏

∏ (6-13)

Pra janë m zerot e fundme ( ); 1, 2, ,js z j m= − = K si dhe (n – m) zerot e pafundme të sistemit të hapur.

Konluzion. VGJR fillon në polet e W1(s) dhe mbaron në zerot e W1(s), kur parametri me interes k ndryshon nga 0 ÷ ∞ [ ){ }0,k∈ ∞ . Për ndërtimin e VGJR ndihmojnë disa veti themelore, që mund të përmblidhen si më poshtë:

Vetia e I-rë: Numri i degëve të VGJR është i barabartë me numrin e poleve.

Çdo degë niset nga një pol dhe mbaron në një zero të W1(s). Kjo veti sapo u vërtetua. Duke supozuar n ≥ m, rrjedh që numri i degëve të VGJR është n .

Vetia e II-të: Numri i asimptotave të VGJR është n – m .

Në rast se n > m, atëherë (n – m) degë përfundojnë në infinit, sepse W1(s) ka në këtë rast (n – m) zero të pafundme. Përfundimi i degëve në infinit tregon për ekzistencën e n – m asimptotave. Për t’a përcaktuar drejtimin e asimtotave, do të nisemi nga fakti që për s → ∞ këndi nga çdo pol ose zero e fundme e funksionit transmetues W1(s) është i njëjtë dhe e shënojmë me aϕ . Për rrjedhojë, për pikat e planit s që ndodhen mbi asimptota mund të shkruajmë:

1

(2 1) , 0( ) | ( ) ( 0,1,2, )

2 , 0as

kW s n m

kν π

φ ννπ→∞

± + >⎧∠ = − = =⎨± >⎩

K (6-14)

Rrjedhimisht këndi i asimptotave

(2 1) , 0

2 , 0a

kn m

kn m

ν π

ϕνπ

+⎧± >⎪⎪ −= ⎨⎪± <⎪ −⎩

(6-15)

Vetia e III-të: Asimptotat e VGJR priten në një pikë të boshtit të abshisave me abshisë σa, që quhet qendër e asimptotave.

Për gjetjen e abshisës së qendrës së asimptotave le të nisemi nga marrëdhënia:

1

1 1 01

1 0

1

( )( )1 1 0

( )

m

m mii mn n n

n sj

j s

s zs b s bk ks a s as p

−= −

−− →∞

= →∞

++ + +

+ = + =+ + ++

∏

∏L

L (6-16)

Duke bërë pjesëtimin e polinomit të emëruesit me atë të numëruesit e duke u ndalur vetëm tek dy termat e para, (6-16) mund të shkruhet:

45

( ) 11 1

1 1( )n m n m

kn m ss a b s k− − −

→∞− − →∞

= −+ −

(6-17)

ku:

1

1

11

m

m jj

n

n ii

b z

a p

−=

−=

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

∑

∑ (6-18)

Atëherë, duke shënuar me:

1 1n ma

a bn m

σ − −−= −

− (6-19)

shprehja (6-17) merr formën:

( ) 1

1 1( )n m n m

ka ss n m s kσ− − −

→∞→∞

= −− − ⋅

(6-20)

Meqënëse për dy termat e para të binomit (s - σa )(n –m) ka vend barazimi:

1( ) ( )n m n m n ma as s n m sσ σ− − − −− = − − ⋅ (6-21)

atëhere shprehja (6-20) merr formën:

( )

( )

1 1n m

ka sks σ

−

→∞→∞

= −−

(6-22)

Pra, për s → ∞ (d.m.th. për asimptotat) kemi një sjellje të sistemit sikur të ketë një pol real të (n – m) fishtë me abshisë:

1 11 1

n m

i ji jn m

a

p za b

n m n mσ = =− −

−−

= − = −− −

∑ ∑ (6-23)

e cila shpreh dhe abshisën e qëndrës së asimptotave

Vetia e IV-të: VGJR në boshtin e abshisave:

Në rast se konstantja k është pozitive, një pikë e boshtit të abshisave bën pjesë në VGJR kur ajo lë në të djathtë të saj një numër tek zerosh ose polesh. Në rast se k është negative, një pikë e boshtit të abshisave bën pjesë në VGJR kur ajo lë në të djathtë të saj një numër çift zerosh ose polesh.

Vetia verifikohet menjëherë, duke kujtuar që pikat e VGJR duhet të kënaqin kushtet e këndit (6-7) ose (6-9), si dhe duke pasur parasysh që për një pikë të boshtit të abshisave një çift polesh komplekse të konjuguara jep një shtesë në kënd zero ose 2 ( 0,1,2, )νπ ν = K , ndërsa polet dhe zerot reale japin një shtesë në kënd π± kur

46

k>0 k<0s+z

-z -z-p2 -p2 -p1-p1

-p3

-p3

-p*3 -p*3

j j

s+p1

p p

k>0 k<0

s+z

-z -z-p2 -p2 -p1-p1

-p3

-p3

-p*3 -p*3

j j

s+p1

Q Q

1800

s+p2

⎩⎨⎧

∈<∉>

=∠= VGJRPk

VGJRPksW

PS 00

0)(

( )*1 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )W s s z s p s p s p s p∠ =∠ + − ∠ + +∠ + +∠ + +∠ +

*1 2 3 3

( )( )( )( )( )( )

s zW ss p s p s p s p

+=

+ + + +

Figura 6-3 Vendi gjeometrik në boshtin real

ndodhen në të djathtë të pikës në shqyrtim dhe zero kur ndodhen në të majtë. Kjo gjendje shpjegohet qartë në fig. 6-3.

Vetia e V-të: VGJR është simetrik në lidhje me boshtin e abshisave.

Kjo simetri është rrjedhoje e faktit që rrënjët e ekuacionit karakteristik, kur janë komplekse, ekzistojnë në çifte të konjuguara.

Vetia e VI-të: Në zonën e boshtit real ndërmjet dy poleve ose dy zerove ekziston të paktën një pikë ku ndodh prerja e VGJR me boshtin real.

Për gjetjen e pikës së prerjes së VGJR me boshtin real le të shkruajmë ekuacionin karakteristik:

( )1 ( ) 1 0( )

B sW s kA s

+ = + = (6-24)

në formën:

( ) ( ) 0A s kB s+ = (6-25)

Për një shtesë të vogël Δk do të kemi:

47

( )( ) ( ) ( ) 1 0( ) ( )

kB sA s k k B sA s kB sΔ

+ + Δ = + =+

(6-26)

Meqënëse emëruesi është ekuacioni karakteristik, në pikën e prerjes së VGJR me boshtin real do të ketë një rrënjë të q-fishtë (q ≥ 2) e për rrjedhojë mund të shkruhet (për s mjaft afër si ):

( )( ) ( ) ( ) ( )

i iq q

i

C CB sA s kB s s s s

≈ =+ − Δ

(6-27)

Atëhere (6-26) merr formën:

1 0( )

in

kCs

Δ+ =

Δ (6-28)

ose:

1( )n

i

k ss C

−Δ Δ= −

Δ (6-29)

Duke kaluar në limit për Δ s → 0 kemi:

0dkds

= (6-30)

Si përfundim, duke pasur parasysh (6-25) dhe (6-30), pikat e prerjes së boshtit real me VGJR gjenden nga ekuacioni:

( ) 0( )

dk d A sds ds B s

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥

⎣ ⎦ (6-31)

Vetia e VII-të: Në rast se k është pozitive, këndi sipas të cilit VGJR niset nga një pol kompleks ose mbaron në një zero komplekse, është i barabartë me ( )2 1ν π+ minus shumën algjebrike të këndeve të vektorëve, që bashkojnë polet dhe zerot e tjera me polin ose zeron në shqyrtim. Në rast se k është negative, duhet zëvedësuar ( )2 1ν π+ me 2νπ . Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga plotësimi i kushtit të këndit sipas (6-7) ose (6-9) në një pikë në largësi ε , mjaft afër polit ose zeros në shqyrtim. Për rastin e sistemit me:

2 2 *3 1 1 3

( ) ( )( )( )( 2 ) ( )( )( )n

k s z k s zW ss p s s s p s p s pζω ω

+ += =

+ + + + + + (6-32)

në fig. 6-4 jepet llogaritja e këndit të nisjes nga poli kompleks – p1. Meqënëse ε → 0, matja e këndeve bëhet përkundrejt polit ose zeros në shqyrtim.

Krahas vetive të përmendura më lart, që janë të domosdoshme për një ndërtim të shpejtë të VGJR, merr një rëndësi të veçantë përcaktimi i saktë i pikave të pikave të ndërprerjes së VGJR me boshtin imagjinar, mbasi këto pika i përkasin kufirit të qëndrueshmërisë. Dalja e VGJR në gjysmën e djathtë të planit kompleks, tregon shfaqjen e rrënjëve të ekuacionit karakteristik me pjesë reale pozitive, pra tregon për paqëndrueshmëri

48

0

1 2 3( ) 180Zθ θ θ θ− + + = ±

Figura 6-4 Vleresimi i këndit të nisjes se VGJR

sistemi. Vlera e parametrit k, për të cilin sistemi ndodhet në kufirin e qëndrueshmërisë, mund të gjendet nëpërmjet kriterit të Routh-it (kapitulli IV). Pikat e ndërprerjes së VGJR me voshtin imagjinar do të gjenden tani duke zgjidhur ekuacionin ndihmës me koeficientet e marrë nga tabela e Rauthit, një rresht sipër atij që i anullohet koeficienti i kolonës së parë të tabelës. Gjithashtu, frekuenca ω e prerjes së VGJR me boshtin imagjinar mund të gjendet dhe nga fakti që për s=jω, duhet të kënaqet përsëri ekuacioni karakteristik, pra ka vend:

( ) 1W jω = − (6-33)

ose

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) 1e mW j W j j W jω ω ω=ℜ + ℑ = − (6-34)

Frekuencat ω të prerjes gjenden nga respektimi i njërit prej dy kushteve të mëposhtme:

[ ][ ]

1) ( ) 1

2) ( ) 0e

m

W j

W j

ω

ω

ℜ = −

ℑ = (6-35)

Nga sa u tha më sipër, procedura për ndërtimin e VGJR të sistemit me ekuacion karakteristik:

1 ( ) 0W s+ =

mund të ndahet në etapat e mëposhtme:

1. Shkruhet ekuacioni karakteristik, duke vënë në dukje parametrin me interes k, në formën:

2. 0)(1 1 =+ skW

3. Vendosen në planin s, polet dhe zerot e W1(s)

4. Përcaktohen segmentet e boshtit real që bëjnë pjesë në VGJR sipas vetisë së pestë.

49

5. Përcaktohet numri i degëve (n – m) të VGJR.

6. Ndërtohen asimptotat duke llogaritur këndet e asimptotave sipas (6-15) dhe pikën e prerjes së tyre me boshtin real sipas (6-23).

7. Përcaktohen (në rast se ka) pikat e prerjes së VGJR me boshtin real sipas (6-31).

8. Përcaktohet këndi i nisjes së VGJR nga polet komplekse ose i mbërritjes në zerot komplekse sipas vetisë së shtatë.

9. Përcaktohen me kriterin e Rauthit pikat ku VGJR ndërpret boshtin imagjinar.

10. Pikat e tjera ndërmjetëse përcaktohen në bazë të plotësimi të kushtit të këndit sipas (6-7) ose (6-9).

_______________________

Shembull 6-1

Për SKA të dhënë në Fig. 6-5 të ndërtohet VGJR ku si parametër me interes të merret koeficienti i përforcimit K1, për vlerat e mëposhtme të parametrave:

1 2 2 3 310 ; 1, 0.6 ; 0.9, 7T sek K T sek K T sek= = = = =

1

1 1K

T s +3

3 1K

T s +2

2 1K

T s +

( )r s ( )y s( )sε

Figura 6-5 Skema strukturore e sistemit për shembullin 6-1

Zgjidhje 1. Dëshirohet të ndërtohet VGJR për sistemin me ekuacion karakteristik:

10.91 0(0.1 1)(0.6 1)(7 1)

Ks s s

+ =+ + +

ose:

1 0( 10)( 1.666)( 0.1428)

ks s s

+ =+ + +

ku: k=2.1428K1 .

2. Vendosen në planin s tre polet reale: -p1= - 10, -p2= - 1.66, -p3= - 0.1428

3. Zona e VGJR në boshtin real është segmenti ndërmjet –p2 dhe –p3, si dhe ndërmjet –p1 dhe ∞.

4. Meqënëse ka 3 (n=3) pole, atëherë VGJR përmban tre degë, e meqënëse m = 0, atëherë kemi

n-m =3 asimptota.

5. Këndet e asimptotave janë:

2 1180 ( 0,1, 2)

360 ,180 ,300 ( 60 ).

a

a

νϕ ν

ϕ

+= =

= + −

o

o o o o

50

Qëndra e asimptotave është në:

10 1.666 0.1428 3.9343

i ji j

a

p z

n mσ

++ +

= − = − = −−

∑ ∑

6. Pika e prerjes me boshtin real ndodhet ndërmjet – 1.66 dhe – 0.142. Ajo do të gjendet në bazë të:

[ ]( 10)( 1.666)( 0.1428) 0d s s sds

+ + + =

ose:

23 23.618 18.326 0s s+ + =

Nga dy rrënjë të këtij ekuacioni pranohet: 0.872s = −

7. Nuk ka pole ose zero komplekse.

8. Sipas kriterit të Rauthit nga shembulli 4-4, koeficienti kritik është:

1 99.893krK =

Ekuacioni i ndihmës, sipas koeficientëve të rreshtit të dytë të tabelës së Rauthit, është :

( )21.81 2.38 2.142 99.893 0s + + ⋅ =

Prej nga prerja e boshtit imagjinar bëhet për:

2 1 4.281s j= ±

9. Pikat e tjera ndërtohen duke respektuar kushtin (k >0)

( ) (2 1)180W s ν∠ = + o

aσ σ

jω

4.28j

4.28j−

Figura 6-6 VGJR per shembullin 6-1

51

Shembull 6-2

Të ndërtohet VGJR për sistemin me funksion transmetues të sistemit të hapur:

50( )(0.5 1)(0.25 1)

W ss s s

=+ +

Për ndërtimin e VGJR bazohemi në vetitë e tij.

1. Normalizojmë funksionin transmetues në formën

11

1

( )( ) ( )

( )

m

jjn

ii

s zW s k W s k

s z

=

=

+= ⋅ = ⋅

+

∏

∏

Pra:

( )( 2)( 4)

kW ss s s

=+ +

2. Përcaktojmë numrin e poleve dhe zerove:

− nr. poleve: n = 3 s1= 0; s2= -2; s3= -4; − nr. zerove: m = 0

3. Konfigurimi pol-zero në planin s

-1-2-3-4

XX X

jω

σ

4. Segmentet e boshtit real që bejnë pjesë në VGJR ndodhen majtas një numri tek polesh/zerosh (vetia IV) dhe në figurën e mëposhtëme janë pjesët e theksuara

jω

σ

5. Numri i degëve të VGJR (i barabartë me numrin e poleve)

3dn n= =

6. Përcaktimi i asimptotave − Numri i asimptotatve

3an n m= − =

− këndet e asimptotatve (janë tre sa numri i tyre) dhe do te gjenden si mëposhtë:

52

1 1

3

0

1

2 1 ;3 3 3

2 1

a a aa

a aa

n

n

ν

ν

ν π π πϕ π ϕ ϕ

νϕ π π ϕ π

=

=

⎧ += ± = ± ⇒ = = −⎪

⎪⎨

+⎪ = ± = ± ⇒ =⎪⎩

− pikë prerja e asimtotave me boshtin real:

1 1 4 2 0 0 23

n m

i ji j

aa

p z

nσ = =

−+ + −

= − = − = −∑ ∑

7. Pikat e prerjes së VGJR me boshtin real: Këto kërkohen në zonat e boshtit real që bëjnë pjesë në VGJR

Mënyra I

Për gjetjen e prerjes me boshtin real, real zgjidhet ekuacioni (6-31)

[ ] ( )3 2

2

( 2)( 4) 6 8 0

3 12 8 0

d ds s s s s sds dss s

− + + = − − − =

+ + =

Ky ekuacion ka dy zgjidhje

1

2

2 2 2

2 2 2

s

s

⎧ = − −⎪⎨

= − +⎪⎩

ku si prerje e VGJR me boshtin real pranohet e s2 pasi duhet të në pjesën e boshtit të ashisave që bën pjesë në VGJR (midis dy poleve: 0 dhe -2)

Mënyra II

1ϕ 2ϕ 3ϕ

Marrim një pikë - P - shumë afër boshti real, me largësi p.m.vδ → . Nga kushti i këndit të VGJR kemi:

01 2 3( ) 180 ( )W s ϕ ϕ ϕ∠ = − = − + +

Nga vetia e këndeve shumë të vegjël dihet që per 0tgϕ ϕ ϕ≈ → dhe duke zëvendësuar në ekuacionin e mësipërmë shprehjet e mëposhtëme:

53

1 2 3180 ; ;2 4b b b

δ δ δϕ ϕ ϕσ σ σ

= − = − = −+ +

kemi

180 1802 4b b b

δ δ δσ σ σ

⎛ ⎞− − − − = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Ose:

02 4b b b

δ δ δσ σ σ

+ + =+ +

Përfundimisht duke i kther thyesat në emrues të perbashkët fitohet:

23 12 8 0

(2 )(4 )b b

b b b

σ σσ σ σ

+ +=

+ +

Zgjidhjet e ekuacionit janë të njëjta me ato të mënyrës së parë :

1 22 2 2, 2 2 2b bσ σ= − − = − +

8. Prerja e VGJR me boshtin imagjinar Prerja gjendet me ndihmën e tabelës së Routh-it për ekuacionin karakteristik

( 2)( 4) 0s s s k+ + + =

Duke bërë veprimet fitohet ekuacioni karakteristik:

3 26 8 0s s s k+ + + =

Ndërtojmë tabelën e Routh-it për ekuacionin karakteristik të mësipërm:

3

2

1

0

1 8

6

48 060

s

s k

ks

s k

−

Elementi i tretë i kolonës së parë të tabelës anulohet për

48kr krk k k= ⇒ =

Frekuenca e prerjes mund të gjendet me ndihmën e ekuacionit ndihmës të përftuar me koeficientët e rreshtit sipër elementin që anulohet, duke vendosur në këtë ekuacion koeficientin kritik të përforcimit

48kr krk k k= ⇒ =

Prej ku:

26 0krs k+ =

54

Ose:

2 86krks = − =

Prej ku, pikat e prerjes me boshtin imagjinar janë:

2 2s j= ±

Pikat e tjera gjenden duke respektuar kushtin e fazës të VGJR:

01 2 3( ) 180 ( )W s ϕ ϕ ϕ∠ = − = − + +

VGJR do të ketë formën si në figurën më poshtë: jω

σ

22

j+

22

j−

Figura 6-7 VGJR për sistemin e shembullit 6-2

Së fundi në tabelën 6-1 jepen disa konfiguracione tipike pol-zero të sistemit të hapur dhe Vendet Gjeometrike të Rrënjëve.

Siç shihet nga tabela, në rast se 3n m− ≥ , ekziston një vlerë e parametrit k, për të cilën sistemi bëhet i paqëndrueshëm, sepse VGJR kalon në anën e djathtë të boshtit imagjinar. Për 2n m− ≤ sistemet janë gjithnjë të qëndrueshme.

55

Tabela 6-1 KONFIGURACIONET POL-ZERO TË SISTEMIT TË HAPUR DHE VGJR RESPEKTIVE

σ

j

56

6.3 Kompensimi Seri për Sistemet NHND me ndihmën e VGJR

6.3.1 Konsiderata të përgjithshme

Në paragrafin e mëparshëm pamë se me ndryshimin e një parametri ndryshonte shpërndarja e rrënjëve të ekuacionit karakteristik. Në rast se diapazoni i ndryshimit të këtij parametri është i pamjaftueshëm për plotësimin e kërkesave të cilësisë, atëherë, siç u theksua dhe në hyrje të kapitullit, lind nevoja e futjes së një elementi kompensues me funksionin transmetues Gk(s). Do të ndalemi në trajtimin e rastit të kompensimit seri me Gd(s) (fig.9,1-1a). Funksioni transmetues i sistemit të hapur të kompensuar tani bëhet:

( ) ( ) ( ) ( )k k dW s G s G s H s= (6-36)

Është e qartë që, funksioni transmetues i elementit kompensues seri duhet të zgjidhet i tillë që të ndryshojë formën e VGJR, me qëllim që të kënaqen kërkesat e cilësisë si në regjim kalimtar, ashtu edhe në regjim të stabilizuar. Kryesisht këto kërkesa përmblidhen në dy:

1) Garantimi i një gabimi statik të lejuar [ε(∞)] 2) Garantimi i cilësisë në regjim kalimtar

Garantimi i një gabimi statik të lejuar [ε(∞)]

Për sistemin tip 0, kjo arrihet duke siguruar një koeficient përforcimi të sistemit të hapur që kënaq kushtin:

[ ]1 ( )1 (0)W

ε≤ ∞+

(6-37)

prej nga:

[ ]

1(0) 1( )

Wε

≥ −∞

(6-38)

Meqënëse pranohen gabime të vogla statike mund të merret:

[ ]

1(0)( )

Wε

≥∞

(6-39)

Mosbarazimi (6-39) vlen edhe për sistemet tip 1 e tip 2, por duke vendosur përkatësisht ( ), ( )v aε ε∞ ∞ dhe 1 2(0), (0)W W Garantimi i cilësisë në regjim kalimtar

Kjo realizohet nëpërmjet vendosjes së rrënjëve të ekuacionit karakteristik brenda zonës së cilësisë të përcaktuar nga mosbarazimet:

57

04

0.2 ( 12 )rt

σ

ζ β

⎧ ≥⎪⎨⎪ ≥ ⇔ ≥⎩

o

(6-40)

ku tr është koha e pranuar për shuarjen e procesit kalimtar.

Funksioni transmetues i elementit kompensues mund të zgjidhet i formës së përgjithshme.

1

1

( )( )

( )

m

k jj

k n

ii

K s zG s

s p

=

=

+=

+

∏

∏ (6-41)

Atëherë, problemi reduktohet në zgjedhjen e poleve dhe të zerove të elementit kompensues, me qëllim që të respektohen dy kërkesat e mësipërme të cilësisë.

Le të shqyrtojmë më së pari elementin kompensues më të thjeshtë, të rendit të parë me funksion transmetues:

( )( )( )k

kK s zG s

s p+

=+

(6-42)

Problemi tani kthehet në zgjedhjen e z, p, Kk , me qëllim që të arrihet një cilësi e kërkuar në regjim kalimtar.

Figura 6-8 Konfiguracioni pol-zero i kompesuesit te rendit te pare: a) EPF; b) EVF

Në rast se z p< , atëherë elementi kompensues e merr emrin element me përparim faze (EPF) dhe ka një konfiguracion pol-zero (figura 6-7a). Kur z p> , atëherë elementi kompensues merr emrin element me vonesë faze (EVF).

Sinteza do të quhet e përfunduar kur të jenë përcaktuar polet dhe zerot e elementit kompensues, për të garantuar cilësi rregullimi, pasi realizimi fizik i elementëve kompensuese elektronike analogë është trajtuar në kapitullin e tretë.

58

6.3.2 Kompensimi me EPF

Duke u nisur nga arsyetimet e mësipërme, sinteza e EPF mund të përmblidhet në sa vijon:

1) Shndërrojmë kërkesat e cilësisë në zonën e kohës, në zonë të cilësisë në planin kompleks sipas (6-40).

2) Ndërtohet VGJR dhe shihet nëse sistemi ka ose nuk ka nevojë për kompensim. Kështu në rastin e figurës 6-9a vetëm duke ndryshuar koeficientin e përforcimit k mund të arrihet plotësimi i kërkesave të cilësisë në regjim kalimtar. Në rastin e figurës 6-9b, kjo gjë nuk mund të arrihet.

dp−

*dp−

σ

jω

dp−

*dp−

σ

jωζ

0σ

a) b)

Figura 6-9 Verifikimi i nevojës për kompensim a) Sistemi nuk ka nevojë për kompensim; b) Sistemi ka nevojë për kompensim

3) Në rast se ka nevojë për kompensim, atëherë fiksojmë pozicionin e zeros duke

marrë zakonisht ( )0 90zz σ θ= = o , por duhet kontrolluar që kjo zgjedhje të mos krijojë degë të VGJR që mund të japin rrënjë jashtë zonës së cilësisë.

4) Përcaktohet këndi i polit të EPF ndaj pikës s = - pd , së cilësisë (poli i dëshiruar) me abshisë -σo dhe shuarje ζ , me qëllim që këndi i funksioni transmetues të sistemit të hapur të kompensuar të plotësojë kushtin e këndit. Kështu për k >0 :

( ) ( ) ( ) 180 (2 1)d d d

k ks p s p s pW s W s G s ν

=− =− =−∠ = ∠ +∠ = ± +o (6-43)

Llogarisim kontributin në kënd të elementit kompensues:

[ ]( ) ( ) ( )

180 (2 1) ( )d d

d

k z ps p s p

s p

G s s z s p

W s

ϕ θ θ

ν

=− =−

=−

= ∠ = ∠ + −∠ + = −

= ± + −∠o (6-44)

Atëherë, duke vendosur një “kon” me kënd kulmor ϕ , përcaktohen grafikisht zeroja dhe poli i elementit kompensues. Siç shihet dhe nga figura 6-10, nuk ka vetëm një zgjidhje për elementin kompensues. Në se kemi marrë ( )0 90zz σ θ= = o , atëherë për përcaktimin e polit mjafton llogaritja e këndit të polit.

59

( ) ( ) 90 180 (2 1)d d

p s p s ps p W sθ ν

=− =−= ∠ + = ∠ + +o om (6-45)

p

ϕ

p− z−σ

ϕ

p− z−

ϕp

jωdp−

Figura 6-10 Përcaktimi i polit dhe zeros së thjeshtë të EPF në seri

5) Në rast se 70z pθ θ− > o , atëherë për arsye realizimi teknik një element EPF është i

pamjaftueshëm dhe kalohet në dy ose më shumë EPF me një funksion transmetues të formës së dhënë në (6-41). EPF me konfiguracionin e mëposhtëm:

( )( )( )

m

ks zG ss p

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

(6-46)

do t’ishte një zgjidhje më e thjeshtë duke lejuar që projektimi i EPF me një zero dhe një pol të shumëfishtë të rendit m. Në këtë rast llogaritjet bëhen për një kënd

m mϕϕ = (6-47)

Duke lejuar përcaktimin e polit dhe zeros së m-fishtë siç tregohet në figurën 6-11. 6) Mbas llogaritjes së θp (ose θpi)në rastin me më shumë se një EPF në kaskadë),

përcaktohet poli -p (polet -pi) nga intersektimi me boshtin e abshisave i drejtëzës që kalon nga poli i dëshiruar s = - pd e me pjerrësi θp (θpi).

mϕ

jωdp−

Figura 6-11 Përcaktimi i polit dhe zeros së shumëfishtë (m=2) të EPF në seri

60

dp−

*dp−

jω

pθ

σ

ϕ

p− z−

Figura 6-12 Modifikimi i VGJR me futjen e EPF

7) Koeficienti i përforcimit k, përcaktohet nga kushti i amplitudës, për ds p= − në

VGJR e korrektuar me EPF (figura 6-12)

1

1( ) ( )

dk s p

kW s G s

=−

= (6-48)

Pra:

1( ) ( ) 1d

k s pkW s G s

=−= (6-49)

Për këtë k (që përfshin dhe Kk) llogaritet gabimi statik. Në rast se ky gabim del më i madh se i lejuari, atëherë duhen marrë masa për zvogëlimin e tij pa prishur cilësinë në regjim kalimtar.

Zona e cilësisë në planin kompleks, e përcaktuar sipas (6-40), është e bazuar në sjelljen e sistemit, si një sistem i rendit të dytë me një çift polesh dominuese komplekse të konjuguara ( ) *dhe d d d dj p pσ ω⎡ ⎤− ± ⇔− −⎣ ⎦ . Në të vërtetë ky është një përafrim, saktësia e të cilit duhet verifikuar patjetër nëpërmjet ndërtimit të procesit kalimtar të sistemit.

6.3.3 Kompensimi me rregullator PID

Krahas respektimit të kërkesave të cilësisë në regjimin kalimtar, mbetet dhe arritja e një saktësie të madhe në regjim të vendosur duke e mbajtur regjimin kalimtar brenda kufijve të pranueshëm. Rrjedhimisht lind nevoja e një elementi kompensues në seri, me qëllim që të arrihet një gabim statik i pranueshëm. Kështu futja e një hallke integruese e rrit me 1 tipin e sistemit (kap.5), duke bërë që kur sistemi është i tipit 0 të bëhet i tipit 1, pra të kthejë sistemin nga sistemi me ( ) 0ε ∞ ≠ në sistemin me ( ) 0ε ∞ = e kështu me rradhë, për gabimin

statik të shpejtësisë ( )vε ∞ dhe të shpejtimt ( )aε ∞ . Një nga rregullatorët më të përhapur në rregullimin e proceseve industriale është edhe ai

PID (kap. 3) me funksion transmetues:

61

( ) 1( )( )k p D

i

u sG s K K ss T sε

= = + + (6-50)

Në dalje të këtij rregullatori përftohet sinjali:

1( ) ( ) ( ) ( )p Di

du t K t t dt K tT dt

ε ε ε= + +∫ (6-51)

Në të vërtetë termi derivativ realizohet nëpërmjet një nyjeje me funksion transmetues:

( )1

DD D

D

K sG s K sr s

= ≈+

(6-52)

ku rD mund të mos përfillet në krahasim me konstantet e kohës së objektit të rregullimit. Në rast se fiksohen dy nga parametrat e rregullatorit PID (p.sh. Kp dhe Ti), me

ndihmën e VGJR mund të gjendet një vlerë e përshtatshme e parametrit të tretë (KD) për të arritur treguesit e cilësisë në regjim kalimtar. Kujtojmë që futja e termit integrues bën që të kënaqen kërkesat ndaj gabimit statik ε(∞). Në rast se sistemi i pakompensuar ka një funksion transmetues të sistemit të hapur:

( )( )( )

B sW sA s

= (6-53)

ku B(s), A(s) janë polinome të s, atëherë me futjen e rregullatorit PID ekuacioni karakteristik i sistemit bëhet:

1 ( )1 0( )p D

i

B sK K sT s A s

⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(6-54)

që mund të rishkruhet në formën:

11 ( ) 0DK W s+ = (6-55)

ku:

2

1( )( )

( ) ( 1) ( )i

i p i

T s B sW ssT A s K T s B s

=+ +

(6-56)

Duke ndërtuar VGJR për [ )0,DK ∈ ∞ , mund të përcaktohet kollaj ajo KD që mund të futë çiftin e poleve dominuese të sistemit të kompensuar në zonën e cilësisë në planin kompleks.

6.3.4 Kompensimi me EVF

EVF mund të përdoret me sukses për të përmirësuar treguesit e cilësisë në regjim të vendosur. Një EVF i rendit të parë ka një funksion transmetues:

1( )ks zG ss pα+

= ⋅+

(6-57)

62

ku z > p dhe 1< α <15. Le të shënojmë me W(s) funksionin transmetues të sistemit të hapur, i cili kënaq

treguesit e cilësisë në regjim kalimtar (ose është i kompensuar më parë me EPF për të arritur një gjë të tillë), mirëpo nuk kënaq ato në regjim të vendosur. Kjo do të thotë që koeficienti i përforcimit W(0) i sistemit të hapur është i vogël, duke dhënë kështu një gabim statik më të madh se i lejuari:

1 ( ) [ ( )]1 (0)W

ε ε= ∞ > ∞+

(6-58)

Në rast se vendosim një EVF në kaskadë, funksioni transmetues i sistemit të hapur të kompensuar bëhet:

11( ) ( )k

s zW s kW ss pα+

= ⋅+

(6-59)

Po shqyrtojmë rastin kur W(s) = kW1(s) nuk ka pol në origjinë dhe 0k > . Meqënëse W(s) i kënaq kushtet e cilësisë në regjim kalimtar, atëherë kënaqen kushtet për VGJR:

( ) | 180 (2 1) ( 0,1,2, )

( ) 1d

d

s p

s p

W s

W s

ν ν=−

=−

⎧∠ = + =⎪⎨

=⎪⎩

o K (6-60)

Detyra që shtrohet është kjo: Me futjen e EVF si duhet të zgjidhen parametrat: α, p dhe z me qëllim që të rritet koeficienti i përforcimit Wk(0) për t’u kënaqur kushtet e gabimit statik, por pa u ndryshuar vendi i kalimit të VGJR nëpër polin e dëshiruar ds p= − .

jω

σ

ζ

dp−

Figura 6-13 Efekti i EVF në VGJR

63

ϕ

zθ pθσ

jω

( )s z+ ( )s p+

p−z−

s

Figura 6-14 Kontributi në kënd dhe amplitudë i EVF

Në rast se p dhe z zgjidhen të vegjël dhe mjaft pranë origjinës (fig. 6-14), shtesa në

kënd nga EVF është e papërfillshme dhe do të respektohen kushtet e këndit dhe respektivisht amplitudës:

( ) | ( ) ( ) | ( ) | 180 (2 1)

1 ( ) 1

d d d

d

k s p k k s p s p

ks p

W s k G s W s W s

s zk W ss p

ν

α

=− =− =−

=−

⎧∠ = ∠ ≈ ∠ = +⎪⎨ +

=⎪ +⎩

o

(6-61)

ku kk – koeficienti shtesë i përforcimit të elementit kompensues. Meqenëse –p dhe – z ndodhen mjaft pranë njëri tjetrit, atëherë (figura 6-13):

1

3 5ds p

z p

s zs p

ϕ θ θ=−

⎧ +≈⎪⎪ +⎨

⎪ = − ≈ ÷⎪⎩o o

(6-62)

Meqenëse para korrektimit me EPF ka vend:

( ) 1ds p

W s=−

= (6-63)

Për rrjedhojë që të vijmë në të njëjtat kushte si në kushtin e amplitudës në (6-61), duhet që:

kk α= (6-64)

Si përfundim, futja e EVF krijon mundësinë për rritjen e koeficientit të përforcimit të sistemit të α herë, pra të zvogëlimit të gabimit statik pothuaj α herë (për sistemet e tipit 1 dhe 2 zvogëlimi i gabimit është plotësisht α herë). Etapat e sintezës së EVF

(1) Ndërtohet VGJR i sistemit të pakompensuar.

64

(2) Përcaktohen në planin kompleks nëpërmjet çiftit të poleve të dëshiruar zona brënda së cilës kënaqen treguesit e cilësisë në regjim kalimtar. Në se VGJR kënaq treguesit e cilësisë, atëherë kalohet në pikën 3, përndryshe bëhet kompensimi me EPF dhe pastaj kalohet në pikën 3.

(3) Llogaritet koeficienti i përforcimit të sistemit për ds p= − :

1

1lim( )ds p

kW s→−

= (6-65)

(4) Llogaritet gabimi i sistemit:

(a) Për rastin e sistemit të tipit 0

1

1( )1 (0)kW

ε ∞ =+

(6-66)

(b) Për rastin e sistemit të tipit 1

I1

1( )(0)v kW

ε ∞ = (6-67)

(c) Për rastin e sistemit të tipit 2:

II1

1( )(0)a kW

ε ∞ = (6-68)

(5) Në rast se gabimi del më i madh se ai i kërkesës, atëherë llogaritet (sipas tipit të sistemit):

[ ]

[ ]

[ ]

( ) Sistem tipi 0( )( ) Sistem tipi 1( )( ) Sistem tipi 2( )

v

v

a

a

εαεεαεεαε

⎧ ∞≥ →⎪ ∞⎪

⎪ ∞⎪ ≥ →⎨ ∞⎪⎪ ∞

≥ →⎪∞⎪⎩

(6-69)

(6) Meqenëse

zp

α= (6-70)

duke fiksuar z (p.sh. z = 0.01 – 0.1) sinteza e EVF merr fund.

Megjithatë, për të qenë të bindur se sa ndikon futja e EVF në përkeqësimin e treguesve të cilësisë në regjim kalimtar, duhet bërë analiza e sistemit të korrektuar me EPF dhe EVF (figura 6-14).

Kuptohet, që në praktikë elementët EPF dhe EVF kombinohen në një element të vetëm kompensues me funksion transmetues:

( ) ( ) ( )k EPF EVFG s G s G s= ⋅ (6-71)

65

( )EPFG s 1( )kW s( )EVFG s

Figura 6-15 Skema strukturore e sistemit të korrektuar, pas sintezës së elementëve kompensues

6.4 Kompensimi në seri për sistemet NHND në zonën e frekuencës

6.4.1 Konsiderata të përgjithshme

Kur trajtohet problemi i kompensimit në zonën e frekuencës, kërkohen të respektohen një sërë treguesish të cilësisë në regjim kalimtar, si rezerva në fazë, rezerva në amplitudë, piku i rezonancës së KAF të sistemit të mbyllur dhe gjerësia e brezit të frekuencave. Sinteza në zonën e frekuencës është e tërthortë mbasi treguesit e drejtpërdrejtë të cilësisë janë në zonën e kohës.

Në parim sinteza në zonën e frekuencës është e thjeshtë, por ka një të metë, që nuk mund të parashikohet saktë funksioni kalimtar. Kështu, mbas kënaqjes së kushteve të cilësisë në zonën e frekuencës duhet ndërtuar procesi kalimtar për të verifikuar nëse u kënaqën kushtet edhe në zonën e kohës. Në rast se këto të fundit nuk kënaqen, atëherë procedura e sintezës së elementit kompensues duhet të përsëritet derisa të plotësohen treguesit e cilësisë në zonën e kohës. Përdorimi i metodës së frekuencës për kompensimin e sistemit ka dhe dy epërsi të tjera karshi V.GJ.R. :

− Sinteza mund të bëhet drejtpërdrejt duke u nisur nga të dhëna eksperimentale për sistemin e pakompensuar;

− Sinteza është shumë më e përshtatshme në rast se sistemi i nënshtrohet zhurmave të frekuencave të larta.

Zakonisht sinteza në zonën e frekuencës bëhet me anë të diagramave logaritmike, d.m.th. karakteristikave logaritmike të amplitudës dhe të fazës, të njohura me emrin diagramet Bode, ose me diagramin Nikols.

6.4.2 Sinteza e elementit kompensues me anë të diagramit Nikols

Në rast se shënojmë me ( ), ( ), ( )k kG j W j W jω ω ω përkatësisht KAF të elementit kompensues në seri, të sistemit të hapur të pakompensuar dhe sistemit të hapur të kompensuar, është e qartë që ka vend:

66

( ) ( ) ( )k kW j G j W jω ω ω= (6-72)

Le të supozojmë që diagrami Nikols është paraqitur në fig. 6-15. Shikojmë që sado që rezervat në fazë dhe në amplitudë kënaqen, sistemi mund të mos ketë tregues të mirë dinamikë meqënëse grafiku i W(jω), i afrohet shumë origjinës. Për t’a kapërcyer këtë problem duhet futur një element kompensues me KAF Gk(jω) në seri, me qëllim që grafiku i Wk(jω), të ndodhet jashtë trekëndëshit OAB të fig. 6-15, ku respektohen njëkohësisht si rezerva në fazë, ashtu edhe ajo në amplitudë. Ekuacioni i drejtëzës AB me koordinatat L(ω) [db] dhe ϕ(ω) [gradë] jepet nga:

( ) 180dhL hϕ ωγ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

o (6-73)

ku γ, h janë përkatësisht rezerva në fazë në fazë dhe në amplitudë, të pranuara për të pasur cilësi të mirë të SRA në regjim kalimtar.

[ ]( ) dbL ω

( )L ϕ

( )kL ϕ

Figura 6-16 Funksioni i “gjobës” në diagramin Nikols

Në rast se shënojmë me ( ), ( ), ( )EK EK K KL L Lϕ ϕ ϕ , përkatësisht diagramet Nikols të

sistemit të pakorrektuar, elementit kompensues në seri dhe sistemit të korrektuar, është e qartë që të respektohet qënia e ( )EK EKL ϕ , djathtas drejtëzës AB duhet të respektohet kushti:

[ ]( ) 180k k khL hϕ ϕγ

≤ + − (6-74)

Meqënëse

( ) ( ) ( )K K EK EKL L Lϕ ϕ ϕ= + (6-75)

kemi:

[ ]( ) 180 ( )EK EK EKh hL h Lϕ ϕ ϕ ϕγ γ

≤ + − − + (6-76)

67

ose:

180( ) 1 ( )EK EK EKhL h Lϕϕ ϕ ϕγ γ

⎡ ⎤+− ≤ − −⎢ ⎥

⎣ ⎦ (6-77)

Shprehja e mësipërme verifikohet për ωmin ≤ ω ≤ ωmax (fig. 9.4.1) dhe është bazë për zgjedhjen e drejtë të parametrave të elementit kompensues, që zakonisht merret me funksion transmetues të formës:

1

2

1( ) , 11

q

EKT sG s K qT s

⎡ ⎤+= ≥⎢ ⎥+⎣ ⎦

(6-78)

Prova fillohet me q = 1 dhe pastaj kalohet në q >1. Procedura është lehtësisht e programueshme për kompjuter.

6.5 Sinteza e drejtpërdrejtë për sistemet NHND 6.5.1 Hyrje

Thelbi i sintezës së drejtpërdrejtë, që shpesh quhet metoda Gullemin-Traksell, mund të përmblidhet si më poshtë:

1. Në bazë të treguesve të cilësisë përcaktohet funksioni transmetues i sistemit të mbyllur G(s) në formën e raportit të dy polinomeve.

( )( )( )

N sG sE s

= (6-79)

2. Duke njohur funksionet transmetuese të hallkave të sistemit të pakorrektuar, në bazë të marrëdhënieve të ndërsjellta ndërmjet variableve për një skemë të caktuar strukturore, përcaktohet, në formën e raportit të dy polinomeve të variablit kompleks s, funksioni transmetues i elementit përkatës kompensues.

3. Në bazë të funksionit të gjetur transmetues, me metodat e sintezës së qarqeve, përcaktohen elementet përbërëse të mjetit kompensues.

6.5.2 Përcaktimi i G(s) në bazë të kërkesave të cilësisë

Përcaktimi i funksionit transmetues të sistemit të mbyllur G(s) ka rëndësi të madhe dhe

udhëzimet për të në literaturë janë të shumta.

− Së pari, G(s) duhet të jetë i tillë që të respektohen kushtet e cilësisë.

− Së dyti, G(s) nuk duhet të jetë mjaft i ndërlikuar, me qëllim që dhe mjeti korrektues të mos dalë i ndërlikuar.

68

− Së treti, G(s) duhet të përmbajë jo më pak pole se së funksioni transmetues W(s) i sistemit të hapur të pakorrektuar, ndryshe mjeti korrektues nuk mund të realizohet praktikisht.

Eksperienca ka treguar që më i thjeshti dhe më i ndjeshmi ndaj ndryshimit të parametrave është ai G(s), që kënaq kriterin integral të cilësisë

0

| ( ) | minI t t dtε∞

= =∫ (6-80)

Disa nga këta funksione transmetuese janë paraqitur në tabelën 6-2. Nga tabela vihet re se këto funksione transmetuese karakterizohen nga gabime statike ε(∞) = 0, meqënëse G(0)=1. Në rast se një gjë e tillë nuk është rigorozisht e domosdoshme, atëherë në bazë të kërkesës për gabim statik modifikohet vetëm numëruesi i G(s).

Kështu, duke u nisur nga numri i poleve të sistemit të pakorrektuar zgjidhet njëri nga funksionet G(s) të paraqitura në tabelën 6-2. Theksojmë së metodika për llogaritjen e mjetit korrektues, sipas metodës së drejtpërdrejtë, nuk varet fare nga fakti se çfarë G(s) do të pranohet si optimal kur janë dhënë kërkesat e cilësisë në zonën e kohës. Të gjithë funksionet G(s) e tabelës 6-2, pavarësisht nga rendi i tyre, karakterizohen nga fakti që proceset kalimtare të tyre shuhen për një kohë rregullimi tr që kënaq kushtin

10 15n rtω = ÷ (6-81)

Për tr të dhënë nga kërkesa e cilësisë, ne jemi në gjëndje të përcaktojmë:

10 15n

rtω ÷

= (6-82)

Me përcaktimin e ωn merr fund dhe përcaktimi i G(s).

Tabela 6-2 G(s) që kënaqin kriterin integral të cilësisë

Numuri i poleve G(s)

1 n

nsωω+

2 2

2 21, 4n

n ns sωω ω+ +

3 3

3 2 2 31,75 2,51n

n n ns sω

ω ω ω+ + +

4 4

4 3 2 2 3 42,1 3,4 2,7n

n n n ns s s sω

ω ω ω ω+ + + +

5 5

5 4 2 3 3 2 4 52,8 5,0 5,5 3,4n

n n n n ns s s s sω

ω ω ω ω ω+ + + + +

69

6.5.3 Përcaktimi i funksionit transmetues të elementit kompensues

Le të jetë dhënë një SRA si në fig. 6-1. Duke u nisur nga kushtet e cilësisë përcaktohet

G(s). Mjeti korrektues mund të futet në një nga mënyrat e paraqitura në fig. 6-1a,b,c,d (sigurisht që ka edhe mënyra të tjera). Le t’i shikojmë me rradhë këto mënyra.

1. Elementi kompensues në seri

Funksioni transmetues i sistemit të mbyllur do të jetë:

( ) ( )( )1 ( ) ( ) ( )

k d

k d

G s G sG sG s G s H s

=+

(6-83)

Nga ku llogaritet funksioni transmetues i mjetit kompensues:

( )( )( )[1 ( ) ( )]k

d

G sG sG s G s H s

=−

(6-84)

2. Elementi kompensues në lidhjen e kundërt Në këtë rast Funksioni transmetues i sistemit të mbyllur do të jetë:

( )( )1 ( ) ( ) ( )

d

d k

G sG sG s G s H s

=+

(6-85)

Nga ku:

( ) ( ) 1 1 1( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dk

d d

G s G sG sG s H s G s H s G s G s

⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6-86)

3. Mjeti korrektues në lidhjen e kundërt lokale Funksioni transmetues i sistemit të mbyllur:

1

( )( )1 ( ) ( ) ( ) ( )

d

k d

G sG sG s G s G s H s

=+ +

(6-87)

Prej nga, funksioni transmetues i elementit kompensues do të jetë:

21

( ) 1( ) ( ) ( )( ) ( )

dk

G sG s G s H sG s G s

= − − (6-88)

6.5.4 Përfundime për sintezën e SRA NHND

Në paragrafet e mëparshme u trajtua problemi i sintezës së mjetit kompensues me metodat e VGJR, të frekuencës dhe me atë të drejtpërdrejtë.

Metoda e VGJR ka epërsinë e madhe, që me ndihmën e saj është e mundur, që nga konfiguracioni pol – zero në planin s të fitohet informacion si për funksionin kalimtar, ashtu edhe për KAF. Metoda jep një tregim të qartë të parametrit që ndryshon, në cilësinë e

70

sistemit, gjë që nuk e ka metoda e frekuencës. Metoda e VGJR është mjaft e fuqishme kur treguesit e cilësisë janë dhënë në zonën e kohës.

Metoda e frekuencës ka edhe ajo epërsitë dhe të metat që u trajtuan më sipër. Veç kësaj, ajo ka të mirën se programohet lehtë për t’u zgjidhur në kompjuter.

Metoda Gullemin – Traksell, megjithëse në pamje mjaft e thjeshtë, ka kufizime të theksuara që konsistojnë kryesisht në dy:

1. Metoda shpesh të çon në mënyrë të panevojshme në funksione transmetuese të ndërlikuara të elementit kompensues:

2. Metoda kërkon që të mos ketë asnjë pol të sistemit të hapur në anën e djathtë të boshtit imagjinar, me qëllim që jo vetëm sinteza të jetë i thjeshtë, por që edhe elementi kompensues të realizohet me qarqe RC.

Si përfundim, recetë të gatshme se cila metodë mund të përdoret nuk ka. Megjithatë nga eksperienca këshillohet më mirë të fillohet nga VGJR, në rast se modeli i sistemit paraprakisht na është dhënë në formën e skemës strukturore.

Para se t’a mbyllim trajtimin e sintezës për SKA NHND le të ilustrojmë përdorimin e VGJR në sintezën e mjetit kompensues në një SKA.

________________

Shembull 6-3

Për SKA të dhënë në shembullin 6-1,, të përcaktohet elementi kompensues në seri, me këto kërkesa cilësie:

%1 ; 20%; ( ) 2%r rt sek m ε= = ∞ ≤

Zgjidhje

1) Shndërrojmë kërkesat e cilësisë në zonën e kohës në të njëvlerëshmet e tyre në planin kompleks sipas (6-40):

4 4

0.4

drt

σ

ζ

= =

=

2) Vendi gjeometrik i ndërtuar në shembullin 6-1, tregon që ai nuk kalon brenda zonës së cilësisë, rrjedhimisht sistemi ka nevojë për kompensim me EPF, funksionin transmetues të të cilit e marrim të formës

( )ks zG s Ks p+

=+

3) Përcaktojmë pozicionin e zeros duke marrë (fig. 9.6-1):

4dz σ= =

4) σd , ζ të llogaritura në pikën 1, përcaktojnë polin e dëshiruar:

21d d d n np j jσ ω ζω ω ζ− = − + = − + −

ku:

71

2

4 100.4

10 1 0.4 9.165

dn

d

σω

ζ

ω

⎧ = = =⎪⎨⎪ = − =⎩

Rrjedhimisht poli i dëshiruar përkundrejt të cilit do të bëhen lllogaritjet është:

4 9.165d d dp j jσ ω− = − + = − +

5) Përcaktojmë shtesë të EPF në bazë të (6-44), për ν = 0:

( )1

180 112.82 104.29 56.79 180 273.9 180 93.9n

ii

ϕ θ=

= − − = + + − = − =∑ o o o o o o o o

6) Meqenëse:

93.9 70z pϕ θ θ= − = >o o

nuk mjafton një EPF me q=1; prandaj kalojmë në EPF me q = 2 dhe funksioni transmetues i elementit kompensues merret:

2

( )ks zG s Ks p

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Në këtë rast kushti (6-44), për ν = 0, shkruhet:

( )

21

112.82 104.29 56.79 1801 180 46.952

n

iqiq

ϕ θ=

=

+ + −⎡ ⎤= − − = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

o o o o

o o

Prej nga, këndi i polit të q-fishtë:

2 22

90 46.95 43.05p z q qqθ θ ϕ

= === − = − =o o o

dω

dσ

( )dp σ−

jω

σ

d

tan p

ωθ

Figura 6-17 Sinteza e EPF në shembullin 6-3

Nga figura 6-17 :

9.1654 13.911tan tan 43.05

dd

p

p ωσ

θ= + = + =

o

Si rrjedhim, funksioni trasmetues i elementit kompensues bëhet:

72

2

2 4( )13.911ksG s K

s+⎡ ⎤= ⋅ ⎢ ⎥+⎣ ⎦

7) Verifikojmë kërkesën ndaj gabimit statik.

Meqënëse [ ε(∞) ] = 2% atëherë duhet që:

1( ) 50[ ( )]d

k s pW s

ε=−≥ =

∞

Nga kushti i amplitudës, për sistemin e kompensuar kemi:

2

22

4 214.28 110 1.666 0.142813.911

ds p

sK

s s ss =−

+⋅ =

+ + ++

Prej nga: K=3.23 Llogaritim tani Wk(0):

2

22

4(0) 3.23 90 77.63 5013.911kW = ⋅ = >

Rrjedhimisht sistemi i kompensuar me element kompensues me funksion transmetues:

24( ) 3.23

13.91ksG s

s+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

i kënaq treguesit e cilësië si në regjim kalimtar, ashtu edhe në regjim të vendosur.

Figura 6-18 Funksioni kalimtar i sistemit të kompensuar.

Verifikimi përfundimtar bëhet pas ndërtimit të pracesit kalimtar. Në hyrje të sistemit japim një ngacmim r(t) =1(t). Procesi kalimtar i daljes së sistemit tregohet në fig. 6.18.

Kontroll Automatik 2009

Documents

Transcript of Kontroll Automatik 2009