Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
-
Upload
anis-yulia -
Category
Documents
-
view
228 -
download
0
Transcript of Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
1/17
KONTROL OPTIMAL UNTUK SIRC EPIDEMI WABAH
Abstrak
Dalam makalah ini model epidemi SIRC matematika diajukan. Secara efisien
menggambarkan penyakit di mana kelas lintas kekebalan ( C ) dihadirkan bersama dengan
rentan ( S ) terinfeksi ( I ) dan pulih ( R ). !engendalian penyakit epidemik yang sesuai
"aksinasi karantina dan strategi pengobatan# umumnya hanya satu dari tindakan ini yang
dipertimbangkan. Dalam makalah ini kemungkinan kontrol optimal baik subjek rentan dan
yang terinfeksi diasumsikan dengan mempertimbangkan juga keterbatasan sumber
daya. Sebuah indeks biaya yang sesuai diperkenalkan dan melalui !rinsip $inimum
!ontryagin ini strategi kontrol optimal ditentukan dan eksistensi solusi optimal ditaksir. %asil
numerik dikembangkan dengan menganalisis efek dari strategi pengendalian yang berbeda.
&. !erkenalan
$odel matematika telah menjadi instrumen penting dalam analisis dan pengendalian
penyakit menular. 'eberapa model yang sesuai dengan epidemi dengan karakteristik yang
berbeda telah diusulkan dan dibahas dalam literatur. Asumsi mendasar dalam model epidemi
adalah baha populasi dapat dibagi menjadi kelompokkelompok yang berbeda#yang paling
umum adalah* rentan ( S ) yang merupakan subjek yang dapat terjangkit penyakit# yang
terinfeksi ( I ) yang merupakan subjek yang sudah terjangkit dan dapat menyebarkan penyakit
kepada indi"idu yang rentan# sembuh ( R ) yang merupakan subjek yang kebal seumur
hidup. +leh karena itu model ini disebut sebagai model SIR. Deskripsi lain mungkin
termasuk kehadiran subjek dalam masa karantina (,) dan dalam hal ini model SIR,
dianalisis -& . 'arubaru ini di -/ kelas indi"idu lintaskekebalan ( C ) dalam populasi telah
diperkenalkan* itu adalah keadaan antara sepenuhnya rentan ( S ) dan sepenuhnya sembuh
( R ). +leh karena itu model SIRC yang diperoleh memperhitungkan imunitas parsial
sementara dan mungkin dijelaskan misalnya influen0a tipe A.
!embelajaran model matematika untuk epidemik memungkinkan penilaian dampakstrategi kontrol yang berbeda* penyuluhan penjadalan "aksinasi yang tepat -1 dan -2
penyaringan dan penyuluhan pendidikan -3 kebijakan isolasi -4 sumber daya
alokasi -3 dan -5 . Sebuah pendekatan disarankan terletak pada kerangka teori kontrol
optimal# ulasan menarik dapat ditemukan di -6 . %asil analisis pada masalah kontrol optimal
untuk epidemi secara luas dijelaskan dalam -7 di mana model dengan kontrol menggunakan
"aksinasi karantina pemeriksaan atau penyuluhan kesehatan dipelajari dengan pilihan yang
agak umum untuk fungsi interaksi.
'erbagai jenis penyakit menular dinilai untuk model dan strategi yang
berbeda. Dalam-&8 penyakit sindrom pernapasan akut (SARS) dipertimbangkan untuk
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0050http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0050http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0005
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
2/17
menemukan strategi pelacakan dan mengkarantina kontak dari kasus diidentifikasi# itu
menunjukkan baha ini bisa sangat sukses dalam mengurangi penyebaran. Dalam -&& itu
membuktikan baha tindakan karantina 9 isolasi maksimum untuk subpopulasi laten dan
kelas terinfeksi akan mengurangi epidemik SARS# kontrol pergantian bangbang
diperoleh. Dalam dekade terakhir perhatian besar telah dikhususkan untuk pemodelan dan
kontrol dari human immunodeficiency "irus (%I:)# di -&/ output skema umpan balik
berbasis di CD2 sel; dan pengukuran beban oleh "irus telah diperkenalkan.
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
3/17
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
4/17
β=´ R ( μ+α ) dan σ =r (1δ + 1γ ) dengan 2≤ ´ R≤10 dan r ? 88/4 (tahun) & # khususnya meakili jumlah reproduksi -&7 sedangkan r merupakan tingkat
infeksi -/8 .
@ebaruan dari model ini adalah memperhitungkan kehadiran lintas kekebalan ( C ) yaitu
subjek yang memiliki kekebalan tubuh sementara. Secara efisien menjelaskan mekanisme
"irus influen0a A.
Dalam makalah ini efek dari strategi kontrol kedua subjek rentan (yaitu "aksinasi) dan
populasi yang terinfeksi (pengobatan dan karantina) dipelajari.
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
5/17
dengan α & α / τ & τ / 8 meakili bobot dalam indeks biaya t i 8 adalah ketetapan
aktu aal dan t f 8 adalah ketetapan aktu akhir inter"al kontrol. ;ujuannya adalah
untuk meminimalkan indi"idu yang terinfeksi dan rentan dan untuk memaksimalkan subjek
sembuh menggunakan upaya pengendalian minimal. Eelas indeks biaya yang dianut
memperhitungkan juga kasus yang lebih umum di mana tujuannya adalah untuk
meminimalkan hanya pada subjek yang terinfeksi dan tidak pada yang rentan.
$ari kita perhatikan masalah berikut.
Permasalahan *
$engingat model (1) dengan kondisi aal (/) menentukan keadaan x F dan kontrol u
dan v memenuhi sistem (1) kondisi (2) dan meminimalkan indeks biaya (&/) .
;ujuannya adalah untuk menentukan strategi terbaik yang meminimalkan jumlah subjek
rentan dan terinfeksi dan mengontrol sumber daya dalam inter"al kontrol tetap.
Sebelumnya akan dibahas eksistensi kontrol optimal. %al ini dijamin oleh argumen
berikut -/1 *
&. Set kontrol dan "ariabel adalah tidakkosong
/. Ruang kontrol tertutup dan cembung
1. Sisi kanan dari sistem dibatasi oleh fungsi linear persamaan dan kontrol
2. Integran di indeks biaya cembung sehubungan dengan kontrol u dan v
3. @onstanta η & eksis dan bilangan positif β & dan ß / sehingga*
!ersamaan( &1 )
E (u ( t ) " ( t )) G / ( H u ( t )H / H " ( t ) H / ) n 9 / G &
@ondisi & memenuhi hasil di -/2 teorema 7./. @ondisi / dibuktikan oleh definisi. @ondisi
1 mengikuti pernyataan dalam pembahasan sebelumnya. Integran jelas cembung sehubungan
dengan kontrol u dan v . @ondisi 3 dan pertidaksamaan (&1) memperhitungkan baha
"ariabel dibatasi.
Sekarang kita akan memecahkan masalah kontrol optimal dan kita dilambangkan
denganU = ( u v ) kumpulan kontrol yg diterima yang merupakan dua kontrol memenuhi
kendala (2) .$ari kita mendefinisikan persamaan %amilton*
!ersamaan( &2 )
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0060http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0115http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0065http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0065http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0060http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0115http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0065http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
6/17
di mana λ 8 dan λ adalah pengali Jagrange. Dari prinsip minimum !ontryagin (untuk sur"ei
formulasi yang berbeda dari prinsip minimum lihat misalnya -/3 ) hasil berikut ini berlaku.
$isal ( x K U K) memenuhi sistem kontrol dinamik (1) kondisi aal (/) dan
kendala (2) . Ini adalah solusi yang optimal (minimum global) jika terdapat konstanta λ 8 8fungsi λ
¿∈ Ć 1 [ t i , t f ] tidak simultan sama dengan nol sehingga*
!ersamaan( &3 )
´ λ¿=−∂ H
∂ x |¿T
H ( x¿ ( t ) , ω , λ0¿
, λ¿ (t )) ≥ H ( x¿ ( t ) , ¿ (t ) , λ0
¿, λ
¿ (t )) ∀
admissible controlω
H |¿=0 , λ (t f )=0
notasi menunjukkan semua fungsi pieceise terdiferensiasi kontinu. !erhatikan
baha kasus tunggal λ 8 = 8 tidak mungkin# sebenarnya dalam kasus ini dengan
mempertimbangkan kondisi terakhir di (&3) keberadaan dan teorema keunikan untuk
persamaan diferensial menyiratkan λ & = λ / = λ 1 = λ 2 = 8 yang tidak mungkin.
$ari kita meneliti syarat penting optimalisasi dengan mengasumsikan λ 8 = &*
!ersamaan( &4 )
!ersamaan( &5 )
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0125http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0125http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0075http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0125http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0075
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
7/17
!ersamaan( &6 )
% H K = 8
!ersamaan( &7 )
L & ( t f ) = L / ( t f ) = L 1 ( t f ) = L 2 ( t f ) = 8
dengan memanfaatkan kondisi minimum (&5) berikut*
!ersamaan( /8 )
Dan karena itu dengan mempertimbangkan kendala kotak pada kontrol kita memperoleh*
!ersamaan( /& )
dan
!ersamaan( // )
!ada bagian berikutnya kita membahas solusi numerik dari masalah kontrol optimal.
1. %asil dan !embahasan
!ada bagian ini kondisi yang diperlukan (&4) (&7) yang dipelajari dari sudut pandang
numerik# dipecahkan dengan menggunakan M $atlab +ptimi0ation ;oolboN dan
fungsi bantuan fin!"n . %al ini memungkinkan temuan minimal dibatasi dari fungsi dari
beberapa "ariabel# fungsi ini menggunakan metode pemrograman kuadratik
berurutan -/4 . Itu memecahkan subproblem program kuadratik -/5 pada setiap iterasi
positif tertentu dengan pendekatan ,uasiOeton dari fungsi Jagrange %essian yg telahdiupdate dengan menggunakan metode 'roydenletcher>oldfarbShanno -/6 . .
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0085http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0085http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0080http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0095http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0130http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0135http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0135http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0140http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0140http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0085http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0080http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0095http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0130http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0135http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0140
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
8/17
!ersamaan (1) yang discreti0ed dengan menggunakan aturan trapesium klasik membagi
inter"al aktu durasi ke n & subinter"al sama jarak# dalam simulasi diasumsikan n = 388
dengan ad hoc integrasi langkah untuk mensimulasikan periode kontrol dari satu tahun.
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
9/17
S 8 = &I 8 I 8 = &8 4 R 8 = 8 C 8 = 8
Dalam berikut ini akan ditarik sebagai @asus I. Dalam >ambar. / dua kontrol diperoleh
disajikan. !erhatikan baha kontrol u yang bertindak langsung di atas rentan diasumsikan
nilai maksimum pada aal periode kontrol sampai empat bulan (lebih tepatnya &/4 hari) dan
berturutturut menurun secara monoton sedangkan kontrol v ditambah dengan nilai
maksimum yang dicapai setelah hampir dua bulan setengah sejak aal pengobatan dan
kemudian menurun monoton dari bulan ketiga dan setengah. @ontrol atas subyek yang
terinfeksi dapat dikurangi hampir nol setelah sekitar 4 bulan sejak aal pengobatan.
Dalam >ambar. 1 perilaku subjek rentan terinfeksi sembuh dan lintaskekebalan ketika dua
kontrol optimal yang aktif ditunjukkan. ambar. 1 diulang juga dalam tiga situasi lain* dengan asumsi tidak ada kontrol bukan
di rentan maupun di terinfeksi dengan asumsi kontrol hanya pada rentan dan akhirnya
mempertimbangkan kontrol hanya pada yang terinfeksi.
Dalam >ambar. 2 dan >ambar. 3 perilaku rentan dan subjek yang terinfeksi dalam empat
situasi dianalisis terakili dalam sebelas dan dua belas bulan pertama dari periode kontrol
masingmasing. Sejauh jumlah rentan yang bersangkutan pengurangan sehubungan dengan
nilai aal S 8 adalah hampir setara baik bila strategi dengan kontrol ganda diadopsi dan ketika
hanya rentan dikendalikan dengan nilai sekitar 43. Dalam ketiadaan semua tindakan
kontrol atau di hadapan kontrol hanya pada subjek yang terinfeksi pengurangan
terhadap S 8 adalah sekitar 5&.
$eskipun situasi tampaknya lebih buruk mengadopsi strategi kontrol ganda
di >ambar. 2orang dapat melihat baha jumlah subjek rentan sangat menurun pada aal
abah karena relokasi mereka di kelas pulih sehingga kebocoran penting dari potensi orang
yang terinfeksi seperti dapat dihargai di puncak lebih rendah dari epidemi dan dalam nya
menunda >ambar. 3 .
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
10/17
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
11/17
S 8 = 877 I 8 = 3 T &81 R 8 = 1 T &8
1 C 8 = / T &81
Dalam berikut ini akan ditarik sebagai kasus II. Ini berarti baha strategi pengendalian
dimulai ketika epidemi sudah signifikan meluas.
Ara. 4.
@asus II. +ptimal mengontrol u (t) dan v (t) ketika epidemi itu sudah signifikan meluas.
Dalam >ambar. 4 dua kontrol optimal diperoleh disajikan. !erhatikan baha
kontrol udiasumsikan nilai maksimum pada aal periode kontrol sampai satu bulan setengah
(lebih tepatnya 22 hari) dan berturutturut menurun monoton sedangkan kontrol v ditambah
dengan nilai maksimum yang dicapai setelah satu minggu sejak aal pengobatan dan
kemudian menurun secara monoton setelah
sekitar satu bulan setengah. @ontrol atas subyek yang terinfeksi harus dikurangi hampir nol
setelah hampir empat bulan (&&1 hari) sejak aal pengobatan.
Ara. 5.
@asus II. Solusi dari model SIRC menggunakan dua kontrol optimal.
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0030
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
12/17
Dalam >ambar. 5 perilaku subjek rentan terinfeksi pulih dan lintas kekebalan ketika dua
kontrol optimal yang aktif ditunjukkan. Euga dalam situasi ini untuk memeriksa efek dari
strategi pengendalian yang bertindak langsung baik pada subjek rentan dan terinfeksi
simulasi yang sama dari >ambar. 5 diulang dalam tiga situasi* dengan asumsi tidak ada
kontrol dengan asumsi kontrol hanya pada rentan dan akhirnya mempertimbangkan kontrol
hanya pada yang terinfeksi.
Ara. 6.
@asus II. !erbandingan kejadian subyek rentan dalam empat situasi dianggap* dengan
asumsi tidak ada kontrol bukan di rentan maupun di terinfeksi dengan asumsi kontrol
hanya pada rentan mengingat kontrol hanya pada yang terinfeksi mengingat kontrol
ganda yang diusulkan.
Ara. 7.
@asus II. !erbandingan kejadian subyek yang terinfeksi di empat situasi dianggap
asumsi tidak ada kontrol bukan di rentan maupun di terinfeksi dengan asumsi kontrol
hanya pada rentan mengingat kontrol hanya pada yang terinfeksi mengingat kontrol
ganda yang diusulkan.
Dalam>ambar. 6 dan >ambar. 7 perilaku rentan dan subjek yang terinfeksi di empat situasidianalisis diakili dalam tujuh bulan pertama periode kontrol masingmasing.Sejauh jumlah
rentan yang bersangkutan pengurangan sehubungan dengan nilai aal S 8 adalah hampir
setara baik bila strategi dengan kontrol ganda diadopsi dan ketika hanya rentan dikendalikan
dengan nilai sekitar 58. Dalam kehadiran semua tindakan kontrol atau di hadapan kontrol
hanya pada subjek yang terinfeksi pengurangan terhadap S 8 adalah sekitar 45. Ufek dari
strategi kontrol subjek yang terinfeksi dianalisis dengan cara # I kuantitas. Itu sama dengan
1& bila strategi kontrol ganda diadopsi sedangkan ketika mengendalikan hanya pada
rentan dan hanya pada yang terinfeksi jumlah yang sama adalah sama dengan /4 dan 3
masingmasing. %asil ini ditingkatkan baha strategi yang dikendalikan baik rentan dan
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0045
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
13/17
terinfeksi menghasilkan pengurangan yang lebih signifikan dalam jumlah subjek yang
terinfeksi daripada strategi kontrol lainnya. Selain itu perhatikan baha di @asus II puncak
epidemi tidak berubah secara signifikan dalam aktu bahkan jika seperti yang sudah
ditunjukkan berubah secara signifikan dalam nilainilainya tergantung pada strategi
pengendalian yang dipilih.
Dalam kedua kasus itu menarik untuk mempelajari pengaruh jumlah reproduksi (dan karena
itu transmisi parameter β ) pada strategi kontrol optimal. !erhatikan baha parameter ini
mempengaruhi tidak hanya tingkat kontak subjek rentan tetapi juga kemungkinan masuk
kembali dalam kompartemen sembuh setelah periode lintas kekebalan tubuh. Dua situasi baru
dianggap* angka reproduksi = 4 dan &8 yaitu sama dengan setengah dan titik akhir dari
rentang diperbolehkan. Dalam kasus I untuk tercatat baha kontrol u ( t ) mulai dari
nilai maksimum yang dii0inkan dan menurun pada hari ke/& sedangkan kontrol padaterinfeksi mencapai nilai maksimum pada hari &4 menurun setelah / minggu. %asil yang
sama dapat diamati untuk Dengan kontrol pada rentan yang mulai berkurang dari
nilai maksimum setelah &1 hari dan kontrol pada yang terinfeksi yang diasumsikan nilai
maksimum antara hari sebelas dan dua puluh tiga dan kemudian menurun.
Dalam kasus Sejauh jumlah rentan yang bersangkutan pengurangan sehubungan
dengan nilai aal S 8 adalah sekitar 63# nilai ini yang lebih besar yang sesuai diperoleh
dengan Adalah ajar karena tingkat kontak yang lebih besar. Ufek dari strategi kontrol
pada jumlah subjek yang terinfeksi dianalisis dengan cara #I kuantitas yang sama dengan
&3 sehingga meningkatkan pengurangan keterangan kurang dari jumlah subjek yang
terinfeksi dibandingkan keadaan sebelumnya# juga lokasi puncak yang datang lebih aal
(sekitar setelah tiga minggu) mencerminkan pengaruh tingkat kontak yang lebih
besar. !ertimbangan yang sama terus juga dalam kasus Di mana pengurangan jumlah
indi"idu yang rentan terhadap nilai aal S 8 adalah hampir konstan sedangkan #I kuantitas
sama dengan 5 dan juga puncak terletak signifikan sebelumnya (hari &2).
!ertimbangan serupa tahan juga untuk @asus II epidemi sudah jauh luas. Sejauh kontrol yang
bersangkutan untuk kontrol atas subjek rentan mulai dari nilai maksimum yang
dii0inkan mulai berkurang di hari &8 sedangkan kontrol atas terinfeksi mencapai nilai
maksimum pada hari ke 3 dan mulai menurun setelah sekitar 1 minggu (/8 hari). Sekali lagi
solusi optimal adalah usaha maksimal pada aal penyakit dan berturutturut menurun. %asil
yang sama dapat diamati untuk Dengan kontrol atas rentan yang mulai berkurang
dari nilai maksimum setelah sekitar satu minggu dan kontrol atas yang terinfeksi yang
diasumsikan nilai maksimum antara hari keempat dan enam belas dan kemudian
menurun. baik untuk dan pengurangan jumlah subjek rentan terhadap nilai
aal S 8 adalah sekitar 63 sehingga mengkonfirmasikan perilaku @asus I. 'ahkan lebih
jelas itu perubahan lokasi puncak epidemi berada di sekitar hari 5 dan 3 masingmasingdengan kuantitas #I sama untuk 346 dan 18/ untuk dua pilihan angka reproduksi
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
14/17
sehingga yang menunjukkan efek dari epidemi dengan tingkat kontak benarbenar signifikan
dan batas strategi kontrol dengan dipilih parameter kontrol dalam kasus epidemi sudah
meluas dan tindakan kontrol tidak efektif karena bisa di kasus I.
1.&. @ontrol parameter analisis sensiti"itas
Sangat menarik untuk menganalisis dalam @asus I dan @asus II dengan !engaruh
parameter bobot a & a / τ & τ / 8 dalam indeks biaya dan ρ & ρ / 8 di kontrol. Jebih
tepatnya dengan asumsi sebagai kasus referensi nilainilai (/1) untuk α & a / τ & τ / 8
dan ρ & = ρ / = / situasi diringkas dalam ;abel & dan ;abel / dianggap.
;abel &.
@asus I. !engendalian parameter analisis sensiti"itas.
@asus I S 8 = & I 8 I 8 = &84 R 8 = 8 C 8 = 8
#I
Jokasi puncak epidemi
penyebaran (hari)
@asus referensi* a & = &81 α / =
8775 τ & = &81 τ / = &8
1 ρ & =
/ ρ / = /
42 65 75
α & = 8/76 a / = 85 τ & = &81 τ / =
&8 1 ρ & = / ρ / = /
67 86 5/
α & = &81 α / = 8775 τ & = 88883 =
&91 τ / ρ & = / ρ / = /
45 64 74
α & = &81 α / = 8775 τ & = 888&3 =
1 τ / ρ & = / ρ / = /
4/ 65 76
α & = &81 α / = 8775 τ & = &8
1 τ / =
&8 1 ρ & = &8 ρ / = &
63 77 11
α & = &81 α / = 8775 τ & = &8
1 τ / =
&8 1 ρ & = & ρ / = &8
48 58 72
;abel /.
@asus II. @ontrol parameter analisis sensiti"itas.
@asus II S 8 = 877 I 8 = 3 T &81 R 8 = 1 T &8
1 C 8 = / T &81
#I
Jokasi puncak epidemi
penyebaran (hari)
@asus referensi* a & = &81 α / =
8775 τ & = &81 τ / = &8
1 ρ & =
/ ρ / = /
58 1& /6
α & = 8/76 a / = 85 τ & = &81 τ / =
&8 1 ρ & = / ρ / = /
66 86 /5
α & = &81 α / = 8775 τ & = 88883 =
&91 τ / ρ & = / ρ / = /
5/ 1& /6
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
15/17
@asus II S 8 = 877 I 8 = 3 T &81 R 8 = 1 T &8
1 C 8 = / T &81
#I
Jokasi puncak epidemi
penyebaran (hari)
α & = &8 1 α / = 8775 τ & = 888&3 =
1 τ / ρ & = / ρ / = /
47 1& /6
α & = &81 α / = 8775 τ & = &8
1 τ / =
&8 1 ρ & = &8 ρ / = &
62 57 /&
α & = &81 α / = 8775 τ & = &8
1 τ / =
&8 1 ρ & = & ρ / = &8
41 16 /7
Dalam kasus di mana epidemi belum meluas jika rasio antara bobot a & a / adalah sekitar
828 (dan tidak 888& seperti dalam kasus yang sudah diperiksa) jumlah akhir dari subjek
rentan penurunan persentase sekitar 67 sehubungan dengan nilai aal tetapi dengan upaya
pengendalian dalam pencegahan yang harus sama dengan nilai maksimum yang
dii0inkan u maN = 87 untuk hampir semua inter"al kontrol. Selain itu puncak dari subyek
yang terinfeksi sedikit menurun dari sekitar 86.
Sejauh pengaruh bobot τ & τ / 8 dua situasi dibandingkan dengan kasus referensi. !ada
pertama τ & beban kontrol atas subjek rentan diasumsikan sama dengan &91 dari berat τ / # ini
memungkinkan upaya yang lebih signifikan dalam pencegahan menunjukkan penurunan
subjek rentan sekitar 45 dan penurunan yang signifikan dari 64 bisa dihargai untuk
puncak yang terinfeksi. Dalam situasi kedua dianggap berat τ & diasumsikan tiga kali lebih besar dari berat τ / # dalam hal ini jumlah rentan menurun dari sekitar 4/ dengan penurunan
puncak epidemi sekitar 65.
Sejauh pengaruh parameter ρ & ρ / 8 yang bersangkutan ketika ρ & = &8 ρ / = & itu adalah
menarik untuk dicatat pengurangan subjek rentan sekitar 63 terhadap nilai aal dengan
penurunan yang sangat signifikan dari puncak epidemi (77) yang terletak setelah sekitar
satu bulan (11 hari). @etika ρ & = & ρ / = &8 perlu dicatat keterlambatan puncak pengaruh
sekitar tiga bulan (72 hari) dengan pengurangan 58#pengurangan subjek rentan terhadap
nilai aal adalah 48.
Dalam @asus II kasus strategi pengendalian bertindak hanya ketika epidemi memiliki sudah
tersebar luas ketika a & = 82 α / jumlah akhir dari subjek rentan menurun dari sekitar 66
dengan upaya pengendalian dalam pencegahan yang harus sama dengan maksimal nilai
diperbolehkan untuk hampir semua inter"al kontrol. Selain itu puncak dari subyek yang
terinfeksi sedikit menurun (sekitar 86) seperti dalam kasus sebelumnya strategi
pengendalian baik aktunya.
Sejauh pengaruh bobot τ & τ / 8 dalam kasus pertama dianggap τ & = &91 τ / upaya yang
lebih signifikan dalam pencegahan dii0inkan menunjukkan penurunan subjek rentan sekitar
5/ sedangkan tidak ada perbedaan yang signifikan bisa dihargai untuk yang
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
16/17
terinfeksi. @etika τ & = 1 τ / jumlah rentan menurun dari sekitar 47 dengan penurunan
puncak epidemi sekitar 18.
!erhatikan baha dalam semua kasus ini dianalisis ketika upaya pengendalian dimulai hanya
dengan epidemi sudah menyebar lokasi temporal puncak epidemi menyebar tidak berubah
secara signifikan sehubungan dengan kasus nonkontrol sedangkan jika upaya pengendalian
baik timed lokasi puncak epidemi penyebaran secara signifikan tertunda.
Sejauh pengaruh parameter ρ & ρ / 8 yang bersangkutan ketika ρ & = &8 ρ / = & itu adalah
menarik untuk dicatat pengurangan subjek rentan sekitar 62 terhadap nilai aal dengan
penurunan yang signifikan dari puncak epidemi (57) yang temporal terletak di hari /&.
@etika ρ & = & ρ / = &8 perlu dicatat keterlambatan puncak pengaruh (sekitar satu bulan)
dengan pengurangan 16 sedangkan pengurangan subjek rentan adalah dari 41 terhadap
nilai aal.
!erlu dicatat efekti"itas lebih jelas dari strategi pengendalian yang optimal ketika itu tepat
aktu sehubungan dengan situasi di mana upaya pengendalian bertindak pada epidemi sudah
menyebar. Dalam kasus pertama aksi pada subjek rentan dan terinfeksi memungkinkan
peningkatan jumlah subjek pulih menghasilkan penundaan di puncak pengaruh yang
signifikan berkurang.
Analisis yang sama dari ;abel & dan ;abel / dilakukan juga dalam kasus dan
. Seperti yang diharapkan dalam kasus I untuk parameter kontrol yang menghasilkan
pengurangan yang paling signifikan dari puncak pengaruh yang a & = &81 a/ = 8775 τ & =
&8 1 τ / = &81 ρ & = &8 ρ / = & memperoleh nilai #I sama untuk 48 dan pengurangan
subjek rentan 66 sehubungan dengan nilai aal. ambar. &8 sebagai contoh @asus I . %al ini disebabkan meningkatnya tingkat
kontak yang diminta kontrol tambahan.
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0050http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0050http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0050
-
8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah
17/17
Ara. &8.
@asus I. Analisis pengaruh jumlah reproduksi pada strategi pengendalian
ketika dan ρ & = &8 ρ / = &.Ara. &&.
@asus I. Analisis pengaruh jumlah reproduksi pada strategi pengendalian
ketika dan a & = 82 α / .
'ahkan lebih jelas adalah perilaku yang sama dari kontrol u dalam kasus di mana a & =
82α / (dan parameter lainnya sama dengan kasus referensi (/1) ) sebagaimana telah dicatat
dalam kasus ini Jihat >ambar. && # ini adalah karena kontrol u dibutuhkan usaha
ekstra untuk mengurangi jumlah subjek rentan seperti yang diminta oleh indeks biaya. !erlu
dicatat baha dalam kasus ini (kasus I dan II α & = 82 α / ) pengurangan jumlah subjek yang
terinfeksi tidak jelas efektif seperti dalam kasus referensi.
2. @esimpulan
Dalam makalah ini model SIRC influen0a dianggap bertujuan untuk mengendalikan epidemi
menyebar# mengendalikan epidemi berkorespondensi penyakit misalnya untuk pengenalan
ad hoc "aksin atau karantina atau obat strategi pengobatan. Semua strategi yang mungkin
harus dihadapkan pada keterbatasan sumber daya. Dalam makalah ini kontrol baik dalam
rentan dan di kelas yang terinfeksi diperkenalkan dengan mempertimbangkan kendala dalam
kontrol. Sebuah indeks biaya yang sesuai diusulkan dan hasilnya keberadaannya
dinilai. ;ujuannya adalah untuk meminimalkan subjek rentan dan terinfeksi dengan sumber
daya yang lebih sedikit mungkin# ekspresi analitis dari kontrol optimal disediakan dan
implementasi numerik mereka dibahas. %asil numerik disajikan membandingkan efek dari
strategi pengendalian yang berbeda menunjukkan hasil yang menarik dan menggembirakan