konsep dasar matematika ekonomi.docx
-
Upload
purna-setyawan -
Category
Documents
-
view
1.157 -
download
159
Transcript of konsep dasar matematika ekonomi.docx
BAB1
KON SEP DASAR
MATEMATIKA EKON OMI
1.1 Ruang Lingkup Matematika Ekonomi
Matematika ekonomi sebagai cabang ilmu ekonomi membahas masalah-
masalah ekonomi dengan menggunakan pendekatan dan lambang-lambang
ekonomi. Pembahasan pada matematika ekonomi memanfaatkan konsep dan
teknik perhitungan yang relevan untuk memecahkan masalah-masalah ekonomi.
Dalam mempelajari matematika ekonomi topik-topik matematika murni
yang digunakan, misalnya fungsi, kalkulus, himpunan, deret dan matriks. Topik-
topik inilah yang dipakai dalam penerapan ekonomi.
Berbeda halnya dengan matematika murni, yang menggunakan simbol-
simbol yang umum digunakan, yaitufx, y, z, simbol-simbol dalam matematika
ekonomi sesuai dengan variabel ekonominya, misalnya harga (P= price), kuantitas
(Q= quantity), biaya (C= cost), tabungan (S= saving), konsumsi (C=
consumption), dan lain-lainnya.
Pada matematika ekonomi nilai-nilai variabel harus bernilai positif.
Matematika ekonomi tidak mengenal variabel yang nilainya negatif. Dengan
demikian, secara grafis nilai-nilai variabel ekonomi hanya berlaku pada kwadran
pertama.
1.2 Model-model Ekonomi
Model ekonomi adalah abstraksi tentang hubungan ekonomi untuk
menyederhanakan penanganan masalah-masalah ekonomi yang kompleks. Model
ekonomi dibentuk untuk mempelajari tingkah laku unit-unit ekonomi dalam
hubungannya dengan kegiatan-kegiatan ekonomi, misalnya kegiatan produksi,
konsumsi, dan distribusi barang dan jasa.
Bentuk-bentuk model antara lain: 1) Fungsi umum kualitatif, 2) Tabel/
grafik, dan 3) Fungsi Aljabar/ matematis. Ketiga bentuk model tersebut akan
diuraikan satu persatu.
1.3 Fungsi Umum Kualitatif
Adalah suatu model ekonomi atau persamaan yang menunjukkan
perubahan perilaku sebagai akibat perubahan lain yang ada hubungannya.
Misalnya: perubahan perilaku konsumsi sebagai akibat dari pendapatan nasional,
atau perubahan permintaan barang sebagai akibat perubahan harga barang tersebut
atau harga barang lain.
Contoh:
Qdx= f (Px,Py,T,M)
Dimana:
Qdx = kuantitas permintaan barang x
Px = harga barang x
Py = harga barang y
M = pendapatan perseorangan
T = selera
Dari contoh model atau persamaan di atas dapat dilihat bahwa hubungan
yang sebetulnya kompleks dapat disederhanakan dalam satu persamaan atau
fungsi.
1.4 Model Tabel atau Grafik
Untuk melengkapi bentuk fungsi umum yang bersifat kualitatif seringkali
dianggap tidak cukup. Ekonom akan melengkapinya dengan ilustrasi angka-angka
dan dinyatakan dalam bentuk tabel yang kemudian digambarkan dalam grafik.
Contoh:
Qd P Qs Titik
4 30 18 A
10 20 10 B
16 20 2 C
1.5 Fungsi Aljabar atau Matematis
Dalam pembuatan model-model Aljabar atau matematis yang penting
diperlukan adalah bentuk persamaan (equation) dengan unsur-unsur utamanya:
variabel, konstanta, koefisien, dan parameter.
Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah dalam suatu
masalah tertentu. Konstanta adalah sesuatu yang nilainya tetap atau tidak berubah.
Jika konstanta dengan variabel digabungkan menjadi satu, maka angka konstanta
yang ada di depan variabel disebut koefisien dari varibel tersebut. Koefisien atau
konstanta yang bervariabel atau dinyatakan dalam huruf atau lambang huruf awal
abjad Yunani atau Arab disebut parameter. Persamaan selanjutnya dapat
dibedakan menurut:
a. Persamaan Definisi adalah bentuk persamaan yang mempunyai arti sama.
π = TR – TC
b. Persamaan Keseimbangan adalah persamaan yang menggambarkan
kondisi keseimbangan model antara lain adalah:
1. Keseimbangan pasar, yaitu keseimbangan antara Quantity demand
(Qd) dan Quantity supply (Qs) atau Qd = Qs.
2. Keseimbangan pendapatan Nasional (National Income)
S+T+ M=I+ G+ X
Nasional Income = Y = Aggregate expenditure dan Windrawal
(Saving + Taxes + Import) = Injection (Investment + Government
expenditure + Export).
c. Persamaan Tingkah Laku (Behavioral)
Adalah persamaan yang menunjukkan hubungan tingkah laku antara
variabel sebagai akibat perubahan variabel yang lain. Untuk lebih jelasnya
dapat dilihat pada contoh berikut:
Qd = 10 - 2P
Persamaan tersebut menunjukkan hubungan tingkah laku antara P (price
atau harga) dengan Qd (jumlah barang yang akan diminta). Angka "10" adalah
konstanta, sedangkan angka "2" yang bergabung dengan variabel harga (P)
disebut koefisien.
Contoh lain persamaan tingkah laku adalah perubahan perilaku pada
konsumsi sebagai akibat dari perubahan pendapatan: C = a + b Yd. Dalam
persamaan ini besarnya pengeluaran konsumsi (C) dipengaruhi oleh besarnya
disposable income (Yd). Yang perlu diperhatikan dalam persamaan perilaku
selalu harus dibuat asumsi-asumsi mengenai pola perubahan perilaku dari variabel
yang diteliti.
1.6 Teori Himpunan
Himpunan adalah kelompok obyek-obyek (elemen) yang dapat dibedakan
secara jelas. Sebagai contoh misalnya: Himpunan Mahasiswa Ekonomi,
Himpunan Bilangan Nyata, Himpunan Binatang Berkaki Empat, Himpunan
Bilangan Bulat Positif dan lain-lain. Secara umum cara penulisan atau notasi dari
himpunan adalah: ) Misalnya: A = {a, b, c, d, . .}
a, b, c, d, adalah elemen atau anggota himpunan dari himpunan A (ditulis huruf
besar). Dengan demikian a, b, c, d adalah elemen himpunan A yang dinotasikan a
Є A, b Є A, c Є A, d Є A, ... .
Himpunan yang tidak mempunyai anggota himpunan disebut Null set atau
A = 0. Disebut himpunan nol jika hanya mempunyai satu anggota, yaitu bilangan
nol A = 0 1. Seluruh totalitas dari elemen-elemen himpunan terkumpul ke dalam
suatu universal himpunan atau disebut Sample space = S .
1.7 Hubungan Antar Himpunan
a. Suatu himpuan A sama dengan B, jika anggota himpunan A sama dengan
elemen-elemen himpunan B misal: a E A dan a juga elemen himpunan B, a E
B, maka A = B
Contoh:
A = {10, 15, 20, 25}
B = {25, 10, 20, 15}
Maka A = B
b. Jika A dan B adalah 2 buah himpunan, maka himpunan A memiliki interseksi
atau himpunan bagian (∩) dengan himpunan B.
A = { 1, 2, 3, 4) dan B = { 2, 4, 8, 14}, maka A ∩ B = {2,4}.
c. Himpunan bagian (sub-set) dinotasikan dengan . Jika himpunan A adalah
suatu himpunan bagian dari B, maka setiap elemen dari A juga adalah suatu
elemen dari B.
A= {a, b, c, d} dan B= {a, b, c, d, e, f, g, h)
maka A B (A himpunan bagian dari B)
d. Gabungan atau Union dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan baru
yang berisikan elemen-elemen baik yang dimiliki A maupun B.
A B =C (dibaca A gabungan B)
Contoh :
A = {1, 3, 6, 10}
B = {4, 8,}
Maka
C =A B= {1, 3, 4, 6, 8, 10}
Cara lain untuk menyatakan hubungan antar dua atau lebih himpunan adalah cara
menyajikan dalam bentuk diagram, yang sering disebut diagram Venn.
A∩B A∩B = ø A B
A∩B A∩B = ø A B
e. Himpunan Komplemen = A'
Himpunan komplemen adalah himpunan obyek yang bukan merupakan
elemen A, melainkan merupakan unsur dari himpunan universal = Sample
space.
Contoh :
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {0, 1, 2, 3}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
AA B
A B
Maka:
A` = {4, 5, 6, 7,8}
B` = {0, 1, 7, 8}
(A B)` = {7, 8}
(A∩B)` = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8}
(A B)` = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8}
(A∩B)` = {7, 8}
Dalam bentuk diagram Venn
A` (A B)` (A∩B)`
f. Operasi Himpunan
Perkalian dua buah himpunan A dan B dapat ditulis A x B.
Contoh:
A = {3, 4} dan B = {a, b}
Maka
A x B = {(3xa), (3,b), (4,a), (4,b)}
B x A = {(ax3), (a,4), (bx3), (bx4)}
A x B = B x A
Selisih himpunan antara dua buah himpunan dapat ditulis A - B atau B - A.
Contoh:
A = {4, 5, 6, 7, 8}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
A - B = {6, 7, 8}
B - A = {1, 2, 3}
A
Soal-soal latihan
1. Tulislah dengan menggunakan cara penulisan himpunan.
a. Himpunan bilangan bulat positif.
b. Himpunan bilangan pecahan.
c. Himpunan bilangan bulat negatif.
2. Jika S = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6}. Carilah
a. A∩B
b. A B
c. (A B)`
d. (A∩B)`
e. A - B
3. Jika A B = {5, 6, 7, 8}, A B = {5, 7} dan A - B = {6},
cari A dan B
4. Sebuah Perusahaan Daerah yaitu PT. Keramik Jaya mempunyai 80 orang
karyawan. Terdapat informasi sebagai berikut;
50 orang mempunyai televisi berwarna.
44 orang mempunyai radio.
38 orang mempunyai almari es.
22 orang mempunyai televisi berwarna dan radio
16 orang mempunyai televisi berwarna dan almari es dan
10 orang punya radio dan Almari es
6 orang mempunyai ketiganya.
Berapa orang karyawan yang tidak mempunyai televisi, dan tidak mempunyai
radio maupun tidak mempunyai almari es?
5. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 70 mahasiswa, terdapat 32 mahasiswa
yang senang matematika, 36 mahasiswa yang senang akuntansi, dan 10
mahasiswa yang senang matematika dan akuntansi. Berapa banyak
mahasiswa yang tidak senang, kedua mata kuliah tersebut?.
6. Dari diagram di samping, arsirlah daerah yang merupakan
himpunan.
A∩(B∩C)
A∩(B∩C)'
7. Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }
A = {1, 2, 3 ,7}
B = {1, 3, 5, 6}
C = {3, 4, 5, 7}
Gambarkan diagram Venn dari S, A, B, dan C
8. Gambarkan diagram Venn dari:
a. (A - B) (B - A)
b. A' ∩ (B∩C)
c. (A∩B) (B∩C)
d. A - (B∩C)
e. A∩(B∩C)'