KONSEP DASAR ARITMETIKAfile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/PRODI._ILMU_KOMPUTER/...Pemecahan Masalah...
Transcript of KONSEP DASAR ARITMETIKAfile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/PRODI._ILMU_KOMPUTER/...Pemecahan Masalah...
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 1
KONSEP DASAR ARITMETIKA
Josef Tjahjo Baskoro Clara Ika Sari Budhayanti
Pendahuluan
ateri yang akan Anda pelajari pertama kali pada mata kuliah pemecahan masalah matematika adalah konsep dasar aritmetika. Kompetensi dasar yang
harus dikuasai setelah mempelajari unit ini adalah Anda mampu menggunakan konsep dasar aritmetika khususnya konsep dalam perpangkatan dan akar bilangan serta barisan dan deret dalam menyelesaikan masalah matematika atau masalah lainnya. Oleh karena itu dalam unit ini akan dipelajari konsep perpangkatan dan akar bilangan serta barisan dan deret aritmetika dan geometri. Unit ini terbagi menjadi dua subunit yaitu subunit pertama berisi perpangkatan dan akar bilangan sedangkan subunit kedua berisi barisan dan deret. Bahan ajar mengenai materi ini, selain disediakan dalam bentuk bahan ajar cetak juga disediakan dalam bentuk bahan ajar berbasis web. Materi yang dibahas pada unit ini merupakan materi prasyarat yang harus dikuasai untuk mempelajari materi pemecahan masalah matematika. Oleh karena itu, pelajari unit ini sampai Anda menguasai dengan baik dan benar. Kerjakan semua latihan yang diberikan dan lihat kembali hasil pekerjaan Anda tersebut, kemudian bandingkan dengan pembahasan yang tersedia. Jika mengalami kesulitan, jangan segan untuk bertanya kepada rekan yang Anda anggap mampu atau dosen pengampu mata kuliah ini. Setelah Anda selesai mengkaji materi dan berlatih mengerjakan soal-soal, kerjakan tes formatif yang ada dalam setiap subunit untuk mengukur tingkat penguasaan Anda terhadap materi. Cobalah Anda kerjakan sendiri, kemudian bandingkan jawaban Anda tersebut dengan kunci jawaban tes formatif yang ada pada bagian akhir unit. Jika tingkat penguasaan Anda masih dibawah standar yang disyaratkan, pelajari kembali materi terutama di bagian yang Anda kurang mengerti. Selamat belajar dan tetap bersemangat, semoga Anda sukses.
M
Unit 1
Unit 1 1 - 2
Subunit 1
Perpangkatan dan Akar Bilangan Perpangkatan
erpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama. Bentuk perpangkatan adalah sebagai
berikut. a × a × ..... × a = an
n faktor Bentuk umumnya adalah an, di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar,
sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Contoh :
• 23 (dibaca dua pangkat tiga) = 2 × 2 × 2 = 8 • 52 (dibaca lima pangkat dua) = 5 × 5 = 25
Perpangkatan bilangan sangat berguna untuk meringkas bentuk perkalian berulang dalam jumlah besar. Selanjutnya kita akan mempelajari beberapa sifat yang berlaku dalam perpangkatan. Terdapat 6 sifat operasi perpangkatan yaitu:
1. ( ) nnn baba ×=×
2. nmnm aaa +=× 3. nmnm aaa −=:
4. ( ) nnn baba :: =
5. ( ) nmnm aa ×=
6. nn
aa 1
=− dengan 0≠a
Bukti kebenaran dari sifat-sifat di atas dapat Anda lakukan setelah Anda mempelajari unit 7 mengenai penalaran induktif dan deduktif. Sementara ini Anda dapat
P
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 3
menggunakan sifat-sifat tersebut untuk menyelesaikan soal-soal mengenai perpangkatan.
Pada perpangkatan, bilangan pokok dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan, demikian juga untuk pangkat atau eksponen. Pangkat juga dapat berupa bilangan nol. Dalam perpangkatan, kedua komponen (bilangan pokok dan pangkat) sama pentingnya. Namun demikian, perubahan hasil perpangkatan terutama ditentukan oleh nilai pangkatnya. Oleh karena itu pembedaan nilai pangkat akan dibahas secara khusus.
Pangkat dapat berupa bilangan nol, bilangan bulat (positif dan negatif), bilangan pecahan (rasional) dan bilangan irrasional. Bilangan irrasional tidak dibahas pada bahan ajar ini. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat skema berikut ini.
Gambar 1.1 Skema Pangkat Bilangan
Bagaimana jika suatu bilangan dipangkatkan dengan nol? Sembarang bilangan bila dipangkatkan nol akan menghasilkan nilai 1, tidak perduli apakah bilangan pokoknya merupakan bilangan positif atau negatif. Contoh :
• 50 = 1
• 171 0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya perpangkatan bilangan adalah bentuk perkalian berulang atau berganda. Berdasarkan Skema Pangkat Bilangan, pangkat
Unit 1 1 - 4
dapat berupa bilangan bulat positif atau negatif. Pangkat bilangan bulat positif merupakan bentuk perkalian berulang yang sebenarnya. Nilai pangkat/eksponen menunjukkan banyaknya perkalian berulang (faktor) nilai itu sendiri. Sembarang bilangan bila dipangkatkan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Contoh:
• 21 = 2
• 81
81 1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Baik bilangan pokok yang merupakan bilangan bulat maupun pecahan, bila dipangkatkan dengan 1 maka hasil perpangkatannya bernilai tetap sama yaitu bilangan itu sendiri. Sembarang bilangan bila dipangkatkan 2 akan menghasilkan perkalian berulang 2 kali bilangan itu sendiri. Contoh :
• 32 = 3 × 3 = 9 • 102 = 10 × 10 = 100
• 254
52
52
52 2
=×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ atau
254
5522
52
52
2
22
=××
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Sembarang bilangan bila dipangkatkan 3 akan menghasilkan perkalian berulang 3 kali bilangan itu sendiri. Contoh :
• 43 = 4 x 4 x 4 = 64 • 103 = 10 x 10 x 10 = 1000
• 278
32
32
32
32 3
=××=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ atau
278
333222
32
32
3
33
=××××
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Perbandingan pembilang dan penyebut dalam bilangan pokok pecahan bersifat tetap. Pangkat bilangan bulat negatif atau sering disebut pangkat tak sebenarnya, menunjukkan bahwa perkalian berulang pecahan/kebalikan bilangan itu sendiri. Bentuk umumnya sebagai berikut.
di mana n adalah bilangan bulat positif. Sembarang bilangan bila dipangkatkan -1 akan menghasilkan kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh :
• 31
313 1
1 ==−
1nna
a− =
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 5
• 8
811
81 1
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
• 38
83 1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
Terlihat bahwa bila bilangan pokoknya adalah bilangan bulat, maka pangkat -1 nya adalah pecahan / kebalikannya. Secara umum berlaku
ab
bab
a==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
− 11
Sembarang bilangan bila dipangkatkan -2 akan menghasilkan kuadrat kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh :
• 41
212 2
2 ==−
• 9
911
311
31
2
2
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
• 416
425
2541
521
52
2
2
===
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
Bila bilangan pokok berbentuk pecahan dipangkatkan -2, maka hasilnya dapat berupa bilangan bulat ataupun bilangan pecahan. Sembarang bilangan bila dipangkatkan -3 akan menghasilkan bilangan kubik dari kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh :
• 271
313 3
3 ==−
• 2764
64271
431
431
43
3
33
3
===
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
Unit 1 1 - 6
Akar Bilangan Pada dasarnya pengertian akar bilangan dapat dijelaskan melalui
perpangkatan. Akar bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat/eksponen bilangan pecahan. Pangkat bilangan pecahan disebut juga pangkat rasional. Secara umum definisi akar bilangan adalah sebagai berikut.
Definisi : n a (dibaca : akar n dari bilangan a) adalah bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.
n a dapat juga ditulis na1
Contoh : Akar bilangan 2 atau sama dengan pangkat pecahan 21
• 22444 212
21
2 ====×
• ( )( ) 3
2
3
2
3
2
9
494
94
94
212
212
21
2
21
2
21
21
2 ======×
×
Akar bilangan 3 atau sama dengan pangkat pecahan 31
• 2288 313
31
3 ===×
• ( )( ) 3
2
3
2
3
2
27
8278
278
31
3
31
3
31
3
31
3
31
31
3
33 =====
×
×
Latihan
Selanjutnya kerjakan latihan berikut untuk memantapkan pemahaman Anda terhadap materi.
1. Sederhanakanlah perpangkatan berikut ini.
a. ( ) ( )4523 55:5 ×
b. ( ) ( )987265 5:5 nmnm ×××× −−− 2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam pangkat positif.
a. ( ) ( )98102957 −−−−− ×××× nmcnmc
b. ( ) ( )298102957 : −−−−− ×××× nmcnmc
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 7
3. Hitunglah perpangkatan berikut ini. a. 32−
b. 31
8 Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Tentu saja tidak, namun demikian Anda dapat membandingkan jawaban yang Anda temukan dengan pembahasan berikut ini. Pedoman Jawaban Latihan
1. Menyederhanakan perpangkatan. a. Dengan menggunakan sifat 2 dan 5 diperoleh
( ) ( ) 452.34523 5:555:5 +=×
sehingga diperoleh ( ) ( ) 96964523 55:555:5 −==× , kemudian menggunakan
sifat 3. Jadi hasil penyederhanaan perpangkatan ( ) ( )4523 55:5 × adalah 35− .
b. Dengan menggunakan sifat 5 diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )98712210987265 5:55:5 nmnmnmnm ××××=×××× −−−−−− Selanjutnya dengan menggunakan sifat 3 diperoleh perpangkatan yang lebih sederhana yaitu 21101791282)7(10 55 −−−−−−−− ××=×× nmnm .
2. Menyatakan perpangkatan dalam pangkat positif.
a. Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan,
( ) ( )98102957 −−−−− ×××× nmcnmc akan dinyatakan dalam pangkat positif sebagai berikut.
( )( )9810181014 −−− ×××× nmcnmc menggunakan sifat 5 924 nmc ×× − menggunakan sifat 2
2
94
mnc × menggunakan sifat 6
b. Analog dengan pengerjaan a, perpangkatan
( ) ( )298102957 : −−−−− ×××× nmcnmc akan dinyatakan dalam pangkat positif berikut ini.
( ) ( )181620181014 : −−− ×××× nmcnmc menggunakan sifat 5 362634 nmc ×× − menggunakan sifat 3
Unit 1 1 - 8
26
3634
mnc menggunakan sifat 6
3. Menghitung perpangkatan.
a. 81
212 3
3 ==−
b. 288 331
== Materi mengenai perpangkatan dan akar bilangan telah selesai dibahas. Selanjutnya silahkan Anda kembali mengingat materi apa yang telah Anda pelajari pada subunit ini dengan membaca rangkuman. Kemudian silahkan Anda mengerjakan tes formatif 1, agar Anda dapat mengetahui tingkat pemahaman atau penguasaan materi ini.
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 9
Rangkuman
Perpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama a × a × ..... × a = an
n faktor di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Berikut beberapa sifat operasi perpangkatan yaitu:
1. ( ) nnn baba ×=×
2. nmnm aaa +=× 3. nmnm aaa −=:
4. ( ) nnn baba :: =
5. ( ) nmnm aa ×=
6. nn
aa 1
=− dengan 0≠a
Setiap bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan nol, hasilnya merupakan bilangan 1, sedangkan setiap bilangan yang dipangkatkan dengan 1, hasilnya merupakan bilangan itu sendiri. Akar suatu bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat bilangan pecahan.
Bentuk umum akar bilangan adalah n a (dibaca : akar n dari bilangan a) yaitu bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.
n a dapat juga ditulis na1
Unit 1 1 - 10
Tes Formatif 1
Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi perpangkatan dan akar bilangan dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar.
1. Berikut ini yang merupakan definisi perpangkatan adalah ……. A. penambahan berulang bilangan yang sama B. pengurangan berulang bilangan yang sama C. perkalian berulang bilangan yang sama D. pembagian berulang bilangan yang sama
2. Bentuk sederhana dari perpangkatan ( )5
232
xyx −−
adalah …….
A. 6xy C. 55 −− yx
B. 55 −yx D. 69 yx −
3. Bentuk perpangkatan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
3
3
2
3 15xx
jika dinyatakan dalam pangkat positif
adalah ……
A. 4
1x
C. 9
3
5x
B. x95
1 D. 9
18
5x
4. Nilai dari ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−
−−
33
332
51
555 adalah …….
A. 75− C. 35 B. 0 D. 125
5. Bilangan 32 merupakan penyederhanaan dari perpangkatan ……
A. ( )312 22 −× C. 40 22 ×
B. 34 24 −× D. ( )212 24 −×
6. Arti dari n a adalah ……
A. na − C. na
1
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 11
B. na1
−
D. na
7. Nilai dari ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛32
827
916 adalah ……
A. 1 C. 6 B. 2 D. 8
8. Bilangan 15 merupakan nilai dari …….
A. 5 75 C. ( )( )23 109
B. ( )( )33 35 D. ( )( )43 81125
9. Nilai dari 4
232:
32
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ adalah ……
A. 94 C.
8520
B. 7212 D.
72964
10. Bilangan yang merupakan nilai dari ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2
2
271
43 adalah ……
A. 61 C.
181
B. 121 D.
241
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.
Unit 1 1 - 12
Subunit 2
Barisan dan Deret
arisan dan deret yang akan dibahas di sini khususnya barisan dan deret aritmetika serta geometri. Dalam subunit ini juga akan dibahas mengenai notasi
sigma yang menjadi dasar untuk penulisan deret. Barisan Sebelum kita mempelajari barisan, coba Anda amati pola bilangan pada himpunan berikut ini.
1. Himpunan bilangan asli : {1, 2, 3, 4, 5, …} 2. Himpunan bilangan bulat : {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 3. Himpunan bilangan asli ganjil : {1, 3, 5, 7, 9, …} 4. Himpunan bilangan asli genap : {2, 4, 6, 8, 10, …}
Setiap anggota himpunan di atas dapat diurutkan sehingga mempunyai keteraturan atau pola. Penulisan beberapa anggota himpunan secara terurut seperti di atas akan dapat menyatakan anggota himpunan yang lain yang mempunyai pola sama.
Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan. Pada contoh himpunan di atas, diperoleh barisan bilangan seperti berikut ini.
1. Barisan bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, … 2. Barisan bilangan bulat …, -2, -1, 0, 1, 2, … 3. Barisan bilangan (asli) ganjil 1, 3, 5, 7, 9, … 4. Barisan bilangan (asli) genap 2, 4, 6, 8, 10, …
Nama barisan dicirikan oleh bilangan-bilangan yang membentuk barisan tersebut. Adapula barisan yang diberi nama sesuai dengan penemunya. Contoh : Barisan bilangan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … yang ditemukan pada tahun 1200 oleh Leonardo Fibonacci. Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan 1u , suku kedua
dilambangkan dengan 2u dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut.
nuuuu ,...,,, 321
Indeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan. Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga.
B
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 13
Pada contoh barisan bilangan yang telah disebutkan di atas, dua barisan bilangan pertama mempunyai pola yang sama yaitu suku barisan diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 1. Perbedaan kedua barisan tersebut terletak pada suku awalnya saja. Suku barisan bilangan pada contoh keempat dan kelima diperoleh dengan menambah suku sebelumnya dengan bilangan 2. Perbedaan pada suku awal akan memberikan perbedaan pada suku-suku berikutnya. Selanjutnya kita akan mempelajari barisan aritmetika dan geometri. Untuk memahami pengertian barisan aritmetika, coba Anda perhatikan contoh-contoh barisan berikut ini. Contoh :
1. Barisan 2, 4, 6, 8, … 2. Barisan 4, 1, -2, -5, …
3. Barisan 3, 221 , 2, 1
21 , …
Pada setiap barisan di atas, apakah Anda bisa melihat bahwa selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan)? Barisan dengan ciri seperti itu disebut barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda dan dilambangkan dengan b. Coba Anda tentukan beda masing-masing barisan pada contoh di atas kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.
1. Beda barisan 2, 4, 6, 8, … dapat diketahui dengan cara mengurangkan suku barisan (kecuali suku awal) dengan suku sebelumnya. Jadi beda barisan tersebut adalah 2684624 =−=−=−=b .
2. Beda barisan 4, 1, -2, -5, … adalah 3)2()5(1)2(41 −=−−−=−−=−=b .
3. Beda barisan 3, 221 , 2, 1
21 , … adalah
212
211
21223
212 −=−=−=−=b .
Jika kita ingin menentukan suku ke sekian dari suatu barisan aritmetika,
berarti kita harus mempunyai rumus untuk suku ke-n dari barisan aritmaetika. Misalkan suku awal dan beda dari barisan aritmetika dilambangkan dengan a dan b . Untuk menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika, perhatikan bagan berikut ini.
Gambar 1.2
Unit 1 1 - 14
Jadi berdasarkan bagan di atas diperoleh rumus suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu
( )bnaun 1−+= .
Latihan 1 Setelah Anda mengetahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika, silahkan Anda berlatih mengerjakan contoh-contoh soal berikut ini.
1. Dari barisan aritmetika berikut ini, tentukan rumus suku ke-n dan suku ke 26. a. 1, 7, 13, 19, … b. 8, 1, -6, -13, …
c. 10, 419 ,
218 ,
437 , …
2. Jika diketahui pada suatu barisan aritmetika, suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21. Tentukan suku ke-125.
Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Coba Anda cocokkan jawaban yang telah Anda kerjakan dengan pembahasan berikut ini.
1. a. Pada barisan 1, 7, 13, 19, …diketahui suku awal 1=a dan beda 6=b maka rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah ( )611 −+= nun atau
56 −= nun . Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-26 yaitu
( ) 1555156526626 =−=−=u .
b. Pada barisan 8, 1, -6, -13, …, diketahui suku awal 8=a dan beda 781 −=−=b maka rumus ke-n dari barisan tersebut adalah
( ) nnun 715)7(18 −=−−+= , sehingga dari sini dapat ditentukan suku
ke-26 yaitu 16718215)26(71526 −=−=−=u .
c. Pada barisan 10, 419 ,
218 ,
437 , …diketahui suku awalnya adalah 10=a
dan beda 4310
419 −=−=b . Rumus ke-n dari barisan tersebut adalah
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+=
43110 nun atau ( )nun 343
41
−= . Dari sini kita akan tentukan
suku ke-26 yaitu ( )( ) ( )438
43535
4126343
41
26 −=−=−=−=u .
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 15
2. Diketahui suku ke-10 dari suatu barisan aritmetika adalah 41 dan suku ke-5 sama dengan adalah 21 maka ( ) 41911010 =+=−+= babau dan
( ) 214155 =+=−+= babau . Dari sini diperoleh
419 =+ ba 214 =+ ba
205 =b 4=b sehingga 21)4(4 =+a
5=a Jadi rumus ke-n barisan tersebut adalah ( ) 14415 +=−+= nnun sehingga
suku ke-125 adalah 50115001)125(4125 =+=+=u .
Kita telah bersama-sama mempelajari barisan aritmetika. Sekarang kita akan mempelajari barisan lain yang juga sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari yaitu barisan geometri. Sebelum kita mempelajari barisan geometri, kita simak dahulu cerita berikut ini. Alkisah di suatu negeri, seorang raja akan memberikan apapun yang diminta sebagai hadiah kepada juara catur di negeri itu. Juara catur meminta hadiah beras yang jumlahnya adalah banyak beras di kotak terakhir pada papan catur dengan aturan banyak beras di setiap kotak papan catur adalah sebagai berikut. Banyaknya beras di kotak pertama 1 kg, di kotak kedua sebanyak 2 kg, di kotak ketiga sebanyak 4 kg, dan seterusnya. Sang raja langsung menyetujui permintaan tersebut. Dia berpikir bahwa permintaan itu sangat sederhana. Bagaimana Saudara, apakah Anda setuju dengan pemikiran raja tersebut? Apakah permintaan juara catur tersebut sangat sederhana? Sebenarnya berapa kg beras yang diminta sebagai hadiah? Kita akan selidiki bersama kasus ini. Kita perhatikan barisan bilangan yang menyatakan banyak beras yang diminta oleh juara catur yaitu 1, 2, 4, 8, 16, dan seterusnya. Coba Anda perhatikan bahwa setiap dua suku yang berurutan mempunyai perbandingan yang tetap. Pada barisan itu perbandingan yang tetap
tersebut adalah 28
1628
24
12
==== . Perbandingan yang tetap itu disebut rasio dan
dilambangkan dengan r. Jadi rasio barisan 1, 2, 4, 8, 16, … adalah 2=r . Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk
nuuuu ,...,,, 321 dengan ruu
n
n =−1
dimana r adalah konstanta.
Unit 1 1 - 16
Selanjutnya, apakah Anda bisa menentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri tersebut? Kita akan selidiki bersama-sama.
ruu
=1
2 sehingga ruu 12 =
ruu
=2
3 sehingga ruu 23 = , karena ruu 12 = maka 2113 .. rurruu ==
ruu
=3
4 sehingga ruu 34 = , karena 213 ruu = maka 3
12
14 .. rurruu ==
dan seterusnya sampai dengan suku ke-n yaitu 11
−= nn ruu
Jadi rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah 11
−= nn ruu .
Kita kembali ke kasus sang raja dan juara catur. Berapa kg beras yang diminta juara catur? Banyak kotak pada papan catur adalah 64. Jadi kita akan menentukan suku ke-64 dari barisan 1, 2, 4, 8, 16, …sebagai berikut.
63
63
164164
2 2.1
=
=
= −ruu
Ternyata banyak sekali beras yang diminta juara catur yaitu sebanyak 632 kg. Latihan 2 Saudara, Anda telah belajar mengenai barisan geometri. Pemahaman Anda terhadap konsep ini akan lebih meningkat jika Anda berlatih menyelesaikan soal-soal berkaitan dengan barisan geometri. Berikut ini soal tentang barisan geometri, silahkan Anda menyelesaikan soal-soal tersebut.
1. Tentukan rasio, rumus ke-n dan suku ke-10 dari tiap barisan geometri berikut ini.
a. 2, 6, 18, 54, … b. 32, 16, 8, 4, … c. 4, -8, 16, -32, …
d. 3 , 6, 312 , 72, … 2. Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 4 dan suku ke-4 sama
dengan 12. Tentukan rasio dan suku ke-8.
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 17
Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda menemui kesulitan? Untuk melihat seberapa jauh pemahaman Anda mengenai barisan geometri, silahkan cocokkan penyelesaian yang Anda buat dengan pembahasan penyelesaian soal berikut ini.
1. a. Rasio pada barisan geometri pada 1a adalah 326==r . Suku pertama dari
barisan geometri itu adalah 21 =u maka rumus suku ke-n 13.2 −= nnu .
Dari rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 sebagai berikut. 3936619683.23.23.2 9110
10 ==== −u
Jadi suku ke-10 barisan geometri 2, 6, 18, 54, ...... adalah 39366.
b. Rasio barisan geometri pada 1b adalah 21
3216
==r . Suku pertama dari
barisan tersebut adalah 321 =u maka rumus suku ke-n barisan tersebut 1
2132
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
n
nu . Dari rumus tersebut ditentukan suku ke-10 sebagai
berikut.
161
512132
2132
2132
9110
10 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
u
Jadi suku ke-10 barisan geometri 32, 16, 8, 4, ..... adalah 161 .
c. Rasio barisan geometri pada 1c adalah 248
−=−
=r . Suku pertama dari
barisan tersebut adalah 41 =u maka rumus suku ke-n ( ) 124 −−= nnu . Dari
rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan sebagai berikut.
( ) ( ) ( ) 204851242424 911010 −=−=−=−= −u
Jadi suku ke-10 dari barisan 4, -8, 16, -3, dan seterusnya sama dengan -2048.
d. Rasio barisan geometri pada 1d adalah 323
363
6===r . Suku
pertama barisan adalah 31 =u maka rumus rumus suku ke-n
( ) 1323
−=
n
nu . Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan
sebagai berikut.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 124416243512351232323323 51099110
10 ======−
u
Unit 1 1 - 18
Jadi suku ke-10 dari barisan geometri 3 , 6, 312 , 72, .... sama dengan 124416.
2. Diketahui 41 =u dan 124 =u maka
3
3
3
141
3
3124
12
=
=
=
=−
r
rr
ru
Suku ke 8 dari deret adalah
( ) 331
237
731818 3363343434 =××=×=×== −ruu .
Bagaimana Saudara, apakah penyelesaian Anda benar semua? Sejauh mana pemahaman Anda mengenai barisan geometri? Jika menurut Anda, pemahaman mengenai konsep ini kurang, jangan segan untuk mepelajari kembali konsep ini sebelum kita mempelajari konsep berikutnya. Konsep yang akan kita pelajari selanjutnya adalah mengenai konsep notasi sigma yang menjadi landasan dalam penulisan deret bilangan. Jika Anda sudah siap, kita akan lanjutkan dengan mempelajari konsep notasi sigma berikut ini. Notasi Sigma Notasi sigma banyak digunakan dalam matematika khususnya bidang statistika. Penggunaan notasi sigma di dalam statistika antara lain digunakan dalam menentukan mean, simpangan baku, dan ragam. Sebelum membahas notasi sigma, perhatikan jumlah lima bilangan ganjil berikut ini. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 Menurut Anda bagaimanakah pola lima bilangan tersebut? Pola barisan tersebut adalah sebagai berikut. Suku ke-1 = 1= 2(1) – 1 Suku ke-2 = 3 = 2(2) – 1 Suku ke-3 = 5 = 2(3) – 1 Suku ke-4 = 7 = 2(4) – 1 Suku ke-5 = 9 = 2(5) – 1 Jadi secara umum pola barisan bilangan di atas adalah 2k – 1 dengan k = 1, 2, 3, 4, 5. Penjumlahan lima bilangan asli yang ganjil di atas dapat disingkat dengan menggunakan notasi sigma. Lambang notasi sigma adalah Σ yang merupakan huruf
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 19
kapital Yunani yang berarti penjumlahan. Notasi ini pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755. Jadi penulisan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 dengan menggunakan notasi sigma adalah sebagai berikut.
∑=
−5
1)12(
k
k
Lambang 1=k disebut batas bawah dan 5=k disebut batas atas. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.
n
n
kk aaaaa ++++=∑
=
...3211
Latihan 3 Selanjutnya silahkan Anda berlatih menyelesaikan soal-soal berikut ini.
1. Tuliskan tiap penjumlahan berikut ini dengan menggunakan notasi sigma. a. 119753 ++++ b. 362516941 +++++
c. 116
95
74
53
321 +++++
2. Setiap notasi sigma berikut ini, tuliskan dalam suku-suku penjumlahan kemudian hitunglah jumlahnya.
a. ( )∑=
+6
113
ii
b. ( )∑=
−5
141
kk
c. ∑=
4
12
i
i
Pedoman Jawaban Latihan Cocokkan penyelesaian Anda dengan pembahasan berikut ini.
1. a. Perhatikan pola bilangan pada penjumlahan 119753 ++++ . Suku ke-1 = 3 = 2(1) + 1
Suku ke-2 = 5 = 2(2) + 1 Suku ke-3 = 7 = 2(3) + 1 Suku ke-4 = 9 = 2(4) + 1 Suku ke-5 = 11 = 2(5) + 1
Unit 1 1 - 20
Secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah 12 +k dengan 5,4,3,2,1=k . Jadi notasi sigma untuk penjumlahan
119753 ++++ adalah ∑=
+5
1
12k
k .
b. Pola bilangan pada penjumlahan 362516941 +++++ adalah sebagai berikut.
Suku ke-1 = 1 = 21 Suku ke-2 = 4 = 22 Suku ke-3 = 9 = 23 Suku ke-4 = 16 = 24 Suku ke-5 = 25 = 25 Suku ke-6 = 36 = 26 Jadi secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah 2k
dengan 6,5,4,3,2,1=k sehingga notasi sigma dari penjumlahan itu adalah
∑=
6
1
2
kk .
c. Coba Anda perhatikan pola bilangan pada penjumlahan
116
95
74
53
321 +++++ . Apakah Anda bisa melihat bahwa bilangan-
bilangan yang menjadi pembilang merupakan 6 bilangan asli pertama dan bilangan yang menjadi penyebut merupakan 6 bilangan (asli) ganjil pertama. Pola bilangan ganjil secara umum adalah 12 −k dengan
6,5,4,3,2,1=k . Jadi penjumlahan 116
95
74
53
321 +++++ dapat ditulis
dengan menggunakan notasi sigma yaitu ∑= −
6
1 12k kk .
2. Selanjutnya kita akan menentukan suku-suku penjumlahan dan kemudian menghitung hasil penjumlahannya.
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
69 1916131074
16.315.314.313.312.311.3136
1
=+++++=
+++++++++++=+∑=i
i
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 21
b.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )55
19151173
5.414.413.412.411.41415
1
−=−+−+−+−+−=
−+−+−+−+−=−∑=k
k
c.
30
16842
22222 43214
1
=+++=
+++=∑=i
i
Pada notasi sigma, terdapat beberapa sifat yang sangat berguna dalam melakukan penghitungan atau manipulasi aljabar. Sifat-sifat tersebut sebagai berikut. Sifat 1.
nAAn
i=∑
=1 dengan A suatu konstanta
Contoh :
10
)2(5
2222225
5
1
==
++++=∑=
44 344 21sukui
Sifat 2.
∑∑==
=n
ii
n
ii uAAu
11
Contoh :
( )
∑
∑
=
=
=
+++=
+++=
4
1
4321
4321
4
1
2
2
22222
ii
ii
u
uuuu
uuuuu
Sifat 3.
( ) ∑∑∑===
±=±n
ii
n
ii
n
iii vuvu
111
Sifat 4.
∑∑∑=+==
=+n
ii
n
mii
m
ii uuu
111
Unit 1 1 - 22
Sifat 5.
∑∑∑+
=−
−
=+
=
==1
21
1
01
1
n
ii
n
ii
n
ii uuu
Anda dipersilahkan mencari contoh penggunaan sifat 3, 4, dan 5. Deret Jika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut disebut deret. Apakah Anda telah mendengar mengenai cerita tentang matematikawan yang bernama Carl Friederich Gauss? Ketika Gauss masih di sekolah dasar, dia diminta oleh gurunya untuk menjumlahkan 100 bilangan asli pertama. Gauss menggunakan teknik menghitung sederhana tetapi keefektifan cara menghitung yang dilakukan Gauss tidak diragukan lagi. Ia memisalkan S adalah jumlah 100 bilangan asli yang pertama seperti berikut ini.
100...321 ++++=S 1...9899100 ++++=S 101...1011011012 ++++=S
10100)101(1002 ==S 5050=S
Teknik menghitung Gauss ini, selanjutnya digunakan untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika berikut ini.
)(21
nn UanS += atau ])1(2[21 bnanSn −+=
Salah satu sifat penting dari nS adalah nnn uSS =− −1 .
Latihan 4 Anda telah mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika, maka sekarang selesaikan soal berikut.
1. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada deret aritmetika ...2122
211 +++
2. Jika pada suatu deret aritmetika, diketahui suku ke-5 sama dengan 40 dan suku ke-8 sama dengan 25, maka tentukan jumlah 12 suku pertama dari deret aritmetika tersebut.
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 23
Pedoman Jawaban Latihan Cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut.
1. Dari deret aritmetika ...2122
211 +++ diketahui suku pertama
211=a dan
beda 21
=b . Nilai suku pertama dan beda tersebut kita masukkan ke dalam
rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika, sehingga diperoleh:
( )
275
2155
2935
219
2325
21110
211.2)10(
21
])1(2[21
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−+= bnanSn
2. Diketahui 405 =u dan 258 =u sehingga dari sini diperoleh
404405
=+=
bau
257258
=+=
bau
Dari kedua persamaan di atas diperoleh
257404
=+=+
baba
5 153−=
=−bb
Jika diketahui 5−=b maka
60 4020 40)5(4
==−=−+
aa
a
Selanjutnya jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah
Unit 1 1 - 24
( )( )[ ][ ]
30 55606
51126012.21
=−=
−−+=nS
Jadi jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika yang dimaksud adalah 30.
Anda telah berlatih menyelesaikan soal berkaitan dengan deret aritmetika. Sekarang Anda akan mempelajari deret geometri. Secara umum, jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah
( )( )1
1−−
=rraS
n
n dengan 1>r atau ( )( )r
raSn
n −−
=11 dengan 1<r .
Seperti pada deret aritmetika, deret geometri berlaku juga nnn uSS =− −1 .
Latihan 5 Selanjutnya selesaikan soal berikut.
1. Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri ...421 +++ 2. Jika jumlah deret geometri 2542...222 32 =++++ n maka tentukan nilai n.
Pedoman Jawaban Latihan Apakah Anda mengalami kesulitan menyelesaikannya? Anda dapat mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.
1. Deret geometri ...421 +++ mempunyai rasio 1212
>==r maka untuk
menentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut menggunakan rumus ( )( )( ) 63
1164
1212.1
11
6
6 =−
=−−
=
−−
=
S
rraS
n
n
Jadi jumlah 6 suku pertama deret ...421 +++ adalah 63. 2. Deret geometri 2542...222 32 =++++ n mempunyai 2=a dan
122
22
>==r . Menentukan nilai n dari deret geometri tersebut sebagai
berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 25
( )( )( )
72128
21127
122
25412
122254
11
==
=+
−=
−−
=
−−
=
n
rraS
n
n
n
n
n
n
Jadi nilai n yang memenuhi deret geometri 2542...222 32 =++++ n adalah 7.
Unit 1 1 - 26
Rangkuman
Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan. Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan 1u , suku kedua
dilambangkan dengan 2u dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut.
nuuuu ,...,,, 321
Indeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan. Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga. Barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan) disebut barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu
( )bnaun 1−+= .
Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk
nuuuu ,...,,, 321 dengan ruu
n
n =−1
dimana r adalah konstanta
Rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah 11
−= nn ruu .
Jika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut disebut deret. Dalam penulisan deret akan lebih mudah menggunakan notasi sigma. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.
n
n
kk aaaaa ++++=∑
=
...3211
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah:
)(21
nn UanS += atau ])1(2[21 bnanSn −+=
Salah satu sifat penting dari nS adalah nnn uSS =− −1 .
Sedangkan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah: ( )( )1
1−−
=rraS
n
n dengan 1>r atau ( )( )r
raSn
n −−
=11 dengan 1<r .
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 27
Tes Formatif 2
Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi barisan dan deret dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar.
1. Suku ke-7 dari barisan L,212,3,
213,4 adalah .......
A. 0 C. 1
B. 21 D.
211
2. Rumus suku ke-n barisan K,14,9,4,1− adalah .......
A. 2n C. 5).1( −n B. 65 −n D. 4).1(1 −+− n
3. Barisan 10, 3, -4, -11, ... merupakan ....... A. barisan aritmetika C. deret aritmetika B. barisan geometri D. deret geometri
4. Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah ....... A. ( )bnaun 1−+=
C. ruu
n
n =−1
B. 11
−= nn ruu D. ])1(2[
21 bnanun −+=
5. Barisan L,911,
313,10,30 mempunyai .......
A. beda 20 C. rasio 20
B. beda 31 D. rasio
31
6. Deret 2+5+10+17+26 jika dinyatakan dengan notasi sigma adalah ....... A. ∑ +12n C. ∑
=
+n
kk
1
2 1
B. ∑=
+5
1
2 1k
k D. ∑ ++++ 26171052
7. .......3
1
2 =+∑=k
kk
A. 12 C. 20 B. 14 D. 28
Unit 1 1 - 28
8. Jumlah deret L++++ 11852 adalah....... A. 2n
C. 2
3 2 nn −
B. nn 22 + D.
23 2 nn +
9. Jumlah 6 suku pertama deret geometri dengan rumus suku 1
2130
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
n
nu adalah .......
A. 12165 C.
16945
B. 12660 D.
643780
10. Jika diketahui suku ketiga barisan aritmetika adalah 11 dan suku kesepuluh adalah 39 maka rumus suku ke-n barisan tersebut adalah .......
A. 13 +n C. 73 +n B. 14 −n D. 74 +n
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 29
Kunci Tes Formatif Kunci Tes formatif 1
1. C.
2. D. ( ) 695645
232
... yxxyxxyx −−−
−−
==
3. C. 9
3
3
9
36
9
3
3
2
3
55
.515 x
xxxxx===⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
−
−
−
−
4. C. ( ) ( ) 30
31
33
332
55
551
55.5
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−
−−
5. B. ( ) 322222224 53834234 ==×=×=× −−− 6. C.
7. B. 223
34
827
916
32 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
8. D. ( )( ) 153.581125 43 ==
9. A. 94
32
32.
32
32:
32
32:
32 224
4
2144
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
10. A. ( ) 6
13.2
1
3.2
3
3
1
4
3271
43
23
21
21
321
21
22 ===
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Kunci Tes Formatif 2
11. C. Barisan L,212,3,
213,4 merupakan barisan aritmetika dengan suku awal a
= 4 dan beda b = 21
− , sehingga suku ke-7 adalah
( ) .134211747 =−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+=u
12. B. Barisan K,14,9,4,1− merupakan barisan aritmetika dengan 1−=a dan
beda 5=b . Suku ke-n barisan tersebut adalah:
Unit 1 1 - 30
65 551
5)1(1 )1(
−=−+−=−+−=−+=
nnn
bnaun
13. A. Barisan tersebut mempunyai selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan), yaitu -7.
14. B.
15. D. Barisan tersebut merupakan barisan geometri dengan rasio 31 .
16. B.
17. C. 201262)33()22()11( 2223
1
2 =++=+++++=+∑=k
kk .
18. D. Deret tersebut merupakan deret aritmetika dengan suku awal a = 2 dan beda b = 3, sehingga jumlah suku ke-n adalah
23]13[
21]334[
21
]3).1(2.2[21])1(2[
21
2 nnnnnn
nnbnanSn
+=+=−+=
−+=−+=
19. C. 1
2130
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
n
nu diketahui 301 =u dan 021<=r maka jumlah 6 suku
pertama dari deret tersebut adalah
16945
646360
21
641130
211
21130
6
6 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=S
20. B. Diketahui 1123 =+= bau dan 39910 =+= bau . Dari kedua persamaan
tersebut diperoleh suku pertama 3=a dan beda 4=b sehingga rumus umum suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah
144)1(3 −=−+= nnun .
Pemecahan Masalah Matematika 1 - 31
Daftar Pustaka Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta : Erlangga ________.2004. Aritmetika. [Online}. Tersedia di:
http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/aritmetika.pdf [24 Februari 2007]
Unit 1 1 - 32
Glosarium Akar bilangan : Kebalikan dari perpangkatan Barisan aritmetika : Barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap
(konstan) Barisan geometri : Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-
suku yang berurutan Bilangan pokok : Bilangan yang dipangkatkan dalam suatu perpangkatan Deret : Penjumlahan berurut dari suku-suku barisan Eksponen : Bilangan pangkat Notasi sigma : Sebuah notasi yang menyatakan penjumlahan. Panjang barisan : Bilangan yang menyatakan banyak suku barisan Suku barisan : Bilangan yang terdapat dalam suatu barisan