Kongruencje Oraz Przyklady Ich Zastosowan

Strona gwna

Strona tytuowa

Kongruencjeoraz przykady ich zastosowaAndrzej Sadek, Instytut Matematyki Ul [email protected] Spotkanie w LO im. Powstacw l w Bieruniu Starym

Spis treci

Strona 1 z 25

Powrt

27 padziernika 2005

Full Screen

Zamknij

Koniec

Spis treciStrona gwna

1 Wstp 2 Kongruencje 3 Cechy podzielnoci - zadanie 1 4 Tw. chiskie o resztach - zadanie 2 5 Funkcja Eulera - zadanie 3

3 4 8 12 16 19 21 24

Strona tytuowa

Spis treci

Strona 2 z 25

6 Dwa zadania z Olimpiady MatematycznejPowrt

7 Zadania domoweFull Screen

8 LiteraturaZamknij Koniec

1.Strona gwna Strona tytuowa

Wstp

Poznamy nowe fakty matematyczne, ktre pozwol nam w atwy sposb rozwiza ponisze zadania. Zadanie 1. W szkole uczniowie poznaj cech podzielnoci przez 3 oraz przez 9. Znajd cech podzielnoci przez inne liczby jak np. 7, 11, 13. Zadanie 2. Liczba kostek w bardzo duej czekoladzie rwna jest x. Jeli podzieli czekolad na 3 czci, to zostanie 1 kostka. Przy podziale na 5 czci zostan 3 kostki, a w przypadku podziau na 7 czci zostan 2 kostki. Ile kostek ma czekolada? Zadanie 3. Znajd trzy ostatnie cyfry liczby 314404 .

Spis treci

Strona 3 z 25

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec


Kongruencje

Denicja Niech n bdzie liczb naturaln oraz niech a oraz b bd liczbami cakowitymi. Mwimy, e a przystaje do b modulo n, jeli n dzieli a b. a b (mod n) n|(a b) istnieje l. cak.k, e a b = k n

Spis treci

Strona 4 z 25

Uwaga Dwie liczby cakowite przystaj do siebie modulo n wtedy i tylko wtedy, gdy daj t sam reszt z dzielenia przez n. Ktre z poniszych kongruencji s prawdziwe? 10 1 (mod 9), 5 31 (mod 7), 1 113 (mod 6), 26 44 (mod 10), 12 13 (mod 5), 23 71 (mod 11)

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec

Wasnoci kongruencjiStrona gwna

1. Przystawanie modulo n jest relacj rwnowanociow, tzn. a a (mod n), a b (mod n) b a (mod n), a b (mod n), b c (mod n) a c (mod n).

Strona tytuowa

Spis treci

Przykadowo udowodnimy ostatni z nich (wasno przechodnioci).Strona 5 z 25

Jeli a b (modn), b c (mod n), to a b = k n,Powrt

b c = l n.

Full Screen

Wtedy a c = (a b) + (b c) = k n + l n = (k + l) n, a to oznacza, e a c (mod n). Udowodnij dwie pierwsze wasnoci!

Zamknij

Koniec

Strona gwna

2. Kongruencje mona stronami dodawa, odejmowa i mnoy, tzn. a b (mod n), c d (mod n) a+c b+d (mod n), ac bd (mod n), ac bd (mod n)

Strona tytuowa

Spis treci

Sprbujesz to udowodni?

Strona 6 z 25

W szczeglnoci, jeli a b (mod n), to dla dowolnych liczb cakowitych a0 , ..., an mamy an an + ... + a1 a + a0 an bn + ... + a1 b + a0 (mod n), tzn. f (a) f (b) (mod n), gdzie f (X) = an X n + ... + a1 X + a0

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec

Rozwi nastpujce kongruencje:Strona gwna

3X + 2 1 (mod 5), 25X 12 (mod 7), 3X 1 (mod 6) 37X 23 (mod 73).

Strona tytuowa

Spis treci

Strona 7 z 25

Powrt

Uwaga Mona pokaza, e kongruencja aX b (mod n) ma rozwizanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, n)|b.

Full Screen

Zamknij

Koniec


Cechy podzielnoci - zadanie 1

Liczb naturaln N w systemie dziesitkowym mona zapisa nastpujco: N = (c1 c2 ...cn )10 = c1 10n1 + c2 10n2 + ... + cn1 101 + cn . Jeli f (X) = c1 X n1 + c2 X n2 + ... + cn1 X 1 + cn , to N = f (10) 10 1 (mod 3)

Spis treci

Strona 8 z 25

N = f (10) f (1) = c1 + c2 + ... + cn1 + cn (mod 3)Powrt

tzn. 3 dzieli liczb N wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli sum jej cyfr.Full Screen Zamknij

Czy wiesz jak udowodni cech podzielnoci przez 9 oraz przez 11?

Koniec

10 1 (mod 11) Strona gwna Strona tytuowa

N = f (10) f (1) = (1)n1 c1 + (1)n2 c2 + ... cn1 + cn (mod 11) tzn. 11 dzieli liczb N wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli naprzemienn sum jej cyfr. Przykad Aby sprawdzi podzielno liczby 12345678906 przez 11 obliczamy sum naprzemienn cyfr 6 0 + 9 8 + 7 6 + 5 4 + 3 2 + 1 = 11, ktra jest podzielna przez 11. Zatem liczba 12345678906 jest podzielna przez 11.

Spis treci

Strona 9 z 25

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec

Strona gwna

Cechy podzielnoci przez inne liczby s bardziej skomplikowane. Przyjrzyjmy si cesze podzielnoci przez 7 oraz przez 13. Liczb naturaln N = (c1 c2 ...cn )10 = c1 10n1 + c2 10n2 + ... + cn1 101 + cn moemy zapisa w postaci N = ... + 10001 (cn5 cn4 cn3 )10 + (cn2 cn1 cn )10 .

Strona tytuowa

Spis treci

Strona 10 z 25

Zauwa, e jeliPowrt

g(X) = ... + X(cn5 cn4 cn3 )10 + (cn2 cn1 cn )10 ,Full Screen

toZamknij

N = g(1000).

Koniec

Strona gwna

Strona tytuowa

1000 1 (mod7, 13) (bo 1001 = 7 11 13) N = g(1000) g(1) (mod 7, 13) g(1) = ... + (1)1 (cn5 cn4 cn3 )10 + (cn2 cn1 cn )10

Spis treci

Strona 11 z 25

Std 7 (tak samo 13) dzieli liczb N wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli naprzemienn sum liczb powstaych z podziau liczby N na trjki. Przykad

Powrt

Full Screen

Zamknij

7 dzieli 23697678872, bo 23 + 697 678 + 872 = 868 = 7 124

Koniec


Tw. chiskie o resztach - zadanie 2

Spis treci

Zadanie 2 Liczba kostek w bardzo duej czekoladzie rwna jest x. Jeli podzieli czekolad na 3 czeci, to zostanie 1 kostka. Przy podziale na 5 czci zostan 3 kostki, a w przypadku podziau na 7 czci zostan 2 kostki. Ile kostek ma czekolada? Twierdzenie (chiskie o resztach) Jeli n1 , . . . , nk s parami wzgldnie pierwsze oraz r1 , . . . , rk s liczbami cakowitymi, to istnieje liczba cakowita x taka, e

Strona 12 z 25

x

Powrt

Full Screen

r1 (mod n1 ) x r2 (mod n2 ) ...... .................... x rk (mod nk ) Liczba x jest wyznaczona jednoznacznie modulo n1 . . . nk .

Zamknij

Koniec

Strona gwna

Strona tytuowa

Spis treci

Czy wiesz jak rozwiza zadanie 2?Strona 13 z 25

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec

Strona gwna

Strona tytuowa

Spis treci

Naley rozwiza ukad kongruencji

Strona 14 z 25

x 1 (mod 3) x 3 (mod 5) x 2 (mod 7)

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec

Strona gwna

x 1 (mod 3)

Strona tytuowa

x 3 (mod 5) x 2 (mod 7)

Spis treci

Strona 15 z 25

Powrt

Full Screen

Analizujemy pierwsz kongruencj. x 1 (mod 3) = x = 3t + 1 Wstawiamy tak obliczone x do drugiej kongruencji i wyliczamy t. 3t + 1 3 (mod 5) = 3t 2 (mod 5) = t 4 (mod 5) = t = 5u + 4 Zatem x = 3(5u + 4) + 1 = 15u + 13. Wstawiamy to do trzeciej kongruencji. 15u + 13 2 (mod 7) = u 1 2 (mod 7) = u 3 (mod 7) = u = 7s + 3 Ostatecznie x = 15(7s + 3) + 13 = 105s + 58. Odp. Liczba kostek czekolady rwna jest 58.

Zamknij

Koniec


Funkcja Eulera - zadanie 3

Zadanie 3 Znajd trzy ostatnie cyfry liczby 314404 . Do rozwizania potrzebowa bdziemy tzw. funkcji Eulera. Nazwa tej funkcji pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka L.Eulera, ktry y w latach 1707-1783.

Spis treci

Strona 16 z 25

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec

Funkcja EuleraStrona gwna

(n) := liczba elem. zbioru {k : 1

k

n 1, NWD(k, n) = 1}

Strona tytuowa

Spis treci

Wasnoci: (1) Jeli NWD(n, m) = 1, to (nm) = (n)(m). (2) Jeli p jest liczb pierwsz, to (pk ) = pk1 (p 1). W szczeglnoci (p) = p 1. Przykad (200) = (23 52 ) = (23 )(52 ) = 22 (2 1)51 (5 1) = 80.

Strona 17 z 25

Powrt

Twierdzenie Eulera Jeli NWD(a, n) = 1, to a(n) 1 (mod n). Wniosek (Mae Twierdzenie Fermata) Jeli p jest liczb pierwsz i p |a, to ap1 1 (mod p).

Full Screen

Zamknij

Koniec

Przykad 380 1 (mod 200).Strona gwna

Strona tytuowa

Zadanie 3 Znajd trzy ostatnie cyfry liczby 314404 . Rozwizanie. Naley znale reszt z dzielenia liczby 314404 przez 1000. Obliczmy (1000) = (23 53 ) = (23 )(53 ) = 400. Zatem 314404 = 340036+4 = (3400 )36 34 34 (mod 1000), bo 3400 1 (mod 1000) na podstawie twierdzenia Eulera. Poniewa 34 = 81, wic ostatnie trzy cyfry liczby 314404 to 081.

Spis treci

Strona 18 z 25

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec


Dwa zadania z Olimpiady Matematycznej

Spis treci

Rozwimy teraz dwa zadania, ktre pojawiy si kiedy na Olimpiadzie Matematycznej. Zadanie 1. Wyka, e jeeli m n (mod 4), to liczba 53m 33n jest podzielna przez 10.

Strona 19 z 25

Powrt

Rozwizanie. Zauwa najpierw, e 53n 33m 3n 3m (mod 10). Jeli n = 4k + m, to

Full Screen

3n 3m = 34k+m 3m = 3m ((34 )k 1) = 3m ((81)k 1) 3m (11) (mod 10).Zamknij Koniec

Zadanie 2.Strona gwna

Strona tytuowa

Znajd wszystkie takie liczby naturalne n, aby liczba 1! + 2! + ... + n! bya kwadratem pewnej liczby naturalnej. Rozwizanie. 1! = 1 = 12 , 1! + 2! = 3, 1! + 2! + 3! = 9 = 32 , 1! + 2! + 3! + 4! = 33 Jeli n 5, to

Spis treci

Strona 20 z 25

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ... + n! 1! + 2! + 3! + 4! 3 (mod 5),podzielne przez 5

Powrt

Full Screen

a kwadraty liczb naturalych przystaj modulo 5 jedynie do 0, 1 lub 4. Odp. Jedynie dla n = 1 oraz n = 3 liczba 1! + 2! + ... + n! jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.

Zamknij

Koniec


Zadania domowe 3X + 31 15 (mod 47) 3X 8 (mod 13) 14X 22 (mod 36)

1. Rozwi kongruencje

Spis treci

2. Znajd i uzasadnij cech podzielnoci przez 101. Wsk. 100 1 (mod 101).Strona 21 z 25

Powrt

3. Wykorzystujc kongruencj 1000 1 (mod 27, 37) wyprowad cechy podzielnoci przez 27 oraz 37. 4. Wykorzystujc kongruencj 100 2 (mod 51) wyprowad cech podzielnoci przez 51. 5. W sadzie zebrano jabka, ktrych nie byo wicej ni 1000. Gdyby podzieli jabka rwno do 7 koszy, to zostanie 1 jabko.

Full Screen

Zamknij

Koniec

Strona gwna

Gdyby podzieli jabka rwno do 13 koszy, to zostanie 6 jabek. Mona jednak podzieli jabka rwno na 11 czci. Ile zebrano e jabek? 6. Znajd ostatnie dwie cyfry nastpujcych liczb 76042 , 289289 , 79 . Wsk. Oblicz (100). 7. Wyznacz reszty z dzielenia: (a) 15231 przez 14 (b) 380 + 780 przez 119

Strona tytuowa

Spis treci

Strona 22 z 25

(c) 208208 przez 23 8. Dopisa z prawej strony liczby 523 takie trzy cyfry, aby otrzymana liczba szeciocyfrowa bya podzielna przez 7, 8 i 9. 9. Wykaza, e setna potga dowolnej liczby cakowitej przy dzieleniu przez 125 daje reszt 0 lub 1.

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec

Strona gwna

10. Znajd reszt z dzielenia liczby cakowitej a przez 73 wiedzc, e a100 2 (mod 73) oraz a101 69 (mod 73). 11. Wykaza, e iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z ktrych rodkowa jest szecianem liczby naturalnej, jest podzielny przez 504 (zadanie z Olimpiady Matematycznej).

Strona tytuowa

Spis treci

Strona 23 z 25

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec


Literatura

1. N.Koblitz, Wykad z teorii liczb i kryptograi, WNT, Warszawa 1995. 2. P.Ribenboim, Maa ksiga wielkich liczb pierwszych, WNT, Warszawa 1997. 3. W.Sierpiski, Wstp do teorii liczb, Biblioteczka Matematyczna 25, PZWS, Warszawa 1965.

Spis treci

Strona 24 z 25

4. L.A.Steen (redaktor), Matematyka Wspczesna, Dwanacie esejw, WNT, Warszawa 1983.

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec

Strona gwna

Strona tytuowa

Spis treci

I to ju koniec!

Strona 25 z 25

Dzikuj za uwag

Powrt

Full Screen

Zamknij

Koniec

Kongruencje Oraz Przyklady Ich Zastosowan

Documents

Transcript of Kongruencje Oraz Przyklady Ich Zastosowan