Kompleksna analiza - nasport.pmf.ni.ac.rsnasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2223/KA.pdf · Kompleksna...

Kompleksna analiza

Dragan S. Dordevic

March 21, 2020

Sadrzaj

6 Elementarne osobine kompleksnih funkcija 16.1 Skup C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

6.1.1 Algebarska svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2 Geometrijska interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1.3 Rastojanje u C i modul kompleksnog broja . . . . . . . 36.1.4 Trigonometrijski zapis kompleksnog broja . . . . . . . 46.1.5 Topoloska svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.1.6 Redovi u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.2 Prosirena kompleksna ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.3 Kompleksne funkcije realne promenljive . . . . . . . . . . . . . 13

6.3.1 Granicna vrednost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 136.3.2 Neprekidnost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3.3 Diferencijabilnost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3.4 Rimanov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.3.5 Putanje u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3.6 Oblasti u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.4 Kompleksne funkcije kompleksnepromenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.4.1 Granicna vrednost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 226.4.2 Neprekidnost i ravnomerna neprekidnost

funkcija na skupu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4.3 Nizovi i redovi funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.4.4 Stepeni redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.5 Elementarne kompleksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 276.5.1 Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.5.2 Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.5.3 Hiperbolicke funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

4 SADRZAJ

6.5.4 Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.5.5 Koren kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7 Topoloski i metricki prostori 31

7.1 Topoloski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.2 Metricki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.3 Konvergencije nizova neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . 38

8 Analiticke funkcije 43

8.1 Diferencijabilne (holomorfne) funkcije . . . . . . . . . . . . . . 43

8.1.1 Izvod funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.1.2 Kosi–Rimanovi uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.1.3 Neprekidna diferencijabilnost . . . . . . . . . . . . . . 49

8.1.4 Kosi–Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama . . . . 50

8.1.5 Analiticke (regularne) funkcije . . . . . . . . . . . . . . 52

8.2 Integracija po putanji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.2.1 Definicija i osobine integrala . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.2.2 Indeks zatvorene putanje u odnosu na tacku . . . . . . 62

8.3 Teoreme Kosija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.3.1 Lokalna verzija Kosijeve teoreme . . . . . . . . . . . . 64

8.3.2 Kosi-Gursaova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.3.3 Posledice prethodnih teorema . . . . . . . . . . . . . . 71

8.4 Integralna formula Kosija i posledice . . . . . . . . . . . . . . 73

8.4.1 Integralna formula Kosija . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.4.2 Svojstva analitickih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 74

9 Meromorfne funkcije 83

9.1 Loranov red i racun ostatka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.1.1 Izolovani singulariteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.1.2 Tipovi singulariteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.1.3 Red pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.1.4 Slucaj a =∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.1.5 Ostaci (rezidumi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.1.6 Izracunavanje ostatka funkcije u polu . . . . . . . . . . 92

9.2 Princip argumenta i princip maksimuma modula . . . . . . . . 98

9.2.1 Red nule i red pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.2.2 Geometrijska interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . 100

SADRZAJ 5

10 Prostori funkcija 10510.1 Prostori neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.2 Prostori analitickih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.3 Prostor meromorfnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11 Harmonijske funkcije 12511.1 Osobine harmonijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.2 Princip maksimuma i osobina srednje

vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12911.3 Puasonova integralna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.4 Osobina srednje vrednosti na malim

kruznicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13711.5 Harnakov princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

12 Analiticka produzenja 14312.1 Analiticka produzenja lanacima oblasti . . . . . . . . . . . . . 14312.2 Analiticka produzenja stepenim redovima . . . . . . . . . . . . 14512.3 Analiticka produzenja duz krivih . . . . . . . . . . . . . . . . 14712.4 Analiticka produzenja integralima . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.5 Izdvajanje regularnih grana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

13 Aproksimacija racionalnim funkcijama 15313.1 Rungeova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15313.2 Mitag-Leflerova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Literatura 161

6 SADRZAJ

Glava 1

Elementarne osobinekompleksnih funkcija

1.1 Skup C

1.1.1 Algebarska svojstva

Skup svih kompleksnih brojeva oznacen je sa C. Tada je C = {z = x + iy :x, y ∈ R}, pri cemu je i imaginarna jedinica, odnosno i2 = −1. Ako jez = x+iy ∈ C, onda je x = Re z realni deo kompleksnog broja z, a y = Im z jeimaginarni deo broja z. U skupu C operacije sabiranja i mnozenja definisanesu na sledeci nacin. Ako je z = x+ iy, w = u+ iv, pri cemu je x, y, u, v ∈ R,onda je

z + w = (x+ iy) + (u+ iv) = (x+ u) + i(y + v),

z · w = (x+ iy) · (u+ iv) = (xu− yv) + i(xv + yu).

Teorema 1.1.1. Struktura (C,+, ·) je polje.

Dokaz. Dokaz je jednostavan. ”Nula“ pomenutog polja je broj 0 = 0 + i ·0, a”jedinica“ je 1 = 1+ i ·0. Ako je z = x+ iy, onda je inverzni elemenat od z uodnosu na sabiranje jeste −z = −x− iy. U slucaju z = x+ iy 6= 0, inverzni

elemenat od z u odnosu na mnozenje jeste z−1 =x− iyx2 + y2

=x

x2 + y2−

y

x2 + y2i.

Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzuje se konjugovan brojz = x− iy. Nije tesko proveriti da je Re z = 1

2(z+ z) i Im z = 1

2i(z− z). Vazi

1

2 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA

sledeci rezultat, koji ostavljamo citaocu za samostalnu proveru.

Teorema 1.1.2. Konjugovanje kompleksnih brojeva ima svojstva:

z ± w = z ± w, zw = z · w,( zw

)=z

w(w 6= 0),

za svako z, w ∈ C.

1.1.2 Geometrijska interpretacija

Slika 1.

Svaki kompleksan broj z = x+ iy je jedinstveno odreden svojim realnimi imaginarnim delom. Prema tome, kompleksan broj z jeste ureden par,odnosno z = (x, y). Skup C prikazan je kao ravan sa Dekartovim1 (pravo-uglim) koordinatnim sistemom, pri cemu horizontalna osa jeste realna osa, avertikalna osa jeste imaginarna osa. Kompleksna ravan se naziva i Gausova2

ravan (videti Sliku 1).Svaka tacka z identifikovana je sa geometrijskim vektorom ciji se pocetak

poklapa sa koordinatnim pocetkom, a kraj vektora je tacka z. Ovaj vektor senaziva radijus vektor kompleksnog broja z. Sabiranje kompleksnih brojevaekvivalentno je sabiranju odgovarajucih radijus vektora u ravni. Predstavlja-nje skupa kompleksnih brojeva C jednom ravni ekvivalentno je predstavljanjuskupa R2 istom ravni.

1Rene Descartes - Renatus Cartesius - (1596-1650), francuski matematicar i filozof2Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nemacki matematicar

1.1. SKUP C 3

Ono sto sustinski odvaja polje C od vektorskog prostora R2 jeste mnozenjekompleksnih brojeva.

Primetimo da su kompleksni brojevi z i z simetricni u odnosu na realnuosu.

1.1.3 Rastojanje u C i modul kompleksnog broja

Rastojanje, ili metrika, u skupu C, definisana je na isti nacin kao Euklidovo3

rastojanje u R2. Ako je z = x + iy, w = u + iv ∈ C, onda je rastojanjeizmedu z i w jednako d(z, w) =

√(x− u)2 + (y − v)2 (Slika 2). Specijalno,

rastojanje od z do koordinatnog pocetka naziva se modul kompleksnog brojaz i oznacava sa |z|. Modul kompleksnog broja odgovara intenzitetu odgo-varajuceg vektora u R2, odnosno |z| =

√x2 + y2, te je |z| intenzitet radijus

vektora kompleksnog broja z. Takode vazi d(z, w) = |z − w|.

Slika 2.

Nije tesko pokazati sledece tvrdenje.

Teorema 1.1.3. Funkcija z 7→ |z| na skupu C ima sledeca svojstva:

|Re z| ≤ |z|, | Im z| ≤ |z|, |z + w| ≤ |z|+ |w|,∣∣∣ |z| − |w| ∣∣∣ ≤ |z − w|,

|0| = 0,(|z| = 0 ⇐⇒ z = 0

), |zw| = |z||w|,

∣∣∣ zw

∣∣∣ =|z||w|

(w 6= 0),

|z| = |z|, |z|2 = zz.

Dokaz. Ako je z = x + iy, tada je |z| =√x2 + y2 ≥ |x|, a slicno i |z| ≥ |y|.

Time su dokazane prve dve nejednakosti. Ocigledno je |z| = |z| i zz = |z|2.

3Euklid iz Aleksandrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grcki matematicar


Ako je w = u+ iv, tada je

|z + w|2 = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + zw

= |z|2 + |w|2 + 2 Re(zw) ≤ |z|2 + |w|2 + 2|z||w|= (|z|+ |w|)2.

Time je dokazano |z + w| ≤ |z|+ |w|.Sada je |z| = |(z−w)+w| ≤ |z−w|+ |w|, odakle sledi |z|− |w| ≤ |z−w|.

Analogno, |w| − |z| ≤ |w − z|, te je i∣∣∣|z| − |w|∣∣∣ ≤ |z − w|.

Ostala tvrdenja ostavljamo citaocu za samostalan rad.

1.1.4 Trigonometrijski zapis kompleksnog broja

Tacke kompleksne ravni (razlicite od koordinatnog pocetka) reprezentuju sekoriscenjem polarnih koordinata (Slika 3). Neka je r = |z|, a ϕ neka je ugaokoji radijus vektor broja z zaklapa sa pozitivnim delom realne ose, merenpocev od pozitivnog dela realne ose suprotno kretanju kazaljke na casovniku.Ugao ϕ jeste argument kompleksnog broja z i oznacen je sa arg z. U polarnimkoordinatama sada vazi

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = x+ iy = r(cosϕ+ i sinϕ).

Ovo je trigonometrijski zapis kompleksnog broja z.

Ako je t ∈ (−∞,+∞), onda podrazumevamo da je arctg t ∈(−π

2,π

2

).

Stoga, ako je x = r cosϕ, y = r sinϕ, i ako je Re(z) ≥ 0 (tacka z je uprvom ili cetvrtom kvadrantu), tada je

ϕ = arctgy

x.

Ako je Re(z) ≤ 0 (tacka z je u drugom ili trecem kvadrantu), tada je

ϕ = arctgy

x+ π.

U svakom slucaju vazi

r =√x2 + y2, cosϕ =

x√x2 + y2

, sinϕ =y√

x2 + y2.

1.1. SKUP C 5

Trigonometrijska reprezentacija kompleksnog broja nije jedinstvena. Pro-mena argumenta ϕ za 2π ne dovodi do promene kompleksnog broja. Stoga,precizno govoreci, sve argumente kompleksnog broja z mozemo opisati kaoskup

arg z = {ϕ0 + 2kπ : k = 0,±1,±2, . . . },pri cemu je ϕ0 jedan (bilo koji) konkretan argument broja z.

Neka jez = r(cosϕ+ i sinϕ) = R(cosψ + i sinψ).

Kako je | cosϕ+ i sinϕ| = | cosψ + i sinψ| = 1, sledi da je r = R. Preostajecosϕ+ i sinϕ = cosψ+ i sinψ, te je cosϕ = cosψ i sinϕ = sinψ (na osnovujedinstvenosti prikaza kompleksnog broja preko realnog i imaginarnog dela).Odmah sledi da se uglovi ϕ i ψ mogu razlikovati samo za 2kπ, pri cemu jek ∈ Z.

Od interesa je slucaj kada je argument broja z ugao izmedu 0 i 2π. Takavargument se naziva glavna vrednost argumenta kompleksnog broja z, u oznaciArg z. Alternativno, moze se posmatrati glavna vrednost argumenta izmedu−π i π.

Slika 3.

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je od naricite koristi ako seposmatra proizvod brojeva. Naime, ako je z = |z|(cosϕ + i sinϕ) i w =|w|(cosψ + i sinψ), tada je

zw = |z|(cosϕ+ i sinϕ)|w|(cosψ + i sinψ)

= |z||w|(

(cosϕ cosψ − sinϕ sinψ) + i(sinϕ cosψ + cosϕ sinψ))

= |z||w|(cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)).

Sledi da je |zw| = |z||w| (sto nam je poznato od ranije), kao i arg(zw) =arg(z)+arg(w). Poslednju jednakost treba shvatiti skupovno: svaki argument


broja zw jednak je zbiru nekog argumenta broja z i nekog argumenta brojaw; obrnuto, zbir nekog argumenta broja z i nekog argumenta broja w jesteneki argument broja zw.

Ako je n ∈ N i z = |z|(cosϕ + i sinϕ), tada na osnovu prethodnograzmatranja sledi zn = |z|n(cosnϕ+ i sinϕ). Specijalno,

(cosϕ+ i sinϕ)n = cosnϕ+ i sinnϕ,

i ova jednakost poznata je kao Muavrova4 formula.

1.1.5 Topoloska svojstva

Neka je (zn)n niz kompleksnih brojeva i a ∈ C. Niz (zn)n konvergira ka tackia (u oznaci lim

n→∞zn = a), ako i samo ako vazi lim

n→∞|zn − a| = 0, odnosno ako

i samo ako vazi:

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N) (n ≥ n0 =⇒ |zn − a| < ε).

Tada je a granicna vrednost niza (zn)n.Niz (zn)n je divergentan, ako nije konvergentan.

Teorema 1.1.4. Niz kompleksnih brojeva moze imati najvise jednu granicnuvrednost.

Ako je zn = xn + iyn i a = b + ic, tada je limn→∞

zn = a ako i samo ako je

limn→∞

xn = b i limn→∞

yn = c.

Dokaz. Jedinstvenost granicne vrednosti konvergentnog niza dokazuje seuobicajeno.

Na osnovu |xn−b|, |yn−c| ≤ |zn−a| =√|xn − b|+ |yn − c| sledi preostali

deo teoreme.Sledeci rezultat ostavljen je citaocu za samostalnu proveru.

Teorema 1.1.5. Neka su (zn)n i (wn)n nizovi u C, i neka je λ ∈ C. Ako jelimn→∞

zn = z i limn→∞

wn = w, tada je:

limn→∞

λzn = λz, limn→∞

(zn ± wn) = z ± w, limn→∞

znwn = zw.

Ako je pri tome w 6= 0, tada je limn→∞

znwn

= zw

.

4Abraham de Moivre (francuski matematicar), 1667-1754

1.1. SKUP C 7

Otvoren disk, zatvoren disk i kruznica sa centrom u a ∈ C poluprecnikar > 0, jesu, redom sledeci skupovi:

D(a; r) = {z : |z − a| < r}, D[a; r] = {z : |z − a| ≤ r},T (a; r) = {z : |z − a| = r}.

Specijalno,D = D(0; 1), T = T (0; 1).

Vazi sledeci rezultat.

Teorema 1.1.6. Neka je (zn)n niz u C i neka je a ∈ C. Tada su sledecatvrdenja ekvivalentna:

(1) limn→∞

zn = a;

(2) Za svako ε > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ∈ N sa svojstvomn ≥ n0, vazi zn ∈ D(a; ε).

Skup V ⊂ C je otvoren u C, ako za svako a ∈ V postoji r > 0 tako da jeD(a; r) ⊂ V .

Skup F ⊂ C je zatvoren u C, ako je skup F c = C \ F otvoren u C.Jednostavno sledi da su ∅ i C jedini skupovi koji su istovremeno otvoreni

i zatvoreni u C.

Teorema 1.1.7. Ako je V otvoren skup u C, onda je V najvise prebrojivaunija otvorenih diskova.

Dokaz. Neka je VQ = {a = p + iq ∈ V : p, q ∈ Q}. VQ je skup tacaka skupaV sa racionalnim koordinatama, i skup VQ je najvise prebrojiv. Neka je Votvoren i neka je a = p+ iq ∈ VQ. Postoji r > 0 tako da je D(a; r) ⊂ V . Sledida je skup Ma = {r > 0 : D(a; r) ⊂ V } neprazan. Neka je Ra = supMa.

Pretpostavimo da je z ∈ D(a;Ra). Tada postoji r sa svojstvom |z −a| < r < Ra. Dakle, z ∈ D(a; r) ⊂ V . Na taj nacin je dokazano da jeD(a;Ra) ⊂ V .

Pretpostavimo da je D[a;Ra] ⊂ V . Tada je ε = d(D[a;Ra], Vc) > 0.

Sledi da je D(a;Ra + ε2) ⊂ V , sto nije moguce prema izboru broja R. Prema

tome, D[a;Ra] nije sadrzan u V .Dokazali smo da je D(a;Ra) najveci moguci disk sa centrom u a koji je

sadrzan u V . Ovakve diskove nazivamo maksimalnim diskovima sa racional-nim centrima, i ovih diskova ima prebrojivo mnogo.


Sledi V ⊃⋃a∈VQ

D(a;Ra).

Neka je w ∈ V . Tada je δ = d(w, V c) > 0, te postoji b ∈ VQ tako da je|w − b| < δ

2. Tada je w ∈ D(b;Rb).

Time je dokazano V =⋃a∈VQ

D(a;Ra).

U prethodnoj teoremi diskovi nisu obavezno uzajamno disjunktni (za ra-zliku od odgovarajuceg rezultata za otvorene podskupove realne prave R).

Primer 1.1.1. Neka je Q otvoreni kvadrat sa temenima u tackama 0, 1, 1 +i, i. Drugim recima, duzi koje ogranicavaju ovaj kvadrat – ne pripadajuskupu Q. Pretpostavimo da je Q =

⋃n∈N

Dn, pri cemu su Dn uzajamno

disjunktni otvoreni diskovi. Neka je d dijagonala skupa Q, kojoj ne pripadajukrajnje tacke. Tada je d otvoren skup na pravoj. Medutim, tada vazi d =⋃n∈N

(d ∩ Dn), pri cemu su d ∩ Dn uzajamno disjunktni otvoreni intervali na

pravoj. Poslednja konstatacija nije moguca, te sledi da diskovi Dn ne mogubiti uzajamno disjunktni.

Tacka a je tacka nagomilavanja skupa E ⊂ C, ako svaki krug sa centromu a sadrzi neku tacku skupa E razlicitu od a. Ekvivalentno, a je tackanagomilavanja skupa E, ako i samo ako postoji niz razlicitih tacaka (zn)nskupa E, tako da je lim

n→∞zn = a.

Svaka tacka skupa E, koja nije njegova tacka nagomilavanja, jeste izolo-vana tacka skupa E.

Neka je a ∈ C i 0 ≤ r < R. Tada je prsten sa centrom u tacki a,unutrasnjeg poluprecnika r i spoljasnjeg poluprecnika R, definisan kao

P (a; r, R) = {z ∈ C : r < |z − a| < R}.

Specijalno, ako je r = 0, onda je

P (a; 0, R) = P (a;R) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < R}.

Prsten P (a;R) se naziva i probusena okolina tacke a u C.

Skup C je kompletan u odnosu na standardnu metriku. Drugim recima,vazi Kosijeva5 teorema za konvergenciju nizova:

5Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francuski matematicar

1.1. SKUP C 9

Teorema 1.1.8. Niz (zn)n u C je konvergentan, ako i samo ako:

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀m,n ∈ N)(m,n ≥ n0 =⇒ |zm − zn| < ε).

Kompletnost prostora C ekvivalentna je kompletnosti prostora R2, te jedokaz ove teoreme izostavljen.

1.1.6 Redovi u CNeka je (zn)n niz kompleksnih brojeva. Beskonacna suma

∞∑n=1

zn = z1 + z2 + · · ·+ zn + · · ·

naziva se brojni red u C.Svakom redu pridruzen je niz delimicnih suma Sn = z1 + · · · + zn. Red

∞∑n=1

zn je (obicno) konvergentan, ako je niz delimicnih suna (Sn)n konver-

gentan. U tom slucaju je granicna vrednost S = limn→∞

Sn suma reda∞∑n=1

zn,

odnosno S =∞∑n=1

zn.

Ako niz (Sn)n divergira, tada je red∞∑n=1

zn divergentan.

Primer 1.1.2. Neka je q ∈ C i posmatrajmo qeometrijski red∞∑n=0

qn =

1 + q + q2 + · · · . n-ta delimicna suma ovog reda je Sn = 1 + q + · · · +qn−1 = 1−qn

1−q . Konvergencija polaznog geometrijskog reda zavisi od postojanjagranicne vrednosti lim

n→∞qn.

Ako je |q| < 1, onda polazni geometrijski red konvergira i∞∑n=0

qn = 11−q .

Ako je q ≥ 1, onda limn→∞

|q|n = +∞, te red (Sn)n divergira, stoga i polazni

geometrijski red divergira.Ako je |q| = 1, neka je p = lim

n→∞qn. Mora biti |p| = 1. Tada je qp =

q limn→∞

qn = limn→∞

qn+1 = p. Sledi da je q = 1, te je i p = 1. Medutim, tada je

polazni geometrijski red sa opstim clanom 1, te je za svako n ∈ N ispunjenoSn = n. U ovom slucaju geometrijski red divergira.


Vazi Kosijeva teorema za konvergenciju redova:

Teorema 1.1.9. Red∞∑n=1

zn konvergira, ako i samo ako

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀m,n ∈ N)(m > m ≥ n0 =⇒ |zn+zn+1 + · · ·+zm| < ε).

Dokaz ove teoreme sprovodi se primenom Kosijeve teoreme o konvergen-ciji nizova na niz delimicnih suma (Sn)n polaznog reda.

Brojni red∞∑n=1

zn apsolutno konvergira, ako konvergira red∑|zn|.

Teorema 1.1.10. Ako red∞∑n=1

zn apsolutno konvergira, onda ovaj red obicno

konvergira.

Dokaz. Pretpsotavimo da je red∞∑n=1

zn apsolutno kovnergentan. Neka je ε > 0

i neka je m > n. Tada je

|zn + · · ·+ zm| ≤ |zm|+ · · ·+ |zn|.

Na osnovu Kosijevog kriterijuma primenjenog na red∞∑n=1

|zn|, sledi da postoji

n0 ∈ N tako da za m > n ≥ n0 vazi |zm|+· · ·+|zn| < ε. Na osnovu dokazanog,

sledi da je i |zm + · · ·+ zn| < ε. Primenimo Kosijev kriterijum na red∞∑n=1

zn.

Sledi da je red∞∑n=1

zn obicno konvergentan.

Obrnuto tvrdenje ne vazi: postoje redovi koji konvergiraju obicno, a di-vergiraju apsolutno. Na primer, red

∑ (−1)n

nkonvergira obicno (prema Lajb-

nicovom kriterijumu), ali divergira apsolutno (prema Kosijevom integralnomkriterijumu).

1.2 Prosirena kompleksna ravan

Kompleksnoj ravni pridruzena je jedna beskonacno daleka tacka, oznacenasa ∞. Skup C = C ∪ {∞} je prosirena kompleksna ravan.

Interesantno je definisati algebarske operacije u C, naravno u slucajukada je jedan od cinilaca ili faktora upravo jednak ∞. Sabiranje u skupu Cdefinisano je na sledeci nacin:

z +∞ =∞, ∞+∞ =∞,

1.2. PROSIRENA KOMPLEKSNA RAVAN 11

za svako z ∈ C. Za elemenat ∞ ne postoji inverzni elemenat u skupu C uodnosu na sabiranje, odnosno velicina ∞ −∞ nije odredena. Mnozenje uskupu C definisano je kao:

z · ∞ =∞ (z 6= 0), ∞ ·∞ =∞.

Vrednost 0 · ∞ nije odredena. Za elemenat ∞ ne postoji inverzni elemenatu odnosu na mnozenje u skupu C, odnosno ne postoji z ∈ C tako da jez · ∞ = 1. Sa druge strane, vazi 1

∞ = 0.

Slika 4.

Neka je S3 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x2

2 + x23 = 1} jedinicna sfera u

R3, neka je MN precnik te sfere i neka je C ravan koja je normalna na duzMN i prolazi kroz centar sfere S3 (Slika 4). Svaka prava p koja prolazi kroztacku N , preseca sferu S3 u nekoj tazki Z ako i samo ako p preseca ravanC u nekoj tacki z. Na taj nacin je uspostavljena bijekcija Z 7→ z izmeduskupova S3 \ {N} i C. Preslikavanje koje realizuje ovu bijekciju, oznacava sesa s, odnosno s(Z) = z. Ako prava p sadrzi tacku N i paralelna je ravni C,onda p ne sece ni sferu S3 u tacki razlicitoj of N . Prirodno je uzeti da vazis(N) = ∞. Preslikavanje s je stereografska projekcija sfere S3 na prosirenukompleksnu ravan, odnosno s : S3 → C.

Rastojanje izmedu tacaka z1, z2 ∈ C moze se razmatrati kao rastojanjeizmedu odgovarajucih tacaka Z1, Z2 ∈ S3:


Ako je z1, z2 ∈ C, tada postoje jedinstvene tacke Z1, Z2 ∈ S3, tako da jes(Z1) = z1, s(Z2) = z2. Neka je d3(z1, z2) = d(Z1, Z2), pri cemu je d(Z1, Z2)Euklidovo rastojanje u R3.

Rastojanje d3 u prostoru C ima zanimljive osobine.

Teorema 1.2.1. Ako je z, z1, z2 ∈ C, tada je:

d3(z1, z2) =2|z1 − z2|

[(1 + |z1|2)(1 + |z2|2)]1/2= d3

(1

z1

,1

z2

),

d3(z,∞) =2

(1 + |z|2)1/2= d3

(1

z, 0

).

Diskove u prostoru (C, d3) oznacavamo sa D3(a; r). Specijalno, od in-teresa su diskovi sa centrom u tacki ∞. Kako je D3(∞; ε) = {z ∈ C :d3(z,∞) < ε} za ε > 0, prirodno je uvesti i skup D(∞;R) = {z ∈ C : |z| >R} za R > 0.

Metricki prostor (C, d3) indukuje ocekivanu topologiju na C, sto proizilaziiz sledeceg rezultata.

Teorema 1.2.2. (1) Ako je a ∈ C i r > 0, onda postoji R > 0, tako da jeD3(a;R) ⊂ D(a; r).

(2) Ako je R > 0 i a ∈ C, onda postoji r > 0 tako da je D(a; r) ⊂D3(a;R).

(3) Ako je R > 0, onda postoji kompakt K u C tako da je C \ K ⊂D3(∞;R).

(4) Ako je K kompakt u C, tada postoji broj R > 0 tako da je D3(∞;R) ⊂C \K.

Posledice prethodnih tvrdenja slede.

Posledica 1.2.1. Neka je (zn)n niz u C, i neka je a ∈ C. Tada su sledecadva tvrdenja ekvivalentna:

(1) limn→∞

zn = a (odnosno limn→∞

|zn − a| = 0);

(2) limn→∞

d3(zn, a) = 0.

Posledica 1.2.2. Neka je (zn)n niz u C. Tada su sledeca tri tvrdenja ekvi-valentna:

(1) Za svako R > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ∈ N sva svojstvomn ≥ n0 vazi |zn| > R;

1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE 13

(2) limn→∞

d3(zn,∞) = 0.

(3) limn→∞

|zn| =∞.

Prethodni rezultati, izmedu ostalog, pokazuju sledece:1) Metricki prostori (C, d) i (C, d3) indukuju jednake topologije u kom-

pleksnoj ravni.2) Konvergencija niza tacaka u smislu metrike d u skupu C, ekvivalenta

je konvergenciji tog niza u smislu metrike d3.3) Niz tacaka u kompleksnoj ravni je Kosijev u odnosu na metriku d, ako

i samo ako je posmatrani niz Kosijev u smislu metrike d3.4) Metricki prostor (C, d) je kompletan, te je i (C, d3) kompletan metricki

prostor.

1.3 Kompleksne funkcije realne promenljive

Neka je M ⊂ R i f : M → C. Tada je f kompleksna funkcija realnepromenljive. Za svako x ∈M neka je u(x) = Re f(x) i v(x) = Im f(x). Tadasu u i v realne funkcije, definisane na M . Teorija kompleksnih funkcija realnepromenljive, jeste teorija vektorskih funkcija jedne realne promenljive.

1.3.1 Granicna vrednost funkcija

Neka je M ⊂ R i f : M → C neka je kompleksna funkcija na M . Neka je x0

tacka nagomilavanja skupa M . Broj A ∈ C je granicna vrednost funkcije fna skupu M kada x→ x0 (u oznaci A = lim

x→x0x∈M

f(x)), ako

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈M)(0 < |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− A| < ε).

Ako je x0 ∈ (a, b) ⊂ M , tada je umesto limx→x0x∈M

f(x) = A jednostavna oznaka

limx→x0

f(x) = A.

Sledeci rezultat je jednostavno dokazati istim metodama kao u slucajurealnih funkcija jedne realne promenljive. Alternativno, ovo tvrdenje sledina osnovu osobina realnih vektorskih funkcija.

Teorema 1.3.1. Neka je M ⊂ R, f, g : M → C, λ ∈ C, i x0 neka je tackanagomilavanja skupa M . Tada:


(1) Postoji limx→x0x∈M

f(x) = A, ako i samo ako za svaki niz (xn)n u skupu M

sa svojstvom limn→∞

xn = x0, vazi limn→∞

f(xn) = A;

(2) Ako postoji limx→x0x∈M

f(x), tada postoji i limx→x0x∈M

λf(x), i pri tome vazi

limx→x0x∈M

λf(x) = λ · limx→x0x∈M

f(x);

(3) Ako je f = u + iv, pri cemu je u = Re f i v = Im f , tada postojilimx→x0x∈M

f(x) ako i samo ako postoje limx→x0x∈M

u(x) i limx→x0x∈M

v(x), i pri tome vazi

limx→x0x∈M

f(x) = limx→x0x∈M

u(x) + i limx→x0x∈M

v(x);

(4) Ako postoje limx→x0x∈M

f(x) i limx→x0x∈M

g(x), tada postoji i limx→x0x∈M

(f(x)+g(x)), pri

cemu jelimx→x0x∈M

(f(x) + g(x)) = limx→x0x∈M

f(x) + limx→x0x∈M

g(x);


f(x) i limx→x0;x∈M

g(x), tada postoji i limx→x0x∈M

(f(x) · (x)),

pri cemu je

limx→x0x∈M

(f(x) · g(x)) = limx→x0x∈M

f(x) · limx→x0x∈M

g(x).


f(x) i limx→x0x∈M

g(x) 6= 0, tada postoji i

limx→x0x∈M

(f(x)g(x)

), pri cemu je

limx→x0x∈M

(f(x)

g(x)

)=

limx→x0x∈M

f(x)

limx→x0x∈M

g(x).

Ako je x0 tacka nagomilavanja skupa M , M ⊂ R, tada je limx→x0x∈M

f(x) =

∞ ako i samo ako je limx→x0x∈M|f(x)| = +∞. Moguce je prethodnu teoremu

formulisati i za funkcije sa vrednostima u C, imajuci u vidu ogranicenjanametnuta algebarskim operacijama u skupu C.


1.3.2 Neprekidnost funkcija

Neka je M ⊂ R, neka je f : M → C, i neka je x0 ∈ M . Funkcija f jeneprekidna u tacki x0 na skupu M , ako za svako ε > 0 postoji δ > 0, tako daza svako x ∈M vazi: ako je |x−x0| < δ, onda je |f(x)−f(x0)| < ε. Funkcijaf je neprekidna na skupu M , ako je f neprekidna u svakoj tacki skupa M .

Ako je x0 izolovana tacka skupa M , onda je funkcija f (koja je definisanana M) uvek neprekidna u tacki x0.

Ako je x0 tacka nagomilavanja skupa M , onda je funkcija f (koja jedefinisana na M) neprekidna u tacki x0 na skupu M ako i samo ako jelimx→x0x0∈M

f(x) = f(x0).

Formulisemo bez dokaza ocekivana tvrdenja.

Teorema 1.3.2. Neka je M ⊂ R, neka je x0 ∈ M , i neka je f = u + iv :M → C kompleksna funkcija, pri cemu su u, v realne funkcije. Funkcija fje neprekidna u tacki x0 na skupu M , ako i samo ako su obe funkcije u, vneprekidne u tacki x0 na skupu M .

Teorema 1.3.3. Neka je M ⊂ R, neka su f, g : M → C funkcije, neka jeλ ∈ C, i neka je x0 ∈ M . Ako su funkcije f, g neprekidne u tacki x0 naskupu M , tada su i funkcije λf , f + g, fg neprekidne u tacki x0 na skupu

M . Stavise, ako je pri tome i g(x0) 6= 0, tada jef

gneprekidna u tacki x0 na

skupu M .

1.3.3 Diferencijabilnost funkcija

Neka je f : (a, b)→ C funkcija, i neka je x0 ∈ (a, b). Prvi izvod funkcije f utacki x0 jeste sledeca granicna vrednost (ukoliko postoji):

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

.

Funkcija f je diferencijabilna u tacki x0, ako postoji f ′(x0).Navodimo najvaznije rezultate o izvodu funkcije. Dokazi su ostavljeni za

vezbu citaocu.

Teorema 1.3.4. Ako je funkcija f : (a, b) → C diferencijabilna u tackix0 ∈ (a, b), tada je funkcija f neprekidna u tacki x0 na (a, b).


Teorema 1.3.5. Neka je f = u + iv : (a, b) → C, pri cemu su u, v realnefunckije, i neka je x0 ∈ (a, b). Funkcija f je diferencijabilna u tacki x0, akoi samo ako su funkcije u, v diferencijabilne u tacki x0; u tom slucaju je:

f ′(x0) = u′(x0) + iv′(x0).

Teorema 1.3.6. Neka su date funkcije f, g : (a, b) → C i neka je λ ∈ C.Ako su funkcije f, g diferencijabilne u tacki x0, tada su i funkcije λf i f + gdiferencijabilne u x0, i tada vazi

(λf)′(x0) = λf ′(x0), (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).

Pretpostavimo da je funkcija f diferencijabilna u svakoj tacki intervala(a, b). Tada se svakom x ∈ (a, b) moze pridruciti broj f ′(x). Ova funkcija(pridruzivanje) se, prirodno, oznacava sa f ′.

Ako je funkcija f ′ diferencijabilna u tacki x0 ∈ (a, b), tada je (f ′)′(x0) =f ′′(x0) drugi izvod funkcije f u tacki x0. Ako postoji f ′′(x0) u svakoj tackix0 ∈ (a, b), tada je definisana funkcija f ′′ na (a, b).

Na ovaj nacin mogu postojati visi izvodi funkcije f na segmentu (a, b).

1.3.4 Rimanov integral

Neka je f : [a, b] → C funkcija definisana na segmentu [a, b]. Pretpostavimoda je a = x0 < x1 < · · · < xn = b, i neka je ξi ∈ [xi−1, xi] za svakoi = 1, . . . , n. Skup P = {x1, . . . , xn} jeste podela segmenta [a, b]. Rimanovasuma funkcije f na segmentu [a, b] definisana je kao

S(f ;P , ξ) =n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1).

Neka je dP = maxi|xi − xi−1| dijametar podele P .

Rimanov6 integral funkcije f na segmentu [a, b] je sledeca granicna vred-nost:

b∫a

f(x)dx = limdP→0

n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1),

pod pretpostavkom da ova granicna vrednost postoji i pri tome ne zavisi odpodele P , kao ni od izbora tacaka ξi ∈ [xi−1, xi].

6Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), nemacki matematicar


Drugim recima, kompleksan broj I =b∫a

f(x)dx je Rimanov integral funkcije

f na segmentu [a, b], ako za svako ε > 0 postoji δ > 0, tako da za svakupodelu P = {x0, . . . , xn} segmenta [a, b] sa osobinom dP < δ, i za svakoξk ∈ [xk−1, xk] vazi ∣∣∣∣∣I −

n∑k=1

f(ξk)(xk − xk−1)

∣∣∣∣∣ < ε.

Ako postoji Rimanov integralb∫a

f(x)dx, tada je funkcija f integrabilna

(u Rimanovom smislu) na segmentu [a, b].Vaze sledeca tvrdenja, analogna tvrdenjima za realne funkcije.

Teorema 1.3.7. Neka je f = u + iv : [a, b] → C kompleksna funkcija, pricemu su u, v realne funkcije. Tada vazi:

(1) Funkcija f je integrabilna na [a, b], ako i samo ako funkcije u, v jesuintegrabilne na [a, b]; tada je ispunjeno

b∫a

f(x)dx =

b∫a

u(x)dx+ i

b∫a

v(x)dx.

(2) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je i funkcija |f | integra-bilna na [a, b], i vazi ∣∣∣∣∣∣

b∫a

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ ≤b∫

a

|f(x)|dx.

Teorema 1.3.8. (1) Ako je funkcija f neprekidna na [a, b], tada je f inte-grabilna na [a, b].

(2) Ako je f ogranicena na [a, b], i pri tome f je neprekidna svuda osimu konacno mnogo tacaka segmenta [a, b], tada je f integrabilna na [a, b].

Ako je f definisana i ogranicena na [a, b], i pri tome f ima konacno mnogotacaka prekida na [a, b], tada je f deo po deo neprekidna funkcija.

Teorema 1.3.9. Neka su f, g : [a, b]→ C funkcije, a < c < b i λ ∈ C.(1) Funkcija f je integrabilna na [a, b], ako i samo ako je funckija f

integrabilna na oba segmentu [a, c] i [c, b]; u tom slucaju je


b∫a

f(x)dx =

c∫a

f(x)dx+

b∫c

f(x)dx;

(2) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je funkcija λf integrabilnana [a, b], i vazi

b∫a

λf(x)dx = λ

b∫a

f(x)dx.

(3) Ako su funkcije f, g integrabilne na [a, b], tada je funkcija f + g inte-grabilna na [a, b], i takode je

b∫a

(f(x) + g(x))dx =

b∫a

f(x)dx+

b∫a

g(x)dx.

Na kraju, formulisemo rezultat poznat pod imenom Njutn7-Lajbnicova8

formula za kompleksne funkcije realne promenljive.

Teorema 1.3.10. Ako je f ′ kompleksna neprekidna funkcija na [a, b], tadavazi formula

b∫a

f ′(x)dx = f(b)− f(a).

Dokaz prethodnog tvrdenja analogan je odgovarajucem dokazu za realnefunkcije.

Primer 1.3.1.2π∫0

(cos t + i sin t)dt = 0, iako funkcija t 7→ (cos t + i sin t)

nema nula u segmentu [0, 2π]. Ovaj primer pokazuje da ne vazi teorema osrednjoj vrednosti integrala kompleksne funkcije realne promenljive. Naime,ukoliko bi teorema o srednjoj vrednosti integrala vazila, onda bi postojalatacka ξ ∈ [0, 2π] tako da je

0 6= cos ξ + i sin ξ =1

2π

2π∫0

(cos t+ i sin t)dt = 0,

7Isaac Newton (1642-1727), engleski matematicar, fizicar i astronom8Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), nemacki matematicar


sto ocigledno nije moguce.

Napomena 1.3.1. Posmatramo uvek Rimanov integral dopustivih funkcija.Medutim, ovaj integral moze biti posmatran i kao Lebegov, posebno ukolikopostoji potreba za koriscenjem mocnog aparate teorije mere i integrala.

9

1.3.5 Putanje u CNeprekidno preslikavanje γ : [a, b]→ C jeste kriva u C. Tacka γ(a) je pocetak,a γ(b) je kraj krive γ. Kriva je orijentisana u smislu rasta parametra t,odnosno od γ(a) ka γ(b). Dve krive se mogu ”nastaviti“, ako se kraj jednekrive poklapa sa pocetkom druge krive.

Ako je γ : [a, b] → C kriva u C, onda je γ∗ = {γ(t) : t ∈ [a, b]} grafikkrive γ. Ogledno, γ∗ ⊂ C. Skup [a, b] je kompaktan u R, γ je neprekidnopreslikavanje, te je i γ∗ kompaktan skup u C.

Kriva γ : [a, b] → C je rektificijabilna, ako i samo ako je γ funkcijaogranicene varijacije na [a, b]. Drugim recima, γ je rektificijabilna, ako pos-toji konstanta M > 0, tako da za svaku podelu P : a = x0 < x1 < · · · <xn = b segmenta [a, b] vazi:

n∑k=1

|γ(xk)− γ(xk−1)| < M.

Pri tome je

`(γ) = supP

n∑k=1

|γ(xk)− γ(xk−1)|

duzina krive γ (ili, varijacija funkcije γ), pri cemu je supremum uzet po svimpodelama P segmenta [a, b].

Geomterijska interpretacija pojma duzine krive je jednostavna. Naime,

izrazn∑k=1

|γ(xk) − γ(xk−1)| predstavlja duzinu poligonalne linije ”upisane“ u

grafik krive γ, posmatrano u odnosu na podeone tacke x0, x1, . . . , xk. Supre-mum svih mogucih duzina ovih poligonalnih linija (ukoliko ovaj supremumpostoji kao konacan realan broj) jeste duzina krive γ.

9Euklid iz Aleksandrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grcki matematicar


Na osnovu primera realne analize, poznato je da postoje funkcije koje suneprekidne, ali ipak nisu ogranicene varijacije. Dakle, postoje krive koje nisurektificijabilne, odnosno nemaju duzinu. Napomenimo i da postoje funkcijekoje su ogranicene varijacije, ali nisu neprekidne.

U najvaznijim slucajevima, krive koje posmatramo u kompleksnoj analizi,imaju duzinu.

Kriva γ je deo po deo glatka, ako je γ ′ ogranicena i deo po deo neprekidnafunkcija. Deo po deo glatka kriva jeste putanja u C. Putanje u C imaju svojeduzine, sto pokazuje sledeci rezultat.

Teorema 1.3.11. Ako je γ putanja u C, tada je γ = x+ iy rektificijabilna i

`(γ) =

b∫a

√(x′(t))2 + (y′(t))2dt =

b∫a

|γ ′(t)|dt.

Dokaz. Neka je γ : [a, b]→ C deo po deo neprekidno diferencijabilna, i nekaje P : a = x0 < x1 < · · · < xn = b proizvoljna podela segmenta [a, b].Bez gubljenja opstosti (zasto?) pretpostavimo da su tacke prekida funkcijeγ ′ sadrzane medu tackma (xj)j podele P . Prema Lagranzovoj teoremi osrednjoj vrednosti, za svako j = 1, . . . , n postoji ξj ∈ (xj−1, xj), tako da jeγ(xj)− γ(xj−1) = γ ′(ξj). Stoga je

n∑k=1

|γ(xj)− γ(xj−1)| =n∑j=1

|γ ′(ξj)|(xj − xj−1).

Poslednja suma je upravo Rimanova suma funkcije |γ ′| na segmentu [a, b]. Ucilju dobijanja velicine `(γ) sa leve strane poslednje jednakosti, treba precina supremum po svim podelama P segmenta [a, b]. Dakle,

`(γ) = supP

n∑k=1

|γ ′(ξj)|(xj − xj−1).

Funkcija |γ ′| je nenegativna, ogranicena i deo po deo neprekidna. Stoga jeova funkcija Riman integrabilna na [a, b] i

b∫a

|γ ′(x)|dx = limdP→0

n∑k=1

|γ ′(ξj)|(xj − xj−1) = supP

n∑k=1

|γ ′(ξj)|(xj − xj−1).


Primecujemo da prva jednakost vazi na osnovu definicije integrala, a drugajednakost se lako proverava na osnovu |γ ′| ≥ 0.

Putanja γ je zatvorena, ako je γ(a) = γ(b), odnosno pocetak te putanjepoklapa se sa njenim krajem.

Tacka z ∈ C je tacka samopreseka krive γ : [a, b]→ C, ako postoje tacket1, t2 ∈ [a, b], sa svojstvima γ1 6= γ2 i z = γ(t1) = γ(t2). Izuzetno, ako sepocetna i krajnja tacka krive poklapaju, onda to nije tacka samopreseka.

Putanja γ je prosta, ako nema tacaka samopreseka, osim eventualnopocetne i krajnje tacke te putanje.

Prosta, zatvorena, deo po deo glatka kriva naziva se kontura.

1.3.6 Oblasti u CSkup A u C nije povezan, ako je A = U ∪V , pri cemu su U, V otvoreni i uza-jamno disjunktni skupovi u C. Neophodno je primetiti da su u ovom slucajuskupovi U i V istovremeno i otvoreni i zatvoreni u A. Dakle, A je povezan,ako A nije jednak uniji dva otvorena i uzajamno disjunktna podskupa od C.

Skup A u C je put-povezan, ako za svake dve tacke z, w ∈ A postojineprekidno preslikavanje f : [0, 1]→ A, tako da je f(0) = z i f(1) = w.

Teorema 1.3.12. Podskup A od C je povezan, ako i samo ako je A put-povezan. Analogno tvrdenje vazi za Rn, samim tim i za Cn.

Neka je C ⊂ A ⊂ C. Ako je C povezan skup, i pri tome ne postojipovezan skup D sa svojstvima C ⊂ D ⊂ A i C 6= D, onda je C povezanakompomenta skupa A.

Otvoren skup G je oblast, ako je G povezan skup u C.

Svaki otvoren skup V je najvise prebrojiva unija otvorenih diskova, svakiotvoren disk je povezan skup, te sledi zakljucak.

Teorema 1.3.13. Svaki otvoren skup V je najvise prebrojiva unija uzajamno

disjunktnih oblasti, odnosno V =∞⋃j=1

Gj, pri cemu je svako Gj oblast u C, i

Gj ∩Gk 6= ∅ za svako j 6= k.

Formulisemo bez dokaza Zordanovu10 teoremu o zatvorenim putanjama.

10Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922), francuski matematicar


Teorema 1.3.14. (Zordanova teorema o zatvorenoj putanji) Neka je γ :[a, b]→ C zatvorena putanja u C bez tacaka samopreseka. Tada

C \ γ∗ = G0γ ∪G∞γ ,

pri cemu je G0γ ogranicena oblast, a G∞γ neogranicena oblast u C.

Pri tome je∂G0

γ = ∂G∞γ = γ∗.

Prethodna teorema moze biti dokazana, izmedu ostalog, metodama al-gebarske topologije, primenom Brauerove teoreme o fiksnim tackama, kao imetodama nestandardne analize.

Ako je γ kontura u C, tada se moze primeniti prethodna Zordanova teo-rema. Oblast G0

γ je oblast ogranicena konturom γ. Kontura γ je orijentisanapozitivno u odnosu na oblast G0

γ (ili jednostavno, kontura je orijentisana poz-itivno), ako pri obilasku konture γ u smeru orijentacije oblast G0

γ ostaje saleve strane.

Geomtrijska definicija pozitivne orijentacije konture saglasna je sa stan-dardnom orijentacijom jedinicne kruznice sa centrom u koordinatnom pocetku,odnosno sa nacinom merenja ugla koji predstavlja argument kompleksnogbroja. Naime, kruznica γ(t) = eit, t ∈ [0, 2π], je pozitivno orijentisana uodnosu na disk D(0; 1).

1.4 Kompleksne funkcije kompleksne

promenljive

Kompleksne funkcije kompleksne promenljive predstavljaju glavnu temu is-trazivanja.

1.4.1 Granicna vrednost funkcije

Neka je G podskup od C i neka je f : G → C preslikavanje. Tada je fkompleksna funkcija kompleksne promenljive. Za svako z ∈ G neka je u(z) =Re f(z) i v(z) = Im f(z). Funkcije u, v : G → R realne funkcije kompleksnepromenljive z. Na osnovu cinjenice z = x + iy vazi u(z) = u(x, y) i v(z) =v(x, y), odnosno u i v jesu realne funkcije realnih promenljivih x i y. Prematome,

f(z) = u(x, y) + i · v(x, y), z = x+ iy ∈ G.

1.4. KOMPLEKSNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE 23

Neka je a tacka nagomilavanja skupa G i f : G→ C neka je kompleksnafunkcija. Kompleksan broj A je granicna vrednost funkcije f u tacki a naskupu G, ako vazi:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀z ∈ G) (0 < |z − a| < δ =⇒ |f(z)− A| < ε).

U tom slucaju je A = limz→a;z∈G

f(z). Ako je skup G = P (a; r) probusena

okolina tacke a, onda je broj A granicna vrednost funkcije f u tacki a, uoznaci A = lim

z→af(z).

Upravo uvedena definicija ekvivalentna je sledecoj karakterizaciji. Broj Aje granicna vrednost funkcije f u tacki a na skupu G, ako i samo akoza svakiniz (zn)n tacaka za koje je zn ∈ G, zn 6= a i lim

n→∞zn = a, vazi lim

n→∞f(zn) = A.

Na isti nacin kao u realnoj analizi moguce je dokazati sledeci rezultat.

Teorema 1.4.1. Pretpostavimo da je G ⊂ C, neka je a = α + iβ tackanagomilavanja skupa G, i neka je f = u+ iv : G→ C funkcija, pri cemu suu, v realne funkcije. Tada:

Postoji limz→a;z∈G

f(z), ako i samo ako postoje

lim(x,y)→(α,β);(x,y)∈G

u(x, y) i lim(x,y)→(α,β);(x,y)∈G

v(x, y).

U tom slucaju vazi

limz→a;z∈G

f(z) = lim(x,y)→(α,β);(x,y)∈G

u(x, y) + i lim(x,y)→(α,β);(x,y)∈G

v(x, y).

Neka je f definisana u skupu D(∞; r) = {z ∈ C : |z| > r} za neko r > 0.Tada je lim

z→∞f(z) = A, ako za svako ε > 0 postoji R > 0, tako da za svako

z ∈ C vazi implikacija

|z| > R =⇒ |f(z)− A| < ε.

Konacno, limz→a

f(z) =∞, ako i samo ako je limz→a|f(z)| = +∞. Primetimo

da je limz→a

f(z) =∞ ako i samo ako je limz→a

d3(f(z),∞) = 0.

Granicna vrednost funkcije kompleksne promenljive ima analogna svoj-stva kao i granicna vrednost realnih funkcija vise promenljivih.


1.4.2 Neprekidnost i ravnomerna neprekidnostfunkcija na skupu

Pretpostavimo da je kompleksna funkcija f definisana na skupu G ⊂ C ineka je a ∈ G. Funkcija f je neprekidna u tacki a na skupu G, ako vazi:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀z ∈ G) (|z − a| < δ =⇒ |f(z)− f(a)| < ε).

Formulisemo nekoliko rezultata o neprekidnosti funkcije.

Teorema 1.4.2. Neka je G ⊂ C, a ∈ G, i neka je f : G → C kompleksnafunkcija.

(1) Pretpostavimo da je a tacka nagomilavanja skupa G. Funkcija f jeneprekidna u tacki a na skupu G, ako i samo ako je f(a) = lim

z→a;z∈Gf(z).

(2)Ako je a izolovana tacka skupa G, onda je funkcija f neprekidna utacki a.

Funkcija f je (obicno) neprekidna na skupu G, ako je f neprekidna usvakoj tacki a ∈ G na skupu G.

Teorema 1.4.3. Neka je G ⊂ C, a = α + iβ ∈ g, i neka je f = u + iv :G → C. Funkcija f je neprekidna u tacki a na skupu G, ako i samo ako suobe funkcije u, v neprekidne u istoj tacki (α, β) na skupu G.

Funkcija f je ravnomerno neprekidna na skupu G, ako vazi:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀z1, z2 ∈ G) (|z1 − z2| < δ =⇒ |f(z1)− f(z2)| < ε).

U definiciji neprekidnosti funkcije u nekoj tacki a broj δ je izabran uzavisnosti od tacke a i unapred zadanog ε > 0. Sa druge strane, u definicijiravnomerne neprekidnosti na skupu, broj δ je izabran u zavisnosti od ε, anezavisno od izbora tacaka skupa G. Dakle, vazi sledeci rezultat.

Teorema 1.4.4. Ako je f ravnomerno neprekidna funkcija na nekom skupuG, onda je f neprekidna funkcija na G.

Iz obicne neprekidnosti funkcije na odredenom skupu sledi ravnomernaneprekidnost te funkcije, samo u odredenim specijalnim slucajevima.

1.4. KOMPLEKSNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE 25

Teorema 1.4.5. (Hajne11-Kantor12) Ako je G kompaktan podskup od C,i ako je f : G → C neprekidna funkcija na G, onda je f ravnomernoneprekidna na G.

Teorema 1.4.6. Ako je f(z) = u(x, y) + i · v(x, y), onda je ravnomer-na neprekidnost funkcije f na nekom skupu G ekvivalentna ravnomernojneprekidnosti funkcija u i v na skupu G.

Dokaz. Rezultat sledi na osnovu sledecih nejednakosti:

|Rew|, | Imw| ≤ |w| =√|Rew|2 + | Imw|2,

pri cemu je w = f(z), z ∈ G.

1.4.3 Nizovi i redovi funkcija

Neka je (fn)n niz funkcija definisan na skupu G, G ⊂ C. Ako je z ∈ Gkonkretna tacka skupa G, tada je (fn(z))n brojni niz u C. Niz funkcija (fn)n(obicno, tackasto) konvergira ka funkciji f na skupu G, ako za svako z ∈ Gvazi lim

n→∞fn(z) = f(z).

Niz (fn)n ravnomerno konvergira na skupu G ka funkciji f , ako:

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀z ∈ G)(∀n ∈ N) (n ≥ n0 =⇒ |fn(z)− f(z)| < ε).

Iz ravnomerne konvergencije niza funkcija na nekom skupu G sledi obicnakonvergencija tog niza ka istoj granicnoj funkciji na skupu G. Obrnutotvrdenje ne vazi u opstem slucaju, kao sto je to pokazivano u realnoj analizi.

Neka je (gn)n niz funkcija definisanih na skupu G ⊂ C. Red∑gn je

obicno konvergentan na skupu G, ako niz delimicnih suma Sn = g1 + · · ·+ gnobicno konvergira na skupu G. Analogno, red

∑gn je ravnomerno konver-

gentan na skupu G, ako niz delimicnih suma Sn = g1 + · · ·+ gn ravnomernokonvergira na skupu G.

Ako red funkcija ravnomerno konvergira na nekom skupu, onda taj red iobicno konvergira ka istoj granicnoj funkciji na posmatranom skupu. Obr-nuto tvrdenje ne vazi u opstem slucaju.

Formulisemo sledeci rezultat.

11Heinrich Eduard Heine (1821-1881), nemacki matematicar12Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), nemacki matematicar


Teorema 1.4.7. (1) (Kosijev kriterijum za ravnomernu konvergen-ciju nizova) Niz (fn)n ravnomerno konvergira na skupu G, ako i samo akovazi :

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀z ∈ G)(∀n,m ∈ N)

(m > n ≥ n0 =⇒ |fn(z)− fm(z)| < ε).

(2) (Kosijev kriterijum za ravnomernu konvergenciju redova) Red∑gn ravnomerno konvergira na skupu G ako i samo ako vazi:

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀z ∈ G)(∀n,m ∈ N)(m > n ≥ n0 =⇒

∣∣∣∣∣m∑k=n

gk(z)

∣∣∣∣∣ < ε

).

(3) (Vajerstrasov13 kriterijum za ravnomernu konvergenciju) Akoclanovi reda

∑gk zadovoljavaju uslov |gk(z)| ≤ ck za svako z ∈ G i svako k =

1, 2, . . . , a brojni red∑ck konvergira, onda red

∑gk ravnomerno konvergira

na skupu G.(4) Neka je f(z) = lim

n→∞fn(z), z ∈ G, gde su fn (n = 1, 2, . . . ) neprekidne

funkcije na skupu G. Ako je niz (fn)n ravnomerno konvergentan na skupuG, onda je funkcija f neprekidna na skupu G.

(5) Neka su gn (n = 1, 2, . . . ) neprekidne funkcije na skupu G. Ako red∑gk konvergira ravnomerno na skupu G, njegova suma

∞∑k=0

gk(z) = s(z),

z ∈ G, je takode neprekidna funkcija na G.

1.4.4 Stepeni redovi

Najvazniji specijalan slucaj reda funkcija, jeste stepeni red. Neka je (cn)n nizkompleksnih brojeva, i neka je a ∈ C. Red

∞∑n=0

cn(z − a)n

je stepeni red oko tacke a (u tacki a; ili sa centrom u tacki a).Za kompleksne stepene redove vazi rezultat analogan realnim stepenim

redovima.

13Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), nemacki matematicar

1.5. ELEMENTARNE KOMPLEKSNE FUNKCIJE 27

Teorema 1.4.8. Neka je a ∈ C i neka je (cn)n niz kompleksnih brojeva.Tada postoji jedinstven R ∈ [0,+∞] sa sledecim svojstvima:

(1) Stepeni red∞∑n=0

cn(z − a)n konvergira za svako z ∈ D(a;R).

(2) Ako je R > 0, onda stepeni red∞∑n=0

cn(z − a)n konvergira ravnomerno

na skupu z ∈ D[a; r] za svako r ∈ (0, R).

(3) Ako je R < +∞, onda stepeni red∞∑n=0

divergira za svako z ∈ C sa

svojstvom |z| > R.

(4) 1R

= lim sup |cn|1/n = lim sup∣∣∣ cn+1

cn

∣∣∣.Broj R u prethodnoj teoremi naziva se poluprecnik konvergecije stepenog

reda∞∑n=0

cn(z − a)n. Disk D(a;R) je disk (krug) konvergencije posmatranog

stepenog reda. Imajuci u vidu da je stepeni red ravnomerno konvergentan nazatvorenim diskovima sadrzanim u D(a;R), kao i cinjenicu da su sve funkcijez 7→ cn(z − a)n neprekidne, jednostavno dolazimo do zakljucka da sumastepenog reda jeste neprekidna funkcija na disku na kome red konvergira.

Dokazacemo kasnije ozbiljnije tvrdenje: suma stepenog reda je beskonacnoputa diferencijabilna funkcija na disku na kome polazni red konvergira.

1.5 Elementarne kompleksne funkcije

1.5.1 Eksponencijalna funkcija

Neka je z = x + iy ∈ C. Eksponencijalna funkcija z 7→ ez definisana je nasledeci nacin:

ez = ex(cos y + i sin y).

Ako je y = 0, odnosno z = x ∈ R, onda se, ocigledno, kompleksna ekspo-nencijalna funkcija svodi na dobro poznatu realnu eksponencijalnu funkciju.

Funkcije y 7→ cos y i y 7→ sin y su periodicne sa periodom 2π. Stogaje funkcija z 7→ ez periodicna sa periodom 2πi. Na osnovu neprekidnostifunkcija x 7→ ex, y 7→ cos y i y 7→ sin y za svako x, y ∈ R, sledi neprekidnostfunkcije z 7→ ez za svako z ∈ C.

Vazi ex > 0 za svako x. Osim toga, ni za jedno y ∈ R ne moze istovremenobiti cos y = 0 i sin y = 0. Prema tome, ez 6= 0 za svako z ∈ C.


Neka je w = u+ iv i ew = eu(cos v + i sin v). Vazi formula:

ezew = ex+u[cos y cos v − sin y sin v + i(cos y sin v + sin y cos v)]

= ex+u[cos(y + v) + i sin(y + v)] = ez+w.

Jednostavno je dokazati i sledeci rezultat

(ez)−1 = e−z,

odakle neposredno proizilazi

ez

ew= ez−w.

Posebno je interesantan slucaj z = y, odnosno x = 0. Tada je

eiy = cos y + i sin y.

Ocigledno vazi |eiy| = 1, odakle sledi da je eiy tacka kruznice sa centrom ukoordinatnom pocetku poluprecnika 1. Obrnuto, ako je w tacka jedinicnekruznice sa centrom u koordinatnom pocetku i y = argw, tada je eiy = w.Prema tome, preslikavanje y 7→ eiy je bijekcija iz skupa {y : 0 ≤ y < 2π} najedinicnu kruznicu u skupu C.

Ako je z ∈ C proizvoljan kompleksan broj razlicit od nule, tada je z|z| tacka

jedinicne kruznice sa istim argumentom kao z. Prema prethodno recenom,ako je ϕ = arg z, onda je z = |z|eiϕ i ovaj zapis je eksponencijalni (Ojlerov14)oblik kompleksnog broja z.

Sldedi da preslikavanje z 7→ ez jeste bijekcija iz skupa {z = x + iy : x ∈R, 0 ≤ y < 2π} na skup C \ {0}.

Osim toga, vazi z = |z|e−iϕ i arg z = − arg z (poslednju jednakost trebashvatiti skupovno).

Ako je n ∈ N, onda je

cosnϕ+ i sinnϕ = eniϕ =(eiϕ)n

= (cosϕ+ i sinϕ)n,

koja je vec ranije navedena kao formula Moavra (videti sekciju o trigonometri-jskom zapisu kompleksnog broja).

Za brojeve z = |z|eiϕ i w = |w|eiψ vazi

zw = |z||w|ei(ϕ+ψ),z

w=|z||w|

ei(ϕ−ψ).

Prema tome, arg(zw) = arg z + argw, arg(z/w) = arg z − argw (ove jed-nakosti treba shvatiti skupovno).

14Leonhard Euler (1707-1783), svajcerski matematicar i fizicar

1.5. ELEMENTARNE KOMPLEKSNE FUNKCIJE 29

1.5.2 Trigonometrijske funkcije

Na osnovu formula eiy = cos y+ i sin y i e−iy = cos y− i sin y za realan broj y,sledi cos y = 1

2(eiy + e−iy) i sin y = 1

2i(eiy − e−iy). Osnovne trigonometrijske

funkcije kompleksne promenljive z definisane su analogno:

cos z =1

2(eiz + e−iz), sin z =

1

2i(eiz − e−iz), tg z =

sin z

cos z, ctg z =

cos z

sin z.

Trigonometrijske funkcije su, ocigledno, neprekidne funkcije na podskupovimaod C na kojima su definisane. Na osnovu osobina eksponencijalne funkcije,lako je proveriti da su preslikavanja z 7→ cos z i z 7→ sin z periodicna sa peri-odom 2π, dok su preslikavanja z 7→ tg z i z 7→ ctg z periodicna sa periodomπ. Vaze sledeci osnovni trigonometrijski identiteti, koje ostavljamo citaocuza samostalnu proveru:

(sin z)2 + (cos z)2 = 1,

sin(z ± w) = sin z cosw ± cos z sinw,

cos(z ± w) = cos z cosw ∓ sin z sinw.

1.5.3 Hiperbolicke funkcije

Hiperbolicke funkcije definisane su na sledeci nacin:

ch z =ez + e−z

2, sh z =

ez − e−z

2, th z =

sh z

ch z, cth z =

ch z

sh z.

Ocigledno, hiperbolicke funkcije predstavljaju neposredna uopstenja realnihhiperbolickih funkcija. Hiperbolicke funkcije su neprekidne na podskupovimaod C na kojima su definisane. Funkcije ch z i sh z su periodicne sa periodom2πi, a funkcije th z i cth z su periodicne sa periodom πi.

1.5.4 Logaritamska funkcija

Kompleksan broj z ∈ C \ {0} nema jedinstven argument. Preciznije, ako jepoznat jedan argument ϕ broja z, onda se svi ostali argumenti broja z odrazlikuju od broja ϕ za celobrojni umnozak broja 2π. Stoga pridruzivanjez 7→ arg z nije preslikavanje u pravom smislu reci. Ako je Arg z glavnavrednost argumenta kompleksnog broja z, odnosno 0 ≤ Arg z < 2π, tada jez 7→ Arg z preslikavanje iz skupa C\{0} na skup [0, 2π). Za svako z ∈ C\{0}


postoji jedinstvena reprezentacija z = |z|eiArg z. Prirodni logaritam brojaz ∈ C \ {0} definise se na sledeci nacin:

Ln z = ln |z|+ iArg z,

gde je ln |z| uobicajeni logaritam pozitivnog broja |z|. Ako je z = x > 0,onda je Arg z = 0 i uvedena definicija logaritma kompleksnog broja poklapase sa ranijom definicijom logaritma pozitivnog broja. Nije tesko proveritisledeca svojstva:

eLn z = z, z ∈ C \ {0},

kao iLn ez = z, ako je z = x+ iy, 0 ≤ y < 2π.

Opstije, ako je z, w ∈ C i ew = z, logaritam kompleksnog broja z definisanje kao

ln z = w.

Ako je z = |z|eiArg z+2kπi, k ∈ Z, onda se svaki broj

wk = ln |z|+ iArg z + 2kπi

moze reci da je logaritam broja z, odnosno wk = ln z. Ovako shvacenopridruzivanje z 7→ wk nije preslikavanje, jer jednom broju z odgovara vise ra-zlicitih brojeva wk. Prirodnije je pisati z 7→ {wk : k ∈ Z} i ovo pridruzivanjese naziva viseznacna funkcija. Jedna (neprekidna) grana ove viseznacnefunkcije jeste

lnk z = ln |z|+ iArg z + 2kπi,

pri cemu je k konstantna vrednost. Funkcija lnk z je jednoznacna, odnosnofunkcija (preslikavanje) u pravom smislu reci.

1.5.5 Koren kompleksnog broja

Kompleksan broj z je n-ti koren kompleksnog broja a (u oznaci z = n√a), ako

je zn = a. Korenovanje je takode viseznacna funkcija u skupu kompleksnihbrojeva, odnosno svaki kompleksan broj a 6= 0 ima n razlicitih korena. Ako je

a = |a|eiArg a, tada je n-ti koren od a svaki od brojeva zk = n√|a|eArg a+2kπ

n , k =0,±1,±2, . . . . Pri tome, samo su n korena medusobno razlicita. Dovoljnoje posmatrati n uzastopnih vrednosti za k, na primer k = 1, . . . , n. Pise sen√a = {z1, . . . , zn}.

Glava 2

Topoloski i metricki prostori

2.1 Topoloski prostori

Neka je X neprazan skup, i neka je τ familija nekih podskupova od X sasvojstvima:

(1) ∅, X ∈ τ ;(2) Ako je V1, V2 ∈ τ , onda V1 ∩ V2 ∈ τ ;(3) Ako je Vi ∈ τ za svako i ∈ I, onda

⋃i∈IVi ∈ τ (indeksni skup I je

proizvoljan).Tada je τ topologija na X, i (X, τ) je topoloski prostor. Elementi familije

τ jesu otvoreni skupovi.

Na jednom skupu X moze biti zadano vise razlicitih topologija. Ako jeto slucaj, onda se svaka topologija mora posebno naglasiti.

Neka je (X, τ) topoloski prostor i F ⊂ X. Skup F je zatvoren, ako isamo ako je X \F = F c otvoren. Familija svih zatvorenih podskupova od Xoznacava se sa z, i ima sledeca svojstva:

(1) ∅, X ∈ z;(2) Ako je F1, F2 ∈ z, onda F1 ∪ F2 ∈ z;(3) Ako je Fi ∈ z za svako i ∈ I, onda

⋂i∈IFi ∈ z (indeksni skup I je

proizvoljan).

Neka je (X, τX) topoloski prostor i Y ⊂ X. Skup Y postaje topoloskiprostor, ako se topologija τY definise na sledeci nacin:

Za V ⊂ Y vazi: V ∈ τY ako i samo ako postoji U ∈ τX tako da jeV = Y ∩ U .

31

32 GLAVA 2. TOPOLOSKI I METRICKI PROSTORI

U ovom slucaju je topologija τY indukovana topologijom τX , i topoloskiprostor (Y, τY ) je potprostor topoloskog prostora (X, τX).

Topoloski prostor X je povezan, ako X nije unija dva disjunktna nepraznaotvorena skupa. Drugim recima, X je povezan, ako su X i ∅ jedini skupovikoji su istovremeno otvoreni i zatvoreni u X.

Ako je Y ⊂ X, onda Y povezan ako i samo ako je Y povezan u induko-vanoj topologiji τY .

Ako je A ⊂ X, onda je clA zatvorenje skupa A, definisano kao

clA =⋂{F : F ⊃ A,F ∈ z}.

Skup clA je najmanji zatvoren skup koji sadrzi A. Dakle, skup A je zatvorenako i samo ako je A = clA.

Unutrasnjost skupa A, oznacena sa intA, definisana je kao

intA =⋃{V : V ⊂ A, V ∈ τ}.

Skup intA je najveci otvoren skup koji je sadrzan u A. Stoga, skup A jeotvoren ako i samo ako je A = intA.

Rub skupa A je skup ∂A = clA ∩ cl(X \ A).Skup V je okolina tacke a ∈ X, ako je a ∈ intA.Tacka a je izolovana tacka skupa A, ako postoji okolina V tacke a sa

svojstvom V ∩ A = {a}. Skup izolovanih tacaka skupa A oznacava se saisoA.

Skup svih tacaka nagomilavanja skupa A je accA = clA \ isoA.

Neka je (X, τ) toploski prostor, A ⊂ X i Bi ∈ X za svako i ∈ I, pri cemuje I proizvoljan indeksni skup. Ako je A ⊂

⋃i∈IBi, onda je familija (Bi)i∈I

pokrivanje skupa A. Ako je, pri tome, svaki skup Bi otvoren, onda je (Bi)i∈Iotvoreno pokrivanje skupa A.

Skup K ⊂ X je kompakt (ili kompaktan skup), ako se iz svakog otvorenogpokrivanja skupa K moze izdvojiti konacno pokrivanje skupa K. Preciznije,ako su (Vi)i∈I otvoreni skupovi i K ⊂

⋃i∈IVi, tada postoje indeksi i1, . . . , in ∈ I

tako da je K ⊂ Vi1 ∪ · · · ∪ Vin .Skup K je relativno kompaktan, ako je clK kompaktan.

Neka su (X, τX) i (Y, τY ) topoloski prostori i neka je f : X → Y pres-likavanje. f je neprekidno, ako za svako V ∈ τY vazi f−1(V ) ∈ τX . Ekviva-lentno, f je neprekidno preslikavanje ako i samo ako za svako F ∈ zY vazif−1(F ) ∈ zX .

2.1. TOPOLOSKI PROSTORI 33

Neprekidnost funkcije je lokalno svojstvo, kao sto se vidi iz sledeceg rezul-tata.

Teorema 2.1.1. Neka su (X, τX), (Y, τY ) topoloski prostori, i neka je datafunkcija f : X → Y . Sledeca tvrdenja su ekvivalentna:

(1) Funkcija f je neprekidna;(2) Za svako x ∈ X i svaku okolinu V tacke f(x), postoji okolina U tacke

x sa svojstvom f(U) ⊂ V .

Dokaz. (1) =⇒ (2): Pretpostavimo da je f : X → Y neprekidna funkcija.Neka je x ∈ X i neka je V okolina tacke f(x) u prostoru Y . Postoji otvorenskup V1 tako da je f(x) ∈ V1 ⊂ V . Na osnovu izbora skupa V , kao ineprekidnosti funkcije f sledi: x ∈ U = f−1(V1) ∈ τX . Dakle, U je okolinatacke x sa ociglednim svojstvom f(U) ⊂ V .

(2) =⇒ (1): Pretpostavimo sada da za svako x ∈ X i svaku okolinuV tacke f(x), postoji okolina U tacke x sa svojstvom f(U) ⊂ V . Neka jeW ∈ τY i z ∈ f−1(W ). Tada je f(z) ∈ W . Dakle, W je okolina tackef(z). Stoga postoji okolina U tacke x sa svojstvom f(U) ⊂ W . Ocigledno jex ∈ U ⊂ f−1(W ), odakle sledi f−1(W ) ∈ τX .

Teorema 2.1.2. Neka su (X, τX), (Y, τY ), (Z, τZ) topoloski prostori, i nekasu f : X → Y i g : Y → Z neprekidne funkcije. Tada je g ◦ f : X → Zneprekidna funkcija.

Dokaz. Neka je V ∈ τZ . Tada je g−1(V ) ∈ τY , a takode i f−1(g−1(V )) ∈ τX .Sledi da je g ◦ f neprekidna funkcija.

Teorema 2.1.3. Ako su X, Y topoloski prostori, f : X → Y je neprekidnopreslikavanje, i ako je K kompakt u X, tada je f(K) kompakt u Y .

Dokaz. Neka je (Vi)i∈I otvoreno pokrivanje skupa f(K) u Y , odnosno

f(K) ⊂⋃i∈I

Vi.

Tada je

K ⊂ f−1(f(K)) ⊂ f−1

(⋃i∈I

Vi

)=⋃i∈I

f−1(Vi).

Skup K je kompaktan, a skupovi f−1(Vi) su otvoreni u X. Prema tome,postoje indeksi i1, . . . , in ∈ I tako da je

K ⊂ f−1(Vi1) ∪ · · · ∪ f−1(Vin).


Stoga je

f(K) ⊂ f(f−1(Vi1) ∪ · · · ∪ f−1(Vin)) = Vi1 ∪ · · · ∪ Vin .

Dakle, proizvoljno otvoreno pokrivanje skupa f(K) svedeno je na konacnopokrivanje, odakle sledi da je f(K) kompakt u Y .

Teorema 2.1.4. Ako su X, Y topoloski prostori, X je povezan i f : X → Yje neprekidno preslikavanje, onda je f(X) povezan skup u Y .

Dokaz. Ako je f : X → Y neprekidno preslikavanje, tada je i redukcijaf : X → f(X) neprekidno preslikvanje. Dakle, bez gubljenja opstosti pret-postavljamo da je f preslikavanje ”na“.

Neka je f(X) = Y . Pretpostavimo da Y nije povezan skup. Onda jeY = A ∪ B, pri cemu su A,B otvoreni i uzajamno disjunktni skupovi uY . Tada je X = f−1(A) ∪ f−1(B). Skupovi f−1(A) i f−1(B) su otvoreni iuzajamno disjunktni, odakle sledi da X nije povezan.

Topoloski prostor (X, τ) je Hausdorfov1, ako za svake dve tacke x, y ∈ Xpostoje otovreni skupovi U, V ∈ τ , tako da je x ∈ U , y ∈ V i U ∩ V = ∅,

2.2 Metricki prostori

Neka je (X, d) metricki prostor, sto znaci da postoji funkcija d : X × X →[0,+∞) koja je metrika, odnosno zadovoljava uslove (za svako x, y, z ∈ X):

(1) d(x, y) = 0 ako i samo ako x = y;(2) d(x, y) = d(y, x);(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (nejednakost trougla).

Velicina d(x, y) je rastojanje izmedu tacka x, y ∈ X.U metrickom prostoru X definisu se otvorena kugla, zatvorena kugla i

sfera sa centrom u tacki a ∈ X poluprecnika r > 0, redom, na sledeci nacin:

B(a; r) = {x : d(x, a) < r}, B[a; r] = {x : d(x, a) ≤ r},S(a; r) = {x : d(x, a) = r}.

Niz tacaka (xn)n metrickog prostora X konvergira ka tacki a ∈ X, akolimn→∞

d(xn, a) = 0 u R, i oznaka je limn→∞

xn = a. Drugim recima, limn→∞

xn = a

1Felix Hausdorff (1868-1942), nemacki matematicar

2.2. METRICKI PROSTORI 35

ako i samo ako za svako ε > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 vazid(xn, a) < ε. U tom slucaju je a granicna vrednost niza (xn)n. Ako niz nekonvergira, onda divergira.

Ako niz konvergira, onda ima tacno jednu grancnu vrednost.

Niz tacka (xn)n metrickog prostora X je Kosijev, ako za svako ε > 0postoji n0 ∈ N, tako da za svako n,m ≥ n0 vazi d(xn, xm) < ε.

Ako postoji a ∈ X i postoji R > 0, tako da za svako n ∈ N vazi xn ∈B(a;R), onda je niz (xn)n ogranicen.

Teorema 2.2.1. Svaki Kosijev niz (xn)n metrickog prostora X je ogranicen.

Jednostavno je proveriti da svaki konvergentan niz jeste Kosijev. Medutim,obrnuto tvrdenje ne vazi uvek.

Metricki prostor (X, d) je kompletan, ako u ovom prostoru svaki Kosijevniz jeste konvergentan.

Skup V ⊂ X je otvoren u metrickom prostoru X u odnosu na metrikud, ako za svako a ∈ V postoji r > 0 tako da je B(a; r) ⊂ V . Familija svihotvorenih skupova u metrickom prostoru (X, d) cini topologiju τd. Topologijaτd je indukovana metrikom d na prostoru X.

Svaki metricki prostor (X, d) je Hausdorfov topoloski prostor. Neka je,recimo, x, y ∈ X i x 6= y. Tada je d = d(x, y) > 0. Neka je U = B(x; r/3) iV = B(y; r/3). Skupovi U, V su otvoreni i vazi x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅.

Teorema 2.2.2. Neka je X metricki prostor i E ⊂ X. Sledeca tvrdenja suekvivalentna:

(1) Skup E je zatvoren;

(2) Za svaki niz (xn)n iz E vazi implikacija: ako je limn→∞

xn = a, onda je

a ∈ F .

Skup K je nizovno kompaktan u metrickom prostoru X, ako i samo akoza svaki niz (xn)n iz K postoji konvergentan podniz (xnk)k koji konvergiranekoj tacki a ∈ K, tj. lim

k→∞xnk = a ∈ K.

Teorema 2.2.3. (Hajne-Borel2-Lebeg3) Skup K u metrickom prostoru X jekompaktan, ako i samo ako je skup K nizovno kompaktan.

2Felix Edouard Justin Emile Borel (1871-1956), francuski matematicar3Henri Leon Lebesgue (1875-1941), francuski matematicar


Posledica ove teoreme jeste da svaki kompaktan skup u metrickom pros-toru mora biti zatvoren. Vazi i opstiji rezultat: ako jeX Hausdorfov topoloskiprostor, i ako je K kompaktan skup u X, onda je X zatvoren.

Skup K je totalno ogranicen u metrickom prostoru X, ako za svako ε > 0postoje tacke x1, . . . , xn ∈ K, tako da je

K ⊂n⋃i=1

B(xi; ε).

Teorema 2.2.4. Ako je skup K relativno kompaktan u metrickom prostoruX, onda je K totalno ogranicen.

Ako je metricki prostor X kompletan, i ako je skup K totalno ogranicenu X, tada je K relativno kompaktan u X.

Za kompaktne skupove vazi Lebegova teorema o pokrivanju.

Teorema 2.2.5. Neka je K kompaktan skup u metrickom prostoru X. Akoje K ⊂

⋃i∈IVi otvoreno pokrivanje skupa K, onda postoji δ > 0 tako da za

svako x ∈ K postoji i ∈ I sa osobinim B(x; δ) ⊂ Vi.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno: neka je K ⊂⋃i∈IVi otvoreno pokrivanje

kompakta K, tako da za svako n ∈ N postoji tacka xn ∈ K sa svojstovm dakugla B

(xn; 1

n

)nije podskup ni jednog skupa Vi. Skup K je kompaktan, i

stoga postoji podniz (xnk)k sa svojstvom limk→∞

xnk = y ∈ K. Postoji i1 ∈ Itako da je y ∈ Vi1 . Stoga postoji ε > 0 tako da je B(y; ε) ⊂ Vi1 . Postojik1 ∈ N tako da za svako k ≥ k1 vazi xnk ∈ B

(y; ε

2

). Kako je lim

k→∞nk = +∞

i za svako k ∈ N vazi nk ≤ nk+1, sledi da postoji ` ∈ N sa svojstvomn` ≥ max

{nk1 ,

2ε

}. Primetimo da je ` ≥ k1. Neka je δ = 1

n`.

Neka je z ∈ B(xn` ; δ). Tada je

d(y, z) ≤ d(y, xn`) + d(xn` , z) ≤ε

2+

1

n`< ε.

Dakle, B(xn` ; δ) ⊂ Vi1 . Dobijeni rezultat je kontradiktoran sa izborom niza(xn)n.

Neka je (xn)n niz tacaka u metrickom prostoru X, i neka je (rn)n nizpozitivnih brojeva. Ako je

K[x1, r1] ⊃ K[x2, r2] ⊃ · · ·

2.2. METRICKI PROSTORI 37

i limn→∞

rn = 0, tada je Kn = K[xn, rn] niz monotono opadajucih zatvorenih

kugli, ciji poluprecnici teze ka nuli.Formulisemo vaznu karakterizaciju kompletnih metrickih prostora.

Teorema 2.2.6. (Kantor) Metricki prostor X je kompletan, ako i samo akoza svaki niz (Kn)n monotono opadajucih zatvorenih kugli, ciji poluprecniciteze nuli, vazi

⋂n

Kn = {a} za neko a ∈ X.

Jednostavno je utvrditi da u prostoru C umesto zatvorenih kugli mozemou prethodnoj teoremi uzeti niz zatvorenih trouglova (ili pravougaonika) cijidijametri teze nuli.

Formulisemo sledece tvrdenje, i ostavljamo dokaz citaocu za vezbu.

Teorema 2.2.7. Ako je (X, d) metricki prostor, tada je funkcija d1, defini-

sana kao d1(x, y) = d(x,y)1+d(x,y)

, takode metrika na X.

Skup V (⊂ X) je otvoren u odnosu na metriku d, ako i samo ako je Votvoren u odnosu na metriku d1.

Niz (xx)n je Kosijev u odnosu na d, ako i samo ako je (xn)n Kosijev uodnosu na d1.

Dokaz. Za funkciju d1 dovoljno je dokazati nejednakost trougla, jer su ostaliuslovi iz definicije metrike trivijalno ispunjeni. Neka je s, t ≥ 0. Tada je

s+ t

1 + s+ t=

s

1 + s+ t+

t

1 + s+ t≤ s

1 + s+

t

1 + t. (2.1)

Neka su x, y, z ∈ X proizvoljne tacke. Na osnovu nejednakosti (7.1) sledi:

d1(x, z) + d1(z, y) =d(x, z)

1 + d(x, z)+

d(z, y)

1 + d(z, y)≥ d(x, z) + d(z, y)

1 + d(x, z) + d(z, y)

=1

1 +1

d(x, z) + d(z, y)

≥ 1

1 +1

d(x, y)

= d1(x, y).

Time je dokazana nejednakost trougla za funkciju d1.Neka je (Xn, dn) niz metrickih prostora i neka je

X =∞∏n=1

Xn.


Drugim recima x = (xn)n ∈ X ako i samo ako za svako n ∈ N vazi xn ∈ Xn.Za x = (xn)n ∈ X i y = (yn)n ∈ X definisemo

d(x, y) =∞∑n=1

(1

2

)ndn(xnyn)

1 + dn(xn, yn).

Na osnovu poredbenog kriterijuma za brojne redove, sledi da je funkcijad dobro definisana.

Teorema 2.2.8. Ako je d prethodno uvedena funkcija, tada je(∞∏n=1

Xn, d

)metricki prostor.

Ako je (xk)k = ((xkn)n)k niz u prostoru (X, d), tada je limk→∞

xk = a =

(an)n ∈ X ako i samo ako za svako n ∈ N vazi limk→∞

xkn = an.

Ako su svi prostori (Xn, dn) kompaktni, tada je (X, d) kompaktan prostor.

2.3 Konvergencije nizova neprekidnih funkcija

U ovoj sekciji razmatraju se osobine neprekidnih funkcije na topoloskim imetrickim prostorima.

Definicija 2.3.1. Neka je (X, τ) toploski prostori, i neka je (Y, d) metrickiprostor. Neka je (fn)n niz funkcija iz X u Y , i neka je f : X → Y .

Niz (fn)n konvergira ka f na skupu X, ako za svako x ∈ X i svako ε > 0postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ≥ n0 vazi d(fn(x), f(x)) < ε. Oznaka jelimn→∞

fn(x) = f(x) za svako x ∈ X. Ova konvergencija se naziva obicna ili

tackasta konvergencija niza funkcija.

Niz fukcija (fn)n ravnomerno (uniformno) konvergira ka f na skupu X,ako svako ε > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako x ∈ X i za svako n ≥ n0

vazi d(fn(x), f(x)) < ε. Oznaka je limn→∞

fn = f .

Jednostavno je proveriti da iz ravnomerne konvergencije niza funkcijana nekom skupu sledi obicna konvergencija polaznog niza ka istoj granicnojvrednosti. Obrnuto tvrdenje ne vazi.

Ako je (X, τ) topoloski prostor i (X, d) metricki prostor, onda je C(X, Y )skup svih neprekidnih funkcija iz X u Y .

2.3. KONVERGENCIJE NIZOVA NEPREKIDNIH FUNKCIJA 39

Definicija 2.3.2. Neka su X, Y metricki prostori. Funkcija f : X → Y jeravnomerno (uniformno) neprekidna na X, ako za svako ε > 0 postoji δ > 0,tako da za svako x, y ∈ X vazi implikacija

d(x, y) < δ =⇒ d(f(x), f(y)) < ε.

Ako je f ravnomerno neprekidna funkcija, onda je f neprekidna funkcija.Obrnuto tvrdenje ne mora biti tacno.

Teorema 2.3.1. Neka su X, Y metricki prostori. Ako je f : X → Yneprekidna funkcija, i ako je X kompaktan skup, tada je f ravnomernoneprekidna na X.

Dokaz. Neka je f : X → Y neprekidna funkcija na X, x ∈ X i ε > 0.Tada postoji δx,ε > 0 tako da za svako y ∈ B(x; δx,ε) vazi d(f(x), f(y)) < ε

2.

Ocigledno je X =⋃x∈X

B(x; δx,ε

2

)otvoreno pokrivanje kompakta X, koje se

moze svesti na konacno pokrivanje. Sledi da postoje tacke x1, . . . , xn ∈ X,tako da je

X = B

(x1;

δx1,ε2

)∪ · · · ∪B

(xn;

δxn,ε2

).

Neka je δ = min{δx1,ε, . . . , δxn,ε}. Posmatrajmo proizvoljne x, y ∈ X za koje

vazi d(x, y) < δ2. Postoji xi, tako da je x ∈ B

(xi,

δxi,ε2

), odakle sledi da je

d(y, xi) ≤ d(y, x) + d(x, xi) ≤δ

2+δxi,ε

2≤ δxi,ε.

Stoga jed(f(x), f(y)) ≤ d(f(x), f(xi)) + d(f(xi), f(y)) < ε.

Time dokazujemo da je f ravnomerno neprekidna na X.

Teorema 2.3.2. Neka je (X, τ) topoloski prostor, i neka je (Y, d) metrickiprostor. Ako je (fn)n niz funkcija u C(X, Y ) koji ravnomerno konvergira kafunkciji f na skupu X, onda je f ∈ C(X, Y ).

Dokaz. Dokazujemo da je f neprekidna funkcija. Neka je ε > 0. Tadapostoji n0 ∈ N, tako da za svako n ≥ n0 i svako x ∈ X vazi d(f(x), fn(x)) < ε.Funkcija fn je neprekidna. Skup B(fn(x); ε) je okolina tacke f(x) u Y . Stogapostoji V (x) okolina tacke x u X, tako da je fn(V (x)) ⊂ B(f(x); ε).


Tada za y ∈ V (x) i n ≥ n0 vazi:

d(f(x), f(y)) ≤ d(f(x), fn(x)) + d(fn(x), fn(y)) + d(fn(y), f(y)) < 3ε.

Sledi da je f neprekidna u proizvoljnoj tacki x ∈ X.

Teorema 2.3.3. Neka je (X, τ) kompaktan topoloski prostor. Ako je f ∈C(X,R), tada postoje x1, x2 ∈ X tako da je f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) za svakox ∈ X. Drugim recima, neprekidna funkcija na kompaktu dostize svoj mini-mum i svoj maksimum.

Dokaz. f je neprekidno preslikavanje, X je kompaktan prostor, te je f(X)kompaktan skup u R. Dakle, postoje m = min f(X) i M = max f(X) ∈ R.Samim tim, postoje tacke x1, x2 ∈ X tako da je m = f(x1) i M = f(x2).

Teorema 2.3.4. Ako je (X, τ) kompaktan topoloski prostor i (Y, d) metrickiprostor, tada je sa

d∞(f, g) ≡ dX∞(f, g) = maxx∈X

d(f(x), g(x)), f, g ∈ C(X, Y ),

data metrika u skupu C(X, Y ).Pri tome, niz funkcija (fn)n prostora C(X, Y ) konvergira ka nekoj funkciji

f u smislu metrike d∞, ako i samo ako (fn)n konverira ka f ravnomerno naX.

Dokaz. Za svako y ∈ X funkcija x 7→ d(x, y) je neprekidna po x ∈ X.Funkcije f, g su neprekidne, te je maksimum neprekidne funkcije

x 7→ d(f(x), g(x))

dostignut na kompaktu X. Dakle, d∞(f, g) ∈ [0,+∞).Ako su f, g neprekidne funkcije i f(x0) 6= g(x0), tada se ove dve funkcije

razlikuju u nekoj kugli sa centrom u x0. Time se dokazuje svojstvo metriked(f, g) = 0 ako i samo ako je f = g na X.

Jednostavno je dokazati simetricnost i nejednakost trougla za d∞.Takode je jednostavno proveriti da je konvergencija niza funkcija (fn)n u

C(X, Y ) u smislu metrike d∞ ekvivalentna ravnomernoj konvergenciji niza(fn)n na skupu X.

Teorema 2.3.5. Neka je (X, τ) kompaktan topoloski prostor i neka je (Y, d)kompletan metricki prostor. Tada je (C(X, Y ), d∞) kompletan metricki pros-tor.

2.3. KONVERGENCIJE NIZOVA NEPREKIDNIH FUNKCIJA 41

Dokaz. Neka je (fn)n Kosijev niz u (C(X, Y ), d∞), i neka je ε > 0. Tadapostoji n0 ∈ N tako da za svako n,m ≥ n0 vazi d∞(fn, fm) < ε. Neka jex ∈ X proizvoljna tacka. Tada za n,m ≥ n0 vazi

d(fn(x), fm(x)) ≤ d∞(fn, fm) < ε. (2.2)

Dakle, (fn(x))n je Kosijev niz u kompletnom metrickom prostoru Y . Stogapostoji y ∈ Y tako da je lim

n→∞fn(x) = y. Definisimo funkciju f kao f(x) := y.

Tacka x ∈ X je izabrana proizvoljno, te sledi da je funkcija f : X → Y dobrodefinisana. U nejednakosti (7.2) neka m tezi ka +∞. Namece se sledecizakljucak: za svako ε > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 i za svakox ∈ X vazi d(fn(x), f(x)) ≤ ε. Dakle, niz (fn)n ravnomerno konvergira kaf . Kako je X kompaktan topoloski prostor, iz neprekidnosti svih funkcija fnsledi neprekidnost funkcije f na X. Kako je konvergencija u smislu metriked∞ ekvivalentna ravnomernoj konvergenciji, teorema je dokazana.

Glava 3

Analiticke funkcije

3.1 Diferencijabilne (holomorfne) funkcije

3.1.1 Izvod funkcije

Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tacke z0 ∈ C. Granicna vrednost(ukoliko postoji)

limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0

= f ′(z0)

naziva se izvod funkcije f u tacki z0. U tom slucaju je funkcija f diferenci-jabilna u tacki z0.

Funkcija f je diferencijabilna u otvorenom skupu V ⊂ C, ako je f difer-encijabilna u svakoj tacki skupa V .

Neka je ∆z = z − z0 i ∆f(z0) = f(z0 + ∆z)− f(z0). Tada je

f ′(z0) = lim∆z→0

∆f(z0)

∆z.

Stoga, f ′(z0) postoji ako i samo ako za svako ε > 0 postoji δ > 0, tako davazi implikacija:

0 < |∆z| < δ =⇒∣∣∣∣∆f(z0)

∆z− f ′(z0)

∣∣∣∣ < ε.

Proizilazi da vazi

∆f(z0) = f ′(z0)∆z + o(∆z). (3.1)

43

44 GLAVA 3. ANALITICKE FUNKCIJE

Pri tome je o(∆z) beskonacno mala velicina viseg reda od ∆z kada ∆z tezinuli, odnosno

lim∆z→0

o(∆z)

∆z= 0.

Ako ∆z → 0 u (8.1), neposredno sledi lim∆z→0

∆f(z0) = 0, odnosno funkcija

f je neprekidna u tacki z0. Dakle, iz diferencijabilnosti funkcije f u tacki z0

sledi neprekidnost funkcije f u tacki z0.Sa druge strane, ako postoji neki kompleksan broj A, tako da vazi

∆f(z0) = A∆z + o(∆z), (3.2)

onda je funkcija f diferencijabilna u tacki z0 i tada je A = f ′(z0). Naime,ako (8.2) vazi, onda je

∆f(z0)

∆z= A+

o(∆z)

∆z,

odakle, prelaskom na granicnu vrednost kada ∆z → 0, sledi da je A = f ′(z).

Primer 3.1.1. Funkcija f(z) = zn (n ∈ N) je diferencijabilna u svakoj tackiz ∈ C. Pri tome je (zn)′ = nzn−1.

Dokaz. Na osnovu binomne formule, sledi da vazi

lim∆z→0

(z + ∆z)n − zn

∆z= lim

∆z→0

nzn−1∆z + o(∆z)

∆z= nzn−1.

Dokazujemo sledecu teoremu o pravilima diferenciranja.

Teorema 3.1.1. (1) Ako su funkcije f i g diferencijabilne u tacki z0, ondaje njihova suma, razlika i proizvod diferencijabilna funkcija u tacki z0. Akoje g(z0) 6= 0, onda je i kolicnik f/g diferencijabilna funkcija u tacki z0. Akoje c proizvoljan kompleksan broj, onda je i c · f diferencijabilna funkcija utacki z0. Pri tome vazi:

(f ± g)′(z0) = f ′(z0)± g′(z0), (c · f)′(z0) = c · f ′(z0),

(fg)′(z0) = f ′(z0)g(z0) + f(z0)g′(z0),(f

g

)′(z0) =

f ′(z0)g(z0)− f(z0)g′(z0)

(g(z0))2(g(z0) 6= 0).

(2) Ako je funkcija z 7→ f(z) definisana u okolini tacke z0 i diferencija-bilna u tacki z0, a funkcija w 7→ F (w) definisana u okolini tacke w0 = f(z0) i

3.1. DIFERENCIJABILNE (HOLOMORFNE) FUNKCIJE 45

diferencijabilna u tacki w0, onda je funkcija z 7→ Φ(z) = F (f(z)) definisanau okolini tacke z0 i diferencijabilna u tacki z0, pri cemu je

Φ′(z0) = F ′(w0)f ′(z0) = F ′(f(z0))f ′(z0).

Dokaz. (1) Neka je z ∈ D(z0; r), z 6= z0, i neka su funkcije f, g diferencijabilneu tacki z0. Zbog ∆z = z − z0 6= 0 sledi

(f + g)(z)− (f + g)(z0)

∆z=f(z)− f(z0)

∆z+g(z)− g(z0)

∆z.

Prelaskom na granicnu vrednost kada ∆z → 0 u poslednjoj jednakosti, sledida vazi

(f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0).

Neka je

α(z) = f(z)− f(z0)− f ′(z0)(z − z0), β(z) = g(z)− g(z0)− g′(z0)(z − z0),

pri cemu je z ∈ D(z0; r). Na osnovu diferencijabilnosti funkcija f i g u tackiz0 sledi da je

limz→z0

α(z)

∆z= 0, lim

z→z0

β(z)

∆z= 0.

Tada je

f(z) = f(z0) + f ′(z0)(z − z0) + α(z),

g(z) = g(z0) + g′(z0)(z − z0) + β(z).

Nije tesko proveriti da vazi

f(z)g(z)− f(z0)g(z0) =(f ′(z0)g(z0) + f(z0)g′(z0)

)(z − z0)

+f ′(z0)g′(z0)(z − z0)2 + f ′(z0)β(z)(z − z0)

+g′(z0)α(z)(z − z0) + f(z0)β(z) + g(z0)α(z) + α(z)β(z).

Prelaskom na granicnu vrednost kada z → z0 (koriscenjem neprekidnostifunkcija f i g u tacki z0), sledi da je

(fg)′(z0) = f ′(z0)g(z0) + f(z0)g′(z0).

(2) Neka je

u(z) =

{f(z)−f(z0)

z−z0 − f ′(z0), z 6= z0,

0, z = z0,


i

v(w) =

{F (w)−F (w0)

w−w0− F ′(w0), w 6= w0,

0, w = w0.

Tada je limz→z0

u(z) = 0 i limw→w0

v(w) = 0. Imajuci u vidu w = f(z) i w0 = f(z0),

za z 6= z0 je ispunjeno:

Φ(z)− Φ(z0)

z − z0

= (F ′(f(z0)) + v(f(z))f(z)− f(z0)

z − z0

.

Vazi limz→z0

f(z)−f(z0)z−z0 = f ′(z0), a na osnovu neprekidnosti funkcije f u tacki z0

vazi limz→z0

v(f(z)) = 0. Stoga je

Φ′(z0) = limz→z0

Φ(z)− Φ(z0)

z − z0

= F ′(f(z0))f ′(z0).

Time je tvrdenje dokazano.

Primer 3.1.2. Neka je m proizvoljan ceo broj. Na osnovu Primera 8.1.1 ipravila diferenciranja iz Teoreme 8.1.1 sledi da je funkcija f(z) = zm diferen-cijabilna u svakoj tacki z 6= 0 kompleksne ravni i (zm)′ = mzm−1. Specijalno(i vazno)

(1z

)′= − 1

z2.

Primer 3.1.3. Polinom P (z) = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0 je diferen-cijabilna funkcija u svakoj tacki kompleksne ravni i pri tome je

P ′(z) = nanzn−1 + (n− 1)an−1z

n−2 + · · ·+ a1.

Primer 3.1.4. Neposredno uopstenje polinoma jesu racionalne funkcije, ilikolicnici polinoma. Neka su Pn i Qm dva polinoma stepena n i m redom.Tada je racionalna funkcija R(z) = Pn(z)

Qm(z)definisana u svakoj tacki kom-

pleksne ravni za koju je Qm(z) 6= 0. Nije tesko proveriti da je z 7→ R(z)diferencijabilna funkcija u svakoj tacki ravni u kojoj je definisana.

Diferencijabilne funkcije u otvorenom skupu V nazivaju se i holomorfnefunkcije. Stoga, skup svih diferencijabilnih funkcija u otvorenom skupu V(V ⊂ C) oznacen je sa H(V ).


3.1.2 Kosi–Rimanovi uslovi

Granicna vrednost kojom je definisan izvod neke funkcije ne zavisi od nacinana koji ∆z tezi nuli. Kada bi f bila realna funkcija jedne realne promenljivih,onda bi se u definiciji izvoda funkcije f zahtevalo da z tezi z0 po realnojosi, dakle po pravoj. Stoga diferencijabilnost funkcije realne promeljive za-hteva manje uslova od diferencijabilnosti funkcije kompleksne promenljive.Uporediti, na primer, sa jedne strane egzistenciju izvoda u pravcu realnefunkcije dve promenljive, a sa druge strane diferencijabilnost realne funkcijedve promenljive. Podsecamo da iz diferencijabilnosti realne funkcije slediezistencija izvoda ove funkcije u svim pravcima. Sa druge strane, na osnovupostojanja izvoda realne funkcije u svakom pravcu, ne sledi diferencijabilnostte funkcije.

Dokazujemo teoremu koja povezuje prethodna razmatranja.

Teorema 3.1.2. (Kosi–Rimanovi uslovi) Funkcija (x, y) = z 7→ f(z) =u(x, y) + i · v(x, y) je diferencijabilna u tacki z0 = x0 + iy0, ako i samo akovaze sledeca dva uslova:

(1) Realne funkcije (x, y) 7→ u(x, y) i (x, y) 7→ v(x, y) su diferencijabilneu tacki (x0, y0);

(2) U tacki (x0, y0) su ispunjeni Kosi–Rimanovi uslovi:

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0),

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0).

Ako je f diferencijabilna u tacki z0 = x0 + iy0, onda vazi formula

f ′(z0) =∂u

∂x(x0, y0) + i

∂v

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)− i∂u

∂y(x0, y0).

Dokaz. Pretpostavimo da je funkcija f diferencijabilna u tacki z0. Tada je,uz standardne oznake ∆x = x− x0, ∆y = y − y0, ∆z = ∆x+ i∆y = z − z0,∆u = u(x, y) − u(x0, y0), ∆v = v(x, y) − v(x0, y0) i ∆f(z) = f(z) − f(z0),ispunjeno

∆f(z) = f ′(z)∆z + ε(ρ),

gde je ε(ρ) = o(ρ), pri cemu je ρ= |∆z|=√

(∆x)2 + (∆y)2. Funkcija ε(ρ) jekompleksna funkcija realne promeljive ρ > 0 i stoga je ε(ρ) = ε1(ρ) + iε2(ρ).

Iz ε(ρ)ρ→ 0, sledi ε1(ρ)

ρ→ 0 i ε2(ρ)

ρ→ 0 kada ρ→ 0. Prema tome, ε1(ρ) = o(ρ)


i ε2(ρ) = o(ρ). Takode vazi ∆f = ∆u+ i∆v. Neka je f ′(z0) = A+ iB. Tadaje

∆u+ i∆v = (A+ iB)(∆x+ i∆y) + ε1 + iε2.

Izjednacavanjem u poslednjoj jednakosti realnih i imaginarnih delova, sledida vazi

∆u = A∆x−B∆y + ε1, ∆v = B∆x+ A∆y + ε2. (3.3)

Ovim je pokazano da su u i v diferencijabilne funkcije u tacki (x0, y0),odnosno vazi tvrdenje (1) ove teoreme.

Iz jednakosti (8.3), na osnovu veze izmedu diferencijala i parcijalnihizvoda funkcije dve promenljive, sledi:

A =∂u(x0, y0)

∂x, −B =

∂u(x0, y0)

∂y, B =

∂v(x0, y0)

∂x, A =

∂v(x0, y0)

∂y.

Ovim su pokazani uslovi Kosi–Rimana i trazena jednakost u tvrdenju (2) oveteoreme.

Pretpostavimo sada da vaze uslovi (1) i (2) u teoremi. Pokazacemo daje funkcija f diferencijabilna funkcija u tacki z0 = x0 + iy0. Neka su u i vdiferencijabilne funkcije u tacki (x0, y0), pri cemu je f = u+ iv, i neka je

A =∂u(x0, y0)

∂x=∂v(x0, y0)

∂y, B = −∂u(x0, y0)

∂y=∂v(x0, y0)

∂x.

Tada vazi

∆u = A∆x−B∆y + ε1, ∆v = B∆x+ A∆y + ε2,

gde je ε1 = o(ρ) i ε2 = o(ρ). Sledi:

∆u+ i∆v = A∆x−B∆y + i(B∆x+ A∆y) + ε1 + iε2,

odnosno

∆f = (A+ iB)(∆x+ i∆y) + ε1 + iε2 = (A+ iB)∆z + ε(ρ),

gde je ε(ρ) = ε1(ρ) + iε2(ρ) = o(ρ). Odavde sledi diferencijabilnost funkcijef u tacki z0 i f ′(z0) = A+ iB.

Primer 3.1.5. Funkcija f(z) = ez = ex cos y + iex sin y za z = x + iy jediferencijabilna u svakoj tacki z kompleksne ravni, pri cemu je (ez)′ = ez.


Dokaz. U ovom primeru je u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y. Funkcije u iv su, ocigledno, diferencijabile u svakoj tacki (x, y) ∈ R2. Takode vazi

∂u

∂x= ex cos y =

∂v

∂y,

∂u

∂y= −ex sin y = −∂v

∂x.

Prema Teoremi 8.1.2 sledi

(ez)′ =∂u

∂x+ i

∂v

∂x= ex cos y + iex sin y = ez.

Primer 3.1.6. Funkcije sin z, cos z, sh z, ch z su diferencijabilne u svakojtacki kompleksne ravni i njihovi izvodi se izracunavaju po formulama:

(sin z)′ = cos z, (cos z)′ = − sin z, (sh z)′ = ch z, (ch z)′ = sh z.

Koristeci Kosi-Rimanove uslove, dokazujemo rezultat o diferencijabilnimfunkcijama.

Teorema 3.1.3. Neka je f kompleksna diferencijabilna funkcija u otvorenomskupu V (V ⊂ C), sa svojstvom da je f ′(z) = 0 za svako z ∈ V . Tada je fkonstantna funkcija na skupu V .

Dokaz. Na osnovu f ′(z) = 0 sledi

∂u

∂x(x, y) =

∂u

∂y(x, y) =

∂v

∂x(x, y) =

∂v

∂y(x, y) = 0

za svako (x, y) ∈ V . Na osnovu odgovarajuceg svojstva realnih funkcija sledida su u i v konstante na skupu G, te je i f konstanta na skupu G.

3.1.3 Neprekidna diferencijabilnost

Funkcija f je neprekidno diferencijabilna u tacki z, ako je f definisana idiferencijabilna u okolini tacke z, i pri tome je f ′ neprekidna funkcija u tackiz.

Prema Teoremi 8.1.2, funkcija f = u+ iv je neprekidno diferencijabilna utacki z = x+ iy, ako i samo ako: vaze Kosi-Rimanovi uslovi za funkciju f unekoj okolini tacke z = x+ iy, i funkcije u i v su neprekidno diferencijabilneu nekoj okolini tacke (x, y).

Funkcija f je neprekidno diferencijabilna u otvorenom skupu V skupa C,ako je f neprekidno diferencijabilna u svakoj tacki skupa V .

Jedan od najvaznijih rezultata kompleksne analize jeste:


Zapazanje 3.1.1. Ako je f diferencijabilna u otvorenom skupu V , onda jef neprekidno diferencijabilna u V . Stavise, funkcija f tada ima neprekidneizvode proizvoljnog reda u skupu V .

Ovu teoremu cemo dokazati kasnije.

Prethodno tvrdenje ne vazi za funkcije realne promenljive: realna funkcijaf , definisana na intervalu (a, b), moze imati izvod f ′ u svakoj tacki intervala(a, b), i pri tome je moguce da f ′ bude prekidna funkcija u svakoj tacki iz(a, b).

3.1.4 Kosi–Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama

Neka je kompleksan broj z = x + iy dat u trigonometrijskoj formi: z =r(cosϕ + i sinϕ), gde je r = |z| =

√x2 + y2, ϕ = Arg z = arctg y

x, x =

r cosϕ, y = r sinϕ. Tada je f(z) = u(r, ϕ) + i · v(r, ϕ). Pretpostavimo daje f diferencijabilna funkcija. Koristeci Kosi-Rimanove uslove za izvode popromenljivim x i y, sledi da vazi:

∂u

∂ϕ=∂u

∂x

∂x

∂ϕ+∂u

∂y

∂y

∂ϕ= −r sinϕ

∂u

∂x+ r cosϕ

∂u

∂y

= −r(

sinϕ∂v

∂y+ cosϕ

∂v

∂x

)= −r

(∂v

∂y

∂y

∂r+∂v

∂x

∂x

∂r

)= −r∂v

∂r.

Takode je

∂v

∂ϕ=∂v

∂x

∂x

∂ϕ+∂v

∂y

∂y

∂ϕ= −r sinϕ

∂v

∂x+ r cosϕ

∂v

∂y

= r

(sinϕ

∂u

∂y+ cosϕ

∂u

∂x

)= r

(∂u

∂y

∂y

∂r+∂u

∂x

∂x

∂r

)= r

∂u

∂r.

Sledi da Kosi–Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama imaju oblik:

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂ϕ,

∂v

∂r= −1

r

∂u

∂ϕ. (3.4)


Vaze sledece formule:

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂u

∂r

∂r

∂x+∂u

∂ϕ

∂ϕ

∂x+ i

(∂v

∂r

∂r

∂x+∂v

∂ϕ

∂ϕ

∂x

)= − y

r2

∂u

∂ϕ+x

r

∂u

∂r+ i

(− y

r2

∂v

∂ϕ+x

r

∂v

∂r

)=x− iyr2

∂v

∂ϕ− ix− iy

r2

∂u

∂ϕ

=1

z

(∂v

∂ϕ− i ∂u

∂ϕ

)i

f ′(z) =∂v

∂y− i∂u

∂y=∂v

∂ϕ

∂ϕ

∂y+∂v

∂r

∂r

∂y− i(∂u

∂ϕ

∂ϕ

∂y+∂u

∂r

∂r

∂y

)=

x

r2

∂v

∂ϕ+y

r

∂v

∂r− i(x

r2

∂u

∂ϕ+y

r

∂u

∂r

)=x− iyr

∂u

∂r+ i

x− iyr

∂v

∂r

=r

z

(∂u

∂r+ i

∂v

∂r

).

Prema tome, prvi izvod u polarnim koordinatama izracunava se na sledecinacin:

f ′(z) =r

z

(∂u

∂r+ i

∂v

∂r

)=

1

z

(∂v

∂ϕ− i ∂u

∂ϕ

).

Obrnuto, ako vaze uslovi (8.4), onda se moze dokazati da su ispunjeniKosi-Rimanovi uslovi u Dekartovim koordinatama, u smislu Teoreme 8.1.2(2).

Desnu realnu poluosu u C oznacavamo kao R+0 = {z = x + iy ∈ C : y 6=

0 ∨ x ≥ 0}.

Primer 3.1.7. Neka je f(z) =√z, pri cemu uzimamo jednu neprekidnu

granu funkcije√z. Preciznije, ako je z = reiϕ, r = |z| > 0, 0 < ϕ = Arg z <

2π, onda je f(z) =√z =√reiϕ/2.

U ovom slucaju je u(r, ϕ) = r cosϕ, v(r, ϕ) = r sinϕ, r > 0, 0 < ϕ < 2π.

Neka je (ϕn)n niz pozitivnih brojeva sa svojstvima ϕ1 > ϕ2 > · · · ilimn→∞

ϕn = 0. Neka je (ψn)n niz pozitivnih brojeva sa svojstvom ψ1 < ψ2 <


· · · i limn→∞

ψn = 2π. Neka je r > 0, zn = reiφn , wn = reiψn . Tada je

limn→∞

zn = limn→∞

wn = r.

Sa druge strane, vazi

f(zn) =√reiϕn/2 i f(wn) =

√reiψn/2,

odakle sledi limn→∞

f(zn) =√r i lim

n→∞f(wn) = −

√r.

Dakle, funkcija f nije neprekidna na polupravoj R+0 .

Jednostavno je proveriti da funkcija f(z) =√z ispunjava Kosi-Rimanove

uslove u polarnim koordinatama, te je funkcija f diferencijabilna na C \R+0 .

Potpuno analogan rezultat se dobija ako se posmatra druga neprekidnagrana kvadratnog korena, odnosno funkcija g(z) =

√|z|ei(ϕ/2+π).

Na kraju, napominjemo da nije nuzno posmatrati neprekidnost funkcijef na pozitivnom delu realne ose. Neka p poluprava u C sa pocetkom u tacki0. Tada neprekidna grana funkcije z 7→

√z jeste diferencijabilna u skupu

C \ p.

Primer 3.1.8. Funkcija lnk z = ln r+ iϕ+2kπi, gde je z = reiϕ, r = |z| > 0,0 < ϕ < 2π, k ∈ Z, jeste diferencijabilna u skupu C \ R+

0 , stoga sto ovafunkcija ispunjava Kosi–Rimanove uslove u polarnim koordinatama. Osimtoga, vazi

(lnk z)′ =1

z.

Kao i u prethodnom primeru, neka je ϕ1 > ϕ2 > · · · i limn→∞

ϕn = 0, 0 <

ψ1 < ψ2 < · · · i limψn = 2π. Neka je r > 0, zn = re−ϕn , wn = reiψn . Tada jelimn→∞

zn = limn→∞

wn = r, limn→∞

lnk zn = ln r+2kπi, limn→∞

lnk wn = ln r+(2k+1)πi.

Dakle, neprekidna grana funkcije z 7→ lnk nije diferencijabilna u celom C, vecje diferencijabilna u skupu C \ R+

0 .Kao u prethodnom primeru, ako je p poluprava u C sa pocetkom u 0,

tada je funkcija z 7→ lnk z diferencijabilna u C \ p.

3.1.5 Analiticke (regularne) funkcije

Neka je funkcija f definisana u okolini tacke z = a (a 6=∞) i neka se funkcijaf moze predstaviti stepenim redom

f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n, (3.5)


koji konvergira u nekoj okolini tacke z = a. Drugim recima, ovaj stepeni redkonvergira u disku D = D(a;R), R = 1

lim sup |cn|1/n> 0. Tada je funkcija f

analiticka (regularna) u tacki a.Funkcija f je analiticka u otvorenom skupu V , ako je f analiticka u svakoj

tacki skupa V .

Teorema 3.1.4. Ako je funkcija f analiticka u tacki a ∈ C, tada je fneprekidna u tacki a.

Dokaz. Neka je f analiticka u tacki a, odnosno reprezentovana je stepenim re-dom (8.5). Ocigledno je f(a) = c0. Stepeni red (8.5) konvergira ravnomernopo z ∈ D[a; r] za svako r koje ispunjava 0 < r < R. Dakle, granicna vrednosti beskonacna suma mogu zameniti mesta, odnosno:

limz→a

f(z) = limz→a

∞∑n=0

cn(z − a)n =∞∑n=0

limz→a

cn(z − a)n = c0 = f(c0).

Time je dokazana neprekidnost funkcije f u tacki a.Dokazujemo tvrdenje koje daje mnogo vise podataka o analitickim funkci-

jama.

Teorema 3.1.5. Ako je funkcija f analiticka u tacki a ∈ C, tada je f ′ takodeanaliticka u tacki a.

Dokaz. Bez gubljenja opstosti, neka je a = 0. Funkcija f je analiticka u 0,odakle sledi

f(z) =∞∑n=0

cnzn, z ∈ D(0;R), R = (lim sup |cn|1/n)−1.

Kako je lim sup |(n+ 1)cn+1|1/n = 1R, sledi da stepeni red

g(z) =∞∑n=1

ncnzn−1

konvergira za z ∈ D(0;R). Neka je z, w ∈ D(a;R), z 6= w. Postoji r tako daje |z|, |w| < r < R. Tada je

f(z)− f(w)

z − w− g(w) =

∞∑n=1

cn

(zn − wn

z − w− nwn−1

)

=∞∑n=2

cn

((z − w)

n−1∑k=1

kwk−1zn−k−1

).


Na osnovu |z|, |w| < r < R sledi∣∣∣∣∣n−1∑k=1

kwk−1zn−k−1

∣∣∣∣∣ ≤ 1

2rn−2n(n− 1),

te je ∣∣∣∣f(z)− f(w)

z − w− g(w)

∣∣∣∣ ≤ 1

2|z − w|

∞∑n=2

n2|cn|rn−2. (3.6)

Posmatrajmo pomocni stepeni red

∞∑n=0

n2|cn|zn.

Radijus konvergencije poslednjeg stepenog reda odreden je kao(lim sup |n2cn|1/n)

)−1= R.

Na osnovu r < R sledi da brojni red (8.6) konvergira. Stoga je

limz→w

f(z)− f(w)

z − w= g(w).

Dakle, f ′(w) = g(w) za svako w ∈ D(a;R). Prema tome, f ′ je reprezentovanastepenim redom u disku D(a;R), te je funkcija f ′ analiticka.

Posledica 3.1.1. Neka je funkcija f analiticka u tacki a ∈ C, predstavljenaredom

f(z) =∞∑n=1

cn(z − a)n, z ∈ D(a;R).

Tada za svako k ∈ N funkcija f (k) je analiticka u tacki a, i vazi ck = f (k)(a)k!

.

Dokaz. Na osnovu Teoreme 8.1.5 sledi c0 = f(a), c1 = f ′(a). Stepeni red

h(z) =∞∑n=2

n(n− 1)cn(z − a)n−2

ima isti radijus konvergencije R, odakle sledi h(z) = f ′′(z) i c2 = 12f ′′(a).

Nastavak dokaza ide analogno.

3.2. INTEGRACIJA PO PUTANJI 55

Primer 3.1.9. Funkcija 11−z =

∞∑n=0

zn je analiticka u tacki z = 0, sto sledi iz

konvergencije reda za |z| < 1.

Sada razmotrimo funkcije analiticke u tacki ∞. Svaka okolina tacke ∞sadrzi skup oblika {z : |z| > R}, gde je R > 0.

Definicija 3.1.1. Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tacke ∞, ineka se f moze predstaviti redom

f(z) =∞∑n=0

cnzn,

koji konvergira u okolini tacke ∞, odnosno konvergira u nekom skupu {z :|z| > R}. Tada je funkcija f analiticka u tacki ∞.

Iz prethodno navedenog sledi da je funkcija f analiticka u tacki z = ∞,

ako i samo ako je funkcija ξ 7→ g(ξ) = f(

1ξ

)analiticka u tacki ξ = 0.

Primer 3.1.10. Funkcija f(z) = zz−1

je analiticka u tacki z = ∞, sto sledi

iz cinjenice da je funkcija g(ξ) = f(

1ξ

)= 1

1−ξ analiticka u tacki ξ = 0.

3.2 Integracija po putanji

3.2.1 Definicija i osobine integrala

Neka je γ : [a, b]→ C putanja u C, odnosno γ je deo po deo neprekidno difer-encijabilno preslikavanje na segmentu [a, b]. Neka je f kompleksna funkcijadefinisana na kompaktu γ∗ = {γ(t) : t ∈ [a, b]}, tako da je funkcija (f ◦γ) ·γ ′integrabilna u Rimanovom smislu na [a, b]. Tada je integral funkcije f poputanji γ definisan na sledeci nacin:

∫γ

f ≡∫γ

f(z)dz =

b∫a

f(γ(t))γ ′(t)dt. (3.7)

Prema pretpostavkama, funkcija γ nema izvod u konacno mnogo tacaka seg-menta [a, b]. Stoga ove tacke zanemarimo u (8.7). Izostavljanje konacnomnogo tacaka u domenu integracije ne remeti vrednost integrala.


Ukoliko se zahteva (samo) integrabilnost funkcije (f ◦ γ)γ′ u Lebegovomsmislu na [a, b], onda se poslednji integral posmatra kao Lebegov. Na ovajnacin moze se integraliti sira klasa funkcija definisanih na γ∗.

Ako je funkcija f definisana na γ∗ i ako je (f ◦ γ) · γ ′ integrabilna nadomenu [a, b] putanje γ, tada je f integrabilna na γ.

Integracija po rektificijabilnoj krivojIntegral (8.7) je cesto definisan opstije, u odnosu na rektificijabilnu krivu γ = γ1 + iγ2.

Tada je ∫γ

f(z)dz =

∫ b

a

fdγ,

i poslednji integral je Riman-Stiltjesov, ili Lebeg-Stiltjesov. Uslov rektificijabilnosti pres-likavanja γ ekvivalentan je uslovu da je γ ogranicene varijacije na [a, b]. Odatle sledi dasu realne funkcije γ1 i γ2 ogranicene varijacije na [a, b]. Prema Zordanovoj teoremi, svakafunkcija γj je razlika dve neopadajuce funkcije na [a, b], recimo γj = γ1j −γ2j . Neopadajucefunkcije na segmentu imaju izvod u skoro svakoj tacki segmenta, i njihovi izvodi su integra-bilni u smislu Lebega na [a, b] (Lebegova teorema). Stoga funkcije γkj na jednostavan nacin

definisu pozivitne Lebeg-Stiltjesove mere dγkj = (γkj )′dm, pri cemu je sa m oznacena Lebe-

gova mera. Tada je dγ = dγ11 − dγ21 + i(dγ12 − dγ22) = γ ′dm kompleksna Lebeg-Stiltjesovamera na [a, b]. Stoga je ∫

γ

fdz =

b∫a

fdγ =

b∫a

fγ ′dm.

Dakle, integral funkcije f u odnosu na rektificijabilnu krivu γ svodi se na (8.7), akose integracija u (8.7) posmatra u Lebegovom smislu. Detalji prethodnog razmatranjapripadaju Lebegovoj teoriji integrala.

(1) Integracija po ekvivalentnim putanjamaNeka su γ1 : [a, b]→ C i γ2 : [α, β]→ C dve putanje u C. Pretpostavimo

da postoji obostrano neprekidno diferencijabilno i strogo rastuce preslika-vanje (strogo rastuci difeomorfizam) ϕ : [a, b] → [α, β] tako da je ϕ(a) = αi ϕ(b) = β. Napomenimo da inverzno preslikavanje ϕ−1 : [α, β] → [a, b] imaistva svojstva kao i ϕ. Ako je γ1 = γ2◦ϕ, onda su γ1 i γ2 ekvivalentne putanje,u oznaci γ1 ∼ γ2. Nije tesko proverti da je ∼ zaista relacija ekvivalencije uskupu svih putanja u kompleksnoj ravni.

Ako je γ jedna putanja u C, onda je [γ]∼ jedna klasa ekvivalencije relacije∼. Ako je γ1, γ2 ∈ [γ]∼, tada se cesto kaze da su γ1 i γ2 ekvivalentne para-metrizacije putanje γ. Primetimo da iz γ1 ∼ γ2 sledi γ∗1 = γ∗2 .

Cilj ovog izlaganja je da pokazemo da izbor predstavnika klase ekvivalen-cije relacije ∼, odnosno izbor ekvivalentne parametrizacije putanje, ne utice


na vrednost integrala. Drugim recima, vazi implikacija:

γ1 ∼ γ2 =⇒∫γ1

f =

∫γ2

f

za svaku funkciju f koja je integrabilna na γ1.Neka su, dakle, γ1 : [a, b]→ C i γ2 : [α, β]→ C dve ekvivalente putanje, i

neka je ϕ : [a, b]→ [α, β] strogo rastuci difeomorfizam, tako da je γ1 = γ2 ◦ϕ.Neka je f integrabilna na γ1. Prema uvedenoj definiciji integrala po putanji,kao i na osnovu Teoreme o smeni primenljive u integralu, vazi:

∫γ1

f =

b∫a

f(γ1(t))γ′1(t)dt =

b∫a

f(γ2(ϕ(t))γ′2(ϕ(t))ϕ′(t)dt

=

β∫α

f(γ2(s))γ ′(s)ds =

∫γ2

f.

Iz dokaza sledi da je f integrabilna na γ2.Na osnovu prethodne jednakosti integrala, ako je γ1 ∼ γ2, cesto se koristi

i oznaka γ1 ≡ γ2.

(2) Suprotna orijentacija putanje menja znak intrgalaRanije smo napomenuli da je putanja γ je orijentisana u smeru rasta

parametra t ∈ [a, b]. Drugim recima, γ(a) je pocetak, a γ(b) je kraj putanjeγ. U slucaju razmatranja ekvivalentnih putanja, pojavljuje se strogo rastucidifeomorfizam izmedu dva segmenta realne prave (dva domena ekvivalentnihputanja).

Sada istrazujemo slucaj kada se radi o strogo opadajucem difeomorfizmu,odnosno o parametrizaciji putanje koja menja orijentaciju polazne putanje.

Neka su γ1 : [a, b] → C i γ2 : [α, β] → C putanje u C. Pretpostavimo dapostoji strogo opadajuci difeomorfizam ψ : [a, b] → [α, β]. Drugim recima,ψ je obostrano neprekidno diferencijabilno i strogo opadajuce preslikavanje,tako da je ψ(a) = β i ψ(b) = α. Ako je γ1 = γ2◦ψ, tada putanje γ1 i γ2 imajusuprotne orijentacije, u oznaci γ1 ./ γ2. Tada je γ1(a) = γ2(β), γ1(b) = γ2(α)i γ∗1 = γ∗2 .

Sustina naseg izlaganja jeste da pokazemo da integral funkcije po putanjimenja znak, ako putanja menja orijentaciju. Neka su date dve putanje γ1 :


[a, b] → C i γ2 : [α, β] → C putanje u C, tako da je γ1 ./ γ2, i neka jeψ : [a, b]→ [α, β] odgovarajuci strogo opadajuci difeomorfizam sa svojstvomγ1 = γ2 ◦ ψ. Neka je f integrabilna funkcija na γ1. Tada je

∫γ1

f =

b∫a

f(γ1(t))γ′1(t)dt =

b∫a

f(γ2(ψ(t))γ′2(ψ(t))ψ′(t)dt

=

α∫β

f(γ2(s))γ ′(s)ds = −β∫α

f(γ2(s))γ ′(s)ds = −∫γ2

f.

Primetimo da iz dokaza sledi da je f integrabilna na γ2. Ako je γ1 ./ γ2,na osnovu prethodne formule za integrale cesto se koristi odgovajuca oznakaza suprotno orijentisane putanje: γ2 ≡ −γ1.

(3) Aditivnost integrala u odnosu na povezan domenNeka su γ1 i γ2 putanje, tako da se, u smislu njihovih orijentacija, kraj

putanje γ1 poklapa sa pocetkom putanje γ2. Uzimajuci ekvivalentne para-metrizacije putanja γ1 i γ2, bez gubljenja opstosti se moze posmatriti γ1 :[a, b] → C i γ2 : [b, c] → C, pri cemu je γ1(b) = γ2(b). Tada se posmatraputanja γ : [a, c]→ C, definisana na sledeci nacin:

γ(t) =

{γ1(t), t ∈ [a, b],

γ2(t), t ∈ [b, c].

U ovom slucaju je γ∗ = γ∗1 ∪ γ∗2 . Neka je f integrabilna funkcija na γ. Tadavazi: ∫

γ

=

c∫a

f(γ(t))γ ′(t)dt =

b∫a

f(γ1(t))γ′1(t)dt+

c∫b

f(γ2(t))γ′2(t)dt

=

∫γ1

f +

∫γ2

f.

Stoga je simbolicka oznaka γ = γ1 + γ2 i∫

γ1+γ2

=∫γ1

+∫γ2

. Putanja γ1 + γ je

povezan lanac.

(4) Aditivnost integrala u odnosu na proizvoljan domen


Neka su γ1 i γ2 dve putanje u C. Pretpostavimo da je komleksna funkcijaf definisana na γ∗1 ∪γ∗2 , tako da je f integrabilna na γ1, i da je f integrabilnana γ2. Iako putanje γ1 i γ2 nisu nuzno povezane kao u prethodnom slucaju,smatramo da je γ1 + γ2 zbir ove dve putanje, ili u opstem slucaju lanac. Akolanac putanja nije povezan, onda je nepovezan.

Smatramo da vazi ∫γ1+γ2

f =

∫γ1

f +

∫γ2

f

za svaku funkciju f definisanu na γ∗1 ∪ γ∗2 , tako da je f integrabilna i na γ1 ina γ2.

Prethodna situacija se prirodno generalizuje na lanac γ1+· · ·+γn putanjaγ1, . . . , γn.

Ako su γ1, . . . , γn zatvorene putanje, onda je γ1 + · · ·+ γn cikl u C.

(5) Linearnost integrala u odnosu na funkciju

Neka je γ : [a, b] → C putanja, i neka su f, g kompleksne i integrabilnefunkcije na γ. Ako je α, β ∈ C, tada je i funkcija αf + βg integrabilna na γ,i vazi:

∫γ

(αf + βg) =

b∫a

(αf(γ(t)) + βg(γ(t)))γ ′(t)dt

= α

b∫a

f(γ(t))γ ′(t)dt+ β

b∫1

g(γ(t))γ ′(t)dt = α

∫γ

f + β

∫γ

g.

(6) Procena gornje granice integrala

Neka je γ = x+ iy : [a, b]→ C putanja u C, i neka je f integrabilna na γ,i ogranicena funkcija na γ∗. Na osnovu integrabilnosti funkcije (f ◦ γ) · γ ′ na[a, b], sledi da je i funkcija |f ◦ γ| · |γ ′| na [a, b] integrabilna na [a, b] (videti


deo o integralima kompleksnih funkcija na realnom segmentu). Stoga je∣∣∣∣∣∣∫γ

f

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣b∫

a

f(γ(t))γ ′(t)dt

∣∣∣∣∣∣ ≤b∫

a

|f(γ(t))||γ ′(t)|dt

=

b∫a

|f(γ(t))|√

(x′(t)2 + (y′(t))2dt =

∫γ

|f |ds,

i∫γ

|f |ds je krivolinijski integral prvog reda realne funkcije |f | po putanji γ.

Kako je f ogranicena na γ∗, sledi da je f ◦γ ogranicena na [a, b], te postoji‖f‖∞ = max{|f(z)| : z ∈ γ∗}. Stoga je∣∣∣∣∣∣

b∫a

f(γ(t))γ ′(t)dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖f‖∞b∫

a

|γ ′(t)|dt = ‖f‖∞`(γ),

i `(γ) =b∫a

|γ ′(t)|dt =∫γ

ds je duzina putanje γ.

Ako je, na primer, f neprekidna na γ∗, onda je f i ogranicena na ovomskupu, jer je γ∗ kompakt. Dakle, procena u delu (6) vazi i kada je fneprekidna na γ∗.

Na kraju dokazujemo rezultat o integraciji ravnomerno konvergentnogreda funkcija.

Teorema 3.2.1. Neka je γ putanja u C i neka je∞∑n=1

fn ravnomerno kon-

vergentan red neprekidnih funkcija na γ∗. Tada vazi∫γ

f(z)dz =∞∑n=1

∫γ

fn(z)dz.

Dokaz. Red∞∑n=1

fn(z) je ravnomerno konvergentan po z ∈ γ∗. Sledi da

je red∞∑n=1

fn(γ(t)) ravnomerno konvergentan po t ∈ [a, b]. Funkcija t 7→

γ ′(t) je ogranicena i deo po deo neprekidna na [a, b]. Stoga sledi da je


red∞∑n=1

fn(γ(t))γ ′(t) ravnomerno konvergentan po t ∈ [a, b] sa izuzetkom,

eventualno, konacno mnogo tacaka ovog segmenta. Na osnovu teoreme ointegraljenju ravnomerno konvergentih redova funkcija, sledi

∫γ

f(z)dz =

b∫a

(∞∑n=1

fn(γ(t))

)γ ′(t)dt =

b∫a

(∞∑n=1

fn(γ(t))γ ′(t)

)dt

=∞∑n=1

b∫a

fn(γ(t))γ ′(t)dt =∞∑n=1

∫γ

fn(z)dz.

Time je teorema dokazana.Navodimo dva vazna primera o integraciji nekih specificnih funkcija.

Primer 3.2.1. Neka je γ : [a, b] → C putanja i neka je n ∈ N. Tada je∫γ

zndz = 1n+1

((γ(b))n+1 − (γ(a))n+1).

Ako je γ kontura i ako je P polinom, tada je∫γ

P (z)dz = 0.

Resenje. Posmatrajmo funkciju f : [a, b] → C definisanu kao f(t) =1

n+1(γ(t))n+1 za t ∈ [a, b]. Tada je f ′(t) = (γ(t))nγ′(t). Na osnovu Njutn-

Lajbnicove formule za kompleksne funkcije realne promenljive, sledi da vazi

∫γ

zndz =

b∫1

(γ(t))nγ′(t)dt =

b∫a

f ′(t)dt = f(γ(b))− f(γ(a))

=1

n+ 1

((γ(b))n+1 − (γ(a))n+1

).

Ako je P polinom, onda je P linearna kombinacija funkcija z 7→ zn. Akoje γ kontura, onda je γ(a) = γ(b). Konacan rezultat sledi na osnovu prvogdela primera.

Primer 3.2.2. Izracunati integral In =∫γr

(z − a)ndz, gde je n ceo broj, a γr

je kruznica |z − a| = r, r > 0, ”orijentisana suprotno kretanju kazaljke nacasovniku“.


Resenje. Kruznica poluprecnika r oko tacke a ima vise parametarskihjednacina. Na primer, moze biti γr(t) = a + reit za t ∈ [0, 2π] (svaka tackakruznice je dostignuta tacno jednom, osim prve i poslednje tacke; u ovomslucaju je γr kontura), ili γr,1(t) = a + reit za t ∈ [2kπ, 2mπ], pri cemu su ki m razliciti celi brojevi i k < m (ako se k i m razlikuju najmanje za 2, ondaje svaka tacka kruznice dostignuta vise puta, i tada γr,1 nije kontura).

Ako drugacije ne naglasimo, smatra se da je trazena kruznica uvek datajednacinom γr(t) = a+ reit, t ∈ [0, 2π].

Kako je γr′(t) = ireit, sledi da vazi

In = irn+1

2π∫0

ei(n+1)tdt.

Ako je n = −1, sledi I−1 = 2πi. Ako je n 6= −1, onda na osnovu Njutn-Lajbnicove formule za kompleksne funkcije realne promenljive, vazi

In =rn+1

n+ 1eit(n+1)

∣∣∣∣t=2π

t=0

= 0.

Sledi zakljucak ∫γr

(z − a)ndz =

{0, n 6= −1,

2πi, n = −1.

3.2.2 Indeks zatvorene putanje u odnosu na tacku

Prethodni Primer 8.2.2 pruza ideju za uvodenje pojma indeksa zatvoreneputanje u odnosu na tacku. U cestoj upotrebi je i obrnuta terminologija:indeks tacke u odnosu na zatvorenu putanju.

Teorema 3.2.2. Neka je γ zatvorena putanja u C i neka je z ∈ C\γ∗. Tadaje indeks zatvorene putanje γ u odnosu na tacku z sledeca velicina:

Indγ(z) =1

2πi

∫γ

dζ

ζ − z.

Funkcija z 7→ Indγ(z) slika C \ γ∗ u Z, i pri tome je Indγ konstantna napovezanim komponentama skupa C \ γ∗.


Dokaz. Funkcija γ : [a, b]→ C je neprekidna i deo po deo neprekidno diferen-cijabilna na [a, b]. Neka su x1, . . . , xn ∈ [a, b] sve tacke u kojima ne postojiizvod γ′, ili u kojima je ovaj izvod prekidan. Dodefinisemo γ′(xk) = α zasvako k = 1, . . . , n, pri cemu je α ∈ C proizvoljan fiksiran broj. Neka jez ∈ C \ γ∗, x ∈ [a, b], i posmatrajmo funkciju

F (x) =

x∫a

γ ′(t)

γ(t)− zdt.

Primetimo da je funkcija t 7→ ϕ(t) = γ ′(t)γ(t)−z Riman-integrabilna na [a, b].

Osim toga, funkcija ϕ je neprekidna na svakom od intervala [a, x1), (x1, x2),. . . , (xn, b]. Soga je funkcija F neprekidna na [a, b] i diferencijabilna nasvakom intervalu [a, x1), (x1, x2), . . . , (xn, b]. Za x ∈ [a, b] \ {x1, . . . , xn} vazi

F ′(x) =γ ′(x)

γ(x)− z.

Neka je G(x) = e−F (x)(γ(x)− z). Funkcija G je neprekidna na [a, b]. Tada je

G′(x) = e−F (x) (γ ′(x)− F ′(x)(γ(x)− z)) = 0

za svako x ∈ [a, b]\{x1, . . . , xn}. Sledi da je funkcija G konstantna na svakomintervalu [a, x1), (x1, x2), . . . , (xn, b]. Kako je G neprekidna funkcija na [a, b],sledi da je G konstantna na [a, b].

Stoga postoji C ∈ C tako da za svako x ∈ [a, b] vazi

γ(x)− z = CeF (x).

Na osnovu γ(a) = γ(b) sledi

CeF (a) = γ(a)− z = γ(b)− z = CeF (b).

Iz z /∈ γ∗ sledi da je γ(a) − z 6= 0, te je i C 6= 0. Stoga je eF (a) = eF (b). Naosnovu osobina kompleksne eksponencijalne funkcije, postoji k ∈ Z tako daje F (b) = F (a) + 2kπi. Kako je F (a) = 0, sledi da je

1

2πi

∫γ

dζ

ζ − z=

1

2πi

b∫a

γ′(t)

γ(t)− zdt =

1

2πiF (b) = k.


Dokazimo da je z 7→ Indγ(z) neprekidna funkcija. Funkcija w 7→ d(w, γ∗)je neprekidna. Vazi d(z, γ∗) = r > 0. Stoga postoji δ > 0 tako da za svakow ∈ D(z; δ) vazi d(w, γ∗) ≥ r

2. Kako za svako ζ ∈ γ∗ vazi

1

ζ − w− 1

ζ − z=

w − z(ζ − w)(ζ − z)

,

proizilazi da je ∣∣∣∣ 1

ζ − w− 1

ζ − z

∣∣∣∣ ≤ 2|w − z|r2

.

Stoga je ∣∣∣∣∣∣∫γ

(1

ζ − w− 1

ζ − z

)dζ

∣∣∣∣∣∣ ≤ 2|w − z|`(γ)

r2,

i `(γ) je duzina putanje γ. Sledi neprekidnost funkcije Indγ u tacki z.Dakle, funkcija Indγ je neprekidna i moze imati samo celobrojne vred-

nosti. Sledi da je Indγ konstantna na svakoj povezanoj komponenti skupaC \ γ∗.

Na kraju, ako z pripada neogranicenoj povezanoj komponenti skupa C \γ∗, onda se

∣∣∣ 1ζ−z

∣∣∣ moze uciniti proizvoljno malim za svako ζ ∈ γ∗. Sledi da

je Indγ(z) = 0 za svako z koje pripada neogranicenoj kompomenti skupaC \ γ∗.

Indeks zatvorene putanje γ u odnosu na tacku z treba shvatiti kao brojobilazaka putanje γ oko tacke z. Precizan dokaz se moze izvesti na osnovuposledice Kosi-Gursaove teoreme u sledecoj sekciji, kao i na osnovu Teoremeo prirastaju argumenta u sekciji 9.2.2.

3.3 Teoreme Kosija

3.3.1 Lokalna verzija Kosijeve teoreme

Integralna Kosijeva teorema i Kosijeva formula predstavljaju fundamentalnerezultate u kompleksnoj analizi. Da bi dokazali lokalnu verziju teoreme,iskoristicemo Grinovu1 teoremu u ravni.

Neka je γ putanja u R2, γ = γ1 + iγ2 (γ1 i γ2 su realne, deo po deoneprekidno diferencijabilne funkcije), i neka su funkcije (x, y) 7→ P (x, y) i

1George Green (1793-1841), britanski matematicar

3.3. TEOREME KOSIJA 65

(x, y) 7→ Q(x, y) neprekidne po (x, y) ∈ γ∗. Tada je integral drugog redavektorskog polja F = (P,Q) po putanji γ definisan kao

∫γ

F =

∫γ

Pdx+Qdy =

b∫a

P(x(t, y(t))γ′1(t) +Q(x(t), y(t))γ′2(t)

)dt.

Grinova teorema (poznata iz kurseva realne analize) glasi:

Teorema 3.3.1. Neka je γ kontura u R2, koja ogranicava oblast G0γ. Neka

su funkcije P,Q neprekidno diferencijabilne u nekoj okolini skupa G0γ. Tada

je ∫γ

Pdx+Qdy =

∫∫G0γ

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy,

pri cemu je γ orijentisana pozitivno u odnosu na G0γ.

Sada dokazujemo jednu verziju Kosijeve teoreme.

Teorema 3.3.2. Neka je f neprekidno diferencijabilna funkcija u otvorenomskupu V ⊂ C, i neka je γ kontura u V , sa svojstvom G0

γ ⊂ V . Tada je

∫γ

f(z)dz = 0.

Dokaz. Neka je domen putanje γ segment [a, b], γ = γ1 + iγ2, z = x + iyi f(z) = u(x, y) + i · v(x, y). Na osnovu Grinove teoreme i Kosi-Rimanovih


uslova, sledi da vazi

∫γ

f(z)dz =

b∫a

f(γ(t))γ ′(t)dt

=

b∫a

(u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t)

)(γ′1(t) + iγ′2(t)

)dt

=

b∫a

(u(x(t), y(t))γ′1(t)− v(x(t), y(t))γ′2(t)

)dt

+i(v(x(t), y(t))γ′1(t) + u(x(t), y(t))γ′2(t)

)dt

=

∫γ

udx− vdy + i

∫γ

vdx+ udy

=

∫∫Gγ

(∂(−v)

∂x− ∂u

∂y

)dxdy + i

∫∫Gγ

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)dxdy = 0.

Time je teorema dokazana.Funkcija f mora biti neprekidno diferencijabilna unutar konture γ, inace

prethodna teorema ne vazi.

Primer 3.3.1. Funkcija f(z) = 1z

je diferencijabilna u prstenu 0 < |z| < 2,ali je

∫c1

1zdz = 2πi 6= 0.

Osnovni cilj je dokazati prethodnu teoremu bez pretpostavke o neprekid-nosti funkcije f .

Jos jedna varijanta Kosijeve teoreme sledi.

Teorema 3.3.3. Neka je V otvoren skup u C, neka je F ∈ H(V ) i neka jeF ′ neprekidna funkcija u V . Tada za svaku zatvorenu putanju γ u V vazi∫γ

F ′(z)dz = 0.

Dokaz. Putanja γ data je kao preslikavanje t 7→ γ(t), t ∈ [a, b], pri cemuje γ(a) = γ(b). Funkcija t 7→ ϕ(t) = F (γ(t)) je deo po deo neprekidnodiferencijablna, i ϕ′(t) = F ′(γ(t))γ ′(t) za svako t ∈ [a, b]. Stoga, na osnovu


Teoreme Njutn-Lajbnica za kompleksne funkcije realne promenljive, sledi davazi ∫

γ

F ′(z)dz =

b∫a

F ′(γ(t))γ ′(t)dt = F (γ(b))− F (γ(a)) = 0.

Primer 3.3.2. Neka je V = P (0; 0, 2) = {z ∈ C : 0 < |z| < 2}, i nekaje γ1 : |z| = 1 pozitivno orijentisana kontura. Za svako n ∈ N neka jefn(z) = zn, z ∈ V .

Ako je n 6= −1 i Fn = zn+1

n+1, tada je F ∈ H(V ) i F ′n = f u V . Stoga je∫

γ1

fn(z)dz =∫γ1

zndz = 0. Videti takode Primer 8.2.1.

Neka je n = −1, i neka jeF−1(z) = lnk z jedna (bilo koja) neprekidnagrana funkcije z 7→ ln z. Ako je p bilo koja poluprava u C sa pocetkom u0, onda je F ′−1(z) = 1

z= f−1(z) za svako z ∈ V \ p. Na osnovu ranijih

razmatranja u Primeru 8.1.8, jasno je da ne moze biti F ′−1 = f−1 u skupu V .Dakle, nije moguce primeniti Teoremu 8.3.3. Sa druge strane, to je u saglas-nosti sa Primerom 8.2.2, gde je dokazano

∫γ1

1zdz = 2πi. Ovim razmatranjem

dokazano je da ne postoji primitivna funkcija funkcije z 7→ 1z

u skupu V .

3.3.2 Kosi-Gursaova teorema

Dokazacemo da, ako je kompleksna funkcija f diferencijabilna u otvorenomskupu V , onda je integral funkcije f po svakoj konturi jednak nuli. Obr-nuto, ako je f neprekidna u otvorenom skupu, i ako je integral funkcijef po svakoj konturi jednak nuli, tada je f diferencijabilna funkcija. Pritome, nametnucemo izvesna topoloska svojstva skupu V i pomenutoj kon-turi. Na kraju, ako je f diferencijabilna funkcija u otovrenom skupu, ondaje f beskonacno puta diferencijabilna u tom skupu.

Neka je ∆ = 4ABC zatvoreni trougao u C (Slika 5). Rub ovog trouglaje orijentisan pozitivno u odnosu na trougao. Neka su A1, B1, C1 sredineduzi BC, CA i AB, redom. Ove duzi su orijentisane saglasno orijentiacijiruba T = ∂∆. Na taj nacin dobijamo cetiri trougla saglasno orijentisana:na primer, u trouglu 4A1CB1 duz B1A1 je orijentisana od B1 ka A1, au trouglu A1B1C1 ista duz je orijentisana od A1 ka B1. ”Male“ trougloveoznacimo sa ∆1, . . . ,∆4, dok su njihovi rubovi orijentosane konture Tj = ∂∆j,


j = 1, . . . , 4. Neka je f neprekidna na skupu ∆. Tada je, ocigledno,∫T

fdz =4∑j=1

∫Tj

fdz.

Slika 5.

Dokazujemo sledeci rezultat.

Teorema 3.3.4. Neka je f diferencijabilna u otvorenom skupu V . Tada je∫T

fdz = 0 za svaki zatvoreni trougao ∆ ⊂ V , pri cemu je ∂∆ = T .

Dokaz. Zadrzimo oznake trouglova i njihovih rubova, kako je objasnjenopre formulacije ove teoreme. Pretpostavimo, bez gubljenja opstosti, da je∣∣∣∣∣∫T1 fdz

∣∣∣∣∣ ≥∣∣∣∣∣∫Tj fdz

∣∣∣∣∣ za j = 2, 3, 4. Neka je `(Tj) duzina konture Tj. Lako je

uociti da je `(Tj) = 12`(T ). Takode je

diam(∆j) = diam(Tj) =1

2diam(T ) =

1

2diam(∆).

Sledi da je ∣∣∣∣∣∣∫T

fdz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4

∣∣∣∣∣∣∫T1

fdz

∣∣∣∣∣∣ .


Sada postupak koji smo primenili na ∆ i T primenimo na ∆1 i T1. Dakle,dolazimo do niza trouglova

∆1 = ∆(1) ⊃ ∆(2) ⊃ · · · ,

za koje vazi

`(T (n+1)) =1

2`(T (n)), diam ∆(n+1) =

1

2diam ∆(n),

∣∣∣∣∣∣∫T (n)

fdz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∫

T(n+1)1

fdz

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Stoga je

`(T (n)) =

(1

2

)n`(T ), diam ∆(n) =

(1

2

)ndiam ∆,

∣∣∣∣∣∣∫T

fdz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4n

∣∣∣∣∣∣∣∣∫T

(n)1

fdz

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Niz (∆(n))n je niz nepraznih, opadajucih i kompaktnih skupova, ciji di-

jametri teze 0. Prema Kantorovoj Teoremi 7.2.6 sledi da je∞⋂n=1

∆(n) = {z0}.

Funkcija f je diferencijablina u tacki z0. Neka je ε > 0. Postoji δ > 0tako da je D(z0; δ) ⊂ V i za svako z ∈ D(z0; δ) \ {z0} vazi∣∣∣∣f(z)− f(z0)

z − z0

− f ′(z0)

∣∣∣∣ < ε.

Dakle, ako je |z − z0| < δ, onda je

|f(z)− f(z0)− f ′(z0)(z − z0)| ≤ ε|z − z0|.

Odaberimo n ∈ N tako da je diam ∆(n) =(

12

)ndiam ∆ < δ. Iz z0 ∈ ∆(n)

sledi ∆(n) ⊂ D(a; δ). Na osnovu Primera 8.2.1 vazi∫T (n)

dz = 0 =

∫T (n)

zdz.


Stoga je (za prethodno odabrano n) ispunjeno:∣∣∣∣∣∣∣∣∫T

(n)1

fdz

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∫T

(n)1

(f(z)− f(z0)− f ′(z0)(z − z0))dz

∣∣∣∣∣∣∣∣≤ ε

∫T (n)

|z − z0|ds ≤ ε(diam ∆(n))(`(T (n))

=

(1

4

)nε · (diam(∆)) · (`(T )).

Sledi da vazi ∣∣∣∣∣∣∫T

fdz

∣∣∣∣∣∣ ≤ ε · (diam(∆)) · (m(T )).

Kako je ε > 0 proizvoljan broj, sledi∫T

fdz = 0.

Time je teorema dokazana.

Definicija 3.3.1. Ako u svakoj tacki z oblasti G vazi F ′(z) = f(z), tada jeF primitivna funkcija funkcije f u skupu G.

Teorema 3.3.5. Neka je G oblast u C i neka je f : G → C neprekidnafunkcija. Ako je

∫T

f(z)dz = 0 za svaku trougaonu putanju T , sa svojstvom

da je T = ∂∆ i ∆ ⊂ G, tada je postoji diferencijabilna funkcija F na skupuG, tako da je F ′ = f u G.

Drugim recima, za funkciju F postoji primitivna funkcija u oblasti G.

Dokaz. Pretpostavimo da je G = D(a;R), gde je a ∈ C i R > 0. Fiksirajmotacku z0 ∈ G i definisimo funkciju F : G→ C na sledeci nacin:

F (z) =

∫[a,z]

f(w)dw,


pri cemu je [a, z] duz koja spaja tacku a i tacku z. Neka je ∆ trougaoodredena tackama a, z0, z, i neka je T = ∂∆. Tada je

∫T

f(w)dw = 0. Dakle,

∫[a,z0]

f(w)dw +

∫[z0,z]

f(w)dw = F (z).

Prema tome, vazi

F (z)− F (z0)

z − z0

=1

z − z0

∫[z0,z]

f(w)dw.

Dakle,F (z)− F (z0)

z − z0

− f(z0) =1

z − z0

∫[z0,z]

(f(w)− f(z0))dw,

odnosno∣∣∣∣F (z)− F (z0)

z − z0

− f(z0)

∣∣∣∣ ≤ sup{|f(w)− f(z0)| : w ∈ [z0, z]}|z − z0|

∫[z0,z]

dw

= sup{|f(w)− f(z0)| : w ∈ [z0, z]}.

Na osnovu neprekidnosti funkcije f sledi da je F ′(z0) = f(z).

Teorema 3.3.6. (Kosi-Gursa2) Neka je V otvoren skup u C, i neka je fdiferencijabilna funkcija u V . Tada je

∫γ

f(z)dz = 0 za svaku prostu zatvorenu

putanju γ u V .

Dokaz. Prema Teoremi 8.3.4 i Teoremi 8.3.5, sledi da je f = F ′ za nekudiferencijabilnu funkciju F u V . Prema Teoremi 8.3.3 sledi da je

∫γ

f(z)dz =

0.

3.3.3 Posledice prethodnih teorema

Dokazujemo nekoliko posledica Teoreme Kosi-Gursa.Oblast G je prosto povezana, ako za svaku zatvorenu putanju γ u V vazi

G0γ ⊂ V .

2Edouard Jean-Baptiste Goursat (1858-1936), francuski matematicar


Posledica 3.3.1. Ako je funkcija f diferencijabilna u prosto povezanoj oblastiG, onda integral

∫γ

f(z)dz ne zavisi od izbora putanje γ u oblasti G, vec samo

od pocetne i krajnje tacke te krive.

Dokaz. Neka su γ1 : [a, b] → C i γ2 : [a, b] → C putanje u skupu V . Jednos-tavnosti radi, pretpostavimo da je γ∗1 ∩ γ∗2 = ∅ (nije tesko dokazati tvrdenje iu opstijem slucaju). Tada je γ = γ1−γ2 kontura, koja ogranicava oblast G0

γ.Oblast G je prosto povezana, te je G0

γ ⊂ G. Na osnovu Teoreme Kosi-Gursa,sledi da je

∫γ

f = 0. Stoga je∫γ1

f = −∫−γ2

f =∫γ2

f .

Dokazujemo rezultat u oblastima koje nisu prosto povezane. oblasti.

Posledica 3.3.2. Neka je γ0 prosta zatvorena putanja, i neka su γ1, . . . , γnproste zatvorene putanje sadrzane unutar γ0, tako da se pomenute konturemedsobno ne presecaju. Takode, kontura γj ne obuhvata ni jednu konturu γi.

Oblast G neka je skup svih tacaka koje se nalaze unutar konture γ0, avan svih kontura γ1, . . . , γn. Neka su konture γ0, γ1, . . . , γn orijentisane poz-itivno u odnosu na skup G, odnosno pri obilasku ovih krivih u smeru rastaparametara, oblast G ostaje sa leve strane.

Neka je funkcija f diferencijabilna u nekoj okolini oblasti G. Tada vazi∫γ0

f(z)dz +n∑k=1

∫γk

f(z)dz = 0.

Dokaz. Povezimo krive γ0, γ1, . . . , γn razrezima (duzima) ν1, . . . , νn, tako daje oblast G podeljena na uniju konacno mnogo prosto povezanih oblasti Gi.Oblasti Gi su disjunktne. Tada se skup G razlikuje od skupa ∪nk=1Gk za nekedelove rubova oblasti Gi. Ako, recimo, duz ν1 pripada rubovima oblasti Gi iGj, onda je smer obilaska duzi ν1 za oblast Gi suprotan smeru obilaska duzi ν1

za oblast Gj. U ukupnoj sumi integrali (jedne iste funkcije) po ovim duzimajesu nula. Primena Teoreme Kosi-Gursa na svaku oblast Gi, uz naknadnosabiranje, dovodi do konacne formule u formulaciji teoreme.

Posledica 3.3.3. Neka je kontura γ1 unutar konture γ i neka su te kontureorijentisane pozitivno u odnosu na oblasti koje su njima ogranicene. Neka jeG skup svih tacaka koje su unutar konture γ, a izvan konture γ1. Neka jefunkcija f diferencijabilna u nekoj okolini oblasti G. Tada je∫

γ

f(z)dz =

∫γ1

f(z)dz.

3.4. INTEGRALNA FORMULA KOSIJA I POSLEDICE 73

Dokaz. Rezultat neposredno sledi primenom prethodne teoreme.Sledeci rezultat je vec sadrzan u Teoremi Kosi-Gursa.

Posledica 3.3.4. Ako je funkcija f diferencijabilna u prosto povezanoj oblastiG, onda f ima primitivnu funkciju u oblasti G.

Razdvajanjem realnog i imaginarnog dela funkcije f u oblasti G, sledi dasve primitivne funkcije od f u oblasti G imaju oblik z 7→ F1(z) + C, gde jeF1 neka primitivna funkcija od f u G, a C je proizvoljna konstanta. Vazii formula Njutn–Lajbnica za kompleksne funkcije kompleksne promenljive(uporediti sa prirodom Njutn-Lajbnicove formule za kompleksne funkcije re-alne promneljive, koja je trivijalna posledica teorije realnih funkcija realnepromenljive ).

Posledica 3.3.5. Ako je funkcija f diferencijabilna u prosto povezanoj oblastiG, tada vazi formula Njutn–Lajbnica

z1∫z0

f(ξ)dξ = F (z1)− F (z0),

gde su z0, z1 proizvoljne tacke oblasti G, funkcija F je proizvoljna primitivnafunkcija funkcije f u oblasti G, a integral je uzet po bilo kojoj prostoj deo podeo glatkoj krivoj u oblasti G koja spaja tacke z0 i z1.

3.4 Integralna formula Kosija i posledice

3.4.1 Integralna formula Kosija

Sada dokazujemo vazan rezultat Kosija. Naime, ako je diferencijabilna funk-cija f poznata na prostoj zatvorenoj putanji γ , onda je funkcija f na jedin-stven nacin odredena u skupu G0

γ.

Teorema 3.4.1. (Integralna formula Kosija) Neka je funkcija f diferenci-jabilna u prosto povezanoj oblasti G i neka γ prosta zatvorena putanja u G,pozitivno orijentisana u odnosu na oblast G0

γ. Tada za svaku tacku z ∈ G0γ

vazi formula

f(z) =1

2πi

∫γ

f(ξ)

ξ − zdξ.


Dokaz. Funkcija ξ 7→ f(ξ)ξ−z je diferencijabilna po ξ u oblasti G, sa izuzetkom

tacke z. Izaberimo ρ tako da krug |ξ − z| < ρ zajedno sa svojom granicomγρ : |ξ − z| = ρ lezi unutar zatovorene putanje γ. Tada vazi:

J =1

2πi

∫γ

f(ξ)

ξ − zdξ =

1

2πi

∫γρ

f(ξ)

ξ − zdξ

=1

2πi

∫γρ

f(ξ)− f(z) + f(z)

ξ − zdξ = J1 + f(z)

1

2πi

∫γρ

dξ

ξ − z.

gde je J1 = 12πi

∫γρ

f(ξ)−f(z)ξ−z dξ. Vazi

1

2πi

∫γρ

dξ

ξ − z= 1.

Prema tome,

J = J1 + f(z).

Dovoljno je pokazati J1 = 0. Na osnovu neprekidnosti funkcije ξ 7→ f(ξ) utacki z, za svako ε > 0 postoji δ > 0, tako da za |ξ−z| < δ vazi |f(ξ)−f(z)| <ε. Prema tome, ako je ρ < δ, onda vazi

|J1| ≤1

2π

∫γρ

|f(ξ)− f(z)||ξ − z|

ds <1

2π

ε

ρ

∫γρ

ds = ε.

J1 ne zavisi od ε, te mora biti J1 = 0, odakle sledi konacno J = f(z).

3.4.2 Svojstva analitickih funkcija

Pokazali smo ranije da je svaka analiticka funkcija obavezno i diferencijabilna.Sada pokazujemo obrnuto, fundamentalno tvrdenje.

Teorema 3.4.2. Ako je funkcija f diferencijabilna u oblasti G, tada je onaanaliticka u G.

Dokaz. Neka je a proizvoljna tacka oblasti G i neka je Kρ : |z−a| < ρ (ρ > 0)proizvoljan krug u G, tako da i kruznica γρ : |z − a| = ρ pripada skupu G.


Kruznica γρ je pozitivno orijentisana u odnosu na Kρ. Neka je z proizvoljnatacka kruga Kρ. Prema Teoremi 8.4.1 vazi

f(z) =1

2πi

∫γρ

f(ξ)

ξ − zdξ. (3.8)

Geometrijski red funkcije z 7→ 1ξ−z (z ∈ Kρ, ξ ∈ γρ) po stepenima od ξ − a

jeste:

1

ξ − z=

1

(ξ − a)(

1− z−aξ−a

) =∞∑n=0

(z − a)n

(ξ − a)n+1.

Obzirom da je ξ ∈ γρ i z ∈ Kρ, sledi da je |ξ − a| = ρ,∣∣∣ z−aξ−a

∣∣∣ = |z−a|ρ

< 1

i prethodni red ravnomerno konvergira po ξ ∈ γρ (Vajerstrasov kriterijum).Sada vazi

f(ξ)

ξ − z=∞∑n=0

f(ξ)

(ξ − a)n+1(z − a)n. (3.9)

Na osnovu neprekidnosti i ogranicenosti funkcije f(ξ) na γρ, sledi ravnomernakonvergencija reda (8.9) po ξ ∈ γρ. Integraljenjem clan po clan i koristeci(8.8), sledi

f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n,

gde je

cn =1

2πi

∫γρ

f(ξ)

(ξ − a)n+1dξ.

Poslednji red konvergira u krugu Kρ, sto znaci da je funkcija f analitickau tacki a. Kako je a proizvoljna tacka oblasti G, sledi da je f analiticka uoblasti G.

Razmatran je proizvoljan krug koji se sadrzi u skupu G. Prema tome,red konvergira na maksimalnom mogucem krugu sadrzanom u G.

Posledica 3.4.1. Funkcija f je analiticka u oblasti G, ako i samo ako je fdiferencijabilna u oblasti G.


Teorema 3.4.3. Ako je funkcija f diferencijabilna u oblasti G, onda je onabeskonacno puta diferencijabilna u toj oblasti. Vazi formula

f (n)(z) =n!

2πi

∫γρ

f(ξ)

(ξ − z)n+1dξ, z ∈ G,

gde je γρ : |ξ − z| = ρ i ova kruznica, zajedno sa odgovarajucim krugom,pripada oblasti G.

Dokaz. Ranije je dokazano f(z) = c0. Diferenciranjem reda clan po clan,indukcijom se lako dokazuje da je tvrdenje teoreme tacno.

Teorema 3.4.4. (Morera3) Neka je funkcija f neprekidna u prosto povezanojoblasti G i neka integral te funkcije po bilo kojoj konturi u oblasti G jeste nula.Tada je funkcija f analiticka u oblasti G.

Dokaz. Prema ranijem tvrdenju, za f postoji primitivna funkcija F u oblastiG. Kako je F ′(z) = f(z) za svako z ∈ G, onda je F diferencijabilna uskupu G, te je i beskonacno puta diferencijabilna. Prema tome, f mora bitianaliticka u G.

Posledica prethodnih razmatranja jeste razvoj diferencijabilne funkcije uTejlorov red.

Teorema 3.4.5. Neka je funkcija f diferencijabilna u otvorenom skupu G.Tada Tejlorov red funkcije f u okolini tacke z0 ∈ G, odnosno razvoj

∞∑n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)n

konvergira apsolutno na svakom krugu K(z0, r) ⊂ G i u svakoj tacki z ∈K(z0, r) ima sumu jednaku f(z).

Dokaz. Ako je f diferencijabilna u skupu G, onda je ona i analiticka u G.Prema tome, f se moze razviti u stepeni red oko svake tacke z0 ∈ G. Iz dokaza3.13 Teoreme, ovaj stepeni red konvergira na maksimalnom mogucem krugukoji je sadrzan u G. Takode, ranije je dokazana i formula za izracunavanjekoeficijenata tog reda.

3Giacinto Morera (1856–1909), italijanski matematicar i inzenjer


Teorema 3.4.6. Neka je (fn)n niz diferencijabilnih funkcija u prosto povezanoj

oblasti G i neka red∞∑n=0

fn ravnomerno konvergira na svakom kompaktnom

skupu sadrznom u G. Tada je funkcija

f(z) =∞∑n=0

fn(z) (3.10)

diferencijabilna u skupu G i u svakoj tacki tog skupa moze se diferenciraticlan po clan proizvoljno mnogo puta.

Dokaz. Neka je z0 ∈ G proizvoljna tacka i neka je ρ > 0 tako da krugK = K[z0, ρ] pripada skupu G. Posmatrani red je ravnomerno konvergentanna kompaktu K i sledi da je funkcija f neprekidna na K. Posmatramokruznicu γρ: z = z0 +ρeit, t ∈ [0, 2π]. Tada je red

∑fn(z0 +ρeit) ravnomerno

konvergentan po t ∈ [0, 2π], te se moze integraliti clan po clan i novodobijenired je ravnomerno konvergetan na istom skupu. Tada je∫

γρ

f(z)dz =∞∑n=0

∫γρ

fn(z)dz = 0.

Poslednji integral je nula, jer su sve funkcije fn analiticke u prosto povezanojoblasti G. Prema Teoremi Morere 8.4.4, funkcija f je analiticka u G.

Pomnozimo sada dati funkcionalni red (8.10) analitickom funkcijom z 7→k!

2πi(z−z0)k+1 u skupu G \ {z0}. Poslednja funkcija je neprekidna (stoga i

ogranicena) na γ∗ρ . Sledi da je novodobijeni funkcionalni red

k!f(z)

2πi(z − z0)k+1=∞∑n=0

k!fn(z)

2πi(z − z0)k+1

ravnomerno konvergentan po z ∈ γr. Novim integraljenjem proizilazi

f (k)(z0) =k!

2πi

∫γρ

f(z)

(z − z0)k+1dz =

∞∑n=0

k!

2πi

∫γρ

fn(z)

(z − z0)k+1dz

=∞∑n=0

f (k)n (z0).

Razmatramo rezultate o jedinstvenosti analitickih funkcija u oblasti. Do-kazujemo jedno korisno tvrdenje o nulama analitickih funkcija.


Teorema 3.4.7. Neka je funkcija f diferencijablina u nekom krugu G sacentrom u tacki a, funkcija f nije identicki jednaka 0 u G, i neka je f(a) = 0.Tada postoji krug K(a, r) ⊂ G u kome funkcija f nema drugih nula osimtacke a.

Dokaz. Posmatrajmo Tejlorov red funkcije f oko tacke a

f(z) =∞∑n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n

koji konvergira na skupu G.Ako su svi koeficijenti u Tejlorovom redu jednaki nuli, onda je i funkcija f

identicki jednaka nuli u skupu G, sto nije moguce prema nasoj pretpostavci.Prema tome postoji k, koji je najmanji moguci indeks sa svojstvom

f (k)(a) 6= 0. Tada je

f(z) = (z − a)k(f (k)(a)

k!+f (k+1)(a)

(k + 1)!(z − a) + · · ·

)Funkcija

g(z) =f(z)

(z − a)k=f (k)(a)

k!+f (k+1)(a)

(k + 1)!(z − a) + · · ·

je analiticka u skupu G, jer je predstavljena stepenim redom. Specijalno,

g(a) = f (k)(a)k!6= 0. Na osnovu neprekidnosti funkcije g sledi da je g(z) 6= 0 u

nekom krugu K(a, r). Ocigledno je tacka a jedina nula funkcije f(z) u kruguK(a, r).

Teorema 3.4.8. Neka je (an)n niz tacaka u oblasti G i limn→∞

an = a ∈ G.

Ako su f i g analiticke funkcije u oblasti G sa svojstvom da je f(an) = g(an)za svako n, tada je f(z) = g(z) za svako z ∈ G.

Dokaz. Posmatramo funkciju z 7→ Φ(z) = f(z)−g(z), cije su nule a1, a2, . . . .Na osnovu neprekidnosti funkcije Φ sledi Φ(a) = 0. Prema Teoremi 8.4.7,funkcija Φ je identicki jednaka nuli u nekom krugu sa centrom u a. Neka jeD = {z ∈ G : Φ(z) = 0} i neka je E unutrasnjost skupa D. Ako je E = G,onda je Φ(z) = 0 za svako z ∈ G, odnosno f(z) = g(z) za svako z ∈ G iteorema je dokazana. Pretpostavimo da je E 6= G. Postoji rubna tacka bskupa E sa svojstvom da b ∈ G. To znaci Φ(b) 6= 0. Medutim, postoji i


niz tacaka (bn)n, bn ∈ E, sa svojstvom limn→∞

bn = b. Na osnovu neprekidnosti

funkcije Φ, sledi Φ(b) = 0 i Φ(z) = 0 za z u nekoj okolini tacke b. Odavdesledi b ∈ E, sto je suprotno polaznoj pretpostvaci da je b rubna tacka skupaE. Prema tome, E = G i teorema je pokazana.

Dokazujemo vaznu posledicu o analitickim funkcijama, ciji je izvod jednaknuli.

Teorema 3.4.9. Neka je f = u+ iv analiticka funkcija u oblasti G, sa svoj-stvom da je f ′(z) = 0 za svako z ∈ G. Tada je f konstantna funkcija naskupu G.

Dokaz. Na osnovu f ′(z) = 0 sledi∂u

∂x=

∂u

∂y=

∂v

∂x=

∂v

∂y= 0 za svako

(x, y) ∈ G. Odavde sledi da su u i v konstantne na skupu G, te je i fkonstanta na skupu G.

Teorema 3.4.10. (Liuvil4) Ako je funkcija f analiticka i ogranicena naskupu C, tada je f konstantna na C.

Dokaz. Prema pretpostavci, vazi

M = supz∈C|f(z)| <∞.

Neka je γρ kruznica da centrom u z ∈ C poluprecnika ρ. Na osnovu Kosijeveformule za prvi izvod, vazi

|f ′(z)| = 1

2π

∣∣∣∣∣∣∫γρ

f(ξ)

(ξ − z)2dξ

∣∣∣∣∣∣ ≤ 1

2π

∫γρ

|f(z)|ρ2

ds ≤ M

ρ.

Kako je ρ > 0 proizvoljan, sledi f ′(z) = 0. Proizilazi da je f konstantnafunkcija na C.

Navodimo rezultat koji je poznat kao osnovna teorema algebre. Tvrdimoda polinom pozitivnog stepena sa kompleksnim keoficijentima mora imatibar jednu kompleksnu nulu. Ako je tacka a ∈ C nula polinoma P stepenan, tada je P (z)

z−a polinom stepena n− 1, koji po istoj teoremi ima jednu kom-pleksnu nulu. Nastavljajuci postupak, proizilazi da polinom stepena n iman kompleksnih nula, pri cemu se racunaju i njihove visestrukosti. Na primer,tacka a je nula visestrukosti (reda) k za polinom P , ako je P (z)

(z−a)kpolinom,

dok P (z)(z−a)k+1 nije polinom.

4Joseph Liouville (1809–1882), francuski matematicar


Teorema 3.4.11. Neka je P polinom stepena n ≥ 1 sa kompleksnim koefi-cijentima. Tada postoji bar jedna tacka a ∈ C za koju je P (a) = 0.

Dokaz. Pretpostavimo da je P (z) 6= 0 za svako z ∈ C. Tada je funkcijaf(z) = 1

P (z)analiticka u C. Ocigledno je lim

z→∞|P (z)| = ∞, odakle sledi da

je funkcija f ogranicena na C. Prema Liuvilovoj teoremi f je konstantnafunkcija na C. Sledi da je P polinom stepena nula, sto je suprotno pret-postavci. Stoga postoji tacka a ∈ C sa svojstvom P (a) = 0.

Primer 3.4.1. Ako je b > 0, izracunati integrale

+∞∫−∞

e−x2

cos 2bx dx i

+∞∫−∞

e−x2

sin 2bx dx.

Resenje. Posmatra se funkcija f(z) = e−z2. Neka je R > 0 i date su tacke

A(−R, 0), B(R, 0), C(R, b), D(−R, b). Ove cetiri tacke odreduju pravougaoniku kompleksnoj ravni i orijentisemo pozitivno rub ovog pravougaonika. Nekaje γ = AB +BC + CD +DA. Na osnovu Kosijeve teoreme vazi∫

γ

f(z)dz = 0.

Neka je I1 =∫AB

f(z)dz, I2 =∫BC

f(z)dz, I3 =∫CD

f(z)dz i I4 =∫DA

f(z)dz.

Ako je z = x ∈ AB, tada je dz = dx i

I1 =

+R∫−R

e−x2

dx, limR→+∞

I1 =

+∞∫−∞

e−x2

dx =√π.

Ako je z ∈ BC, tada je z = R + iy, 0 ≤ y ≤ b. Stoga je dz = idy i

I2 =

b∫0

e−(R2−y2+2Riy)idy = ie−R2

b∫0

ey2

e−2Riydy.

Na osnovu prethodnog sledi

|I2| = e−R2

∣∣∣∣∣∣b∫

0

ey2

e−2iRydy

∣∣∣∣∣∣ ≤ e−R2

b∫0

ey2

dy.


Stoga jelim

R→+∞I2 = 0.

Ako je z ∈ CD, tada je z = x+ ib, dz = dx i

I3 = −+R∫−R

e−(x2−b2+2bix)dx = −eb2+R∫−R

e−x2

(cos 2bx− i sin 2bx)dx.

Ako je z ∈ DA, tada je z = −R + iy, dz = idy i

I4 =

0∫b

e−(R2−y2−2Riy)idy.

Sada je

|I4| ≤ e−R2

b∫0

ey2

dy, limR→+∞

I4 = 0.

Iz svega navedenog sledi

√π = eb

2

+∞∫−∞

e−x2

cos 2bx dx− ieb2+∞∫−∞

e−x2

sin 2bx dx.

Prema tome,

+∞∫−∞

e−x2

cos 2bx dx =

√π

eb2,

+∞∫−∞

e−x2

sin 2bx dx = 0. 4

Primer 3.4.2. Izracunati Frenelove5 integrale+∞∫0

cosx2dx i+∞∫0

sinx2dx.

Resenje. Neka je R > 0. Date su tace O(0, 0), A(R, 0), B(R√

22, R√

22

). Tacke

A i B spojene su kruznicom poluprecnika R sa centrom u O. OA i BO su

5Augustin-Jean Fresnel (1788-1827), francuski inzenjer i fizicar


duzi. Tada je OAB pozitivnop orijentisan ”krivolinijski“ trougao. Posmatrase funkcija f(z) = eiz

2. Na osnovu Kosijeve teoreme je∫

OAB

f(z)dz = 0.

Neka je I1 =∫OA

f(z)dz, I2 =∫AB

f(z)dz, I3 =∫BO

f(z)dz. Ako je z ∈ OA,

tada je z = x, dz = dx i

I1 =

R∫0

cosx2dx+ i

R∫0

sinx2dx.

Ako je z = x+ iy ∈ AB, tada je x = R cosϕ, y = R sinϕ, ϕ ∈ [0, π/4] i

I2 =

π/4∫0

eiR2(cos 2ϕ+i sin 2ϕ)iR(cosϕ+ i sinϕ)dϕ

= iR

π/4∫0

ei(R2 cos 2ϕ+ϕ)e−R

2 sin 2ϕdϕ.

Odavde neposredno sledi procena

limR→+∞

I2 = 0.

Ako je z ∈ BO, tada je z = reiπ/4, r ∈ [0, R], z2 = ir2, dz =(

1√2

+ i 1√2

)dr i

I3 =

0∫R

e−r2

(1√2

+ i1√2

)dr = −

√2

2(1 + i)

R∫0

e−r2

dr.

Prema tome,

limR→+∞

I3 = −√

2π

4(1 + i).

Sledi+∞∫0

sinx2dx =

+∞∫0

cosx2dx =

√2π

4.

Glava 4

Meromorfne funkcije

4.1 Loranov red i racun ostatka

4.1.1 Izolovani singulariteti

Kompleksan red oblika+∞∑

n=−∞

an, (4.1)

jeste suma redova∞∑n=0

an i∞∑n=1

a−n, (4.2)

ukoliko oba reda u (9.2) konvergiraju. Red∞∑n=1

a−n jeste glavni deo, a red

∞∑n=0

an jeste analiticki (regularni) deo reda (9.1).

Ako je funkcija f analiticka u okolini tacke a, tada se funkcija f mozerazviti u Tejlorov red oko tacke a. U mnogim problemima razmatraju sefunkcije koje su analiticke u prstenu P (a; r) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r}, akoje nisu obavezno analiticke u tacki a. Opstije, moze se posmatrati i prstenP (a; r, R) = {z ∈ C : r < |z − a| < R}. Tada se funkcija moze razviti uLoranov1 red oko tacke a.

Teorema 4.1.1. (Loran) Neka je funkcija f analiticka u skupu P = P (a; r, R) ={z ∈ C : r < |z−a| < R}. Tada funkcija f moze biti predstavljena Loranovim

1Pierre Alphonse Laurent (1813–1854) francuski matematicar

83

84 GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE

redom

f(z) =+∞∑

n=−∞

cn(z − a)n,

koji je apsolutno konvergentan za svako z ∈ P i ravnomerno konvergentanna svakom kompaktnom podskupu od P . Stavise, koeficijenti cn dati su for-mulama

cn =1

2πi

∫γρ

f(z)

(z − a)n+1dz, n = 0,±1,±2, . . . ,

pri cemu je γρ: |z − a| = ρ (r < ρ < R) pozitivno orijentisana kontura.

Dokaz. Neka je z ∈ P proizvoljna tacka i posmatrajmo brojeve r1, r2, R1, R2

sa sledecim svojstvom: r < r1 < r2 < |z − a| < R2 < R1 < R. Neka jeP1 = {z ∈ C : r2 < |z − a| < R2} ⊂ P . Kruznice γr1 i γR1 su orijentisanopozitivno u odnosu na skup P1. Prema integralnoj formuli Kosija vazi

f(z) =1

2πi

∫γr1+γR1

f(ξ)

ξ − zdξ =

1

2πi

∫γr1

f(ξ)

ξ − zdξ +

1

2πi

∫γR1

f(ξ)

ξ − zdξ.

Za svako ξ ∈ γR1 vazi∣∣∣ z−aξ−a

∣∣∣ ≤ R2

R1= q < 1. Koristeci konvergenciju reda∑

qn i Vajerstrasov kriterijum za ravnomernu konvergenciju funkcionalnihredova, sledi da red

1

ξ − z=

1

(ξ − a)(

1− z−aξ−a

) =∞∑n=0

(z − a)n

(ξ − a)n+1(4.3)

ravnomerno konvergira po ξ ∈ γ∗R1i ravnomerno po z ∈ P1. Red (9.3) mno-

zimo neprekidnom (stoga i ogranicenom) funkcijom ξ 7→ f(ξ)2πi

i dobijeni redravnomerno konvergira po ξ ∈ γR1 . Zato se ovaj red moze integraliti clan poclan, odnosno:

1

2πi

∫γR1

f(ξ)

ξ − zdξ =

1

2πi

∞∑n=0

(z − a)n∫γR1

f(ξ)

(ξ − a)n+1dξ (4.4)

=∞∑n=0

cn(z − a)n, (4.5)

4.1. LORANOV RED I RACUN OSTATKA 85

gde je

cn =1

2πi

∫γR1

f(ξ)

(ξ − a)n+1dξ, n = 0, 1, 2, . . .

Pri tome red (9.4) konvergira ravnomerno po z ∈ P1.Sa druge strane, za ξ ∈ γr1 vazi

∣∣ ξ−az−a

∣∣ ≤ r1r2

= p < 1. Geometrijski red∑pn konvergira. Na osnovu Vajerstrasovog kriterijuma sledi da red

− 1

ξ − z=

1

(z − a)(1− ξ−a

z−a

) =∞∑n=1

(ξ − a)n−1

(z − a)n(4.6)

ravnomerno konvergira po ξ ∈ γr1 i ravnomerno po z ∈ P1. Mnozenjem

reda (9.6) ogranicenom funkcijom ξ 7→ f(ξ)2πi

, sledi da i novi red konvergiraravnomerno po ξ ∈ γ∗r1 . Integraljenjem novodobijenog reda proizilazi:

1

2πi

∫γr1

f(ξ)

ξ − zdξ = −

∞∑n=1

1

(z − a)n1

2πi

∫γr1

f(ξ)(ξ − a)n−1dξ (4.7)

=∞∑n=1

dn(z − a)n

, (4.8)

gde je

dn = − 1

2πi

∫γr1

f(ξ)(ξ − a)n−1dξ, n = 1, 2, . . .

Pri tome red (9.7) konvergira ravnomerno po z ∈ P1.Neka je γρ kruznica sa centrom u tacki a poluprecnika ρ, r < ρ < R,

orijentisana suprotno smeru kretanja kazaljke na casovniku. Kruznica γr1 je,medutim, orijentisana pozitivno u odnosu na skup P1, prema tome u smerukretanja kazaljke na casovniku. Primenimo pravilo o jednakosti integrala pokonturama γρ i γ−r1 . Sledi da vazi

dn =1

2πi

∫γρ

f(ξ)

(ξ − a)n+1dξ, n = −1,−2, . . . .

Zakljucak je da Loranov red konvergira ravnomerno po z ∈ P1. Lako jeproveriti da ovaj red ravnomerno konvergira na svakom kompaktnom pod-skupu od P .


Ocigledno, forma za izracunavanje koeficijenata Loranovog reda funkcijeista je kao i forma za izracunavanje koeficijenata Tejlorovog red analitickefunkcije u krugu.

Primer 4.1.1. Razviti funkciju f(z) = 1(z−1)(z−2)

u Loranov red u oblastimau kojima je to moguce.

Resenje. Funkcija f je analiticka u sledecim prstenima: P1 = {z ∈ C : |z| <1}, P2 = {z ∈ C : 1 < |z| < 2} i P3 = {z ∈ C : 2 < |z|}. Ekvivalentan zapisfunkcije f jeste

1

(z − 1)(z − 2)=

1

z − 2− 1

z − 1.

Razmotrimo razvoj ove funkcije u skupu P1. Vazi

1

z − 2= −1

2

1

1− z2

= −1

2

∞∑n=0

(z2

)n(4.9)

i ovaj red konvergira za |z| < 2. Takode je

− 1

z − 1=∞∑n=0

zn

i red konvergira za |z| < 1. Prema tome, za z ∈ P1 vazi sledeci razvoj funkcijef u Tejlorov red

f(z) =∞∑n=0

(1− 1

2n+1

)zn.

U skupu P2 red (9.9) je konvergentan. Takode vazi

− 1

z − 1= − 1

z(1− 1

z

) = −1

z

∞∑n=0

z−n = −−∞∑n=−1

zn (4.10)

i red konvergira za |z| > 1. Ako je z ∈ P2, onda je Loranov red funkcije fdat kao

f(z) = −−∞∑n=−1

zn −∞∑n=0

2−n−1zn.

Na kraju, posmatramo skup P3 u kome red (9.10) konvergira. Tada je

1

z − 2=

1

z

1

1− 2z

=−∞∑n=−1

2−n−1zn =−∞∑n=−1

zn

2n+1.


Loranov red funkcije f u skupu P3 je

f(z) =−∞∑n=−1

(1

2n+1− 1

)zn.

Lako je uopstiti pokazanu metodu na skup svih racionalnih funkcija.Naime, svaka racionalna funkcija se moze prikazati kao suma jednog poli-noma i izvesnog broja funkcija oblika z 7→ Ai

z−ai . Pri tome su ai nule polinomakoji je u imeniocu polazne racionalne funkcije, a brojevi Ai se odreduju do-bro poznatom metodom ”neodredenih koeficijenata“ (prisetiti se integracijeracionalnih funkcija jedne realne promenljive).

4.1.2 Tipovi singulariteta

Tacka a ∈ C je izolovani singularitet funkcije f , ako je funkcija f diferenci-jabilna u skupu P (a; r) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r} za neko r > 0. Tacka ∞je izolovani singularitet funkcije f , ako je funkcija f diferencijabilna u skupuP (∞;R) = {z ∈ C : |z| > R} za neko R > 0.

Izolovani singularitet a ∈ C jeste otklonjivi singularitet funkcije f , akopostoji konacna granicna vrednost lim

z→af(z).

Izolovani singularitet a ∈ C jeste pol funkcije f , ako je limz→a

f(z) =∞.

Izolovani singularitet a ∈ C je sustinski (esencijalni) singularitet funkcijef , ako ne postoji granicna vrednost lim

z→af(z).

Teorema 4.1.2. Neka je a ∈ C izolovani singularitet funkcije f . Tada jea otklonjivi singularitet funkcije f , ako i samo ako je glavni deo Loranovogreda funkcije f oko tacke a identicki jednak nuli.

Dokaz. Pretpostavimo da je tacka a otklonjiv singularitet funkcije f . Tadapostoji konacna granicna vrednost lim

z→af(z) = A. Sledi da je funkcija f

ogranicena u okolini tacke a, odnosno postoji broj M > 0, tako da je |f(z)| ≤M za svako z ∈ P (a; r), gde je r > 0 neki broj. Za niz (cn)n koeficijenataLoranovog razvoja funkcije f(z) u okolini tacke a vazi procena:

|cn| ≤1

2π

∫γρ

|f(ξ)||(ξ − z)n+1|

ds ≤ M

ρn, n = 0,±1,±2, . . . (4.11)


pri cemu je 0 < ρ < r i γρ je pozitivno orijentisana kruznica. Ako je n < 0,onda desna strana nejednakosti (9.11) tezi nuli kada ρ → 0. Obzirom dacn ne zavisi od izbora poluprecnika ρ, sledi da mora biti cn = 0 za n < 0,odnosno glavi deo Loranovog reda je identicki jednak nuli.

Obrnuto, ako je glavni deo Loranovog reda funkcije f u okolini tackea identicki jednak nuli, tada je Loranov red u stvari Tejlorov red funkcijef u skupu P (a; r) = {z : 0 < |z − a| < r} za neko r > 0. Neka je gsuma ovog reda u domenu (krugu) u kome red konvergira. Ovom kruguocigledno pripada tacka a. Stoga, postoji g(a) = c0. Na osnovu Teoreme ojedinstvenosti analiticke funkcije, vazi g(z) = f(z) za svako z ∈ P (a; r), teje lim

z→af(z) = g(a) = c0 ∈ C. Samim tim, tacka a je otklonjivi singularitet

funkcije f .Iz dokaza prethodne teoreme proizilazi sledeci rezultat.

Posledica 4.1.1. Neka je a ∈ C izolovani singularitet funkcije f . Tada jea otklonjivi singularitet, ako i samo ako je funkcija f ogranicena u okolinitacke a.

Zapazanje 4.1.1. Ako je f definisana u tacki a i tacka a je otklonjivi singu-laritet funkcije f , tada je funkcija f analiticka u tacki a.

Ako je a otklonjivi singularitet funkcije f i funkcija f nije definisana utacki a, tada se dodefinise f(a) = lim

z→af(z). Ovako definisana funkcija f je

analiticka u tacki a.

Teorema 4.1.3. Neka je tacka a ∈ C izolovani singularitet funkcije f . Tadaje tacka a pol funkcije f , ako i samo ako je glavni deo Loranovog reda funkcijef u okolini tacke a netrivijalan i sadrzi konacno mnogo clanova razlicitih odnule. Drugim recima, Loranov red funkcije f u okolini tacke a jeste

f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n +N∑n=1

c−n(z − a)−n,

pri cemu je N > 0.

Dokaz. Neka je tacka a pol funkcije f . Iz cinjenice limz→a

f(z) = ∞ sledi

da postoji skup P = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r} u kome je funkcija fanaliticka i razlicita od nule. Tada je funkcija g(z) = 1

f(z)analiticka u skupu

D i limz→a

g(z) = 0. Sledi da je tacka a otklonjivi singularitet funkcije g. Iz


cninjenice g(a) = 0 sledi da je bar prvi koeficijent u Tejlorovom redu funkcijeg u tacki a jednak nuli. Drugim recima,

g(z) = (z − a)N(bN + bN+1(z − a)1 + · · ·

), N > 0.

Tada je

f(z) =1

(z − a)N· 1

bN + bN+1(z − a)1 + · · ·=

1

(z − a)N· h(z),

gde je

h(z) =1

bN + bN+1(z − a)1 + · · ·analiticka funkcija u tacki a. Zato je

h(z) = c−N + c−N+1(z − a) + · · · , c−N =1

bN6= 0.

Sledi da je Loranov red funkcije f u tacki a dat kao

f(z) =c−N

(z − a)N+

c−N+1

(z − a)N−1+ · · ·+ c−1

(z − a)+∞∑n=0

cn(z − a)n, (4.12)

odnosno glavni deo ovog reda je netrivijalan i ima konacno mnogo clanovakoji nisu jednaki nuli.

Obrnuto, neka je f predstavljena Loranovim redom oblika (9.12), gde jeN > 0 i c−N 6= 0. Funkcija g(z) = (z − a)Nf(z) je analiticka u tacki a, jerje u toj tacki predstavljena Tejlorovim redom. Takode je g(a) = lim

z→ag(z) =

c−N 6= 0. Stoga je

limz→a

f(z) = limz→a

g(z)

(z − a)N=∞,

odnosno a je pol funkcije f(z).

Posledica 4.1.2. Neka je tacka a izolovani singularitet funkcije f . Tacka aje pol funkcije f , ako i samo ako je funkcija g(z) = 1

f(z)analiticka u tacki a

i g(a) = 0.

Dokaz. Ako je a pol funkcije f , onda je g(z) = f(z)−1 analiticka funkcija utacki a, kao i g(a) = 0.

Obrnuto, neka je g analiticka u tacki a i neka je g(a) = 0. Postoji skupP (a; r) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r} u kome je funkcija z 7→ f(z) = g(z)−1

analiticka i razlicita od nule. Iz cinjenice limz→a

f(z) = ∞ sledi da je a pol

funkcije f .


4.1.3 Red pola

Prema ranijim rezultatima tacka a ∈ C pol funkcije f ako i samo ako glavnideo Loranovog reda funkcije f u tacki a ima konacno mnogo clanova razlicitihod nule, recimo N , pri cemu je N ≥ 1. Tada je 0 = g(a) = g′(a) = · · · =g(N)(a), gde je g(z) = f(z)−1. Broj N jeste red pola a funkcije f .

Teorema 4.1.4. Neka je tacka a izolovani singularitet funkcije f . Tackaa je esencijalni singularitet funkcije f ako i samo ako glavni deo Loranovogreda funkcije f oko tacke a sadrzi beskonacno mnogo clanova koji su razlicitiod nule.

Dokaz. Tacka a je otklonjiv singularitet ili pol funkcije f ako i samo ako glavnideo Loranovog reda ima najvise konacno mnogo clanova koji su razliciti odnule. Prema tome, tacka a je esencijalni singularitet funkcije f ako i samo akoglavni deo Loranovog reda funkcije f oko tacke a sadrzi beskonacno mnogoclanova koji su razliciti od nule.

Sledece tvrdenje uporediti sa Rimanovom teoremom o uslovno konver-gentnim redovima.

Teorema 4.1.5. (Sohocki2) Ako je tacka a esencijanli singularitet funkcijef , tada za svako A ∈ C postoji niz tacaka (zn)n u skupu C sa svojstvomlimn→∞

zn = a i limn→∞

f(zn) = A.

Dokaz. Pretpostavimo da je A =∞. Funkcija f nije ogranicena ni u jednomprstenu P (a; r) = {z ∈ C : 0 < |z−a| < r}. Prema tome, postoji r1 > 0 takoda je |f(z)| > 1 za svako z ∈ P (a; r1). Analogno, postoji r2, 0 < r2 < r1,tako da je |f(z)| > 2 za svako z ∈ P (a; r2). Na ovaj nacin konstruisemo niz(zn)n sa svojstvom lim

n→∞zn = a i lim

n→∞f(zn) =∞.

Neka je A ∈ C. Pretpostavimo da ne postoji niz tacaka (zn)n za koji vazilimn→∞

zn = a i limn→∞

f(zn) = A. Tada postoji neki prsten P (a; r) tako da za

svako z ∈ P (a; r) vazi f(z) 6= A. U skupu P (a; r) funkcija g(z) = 1f(z)−A

jeste analiticka. Tacka a je izolovani singularitet funkcije g(z). Vazi f(z) =A + 1

g(z). Ako bi postojao lim

z→ag(z) kao konacan broj ili beskonacnost, onda

bi postojao i limz→a

f(z) kao konacan broj ili beskonacnost, odakle bi sledilo

da je tacka a otklonjiv singularitet ili pol funkcije f . Prema tome, sledi dalimz→a

g(z) ne postoji. Prema pokazanom prvom delu, postoji niz tacaka (zn)n

sa svojstvom limn→∞

zn = a i limn→∞

g(zn) =∞. Tada je limn→∞

f(zn) = A.

2Julian Karol Sochocki (1842-1927), poljsko-ruski matematicar


4.1.4 Slucaj a =∞Ako je a =∞ izolovani singularitet funkcije f , tada treba posmatrati funkciju

g(ξ) = f(

1ξ

)u okolini tacke b = 0. Priroda izolovanog singulariteta a = ∞

funkcije f ekvivalentna je prirodi izolovanog singulariteta b = 0 funkcije g.

Definicija 4.1.1. Funkcija f je cela, ako je analiticka u skupu C.

Funkcija f je meromorfna u oblasti G, ako je f analiticka funkcija u Gsa izuzetkom nekog skupa tacka koje su polovi funkcije f .

Primer 4.1.2. Funkcije tg z i ctg z su meromorfne funkcije u C, koje imajubeskonacno mnogo polova u C.

4.1.5 Ostaci (rezidumi)

Ranije dokazana Kosijeva teorema tvrdi da je integral analiticke funkcije posvakoj konturi u prosto povezanoj oblasti jednak nuli. Opstije funkcije odanalitickih jesu meromorfne.

Neka su γ1 i γ2 konture u oblasti G, tako da je γ1 unutar konture γ2, i nekaje P skup svih tacaka skupa G koje su van γ1 a unutar γ2. Ako je funkcijaf analiticka u nekoj okolini skupa P , tada je

∫γ1

f(z)dz =∫γ2

f(z)dz. Ova

cinjenica je od posebnog interesa ako je, recimo, tacka a jedini pol funkcijef(z) unutar konture γ1 (a samim tim i unutar γ2).

Definicija 4.1.2. Neka je tacka a izolovani singularitet funkcije f i neka jef analiticka u prstenu P (a;R) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < R}. Ako je r brojza koji vazi 0 < r < R, tada je

Resaf =

1

2πi

∫γr

f(z)dz

ostatak funkcije f u tacki a, pri cemu je γr : |z−a| = r pozitivno orijentisanakruznica.

Prema ranije pokazanim rezultatima, izbor broja r ∈ (0, R) ne utice navrednost ostatka Resa f . Opstije, moze se uzeti bilo koja kontura oko tackea u disku P (a; r).


Teorema 4.1.6. (Kosijeva teorema o ostacima) Neka je G oblast u C i nekaje D (D ⊂ G) konacan podskup od G. Ako je funkcija f analiticka u skupuG \ D, pri cemu je svaka tacka skupa D izolovani singularitet funkcije f , iako je γ pozitivno orijentisana kontura u G oko skupa D, tada je∫

γ

f(z)dz = 2πi∑a∈D

Resaf.

Dokaz. Neka je D = {a1, . . . , ak} i neka je γi kontura oko ai, tako da γi i γjnemaju zajednickih tacaka, niti je γj sadrzana u γi za i 6= j, sa svojstvom daje svaka kontura γi sadrzana u konturi γ. Pretpostavimo da su sve kontureorijentisane suprotno kretanju kazaljke na casovniku. Ranije je dokazano∫

γ

f(z)dz =k∑i=1

∫γi

f(z)dz.

Sada jednostavno sledi tvrdenje ove teoreme.

Teorema 4.1.7. Neka je tacka a izolovani singularitet funkcije f i neka jec−1 prvi koeficijenat u glavnom delu Loranovog reda funkcije f oko tacke a.Tada je

c−1 = Resaf.

Posledica 4.1.3. Ako je tacka a otklonjivi singularitet funkcije f(z), tadaje Res

af = 0.

4.1.6 Izracunavanje ostatka funkcije u polu

Neka je tacka a pol funkcije f prvog reda. Tada je Loranov red funkcije f utacki a:

f(z) =c−1

z − a+∞∑n=0

cn(z − a)n,

odakle sledic−1 = lim

z→a(z − a)f(z). (4.13)

Opstije, neka je f(z) = g(z)h(z)

analiticka u nekom prstenu oko tacke a, pri

cemu je g(a) 6= 0, h(a) = 0 i h′(a) 6= 0. Na osnovu razvoja funkcije h u


Tejlorov red oko tacke a, sledi da postoji analiticka funkcija h1, tako da jeh(z) = (z−a)h1(z) i h′(a) = h1(a) 6= 0. Funkcija 1

h1(z)je analiticka u tacki a.

Razvojem funkcija g i h1 u Tejlorov red oko tacke a, lako je zakljuciti da jetacka a pol prvog reda funkcije f(z) = g(z)

(z−a)h1(z). Prema prethodnoj formuli

vazi

Resaf = lim

z→a

(z − a)g(z)

h(z)= lim

z→a

g(z)h(z)−h(a)

z−a

=g(a)

h′(a). (4.14)

Neka sada funkcija f ima pol reda n u tacki a. Tada je

f(z) =c−n

(z − a)n+

c−n+1

(z − a)n−1+ · · ·+ c−1

z − a+∞∑k=0

ck(z − a)k.

Mnozenjem prethodnog izraza sa (z−a)n, zatim diferenciranjem (n−1) putapo z, sledi

c−1 =1

(n− 1)!limz→a

[(z − a)nf(z)](n−1) . (4.15)

Definicija 4.1.3. Neka je tacka∞ izolovan singularitet funkcije f , i neka jef analiticka u prstenu P (∞;R). Ako je r > R, tada je ostatak funkcije f utacki ∞ jednak

Res∞

f =1

2πi

∫γr−

f(z)dz,

gde je γr− kruznica orijentisana u smeru kretanja kazaljke na casovniku.

I u ovom slucju je Res∞

f = c−1, gde je c−1 prvi koeficijent glavnog dela

Loranovog reda funkcije f u okolini tacke ∞.

Teorema 4.1.8. (o potpunoj sumi ostataka) Neka je f analiticka u skupuC sa izuzetkom konacnog skupa tacaka {a1, . . . , ak}. Tada je

k∑j=1

Resaj

f + Res∞

f = 0.

Dokaz. Neka je γr kruznica poluprecnika r, sa svojstvom da je r > |aj| zasvako j = 1, . . . , k. Prema Kosijevoj teoremi o ostacima sledi

1

2πi

∫γr

f(z)dz =n∑j=1

Resaj

f.

Osim toga, Res∞

f = 12πi

∫γr−

f(z)dz.


Primer 4.1.3. Izracunati∫γ

dz(z6+1)2

, gde je γ kruznica sa centrom u koordi-

natnom pocetku, poluprecnika 2, orijentisana suprotno kretanju kazaljke nacasovniku.

Resenje. Svih sest polova funkcije f(z) = (z6 + 1)−2 nalaze se unutarpomenute kruznice γ. Oznacimo te polove sa a1, . . . , a6. Tada je∫

γ

1

(z6 + 1)2dz = 2πi

6∑j=1

Resaj

f.

Sa druge strane, prema teoremi o potpunoj sumi ostataka, vazi

6∑j=1

Resaj

f + Res∞

f = 0.

Funkcija f je analiticka u okolini tacke ∞, odakle sledi Res∞

f = 0. Tada je i

trazeni integral jednak nuli.

Primer 4.1.4. Izracunati integral∫γ

z2

(z2 + 1)(z − 2)dz,

ako je γ pozitivno orijentisana kruznica |z| = 4.

Resenje. Unutar konture γ nalaze se sva tri pola i,−i, 2 funkcije f(z) =z2

(z2+1)(z−2). Sada je

Resif = lim

z→i(z − i)f(z) =

1

2i(2− i),

Res−i

f = limz→−i

(z + i)f(z) = − 1

2i(2 + i),

Res2f = lim

z→2(z − 2)f(z) =

4

5.

Na kraju, ∫γ

f(z)dz = 2πi

(1

2i(2− i)− 1

2i(2 + i)+

4

5

)= 2πi. 4


Primer 4.1.5. Izracunati nesvojstveni parametarski integral

I(t) =

+∞∫−∞

eitx

1 + x2dx (t ∈ R).

Resenje. Navedeni integral postoji, jer je modul podintegralne funkci-je odozgo ogranicen integrabilnom funkcijom 1

1+x2na intervalu (−∞,+∞).

Prema tome,

I(t) = limR→+∞

+R∫−R

eitx

1 + x2dx.

Ako je t = 0, onda je ocigledno

I(0) =

+∞∫−∞

dx

1 + x2= π.

Pretpostavimo da vazi t > 0. Neka je γR: |z| = R, Im z > 0, gornjapolukruznica poluprecnika R sa centrom u koordinatnom pocetku, orijenti-sana suprotno kretanju kazaljke na casovniku. Neka je γ segment [−R,R]realne ose u C, orijentisan s leva na desno i R > 1. Tada je unutar kontureγR + γ sadrzan jedan pol z = i reda 1 funkcije

f(z) =eitz

1 + z2.

Proizilazi da je

Resif =

e−t

2i.

Na osnovu Kosijeve teoreme o ostacima sledi

R∫−R

f(x)dx+

∫γR

f(z)dz = πe−t.

Neka je z = x + iy. Ako je z ∈ γR, tada je y ≥ 0 i |eitz| = |e−ty| ≤ 1.Takode je |z2 + 1| ≥ R2 − 1. Sledi∣∣∣∣∣∣

∫γR

eitz

1 + z2dz

∣∣∣∣∣∣ ≤ πR

R2 − 1→ 0 (R→ +∞).


Tada je∫γR

f(z)dz = 0, jer vrednost ovog integrala ne zavisi od izbora broja

R > 1. Sledi da je

I(t) = πe−t.

Ako je t < 0, situacija se neznatno menja. Naime, sada je za procenu|e−ty| ≤ 1 potreban donji polukrug poluprecnika R, koji je orijentisan usmeru kretanja kazaljke na casovniku. U ovom slucaju, posle jednostavnogracuna sledi

I(t) = πet.

Konacan rezultat je+∞∫−∞

eitx

1 + x2dx = πe−|t|.

Na kraju, dokazujemo Zordanovu lemu, koja je korisna u izracunavanjimaslicnim prethodnom primeru.

Teorema 4.1.9. (Zordanova lema) Neka je funkcija f analiticka u skupuH+ = {z ∈ C : Im z ≥ 0}, osim evenutualno u nekom konacnom skupu izolo-vanih singulariteta iz H+. Neka je γR: |z| = R, Im z ≥ 0} polukruznicaorijentisana suprotno kretanju kazaljke na casovniku, i neka je M(R) =maxz∈γ∗R|f(z)|. Ako je

limR→+∞

M(R) = 0,

tada za t > 0 vazi

limR→+∞

∫γR

f(z)eitzdz = 0.

Dokaz. Neka je γ1R: z = Reiϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π/2}, kao i γ2

R: z = Reiϕ, π/2 ≤ ϕ ≤π}. Funkcija ϕ 7→ sinϕ je konkavna za ϕ ∈ [0, π/2], odakle sledi sinϕ ≥ 2

πϕ.

Prema tome, za z ∈ (γ1R)∗ vazi

∣∣eitz∣∣ = e−tR sinϕ ≤ e−2tRϕπ ,


odakle sledi∣∣∣∣∣∣∣∫γ1R

f(z)eitzdz

∣∣∣∣∣∣∣ ≤M(R)

∫γ1R

|eitz|ds

≤M(R)

π/2∫0

e−2tRϕπ Rdϕ = M(R)

π

2t(1− e−tR).

Ocigledno, limR→+∞

∫γ1R

f(z)eitzdz = 0. Ocena integrala po krivoj γ2R sledi analogno.

Primer 4.1.6. Izracunati integrale

+∞∫0

x sinx

x2 + a2dx,

+∞∫0

x cosx

x2 + a2dx, .

Resenje. Kod prvog integrala podintegralna funkcija je parna, stoga je

I =1

2

+∞∫−∞

x sinx

x2 + a2dx.

Neka je R > 0 i f(z) = zz2+a2

. Sa γ1 oznacimo duz koja spaja tacke (−R, 0)i (R, 0), a γ2 neka je polukruznica u gornjoj poluravni sa centrom u koor-dinatnom pocetku poluprecnika R. Ako je R > a, onda se unutar kontureγ = γ1 + γ2 nalazi jedan pol funkcije g(z) = f(z)eiz, i to z0 = ai. Stoga je∫

γ1+γ2

f(z)eizdz = 2πiResaif = 2πi lim

z→ai

zeiz

z + ai=πi

ea.

Vazi nejednakost |z2 + a2| ≥ |z2| − a2. Prema tome, ako je z ∈ γ2, ondaje

|f(z)| ≤ R

R2 − a2= M(R).

Ocigledno je limR→+∞

M(R) = 0. Prema Zordanovoj lemi, vazi

limR→+∞

∫γ2

f(z)eiazdz = 0.


Sada sledi da je

limR→+∞

∫γ1

zeiz

z2 + a2=πi

ea.

Konacno, razdvajajuci realan i imaginaran deo, sledi rezultat

+∞∫0

x sinx

x2 + a2dx =

π

2ea,

+∞∫0

x cosx

x2 + a2dx = 0.

4.2 Princip argumenta i princip maksimuma

modula

4.2.1 Red nule i red pola

Neka je f analiticka funkcija u okolini tacke a ∈ C. Ako je tacka a nulareda n funkcije f , onda na osnovu Tejlorovog reda funkcije f u okolini tackea, postoji analiticka funkcija g u okolini tacke a, sa svojstvom f(z) = (z −a)ng(z) u okolini tacke a, i g(a) 6= 0. Tada je

f ′(z)

f(z)=

1

z − ah(z),

gde je

h(z) =ng(z) + (z − a)g′(z)

g(z).

Funkcija h je analiticka u okolini tacke a i h(a) = n. Tejlorov razvoj funkcijeh u okolini tacke a jeste

h(z) = n+ c1(z − a) + c2(z − a)2 + · · ·

if ′(z)

f(z)=

n

z − a+ c1 + c2(z − a) + · · ·

Ocigledno je

Resa

f ′

f= n.

4.2. PRINCIP ARGUMENTA I PRINCIP MAKSIMUMA MODULA 99

Ako je tacka a pol reda p funkcije f , tada je tacka a nula reda p funkcijeg(z) = 1

f(z). Primenimo prethodno razmatranje na funkciju g. Tada je

Resa

g′

g= p.

Ocigledno je g′

g= −f ′

fi

Resa

f ′

f= −p.

Teorema 4.2.1. Neka je funkcija f meromorfna u oblasti G. Neka je γkontura u G, cija je unutrasnjost oblast D sa svojstvom D ⊂ G. Neka je Nbroj nula funkcije f(z) u D, a P broj polova funkcije f u D. Podrazumevamoda je svaka nula (pol) uzeta u obzir onoliko puta koliki je njen (njegov) red.Tada je

N − P =1

2πi

∫γ

f ′(z)

f(z)dz,

pri cemu je γ pozitivno orijentisana u odnosu na D i γ ne sadrzi nule nitipolove funkcije f .

Dokaz. Na osnovu teoreme o jedinstvenosti, funkcije f i 1f

mogu imati samokonacno mnogo nula u kompaktu D. Sledi da su brojevi N i P konacni. Nekasu a1, . . . , al sve nule funkcije f u D, a b1, . . . , bk svi polovi funkcije f u D.Iz cinjenice da γ ne sadrzi nule i polove funkcije f , sledi da je f ′

fanaliticka

funkcija u nekoj okolini skupa γ. Prema Kosijevoj teoremi o ostacima i premaprethodnom razmatranju, sledi da vazi

1

2πi

∫γ

f ′(z)

f(z)dz =

l∑j=1

Resaj

f ′

f+

k∑j=1

Resbj

f ′

f= N − P.

Neka je γ = γ(t) (t ∈ [a, b]) putanja u C. Posmatramo funkciju z 7→arg z, dok se z krece po konturi γ od tacke γ(a) do tacke γ(b). Uocavamojednu (proizvoljnu i neprekidnu) granu ove funkcije. Tada se velicina ∆γznaziva prirastaj funkcije z 7→ arg z dok se z krece od tacke γ(a) do tackeγ(b). Ocigledno, nije bitno koja neprekidna grana ove viseznacne funkcije seposmatra.

Prethodna teorema moze biti formulisana i na sledeci nacin.


Teorema 4.2.2. (Princip argumenta) Neka je f meromorfna funkcija uoblasti G i neka je γ kontura u G sa svojstvom da je unutrasnja oblast D kon-ture γ sadrzana u G. Prtpostavimo da γ ne sadrzi nule niti polove funkcije fi da je γ pozitivno orijentisana u odnosu na D. Ako je N ukupan broj nula,a P ukupan broj polova funkcije f u oblasti D, uzimajuci u obzir i njihovevisestrukosti, tada je

N − P =1

2π∆γ arg f(z),

pri cemu je ∆γ arg f(z) prirastaj argumenta funkcije f duz konture γ.

Dokaz. Neka je Φ(z) = lnk(f(z)) = ln |f(z)| + iArg f(z) + 2kπi. Tada je

Φ(z) primitivna funkcija funkcije f ′(z)f(z)

, pri cemu biramo neprekidnu promenu

argumenta funkcije z 7→ f(z) duz konture γ. Funkcija f ′(z)f(z)

je analiticka u

okolini krive γ: z = z(t), t ∈ [a, b]. Primitivna funkcija je neprekidna duzkonture γ i prema Njutn-Lajbnicovoj formuli vazi∫

γ

f ′(z)

f(z)dz = Φ(z(b))− Φ(z(a)) = i [arg f(z(b))− arg f(z(a))] ,

pri cemu uzimamo neprekidnu promenu argumenta duz konture γ. Premaprethodnoj teoremi sledi

N − P =1

2π∆γ arg f(z).

4.2.2 Geometrijska interpretacija

Posmatramo neprekidne promene argumenta tacke z koja se krece po nekojkonturi γ. Interesuje nas prirastaj argumenta arg z pilikom jednog obilaskakonture γ. Ocigledno, prirastaj je 2π ako i samo ako se unutar konture γnalazi tacka 0. Ukoliko z vise puta obide konturu γ, tada je 1

2π∆γ arg z upravo

broj obilazaka konture γ oko tacke 0. Ovaj broj nazivamo indeksom kontureγ u odnosu na tacku 0, oznaci Ind0 γ. Videtio sekciju ??.

Neka je w = f(z) i neka je Γ slika konture γ presilkavanjem z 7→ f(z).Tada je Γ zatvorena kriva, koja eventualno ima tacke samopreseka. Sada je

1

2π∆γ arg f(z) =

1

2π∆Γ argw


i ovaj broj je jednak broju obilazaka w = f(z) oko tacke 0.Prema prethodnim razmatranjima, princip argumenta moze biti formulisan

i na sledeci nacin.

Teorema 4.2.3. Ako su ispunjeni uslovi prethodne teoreme, tada je

N − P =1

2πInd0 Γ.

Sva prethodna razmatranja mogu biti primenjena na broj resenja jednacinef(z) = a u oblasti D. Dovoljno je razmatrati pomocnu funkciju F (z) =f(z)− a.

Jedna posledica principa arumenta je rezultat Rusea.

Teorema 4.2.4. (Ruse3) Neka je γ kontura, koja ogranicava oblast G, i nekasu f i g analiticke funkcije u nekoj okolini oblasti G. Ako je

|f(z)| > |g(z)| za svako z ∈ γ∗,

tada f i f + g imaju jednak broj nula u G.

Dokaz. Ocigledno, f i f + g nemaju nula na γ (|f + g| ≥ |f | − |g| > 0 na γ).

Tada je f(z) + g(z) = f(z)(

1 + g(z)f(z)

). Na osnovu osobine argumenta, koji

biramo tako da je njegova promena duz konture γ neprekidna, sledi da vazi

∆γ arg(f(z) + g(z)) = ∆γ arg f(z) + ∆γ arg

(1 +

g(z)

f(z)

).

Vazi∣∣∣ g(z)f(z)

∣∣∣ < 1 na skupu γ. Stoga tacka 1 + g(z)f(z)

nikada ne obide tacku 0 i

∆γ arg(

1 + g(z)f(z)

)= 0. Prema tome, vazi

∆γ arg(f(z) + g(z)) = ∆γf(z)

i prema Principu argumenta sledi tvrdenje ove teoreme.Teorema Rusea moze biti formulisana i na sledeci nacin.

Teorema 4.2.5. (Ruse) Pretpostavimo da su funkcije f, g meromorfne uokolini diska D[a,R], tako da funkcije f, g nemaju nula ni polova na skupu

3Eugene Rouche (1832-1910), francuski matematicar


γ∗ = {z : |z − a| = R}. Neka su Zf i Pf , redom, broj nula i broj polovafunkcije f u otvorenom disku γ∗ racunajuci i njihove visestrukosti.

Ako je|f(z) + g(z)| < |f(z)|+ |g(z)|, z ∈ γ∗,

tada jeZf − Pf = Zg − Pg.

Poznato je da neprekidne funkcije na zatvorenom i ogranicenom skupudostizu svoj maksimum i minimum. Ako je f analiticka funkcija u oblasti G,tada je |f | neprekidna funkcija na G. Interesantno je da tada |f | ne mozedostici maksimum u skupu G, vec eventualno samo na rubu oblasti G.

Teorema 4.2.6. (Princip maksimuma modula) Neka je f analiticka u skupuG. Tada, ili je f konstantna u G, ili |f | nema lokalnih maksimuma u G.

Dokaz. Pretpostavimo da |f | dostize lokalni maksimum A u tacki z0 ∈ G,odnosno |f(z0)| = A. Posmatramo skup D = {z ∈ G : |f(z)| = A}, koji jeneprazan. Funkcija

lnk f(z) = ln |f(z)|+ i arg z + 2kπi = lnA+ i arg z + 2kπi

je analiticka. Realni deo ove funkcije je konstanta na skupu D. Na osnovuKosi-Rimanovih uslova sledi da je i z 7→ lnk f(z) konstantna funkcija na D.

Sada su moguca dva slucaja. Ako skup D ima tacku nagomilavanja uG, prema principu jednistvenosti za analiticke funkcije sledi da je lnk f(z)konstantna funkcija u G, odakle proizilazi da je f konstantna funkcija u G.

Pretpostavimo daD nema tacku nagomilavanja uG. Tada postoji kruznicaγr u G, sa centrom u z0 nekog poluprecnika r, sa svojstvom da je |f(z)| ≤N < M za svako z ∈ γr. Prema Kosijevoj integralnoj formuli sledi da vazi

f(z0) =1

2πi

∫γr

f(z)

z − z0

dz.

Takode je |z − z0| = r za svako z ∈ γr. Ako je γr: z = z0 + reit, t ∈ [0, 2π],tada je

M = |f(z0)| ≤ 1

2π

∫γr

|f(z)|r

ds ≤ N < M,

sto je nemoguce. Sledi da ako f nije konstantna funkcija u G, onda |f | nemalokalni maksimum u G.


Posledica 4.2.1. Neka je G ogranicena oblast, neka je f analiticka nekon-stantna funkcija u G, tako da je f neprekidna na G. Tada |f | dostize svojmaksimum na rubu skupa G.

Dokaz. Skup G je kompaktan. Stoga neprekidna funkcija |f | dostize svojmaksimum na G. Na osnovu Principa maksimuma modula sledi da ovajmaksimum ne moze biti u G, stoga mora biti na rubu skupa G.

Primer 4.2.1. Dokazati da jednacina z4 + az + b = 0, a, b > 0, u prvomkvadrantu kompleksne ravni ima tacno jedno resenje.

Resenje. Pretpostavimo da je R > 0. Neka je γ1 duz koja spaja tackuO(0, 0) sa tackom A(R, 0), γ2 je kruzni luk poluprecnika R sa centrom ukoordinatnom pocetku, koji spaja tacku A sa tackom B(0, Ri), neka je γ3

duz koja spaja tacku B i tacku O. Funkcija f nema polova, stoga premaranijoj teoremi vazi

N =1

2π∆γ arg f(z),

gde je γ = γ1 + γ2 + γ3. Pri tome, naravno, treba pokazati da na konturamaγi funkcija f nema nula. Ocigledno je

∆γ arg f(z) = ∆γ1 arg f(z) + ∆γ2 arg f(z) + ∆γ2 arg f(z).

Ako je z ∈ γ1, tada je z ≥ 0, odakle sledi f(z) > 0. Prema tome,∆γ1 arg f(z) = 0. Odavde specijalno sledi da f nema nula na γ1.

Za dovoljno veliko R funkcija f nema nula na γ2. Ako je z ∈ γ2, ondaza dovoljno veliko R vazi f(z) = z4 + o(z4). Ako je z = |z|eiϕ, tada jez4 = |z|4e4iϕ, ϕ ∈ [0, π/2]. Prema tome, ∆γ2 arg f(z)→ 2π kada R→ +∞.

Ako je z = iy na krivoj γ3, tada je f(z) = y4 + b + iay. Ocigledno,f(z) 6= 0 za svako z = iy, y ≥ 0, odnosno f nema nula na γ3. Takode je∆γ3 arg f(z)→ 0 kada R→ +∞.

Na kraju sledi da f ima tacno jednu nulu u prvom kvadrantu.4

Primer 4.2.2. Funkcija P definisana je sa P (z) = z5− 12z2 + 14. Dokazatida sve nule funkcije P leze u prstenu

{z : 1 ≤ |z| < 5

2

}. Odrediti koliko se

nula funkcije P nalazi u prstenu {z : 1 ≤ |z| < 2}.

Resenje. Neka je f(z) = z5 i g(z) = −12z2 + 14. Ako je |z| = 52, onda vazi

|g(z)| = | − 12z2 + 14| ≤ 12|z|2 + 14 = 89 i |f(z)| = |z|5 =3225

32.


Prema tome, vazi |g(z)| < |f(z)| na kruznici γ : |z| = 52. Neka je D1 krug sa

centrom u koordinatnom pocetku poluprecnika 52. Na osnovu teoreme Rusea

sledi da funkcije f i f + g imaju jednak broj nula u krugu D1. Svih pet nulafunkcije f nalazi se u krugu G, odakle sledi da se i svih pet nula funkcijeP = f + g nalazi u krugu D1.

Neka je sada F (z) = 14, G(z) = z5 − 12z2. Neka je |z| = 1. Tada vazi

|G(z)| = |z5 − 12z2| ≤ 13 i |F (z)| = 14,

odnosno |G(z)| < |F (z)|. Neka je D2 krug sa centrom u koordinatnompocetku poluprecnika 1. Prema Ruseovoj teoremi, sledi da funkcije F i P =F + G u krugu D2 imaju isti broj nula, odnosno P nema ni jednu nulu ukrugu D2.

Prema tome, sve nule funkcije P nalaze se u prstenu{z : 1 ≤ |z| < 5

2

}.

Neka je a(z) = z5 + 14, b(z) = −12z2. Ako je |z| = 2, onda je

|a(z)| = |z5 + 14| ≤ 46 i |b(z)| = | − 12z2| = 48,

odnosno |a(z)| < |b(z)|. Prema tome, funkcije b i P = a + b imaju jednakbroj nula u krugu poluprecnika 2. To znaci da imaju po dve nule u tomkrugu.

Zakljucak je da funkcija P u prstenu {z : 1 ≤ |z| < 2} ima dve nule.

Glava 5

Prostori funkcija

5.1 Prostori neprekidnih funkcija

Neka je K kompaktan podskup od C. Tada je

C(K) = {f | f : K → C, f je neprekidna na K}

skup svih kompleksnih funkcija koje su definisane i neprekidne na K. Metrikau skupu C(K) data je standardno na sledeci nacin:

dK∞(f, g) = maxz∈K|f(z)− g(z)|, f, g ∈ C(K).

Iskoristili smo cinjenicu da neprekidna funkcija z 7→ |f(z) − g(z)| dostizesvoj maksimum na kompaktu K. Tada je (C(K), dK∞) kompletan metrickiprostor. Neka je (fn)n niz funkcija u C(K) i f ∈ C(K). Tada lim

n→∞fn = f u

smislu metrike dK∞ ako i samo ako fn konvergira ravnomerno ka f na skupuK.

Neka je V otvoren podskup od C. Tada je

C(V ) = {f | f : V → C, f je neprekidna na V }

skup svih kompleksnih funkcija koje su definisane i neprekidne na V . Ne-prekidna funkcija z 7→ |f(z) − g(z)| nema u opstem slucaju maksimum naotvorenom skupu V , te konstrukcija metrike kao u slucaju kompaktnog dom-ena K nije primenjiva. Skup C(V ) je neprazan jer sadrzi konstantne funkcije.

Pre uvodenja metrike u skupu C(V ), dokazujemo sledeci rezultat o ume-tanju kompaktnih skupova u otvorene podskupove kompleksne ravni.

105

106 GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA

Teorema 5.1.1. Ako je V otvoren skup u C, tada postoji niz (Kn)n kom-paktnih podskupova od C, tako da vazi:

(1) V =∞⋃n=1

Kn;

(2) Kn ⊂ intKn+1 za svako n ∈ N;(3) Ako je K kompaktan podskup od C i K ⊂ V , tada je K ⊂ Kn za neko

n ∈ N;(4) Svaka povezana komponenta skupa C \Kn sadrzi neku povezanu kom-

ponentu skupa C \ V .

Dokaz. Skup V je otvoren, te je C \ V zatvoren u C. Za svako z ∈ C vaziz ∈ V ako i samo ako je d(z,C \ V ) > 0. Neka je n ∈ N i neka je

Fn =

{z ∈ C : d(z,C \ V ) ≥ 1

n

}.

Funkcija z 7→ d(z,C \ V ) je neprekidna, odakle sledi da je skup Fn zatvoren.Neka je

Kn = D[0;n] ∩ Fn, n ∈ N.Skup Kn je zatvoren i ogranicen, te je kompaktan. Takode je Kn ⊂ Fn ⊂

V za svako n ∈ N. Inkluzija∞⋃n=1

Kn ⊂ V je ocigledna. Sa druge strane, ako

je z ∈ V , onda postoji n1 ∈ N tako da je |z| ≤ n1. Na osnovu d(z,C\V ) > 0sledi da postoji n2 ∈ N tako da je d(z,C\V ) ≥ 1

n2. Ako je n3 = max{n1, n2},

onda je ocigledno z ∈ Kn3 . Dokazali smo V =∞⋃n=1

Kn, odnosno vazi tvrdenje

(1).Posmatrajmo sada (ocigledno otvoren) skup

Vn = {z ∈ C : |z| < n+ 1} ∩{z ∈ C : d(z,C \ V ) >

1

n+ 1

}.

Vazi Kn ⊂ Vn ⊂ Kn+1. Kako je Vn otvoren, vazi i Vn ⊂ intKn+1, te jeKn ⊂ intKn+1. Ovim smo dokazali tvrdenje (2).

Neka je K kompaktan skup u C i K ⊂ V . Tada je K ∩ V c = ∅, te jed(K,V c) > 0. Postoji n4 ∈ N tako da je 1

n4< d(K,V c). Takode postoji

n5 ∈ N tako da je K ⊂ D[0;n5]. Neka je n6 = max{n4, n5}. Tada jeK ⊂ Kn6 . Na taj nacin smo dokazali (3).

Iz Kn ⊂ V sledi C \ V ⊂ C \Kn. Dakle, ako je G povezana komponentaskupa C\V , tada je G sadrzana u nekoj povezanoj komponenti skupa C\Kn.

5.1. PROSTORI NEPREKIDNIH FUNKCIJA 107

Obrnuto, neka je G povezana komponenta skupa C \Kn.Pretpostavimo ∞ ∈ G. Tada postoji povezana komponenta H skupa

C \ V koja sadrzi ∞, jer ∞ /∈ V . Ocigledno, mora biti G ⊃ H.Neka je sada B povezana komponenta skupa C \Kn koja ne sadrzi tacku

∞. Tada postoji tacka z ∈ B sa svojstom d(z,C \ V ) < 1n. Po definiciji

rastojanja tacke od skupa, sledi da postoji w ∈ C \V tako da je |w− z| < 1n.

Tada je z ∈ D(w; 1

n

)⊂ C \ Kn. Svaki disk je povezan skup. Na osnovu

z ∈ B sledi D(w; 1

n

)⊂ B. Ako je B1 povezana komponenta od C \ V koja

sadrzi w, onda sledi da je B1 ⊂ B. Time je dokazano tvrdenje (4).Nadalje, za svaki otvoren skup V u C posmatramo neko pokrivanje

V =∞⋃n=1

Kn (5.1)

skupa V , koje zadovoljava osobine Teoreme 10.1.1. Postoji vise takvih pokri-vanja, ali pokazace se da je dovoljno razmatrati samo jedno pokrivanje.

Ako je n ∈ N i f, g ∈ C(V ), onda posmatramo rastojanje izmedu ovihfunkcija na kompaktu Kn, koje je oznaceno sa ρn(f, g) = dKn∞ (f, g).

Neka je

ρ(f, g) =∞∑n=1

(1

2

)nρn(f, g)

1 + ρn(f, g), f, g ∈ C(V ).

Jednostavno je proveriti da poslednji red konvergira. Sledi da je ρ dobrodefinisana funkcija na C(V ). Takode, funkcija ρ zavisi od izbora niza kom-paktnih skupova (Kn)n u (10.1).

Dokazujemo da je ρ metrika na C(V ).

Teorema 5.1.2. Neka je V otvoren podskup od C. Tada je (C(V ), ρ) metrickiprostor.

Dokaz. Svaka funkcija ρn je metrika, te nejednakost trougla vazi za svaku

funkciju ρn. Sledi da nejednakost trougla vazi i za ρ. Kako je V =∞⋃n=1

Kn,

onda iz ρ(f, g) = 0 proizilazi f = g. Jednostavno je proveriti preostaleosobine metrike.

Nadalje smatramo da je ρ standardna metrika na prostoru C(V ).

Teorema 5.1.3. U metrickom prostoru (C(V ), ρ) vaze sledeca tvrdenja:


(1) Za svako ε > 0 postoji δ > 0 i postoji kompakt K ⊂ V , tako da zasvako f, g ∈ C(V ) vazi implikacija

dK∞(f, g) < δ =⇒ ρ(f, g) < ε.

(2) Za svako δ > 0 i svaki kompakt K ⊂ V , postoji ε > 0, tako da zasvako f, g ∈ C(V ) vazi implikacija

ρ(f, g) < ε =⇒ dK∞(f, g) < δ.

Dokaz. (1) Neka je ε > 0 proizvoljno. Postoji p ∈ N tako da je∞∑

n=p+1

12n< 1

2ε.

Neka je K = Kp. Na osnovu limt→0

t1+t

= 0, sledi da postoji δ > 0, tako da za

svako t koje ispunjava uslov 0 < t < δ, vazi t1+t

< 12ε. Neka su f, g ∈ C(V )

funkcije, koje zadovoljavaju uslov dK∞(f, g) < δ. Ako je 1 ≤ n ≤ p, onda jeKn ⊂ Kp = K i stoga ρn(f, g) < δ. Sledi

ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)<ε

2

za svako 1 ≤ n ≤ p. Prema tome, vazi

ρ(f, g) <

p∑n=1

(1

2

)nε

2+

∞∑n=p+1

(1

2

)n< ε.

(2) Pretpostavimo da je dat kompakt K ⊂ V i δ > 0. Tada postoji p ∈ Ntako da je K ⊂ Kp. Sledi da za svako f, g ∈ C(V ) vazi

ρp(f, g) ≥ dK∞(f, g).

Iskoristimo cinjenicu lims→0

ss−1

= 0. Za polazno δ > 0 postoji ε > 0, tako da

0 < s < 2pε implicira s1−s <

δ2. Tada t

1+t< 2pε implicira t < δ

2. Prema

tome, ako je ρ(f, g) < ε, onda je ρp(f,g)

1+ρp(f,g)< 2pρ(f, g) < 2pε, odakle sledi

ρp(f, g) < δ2, te je i dK∞(f, g) ≤ δ

2< δ.

Ako je K ⊂ V kompakt, f ∈ C(V ) i r > 0, koristicemo sledece oznake:

Bρ(f ; r) = {g ∈ C(V ) : ρ(f, g) < r}, BK(f ; r) = {g ∈ C(K) : dK∞(f, g) < r}.

Dokazujemo vaznu teoremu o konvergenciji niza funkcija u prostoru(C(V ), ρ).


Teorema 5.1.4. (1) Skup U ⊂ C(V ) je otvoren u odnosu na metriku ρ, akoi samo ako za svako f ∈ U postoji kompakt K ⊂ V i postoji δ > 0, tako davazi BK(f ; δ) ⊂ U.

(2) Niz (fn)n iz skupa C(V ) konvergira ka funkciji f ∈ C(V ) u odnosuna metriku ρ, ako i samo ako niz (fn)n konvergira ka funkciji f ravnomernona kompaktnim podskupovima od V .

Drugim recima, niz (fn)n je konvergentan ka funkciji f u metrickom pros-toru (C(V ), ρ), ako i samo ako za svaki kompakt K ⊂ V niz (fn)n je konver-gentan ka funkciji f u prostoru (C(K), dK∞).

(3) Niz (fn)n je Kosijev u metrickom prostoru (C(V ), ρ), ako i samo akoza svaki kompakt K ⊂ V je niz (fn)n Kosijev u prostoru (C(K), d∞).

Dokaz. (1) Pretpostavimo da je U ⊂ C(V ), U je otvoren u (C(V ), ρ) i nekaje f ∈ U . Tada postoji ε > 0 tako da je Bρ(f ; ε) ⊂ U . Prema Teoremi 10.1.3(1), sledi da postoji δ > 0 i kompakt K tako da je BK(f ; δ) ⊂ Bρ(f ; ε) ⊂ U .

Obrnuto, pretpostavimo da vaze navedeni uslovi za skup U . Neka jef ∈ U proizvolna funkcija. Prema pretpostavci, postoji kompakt K ⊂ U ipostoji δ > 0 tako da je BK(f ; δ) ⊂ U . Na osnovu Teoreme 10.1.3 (2), sledida postoji ε > 0 tako da vazi Bρ(f ; ε) ⊂ BK(f ; δ) ⊂ U . Proizilazi da je Uotvoren skup.

(2) Pretpostavimo da je limn→∞

fn = f u prostoru (C(V ), ρ), odnosno

limn→∞

ρ(fn, f) = 0. Neka je δ > 0 i neka je K ⊂ V proizvoljan kompakt.

Prema Teoremi 10.1.3 (2), postoji ε > 0 tako da vazi Bρ(f ; ε) ⊂ BK(f ; δ). Izcinjenice lim

n→∞ρ(fn, f) = 0 sledi da postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ≥ n0

vazi ρ(fn, f) < ε. Dakle, ako je n ≥ n0, onda je dK∞(fn, f) < δ. Time jedokazana konvergencija niza (fn)n ka funkciji f ravnomerno na kompaktuK.

Obrnuto, pretpostavimo da je niz (fn)n konvergetan ka f ravnomerno nasvakom kompaktu sadrzanom u V . Neka je ε > 0. Prema Teoremi 10.1.3 (1),sledi da postoji δ > 0 i postoji kompakt K ⊂ V , tako da vazi BK(f ; δ) ⊂Bρ(f ; ε). Iz cinjenice da (fn)n konvergira ka f ravnomerno na kompaktu K,sledi da postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 vazi dK∞(fn, f) < δ. Sledi daza svako n ≥ n0 vazi ρ(fn, f) < ε. Time smo dokazali da niz (fn)n konvergiraka f u metrickom prostoru (C(V ), ρ).

(3) Na isti nacin kao (2), primenjeno na razliku fn − fm.

Posledica 5.1.1. Konvergencija niza (fn)n u prostoru (C(V ), ρ) ne zavisi


od reprezentacijue V =∞⋃n=1

Kn.

Familija otvorenih skupova τVC u (C(V ), ρ) ne zavisi od reprezentacije

V =∞⋃n=1

Kn. Familija τVC jeste standardna topologija prostora (C(V ), ρ).

Dokaz. Na osnovu Teoreme 10.1.4 (3), konvergencija niza funkcija C(V ) nezavisi od metrike ρ. Stoga familija zatvorenih skupova u (C(V ), ρ) ne zavisi

od ρ, odnosno ne zavisi od reprezentacije V =∞⋃n=1

Kn. Proizilazi da τVC

takode ne zavisi od reprezentacije V =∞⋃n=1

Kn.

Skup C(V,X) moze biti snabdeven bilo kojom metrikom ρ u odnosu na

neko pokrivanje V =∞⋃n=1

Kn, i time nece biti narusena standardna topologija

ovog prostora.

Teorema 5.1.5. (C(V ), ρ) je kompletan metricki prostor.

Dokaz. Neka je (fn)n Kosijev niz u (C(V ), ρ), z ∈ V i neka je K proizvoljankompaktan skup tako da vazi z ∈ K ⊂ V . Na osnovu Teoreme 10.1.4 (3)sledi da restrikcije funkcija fn na K cine Kosijev niz u (C(K), dK∞). Neka jeδ > 0. Tada postoji n1 ∈ N, tako da za svako n,m ≥ n1 vazi

dK∞(fn, fm) < δ. (5.2)

Vazi |fn(z) − fm(z)| ≤ dK∞(fn, fm), te je (fn(z))n Kosijev niz u C. Stogapostoji w ∈ C, tako da je w = lim

n→∞fn(z). Neka je f(z) = w. Na ovaj

nacin je definisana funkcija f : V → X. Treba dokazati da je f neprekidnafunkcija, kao i lim

n→∞ρ(fn, f) = 0.

Za n,m ≥ n1 vazi |fn(z) − fm(z)| < δ. Ako n → ∞, onda je |f(z) −fm(z)| ≤ δ. Kako n1 ne zavisi od izbora z ∈ K, sledi da je lim

n→∞dK∞(f, fn) = 0.

Prema tome, (fn)n konvergira ka f ravnomerno na svakom kompaktu u V .Specijalno, konvergencija je ravnomerna na svakoj zatvorenoj kugli u V , tesledi da je funkcija f neprekidna. Time smo dokazali lim

n→∞ρ(fn, f) = 0,

odnosno niz (fn)n konvergira ka f u prostoru (C(V ), ρ), te je ovaj prostorkompletan.

U metrickom prostoru (X, d), skup A ⊂ X relativno kompaktan, ako isamo ako je clA kompaktan. Skup A ⊂ X je totalno ogranicen, ako za


svako ε > 0 postoji konacno mnogo tacaka x1, . . . , xn ∈ A, tako da je A ⊂n⋃k=1

B(xk; ε).

Ako je A relativno kompaktan u (X, d), tada je A totalno ogranicen. Akoje (X, d) kompletan metricki prostor i ako je A totalno ogranicen skup, tadaje A relativno kompaktan.

Dokazujemo rezultat o relativnoj kompaktnosti u metrickom prostoru(C(V ), ρ).

Teorema 5.1.6. Neka je F ⊂ C(V ). Tada su sledeca tvrdenja ekvivalentna:(1) Skup F je relativno kompaktan u (C(V ), ρ);(2) Za svaki kompakt K ⊂ V i svako δ > 0, postoje funkcije f1, . . . , fn ∈

F, tako da je

F ⊂n⋃k=1

BK(fk; δ).

Dokaz. (1) =⇒ (2): Pretpostavimo da je F relativno kompaktan skup u(C(V,X), ρ). Neka je K kompaktan podskup od V i neka je δ > 0. Naosnovu Teoreme 10.1.3 (2), postoji ε > 0 tako da za svako f ∈ C(V,X) vazi

Bρ(f ; ε) ⊂ BK(f ; δ).

Iz cinjenice da je F relativno kompaktan skup, sledi da postoji konacna ε-mreza {f1, . . . , fn} skupa F, odnosno vazi

F ⊂n⋃k=1

Bρ(f ; ε) ⊂n⋃k=1

BK(f ; δ).

Time smo dokazali da vazi (2).(2) =⇒ (1): Pretpostavimo da vazi (2). Neka je ε > 0. Prema Teoremi

10.1.3 (1), postoji δ > 0 i postoji kompakt K u V , tako da za svako f ∈C(V,X) vazi

BK(f ; δ) ⊂ Bρ(f ; ε).

Za kompakt K i δ, prema pretpostavci (2), postoje funkcije f1, . . . , fn ∈ F,tako da je

F ⊂n⋃k=1

BK(fk; δ) ⊂n⋃k=1

Bρ(fk; ε).

Sledi da je F totalno ogranicen u (C(V ), ρ). Prostor (C(V ), ρ) je kompletan,te je F relativno kompaktan u ovom prostoru.


Definicija 5.1.1. Skup F ⊂ C(V ) je ekvineprekidan u tacki z0 ∈ V , ako zasvako ε > 0 postoji δ > 0 tako da svako f ∈ F i svako z ∈ V vazi implikacija

|z − z0| < δ =⇒ |f(z)− f(z0)| < ε.

Skup F je ravnomerno ekvineprekidan na skupu A ⊂ V , ako za svakoε > 0 postoji δ > 0, tako da za svako f ∈ F i svako z1, z2 ∈ A vazi implikacija

|z1 − z2| < δ =⇒ |f(z1)− f(z2)| < ε.

Primer 5.1.1. Neka je F = {f}. Tada je F ekvineprekidan u z0 ako i samoako je f neprekidna funkcija u z0. Takode, F je ravnomerno ekvineprekidanna skupu A ⊂ V ako i samo ako je f ravnomerno neprekidna funkcija naskupu A.

Teorema 5.1.7. Skup F ⊂ C(V,X) je ekvineprekidan u svakoj tacki skupaV , ako i samo ako je F ravnomerno ekvineprekidan na svakom kompaktu uV .

Dokaz. Pretpostavimo da je F ekvineprekidan u svakoj tacki skupa V . Nekaje ε > 0 i neka je K kompaktant podskup od V . Ako je w ∈ K, tada postojiδw > 0 tako da za svako w1 ∈ V i svako f ∈ F vazi implikacija

|w1 − w| < δw =⇒ |f(w1)− f(w)| < ε

2.

Familija(D(w; δw)

)w∈K

jeste otvoren pokrivac kompakta K.

Prema Lebegovoj teoremi o pokrivanju, postoji δ > 0, tako da za svakoz ∈ K, disk D(z; δ) jeste sadrzan u nekom disku pomenutog pokrivaca.

Neka je z1, z2 ∈ K tako da je |z1 − z2| < δ. Tada postoji w ∈ K tako daje z2 ∈ D(z1; δ) ⊂ D(w, δw). Stoga vazi |z1 − w| < δw i |z2 − w| < δw. Sledida je |f(z1) − f(w)| < 1

2ε i |f(z2) − f(w)| < 1

2ε, te je |f(z1) − f(z2)| < ε.

Proizilazi da je F ravnomerno ekvineprekidan na K.Obrnuto, pretpostavimo da je F ravnomerno ekvineprekidan na svakom

kompaktnom podskupu od V . Sledi da je F ravnomerno neprekidan na skupu{z0}, odakle trivijalno proizilazi da je F ekvineprekidan u tacki z0.

Definicija 5.1.2. Neka je F ⊂ C(V ) i z ∈ C. Skup F je ravnomernoogranicen u tacki z, ako postoji M > 0 tako da za svako f ∈ F vazi |f(z)| ≤M .


Osnovni rezultat ove sekcije jeste Arcela1-Askolijeva 2 teorema.

Teorema 5.1.8. (Arcela-Askoli) Neka je V otvoren podskup od C i neka jeF ⊂ C(V ). Tada su sledeca tvrdenja ekvivalentna:

(1) F je relativno kompaktan u (C(V ), ρ).(2) F je ravnomerno ogranicen i ekvineprekidan u svakoj tacki skupa V .

Dokaz. (1) =⇒ (2): Pretpostavimo da je F relativno kompaktan skup uprostoru (C(V ), ρ). Neka je ε0 > 0, z ∈ V i K0 = {z}. Na osnovu Teoreme10.1.3 (2), sledi da postoji ε > 0 tako da iz ρ(f, g) < ε sledi |f(z) − g(z)| =dK0∞ (f, g) < ε0. Stoga, za fiksirano z ∈ V , funkcija z : f 7→ f(z) je neprekidna,

kao preslikavanje iz skupa C(V ) u skup C. Skup cl F je kompaktan, te jenjegova neprekidna slika z(cl F) takode kompaktan skup u C. Na osnovuz(F) ⊂ z(cl F), sledi da je z(F) ogranicen u C, odnosno skup F je ravnomernoogranicen u z ∈ V .

Neka je z0 ∈ V i ε > 0. Postoji R > 0 tako da je K = D[z0;R] ⊂ V .Na osnovu Teoreme 10.1.6 sledi da postoje funkcije f1, . . . , fn ∈ F tako daza svako f ∈ F postoji neko fk tako da je

dK∞(f, fk) <ε

3. (5.3)

Svaka funkcija fk je neprekidna, te sledi da postoji δk > 0, tako da je δk < R,i tako da za svako z ∈ V vazi implikacija

|z − z0| < δk =⇒ |fk(z)− fk(z0)| < ε

3.

Neka je δ = min{δ1, . . . , δn}. Tada za svako z ∈ V vazi

|z − z0| < δ =⇒ |fk(z)− fk(z0)| < ε

3za svako k ∈ {1, . . . , n}.

Prema tome, ako je z ∈ V , |z − z0| < δ, f ∈ F i fk je odbarano tako da vazi(10.3), onda je ispunjeno

|f(z)− f(z0)| ≤ |f(z)− fk(z)|+ |fk(z)− fk(z0)|+ |fk(z0)− f(z0)| < ε.

1Cesare Arzela (1847-1912), italijanski matematicar2Giulio Ascoli (1843-1896), italijanski matematicar


Sledi da je F ekvineprekidan u z0. Time smo dokazali tvrdenje (2).(2) =⇒ (1): Pretpostavimo da vazi tvrdenje (2).Neka je (zn)n niz svih tacaka u V , tako da je Re(zn) ∈ Q i Im(zn) ∈ Q.

Skup {zn : n ∈ N} je gust u V . Za svako n ∈ N skup zn(F) = {f(zn) : f ∈ F}je ogranicen u C, prema pretpostavci (2). Definisemo skup

Xn = cl{f(zn) : f ∈ F}.

Na osnovu pretpostavke (2), svaki skup Xn je kompaktan u C. PosmatrajmoDekartov proizvod ovih skupova, kao proizvod kompaktnih metrickih pros-

tora: Y =∞∏k=1

Xk. Metrika u skupu Y je oznacena sa Θ. Drugim recima,

neka je x = (xn)n ∈ Y i y = (yn)n ∈ Y . Tada je

Θ(x, y) =∞∑n=1

1

2n|xn − xm|

1 + |xn − xm|.

Svi skupovi Xn su kompaktni, te je (Y,Θ) kompaktan metricki prostor. Kon-vergencija u prostoru (Y,Θ) ekvivalentna je koordinatnoj konvergenciji.

Za f ∈ F definisemo f ∈ Y na sledeci nacin:

f = (f(z1), f(z2), . . . ).

Neka je sada (fk)k niz u F. Tada je (fk)k niz u kompaktnom prostoru Y . Pos-

toji ξ ∈ Y i postoji podniz od (fk)k koji konvergira ka ξ u Y . Bez gubljenjaopstosti, eventualnim izbacivanjem clanova polaznog niza, pretpostavimo daje lim

k→∞fk = ξ u smislu metrike Θ. Ova konvergencija povlaci koordinatnu

konvergenciju, odnosno za svako n ∈ N vazi

limk→∞

fk(zn) = wn, ξ = (wn)n. (5.4)

Dokazacemo da (fk)k konvergira ka nekoj funkciji f ∈ C(V ) u smislumetrike ρ. Prema (10.4), takva funkcija f mora zadovoljavati f(zn) = wn.Sledi da (10.4) odreduje vrednosti funkcije f na prebrojivom i gustom skupuu V . Koristeci cinjenicu da je F ekvineprekidan u svakoj tacki, odredicemofunkciju f na celom skupu V .

Dokazacemo da je (fk)k Kosijev niz u (C(V ), ρ). Neka je K kompaktanskup u V , i neka je ε > 0. Dovoljno je naci m1 ∈ N, tako da za k, j ≥ m1

vazidK∞(fk, fj) < ε. (5.5)

5.2. PROSTORI ANALITICKIH FUNKCIJA 115

Skup K je kompaktan, odakle sledi R = d(K,C \ V ) > 0. Neka je K1 ={z ∈ V : d(z,K) ≤ 1

2R}. Tada je K1 kompaktan, K ⊂ intK1 ⊂ K1 ⊂ V .

Kako je F ekvineprekidan u svakoj tacki iz V , sledi da je F ravnomernoekvineprekidan na K1. Postoji δ, 0 < δ < 1

2R, tako da je

|g(z1)− g(z2)| < ε

3(5.6)

za svako g ∈ F i z1, z2 ∈ K1, |z1 − z2| < δ. Neka je B skup svih tacaka niza(zn)n koje pripadaju K1. Ako je z ∈ K, tada postoji zn tako da je |z−zn| < δ.Medutim, δ < 1

2R implicira d(zn, K) < 1

2R, odnosno zn ∈ K1. Proizilazi da

je(D(zn; δ)

)zn∈B

otvoren pokrivac kompakta K. Sledi da postoje tacke

z1, . . . , zp ∈ B, tako da je

K ⊂p⋃l=1

D(zl; δ).

Na osnovu (10.4) sledi da postoji limk→∞

fk(zl) = wl za svako l ∈ {1, . . . , p}.Stoga postoji m1 ∈ N tako da za j, k ≥ m1 vazi

|fk(zl)− fj(zl)| <ε

3(5.7)

za l = 1, . . . , n.Neka je z ∈ K proizvoljna tacka i neka je zl sa svojstvom |zl − z| < δ.

Ako je k, j ≥ m1, onda iz (10.6) i (10.7) sledi

|fk(z)− fj(z)| ≤ |fk(z)− fk(zl)|+ |fk(zl)− fj(zl)|+ |fj(zl)− fj(z)| < ε.

Kako je z ∈ K proizvoljna tacka, dokazano je (10.5). Na osnovu Teoreme10.1.4 (3), sledi da je (fk)k Kosijev u (C(V ), ρ). Prostor (C(V ), ρ) je kom-pletan, te sledi da je niz (fk)k konvergentan u (C(V ), ρ). Proizilazi da je Frelativno kompaktan u (C(V, ρ), odnosno dokazali smo tvrdenje (1).

5.2 Prostori analitickih funkcija

Neka je V otvoren skup u C i


H(V ) = {f |f : V → C, f je analiticka u V }.

Kako je H(V ) ⊂ C(V ), sledi da je (H(V ), ρ) potprostor metrickog pros-tora (C(V ), ρ).

Teorema 5.2.1. Neka je V otvoren podskup od C, f ∈ C(V ), i neka je (fn)nniz u H(G).

Ako je limn→∞

fn = f u smislu metrike ρ (tj. konvergencija je ravnomerna

na svim kompaktnim podskupovima od V ), tada je f ∈ H(V ). Stavise, tada

za svako k ∈ N vazi limn→∞

f(k)n = f (k) u smislu metrike ρ.

Dokaz. Neka je γ proizvoljna kontura u V , tako da je G0γ ⊂ V . Kako je γ∗

kompakt i limn→∞

fn = f , sledi da (fn)n konvergira ka f ravnomerno na γ∗.

Koristeci svojstvo da granicna vrednost i integral mogu zameniti mesta kadaje u pitanju ravnomerna konvergencija niza funkcija, kao i osobinu integralaanaliticke funkcije na konturi, sledi da vazi∫

γ

f(z)dz =

∫γ

limn→∞

fn(z)dz = limn→∞

∫γ

fn(z)dz = 0.

Kako je γ proizvoljna kontura u V , na osnovu Morerine teoreme (Teorema8.4.4), sledi da je f analiticka funkcija u V .

Neka je sada n, k ∈ N i posmatrajmo izvode f(k)n i f (k). Neka je K

proizvoljan kompaktan skup u V . Tada postoji r > 0 tako da je d(K,C\V ) >r > 0. Vaze ocigledne inkluzije

K ⊂⋃a∈K

D(a; r) ⊂ V.

Na osnovu kompaktnosti skupa K, prethodno otvoreno pokrivanje moze sesvesti na konacno pokrivanje, odnosno

K ⊂ D(a1; r) ∪ · · · ∪D(am; r) ⊂ V.

Dokazimo da f(k)n konvergira ka f (k) ravnomerno na kompaktnim podskupovima

od D(aj; r). Kako je D[aj, r] ⊂ V , postoji R > r tako da je D[aj;R] ⊂ V .


Sada za svako n ∈ N primenimo Kosijevu integralnu formulu za funkcijuf

(k)n − f (k):

f (k)n (z)− f (k)(z) =

k!

2πi

∫γj

fn(w)− f(w)

(w − z)k+1dw, z ∈ D(aj; r),

pri cemu je γj(t) = aj +Reit, t ∈ [0, 2π]. Neka je Mn = sup{|fn(w)− f(w)| :|w − aj| = R}. Tada integral kompleksne funkcije po krivoj aproksimiramorealnim integralom prvog reda po istoj krivoj, odnosno

|f (k)n (z)− f (k)(z)| ≤ k!

2π

∫γj

Mn

|w − z|k+1ds ≤ k!MnR

(R− r)k+1, |z − a| ≤ r.

Na osnovu limn→∞

fn = f ravnomerno na kompaktnim podskupovima od V ,

sledi da je limn→∞

Mn = 0. Prema tome, limn→∞

f(k)n = f (k) ravnomerno na

D[aj; r].

Kako je j ∈ {1, . . . ,m} proizvoljno, sledi limn→∞

f(k)n = f (k) ravnomerno na

D(a1, ; r) ∪ · · · ∪ D(am; r). Time je dokazana ravnomerna konvergencija naK. Skup K je proizvoljan kompakt u V , te je dokazana konvergencija niza(f

(k)n )n ka f (k) u smislu metrike ρ.

Posledica 5.2.1. Ako je V otvoren podskup od C, tada je (H(V ), ρ) zatvorenpodskup od (C(V ), ρ). Drugim recima, (H(V ), ρ) je kompletan metricki pros-tor.

Posledica 5.2.2. Neka je V otvoren podskup od C i neka su fn analiticke

funkcije na V . Ako red∞∑n=1

fn konvergira ka funkciji f ravnomerno na kom-

paktnim podskupovima od V , tada

f (k)(z) =∞∑n=1

f (k)n (z), za svako k ∈ N, z ∈ V,

pri cemu poslednji red konvergira ravnomerno na kompaktnim podskupovimaod V .

Teorema 10.2.1 nema analogiju medu realnim funkcijama realne promen-ljive. Na primer, svaka neprekidna funkcija na segmentu (stoga i neprekidna


funkcija koja nema izvod ni u jednoj tacki) jeste ravnomerna granicna vred-nost niza polinoma (Vajerstrasova teorema). Osim toga, neka je fn(x) = 1

nxn

za svako x ∈ [0, 1] i svako n ∈ N. Tada fn → 0 ravnomerno, medutim,f ′n(x) = xn−1 ne tezi 0 ravnomerno.

Teorema 5.2.2. (Hurvic3) Neka je V oblast u C, i neka je (fn)n niz kojiu prostoru (H(G), ρ) konvergira ka f . Pretpostavimo da f nije identickijednaka nuli, D[a;R] ⊂ V za neko a ∈ V i neko R > 0, i neka je f(z) 6= 0za svako z sa svojstvom |z − a| = R. Tada postoji n0 ∈ N tako da za svakon ≥ n0 funkcije f i fn imaju jednak broj nula u disku D(a;R).

Dokaz. Neka je γ(t) = a + Reit, t ∈ [0, 2π]. Tada je γ∗ = {z : |z − a| = R}.Ako je z ∈ γ∗, onda je f(z) 6= 0. Proizilazi da je

δ = inf{|f(z)| : z ∈ γ∗} > 0.

Niz (fn)n konvergira ka f ravnomerno na γ∗. Stoga postoji prirodan brojn1 ∈ N tako da za svako n ≥ n1 i svako z ∈ γ∗ vazi fn(z) 6= 0. Takodepostoji n0 ∈ N tako da je n0 ≥ n1, i tako da za svako n ≥ n0 i svako z ∈ γ∗vazi

|f(z)− fn(z)| < 1

2δ < |f(z)| ≤ |f(z)|+ |fn(z)|.

Prema Ruseovoj teoremi (Teorema 9.2.4), sledi da f i fn imaju jednak brojnula u D(a,R).

Posledica 5.2.3. Neka je G oblast u C, i neka je (fn)n niz koji u (H(G), ρ)konvergira ka funkciji f . Ako ni jedna funkcija fn nema nula u oblasti G,tada su moguca dva slucaja:

(1) Funkicija f je identicki jednaka nuli u V ;(2) Funkcija f nema ni jednu nulu u V .

Definicija 5.2.1. Neka je V otvoren skup u C. Skup F ⊂ H(V ) je lokalnoogranicen, ako za svako a ∈ V postoji konstanta M i postoji r > 0, tako daza svako f ∈ F i svako z ∈ D(a; r) vazi

|f(z)| ≤M.

Drugim recima, F je lokalno ogranicen, ako za svako a ∈ V postoji diskD = D(a; r) ⊂ V tako da je F ravnomerno ogranicen na D.

3Adolf Hurwitz (1859 - 1919), nemacki matematicar


Teorema 5.2.3. Neka je V otvoren skup u C. Skup F ⊂ H(V ) je lokalnoogranicen ako i samo ako za svaki komapkt K ⊂ V postoji konstanta M takoda za svako f ∈ F i svako z ∈ K vazi |f(z)| ≤M .

Drugim recima, F je lokalno ogranicen ako i samo ako je F ravnomernoogranicen na svakom kompaktu K ⊂ V .

Dokaz. Pretpostavimo da je F lokalno ogranicen. Neka je K proizvoljankompakt u V i neka je a ∈ K. Tada postoje Ma > 0 i ra > 0 tako daje D(a; ra) ⊂ V i za svako f ∈ F i svako z ∈ D(a; ra) vazi |f(z)| ≤ Ma.

Familija(D(a; ra)

)a∈K

je otvoreno pokrivanje kompakta K. Stoga postoje

tacke a1, . . . , am ∈ K tako da je K ⊂ D(a1; ra1) ∪ · · · ∪D(am; ram). Neka jeM = max{Ma1 , . . . ,Mam}. Tada je za svako f ∈ F i svako z ∈ K ispunjeno|f(z)| ≤M . Prema tome, F je ravnomerno ogranicen na K.

Pretpostavimo sada da je F ravnomerno ogranicen na svakom kompaktuK iz V . Neka je a ∈ V i D[a; r] ⊂ V . Tada je F ocigledno ravnomernoogranicen na D[a; r]. Sledi da je F je lokalno ogranicen u V .

Sada dokazujemo rezultat o relativnoj kompaktnosti skupova u prostoru(H(V ), ρ).

Teorema 5.2.4. (Montel4) Neka je V otvoren skup u C, i F ⊂ H(V ). SkupF je relativno kompaktan u (H(V ), ρ) ako i samo ako je F lokalno ogranicen.

Dokaz. =⇒ : Pretpostavimo da je F relativno kompaktan u H(V ), ali da Fnije lokalno ogranicen. Tada postoji kompakt K ⊂ V tako da je

sup{|f(z)| : z ∈ K, f ∈ F} = +∞.

Sledi da postoji niz (fn)n u F tako da za svako n ∈ N vazi

sup{|fn(z)| : z ∈ K} ≥ n.

Skup F je relativno kompaktan, te postoji konvergentan podniz niza (fn)n.Dakle, postoji f ∈ H(V ) i postoji podniz (fnk)k tako da lim

k→∞fnk = f u

prostoruH(V ). Konvergencija u prostoruH(V ) ekvivalentna je ravnomernojkonvergenciji po kompaktnim podskupovima od V . Stoga

limk→∞

sup{|fnk(z)− f(z)| : z ∈ K} = 0.

4Paul Antoine Aristide Montel (1876-1975), francuski matematicar


Postoji konstanta M tako da je |f(z)| ≤ M za svako z ∈ K. Sledi da zasvako k ∈ N vazi:

nk ≤ sup{|fnk(z)| : z ∈ K} ≤ sup{|fnk(z)− f(z)|+ |f(z)| : z ∈ K}≤ sup{|fnk(z)− f(z)| : z ∈ K}+ sup{|f(z)| : z ∈ K}≤ sup{|fnk(z)− f(z)| : z ∈ K}+M.

Desna strana tezi broju M kada k → ∞, sto je nemoguce zbog ociglednoglimk→∞

nk = +∞. Sledi da F mora biti lokalno ogranicen.

⇐= : Pretpostavimo da je F lokalno ogranicen. Koristicemo Arcela-Askolijevu teoremu (Teorema 10.1.8). Trivijalno sledi da je F ravnomernoogranicen na V .

Potrebno je dokazati da je F ekvineprekidan u svakoj tacki skupa V .Neka je a ∈ V i ε > 0. Postoje r > 0 i M > 0 tako da vazi D[a; r] ⊂ V ,kao i da za svako z ∈ D[a; r] i svako f ∈ F vazi |f(z)| ≤ M . Neka je sada|z − a| < 1

2r i neka je f ∈ F. Iskoristimo Kosijevu integralnu formulu po

putanji γ(t) = a+ reit, t ∈ [0, 2π], uzimajuci u obzir da su tacke z, a unutarove krive, kao i Indγ(a) = 1:

|f(a)− f(z)| =

∣∣∣∣∣∣ 1

2πi

∫γ

(f(a)

w − a− f(w)

w − z

)dw

∣∣∣∣∣∣=

1

2π

∣∣∣∣∣∣∫γ

f(w)(a− z)

(w − a)(w − z)dw −

∫γ

f(w)

w − adw +

∫γ

f(a)

w − adw

∣∣∣∣∣∣ .Vazi ∫

γ

f(w)

w − adw =

∫γ

f(a)

w − adw = 2πi f(a).

Sledi

|f(a)− f(z)| = 1

2π

∣∣∣∣∣∣∫γ

f(w)(a− z)

(w − a)(w − z)dw

∣∣∣∣∣∣ .Sada vazi |w − a| = r, 1

|w−z| ≤2r, |f(w)| ≤M , |γ ′(t)| = r, te je

|f(a)− f(z)| ≤ 2M

r|a− z|.

5.3. PROSTOR MEROMORFNIH FUNKCIJA 121

Neka je sada δ < min{

12r, r

4Mε}

. Ako je |a−z| < δ, onda je |f(a)−f(z)| < εza svako f ∈ F. Time je dokazana ekvineprekidnost familije F u proizvoljnojtacki a ∈ V . Prema Arcela-Askolijevoj teoremi, F je relativno kompaktan u(C(V ), ρ). Jednostavno sledi da je F relativno kompaktan u (H(V ), ρ).

5.3 Prostor meromorfnih funkcija

Definicija 5.3.1. Funkcija f je meromorfna u otvorenom skupu V u C, akopostoji skup A ⊂ V sa sledecim svojstvima:

(a) Skup A nema tacaka nagomilavanja u V ;(b) f je analiticka u skupu V \ A;(c) f ima polove u svakoj tacki skupa A.

Teorema 5.3.1. Neka je f meromorfna funkcija u otvorenom skupu G, takoda f nije identicki jednaka nuli ni na jednoj povezanoj komponenti od G.Tada je 1

fmeromorfna funkcija.

Neka je G oblast u C i neka je f meromorfna u G. Ako je z ∈ G tacka kojaje pol funkcije f , onda neka je f(z) = ∞. Na taj nacin funkcija f : G → Cje neprekidna.

Sa M(G) se oznacava skup svih meromorfnih funkcija na G, sa vrednos-tima u C. Sve funkcije u M(G) su neprekidne. Stoga se M(G) moze smatratipodskupom od C(G,C).

SkupM(G) nije zatvoren podskup kompletnog metrickog prostora C(G,C):

Primer 5.3.1. Neka je G proizvoljna obalst u C i neka je za svako n ∈ N isvako z ∈ G: fn(z) = n. Ocigledno, fn ∈ M(G) za svako n ∈ N, i lim

n→∞fn =

f , pri cemu je za svako z ∈ G f(z) =∞. Dakle, f ∈ C(G,C) \M(G).

Teorema 5.3.2. Neka je G oblast u C, neka je (fn)n niz u M(G), i neka jelimn→∞

fn = f ∈ C(G,C). Tada je f ∈M(G), ili je f(z) =∞ za svako z ∈ G.

Ako su sve funkcije fn analiticke, tada je f analiticka ili je f(z) =∞ zasvako z ∈ G.

Dokaz. Neka je a ∈ G tako da je f(a) 6= ∞, i neka je M = |f(a)| + 1.Postoji R > 0 tako da je D3(f(a);R) ⊂ D(f(a);M). Kako je lim

n→∞fn =

f , postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 ispunjeno d3(fn(a), f(a)) <12R. Skup {f, f1, f2, . . . } je kompaktan u C(G,C), te sledi da je ovaj skup


ekvineprekidan u tacki a. Stoga postoji r > 0 tako da za svako z ∈ G, ako je|z−a| < r onda je d3(fn(z), fn(a)) < 1

2R. Sledi da ako je n ≥ n0 i |z−a| ≤ r,

onda je d3(fn(z), f(a)) < R. Prema izboru broja R, sledi da vazi

|fn(z)| ≤ |fn(z)− f(a)|+ |f(a)| ≤ 2M.

Koristeci formulu za metriku d3, sledi da vazi

2

1 + 4M2|fn(z)− f(z)| ≤ d3(fn(z), f(z)), z ∈ D[a; r], n ≥ n0.

Kako je d3(fn(z), f(z)) → 0 ravnomerno po z ∈ D[a; r], sledi da je |fn(z) −f(z)| → 0 ravnomerno po z ∈ D[a; r]. Niz (fn)n je ogranicen na D(a; r),funkcija fn nema polove i mora biti analiticka blizu tacke a za n ≥ n0. Sledida f mora biti analiticka u nekom disku sa centrom u a.

Sada pretpostavimo da je a ∈ G sa osobinom f(a) = ∞. Ako je g ∈C(G,C), definisemo funkciju 1

guobicajeno. Kako je fn → f u C(G,C), sledi

da je 1fn→ 1

fu C(G,C). Svaka funkcija 1

fnje meromorfna u G. Prema

prethodnom delu dokaza, postoji r > 0 i postoji n0 ∈ N tako da su 1f

i1fn

analiticke u D(a; r) za n ≥ n0, kao i 1fn→ 1

fravnomerno na D[a; r].

Na osnovu Teoreme Hurvica 10.2.2 sledi da je ili 1f≡ 0 ili 1

fima izolovani

singularitet u D(a; r). Dakle, ako f nije identicki jednako ∞, onda 1f

nije

identicki jednako 0, te funkcija f mora biti meromorfna u D(a; r). Lakose zakljucuje da ako f nije identicki jednaka ∞ na skupu G, onda je fmeromorfna.

Sada pretpostavimo da su sve funkcije fn analiticke. Pram Teoremi Hur-vica 10.2.2 sledi da ili je 1

fidenticki jednako nuli, ili 1

fnema nula. Kako

je f(a) = ∞, sledi da 1f

ima bar jednu nulu. Stoga je f ≡ ∞ u D(a; r).Analogno se zakljucuje da mora biti f ≡ ∞ ili je f analiticka u G.

Posledica 5.3.1. Ako je G oblast, onda su H(G) ∪ {∞} i M(G) ∪ {∞]zatvoreni u C(G,C). Pri tome,∞ oznacava funkciju koja je identicki jednaka∞ na G.

Takode, M(G) ∪ {∞} je kompletan metricki prostor.

Teorema 5.3.3. Neka je G oblast u C i neka je f ∈ M(G). Tada za svako

a ∈ G postoji limz→a

2|f ′(z)|1+|f(z)|2 .

5.3. PROSTOR MEROMORFNIH FUNKCIJA 123

Dokaz. Ako je funkijca f analiticka u tacki a, tada je teorema ociglednotacni.

Pretpostavimo da je a pol funkcije f reda m ≥ 1. Na osnovu Loranovog

razvoja funkcije f u probusenom disku◦D(a; r), sledi da postoji funkcija

g ∈ H(D(a; r)) tako da je

f(z) = g(z) +A1

z − a+

A2

(z − a)2+ · · ·+ Am

(z − a)m, 0 < |z − a| < r.

Dakle,

f ′(z) = g′(z)−[

A1

(z − a)2+ · · ·+ mAm

(z − a)m+1

], 0 < |z − a| < r,

i stoga za iste vrednosti z vazi

2|f ′(z)|1 + |f(z)|2

=2∣∣∣g′(z)−

[A1

(z−a)2+ · · ·+ mAm

(z−a)m+1

]∣∣∣1 +

∣∣∣g(z) + A1

z−a + A2

(z−a)2+ · · ·+ Am

(z−a)m

∣∣∣2=

2|z − a|m−1|g′(z)(z − a)m+1 − [A1(z − a)m−1 + · · ·+mAm]||z − a|2m + |g(z)(z − a)m + A1(z − a)m−1 + · · ·+ Am|2

.

Ocigledno je

limz→a

2|f ′(z)|1 + |f(z)|2

=

{0, m ≥ 2,

2|A1| , m = 1.

Time je tvrdenje dokazano.Prethodno tvrdenje nam omogucava uvovdenje funkcije µ : M(G) →

C(G,C), na sledeci nacin:

µ(f)(a) = limz→a

2|f ′(z)|1 + |f(z)|2

, f ∈M(G), z ∈ G.

Sada dokazujemo rezultat o relativnoj kompaktnosti u skupu M(G).

Teorema 5.3.4. Neka je G oblast u C i neka je F ⊂ M(G). Skup F jerelativno kompaktan u C(G,C) ako i samo ako je skup µ(F) = {µ(f) : f ∈ F}lokalno ogranicen u C(G,C).


Primer 5.3.2. Relativna kompaktnost u C(G,C) nije isto sto i relativnakompaktnost u M(G). Naime, neka je fn(z) = nz za svako n ∈ N i svakoz ∈ G. Tada je µ(fn)(z) = 2n

1+n2|z|2 . Stoga je familija F = {fn : n ∈ N}relativno kompaktan skup u C(G,C), a µ(F) je lokalno ogranicen skup uM(G). Medutim, F nije lokalno kompaktan u M(G) jer niz (fn)n konverigrafunkciji f za koju je f(z) =∞ za svako z ∈ G. Dakle, f /∈M(G).

Ovaj primer je u sagalasnosti sa Primerom 10.3.1.

Glava 6

Harmonijske funkcije

6.1 Osobine harmonijskih funkcija

Neka je V otvoren skup u C i neka je f = u + iv ∈ H(V ), pri cemu su u, vrealan i imaginaran deo funkcije f . Tada su funkcije u, v diferencijabilne ivaze Kosi-Rimanovi uslovi:

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x.

Takode je ispunjeno

f ′ =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂v

∂y− i∂u

∂y.

Funkcija f ′ je takode diferencijabilna na V , te stoga vaze Kosi-Rimanoviuslovi za funkciju f ′, odnosno:

∂2u

∂x2=

∂2v

∂y∂x,∂2u

∂y∂x= −∂

2v

∂x2,∂2v

∂x∂y= −∂

2u

∂y2,∂2v

∂y2=

∂2u

∂x∂y,

kao i

f ′′ =∂2u

∂x2+ i

∂2v

∂x2= −∂

2u

∂y2− i∂

2v

∂y2.

Kako su sve funkcije f, f ′, f ′′, f ′′′, · · · neprekidno diferencijabilne u V ,zakljucujemo da su realne funkcije u, v beskonacno puta neprekidno diferen-cijabilne u V .

125

126 GLAVA 6. HARMONIJSKE FUNKCIJE

Neka je, simbolicno,

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2

Laplasov operator, koji ima sledeci smisao: ako je g realna funkcija koja jedva puta neprekidno diferencijabilna u otvorenom skupu V ⊂ R2, onda je

∆g =∂2g

∂x2+∂2g

∂y2.

Stoga je ∆ je (linearno) preslikavanje iz realnog vektorskog prostora C2(V )u realan vektorski prostor C(V ).

Na osnovu izlozenog, sledi rezultat.

Teorema 6.1.1. Neka je V otvoren skup u C, f ∈ H(V ) i f = u + iv, gdesu u i v realan i imaginaran deo od f . Tada je

∆u = 0 i ∆v = 0 na G.

Prethodna teorema sugerise uvodenje nove klase realnih funkcija.

Definicija 6.1.1. Neka je V otvoren skup u R2 i neka je u : G→ R funkcijasa osobinom u ∈ C2(V ). Funkcija u je harminijska na skupu V , ako jeispunjeno

∆u = 0 na V.

Ako je f kompleksna funkcija na V , tako da je f = u + iv, onda je fharmonijska funkcija na V ako i samo ako su realne funkcije u i v harmonijskena V .

Dakle, ako je f ∈ H(V ), onda je f harmonijska na V .

Uvodimo linearne operatore koji deluju na dopustivim vektorskim pros-torima funkcija.

Ako je f = u + iv : V → C funkcija, tako da su u i v neprekidnodiferencijabilne u otvorenom skupu V , onda definisemo linearne operatore∂

∂zi∂

∂zna sledeci nacin:

∂

∂zf :=

1

2

(∂

∂x− i ∂

∂y

)f =

1

2

(∂u

∂x+∂v

∂y

)+i

2

(∂v

∂x− ∂u

∂y

),

∂

∂zf :=

1

2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)f =

1

2

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)+i

2

(∂v

∂x+∂u

∂y

),

6.1. OSOBINE HARMONIJSKIH FUNKCIJA 127

za one funkcije f za koje postoje navedeni parcijalni izvodi.Nije tesko proveriti sledece formule za dopustive funkcije f, g, kao i za

svako α, β ∈ C:

∂

∂z(αf + βg) = α

∂f

∂z+ β

∂g

∂z,

∂

∂z(αf + βg) = α

∂f

∂z+ β

∂g

∂z,

∂

∂z(fg) = g

∂f

∂z+ f

∂g

∂z,

∂

∂z(fg) = g

∂f

∂z+ f

∂g

∂z.

Kosi-Rimanovi uslovi za funkciju f izrazavaju se jednostavnom formulom∂f

∂z= 0, a tada je

∂f

∂z=∂f

∂x= −i∂f

∂y.

Takode je ∆f = 4∂2f

∂z∂z.

Dokazujemo da je svaka harmonijska funkcija uvek lokalno jednaka real-nom delu neke analiticke funkcije.

Teorema 6.1.2. Neka je D otvoren disk u R2, i neka je u realna harmonijskafunkcija na D. Tada postoji f ∈ H(D) tako da je Re f = u na D.

Dokaz. Neka je (x0, y0), (x, y) ∈ D. Definisemo funkciju v na disku D nasledeci nacin:

v(x, y) =

y∫y0

∂u(x, t)

∂xdt+ C(x),

gde je x 7→ C(x) neka neprekidno diferencijabilna funkcija. Na osnovu defini-cije funkcije v, sledi da je ispunjeno

∂v

∂y=∂u

∂xna D.

Kako je x 7→ ∂u(x, y)

∂xneprekidno diferencijabilna funkcija, sledi da je

∂v(x, y)

∂x=

y∫y0

∂2u(x, t)

∂x2dt+ C ′(x).


U cilju ispunjenja uslova

∂u

∂y= −∂v

∂xna D,

odredujemo funkciju x 7→ C(x) na osnovu

∂v(x, y)

∂x=

y∫y0

∂2u(x, t)

∂x2dt+ C ′(x) = −∂u(x, y)

∂y,

odakle je

C(x) =

x∫x0

−∂u(s, y)

∂y−

y∫y0

∂2u(s, t)

∂s2dt

ds+K,

pri cemu je K proizvoljna konstanta. Nasli smo realnu neprekidno difer-encijabilnu funkciju v na D, tako da su za funkciju f = u + iv ispunjeniKosi-Rimanovi uslovi

∂u

∂x=∂v

∂y,∂u

∂y= −∂v

∂xna D.

Prema tome, f = u+ iv ∈ H(D).Dokaz prethodne teoreme sustinski se zasniva na uslovu da segmenti[

(x0, y0), (x, y)],[(x0, y0), (x0, y)

]i[(x0, y0), (x0, y)

]pripadaju skupuD. Sto-

ga jednostavno sledi da prethodna teorema moze biti dokazana pod opstijompretpostavkom da je D proizvoljan konveksan skup.

Posledica 6.1.1. Neka je V otovren skup u R2 i neka je u : V → R har-monijska funkcija na V . Tada je u ∈ C∞(V ).

Dodatno uopstenje dokayuje se u prosto povezanim oblastima.

Teorema 6.1.3. Neka je G prosto povezana oblast u R2 i neka je h : G→ Rharmonijska funkcija na G. Tada postoji f ∈ H(G) tako da je Re f = u.

Dokaz. Definisemo funkciju h =∂u

∂x− i∂u

∂y. Vazi u ∈ C∞(G), te je

∂2u

∂x∂y=

∂2u

∂y∂x. Kako je u harmonijska, ispunjeno je ∆u = 0 na G. Ispunjeni su Kosi-

Rimanovi uslovi za funkciju h, te je h ∈ H(G). Kako je G prosto povezana

6.2. PRINCIP MAKSIMUMA I OSOBINA SREDNJE VREDNOSTI 129

oblast u C, sledi da postoji primitivna funkcija f ∈ H(G) funkcije h, odnosnof ′ = h na G. Neka je f = u+ iv. Tada je

f ′ =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂u

∂x− i∂u

∂y= h =

∂u

∂x− i∂u

∂y.

Sledi da je∂u

∂x=∂u

∂xi∂u

∂y=∂u

∂y. Stoga se funkcije u i u razlikuju za neku

konstantu c. Sledi da je f1 = f − c = u + iv analiticka funkcija u G sasvojstvom Re(f1) = u.

Posledica 6.1.2. Neka je G prosto povezana oblast u C, i neka je u : G→ Rharmonijska funkcija. Ako su f, f1 ∈ H(G) sa svojstvom u = Re f = Re(f1),onda se f i f1 razlikuju za konstantu koja je cisto imaginaran broj.

Dokaz. Direktna provera na osnovu Kosi-Rimanovih uslova za f = u + iv if1u+ iv1.

Alternativno, f−f1 = i(v−v1) je analiticka funkcija na G, koja mora bitiotvoreno preslikavanje na G. Kako je (f − f1)(G) podskup imaginarne ose,ovaj skup ne moze biti otvoren. Prema Teoremi o otvorenom preslikavanju,f − f1 je konstanta koja je cisto imaginaran broj.

Definicija 6.1.2. Ako je V otvoren skup u C, i ako je f = u + iv ∈ H(V ),onda su u, v medusobno harmonijski konjugovane funkcije na V .

6.2 Princip maksimuma i osobina srednje

vrednosti

U prethodnoj sekciji dokazali smo da su harmonijske funkcije u neposrednojvezi sa analitickim funkcijama. Dokazujemo rezultate za realne harmoni-jske funkcije, koji su analogni nekim rezultatima za kompleksne analitickefunkcije.

Teorema 6.2.1. (Princip maksimuma za harmonijske funkcije) Neka je Goblast u R2, i neka je u : G → R harmonijska funkcija na G. Ako postojitacka z0 ∈ G sa svojstvom

u(z0) = supz∈G

u(z),

tada je funkcija u konstantna na G.


Dokaz. Neka je

M =

{w ∈ G : u(w) = sup

z∈Gu(z)

}.

Prema pretpostavci, z0 ∈ M , te je M 6= ∅. Dokazacemo da je M lokalnootvoren i lokalno zatvoren u G.

Na osnovu neprekidnosti funkcije u i skupovne jednakosti

M = u−1

(supz∈G

u(z)

),

sledi da je M zatvoren u G.Sa druge strane, neka je a ∈ M proizvoljna tacka. Skup G je otvoren,

te postoji disk D = D(a; r) ⊂ G. Neka je f = u + iv ∈ H(D) (tako da jeRe f = u na D). Neka je g(z) = ef(z) za svako z ∈ D. Tada je g ∈ H(D) i

|g(z)| = |ef(z)| = |eu(z)||eiv(z)| = eu(z)

za svako z ∈ D. Specijalno,

supz∈D|g(z)| = sup

z∈Deu(z) = eu(z0).

Prema Principu maksimuma modula za analiticke funkcije, sledi da je g kon-stantna funkcija na D. Takode sledi da je u = ln |g| konstantna funkcija naD. Sledi D ⊂M . Time smo dokazali da je M otvoren skup u G.

Na kraju, G je oblast, pri cemu je M neprazan podskup od G, koji jeistovremeno otvoren i zatvoren u G. To je moguce samo ako je M = G.Odavde sledi da je u konstantna funkcija na G.

Navodimo interesantne posledice prethodne teoreme.

Posledica 6.2.1. (Princip minimuma za harmonijske funkcije) Neka je Goblast u R2, i neka je u : G → R harmonijska funkcija na G. Ako postojitacka z0 ∈ G sa svojstvom

u(z0) = infz∈G

u(z),

tada je funkcija u konstantna na G.

Dokaz. Primenimo prethodnu teoremu na harmonijsku funkciju −u.

6.3. PUASONOVA INTEGRALNA FORMULA 131

Posledica 6.2.2. Neka je G ogranicena oblast u R2, i neka je u : G → Rneprekidna funkcija, tako da je funkcija u harmonijska na G. Tada je

maxz∈G

u(z) = maxz∈∂G

u(z), minz∈G

u(z) = minz∈∂G

u(z).

Dokaz. Skup G je kompaktan u R2. Neprekidna funkcija u dostize svojmaksimum i minimum na kompaktu G. Za kraj dokaza primenimo Principmaksimuma i Princip minimuma za harmonijske funkcije.

Na kraju ove sekcije dokazujemo osobinu srednje vrednosti za harmonijskefunkcije.

Teorema 6.2.2. (Osobina srednje vrednosti) Neka je V otvoren skup u R2,neka je u : V → R harmonijska funkcija na V , i neka je D[z0, r] ⊂ V , pricemu je r > 0. Tada je

u(z0) =1

2π

2π∫0

u(z0 + reit)dt.

Dokaz. Postoji s > r tako da je D(z0; s) ⊂ V . Postoji f ∈ H(D(z0; s)) takoda je f = u + iv. Neka je γ(t) = z0 + reit, t ∈ [0, 2π]. Primenimo Kosijevuintegralnu formulu na funkciju f . Tada je

u(z0) + iv(z0) = f(z0) =1

2πi

∫γ

f(z)

z − z0

dz

=1

2πi

2π∫0

f(z0 + reit)

z0 + reit − zireitdt

=1

2π

2π∫0

(u(z0 + reit) + iv(z0 + reit)

)dt.

Uporedivanjem realnog i imaginarnog dela u poslednjoj jednakosti, sleditvrdenje.

6.3 Puasonova integralna formula

Neka je a ∈ C, |a| < 1, D = D(0; 1) i T je jedinicna kruznica: γ(t) = eit,t ∈ [0, 2π]. Na osnovu Teoreme ?? sledi da funkcija z 7→ ϕa(z) = z−a

1−az ,z ∈ D = D(0; 1) ima sledeca svojstva:


(1) ϕa je analiticka funkcija u nekoj okolini diska D[0; 1];(2) ϕa : D(0; 1)→ D(0; 1) je bijekcija;(3) (ϕa)

−1 = ϕ−a;(4) ϕa(a) = 0.Sledeci rezultat je interesantan, a dokaz je tehnickog karatera.

Teorema 6.3.1. Neka su V,G otvoreni skupovi u C, neka je funkcija g :V → R harmonijska, a f : G → V neka je analiticka funkcija. Tada jeh = g ◦ f : G→ R harmonijska funkcija.

Dokaz. Neka je f = u+ iv. Tada je

∂h

∂x=∂g

∂x

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

),

te je∂2h

∂x2=∂2g

∂x2

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

)+∂g

∂x

(∂2u

∂x2+ i

∂2v

∂x2

).

Analogno,

∂2h

∂y2=∂2g

∂y2

(∂u

∂y+ i

∂v

∂y

)+∂g

∂y

(∂2u

∂y2+ i

∂2v

∂y2

).

Realne funkcije g, u, v su harmonijske u svojim domenima, te je

∂h2

∂x2+∂h2

∂y2= 0

na G. Stoga je h hamronijska na G.Dokazujemo Puasonovu1 integralnu formulu.

Teorema 6.3.2. (Puasonova integralna formula) Neka je G otvorena okolinadiska D[0; 1], i neka je funkcija u : G→ C harmonijska na G. Tada za svakoa ∈ D(0; 1) vazi

u(a) =1

2π

2π∫0

u(eit)1− |a|2

|a− eit|2dt.

1Simeon Denis Poisson (1781 - 1840), francuski matematicar


Dokaz. Prema prethodnoj teoremi, u ◦ ϕ−a je harmonijska funkcija. Pri-menimo osobinu srednje vrednosti na ovu funkciju:

u(a) = (u ◦ ϕ−a)(0) =1

2π

2π∫0

u(ϕ−a(eit))dt

=1

2πi

2π∫0

u(ϕ−a(eit))

eitieitdt

=1

2πi

∫T

u(ϕ−a(ζ))

ζdζ.

Posmatrajmo sada transformaciju ζ = ϕa(ξ), koja je bijekcija i neprekidnodiferencijabilna u okolini diska D[0; 1]. Takode je ϕa(T ) = T i ϕ′a(ξ) =

1−|a|(1−aξ)2 . Na osnovu ξ = ϕ−1(ζ), vazi:

u(a) =1

2πi

∫T

u(ξ)

ϕa(ξ)ϕ′a(ξ)dξ

=1

2πi

2π∫0

u(eit)

[(eit − a)/(1− aeit)]1− |a|2

(1− aeit)2ieitdt

=1

2π

2π∫0

u(eit)1− |a|2

|eit − a|2dt.

Time je teorema dokazana.Neka je data realna neprekidna funkcija f na T . Od interesa je naci

realnu neprekidnu funkciju g na D[0; 1], koja je harmonijska u D(0; 1), takoda je g = f na T . Ovaj problem se naziva Dirihleov2 problem za disk, i deoje jednog opstijeg problema u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednacina.Puasonova integralna formula jeste ideja za resavanje Dirihleovog problema.

Ako je a ∈ D(0; 1) i ψ ∈ [0, 2π], onda je

P (a, ψ) =1

2π

1− |a|2

|a− eiψ|2

2Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859), nemacki matematicar


Puasonovo jezgro. Koristeci a = reiθ i r = |a|, Puasonovo jezgro se mozepredstaviti i kao

Pr(θ − ψ) =1

2π

1− r2

1− 2r cos(θ − ψ) + r2.

Prema tome, Puasonova integralna formula ima oblik

u(reiθ) =

2π∫0

u(eiψ)Pr(θ − ψ)dψ.

Teorema 6.3.3. Neka je f : T → C neprekidna funkcija. Tada je funkcija

z 7→ F (z) =1

2πi

∫T

f(ξ)

ξ − zdξ

analiticka na D(0; 1), dok je funkcija

z 7→ G(z) =1

2πi

∫T

f(ξ)

ξ − zdξ

harmonijska na D(0; 1).

Dokaz. Funkcija z 7→ f(ξ)ξ−z je diferencijabilna po z za svako ξ ∈ T . Stoga je

∂

∂zf(ξ)ξ−z = 0. Tada je

∂F

∂z=

1

2πi

∫T

∂

∂z

(f(ξ)

ξ − z

)dξ = 0.

Sledi da je F analiticka funkcija.Funkcija z 7→ z = x + iy je harmonijska, te je i funkcija z 7→ g(z, ξ) =

f(ξ)

ξ − zharmonijska po z ∈ D(0; 1) za svako ξ ∈ T . Stoga je ∆zzg(z, ξ) = 0 za

svako z ∈ D(0; 1) i svako ξ ∈ T . Koristili smo oznaku ∆zzg(z, ξ) da naglasimodiferenciranje po realnom i imaginarnom delu promenljive z = x + iy. Naosnovu

∆G =1

2πi

∫T

∆zzg(z, ξ)dξ = 0,

odakle sledi da je G harmonijska na D(0; 1).


Teorema 6.3.4. (Resenje Dirihleovog problema za disk) Neka je f : T → Rneprekidna funkcija. Definisemo funkciju u : D[0; 1]→ R na sledeci nacin:

u(z) =

12π

2π∫0

f(eit) 1−|z||z−eit|2dt, z ∈ D(0; 1),

f(z), z ∈ T.

Tada je funkcija u neprekidna na D[0; 1], i funkcija u je harmonijska naD(0; 1).

Dokaz. Dokazujemo da je u harmonijska funkcija na D(0; 1). Ako je z ∈D(0; 1) i t ∈ [0, 2π], onda je

1− |z|2

|z − eit|=

eit

eit − z+

e−it

e−it − z− 1,

te je

u(z) =1

2π

2π∫0

f(eit)eit

eit − zdt+

1

2π

2π∫0

f(eit)e−it

e−it − zdt− 1

2π

2π∫0

f(eit)dt.

Prema prethodnoj teoremi, prvi integral daje analiticku funkciju po z, adrugi integral daje harmonijsku funkciju po z. Kako je treci integral jednakkonstanti, sledi da je funkcija u harmonijska na D(0; 1).

Dokazujemo da je u neprekidna funkcija na D = D[0; 1]. Posmatrajmoharmonijsku funckiju v(z) ≡ 1 u okolini od D. Tada za svako z ∈ D vazi

1 = v(z) =1

2π

2π∫0

1− |z|2

|z − eit|dt.

Fiksiramo tacku eit0 ∈ T , i neka je z = reit ∈ D blizu tacke eit0 . Tada je

|u(eit0)− u(z)|

∣∣∣∣∣∣u(eit0)− 1

2π

2π∫0

f(eis)1− r2

|1− rei(t−s)|2ds

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣ 1

2π

2π∫0

[f(eit0)− f(eis)

] 1− r2


∣∣∣∣∣∣


Neka je M = maxz∈T|f(z)| i neka je ε > 0. Funkcija f je ravnomerno

neprekidna na T , te stoga postoji δ > 0 tako da vazi implikacija

|s− t| < δ =⇒ |f(eis)− f(eit)| < ε

2.

Neka je zato z = reit blizu tacke eit0 , tako da je ispunjeno |t− t0| < δ3, r ≥ 1

2

i |1− r| < δ2ε100M

. Tada je

|u(eit0)− u(z)| ≤ I1 + I2,

pri cemu je

I1 =1

2π

∫{s:|s−t0|<δ}

|f(eit0)− f(eis)| 1− r2

1− rei(t−s)|2ds

i

I2 =1

2π

∫{s:|s−t0|≥δ}

|f(eit0)− f(eis)| 1− r2

1− rei(t−s)|2ds

Vrednost I1 procenjujemo na sledeci nacin:

I1 ≤1

2π

∫{s:|s−t0|<δ}

ε

2

1− r2


≤ ε

2

1

2π

2π∫0

1− r2

|1− rei(t−s)|2ds =

ε

2.

U cilju procene vrednosti I2, izbor brojeva δ i r implicira

|1− rei(t−s)|2 = (1− r)2 + 2r(1− cos(t− s)) ≥ 2r(1− cos(t− s))

≥ 2r

(1−

[1− (t− s)2

2+

(t− s)4

24

])≥ r

(t− s)2

2≥ (t− s)2

4.

Stoga je

I2 ≤1

2π

∫{s:|s−t0|≥δ}

8M1− r2

(t− s)2ds.

6.4. OSOBINA SREDNJE VREDNOSTI NA MALIM KRUZNICAMA 137

Ako je |t− t0| < δ3

i |s− t0| ≥ δ, tada je |t− s| ≥ 2δ3

. Stoga sledi

I2 ≤1

2π

72M

4δ2

2π∫0

(1 + r)(1− r)ds ≤ 1

2π

144M

4δ22π

δ2ε

100M<ε

2.

Iz procena za I1 i I2, sledi da je |(u(eit0) − u(z)| < ε, te je funkcija uneprekidna na D.

Primer 6.3.1. Neka je T jedinicna kruznica u C, i neka je f(ξ) = ξ = 1ξ

za

svako ξ ∈ T . Neka je z ∈ D(0; 1). Definisemo funkciju F : D(0; 1) → C nasledeci nacin:

F (z) =1

2πi

∫T

f(ξ)

ξ − zdξ.

Tada je F ∈ H(D(0; 1).Ako je z = 0, onda je, na osnovu direktnog racuna, F (0) = 1

2πi

∫T

dξξ2

= 0.

Ako je z 6= 0, onda je

g(ξ) =1

ξ(ξ − z)= − 1

zξ+

1

z(ξ − z),

te je Resξ=0

g = −1z, Resξ=z

g = 1z. Na osnovu Teoreme o potpunoj sumi ostataka,

vazi

F (z) =1

2πi

∫T

g(ξ)dξ = Resξ=0

g + Resξ=z

g = 0.

Dakle, F je identicki jedanko 0 na D(0; 1), iako je |f | = 1 na T . Dakle, fnije neprekidna ekstenzija funkcije F na T . Prema tome, resenje Dirihleovogproblema za jedinicni disk je specificnost realnih harmonijskih funkcija, i nemoze se prosiriti na kompleksne analiticke funkcije.

6.4 Osobina srednje vrednosti na malim

kruznicama

U ovoj sekciji dokazujemo da funkcije koje imaju svojstvo srednje vrednosti(u smislu Teoreme 11.2.2) jesu harmonijske.


Definicija 6.4.1. Neka je G otvoren skup u R2, i neka je h : G → Rneprekidna funkcija. Funkcija h ima svojstvo srednje vrednosti na malimkruznicama ako za svako z0 ∈ G postoji ε0 > 0, tako da je D[z0, ε0] ⊂ G, ida za svako ε ∈ (0, ε0) vazi formula

h(z0) =1

2π

2π∫0

h(z0 + εeit)dt.

Dokazujemo rezultat o maksimumu funkcija koje imaju svojstvo srednjevrednosti na malim kruznicama.

Teorema 6.4.1. Neka je G oblast u R2, i neka je h : G → R neprekidnafunkcija koja ima svojstvo srednje vrednosti na malim kruznicama. Ako pos-toji z0 ∈ G tako da je h(z0) = sup

z∈Gh(z), tada je h konstanta na G.

Dokaz. Neka je M = {w ∈ G : h(w) = supz∈G

h(z)}. Skup M je neprazan, jer

je z0 ∈M . Kako je

M = h−1(

supz∈G

h(z)}),

sledi da je M zatvoren u G.Neka je z1 ∈ M proizvoljna tacka, i neka je e1 > 0 iz definicije srednje

vrednosti na malim kruznicama. Tada za svako ε ∈ (0, ε1) vazi

h(z1) =1

2π

2π∫0

h(z1 + εeit)dt ≤ 1

2π

2π∫0

(supz∈G

h(z)})dt = h(z1).

Dakle, prethodna nejednakost u stvari jeste jednakost. Stoga je h(z1 +εeit) =supz∈G

h(z)} za svako t ∈ [0, 2π]. Kako je prethodna jednakost ispunjena za

svako ε ∈ (0, ε1), sledi da je D(z1; ε1) ⊂M , odnosno M je otvoren.Kako je skup G povezan, mora biti G = M , odnosno funkcija h je kon-

stantna na G.Najvazniji rezultat ove sekcije sledi.

Teorema 6.4.2. Neka je G otvoren skup u R2, i neka je h : G → Rneprekidna funkcija koja ima svojstvo srednje vrednosti na malim kruznicama.Tada je h harmonijska funkcija na G.

6.4. OSOBINA SREDNJE VREDNOSTI NA MALIM KRUZNICAMA 139

Dokaz. Neka je D otvoren disk, tako da je D ⊂ G. Prema Teoremi 11.3.4sledi da postoji harmonijska funkcija u : D → R, tako da je funkcija

u(z) =

{u(z), z ∈ D,h(z), z ∈ ∂D,

neprekidna na D.Posmatrajmo funkciju v = h − u na D. Ocigledno je v = 0 na ∂D. Sa

druge strane, funkcije h i u ispunjavaju svojstvo srednje vrednosti na malimkruznicama, odakle sledi da i funkcija v ispunjava svojstvo srednje vrednostina malim kruznicama.

Na osnovu osobine maksimuma za funkcije koje ispunjavaju svojstvo sred-nje vrednosti na malim kruznicama, sledi da mora biti v(z) ≤ 0 za svakoz ∈ D. Primenjujuci isto svojstvo na funkciju −v, sledi da je −v(z) ≤ 0 zasvako z ∈ D. Ocigledno mora biti v(z) = 0 za svako z ∈ D. Sledi da je h = una D. Specijalno, h je harmonijska funkcija na D.

Disk D je proizvoljan sa svojstvom D ⊂ G. Sledi da je h harmonijskafunkcija na G.

Posledica ove teoreme je rezultat o ravnomernoj konvergenciji niza har-monijskih funkcija na kompaktnim podskupovima.

Teorema 6.4.3. Neka je G otvoren podskup od R2, i neka je (un)n niz har-monijskih funkcija na G, tako da je un → u ravnomerno na kompaktnimpodskupovima od G. Tada je funkcija u harmonijska na G.

Dokaz. Neka je D[z; r] ⊂ G proizvoljan disk. Tada za svako n ∈ N vazi

un(z) =1

2π

2π∫0

un(z + reit)dt.

Prelaskom na granicnu vrednost kada n → ∞, uzimajuci u obzir da je γ∗

kompakt za γ(t) = z + reit, t ∈ [0, 2π], sledi da je

u(z) =1

2π

2π∫0

u(z + reit)dt.

Kako je r > 0 proizvoljno (sa svojstvom D[z; r] ⊂ G), sledi da u ispunjavasvojstvo srednje vrednosti na malim kruznicama.

Na osnovu prethodnih razmatranja, u je harmonijska funkcija na G.


6.5 Harnakov princip

U ovoj sekciji detaljnije izucavamo konvergenciju niza harmonijskih funkcijapo kompaktnim skupovima.

Teorema 6.5.1. (Harnakova nejednakost) Neka je R > 0 i neka je funkcija unenegativna i harmonijska u okolino diska d[0;R]. Tada za svako z ∈ D(0;R)vazi

R− |z|R + |z|

u(0) ≤ u(z) ≤ R + |z|R− |z|

u(0).

Dokaz. Neka je D = D(0;R). Primenimo Puasonovu integralnu formulu naD. Tada je

u(z) =1

2π

2π∫0

u(Reit)R2 − |z|2

Reit − z|dt.

Sada jeR2 − |z|2

|Reit − z|2≤ R2 − |z|2

(R− |z|)2=R + |z|R− |z|

.

Proizilazi

u(z) ≤ R + |z|R− |z|

1

2π

2π∫0

u(eit)dt =R + |z|R− |z|

u(0).

Na ovaj nacin je dokazana jedna nejednakost. Druga nejednakost dokazujese analogno.

Harnakovu nejednakost formulisemo bez dokaza za proizvoljan disk.

Posledica 6.5.1. Neka je z0 ∈ C, R > 0 i neka je funkcija u nenegativna iharmonijska u okolini diska D[z0;R]. Tada za svako z ∈ D(z0;R) vazi

R− |z − z0|R + |z − z0|

u(z0) ≤ u(z) ≤ R + |z − z0|R− |z − z0|

u(z0).

Teorema 6.5.2. (Harnakov princip) Neka je G oblast u C i neka je (un)nniz harmonijskih funkcija na G, koji ispunjava uslov u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ · · ·na G. Tada: ili un → ∞ ravnomerno na kompaktnim podskupovima od G,ili postoji harmonijska funkcija u na G tako da je un → u ravnomerno nakompaktnim podskupovima od G.

6.5. HARNAKOV PRINCIP 141

Dokaz. Pretpostavimo da je z0 ∈ G sa svojstvom uj(z0) → +∞. Postojineko j0 tako da je uj0(z0) > 0. Stoga postoji r > 0 tako da je D[z0; r] ⊂ G, ida za svako z ∈ D[z0; r] vazi uj0(z) > 0. Na osnovu Harnakove nejednakostisledi da za svako z ∈ D[z0; r/2] vazi

uj(z) ≥ r − r/2r + r/2

uj(z0) =1

3uj(z0).

Dakle, uj → +∞ ravnomerno na D(z0, r/2). Na osnovu ovog dokaza sledida je skup {z0 ∈ G : uj(z)→ +∞} otvoren u G.

Sa druge strane, neka je z1 ∈ G tacka u kojoj uj(z1) teci konacnoj granicil. Neka je D[z1; s] ⊂ G. Tada za svako z ∈ D(z1; s/2), na osnovu Harnakovenejednakosti sledi

uj+kz)− uj(z) ≤ s+ s/2

s− s/2(uj+k(z1)− uj(z1)) = 3(uj+k(z1)− uj(z1))→ 0.

Dakle, uj konvergira ravnomerno na D(z1; s/2) ka nekoj funkciji u. Na os-novu ranijeg rezultata sledi da je u harmonijska funkcija. Na osnovu ovogdokaza sledi da je skup {z1 ∈ G : uj(z)→ u(z1) < +∞} otvoren u G.

Skup G je povezan, pa stoga mora vaziti tacno jedan od prethodna dvaslucaja. Na osnovu cinjenice da se svaki kompaktan podskup od G mozepokriti konacnom unijom otvorenih diskova (poluprecnika r/2 ili s/2), sledida je konvergencija u oba slucaja ravnomerna na kompaktnim podskupovimaod G.

Glava 7

Analiticka produzenja

7.1 Analiticka produzenja lanacima oblasti

Neka je G0 oblast u C i neka je f0 ∈ H(G0). Neka je G1 takode oblast u C,tako da je G0∩G1 6= ∅. Ako postoji f1 ∈ H(G1) tako da za svako z ∈ G0∩G1

vazi f0(z) = f1(z), onda je f1 analiticko produzenje funkcije f0 sa oblasti G0

na oblast G1. Naravno, interesantan slucaj je G1 \G0 6= ∅.Nije uvek moguce analiticki produziti f0 sa G0 na G1. Medutim, ako je

analiticko produzenje funkcije f0 sa oblasti G0 na oblast G1 moguce, ondaje (prema rezultatu o jedinstvenosti analiticke funkcije) to produzenje jedin-stveno. Stoga je moguce definisati funkciju f na G0 ∪G1, tako da je

f(z) =

{f0(z), z ∈ G0,

f1(z), z ∈ G1,

i f ∈ H(G0 ∪G1).Pretpostavimo sada da postoji niz oblasti u C, i to G0, G1, . . . , Gn, pri

cemu je Gj ∩ Gj+1 6= ∅ za svako j ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Ako postoje funkcijefj ∈ H(Gj), j = 0, 1, . . . , n, tako da je fj(z) = fj+1(z) za svako z ∈ Gj∩Gj+1,tada je niz funkcija f1, . . . , fn analiticko produzenje funkcije f0 po oblastimaG1, . . . , Gn. Svaki prelaz sa funkcije fj i oblasti Gj na funkciju fj+1 i oblastGj+1 je jedinstven. Stoga je analiticko produzenje (ako postoji) jedinstvenoodredeno funkcijom f0 i nizom G0, G1, . . . , Gn (Slika 6). Svaki ureden parFj = (Gj, fj), j = 0, . . . , n, je analiticki elemenat, a niz F = (F1, . . . ,Fn) jeanaliticki lanac oblasti.

143

144 GLAVA 7. ANALITICKA PRODUZENJA

Slika 6.G0

G1

Gn

G2

Moduce je G0 ∩Gn 6= ∅. Iako je f0 ∈ H(G0) i fn ∈ H(Gn), nije obaveznof0(z) = fn(z) za svako z ∈ G0 ∩Gn. Stoga funkcija f u opstem slucaju jesteviseznacna analiticka funkcija.

Primer 7.1.1. Pozmatrajmo funkciju f0(z) =√z = r1/2eiϕ/2, pri cemu je

z = reiϕ ∈ G0 = H+. Funkcija f0 je kvadratni koren, odnosno jedna granadvoznacnog kvadratnog korena kompleksnog broja z. Neka je G1 = {z =reiϕ : r > 0, π

2< ϕ < 2π}, G2 = {z = reiϕ : r > 0, π < ϕ < 5π

2}. Neka

je fj(reiϕ) = r1/2eiϕ/2, z = reiϕ ∈ Gj, j = 1, 2. Tada je, ocigledno, fj

analiticko produzenje funkcije fj−1 sa oblati Gj−1 na oblast Gj. Neka je fanaliticko produzenje funkcije f0 preko lanca oblasti G0, G1, G2. Primetimoda je Q1 = G0 ∩ G2 prvi kvadrant. Ako je, z = reiϕ = reiψ ∈ Q1, za0 < ϕ < π

2i 2π < ψ < 5π

2, tada je f0(z) = r1/2eiϕ/2 6= r1/2eiψ/2 = f2(z).

Dakle, ako je z ∈ Q1, tada je f(z) = f0(z) i f(z) = f2(z), odnosno funkcijaf je dvoznacna u Q1.

Dvoznacnost analitickog produzenja ne moze biti izmenjena ako se uzmedruga grana funkcije

√z u oblasti G0 = H+. Neka je g0(reiϕ) = r1/2ei(ϕ/2+π)

za z = reiϕ ∈ G0. Za svako j = 1, 2 neka je gj(reiϕ) = r1/2ei(ϕ/2+π) za

z = reiϕ ∈ Gj, j = 1, 2. Neka je g analiticko produzenje funkcije g0 u odnosuna lanac oblasti G0, G1, G2. Ako je z = reiϕ = eiψ ∈ Q1 za 0 < ϕ < π

2i

2π < ψ < 5π2

. Tada je g0(reiϕ) = r1/2ei(ϕ/2+π) 6= r1/2ei(ψ/2+π). Prema tome,ako je z ∈ Q1, tada je g(z) = g0(z) i g(z) = g2(z), odnosno funkcija g jedvoznacna u Q1.

Primer 7.1.2. Funkcija z 7→ ln z je viseznacna analiticka analiticka funkcija.Ako je ϕk = arg z ∈ [2kπ, 2(k + 1)π), tada je lnk(z) = ln r + iϕk.

Neka je G0 = H+, i neka je f0(reiϕ) = ln r + iϕ za z ∈ G0. Neka jeG1 = {z = reiϕ : r > 0, π

2< ϕ < 2π}, G2 = {z = reiϕ : 3π

2< ϕ < 5π

2}, i

neka je fj(reiϕ) = ln r + iϕ za z = reiϕ ∈ Gj, j = 1, 2. Tada je fj analiticko

produzenje od fj−1 u odnosnu na oblasti Gj−1 i Gj, za j = 1, 2. Neka je

7.2. ANALITICKA PRODUZENJA STEPENIM REDOVIMA 145

f analiticko produzenje od f0 u odnosu na lanac oblasti G0, G1, G2. Kao iu prethodnom primeru, Q1 = G0 ∩ G2. Ako je z = reiϕ = reiψ ∈ Q1 za0 < ϕ < π

2i 3π

2< ψ < 5π

2, tada je f0(z) = ln r + iϕ 6= ln r + iψ. Sledi da je f

dvoznacna funkcija u oblasti Q1.

Kao i u prethodnom primeru, viseznacnost funkcije f se ne moze promeniti,ako se kao funkcija f0 uzme neka druga grana funkcije z 7→ ln z.

7.2 Analiticka produzenja stepenim redovima

Pretpostavimo da je poluprecnik konvergencije stepenog reda

f0(z) =∞∑n=0

c0n(z − a0)n

jednak r0 ∈ (0,+∞). Tada je f0 analiticka funkcija u disku D(a0; r0). Nekaje a1 ∈ D(a0; r0), i posmatrajmo odgovarajuci razvoj funkcije f0 u okolinitacke a1:

f0(z) =∞∑n=0

c1n(z − a1)n, c1n =1

n!f

(n)0 (a1).

Poluprecnik konvergencije novodobijenog reda je r1 i vazi r1 ≥ r0− |a1− a0|.Funkcija

f1(z) =∞∑n=0

c1n(z − a1)n, |z − a1| < r1,

je analiticka u disku D(a1; r1). Pri tome je f0(z) = f1(z) za z ∈ D(a0; r0) ∩D(a1; r1). Ukoliko je r1 > r0−|a1− a0|, onda je D(a1; r1) * D(a0; r0), i tadaje f1 analiticko produzenje funkcije f0, u odnosu na posmatran lanac diskovaD(a0; r0) i D(a1; r1) (Slika 7).

Slika 7.

a0

a1 a2

r0

r1

r2


Kako je

f(n)0 (z) =

∞∑m=n

m!

(m− n)!c0m(z − a0)m−n,

sledi da je

c1n =∞∑m=n

(m

n

)c0m(a1 − a0)m−n.

Pretpostavimo sada da je a2 ∈ D(a1; r1) i a2 6= a1. Tada je

f1(z) =∞∑n=0

c2n(z − a2)n, c2n =1

n!f

(n)1 (a2),

pri cemu je r2 poluprecnik konvergencije ovog stepenog reda, i r2 ≥ r1−|a2−a1|. Neka je

f2(z) =∞∑n=0

c2n(z − a2)n, |z − a2| < r2.

Ako je r2 > r1−|a2−a1|, onda je D(a2; r2) * D(a1; r1). Kako je f2(z) = f1(z)za svako z ∈ D(a1; r1)∩D(a2; r2), sledi da je f2 analiticko produzenje funkcijef1, u odnosu na posmatrane diskove.

Jos jednom,

c2n =∞∑m=n

(m

n

)c1m(a2 − a1)m−n.

Postupak se u nekim slucajevima moze nastaviti. Medutim, postojeprimeri analitickih funkcija, kod kojih nije moguce izvesti ni jedan korakanalitickog produzenja.

Primer 7.2.1. Neka je

f0(z) =∞∑m=0

zm! = 1 + z + z2 + z6 + z24 + · · · , |z| < 1.

Ako je |z| < 1, tada je∞∑m=0

|z|m! ≤∞∑m=0

|z|m < +∞. Ako je |z| > 1,

onda |z|m! → +∞, te je polazni red divergentan. Dakle, posmatrani red jekonvergentan za z ∈ D(0; 1), i divergentan za z /∈ D[0; 1].

Posmatrajmo skup M ={θ = 2kπ

n: k, n ∈ N, n 6= 0

}. Skup M je gust u

R. Neka je T jedinicna kruznica. Tada je skup{eiθ : θ ∈M

}gust u T .

7.3. ANALITICKA PRODUZENJA DUZ KRIVIH 147

Neka je θ = 2kπn∈ M i m ≥ n. Tada je (eiθ)m! = 1. Ako je 0 < r < 1,

onda je z = reiθ ∈ D(0; 1). Tada je

f0(reiθ) =n−1∑m=0

(reiθ)m! +∞∑m=n

rm!.

Sledi da jelimr→1−

|f0(reiθ)| = +∞.

Pretpostavimo sada da postoji a1 ∈ D(0; 1) tako da je funkcija

f1(z) =∞∑m=0

bm(z − a1)m, |z − a1| < r1,

analiticko produzenje od f0, odnosno r1 > 1 − |a1|. Postoji θ = 2kπn∈ M

tako da je eiθ ∈ D(a1; r1). Za takvo θ vazi

limr→1−

f0(reiθ) = limr→1−

f1(reiθ) = f1(eiθ)

zbog neprekidnosti funkcije f1. Sledi da mora biti |f1(eiθ)| = +∞, sto jenemoguce.

Dakle, nije moguce analiticki produziti funkciju f0 van jedinicnog diska.

Definicija 7.2.1. Ako je G oblast u C, i ako je f ∈ H(G) tako da fnije moguce analiticki produziti van oblasti G, tada je ∂G prirodna granicafunkcije f .

7.3 Analiticka produzenja duz krivih

Primenimo prethodno opisan metod analitickog produzenja stepenim re-dovima, pod dodatnom pretpostavkom da centri diskova pripadaju unapredzadanoj krivoj u C.

Neka je γ : [a, b] → C kriva. Za svako t ∈ [a, b] neka je, jednostavnostiradi, γt = γ(t). Neka je fa analiticka funkcija u okolini tacke γa. Tada je

fa(z) =∞∑k=0

ck,a(z − γa)k, |z − γa| < ra,

pri cemu je ra > 0.


Definicija 7.3.1. Pretpostavimo da vaze sledeci uslovi:(1) Za svako t ∈ [a, b] postoji analiticka funkcija

z 7→ f(z; t) =∞∑n=0

cn,t(z − γt)n, |z − γt| < rt, rt > 0;

(2) f(z; a) = fa(z) za |z − γa| < ra;(3) Za svako s ∈ [a, b] postoji εs > 0, tako da za svako t ∈ [s, b] sa

svojstvom |t− s| < εs, funkcija z 7→ f(z; t) je direktno analiticko produzenjefunkcije z 7→ f(z; s).

Tada je funkcija fa analiticki produziva duz krive γ, a pri tome familijastepenih redova

F = {z 7→ f(z; t) : t ∈ [a, b]}

jeste analiticko produzenje od fa duz γ.Stepeni red funkcije z 7→ fb(z) ≡ f(z; b) u okolini tacke γb jeste rezultat

analitickog producenja funkcije fa duz krive γ.

Neka je Dt = D(γt; rt). Ako su s, t, εs dati u uslovu (3) prethodne defini-cije, tada je Dt ∩Ds 6= ∅ i

f(z; t) = f(z; s), z ∈ Dt ∩Ds.

Teorema 7.3.1. Neka je γ : [a, b] → C kriva u C, i neka je funkcija faprikazana stepenim redom u okolini tacke γa. Ako je funkcija fa analitickiproduziva duz krive γ, tada je familija

F = {z 7→ f(z; t) : t ∈ [a, b]}

jedinstveno odredena.

Dokaz. Pretpostavimo da su F = {z 7→ f(z; t) : t ∈ [a, b]} i G = {z 7→g(z; t) : t ∈ [a, b]} dva analiticka produzenja funkcije fa duz krive γ. Zasvako t ∈ [a, b] neka je r1,t radijus konvergencije stepenog reda funkcije z 7→f(z; t) oko tacke γt, i neka je r2,t radijusi konvergencije stepenog reda funkcijez 7→ g(z; t) oko tacke γt. Neka je rt manji od ova dva radijusa. Dakle, funkcijez 7→ f(z; t) i z 7→ g(z; t) su analiticke za z ∈ Dt ≡ D(γt; rt). Imajuci u viduda je zajednicka polazna funkcija fa, postoji ε > 0, tako da za svako t ∈ [a+ε]i svako z ∈ Da ∩Dt vazi fa(z) = f(z; t) i fa(z) = g(z; t). Prema Teoremi o


jedinstvenosti analiticke funkcije, sledi da je f(z; t) = g(z; t) za svako z ∈ Dt.Neka je

c = sup{ξ > a : (∀t ∈ [a, ξ])(∀z ∈ Dt)(f(z, t) = g(z, t)}

Dovoljno je pokazati c = b.Pretpostavimo da je c < b. Funkcija fa je analiticki produziva duz krive

γ, te postoji broj ε > 0, tako da za svako t ∈ (c − ε, c + ε) i svako z ∈Dt ∩ Dc vazi f(z; t) = f(z; c) = g(z; t). Jos jednom, na osnovu Teoreme ojedinstvenosti analiticke funkcije, sledi da je f(z; t) = g(z; t) za svako z ∈Dt. Ovaj zakljucak je u suprotnosti sa izborom broja c. Dakle, mora bitic = b.

Posledica 7.3.1. Neka je γ : [a, b] → C kriva u oblasti G, i neka je f ∈H(G). Ako je funkcija fa prikazana stepenim redom funkcije f u okolinitacke γa, onda postoji F = {z 7→ f(z; t) : t ∈ [a, b]} analiticko produzenjefunkcije fa duz krive γ. Razvoj funkcije z 7→ f(z; t) u stepeni red u okolinitacke γt jednak je odgovarajucem razvoju funkcije f u stepeni red oko tackeγt.

Dokaz. Tvrdenje sledi na osnovu jedinstvenosti analitickog produzenja duzkrive.

Pretpostavimo da je fa analiticki produziva duz krive γ : [a, b] → C. Toznaci, izmedu ostalog, rt > 0 za svako t ∈ [a, b]. Ako bi bilo rt = +∞ zaneko t, onda bi funkcija z 7→ f(z; t) bila cela, te je ova situacija trivijalna.Stoga je od interesa rt < +∞ za svako t ∈ [a, b].

Teorema 7.3.2. Pretpostavimo da je funkcija fa analiticki produziva duzkrive γ : [a, b] → C, i da za svako t ∈ [a, b] radijus konvergencije stepenogreda rt ispunjava uslov 0 < rt < +∞. Tada je funkcija t 7→ rt neprekidna.

Dokaz. Jos jednom, neka je Dt = D(γt; rt) disk konvergencije stepenog redafunkcije z 7→ f(z; t), pri cemu je t ∈ [a, b]. Funkcija γ je neprekidna, te zasvako s ∈ [a, b] postoji δ > 0, tako da vazi implikacija

(t ∈ [a, b] ∧ |t− s|) < δ =⇒ γt ∈ Ds.

Uzmimo t < s i |t − s| < δ. Funkcija z 7→ f(z; t) ima razvoj u stepeni redoko tacke γt ∈ Ds. Medutim, funkcija z 7→ f(z; s) je analiticka u Ds. Premaprethodnoj Posledici 12.3.1, stepeni red funkcije z 7→ f(z; t) oko tacke γt je


u stvari stepeni red funkcije z 7→ f(z; s) oko tacke γt. Prema tome (potpunoanalogno analitickom produzenju preko lanca diskova u prethodnoj lekciji),vazi

rs ≥ rt − |γt − γs|.Ako, uz |t− s| < δ razmotrimo i mogucnost t > s, onda analogno vazi

rt ≥ rs − |γt − γs|.

Na kraju, |rs− rt| ≤ |γt− γs|. Funkcija t 7→ γt je neprekidna, te je i funkcijat 7→ rt neprekidna po t ∈ [a, b].

Teorema 7.3.3. Pod uslovima Teoreme 12.3.2, postoji ρ > 0 tako da jert ≥ ρ za svako t ∈ [a, b].

Dokaz. Neprekidna funkcija t 7→ rt dostize svoj minimum ρ = rt0 na kom-paktu [a, b]. Na osnovu prethodne teoreme, taj minimu ρ mora biti strogopozitivan.

Sada dokazujemo vezu izmedu analitickog produzenja po lancu oblasti, ianalitickog produzenja duz krive.

Teorema 7.3.4. Neka su G0, G1, · · · , Gn oblasti u C, tako da je Gj−1 ∩Gj 6= ∅ za svako j = 1, . . . , n. Neka je (G0, g0), (G1, g1), . . . , (Gn, gn) anali-ticki lanac, kojim je izvedeno analiticko produzenje funkcije g0 ∈ H(G0) dofunkcije gn ∈ H(Gn) preko pomenutog lanca oblasti.

Neka je γ : [a, b] → C kriva sa sledecim osobinama: postoje tacke a =t0 < t1 < · · · < tn+1 = b, tako da je γ(t) ∈ Gj za svako t ∈ [tj, tj+1]. Neka jefunkcija fa definisana stepenim redom funkcije g0 oko tacke γa, i neka je fbfunkcija definisana stepenim redom funkcije gn oko tacke γb.

Tada je fb rezultat analitickog produzenja funkcije fa duz krive γ.

Dokaz. Ocigledno je γ(a) = γ(t0) ∈ G0 i γ(b) = γ(tn+1) ∈ Gn. Vazi cj =γ(tj) ∈ Gj ∩ Gj+1 za svako j = 0, . . . , n. Neka je γk = γ : [tj, tj+1] → C.Tada je γk deo krive γ koji spaja tacke cj i cj+1. Za svako k = 0, 1, . . . , nvazi gk ∈ H(Gk). Stoga, za svako t ∈ [a, b] neka je z 7→ f(z; t) stepeni redfunkcije gk oko tacke γ(t). Ako je z ∈ Gk−1 ∩ Gk, onda je, po pretpostavci,gk−1(z) = gk(z). Stoga, ako je γ(s), γ(t) ∈ Gk−1∩Gk, tako da je Ds∩Dt 6= ∅,onda vazi i f(z; t) = f(z; s) za z ∈ Ds ∩ Dt. Analognim rezonovanjem,dolazimo do zakljucka da je fb analiticko produzenje funkcije fa duz krive γ.Izmedu ostalog, dokazali smo da je funkcija fa analiticki produziva duz kriveγ.


Definicija 7.3.2. Neka je G oblast u C, i neka je

f0(z) =∞∑n=0

cn(z − a0)n

stepeni red funkcije f0 oko tacke a0 ∈ G. Ako je funkcija f analitickiproduziva duz svih krivih u oblasti G koje pocinju u tacki a0, tada je funkcijaf0 kompletno analiticki produziva u G sa pocetkom u a0.

Definicija 7.3.3. Neka su γ0 : [a, b] → C i γ1 : [a, b] → C dve krive uoblasti G sa svojstvom γ0(a) = γ1(a) = c0 i γ0(b) = γ1(b) = c1. Neka jeK = {(t, s) : a ≤ t ≤ b, 0 ≤ s ≤ 1}. Pretpostavimo da postoji neprekidnafunkcija Γ : K → C, koja zadovoljava uslove:

(1) Za svako t ∈ [a, b] i svako s ∈ [0, 1] je Γ(t, s) ∈ G;(2) Za svako t ∈ [a, b] je Γ(t, 0) = γ0(t) i Γ(t, 1) = γ1(t);(3) Za svako s ∈ [0, 1] je Γ(a, s) = c0 i Γ(b, s) = c1.Tada su krive γ0 i γ1 homotopne u oblasti G u odnosu na par (c0, c1).

Oznaka je γ0

G,c0,c1' γ1.

Jednostavno je dokazati sledeci rezultat.

Teorema 7.3.5. Ako je G oblast u C i c0, c1 ∈ G, tada jeG,c0,c1' relacija

ekvivalencije na skupu svih krivih u G koje spajaju tacke c0 i c1.

Na kraju, dokazujemo jos jedan vazan rezultat o jedinstvenosti analitickogproduzenja.

Teorema 7.3.6. (Teorema o monodromiji) Neka je G oblast u C, i nekaje c0, c1 ∈ G. Pretpostavimo da je funkcija f0 predstavljena stepenim redomu okolini tacke c0, i neka je funkcija f0 kompletno analiticki produziva u Gsa pocetkom u c0. Ako su γ1 i γ2 dve krive u G, koje ispunjavaju uslov

γ1

G,c0,c1' γ2, onda je rezultat f1 analitickog produzenja funkcije f0 po krivojγ1, jednak rezultatu f2 analitickog produzenja funkcije f0 po krivoj γ2.

Dokaz. Neka su skup K i preslikavanje Γ opisani prethodnom definicijom.Za svako s ∈ [0, 1] je t 7→ Γ(t, s) = γs(t) jedna kriva u G koja spaja tacke c0

i c1. Funkcija f0 je analiticki produziva duz krive γs. Neka je to analitickoproduzenje oznaceno sa Fs = {fs(z; t) : t ∈ [a, b]}, i neka je z 7→ fs = fs(z; b)rezultat tog analitickog produzenja. Dovoljno je dokazati da fs ne zavisi ods.


Neka je s ∈ [0, 1] i neka je rt radijus konvergencije stepenog reda funkcijez 7→ fs(z; t). Centar diska je u tacki γs(t), a ovaj disk je Dt = D(γs(t), rt).Na osnovu Teoreme 12.3.3, postoji ρ > 0 tako da je rt ≥ ρ > 0. Kakoje preslikavanja t 7→ γs(t) neprekidno, sledi da postoji δ > 0, tako da vaziimplikacija za t′ ∈ [a, b]:

|t′ − t| < δ =⇒ |γs(t′)− γs(t)| < ρ.

Ako je uz to i t′ > t (bez gubljenja opstosti), tada je z 7→ fs(z; t′) anal-iticko produzenje od z 7→ fs(z; t) duz krive γs. Funkcija Γ je ravnomernoneprekidna na kompaktu K, te postoji ε > 0 (opet, bez gubljenja opstosti,0 < ε < δ), tako da vazi implikacija za t′ ∈ [a, b] i u ∈ [0, 1]:

(|t′ − t| < ε ∧ |u− s| < ε) =⇒ |Γ(t′, u)− Γ(t, s)| < ρ.

Neka je a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b, tako da je |tk+1 − tk| < ε za svako k.Vazi fs(z; t0) = f0(z). Uvedimo oznake fk(z) = fs(z; tk) za svako k. Tada jef1, f2, . . . , fn analiticko produzenje od f0 duz lanca oblasti Dt1 , Dt2 , . . . , Dtn .Takode je z 7→ fs(z; b) stepeni red sa centrom u c1 = γs(b) funkcije fn. Kakou vec zadovoljava uslov |u − s| < ε, neka je t 7→ γu(t) = Γ(t, u) kriva kojaspaja c0 i c1. Ako je t ∈ [tk, tk+1], tada je |t−tk| < ε, te je |γu(t)−γs(tk)| < ρ.Kako je Dtk disk sa centrom u γs(tk) radijusa rtk ≥ ρ, tada je γu(t) ∈ Dtk

za t ∈ [tk, tk+1]. Na osnovu ranijeg rezultata o analitickom produzenju pokrivoj i po lancu oblasti, sledi da je fu(z; b) = fs(z; b).

7.4 Analiticka produzenja integralima

7.5 Izdvajanje regularnih grana

Glava 8

Aproksimacija racionalnimfunkcijama

8.1 Rungeova teorema

Ako je f ∈ H(D) i D je jedinicni disk u kompleksnoj ravni, onda se funkcijaf moze predstaviti u D stepenim redom, koji ravnomerno konvergira ka fna svakom kompaktnom podskupu od D. Delimicne sume ovog stepenogreda jesu polinomi. Dakle, svaka analiticka funkcija f na disku D moze bitiaproksimirana nizom polinoma, koji ka f konvergira ravnomerno na svakomkompaktnom podskupu od D.

Tvrdenje nije tacno ako domen funkcije f nije prosto povezan, sto sledi, naprimer, iz Loranove teoreme. Loranova teorema tvrdi da analiticka funkcijaf u nekom u prstenu R moze biti aproksimirana nizom racionalnih funkcija,koji konvergira ka f ravnomerno na kompaktnim podskupovima od R.

Niz racionalnih funkcija u Loranovoj teoremi ne moze biti zamenjen nizompolinoma, i ovu cinjenicu ilustrujemo sledecim primerom.

Primer 8.1.1. Neka je f(z) = 1z

za z ∈ G = {w ∈ C : 0 < |w| < 2}. Pret-postavimo da postoji niz polinoma (pn)n, tako da je lim pn = f ravnomernona kompaktnim podskupovima od G. Neka je γ(t) = eit, t ∈ [0, 2π]. Tada jeγ∗ kompakt u G i lim

n→∞pn = f na γ∗. Na osnovu dobro poznatog rezultata o

zameni mesta integrala i granicne vrednosti, sledi

2πi =

∫γ

dz

z=

∫γ

limn→∞

pn(z)dz = limn→∞

∫γ

pn(z)dz = 0,

153

154 GLAVA 8. APROKSIMACIJA RACIONALNIM FUNKCIJAMA

sto je ocigledno nemoguce.

Dalje izlaganje bice posveceno aproksimaciji analitickih funkcija racional-nim funkcijama na visestruko povezanim domenima.

Dokazujemo interesantan topoloski rezultat.

Teorema 8.1.1. Neka su U, V otvoreni podskupovi od C, tako da je V ⊂ Ui (∂V ) ∩ U = ∅.

Ako je W povezana komponenta od U sa svojstvom W ∩ V 6= ∅, onda jeW ⊂ V . Drugim recima, skup V se sastoji od nekih povezanih komponentiskupa U .

Dokaz. Neka je z ∈ W ∩ V , i neka je C povezana komponenta skupa Vtako da je z ∈ C. Tada je skup W ∪ C povezan i sadrzan u U . Kako jeW povezana komponenta skupa U (tj. maksimalan povezan podskup od U),sledi da mora biti W ∪C = W , odnosno C ⊂ W . Na osnovu ∂C ⊂ ∂V sledida mora biti (∂C) ∩W = ∅. Stoga je

W \ C = W ∩ [(C \ clC) ∪ (∂C)] = W ∩ (C \ clC).

Skupovi W i C \ clC su otvoreni, te je i skup W \ C otvoren. Kako je i Cotvoren, na osnovu W \C = W ∩ (C \C) zatvoren u W . Skup W je povezani C 6= ∅, te sledi W \ C = ∅, odnosno W = C ⊂ V .

Svaki polinom moze biti posmatran kao racionalna funkcija koja ima polu tacki ∞. Obrnuto, ako je g racionalna funkcija ciji je jedini pol tacka ∞,tada je g polinom.

Definicija 8.1.1. Neka je K kompaktan skup u C, i neka je E skup tako daje E ⊂ C \K i E sece svaku povezanu komponentu skupa C \K.

Tada je B(E) skup svih funkcija iz C(K,C), tako da postoji niz racional-nih funkcija (gn)n, tako da svaka funkcija gn ima polove u skupu E, i lim

n→∞gn =

f ravnomerno na K.

Podsecamo da je prostor C(K,C) snabdeven metrikom dK∞, i konvergen-cija u smislu ove metrike ekvivalentna je ravnomernoj konvergenciji na K.

Formulisemo jednostavan rezultat koji karakterise skup B(E).

Teorema 8.1.2. U skladu sa oznakama Definicije 13.1.1, B(E) je zatvorenapodalgebra od C(K,C), koja sadrzi sve racionalne funkcije sa polovima uskupu E.

8.1. RUNGEOVA TEOREMA 155

Drugim recima, ako je λ ∈ C i f, g ∈ B(E), tada je λf, f+g, fg ∈ B(E).Takode, ako je (fn)n niz u (E) koji konvergira ka f ravnomerno na K, tadaje f ∈ B(E).

Teorema 8.1.3. Ako vaze oznake Definicije 13.1.1, a ∈ C \ K i ako jef(z) = 1

z−a za svako z 6= a, tada je f ∈ B(E).

Dokaz. U dokazu je bitan polozaj tacke ∞ u odnosu na skup E. Stogarazlikujemo dva slucaja.

Slucaj I: Pretpostavimo da vazi ∞ /∈ E. Neka je U = C \K i

V = {a ∈ C : z 7→ (z − a)−1 ∈ B(E)}.

Tada je E ⊂ V ⊂ U .Dokazimo pomocni rezultat: ako je a ∈ V i |b− a| < d(a,K), tada mora

biti b ∈ V .Ako je, dakle, b ∈ C sa svojstvom |b − a| < d(a,K), onda postoji r za

koje je 0 < r < 1, tako da za svako z ∈ K vazi |b− a| < r|z − a|. Primetimoda je ispunjeno

(z − b)−1 = (z − a)−1

(1− b− a

z − a

)−1

.

Kako je∣∣ b−az−a

∣∣ ≤ r < 1 za svako z ∈ K, sledi da je(1− b− a

z − a

)−1

=∞∑n=0

(b− az − a

)n,

pri cemu poslednji stepeni red konvergira ravnomerno.

Neka je n ∈ N i Qn(z) =n∑k=0

(b−az−a

)kza svako z ∈ K. Prostor B(E) je

algebra, te sledi da je Qn ∈ B(E), kao i z 7→ (z−a)−1Qn(z) ∈ B(E). Kako jeB(E) zatvoren skup (u odnosu na ravnomernu konvergenciju niza funkcija),sledi da mora biti z 7→ (z−b)−1 ∈ B(E). Dakle, b ∈ V , odnosno V je otvorenskup.

Neka je sada b ∈ ∂V , odakle je b /∈ V . Postoji niz (an)n iz V tako da jean → b. Mora biti |b−an| ≥ d(an, K) za svako n ∈ N. Uzimajuci da n→∞,sledi da je d(b,K) = 0, te je b ∈ K. Dakle, (∂V )∩U = ∅. Ako je W povezanakomponenta od U = C \ K, tada je W ∩ E 6= ∅. Stoga je W ∩ V 6= ∅, i


prema Lemi ?? sledi da je W ⊂ V . Medutim, W je proizvoljna povezanakomponenta od U , te je U ⊂ V , odnosno U = V . Time je dokazano tvrdenjeteoreme.

Slucaj II: Pretpostavimo da je ∞ ∈ E. Neka je d3 standardna metrikau prostoru C. Neka je a0 tacka neogranicene povezane komponente skupaC \K, tako da je d3(a0,∞) ≤ 1

2d3(∞, K) i |a0| > 2 ·max{|z| : z ∈ K}. Neka

je E0 = (E \ {∞}) ∪ {a0}. Tada E0 preseca svaku povezanu komponentuskupa C \K.

Ako je a ∈ C\K, tada prema Slucaju I sledi da je z 7→ (z−a)−1 ∈ B(E0).

Za svako z ∈ K vazi∣∣∣ za0 ∣∣∣ ≤ 1

2, te je

1

z − a0

= − 1

a0

(1− z

a0

) = − 1

a0

∞∑n=0

(z

a0

)n,

pri cemu poslednji red konvergira ravnomerno na K. Stoga je Qn(z) =

−a−10

n∑k=0

(z/a0)k polinom i Qn konvergira ka z 7→ (z−a−10 ravnomerno na K.

Jedini pol polinoma Qn je tacka ∞, te sledi Qn ∈ B(E) za svako n ∈ N.Time je dokazano B(E0) ⊂ B(E), te je i funkcija z 7→ (z−a)−1 elemenat

prostora B(E) za svako a ∈ C \K.Dokazujemo rezultat koji nas priblizava glavnoj teoremi ove sekcije.

Teorema 8.1.4. Neka je γ putanja u C i neka je K kompaktan skup u C,tako da je γ∗ ∩K = ∅. Ako je f neprekidna funkcija na γ∗ i ako je ε > 0,tada postoji racionalna funkcija z 7→ R(z) koja ima sve polove na γ∗, i takoda za svako z ∈ K vazi: ∣∣∣∣∣∣

∫γ

f(w)

w − zdw −R(z)

∣∣∣∣∣∣ < ε.

Teorema 8.1.5. Neka je G oblast u C i neka je K kompaktan podskup odG. Postoji poligonalna linija γ = γ1 + · · · + γn u G \ K, tako da za svakufunkciju f ∈ H(G) i svako z ∈ K vazi

f(z) =n∑k=1

1

2πi

∫γk

f(w)

w − zdw.

8.1. RUNGEOVA TEOREMA 157

Sada dokazujemo najvazniji rezultat ove sekcije.

Teorema 8.1.6. (Rungeova1 teorema) Neka je K kompaktan skup u C ineka je E ⊂ C \ K, tako da E preseca svaku povezanu komponentu skupaC \K.

Ako je f analiticka funkcija u nekoj otvorenoj okolini skupa K, i ako jeε > 0, tada postoji racionalna funkcija R ciji svi polovi pripadaju skupu E,tako da za svako z ∈ K vazi

|f(z)−R(z)| < ε.

Dokaz. Neka je G otvorena okolina skupa K, neka je f ∈ H(G) i neka jeε > 0. Prema Tvrdenju 13.1.5 i Tvrdenju 13.1.4, sledi da postoji racionalnafunkcija R koja ima sve polove u C \ K, i tako da za svako z ∈ K vazif(z) − R(z)| < ε. Prema Tvrdenju 13.1.3, kao i prema osobini da je B(E)algebra, sledi da je R ∈ B(E).

Prethodna vazna teorema ima nekoliko zanimljivih posledica.

Posledica 8.1.1. Neka je G otvoren podskup ravni, neka je E podskup odC \ G tako da E preseca svaku povezanu komponentu skupa C \ G. Neka jeR(G,E) skup svih racionalnih funkcija sa polovima u E. Tada je R(G,E)metricki potprostor prostora H(G). Osim toga, ako je f ∈ H(G), tada postojiniz (Rn)n u R(G,E), tako da je f = lim

n→∞Rn (ravnomerno na kompaktnim

podskupovima od G).Drugim recima, R(G,E) je gust u H(G).

Dokaz. Neka je K kompaktan podskup od G i neka je ε > 0. Postoji kompaktH tako da je K ⊂ H ⊂ G, tako da svaka povezana komponenta skupa C \Hsadrzi neku povezanu komponentu skupa C \ G. Dakle, skup E presecasvaku povezanu komponentu skupa C \H. Rezultat sledi na osnovu teoremeRungea za kompakt H.

Posledica 8.1.2. Neka je G otvoren skup u C, tako da je C \ G povezanskup. Tada postoji niz polinoma (pn)n tako da je lim

n→∞pn = f ravnomerno na

kompaktnim podskupovima od C.

Dokaz. Postoji kompakt H tako da je H ⊂ G, i tako da C \ H ima samojednu povezanu komponentu (neogranicenu, naravno). Sada se uvek mozeodabrati E = {∞}.

1Carl David Tolme Runge (1856-1927), nemacki matematicar i fizicar


Prethodna posledica ne vazi ako C \ G nije povezan skup u C, kao stopokazuje sledeci primer.

Primer 8.1.2. Neka je f(z) = 1z

za svako z 6= 0, i neka je G = C\{0}. Pret-postavimo da postoji niz polinoma (pn)n tako da je lim

n→∞pn = f ravnomerno

na kompaktnim podskupovima od G.Tada za svako n ∈ N postoji neki polinom pn sa svojstom∣∣∣∣1z − pn(z)

∣∣∣∣ < 1

n, ako je

1

n≤ |z| ≤ n.

Za iste vrednosti promenljive z sledi da je ispunjeno

|1− zpn(z)| ≤ |z|n≤ 1.

Ako je |z| = n, onda je

|pn(z)| = 1

n|zpn(z)| ≤ 1

n|zpn(z)− 1|+ 1

n≤ 2

n.

Prema Principu maksimuma modula, sledi da je |pn(z)| ≤ 1n

za svako zsa osobinom |z| ≤ n. Specijalno, sledi da je pn(z) → 0 ravnomerno nazatvorenom jedinicnom disku clD. Poslednje tvrdenje ocigledno nije moguce.

Posledica 8.1.3. Neka je K kompaktan podskup od C i neka je E = {αn :n ∈ N} najvise prebrojiv skup razlicitih tacaka, tako a svakoj povezanoj kom-ponenti skupa C \ K pripada tacno jedna tacka skupa E. Tada za svakufunkciju f koja je analiticka u nekoj otvorenoj okolini kompakta K, i zasvako ε > 0, postoji racionalna funkcija R ciji su svi polovi u skupu E, takoda za svako z ∈ K vazi |f(z)−R(z)| < ε.

8.2 Mitag-Leflerova teorema

Kao prirodna posledica Rungeove teoreme o aproksimaciji analiticke funkcijeracionalnim funkcijama, namece se Mitag-Leflerova teorema.

Teorema 8.2.1. (Mitag-Leflerova teorema 2) Neka je G otvoren podskupod C, neka je A = {α} skup razlicitih tacaka skupa G, tako da A nema

2Magnus Gustaf (Gosta) Mitag-Leffler (1846-1927), svedski matematicar

8.2. MITAG-LEFLEROVA TEOREMA 159

tacaka nagomilavanja u G, i neka je svakom α ∈ A dodeljena neka racionalnafunkcija oblika

Sα(z) =

N(α)∑k=1

ck,α(z − α)k

, z 6= α.

Tada postoji meromorfna funkcija f na G, tako da su polovi funkcije fsamo tacke skupa A, i pri tome glavni deo Loranovog razvoja funkcije f utacki α ∈ A upravo jeste funkcija Sα.

Dokaz. Neka je (Kn)n niz kompaktnih podskupova od G, prema Tvrdenju10.1.1. Neka je A1 = A∩K1 i neka je An = A∩ (Kn \Kn−1) za n ≥ 2. SkupA nema tacaka nagomilavanja u G, stoga nema tacaka nagomilavanja ni ujednom skupu Kn. Prema konstrukciji, An ⊂ Kn i Kn je kompaktan. Dakle,An je konacan skup za svako n ∈ N. Neka je

Qn(z) =∑α∈An

Sα(z), z ∈ G.

Skup An je, dakle, konacan, te je Qn racionalna funkcija. Ocigledno, polovifunkcije Qn leze u skupu Kn \Kn−1 za n ≥ 2. Stoga je Qn analiticka u nekojotvorenoj okolini kompakta Kn−1.

Prema Rungeovoj teoremi, za svako n ∈ N postoji racionalna funkcija Rn

sa svojstvom da svi polovi funkcije Rn leze u skupu C \G, kao i da za svakoz ∈ Kn−1 vazi

|Rn(z)− qn(z)| < 1

2n.

Neka je

f(z) = q1(z) +∞∑n=2

(Qn(z)−Rn(z)),

za one z ∈ G za koje poslednji integral konvergira.Neka je M ∈ N proizvoljan broj. Tada na skupu KM vazi:

f = Q1 +M∑n=2

(Qn −Rn) +∞∑

n=M+1

(Qn −Rn).

Svaki sabirak u drugoj sumi je po modulu manji od 12n

na skupu KM . Dakle,∞∑

n=M+1

(Qn −Rn) je ravnomerno konvergentan na KM ka analitickoj funkciji.


Sa druge strane, svaka racionalna funkcija Rn ima polove van G. Dakle,

f − (Q1 + · · ·+QM) = (R1 + · · ·+RM) +∞∑

n=M+1

(Qn −Rn)

je analiticka funkcija u∫KM . Sledi da je funkrija f meromorfna u

∫KM ,

i pri tome je glavni deo Loranovog razvoja u svakoj tacki α ∈ AM = A ∩(KM \KM−1) upravo jednak pocetnoj funkciji Sα.

Na osnovu osobina niza (Kn)n, dokazano je trazeno tvrdenje.

Literatura

[1] J. Bak, D. J. Newman, Complex analysis, Springer-Verlag, NewYork, 1997.

[2] J. B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag,New York, 1986.

[3] J. B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, New York, 1995.

[4] T. W. Gamelin, Complex analysis, Springer-Verlag, New York,2001.

[5] R. E. Greene, S. G. Krantz, Function theory of one complex vari-able, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997.

[6] K. Kodaira, Complex analysis, Cambridge University Press, Cam-bridge, 2008.

[7] S. Lang, Complex analysis, Springer-Verlag, New York, 1999.

[8] M. Mateljevic, Kompleksne funkcije, Matematicki fakultet,Beograd, 2006.

[9] B. Mirkovic, Teorija mera i integrala, Naucna knjiga, Beograd 1990.

[10] M. Nikic, Osnovi kompleksne analize, Naucna knjiga, Begorad,1992.

[11] D. Perisic, S. Pilipovic, M. Stojanovic, Funkcije vise promenljivih:diferencijalni i integralni racun, Prirodno-matematicki fakultet,Novi Sad, 1997.

161

162 LITERATURA

[12] V. Rakocevic, Funkcionalna analiza, Naucna knjiga, Beograd, 1994.

[13] W. Rudin, Real and complex analysis, McGrow-Hill, New York,1987.

[14] B. V. Shabat, Vvedenie v kompleksnyi analiz I,II, Nauka, Moskva,1985.

[15] E. M. Stein, R. Shakarchi, Complex analysis, Princeton UniversityPress, Princeton and Oxford, 2003.

[16] R. Shakarchi, Problems and solutions for complex analysis,Springer-Verlag, New York, 1999.

Kompleksna analiza - nasport.pmf.ni.ac.rsnasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2223/KA.pdf · Kompleksna...

Documents

Transcript of Kompleksna analiza - nasport.pmf.ni.ac.rsnasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2223/KA.pdf · Kompleksna...