KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMP SE-MANADO SOLUSI BABAK PENYISIHAN … · 2017-11-01 ·...
Transcript of KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMP SE-MANADO SOLUSI BABAK PENYISIHAN … · 2017-11-01 ·...
1 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
1. Banyaknya pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x2 = y2 + 72 adalah …
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Jawab:
x2 = y2 + 72
x2 - y2 = 72
(x – y)(x + y) = 72
Karena x dan y bilangan asli, maka dapat dibuat beberapa kemungkinan dari (x – y)(x + y) = 72,
yaitu:
(x – y)(x + y) = 1 ∙ 60
(x – y)(x + y) = 2 ∙ 30
(x – y)(x + y) = 3 ∙ 20
(x – y)(x + y) = 4 ∙ 15
(x – y)(x + y) = 5 ∙ 12
(x – y)(x + y) = 6 ∙ 10
Dengan metode eliminasi, maka diperoleh masing-masing nilai x adalah 51
2, 16,
23
2,
19
2,
17
2, dan 8.
Jadi, banyaknya pasangan yang memenuhi adalah 2.
2. Jika a, b, c dan d adalah bilangan bulat positif dibagi 17 berturut-turut bersisa 12, 9, 11, dan 7,
maka 3a + 4b – 3c + d dibagi 17 akan bersisa …
a. 3
b. 6
c. 9
d. 12
Jawab:
Misalkan
a = 17p + 12
b = 17q + 9
c = 17r + 11
d = 17s + 7
3a + 4b – 3c + d = 3(17p + 12) + 4(17q + 9) – 3(17r + 11) + 17s + 7
= 17p’ + 36 + 17q’ + 36 – 17r’ – 33 + 17s + 7
= 17p’ + 17q’ – 17r’ + 17s + 46
Karena ditanyakan sisa pembagian maka cukup diambil 46, sehingga:
46 = (2 ∙ 17) + 12
Jadi sisa pembagian 3a + 4b – 3c + d oleh 17 adalah 12.
2 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
3. Banyaknya pasangan bilangan asli m dan n yang memenuhi 3
𝑚+
4
𝑛= 1 adalah …
a. 0
b. 3
c. 6
d. 9
Jawab:
Persamaan pada soal ekivalen dengan 3n + 4m = mn
(m – 3) (n – 4) = 12
Dengan demikian m – 3 dan n – 4 keduanya merupakan faktor dari 12.
Karena m dan n bilangan asli maka m – 3 > -3 dan n – 4 > -4
Maka m – 3 = 1, 2, 3, 4, 6, atau 12. Jadi m = 4, 5, 6, 7, 9, atau 15.
Jadi, pasangan (m, n) yang memenuhi adalah (4, 16), (5,10), (6, 8), (7, 7), (9, 6), (15, 5)
Sehingga banyaknya pasangan yang memenuhi ada 6.
4. 𝑥, 𝑦, 𝑧 adalah bilangan Asli genap berurutan dan 𝑥 < 𝑦 < 𝑧. Hitunglah (𝑧−𝑥)(𝑦−𝑥)
𝑧−𝑦...
a. 4
b. 2
3
c. 2
d. 3
2
Pembahasan :
Karena 𝑥, 𝑦, 𝑧 adalah bilangan Asli genap berurutan dan 𝑥 < 𝑦 < 𝑧, kita tulis:
𝑥 = 2𝑛, 𝑦 = 2𝑛 + 2, dan 𝑧 = 2𝑛 + 4, dengan 𝑛 anggota bilangan Asli, sehingga:
(𝑧 − 𝑥)(𝑦 − 𝑥)
𝑧 − 𝑦=
(2𝑛 + 4 − 2𝑛)(2𝑛 + 2 − 2𝑛)
(2𝑛 + 4 − (2𝑛 + 2))=
4 × 2
4 − 2= 4
5. Diketahui 2𝑥 = 3𝑦 = 4𝑧 dan 1
𝑥+
1
𝑦+
1
𝑧= 1. Nilai 𝑦 = ⋯
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Pembahasan :
Karena nilai 𝑦 yang ditanyakan, nyatakan secara eksplisit nilai 𝑥 dan 𝑧 dalam 𝑦!
𝑥 =3
2𝑦, dan 𝑧 =
3
4𝑦, sehingga diperoleh :
1
𝑥+
1
𝑦+
1
𝑧= 1
2
3𝑦+
1
𝑦+
4
3𝑦= 1
(2
3+ 1 +
4
3) = 𝑦
𝑦 = 3
3 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
6. Diketahui 32𝑥 + 3−2𝑥 = 18. Nilai dari 3𝑥 − 3−𝑥 = ⋯
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
Pembahasan :
32𝑥 + 3−2𝑥 = 32𝑥 +1
32𝑥 = (3𝑥)2 + (1
3𝑥)2
(3𝑥 − 3−𝑥)2 = (3𝑥 −1
3𝑥)2
(3𝑥 − 3−𝑥)2 = (3𝑥)2 + (1
3𝑥)2
− 2
(3𝑥 − 3−𝑥)2 = 18 − 2
(3𝑥 − 3−𝑥)2 = 16
(3𝑥 − 3−𝑥) = 4
7. Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan, maka peluang muncul jumlah angka kedua mata dadu
merupakan bilangan komposit adalah …
a. 4
9
b. 7
12
c. 11
18
d. 23
36
Penyelesaian:
Tabel pelemparan 2 dadu
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Jadi, peluangnya adalah 21
36=
7
12
4 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
8. Bangun-bangun di bawah dapat diisi dengan tetromino-T, tanpa ada penumpukan dan kotak yang
tersisa, kecuali …
a.
b.
c.
d.
Penyelesaian:
5 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
9. Terdapat 4 pasang suami istri yang akan duduk di 8 kursi secara memanjang. Berapa banyak cara
mengatur tempat duduk sehingga setiap pasangan suami istri duduk berdampingan?
a. 380
b. 382
c. 384
d. 386
Penyelesaian:
Anggap suami dan istri sebagai satu kesatuan karena suami dan istri harus duduk berdampingan yang
berarti akan diatur 4 pasang pada 4 tempat. Jadi, ada sebanyak 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara. Setiap pasang
suami istri bisa saling bertukar posisi (suami – istri atau istri – suami), maka ada total ada sebanyak
24 × 24 = 24 × 16 = 384 cara.
10. Perhatikan gambar berikut.
Keliling sebuah lingkaran adalah 62,8 cm dengan 𝜋 = 3,14 maka luas daerah yang diarsir (garis-
garis) adalah … cm2.
a. 343
b. 344
c. 345
d. 346
Penyelesaian:
6 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
Misalkan 𝑟 adalah jari-jari lingkaran, 𝑑 adalah diameter dan 𝑠 adalah panjang sisi persegi 𝐸𝐹𝐺𝐻.
𝐾 = 𝜋 ∙ 𝑑
62,8 = 3,14 ∙ 𝑑
𝑑 = 20 cm → 𝑟 = 10 cm
Jadi, 𝑠 = 40 cm
Dalam persegi 𝐸𝐹𝐺𝐻 terdapat 4 buah lingkaran.
𝐿arsir = 𝐿EFGH − 𝐿lingkaran
𝐿arsir = 𝑠2 − 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2
𝐿arsir = 402 − 4 ∙ 3,14 ∙ 102
𝐿arsir = 1600 − 1256
𝐿arsir = 344
11. Jika diketahui gambar dibawah adalah sebuah persegi dengan panjang sisi 16 cm, maka luas
bangun yang diarsir adalah … cm2
a. 130
b. 129
c. 128
d. 127
7 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
Penyelesaian:
Luas daerah yang diarsir =1
2× [𝐴𝐵𝐶𝐷]
Luas daerah yang diarsir =1
2× 162
Luas daerah yang diarsir =1
2× 256
Luas daerah yang diarsir = 128 cm2
12. Perhatikan gambar di bawah ini!
Titik-titik sudut dari persegi adalah pusat dari lingkaran-lingkaran yang sebangun. Jika kelima
lingkaran kongruen, berapakah perbandingan luas dalam persegi antara daerah yang diarsir dengan
daerah yang tidak diarsir?
a. 22:3
b. 11:3
c. 22:5
d. 11:5
Penyelesaian:
Persegi dapat dipandang sebagai belah ketupat sehingga untuk mencari luas persegi dapat digunakan
rumus luas belah ketupat. Diagonal belah ketupat adalah 4 kalinya jari-jari lingkaran 𝑑 = 4𝑟
8 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
𝐿1 = Luas belah ketupat =𝑑 × 𝑑
2=
4𝑟 × 4𝑟
2=
16𝑟2
2= 8𝑟2
𝐿2 = Luas yang diarsir = 2 × luas lingkaran = 2𝜋𝑟2 = 2 ∙22
7∙ 𝑟2 =
44
7𝑟2
𝐿3 = Luas yang tidak diarsir = 𝐿1 − 𝐿2 = 8𝑟2 −44
7𝑟2 =
56
7𝑟2 −
44
7𝑟2 =
12
7𝑟2
𝐿2: 𝐿3 =44
7𝑟2:
12
7𝑟2 = 44: 12 = 11: 3
13. Jika 𝑅 = {𝑥|40 ≤ 𝑥 ≤ 60, 𝑥 ∈ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎}, maka pernyataan dibawah ini benar, kecuali…
a. {47} ⊂ 𝑅
b. Jika 𝑆 = {𝑝|43 ≤ 𝑝 ≤ 59, 𝑝 ∈ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎} maka 𝑆 ⊂ 𝑅
c. 𝑛(𝑅) = 4
d. 53 ∈ 𝑅
Penyelesaian
𝑅 = {𝑥|40 ≤ 𝑥 ≤ 60, 𝑥 ∈ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎} atau 𝑅 = {41, 43, 47, 53, 59}
Uji pilihan :
a. Benar karena 47 merupakan bagian dari R
b. Benar karena 𝑆 = {𝑝|43 ≤ 𝑝 ≤ 59, 𝑝 ∈ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎} merupakan bagian dari R
c. Salah karena banyaknya anggota himpunan R ada 5
d. Benar karena 53 merupakan anggota R
14. Pernyataan yang benar diantara pernyataan-pernyataan berikut adalah…
a. ∅ ⊆ ∅
b. {∅} ∈ ∅
c. {𝑎, 𝑏} ∈ {𝑎, 𝑏, {{𝑎, 𝑏}}}
d. {𝑎, ∅} ⊆ {𝑎, {𝑎, ∅}}
Penyelesaian
Uji pilihan
a. ∅ ⊆ ∅ benar
b. {∅} ∈ ∅ salah karena ∅ ⊆ ∅
c. {𝑎, 𝑏} ∈ {𝑎, 𝑏, {{𝑎, 𝑏}}} salah karena {𝑎, 𝑏} ⊆ {{𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}}
d. {𝑎, ∅} ⊆ {𝑎, {𝑎, ∅}} salah karena {𝑎, ∅} ⊆ {∅, {𝑎}}
9 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
15. Himpunan pasangan berurutan yang merupakan pemetaan adalah…
a. {(2013, 𝑚), (2015, 𝑡), (2016, ℎ), (2017, ℎ), (2012, 𝑎)}
b. {(2015, 𝑎), (2013, 𝑡), (2016, 𝑚), (2012, 𝑎), (2015, 𝑚)}
c. {(2014, 𝑚), (2017, ℎ), (2016, 𝑎), (2013, 𝑚), (2016, 𝑡)}
d. {(2017, 𝑎), (2012, ℎ), (2016, 𝑡), (2017, 𝑡), (2015, 𝑚)}
Penyelesaian
Uji pilihan :
a. {(2013, 𝑚), (2015, 𝑡), (2016, ℎ), (2017, ℎ), (2012, 𝑎)} (pemetaan, karena setiap
anggota domain memiliki kawan di domain)
b. {(2015, 𝑎), (2013, 𝑡), (2016, 𝑚), (2012, 𝑎), (2015, 𝑚)} (bukan pemetaan, karena ada
anggota domain yang memiliki lebih dari satu kawan di kodomain)
c. {(2014, 𝑚), (2017, ℎ), (2016, 𝑎), (2013, 𝑚), (2016, 𝑡)} (bukan pemetaan, karena ada
anggota domain yang memiliki lebih dari satu kawan di kodomain)
d. {(2017, 𝑎), (2012, ℎ), (2016, 𝑡), (2017, 𝑡), (2015, 𝑚)} (bukan pemetaan, karena ada
anggota domain yang memiliki lebih dari satu kawan di kodomain)
10 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
16. Diagram Cartesius ini yang menunjukan fungsi adalah…
(1)
(2)
(3)
(4)
a. (1) dan (2)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (3) dan (4)
Penyelesaian
(1) Bukan pemetaan karena ada anggota domain yang tidak memiliki kawan di kodomain, dan ada
anggota domain yang memiliki lebih dari satu kawan di kodomain.
(2) Pemetaan karena setiap anggota domain memiliki kawan di kodomain.
(3) Bukan pemetaan karena ada anggota domain yang tidak memiliki kawan di domain.
(4) Pemetaan karena setiap anggota domain memiliki kawan di kodomain.
17. Berapa nilai dari 1
1×2+
1
2×3+ ⋯ +
1
2016×2017= ⋯
a. 2
b. 2017
2016
c. 1
d. 2016
2017
Pembahasan :
1
1 × 2+
1
2 × 3+ ⋯ +
1
2016 × 2017= (
1
1−
1
2) + (
1
2−
1
3) + ⋯ + (
1
2016−
1
2017)
1
1 × 2+
1
2 × 3+ ⋯ +
1
2016 × 2017= 1 −
1
2017
1
1 × 2+
1
2 × 3+ ⋯ +
1
2016 × 2017=
2016
2017
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
0 0.5 1 1.5
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
0 2 4 6
11 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
18. Berapa nilai dari (1 +1
7) (1 +
1
8) … (1 +
1
2017) = ⋯
a. 2008
b. 2018
2017
c. 2018
7
d. 2017
2018
Pembahasan :
(1 +1
7) (1 +
1
8) … (1 +
1
2017) = (
8
7) (
9
8) … (
2018
2017)
(1 +1
7) (1 +
1
8) … (1 +
1
2017) =
2018
7
19. Empat tahun yang lalu umur Andi 1
2 umur Dani. Empat tahun yang akan datang umur Andi
3
4 umur
Dani. Umur Dani sekarang adalah….
a. 18 tahun
b. 10 tahun
c. 12 tahun
d. 15 tahun
Penyelesaian.
𝑎 − 4 =1
2(𝑑 − 4) ⇒ 2𝑎 − 8 = 𝑑 − 4
⇔ 2𝑎 − 𝑑 = 4 ……………(1)
𝑎 + 4 =3
4(𝑑 + 4) ⇒ 4𝑎 − 16 = 3𝑑 + 12
⇔ 4𝑎 − 3𝑑 = −4 ……………(2)
Eliminasi 𝑎 pada persamaan (1) dan (2) :
2𝑎 − 𝑑 = 4 x2 4𝑎 − 2𝑑 = 8
4𝑎 − 3𝑑 = -4 x1 4𝑎 − 3𝑑 = -4 -
𝑑 = 12
Jadi, usia Dani sekarang adalah 12 tahun.
20. Jika 𝑓(1) = 5 dan 𝑓(𝑥 + 1) = 2𝑓(𝑥) maka 𝑓(7) = ⋯
a. 640
b. 320
c. 160
d. 80
Penyelesaian :
𝑓(1) = 5
𝑓(2) = 2𝑓(1) = 10
𝑓(3) = 2𝑓(2) = 20
12 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
Jadi 5, 10, 20, 40,….
Berupa barisan geometri dengan rasio = 2.
Rumus barisan geometri:
𝑈𝑛 = 𝑎. 𝑟𝑛−1
Sehingga,
𝑓(7) = 𝑈7 = 𝑎. 𝑟7−1 = 5 ∙ 26 = 5 ∙ 64 = 320
21. Dua botol yang berukuran sama berisi penuh dengan larutan gula. Rasio kandungan gula dan air
pada botol pertama adalah 2 : 5 dan pada botol kedua adalah 5 : 7. Jika isi kedua botol tersebut
dicampurkan, maka rasio kandungan gula dan air hasil campurannya adalah ...
a. 55 : 103
b. 59 : 109
c. 55 : 109
d. 59 : 103
Penyelesaian:
𝐵𝑜𝑡𝑜𝑙 𝐼 → 𝐺𝐼 ∶ 𝐴𝐼 = 2 ∶ 5 𝐵𝑜𝑡𝑜𝑙 𝐼𝐼 → 𝐺𝐼𝐼 ∶ 𝐴𝐼𝐼 = 5 ∶ 7
Misalkan:
𝑉𝑏𝑜𝑡𝑜𝑙 = 𝑉
Volume Gula dan Air dalam botol I dan botol II sebelum dicampur :
𝐺𝐼 =2
2 + 5 . 𝑉 =
2𝑉
7
𝐴𝐼 =5
2 + 5 . 𝑉 =
5𝑉
7
𝐺𝐼𝐼 =5
5 + 7 . 𝑉 =
5𝑉
12
𝐴𝐼𝐼 =7
5 + 7 . 𝑉 =
7𝑉
12
Volume Gula dan Air dalam botol I dan botol II setelah dicampur :
𝐺𝐼+𝐼𝐼 = 𝐺𝐼 + 𝐺𝐼𝐼 =2𝑉
7+
5𝑉
12=
24𝑉
84+
35𝑉
84=
59𝑉
84
𝐴𝐼+𝐼𝐼 = 𝐴𝐼 + 𝐴𝐼𝐼 =5𝑉
7+
7𝑉
12=
60𝑉
84+
49𝑉
84=
109𝑉
84
𝐺𝐼+𝐼𝐼 ∶ 𝐴𝐼+𝐼𝐼 = 𝐺𝐼+𝐼𝐼
𝐴𝐼+𝐼𝐼=
59𝑉84
109𝑉84
=59𝑉
84×
84
109𝑉= 59 ∶ 109
Jadi, rasio kandungan gula dan air hasil campurannya adalah 59 : 109
13 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
22. Rataan usia kelompok guru dan profesor adalah 40 tahun. Jika rataan kelompok guru adalah 35
tahun sedangkan rataan kelompok profesor adalah 50 tahun, perbandingan banyaknya guru dan
profesor adalah...
a. 2 : 1
b. 1 : 2
c. 3 : 2
d. 2 : 3
Penyelesaian:
Definisikan :
𝑎 ∶ 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑔𝑢𝑟𝑢
𝑏 ∶ 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑜𝑟
Berdasarkan data pada soal diperoleh,
40 =35𝑎 + 50𝑏
𝑎 + 𝑏
yang sama artinya dengan
40𝑎 + 40𝑏 = 35𝑎 + 35𝑏 ⟺ 5𝑎 = 10𝑏
Jadi, 𝑎
𝑏= 10 ∶ 5 = 2 ∶ 1
23. Perhatikan sistem persamaan berikut.
{
𝑎 − 𝑏
5−
𝑎 + 𝑏
4=
11
202(𝑎 − 𝑏) − 3(𝑎 + 𝑏) + 5 = 0
Nilai dari 𝑎 + 𝑏 = ⋯
a. 21
b. 22
c. 23
d. 24
Penyelesaian:
𝑎 − 𝑏
5−
𝑎 + 𝑏
4=
11
20→ 4(𝑎 − 𝑏) − 5(𝑎 + 𝑏) = 11 → 𝑎 + 9𝑏 = −11 … (1)
2(𝑎 − 𝑏) − 3(𝑎 + 𝑏) + 5 = 0 → 𝑎 + 5𝑏 = 5 … (2)
𝑎 + 9𝑏 = −11
𝑎 + 5𝑏 = 5
𝑎 + 4𝑏 = −16
𝑎 + 4𝑏 = −4
𝑎 + 5𝑏 = 5
14 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
𝑎 + 5(−4) = 5
𝑎 − 20 = 5
𝑎 = 25
𝑎 + 𝑏 = 25 − 4 = 21
24. Bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan 𝑥4 ≤ 8𝑥2 − 16 ada sebanyak …
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Penyelesaian.
x4 ≤ 8x2 − 16
(x2 − 4)2 ≤ 0
Karena bilangan kuadrat lebih dari sama dengan 0, maka yang memenuhi hanyalah (x2 − 4)2 = 0
(x2 − 4)2 = 0
√(x2 − 4)2= √0
x2 – 4 = 0
(x − 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = −2
Jadi, bilangan bulat x yang memenuhi ada sebanyak 2.
25. Rata-rata nilai ujian dari murid perempuan di suatu kelas adalah 8,5. Setelah nilai mereka digabung
dengan 20 murid laki-laki yang nilai rata-ratanya adalah 7,5 maka nilai rata-rata kelas itu sekarang
adalah 8,0. Banyaknya murid perempuan dalam kelas itu ada … orang
a. 10
b. 15
c. 20
d. 25
Penyelesaian :
8,0 =8,5𝑥 + 7,5.20
𝑥 + 20
8𝑥 + 160 = 8,5𝑥 + 150
10 = 0,5𝑥
𝑥 = 20
15 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
26. Rataan dari 𝑝 − 1, 𝑞 + 3, 𝑟 + 5 dan 𝑠 − 2 adalah 5. Rataan dari dari 𝑝 + 2, 𝑞 − 6, 𝑟 + 8 dan 𝑠 − 3
adalah …
a. 4
b. 4,8
c. 5
d. 5,7
Penyelesaian:
(𝑝 − 1) + (𝑞 + 3) + (𝑟 + 5) + (𝑠 − 2)
4= 5
𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 + 5 = 20
𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 = 15
(𝑝 + 2) + (𝑞 − 6) + (𝑟 + 8) + (𝑠 − 3)
4=
𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 + 1
4=
15 + 1
4=
16
4= 4
27. Berapakah nilai 𝑎 jika diketahui 𝑎 > 0 dan 1
log2 𝑎 +
1
log3 𝑎 +
1
log6 𝑎 = 2?
a. 6
b. 12
c. 36
d. 48
Penyelesaian:
1
log2 𝑎 +
1
log3 𝑎 +
1
log6 𝑎 = 2
log𝑎 2 + log𝑎 3 + log𝑎 6 = 2
log𝑎(2 ∙ 3 ∙ 6) = 2
log𝑎 36 = 2
𝑎2 = 36
𝑎 = 6
28. Nilai dari (216log6 2017)1
3 = ⋯
a. 6
b. √20173
c. 2017
d. √620173
16 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO
FMIPA UNSRAT
Penyelesaian:
(216log6 2017)13 = ((63)log6 2017)
13 = (63∙log6 2017)
13 = 6
3∙log6 20173 = 6log6 2017 = 2017
29. Jika diketahui (𝑐𝑑−1)2−(𝑐−𝑑)2
(𝑑2−1)(𝑐−1)= 5 maka berapakah nilai d?
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Penyelesaian:
Gunakan rumus 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
(𝑐𝑑 − 1)2 − (𝑐 − 𝑑)2
(𝑑2 − 1)(𝑐 − 1)= 5
(𝑐𝑑 − 1 + 𝑐 − 𝑑)(𝑐𝑑 − 1 − 𝑐 + 𝑑)
(𝑑 − 1)(𝑑 + 1)(𝑐 − 1)= 5
(𝑐𝑑 − 1 + 𝑐 − 𝑑)(𝑐𝑑 − 1 − 𝑐 + 𝑑)
(𝑑 − 1)(𝑐𝑑 − 1 + 𝑐 − 𝑑)= 5
𝑐𝑑 − 1 − 𝑐 + 𝑑 = 5(𝑑 − 1)
𝑐𝑑 − 1 − 𝑐 + 𝑑 − 5𝑑 + 5 = 0
𝑐𝑑 − 𝑐 − 4𝑑 + 4 = 0
𝑐(𝑑 − 1) − 4(𝑑 − 1) = 0
(𝑐 − 4)(𝑑 − 1) = 0
𝑐 = 4 atau 𝑑 = 1
30. Diketahui 𝑥2 − 2𝑥 − 2 = 0, maka berapakah salah satu nilai dari 𝑥2 +4
𝑥2 ?
a. 8
b. 6
c. 10
d. 14
Penyelesaian:
𝑥2 − 2𝑥 − 2 = 0
(𝑥 − 1)2 − 3 = 0
(𝑥 − 1)2 = 3
𝑥 − 1 = ±√3
𝑥1.2 = 1 ± √3
(𝑥1)2 = 1 + 3 + 2√3 = 4 + 2√3
(𝑥2)2 = 1 + 3 − 2√3 = 4 − 2√3
Untuk 𝑥 = 𝑥1 maka