Kompetenzorientierter Mathematikunterricht Logisch-deduktiv strukturieren Eine kognitive...

Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Logisch-deduktiv strukturieren

Eine kognitive Herausforderung(Am Beispiel der Elementargeometrie)

H. Freudigmann

2009

1

Inhalte strukturieren – Wie ?

Lernen Begründen Problemlösen Kommunizieren

Überfachliche Kompetenzbereiche imBildungsplan 2004

Lernen (von Verfahren)

Denken (Inhalte ?)

Gekennzeichnet durch

Anwenden (von Sätzen)

Sprechen,Schreiben,Zeichnen,

Hören

2A Einführung

„Natürliche“ Strukturierung der Mathematik

Einzigartig für die Mathematik:

Mathematik kann man axiomatisch-deduktiv ordnen

Das ist mehr als z.B. den Pythagoras zu kennen.

Das betrifft das „Ganze“ der Mathematik, ihren Kern.

3A Einführung

Beispiel - Kompetenzstufen

4

A

B

C

D

Stufe 1: Parallelgramm, weil es so „aussieht“.

Stufe 2: Parallelogramm, weil Eigenschaften benannt und geprüft werden, z.B. durch nachmessen.

A Einführung

5

P●

A

B

C

D

Stufe 3: Definierende Eigenschaften werden nachgewiesen. Beweismittel: Punktspiegelung

Stufe 4: Definierende Eigenschaften werden nachgewiesen. Beweismittel: Satz vom Wechselwinkel.

A

B

C

D

α1

α3

α2


A Einführung


6

A

B

C

D

Stufe 5: Zielgerichtetes, strukturiertes Vorgehen.

„Ich will Parallelität nachweisen, muss also argumentieren mit: S.v.Stufenwinkel, S.v.Wechselwinkel, Kongruenzsätzen,S.v.Parallelogramm, Strahlensätze, S.d.Pythagoras (?), . .

A Einführung

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Geometrie –Wissenschaftliche Bedeutung

B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

Empirie

Induktiver Weg zur Wahrheit

Denken

Deduktiver Weg zur Wahrheit

Welche Wahrheit ? Was ist Wahrheit ?

Ist die Winkelsumme im Dreieck wirklich 360° ?

Begründungsbasis I

8B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

Die anschauliche Verwendung von Kongruenzabbildungenund ihrer Eigenschaften bilden die erste Begründungs-basis der Schulgeometrie am Anfang der Klasse 7.

Wenn Winkel achsen- oder punktsymmetrisch liegen, dann sind sie gleich weit.Wenn Strecken achsen- oder punktsymmetrisch liegen,dann sind sie - gleich lang - parallel.

Begründungsbasis II Nebenwinkelsatz Scheitelwinkelsatz Stufenwinkelsatz² Wechselwinkelsatz² Satz von der

Mittelsenkrechten ²


S.v.d. Winkel-halbierenden²

S.v. gleichschenkligen Dreieck²

Satz vom Parallelogramm²

S.v.d. Mittelparallelen

im Dreieck ²Satz und Kehrsatz

Logische Struktur beim Schließen von I auf II


AchsensymmetriePunktsymmetrie Verschiebung

S.v.d.Mittelsenkr.S.v.d.Winkelhalb.

S.v.Scheitelw. S.v.Stufenw.

S.v.gleichsch.Drei S.v.Wechselw.

S.v.Parallelogr. ;S.v. Mittelparallele im Dreieck

Logische Struktur: Erste Beweise mit II


S.v.d.Mittelsenkr.S.v.d.Winkelhalb.

S.v. UmkreisS.v.Inkreis

S.v.Stufenw. S.v.Wechselw.

S.v.gleichschenkl.Dreieck

Winkelsummeim Dreieck

S.d.Thales

Zusätzliche Begründungsbasis:Kongruenzsätze

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A´

C´

B´

AB

C

x

x

x

Beweis mit KGS einfach


Man braucht eine Auswahl von Beweismitteln

R

P D C

BA

Q

Gesamtübersicht: Geometrie


I Abbildungen bzw. Symmetrie

II Stufenwinkel, . . . .

III Winkelsumme, Thales, . . . .

IV KGS Kongruenzgeometrie Zentrische Streckung

Strahlensätze Ähnliche Dreiecke

Kompetenzen Begründen - Probleme

lösen

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Die Kompetenzen Begründen (deduktiv denken) und Probleme lösen (Sätze anwenden) haben gemeinsame Wurzeln.

Problem:Zeige a = b

S.v. gleichschenkligen Dreieck

S.v. Mittelsenkrechten

Kongruenzsätze

S.v. Parallelogramm

S.d. PythagorasB Strukturierung: Begründen und Problemlösen


lösen

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Problem:Zeige α=β

S.v. gleichschenkligen Dreieck

S.v. Stufenwinkel

S.v. Wechselwinkel

S.v. Parallelogramm

Kongruenzsätze



lösen

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Problem:Zeige α║β

S.v.d.zentrischen Streckung

S.v. Stufenwinkel

S.v. Wechselwinkel

S.v. Parallelogramm

Strahlensatz (Umkehrung)


Ähnlichkeitssätze


lösen

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Problem:Zeige a:b = x:y

Ähnlichkeitssätze

S.v.d. zentrischen Streckung

Strahlensätze


Grundlegende Zusammenhänge


Gleiche Winkelweiten

Gleiche Streckenlängen

Parallelität

Streckenver-hältnisse

S.v.gleichsch. Dreieck

Stufen-Wechselwinkel S.v.Parallelogramm

Strahlensätze

Vergleiche:Beweisen

mit Vektoren

Im Unterricht: Beweismittel offenlegen

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S.v. Stufenwinkel 1

g║h → α = βS.v.Wechselwinkel

2

g║h ← α = β

S.v.Wechselwinkel 1

g║h → α = β

S.v.Scheitelwinkel

α = β

S.v. Nebenwinkel

α + β = 180°

S.v. Stufenwinkel 2

g║h ← α = β

Das Beweisen und Probleme lösen zum Thema machen.Anleitung: Wie beweist man (löst man Probleme) ?Beweismittel (Problemlösemittel) sind präsent.

Beweis-mittelpräsentaufPlakaten


Hohe Kompetenzstufe:Strategisches Denken

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A

B

P

Mh

g

Zeige: AP = BP

A

B

P

M

g


A

B

P

M h

g

Gibt esKongruente Dreiecke ?

Gibt es gleich-schenkligeDreiecke ?

Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag)


1 (Material S. 12 – 16) a) Welche Beweismittel der Elementargeometrie sollen den Schülern in den Klassenstufen 6 (7, 8, 9, 10) jeweils zur Verfügung stehen ?b) Wie stellt sich der deduktive Zusammenhang dieser Beweismittel dar ?(Zum Beispiel: Werden z.B. die KGS anschaulich oder mittels Kongruenzabbildungen begründet ? )

2 (Material S. 23-24)Über welche Strategien für das Beweisen und Problemlösen in der Elementargeometrie sollen die Schüler in den Klassenstufen 6 (7, 8, 9, 10) jeweils verfügen ?

Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte

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Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Menge aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben.Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Ortslinie aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben.

C Umsetzungsbeispiele

Logisch nicht befriedigend:

Unklar beleiben:Wie ist Mittelsenkrechte festgelegt ?Wie wird sie verwendet ? (Was ist der Sinn des Begriffs?


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Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist.

Satz 1: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand.

Satz 2: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von AB.



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Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist.Satz 1: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand.


Beweis: m ist Symmetrieachse von AB. P liegt auf m (Voraussetzung)A und B liegen symmetrisch; AP und BP liegen symmetrisch.Symmetrische Strecken sind gleich lang.

Beweismittel: a)Die MS einer Strecke ist Symmetrieachse der Strecke.b)Symmetrisch liegende Strecken sind gleich lang. m

P

B

A


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Satz 2: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B.


Beweis mit Kontrainduktion: Liegt Q nicht auf m, dann AQ≠BQ QR + RB > QB (Dreiecksungleichung) und RA = RBDeshalb QR + RA > QB, Deshalb AQ > BQ.

Diese Begründung ist nur mit erheblichen formalen Abstrichen in der Schule zu leisten.

m

P

B

A

R

Q

Im Unterricht: Umkreismittelpunkt

26C Umsetzungsbeispiele

Satz 1: Wenn U der Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC ist, dann hat U von allen drei Ecken A, B, C denselben Abstand.

U

C

BA

Welche Sätze werden verwendet ?a)P auf m → AP = B oder / undb) AP = BP → P auf m

Beweis: U sei Sch.p. von mc und mb

Da U auf mc liegt, ist AU = BU (a)Da U auf mb liegt, ist AU = CU (a)Aus AU = BU und AU = CU folgtAU = BU = CU.

Begründungs-kompetenz

Kommunikations-kompetenz

Im Unterricht: Umkreismittelpunkt


Satz 2: In jedem Dreieck schneiden sich alle drei Mittelsenk- rechten in einem gemeinsamen Punkt.

U

C

BA

Welche Sätze werden verwendet ?a)P auf m → AP = B oder / undb) AP = BP → P auf m

Beweis: U sei Sch.p. von mc und mb

Da U auf mc liegt, ist AU = BU (a)Da U auf mb liegt, ist AU = CU (a)Daher BU = CUDaher liegt U auf ma (b)

Begründungs-kompetenz

Kommunikations-kompetenz

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Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag)3 (Material S. 27 – 30)Am Beispiel Mittelsenkrechte / Satz vom Umkreis:Welches Niveau streben wir bei der Ausprägung der Begründungskompetenz an im Hinblick auf- die Formulierung der Sätze ? - die genaue Identifizierung der verwendeten Beweismittel ? - die schriftliche Dokumentation einer Begründung / eines Beweises ?

Winkelsumme schülerzentriert 1

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70° 40°

1.Berechne möglichst viele in der Figur vorkommende Winkel

2.Beschrifte möglichst viele in der Figur vorkommende Winkelmit α, β, γ.

α β

γ

3. Wie kann man nachweisen, dass α+β+γ = 180° ist ?


Winkelsumme schülerzentriert 2


S.v. Stufenwinkel 1

g║h → α = βS.v.Wechselwinkel

2

g║h ← α = β

S.v.Wechselwinkel 1

g║h → α = β

S.v.Scheitelwinkel

α = β

S.v. Nebenwinkel

α + β = 180°

S.v. Stufenwinkel 2

g║h ← α = β

4.Wie beweist man die Behauptung mit den angegebenen Sätzen ?

Beliebiges Dreieck

Winkelsumme Viereck

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A B

C

D

βα

δ1

δ

γ

δ2

δ2´´ β´

α´

Kein Wechsel der Beweisstrategie !

δ wird in δ1 und δ2 aufgeteilt. δ2 = δ2´ und α = α´ und β = β´ (Wechselwinkel an Parallelen)Ecke C: δ2 + γ + β = 180° . Ecke D: α +δ1 = 180° α + β + γ + δ = 360°


Blick über den Tellerrand

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M1

M2

c1

c2

S

P

T

Q

Abbildung 1

lNeue Abituraufgaben in Holland (seit 2002) zur Überprüfung der Begründungs- und Problemlöse-Kompetenz.Beweismittel: Begründungsbasis I, II, III

Frage 1 (5 Punkte)Beweise, dass die Punkte P,Q und S auf einem Kreis liegen.


33


4 (Material S. 35 – 36)Bis zu welchem Niveau streben wir Aufgaben zur Begründungskompetenz und Problemlösekompetenz in Klassenarbeiten an ? Welche Aspekte sind für die Bewertung relevant ?

Logik-Lehrplan

34D Logik-Lehrplan

Bildungsplan 2004 (unter Begründen) elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden

Begründungstypen und Beweismethoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden

in mathematischen Kontexten Vermutungen entwickeln, formulieren und untersuchen.

gleichartige Strukturen erkennen, verallgemeinern und spezialisieren

Logik-Lehrplan 1

35D Logik-Lehrplan

Der Schüler

1a. weiß, dass ein math. Satz die Form „Wenn [A], dann [B] “ b. kann zwischen „für alle“ und „es gibt“ –Aussagen unterscheiden c. versteht den logischen Gehalt eines Satzes

2a. kann zu einem Satz die Umkehrung bilden. b. weiß, dass von der Wahrheit eines Satzes nicht auf die Wahrheit der Umkehrung geschlossen werden kann.

3a. kann den Umfang einer Definition bestimmen. b. kann zwischen Ober- und Unterbegriff unterscheiden.

4. kennt die Bedeutung eines Beispiels / eines Gegenbeispiels.

5. kann lokal deduktiv denken.

Logik-Lehrplan 2

36D Logik-Lehrplan

Der Schüler

6. kennt die Beweismethode der Kontraposition.

7. Kennt die Beweismethode „Beweis durch Widerspruch“.

8. kennt den Unterschied zwischen mathematischer Wahrheit und naturwissenschaftlicher Wahrheit

Das ist in der Schule kaum zu leisten:

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5 (Material S. 37 – 40)Welche Aspekte eines Logik-Lehrplanes wollen wir im Mathematikunterricht fördern und einfordern ? Was erwarten wir jeweils in welcher Klassenstufe ?

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