1

NOSNÉ KONSTRUKCE STAVEBNosnou konstrukcí je každá stavební konstrukce, jejíž hlavní úlohou ve stavebním díle jepřenášet zatížení. Může se tedy jednat jak o celé konstrukční systémy, tak i o dílčísubkonstrukce nebo pouze jen o samotné prvky staveb (viz dále). Nosná konstrukce ovšemmusí pro svou správnou funkci splňovat určitá kritéria. Ta vesměs vycházejí z poznatkůstavební mechaniky. Z rozsáhlého pojmového aparátu této disciplíny proto úvodem některépartie připomeneme.Cílem této kapitoly není příslušné pojmy vyložit, nýbrž rekapitulovat a případně přiblížit tyz nich, které mají bezprostřední vztah k pochopení tvorby nosných konstrukcí a jejichzákonitostí.

1. Výslednice soustavy sil v rovině, náhradní břemenaPoznámka ke značení v tomto článku: vektory sil budou označeny tučně, graficky pak šipkous jedním hrotem. Vektory momentů sil budou značeny rovněž tučně, graficky pak šipkous dvěma hroty.Stanovení výslednice sil je základní úlohou teoretické mechaniky. Část konstrukce (nosník,stěna) se považuje za dokonale tuhé těleso (viz odstavec 4), na které působí soustava sil. Zavýslednici nebo také náhradní břemeno pak označujeme sílu jedinou, která má na tuhétěleso stejný kinematický účinek (posuv, otáčení) jako nahrazovaná soustava sil. Výslednicísoustavy sil ležících v jedné rovině (nejčastější případ) je buďto síla, nebo dvojice sil. Oběveličiny jsou vektory a k jejich určení tedy potřebujeme velikost, směr a smysl, u síly navíc ipolohu paprsku. Celá geometrie (pravidla skládání) sil v rovině spočívá na používání dvouaxiomů, obr. 1:(a) Axiom rovnoběžníka silDvě síly F1, F2 působící na těleso v jednom bodě a lze nahradit jejich výslednicí R, působícív témže bodě. Vektor R této výslednice je určen jako úhlopříčka rovnoběžníka, jehožstranami jsou vektory F1 , F2 (axim o rovnoběžníku sil).(b) Axiom o rovnováze dvou silDvě síly F, -F mající společný paprsek, stejnou velikost, opačný smysl a působící na tuhétěleso ve dvou jeho bodech b, c jsou v rovnováze.

obr. 1: Znázornění dvou základních axiomů skládání sil působících na tuhé těleso

Vedle výše uvedených axiomů přináší teoretická mechanika ještě tři důležité všeobecněpoužívané pojmy: statický moment síly k bodu, dvojici sil a pojem redukce síly k bodu.Předpokládejme, že paprsek síly F a body s, a leží v jedné rovině ρ.(c) Statický moment síly k boduje součin síly F a kolmé vzdálenosti p paprsku síly od daného bodu s, označení Ms (obr. 2).Tato veličina je vektor, a to vektor vázaný na bod s a kolmý k rovině ρ. PlatíMs = F . pZnaménko momentu je kladné nebo záporné podle toho, otáčí-li kladně se zvolenýmsmyslem otáčení nebo proti němu. Je patrné, že moment síly k bodu je mírou otáčivéhoúčinku síly ke zvolenému bodu. Velikost statického momentu síly závisí na vzdálenostipaprsku síly a bodu. Prochází-li síla zvoleným bodem, má k němu nulový statický moment.Základní jednotkou je Nm.

2

obr. 2: Vektor momentu síly k bodu; znaménko momentu

(d) Dvojice silmůže být (kromě síly) rovněž jedinou výslednicí rovinné soustavy sil. Jedná se o dvěrovnoběžné, stejně velké síly +F, -F opačného smyslu ve vzdálenosti r, zvané ramenodvojice sil, obr. 3. Dvojice sil má na rovinu, na které působí, otáčivý účinek. Charakteristickouveličinou je opět její moment M, který se stanoví ze vztahuM = F . r.Znaménko momentu je kladné nebo záporné podle toho, otáčí-li kladně se zvolenýmsmyslem otáčení nebo proti němu. Moment dvojice sil má ovšem tři charakteristickévlastnosti, kterými se zásadně liší od statického momentu síly k bodu.• Moment dvojice sil je ke kterémukoliv bodu roviny stejný.• Dvojici sil můžeme v rovině libovolně pootočit, můžeme též libovolně změnit velikosti sil

F na jiné hodnoty, pokud zachováme velikost momentu dvojice sil (se změnou velikostiF tedy musíme změnit i velikost r), nezmění se tím její účinek.

• Dvojici sil můžeme v rovině libovolně posunout, aniž se tím změní její účinek.Je tedy patrné, že moment dvojice sil je mírou otáčivého účinku síly na celou rovinu.Základní jednotkou je Nm.

obr. 3: Vektor momentu silové dvojice.

(e) Redukce síly k boduje statická operace, pomocí které můžeme sílu F, jejíž paprsek prochází bodem a, paralelněposunout tak, aby procházela libovolně zvoleným jiným bodem s roviny ρ. Podmínku je, žese nezmění statický účinek síly F k bodu s. Jak je patrné z obr. 4 , úlohu lze řešit připojenímdvou rovnovážných sil +F, -F do bodu s, rovnoběžně s paprskem původní síly F. Vznikne taksíla F a dále dvojice sil = F . p (v obrázku zakřížkováno).

obr. 4: K pojmu redukce síly F (z bodu a) k bodu s.

3

Odtud plyne, že každou sílu F působící na dokonale tuhé těleso v daném bodě a lze nahraditekvivalentní silou, jež působí v bodě s, a dvojicí sil, jejíž moment je roven součinu síly akolmé vzdálenosti p obou silových paprsků. Tato operace se nazývá redukcí síly F k bodu s.Doposud jsou často užitečné grafické konstrukce, nazývané složkový obrazec avýslednicová čára, obr. 5. Ty slouží ke grafickému stanovení velikosti resp. polohyvýslednice soustavy sil v rovině.

obr. 5: Složkový obrazec sil (určení velikosti výslednice) a výslednicová čára (určení polohyvýslednice) pro soustavu sil v rovině.

Zdaleka nejčastějším případem, který má i své další uplatnění, je rovinná soustava vzájemněrovnoběžných sil, která je často modelem přímého zatížení nebo i pohyblivého zatížení(například nápravy vozidel), obr. 6.

R=ΣFi, r=ΣFi.ri / ΣFi

obr. 6: Soustava rovnoběžných sil v rovině; grafické a početní řešení velikosti a polohyvýslednice

Početně stanovujeme velikost výslednice jako vektorový součet dílčích sil. Polohu výslednicepak určujeme z podmínky stejného statického momentu soustavy sil i výslednice k libovolnězvolenému bodu, obr. 6.Výslednice soustav sil se dříve ve stavební mechanice používaly velmi hojně, především promodely zatížení. Dnes s rozvojem numerických metod potřeba takového zjednodušeníodpadla. Protože výslednice nahrazují zatížení účinek určité soustavy sil resp. břemen,nazývají se také náhradní břemena.

2. Popis přímého zatíženíPřímé zatížení (vlastní tíha, sníh, vítr, užitné zatížení) působí na konstrukce vždy jakozatížení plošné. Vždy se totiž přenáší do konstrukce prostřednictvím alespoň malé plošky.Pojem síly, která působí (v libovolné velikosti) ve svém paprsku na nulové ploše, nemůžev realitě platit, protože by v místě kontaktu síly s konstrukcí vznikala nekonečně velká napětía síla by se tak „propíchla“ libovolnou konstrukcí. Nejblíže popisu skutečného stavu zatíženíje zatížení plošné.Při výpočtu účinků zatížení využíváme běžně princip superpozice (39). Vyčíslujeme tedyúčinky zatížení tak, že zatížení rozložíme na jednoduché známé (nebo například tabelované)

4

případy a vyšetříme jejich účinky izolovaně. Výsledky potom sečteme a získáme tak účinekpůvodního nerozloženého zatížení. Připomeneme běžně užívané idealizace.(a) Plošné zatížení qUdává se velikostí síly, působící na jednotku plochy. Kromě velikosti je třeba udat směr,smysl a působiště plošného zatížení. Udává se nejčastěji v kN/m2. Nejjednoduššímpřípadem spojitého plošného zatížení je zatížení spojité rovnoměrné (obr. 7). Dalšímpříkladem je plošné zatížení spojité trojúhelníkové (obr. 8). Superpozicí obou zřejměmůžeme získat plošné zatížení lichoběžníkové.

obr. 7: Spojité rovnoměrné zatížení stropní konstrukce

obr. 8: Spojité rovnoměrné trojúhelníkové zatížení

Obecně je možné zadat plošné zatížení libovolnou spojitou funkcí, která mění své hodnotyod bodu k bodu. Hodnota velikosti náhradního břemene F na zvolené obdélníkové oblastiA=a.b se pak získá integrací funkce plošného zatížení na dané oblasti (obr. 9). Polohanáhradního břemene se získá jako obvykle z podmínek stejného statického momentuvýslednice a výchozího zatížení k libovolným dvěma nerovnoběžným osám.

obr. 9: Obecné plošné zatížení

(b) Liniové zatíženíUdává velikost síly Q, která působí na jeden metr běžný délky konstrukce. Kromě velikosti jetřeba udat směr, smysl a působiště liniového zatížení. Udává se nejčastěji v kN/m (také sepoužívá v technické praxi kN/m´ nebo kN/bm, čteme kN na metr běžný). Nejčastěji se

5

využívá při vyčíslování zatížení od liniových konstrukcí (například stěn) nebo při stanovenízatížení na vodorovné či šikmé nosníky, vazníky a podobně (obr. 10).

obr. 10: Příklady liniového zatížení: zatížení základu od stěny a zatížení střešního vazníku odpřilehlých konstrukcí

Liniové zatížení opět může mít libovolný průběh; nejčastěji se vyskytuje liniové rovnoměrnézatížení a liniové lineární zatížení (obr. 11), které je kombinací rovnoměrného atrojúhelníkového zatížení. Liniové spojité zatížení může mít samozřejmě i zcela obecnýprůběh podle libovolné spojité funkce. Náhradní břemeno F na vybraném úseku (a,b) se pakzíská integrací funkce liniového zatížení na dané oblasti (obr. 11). Poloha výslednice sezíská jako obvykle z podmínky stejného statického momentu náhradního břemene F avýchozího zatížení k libovolnému bodu.

obr. 11: Schema rovnoměrného, lineárního a obecného spojitého liniového zatížení; polohaze statických momentů nebo v těžišti plochy liniového zatížení.

Protože většina konstrukčních problémů se převádí na řešení rovinných úloh, má liniovézatížení v praktických úvahách četné použití.(c) Síla (osamělé břemeno)Jak již bylo zdůvodněno, je to pouze fiktivní veličina, která není ve skutečnosti realizovatelná.Je však používaná především proto, že umožňuje zjednodušit a zprůhlednit některékonstrukční úvahy. Protože je síla vektor, musí se zadat kromě její velikosti i směr, smysl apůsobiště v konstrukci. Při popisu zatížení se udává běžně v kN.Používá se zejména ke dvěma účelům:• pro globální staticko konstrukční úvahy (rovnováha tuhých celků). Místo abychom

počítali se spojitým zatížením (což může být zdlouhavé), nahrazujeme jej jehovýslednicí – náhradním břemenem,obr. 12.

6

obr. 12: Ukázky nahrazení komplikovaného průběhu spojitého zatížení jeho výslednicí.

• Pro vyjádření podporových reakcí prvků a konstrukcí. Ačkoliv jsou podporové reakce veskutečnosti napětími na ploše, opět se z důvodu přehlednosti a jednoduchosti používájejich výslednice - idealizace silou.

Poloha a velikost výslednice zatížení se hledá běžnými metodami stavební mechaniky, vizodstavec 1.

Při nahrazování skutečného zatížení náhradními břemeny je třeba jisté opatrnosti. Nahrazenícelého zatížení nosníku jediným náhradním břemenem je pro většinu úvah příliš hrubé avede ke zkreslení skutečnosti. Nahrazování zatížení se zejména nesmí používat, pokudurčujeme vnitřní síly na prutových prvcích resp. napjatost na 2D nebo 3D prvcích. Zdemusíme použít co nejrealističtější model zatížení. Situaci ilustruje obr. 13. Počítáme-liohybový moment na prostém nosníku od rovnoměrného spojitého zatížení, potom pokudnahradíme spojité zatížení jeho výslednicí uprostřed rozpětí, vyjde ohybový moment dvakrátvětší než je skutečnost. Proto-pokud z nějakého důvodu potřebujeme s náhradními břemenypracovat-volíme náhradní břemena podle členitosti skutečného zatížení jako soustavunáhradních břemen.

obr. 13: Použití jediného náhradního břemene vede ke zkreslení průběhu vnitřních sil (zdeznázorněno pro ohybové momenty).

3. Úloha nosné konstrukcePoznámka k názvosloví: Se zřetelem k zaměření této kapitoly budeme často používat místotermínu konstrukční prvek pouze zkrácený termín prvek a místo termínů nosný systém,nosná konstrukce, konstrukční systém pak zkráceně termín konstrukce. Konstrukcí v tomtosmyslu rozumíme soustavu složenou z prvků.Stavební prvky jsou zatížené přímým zatížením buďto samy bezprostředně (vlastníhmotnost, sníh, vítr, užitné zatížení), nebo zprostředkovaně (jsou součástí konstrukčního

7

systému, například sloup v přízemí zatížený tíhou vyšších pater). Nicméně všechny prvkymají za úkol účastnit se převedení jakékoliv zatížení do podpor (základy, jiné stabilníkonstrukce v okolí). Převod účinků zatížení mezi jednotlivými prvky se uskutečňuje pomocívazeb. Jednoduchá ukázka toku sil konstrukcí do podpor je uvedena na obr. 14.

obr. 14: převod svislého zatížení z vodorovných průvlaků do svislých pilířů a podpor;superkonstrukce, svislé a vodorovné prvky vázány vzájemným vetknutím.

Komplikovanější a méně přehledné bývá vyšetření stejné otázky u tvarově členitých staveb,např. historických, viz obr. 15.

obr. 15: Převod svislého zatížení ze střešní roviny krovem, stěnami a sloupy do základů;starokřesťanská bazilika

Vazby mezi prvky rozhodují, jakým způsobem budou účinky zatížení přenášeny. Vazby takévýznamně spolurozhodují o chování konstrukčního systému jako celku (tvarová a statickástabilita, statická neurčitost, tuhost) a o jeho specifických vlastnostech s ohledem na přenosnepřímého zatížení (vznik vnitřních pnutí a dilatační pohyby).

Podpory musejí být navrženy tak, aby byly dostatečně únosné a tuhé, schopné bezpečně (spotřebnou spolehlivostí) přenést jakákoliv zatížení, jejichž výskyt lze během stavbypředpokládat. Zatížení musí být přenesena při přípustné míře přetvoření (malá sedání a

8

podobně).

4. Tuhé a poddajné tělesoVětšinu prvků i konstrukcí (s výjimkou lan, stanových či pneumatických konstrukcí) můžemepři staticko-konstrukčních rozborech považovat za tuhá tělesa. To je v souladu s našípraktickou zkušeností: stavební konstrukce se jeví jako tuhé, bez viditelných deformací.Stavební prvky a konstrukce se ovšem deformují vždy. Vzniklá přetvoření jsou však velmimalá, pouhým okem nepozorovatelná. Je to důsledek předpokladu malých deformací, kterýje pro stavební konstrukce absolutní nezbytností a je zabudovaný do všech norem apodkladů pro navrhování. Uvedený předpoklad má pro staticko konstrukční rozbor základnívýznam: umožňuje vyšetřovat účinky zatížení na nedeformované konstrukci. To tedyznamená, že při rozboru účinků zatížení nemusíme přihlížet k přetvořenému stavuanalyzovaných prvků nebo konstrukcí, obr. 16.

obr. 16: V případě malých deformací (obrázek vlevo) můžeme vyšetřovat současný účinek

svislého a vodorovného zatížení na nedeformované konstrukci. V případě velkýchdeformací (obrázek vpravo) bychom museli přihlédnout k excentricitě svisléhozatížení na vodorovných výchylkách budovy, způsobených zatížením větrem.

Představa prvků jako tuhých těles se výhradně využívá při rozborech tvarové stability, vizodstavec 14.Při rozboru namáhání a přetvoření prvků a konstrukcí (průběhy vnitřních sil, napjatosti,průhyby, stlačení....) je ovšem představa konstrukce jako tuhého tělesa nepoužitelná. Zdenaopak musíme vycházet z předpokladu poddajnosti prvků a konstrukcí,obr. 17.

obr. 17: U skutečných těles rozhoduje skutečná poloha působišť sil o charakteru jejich

namáhání; představu tuhého tělesa pro rozbor vnitřního namáhání a přetvořenítěles nelze použít.

O tom, že jsou stavební konstrukce poddajné, jednoznačně svědčí pracovní diagramy všechdruhů materiálů: sebemenší přímé zatížení, vložené na zkušební vzorek, vždy vyvolá určité

9

přetvoření, viz obr. 18.

obr. 18: Zatížení F vložené na skutečný materiál vždy vyvolá jeho přetvoření u.

5. Rovinný a prostorový prvek, konstrukceVšechny stavební prvky konstrukce jsou vytvářeny jako trojrozměrné, tedy prostorovéobjekty. Je ovšem intuitivně zřejmé, že provádět rozbor na prostorovém modelu je vždykomplikovanější a pracnější než na modelu rovinném. Proto se vždy snažíme alespoň prozákladní úvahy redukovat prostorový model na model rovinný.Z hlediska objasnění pojmů, které nejsou svou podstatou na dimenzi úlohy závislé, vždyvyužijeme pro výklad jednodušší dvourozměrný model. Trojrozměrný model lze potomchápat víceméně jako technické rozšířením rovinných úvah. Pro označení dvourozměrnýchúloh budeme také používat označení 2D, pro označení prostorových úloh pak označení 3D.

6. Rovinný prvekPrvek můžeme vyšetřovat jako rovinný, pokud jsou splněny tři základní předpoklady (obr.19):• Prvek má rovinnou geometrii, to znamená střednice nebo střednicová plocha leží

v rovině.• Rovina přímého zatížení prvku musí procházet jeho střednicí nebo střednicovou

rovinou.• Rovina zatížení musí být osou symetrie příčného řezu rovinného prvku.

10

obr. 19: K pojmu rovinný prvek- plošný (vlevo) prutový (vpravo)

Pokud nejsou tyto podmínky splněny, prvek by měl být vyšetřován jako prostorový.

7. Rovinná konstrukceRedukovat rozbor skutečného prostorového působení konstrukce na rozbor dílčíhorovinného modelu je naší snahou vždy. Jak již bylo uvedeno, jsme k tomu vedeni faktem, žerovinné modely se snadněji analyzují a odpovídající výpočtové modely jsou méněkomplikované. Nalézt rovinné modely se nám velmi často daří díky struktuře konstrukcístaveb. Stavby, které mají rytmicky se opakující nebo nějak souměrnou strukturu (obr. 20),můžeme vesměs z větší části objektivně analyzovat na dvourozměrném modelu, výsekuopakující se části.

obr. 20: Rytmicky se opakující pole patrových skeletů (vlevo) resp. polí halových konstrukcí

(vpravo)

Abychom mohli vyšetřovat konstrukci jako rovinnou, musí být v zásadě splněny tři výchozípodmínky:• konstrukce musí mít v určitém směru alespoň přibližně opakující se strukturu,• uvažovaný dvourozměrný model musí být složen z rovinných prvků (osa souměrnosti

totožná s rovinou modelu),• zatížení na výseku konstrukce musí působit alespoň přibližně ve střednicové rovině

modelu.Pro rozbor chování rovinného výseku konstrukce, rozložíme zatížení na složku působícív rovině modelu a na složku působící kolmo k rovině modelu. Potom postupujeme tak, že:• v prvém kroku analyzujeme daný rovinný model (subkonstrukci) na účinky zatížení

působící v rovině modelu,• v druhém kroku analyzujeme konstrukci jako systém složený z jednotlivých rovinných

subkonstrukcí, namáhaný zatížením působícím kolmo k rovině subkonstrukcí. Přitommusíme definovat způsob propojení, spřažení jednotlivých rovinných výseků. Častov této souvislosti s tímto krokem hovoříme (nepřesně) o zajištění prostorové tuhosti celékonstrukce.

• Ve třetím kroku sečteme účinky namáhání podle prvního a druhého kroku (viz odstavecPrincip superpozice).

Poznamenejme, že rozklad konstrukce na rovinné subkonstrukce se používá především naúčinky svislého zatížení. Na účinky vodorovného zatížení se využívají jiná zjednodušení.

11

Ne všechna konstrukční uspořádání lze ovšem na rovinné modely převést, obr. 21. Těmtootázkám se budeme věnovat při rozboru konkrétních konstrukčních uspořádání a systémů.

• obr. 21:Příklady konstrukcí, které je nutné vyšetřovat jako prostorové systémy

8. Podpory a vazby prvkůJak bylo uvedeno, základní představou pro vyšetřování chování prvků je tuhé těleso. To tedyznačí, že jde o takový prvek, u něhož nemusíme při vyšetřování účinků zatížení přihlížetk jeho deformaci. Tuhé těleso má v rovině 6 stupňů volnosti: může se posunout a pootočit vetřech na sobě nezávislých směrech. Pokud bychom na prvek nechali působit libovolnézatížení, nastal by v duchu Newtonových zákonů jeho pohyb. To je u stavebních konstrukcípochopitelně nepřípustné. Proto ukládáme prvky na podpory. Úkolem podpor je přijakémkoliv zatížení, které se může během trvání stavby vyskytnout, zrušit všechny šeststupňů volnosti.Podpory se realizují pomocí různých druhů vazeb, které podle svého charakteru ruší různýpočet stupňů volnosti. Každá vazba potom vyvozuje tolik složek podporových reakcí, kolikstupňů volnosti ruší. Rozhodnutí o rozmístění a typu vazeb definuje tak zvané statickéschema prvku.

9. Podpory a vazby prvků ve 2DJak bylo uvedeno, základní představou pro vyšetřování chování prvků je tuhé těleso.V případě rovinných prvků se tuhé těleso nazývá tuhá deska. To tedy značí, že jde o takovýrovinný prvek, u něhož nemusíme při vyšetřování účinků zatížení přihlížet k jeho deformaci.Tuhá deska má v rovině 3 stupně volnosti: může se posunout ve dvou nezávislých směrecha dále se prvek může pootočit okolo libovolného bodu.V důsledku působení přímého zatížení vznikají v podporách síly, nazvané podporové reakce(zákon o akci a reakci).Ve 2D rozeznáváme následující typy vazeb, obr. 22:• vazby jednonásobné – ruší jeden stupeň volnosti (1°), nazýváme je kyvný prut nebo

posuvný kloub,• vazby dvojnásobné – ruší dva stupně volnosti (2°), nazýváme je pevný kloub,• vazby trojnásobné – ruší tři stupně volnosti (3°), nazýváme je vetknutí.

12

obr. 22: Statická schema vazeb a příklady jejich realizace; složky podporových reakcí

Jestliže je počet vazeb menší než tři (nebo jsou vazby nevhodně uspořádány), potom jeprvek nestabilní, při určitém zatížení se může uvést do pohybu, obr. 23. Podepření senazývá staticky přeurčité.

obr. 23: Staticky přeurčité podepření a příklad nevhodného uspořádání vazeb (vpravo)

Jestliže je počet vazeb rovinné desky roven třem, potom se ruší všechny tři stupně volnosti aprvek je zajištěn proti pohybu. Podepření se nazývá staticky určité. Nejběžnějším uloženímtohoto typu je konzola a prostý nosník v různých modifikacích, obr. 24.

obr. 24: Staticky určité uložení: 1. přímých nosníku (prostý n., převislé konce, konzola) 2. lomených nosníků3. zakřivených nosníků

Jestliže je počet vazeb větší než tři, potom se ruší více než 3 stupně volnosti a takovépodepření se nazývá staticky neurčité. Typickými reprezentanty jsou oboustranně upnuténosníky, dvoukloubové nebo vetknuté oblouky a podobně, viz obr. 25.

13

obr. 25: Příklady staticky neurčitě uložených prvků : zleva obecně tuhá deska, dvoukloubovýresp. vetknutý oblouk, oboustranně resp. jednostranně vetknutý nosník, spojitýnosník.

10. Podpory a vazby prvků ve 3DVe 3D rozeznáváme typy vazeb, analogické situaci ve 2D. Vzhledem k trojrozměrnémuusoiřádání však tyto vazby odebírají jiný počet stupňů volnosti. Kromě toho jsou definoványpro 3D i vazby nové, které ve 2D nemohou existovat.Pro úplnost uveďme, že ve 3D rozeznáváme následující typy vazeb: kyvný prut resp. vedenípo hladké ploše (1°), vedení po hladké křivce (2°), pevný kloub (3°), posuvný válcový kloub(4°), neposuvný válcový kloub (5°), dokonalé vetknutí (6°). Nebudeme se tí podrobnějizabývat; v praxi se vyskytují velmi zřídka, s vyjímkou vetknutí.

Stejně jako ve 2D i zde rozeznáváme uložení staticky přeurčité, určité nebo neurčité podletoho, zda je počet vazeb menší, roven nebo větší šesti.

11. Jednostranné vazbyZvláštním případem vazeb jsou tak zvané jednostranné vazby. Jde o případ, kdy vazbapřenáší reakci na daném paprsku pouze jedním směrem (buďto pouze tlakem nebo pouzetahem). Typickými reprezentanty jsou například plošné základy, lana ale také uložení řadymostních konstrukcí. U těchto vazeb musíme ověřit, že během trvání stavby nevzniknetakový zatěžovací stav, kdy by se vazba stala neúčinnou. Taková situace by mohla být proprvek nebo konstrukci kritickou - hrozila by ztráta její stability, obr. 26.

obr. 26: Jednostranné vazby: plošný základ v tahu, lano v tlaku, kloub mostní konstrukcev tahu.

14

12. Konstrukce – soustava propojených prvků; tvarovástabilita

Nosná konstrukce vytváří prostorový systém, který – jak již bylo uvedeno – převádí účinkyjakéhokoliv zatížení do podpor (základy, jiné okolní stabilní konstrukce). Převod účinkůzatížení mezi jednotlivými prvky se uskutečňuje pomocí vazeb, obr. 27. Využíváme k tomustejné typy vazeb, které jsme poznali u prvků. Rozhodnutí o rozmístění a typu vazeb definujetak zvané statické schema konstrukce.

obr. 27: Konstrukce jako soustava prvků propojená vazbami; statické schema

U konstrukcí vzniká základní otázka kvality jejich uložení: musíme zajistit, aby konstrukcebyla tvarově stabilní. Znamená to, že se konstrukce při jakémkoliv reálně možném zatíženínesmí dát do pohybu – nesmí se stát mechanismem, obr. 23, obr. 28.

obr. 28: soustavy prvků s nedostatečným počtem vazeb - mechanismy

Tvarová stabilita konstrukce je nutným předpokladem zajištění prostorové tuhosti konstrukce(viz článek 28), není však podmínkou postačující.Tento pojem se rovněž liší od pojmu statické stability, kdy ověřujeme, že nedojde ke kolapsukonstrukce vybočením, boulením, zabořením základu a podobně, tedy v důsledku působenísil určité velikosti v konstrukci (článek 25 a dále). Stav statické stability je předpokladem provyšetřování stability tvarové.

13. Podpory a vazby rovinných konstrukci (2D)Na rovinnou konstrukci lze z hlediska mechaniky nahlížet jako na soustavu vzájemněpropojených tuhých desek. V úvahách o zajištění tvarové stability konstrukce jako celku zadesku můžeme považovat každý jednotlivý prvek. Je-li konstrukce vytvořena z N prvků, má vrovině 3N stupňů volnosti. Postupem stejným jako u prvku stanovíme, zda je konstrukcestaticky přeurčitá (tedy pohyblivý mechanizmus), staticky určitá nebo staticky neurčitá.Většina konstrukcí stavební praxe je staticky neurčitých.Nová je oproti prvkům úvaha o vázání pouze v tom, kolik stupňů volnosti ruší vzájemnéspojení více tuhých desek (konstrukčních prvků) v jednom bodě. Řídíme se pravidlem, žejednu desku považujeme za pevný podklad, ostatní jsou k ní vzájemně nezávisle připojeny.Stupně volnosti, které ruší vnější vazby, vyčíslujeme samostatně a přičítáme ke stupňůmvolnosti, které ruší vnitřní vazby.

15

obr. 29: Spojení více desek v jednom bodě; jednu desku považujeme za pevnou (1), ostatníjsou k ní nezávisle připojeny. ad a) statické schema, ad b) idealizace. V danémpřípadě ruší tato vnitřní vazba 6°volnosti.

Na obr. 30 je na elementárních případech ukázáno stanovení stupně statické neurčitosti prorůzné rovinné konstrukce.

N=10 prvků → 30°volnosti N=11 prvků→ 33°volnostiV= [3.(3)]+2.(2+3)+2.(2)+(2+2+3) V=[2+1]+2.(2)+2.(2+2)+3.(2+2+2)=33+(2+2)=34S= 34-30=4>0 S=33-33=0Konstrukce je 4 krát staticky neurčitá. Konstrukce je staticky určitá.

obr. 30: Příklady stanovení stupně S statické neurčitosti 2D konstrukcí. N je počet prvků, 3Npočet stupňů volnosti plošných prvků, V počet vazeb. V hranatých závorkách vnějšívazby, v kulatých vnitřní vazby.

14. Tvarová stabilita rovinných konstrukcí-zjednodušenéposouzení

Posouzení tvarové stability znamená ověřit, že dané uspořádání a podepření konstrukcenevytváří pohyblivý mechanismus (takže konstrukce je staticky určitá případně neurčitá).Stejně jako jsme při definici konstrukčních prvků definovali složeném prvky, můžeme i zde přivyšetřování tvarové stability pro zjednodušení rozdělit konstrukci na větší celky, o kterýchapriori víme, že jsou tvarově stabilní. Takové jsou především složené prvky, příhradovévazníky zastřešení a podobně. Obecně za tvarově stabilní můžeme považovat obr. 31:• průběžné nepřerušované prutové prvky (i lomené či rozvětvené),• plné stěnové prvky,• trojúhelníkové soustavy kloubově propojené (a z nich vytvořené vyšší celky); typickým

reprezentantem jsou příhradové soustavy,• uzavřené soustavy vzájemně tuze spojených (vetknutých) prutů; typickým

reprezentantem jsou rámové systémy s tuhými styčníky.Tímto způsobem se konstrukce rozdělí na menší počet subkonstrukcí a posouzení tvarovéstability se zjednoduší, obr. 31.

16

obr. 31: Tvarově stabilní subkonstrukce a z nich vytvořené vyšší tvarově stabilní celky.

15. Podpory a vazby prostorových konstrukci (3D)Postupuje se zcela analogicky jako u konstrukce rovinné. Na prostorovou konstrukci lzez hlediska mechaniky nahlížet jako na soustavu vzájemně propojených tuhých těles.V úvahách o zajištění tvarové stability konstrukce jako celku za těleso můžeme považovatkaždý jednotlivý prvek. Je-li konstrukce vytvořena z N prvků, má v rovině 6N stupňů volnosti.Postupem stejným jako u prvku stanovíme, zda je konstrukce staticky přeurčitá (tedypohyblivý mechanizmus), staticky určitá nebo staticky neurčitá. Většina konstrukcí je statickyneurčitých.Nová je oproti prvkům úvaha o vázání pouze v tom, kolik stupňů volnosti ruší vzájemnéspojení více tuhých těles (konstrukčních prvků) v jednom bodě. Řídíme se opět pravidlem, žejedno těleso považujeme za pevný podklad, ostatní jsou k němu vzájemně nezávislepřipojeny. Stupně volnosti, které ruší vnější vazby, vyčíslujeme samostatně a přičítáme kestupňům volnosti, které ruší vnitřní vazby.

17

16. Tvarová stabilita prostorových konstrukcíPosouzení tvarové stability znamená ověřit, že dané uspořádání a podepření konstrukcenevytváří pohyblivý mechanismus (takže konstrukce je staticky určitá případně neurčitá).

17. Tvarová stabilita konstrukcí z netuhých prvkůSpecifické problémy tvarové stability se objevují u konstrukcí vytvořených z prvků, kterénejsou tuhé. Takovými jsou především lana, stanové díly nebo pneumatické prvky,obr. 32.

(a) Tvarová stabilita lanových konstrukcíLanové konstrukce se velmi často používají jako nosné systémy zastřešení hal na velkározpětí. Jak samotné lanové konstrukce, tak i k nim používané střešní pláště však majímimořádně nízkou plošnou hmotnost. Proto by mohlo dojít vlivem sání větru ke ztrátětvarové stability lanové střechy a jejímu vzedmutí).Opatření, která toto riziko odstraňují, spočívají v konstrukčních úpravách (např. osnovastabilizačních lan).

(b) Tvarová stabilita stanových konstrukcíStanové konstrukce musejí splňovat podmínku, že plášť musí být namáhán pouze tahem.Proto v nich musí existovat trvalé tahové předpětí. Není-li tato podmínka splněna, stanovámembrána ztrácí tvarovou stabilitu, zvlní se.

(c) Tvarová stabilita přetlakových pneumatických konstrukcíPřetlakové pneumatické konstrukce musejí splňovat podmínku, že plášť musí být namáhánpouze tahem. Tedy vnitřní přetlak musí být větší, než nejnepříznivější kombinace zatížení(vítr, sníh, tíha konstrukce a zavěšeného zařízení). Není-li tato podmínka splněna,konstrukce ztrácí tvarovou stabilitu.

obr. 32: Ke tvarové stabilitě lanových, stanových a pneumatických konstrukcí

18. RovnováhaJak již bylo uvedeno v odstavci 8, zásadně nepřipouštíme pohyb stavebních prvků akonstrukcí. Proto je podrobujeme vazbám, ve kterých vznikají vazebné síly, podporovéreakce. Protože nedochází v důsledku podepření k pohybům prvků a konstrukcí, soustavy silna ně působící musejí být rovnovážné; mají tedy v každém okamžiku nulovou výslednici.Přímá zatížení, působící na prvky a konstrukce, jsou v rovnováze se vzniklými silami vpodporách. Přímá zatížení označujeme jako primární zatížení neboli břemena. Sílyv podporách, vyvolané primárním zatížením, potom označujeme jako sekundární zatíženíneboli podporové reakce, obr. 33.

18

obr. 33: Výsek konstrukce, statické schema pro vodorovné zatížení, břemena (F), podporovéreakce (R); (F) a (R) jsou vnější síly, působící na konstrukci

Základní význam má pro nás poznatek, že je-li konstrukce jako celek v rovnováze, musí býtv rovnováze i jakákoliv její část. Tohoto poznatku se využívá při definici vnitřních silv konstrukcích a jejich prvcích.Tvrzení že konstrukce je v rovnováze znamená, že součet všech vnějších sil, tedy břemen apodporových reakcí, je roven nule. Této skutečnosti využíváme při formulování podmínekrovnováhy.Počet nezávislých podmínek rovnováhy, které je možné napsat pro tuhé těleso (3D) nebotuhou desku (2D) souvisí s počtem stupňů volnosti těchto útvarů. Každému stupni volnosti vesmyslu posunutí odpovídá jedna směrová podmínka rovnováhy, každému stupni volnosti vesmyslu natočení odpovídá jedna momentová podmínka rovnováhy. Máme tedy k dispozici 3nezávislé podmínky rovnováhy pro tuhou desku (2D) a šest nezávislých podmínekrovnováhy pro tuhé těleso (3D).Poznámka: odtud se odvíjí i názvy staticky neurčité / určité / přeurčité konstrukce. Statickyneurčitá konstrukce je uložena tak, že ke stanovení jejích reakcí nestačí daný početnezávislých podmínek rovnováhy. Obdobně zbývající názvy.

19. Rovnováha tuhých prvků ve 2D; prutové prvkyJak plyne z výše uvedeného, v rovině máme k dispozici tři nezávislé podmínky rovnováhy:nejčastěji používáme dvě směrové (součet sil ve dvou různých směrech je roven nule) ajednu momentovou (statický moment sil k libovolnému bodu je roven nule):Σ Fix + Σ Rjx = 0, Σ Fiy + Σ Rjy = 0, Σ MiF + Σ MjR = 0,kde Fix, Fiy jsou složky břemen Fi do směru os x resp. y, Rjx, Rjy jsou složky podporových reakcí Rj do směrů os x resp. y, MiF, MjR jsou statické momenty břemen resp. reakcí k libovolnému bodu roviny prvku.Odtud plyne, že u staticky určitého uložení můžeme stanovit podporové reakce přímoz podmínek rovnováhy (odtud název staticky určité uložení). U staticky neurčitého uložení jevýpočet reakcí složitější a k výpočtu podporových reakcí musíme přibrat ještě potřebný početpodmínek přetvárných.

20. Prutové prvkyV přehledu konstrukčních prvků (článek.....) je uvedeno, že je možné některé z nichidealizovat pomocí jejich střednice (1D), do které kondenzujeme příslušné mechanickévlastnosti. Takové prvky označujeme také jako prutové prvky. Základní kritérium pro to, coještě můžeme považovat za prutový prvek, je poměr jeho délky L (rozpětí) a výšky b průřezu.Přibližně platí, že prvek je prutový, pokud b/L ≤ 1/5. Při překročení tohoto poměru je již třebaspíše posuzovat prvek nikoliv jako prut, ale jako stěnu (2D model).Prutové prvky se vyskytují v konstrukcích velmi často. Pro jejich analýzu lze navíc přijmoutpředpoklady, které rozbor namáhání a přetvoření výrazně zjednodušují. V praxi se naanalýzu prutových prvků převádí velká část konstrukčních úvah. Vyplatí se proto věnovat jimpozornost samostatně.

19

21. Zavedení vnitřní síly na prutových prvcích ve 2DPodstatný je již zmíněný poznatek, že je-li prvek v rovnováze, je rovněž každá jeho částv rovnováze. Tohoto poznatku se využívá zavedení takzvaných vnitřních sil především naprutových prvcích.Předpokládejme, že prutový prvek jako celek je v rovnováze (to nám zajistí podepření).Oddělíme-li nyní část prutového prvku myšleným řezem od okolí, potom vnější síly naoddělené části (břemena a podporové reakce) samy o sobě v rovnováze nejsou. Oddělenáčást by se mohla dát do pohybu. Protože tak tomu není, musejí existovat v prutovém prvkusíly, které rovnováhu oddělené části zajistí.

obr. 34: K zavedení vnitřních sil prutového prvku jako silových doplňků k dosažení rovnováhyoddělené části.

Tyto síly se nazývají vnitřními sílami a působí v rovině příčného řezu. U rovinných prutovýchprvků zavádíme tři vnitřní síly: normálovou sílu N, posouvající sílu T a ohybový moment M,které působí v příčném řezu kolmém na střednici prutového prvku. Vnitřní síly reprezentují„silové doplňky“, které jsou nutné k dosažení rovnováhy (oddělené části prutového prvku),obr. 35.

obr. 35: Definice vnitřních sil jako „silových doplňků na příčném řezu kolmo ke středniciprutu: posouvající síla T, normálová síla N, ohybový moment M.

Na obr. 35 jsme se zabývali levou částí nosníku. Je ovšem pochopitelné, že na volbě odsekukonstrukce nemůže výsledek záviset. Stejnou úvahu můžeme provést i na pravé poloviněprvku. Výpočtem snadno zjistíme, že T, N, M vyjdou co do velikosti zcela stejně, avšak napravou polovinu budou působit v opačném smyslu. Je to přirozený důsledek zákona akce areakce a plyne z něho důležité pravidlo o znaménkové konvenci, které je třeba důslednědodržovat, obr. 36.

20

levá oddělená část vnitřní výsek prvku pravá oddělená část

obr. 36: Znaménková konvence pro kladné smysly vnitřních sil na rovinném prutovém prvku

Mnemotechnicky si lze zapamatovat, že kladná N vždy vlákna průřezu vytahuje, kladná Tzpůsobuje nakosení střednice ve směru hodinových ručiček a kladný M vytahuje vlákna najedné straně průřezu.

Protože obecně se velikost výslednice vnějších sil na oddělenou část mění podle volbypolohy příčného řezu na prutu (například pro spojitá zatížení), musí se v souladu s tím měnitpo délce prutu i vnitřní síly. Proto vynášíme vždy průběh vnitřních sil , a to podél střednice,obr. 37.

obr. 37: Vynesení průběhu vnitřních sil podél střednice prutového prvku. Vyznačeny smyslypůsobení sil.

Známe-li podporové reakce, potom vnitřní síly na prvku stanovíme ze tří podmínekrovnováhy sestavené pro oddělenou část prutu. Maximální hodnoty vnitřních sil jsou většinoupodkladem pro návrh prvku (materiál, tvar a velikost průřezu).Velmi důležité pro správnou interpretaci výsledků je zásada, že ohybové momenty vynášímevždy na tu stranu od osy prutu, kde jsou tažená vlákna průřezu.Rovinné prutové prvky se ve stavební praxi vyskytují velmi často; patří sem například většinastropních nosníků, řada prvků tesařských konstrukcí, rovinné oblouky, většina střešnínosníků a vazníků na velká rozpětí, některé prvky skeletových konstrukcí a další.

22. Rovnováha rovinných konstrukcíPlatí stejné úvahy, uvedené u rovnováhy rovinných prvků. Zásadním je opět poznatek, že je-li konstrukce v rovnováze, pak musí být v rovnováze i každá její část. Toho se opět využívápři výpočtu vnitřních sil na prvcích konstrukce a k určování reakcí ve vnitřních vazbách (mezijednotlivými prvky).Kontrola podmínek rovnováhy na libovolném odseku konstrukce je jednoduchou a účinnoupomůckou k ověření správnosti výpočtů.Typickými rovinnými konstrukcemi jsou například rovinné příhradové konstrukce, rovinnérámy a výztužné stěny.

21

23. Rovnováha tuhých prvků ve 3D; prutové prvkyJak plyne z výše uvedeného, v prostoru máme k dispozici šest nezávislých podmínekrovnováhy: nejčastěji používáme tři směrové (součet sil ve třech různých směrech je rovennule) a tři momentové (statické momenty sil k libovolným třem bodům neležícím v přímce jeroven nule). Opět odtud plyne, že u staticky určitého uložení můžeme stanovit podporovéreakce přímo z podmínek rovnováhy. U staticky neurčitého uložení je výpočet reakcísložitější a k jejich výpočtu musíme přibrat ještě potřebný počet podmínek přetvárných. U prostorových prutových prvků připadá v úvahu šest vnitřních síl (osu prutu předpokládámev ose x): normálová síla N, posouvající síly Ty , Tz (vzájemně kolmé), ohybové momenty My,Mz (ve vzájemně kolmých rovinách) a kroutící moment Mx , kroutící prutem okolo jehostřednice.Známe-li podporové reakce, potom vnitřní síly na prvku opět stanovíme z podmínekrovnováhy sestavené pro oddělenou část prvku.Prostorové prvky se v pozemních stavbách vyskytují poměrně zřídka; patří sem napříkladobloukové balkónové nosníky (zatížené kolmo k rovině oblouku), schodišťové nosníky sezakřivenou střednicí a různé speciální konstrukce pro atypické stavby.

24. Rovnováha prostorových konstrukcíPlatí stejné úvahy, uvedené u rovnováhy rovinných prvků. Zásadním je opět poznatek, že je-li konstrukce v rovnováze, pak musí být v rovnováze i každá její část. Toho se opět využívápři výpočtu vnitřních sil na prvcích konstrukce a k určování reakcí ve vnitřních vazbách.Prostorové modely konstrukcí jsou obecně nejpřesnější, avšak současně i nejnáročnější.Proto u konstrukcí, kde není možné použít idealizaci konstrukce na dvourozměrný model,přicházejí ke slovu speciální postupy stavební mechaniky. Jsou vyvinuté výpočtové modelypro jednotlivé kategorie konstrukcí (např. stěnové systémy, prostorové skelety, obvodovésystémy), které na základě vhodně zvolených předpokladů obecný prostorový modelzjednodušují.

25. Statická stabilitaAž doposud jsme se zabývali otázkami tvarové stability prvků a konstrukcí, tedy vlastnězajištěním jejich nepohyblivosti pro jakékoliv zatížení. Dalším pojmem, který je důležitý, jestatická stabilita. Podstatou tohoto pojmu je, že se části konstrukce (případně i podpory)mohou v důsledku určité relativně vysoké hladiny zatížení náhle zhroutit. Toto zatížení bývánazýváno kritickým zatížením a úzce souvisí s konkrétním konstrukčním uspořádáním amateriálem konstrukce, viz článek 71.

Zajištění tvarové stability konstrukce tedy naprosto nezajišťuje statickou stabilitu. Naopak,posouzení tvarové stability předpokládá, že konstrukce resp. její prvky jsou staticky stabilní.

Je třeba říci, že ztráta statické stability konstrukčního prvku má obvykle kritický dopad i nastabilitu celé konstrukce. Je proto třeba věnovat otázkám statické stability zvýšenoupozornost.

Problém statické stability se v zásadě vyskytuje v souvislosti s tlakem ve štíhlých a subtilníchkonstrukcích a dále v souvislosti se založením.

26. Statická stabilita tlačených štíhlých a subtilních konstrukcíV tomto článku jsou použité některé pojmy, které jsou součástí úvah teorie pružnosti.Zdůvodnění konstatovýní v tomto článku uvedených je v článku 71.Problémy statické stability se vyskytují zejména u následujících konstrukčních uspořádání aprvků:

(a) Štíhlé sloupy a pruty

22

Zde dochází ke ztrátě stability vybočením; odpovídající namáhání se nazývá vzpěr resp.vzpěrná pevnost, obr. 38.Úpravy, které problém řeší: zkrácení vzpěrné délky, zvětšení momentu setrvačnosti průřezuve směru vybočení, v omezené míře též použití materiálu o vyšším modulu pružnosti.

obr. 38: Statická stabilita štíhlých tlačených prvků. Zkrácení vzpěrné délky vložením střednípodpory resp. změnou uložení konců prutu. Zvětšení momentu setrvačnosti průřezuve směru vybočení prutu.

(b) Štíhlé vysoké vazníky (nosníky):Zde dochází ke ztrátě stability v důsledku vybočení tlačené části ohýbaného prutu;odpovídající namáhání se nazývá klopení nosníků,obr. 39.

obr. 39: Schemata k pojmu klopení nosníků

Úpravy, které problém řeší: zkrácení vzpěrné délky tlačených částí (pásů u vazníků), zvýšenítuhosti v kroucení (např. použití uzavřených průřezů), zvýšení tuhosti v ohybu ve směruvybočení (vyšší moment setrvačnosti ve směru vybočení), výztuhy štíhlých stěn nosníků,„vidlicové“ uložení konců, zamezující deplanaci čel.

obr. 40: Ukázka zkrácení vzpěrné délky tlačeného pásu vazníku z původní délky L (rozpětí)na délku L1. Dosaženo pomocí pevného spojení vazníků s krokvemi, které se opírajío zavětrování v rovině střechy.

(c) Tenkostěnné konstrukce zatížené koncentrovaným lokálním zatížením působícímv rovinách tenkých stěn

23

Zde dochází k lokální ztrátě stability boulením, obr. 23. Úpravy, které problém řeší: vkládánívýztuh, podle typu namáhání (např. pod břemena či míst uložení na podpory). Tyto otázkyjsou obecně velmi obtížné a jejich řešení je úzce svázáno s geometrií a způsobem namáhánístěny..

obr. 41: Schemata k pojmu boulení stěn.

(d) Tenké tlačené skořepinyTyto konstrukce jsou na ztrátu stability velmi citlivé; ideální skořepina je ve stavumembránové (bezmomentové) napjatosti. Avšak v důsledku geometrických imperfekcí av důsledku odchylek zatížení od předpokládaného rozložení a hodnot vstupují do skořepinypřídavná namáhání. Ta mohou při dosažení určité hladiny namáhání způsobit ztrátu jejístability – zborcení skořepiny, obr. 42. Stejný efekt má velké lokální zatížení osovou siloukolmou k rovině skořepiny, obr. 42. Úpravy, které problém řeší: zvětšení tlouštky skořepiny,vložení výztužných prvků (žeber). Tyto otázky jsou obecně velmi obtížné a jejich řešení jeúzce svázáno s geometrií a uložením skořepiny.

obr. 42: Ke ztrátě statické stability skořepin

Je tedy vidět, že opatření, která eliminují uvedená rizika, spočívají v konstrukčních úpravách.

24

27. Statická stabilita základových konstrukcíProblém se vyskytuje zejména u plošných základů (nejčastěji patek), pokud dojdek přemáhání základové půdy. Roste-li zatížení základu, vyčerpává se postupně smykovápevnost zeminy (přestává fungovat smykový roznos). Po vyčerpání smykové pevnostizeminy se základ již při dalším malém přitížení náhle zaboří do podloží, nastane ztrátastability zabořením základu,obr. 43.Opatření, která eliminují uvedená rizika spočívají buďto ve zvětšení plochy základu (sníženíkontaktního napětí) nebo ve zlepšení základové půdy (hutněné podsypy).

obr. 43: Ke ztrátě statické stability zabořením základu.

28. Prostorová tuhost konstrukcíJedním z předpokladů spolehlivosti konstrukce její tuhost. Konstrukce je tuhá, jestližepřetvoření konstrukce a jejích částí nepřekročí přípustné mezní hodnoty, případně když přidynamickém namáhání zabrání nadměrnému kmitání.Podrobná měření prokazují, že konstrukce prodělávají v čase neustálé složité pohyby, ať užvlivem zatížení přímých (vítr, nárazy vzduchových vln při přeletu letadel, otřesy půdy) nebonepřímých (objemové změny vlivem chodu klimatu). Deformace způsobené těmito vlivy měníčasem svůj směr a velikost a mají často periodickou povahu.Z hlediska návaznosti nenosných konstrukcí, z hlediska životnosti a trvanlivosti staveb iz hlediska fyzického vjemu pohybů a deformací konstrukcí požadujeme, aby přetvoření bylav jistých přijatelných mezích, ať už zatížení působí jakýmkoliv směrem a způsobem (který lzeběhem provádění a trvání stavby předpokládat).Vyjadřujeme to požadavkem, aby konstrukce byla dostatečně prostorově tuhá.Tuhosti budovy pro jakýkoli směr v prostoru lze dosáhnout tím, že se budova vyztuží ve třechk sobě kolmých směrech: vodorovně, svisle podélně a svisle příčně. Ztužující prvky musejíbýt vzájemně pevně propojeny („musejí o sobě vědět“). Za vodorovná ztužidla sloužínejčastěji tuhé stropní nebo střešní tabule, za svislá ztužidla pak nejčastěji příčné a podélnéztužující stěny, případně rámy nebo jádra.Je důležité si uvědomit, že pojem prostorová tuhost je v jistém smyslu nadstavbou pojmutvarová stabilita. Konstrukce může být tvarově stabilní (není mechanismem), avšak pokudvykazuje při reálném zatížení nadměrná přetvoření, potom není prostorově tuhá (říkámetaké, že je „měkká“).Obecně platí, že prostorovou tuhost budov můžeme zvýšit• zvyšováním násobnosti existujících vazeb, propojujících stávající prvky (např. změna

kloubových spojů na vetknutí),obr. 44;• zvětšováním tuhosti prvků (tedy tvarováním a zvětšováním průřezů prvků resp. použitím

materiálů o vyšším modulu pružnosti), obr. 45;• vkládáním nových prvků (např. výztužných stěn či jader), obr. 46;• vkládáním kyvných prutů (jednoduchá vazba) propojujících stávající prvky (např.

diagonál mezi sloupy), tedy vytvářením spřažení mezi stávajícími prvky; vzniklésoustavy se pak nazývají ztužidla.

25

obr. 44: Zvyšování prostorové tuhosti zvyšováním násobnosti existujících vazeb; s znašístupeň statické neurčitosti soustavy.

obr. 45: Zvyšování prostorové tuhosti zvyšováním tuhosti prvků

obr. 46: Zvyšování prostorové tuhosti budov vkládáním nových ztužujících prvků (stěn, jader,membrán)

26

obr. 47: Zvyšování prostorové tuhosti konstrukcí vkládáním kyvných prutů mezi stávajícíprvky

Pokud žádný uvedený způsob ani jejich kombinace nevedou k dostatečné prostorové tuhostiobjektu, potom je třeba znovu navrhnout prostorové uspořádání prvků konstrukčníhosystému do jiné geometrie (efektivnější rozmístění hmoty v prostoru).Poznamenejme, že právě zajištění prostorové tuhosti má úzkou souvislost s koncepcíkonstrukčního systému. Do značné míry také rozhoduje o efektivnosti využití konstrukcez hlediska vyčerpání únosnosti použitých materiálů. Odtud se přirozeně odvíjí i ekonomickénávaznosti nosného systému stavby.

29. Stabilita konstrukcí jako celku – odolnost proti převržení aposunutí

Otázka stability se vynořila v padesátých letech minulého století, kdy se začala výraznězvyšovat výška budov a současně snižovat průměrná tíha na krychlový metr obestavěnéhoprostoru. Zatímco u klasických masivních zděných staveb se tato hodnota pohybovala okolo400-500 kg / m3, u moderních železobetonových a ocelových staveb klesla až na 150-100 kg/ m3. Přirozeným důsledkem pak byl narůstající vliv vodorovného zatížení větrem.

(a) Odolnost proti převrženíZákladní úvaha je vyznačena na obr. 48. Mějme tuhý kvádr o výšce h, šířce b a jednotkovémtlouštce (kolmo k nákresně). Vodorovné rovnoměrné zatížení s výslednicí W se snaží kvádrpřeklopit okolo bodu o. Na rameni h/2 tedy vytváří k bodu o statický moment W.h/2(nazývaný též klopný moment). Kvádr se brání vlastní tíhou, která má výslednici G působícív těžišti. Ta vzhledem k bodu o vytváří na rameni b/2 statický moment G.b/2 . Oba statickémomenty mají vzájemně opačný smysl. K překlopení tedy nedojde, pokud bude platitnerovnostW.h/2 < G.b/2.

obr. 48: K úvaze o stabilitě (odolnosti) proti převržení budovy; intuitivní představa růstustability

Vztah ukazuje, že vývoj moderních budov (rostoucí h, klesající G) problémy odolnosti protipřevržení umocňuje.

27

U skutečných konstrukcí je situace poněkud komplikovanější než v uvedeném příkladu.Základními předpoklady pro schopnost staveb odolávat převržení je zřejmě jejich tvarovástabilita a jejich dostatečná prostorová tuhost.Pokud jsou tyto předpoklady splněny, potom musíme věnovat pozornost vnitřnímuuspořádání konstrukce. Do úvah o odolnosti proti převržení totiž můžeme zahrnout jen tyčásti svislé nosné konstrukce, které se reálně podílejí na přenosu vodorovného zatížení.Veličinou, která má rozhodující vliv na odolnost svislých prvků budovy proti ohybu, je (přidané výšce budovy) ohybová tuhost (součin E.I modulu pružnosti a momentu setrvačnosti vesměru působícího vodorovného zatížení). Protože I roste s třetí mocninou výšky průřezu,uplatní se při přenosu vodorovného zatížení zejména „vysoké“ nosníky, tj stěny nebo jádra.Schematicky znázorňuje úvahu obr. 49. Podrobnější rozbor provedeme při studiu působeníjednotlivých konstrukčních systémů.

obr. 49: Klopný moment od zatížení větrem přenáší v zásadě pouze konstrukční prvkys vysokou ohybovou tuhostí. Zbytek stavby se na přenosu vodorovného zatíženíprakticky nepodílí.

(b) Odolnost proti vodorovnému posunutíPoužijeme-li stejný model jako v předchozím článku, potom se vlastně jedná o zabezpečeníkvádru proti vodorovnému posunutí v základové spáře. Vodorovné zatížení zde působí silouW. Proti němu působí tření v základové spáře a odpor zeminy, přilehlé ve svislé rovině kzákladovým konstrukcím. U skutečných budov k vodorovnému posunutí nedochází,poněvadž odpor v základové spáře je mnohem větší než vodorovná síla. Výjimkou mohoubýt pouze lehké objekty, jako jsou například přístřešky, autobusové zastávky, skleníky apodobně a dále potom pneumatické konstrukce.(c) Odolnost proti svislému posunutíJedná se vlastně o nadzdvižení objektu. Stejně jako při vodorovném posunutí může jít pouzeo velmi lehké objekty typu pneumatických konstrukcí a dále velmi lehké a provizorní objektys velkými plnými plochami, které vykazují vzhledem k působení větru velký „vztlak“, tj. majítendenci fungovat jako křídlo.

28

30. Rovinné plnostěnné obloukyOblouky se používají v pozemním stavitelství především na konstrukce zastřešení pro velkározpětí (samostatnou kapitolou je použití oblouků v dopravním stavitelství, zejména přikonstrukci mostů). Používají se v podstatě pouze oblouky symetrické podél svislé osy.Stejně jako u přímých prutů, i zde se zavádějí obvyklé vnitřní síly na oddělené části prutu,působící v řezu kolmém ke střednici, obr. 50 .

obr. 50: Rovinný plnostěnný oblouk; základní pojmy

Pojmenování oblouků se liší podle způsobu uložení, případně segmentace. Statickáschemata nejběžnějších oblouků, jejich názvy a stupeň statické neurčitosti jsou uvedeny naobr. 51.

obr. 51: Základní typy oblouků

Charakteristickým pro oblouky je přenos svislého zatížení. Zatímco vodorovný prut přenášísvislé zatížení ohybem a smykem, oblouk tak činí mnohem efektivněji – převážně tlakem.V jistém smyslu se zde projevuje klenbový účinek oblouku. Protože tlak umožňuje plnévyužití materiálu průřezu, jsou oblouky s oblibou používané na konstrukce velkých rozpětí,kde je možné díky plnému využití materiálu dosáhnout relativně malých rozměrů konstrukcea elegantního tvaru. Ze statického hlediska se klenbové působení projevuje vznikemvodorovné složky H podporových reakcí (tzv. oblouková síla), obr. 52. Její velikost má úzkývztah k vzepětí oblouku. Do jaké míry bude oblouk přenášet zatížení pouze tlakem potomzávisí na korespondenci tvaru oblouku a jeho zatížení. Příslušné pojmy si ukážeme na častopoužívaném dvoukloubovém oblouku. Vlivu statického schema si všimneme později.

(a) Tvarování obloukůPřepokládejme pro jednoduchost, že oblouk je zatížený spojitým rovnoměrným zatížením q.Při označení podle obr. 50 tedy vzniknou svislé podporové reakce Ra=Rb=ql/2. Představmesi na okamžik pod obloukem prostý nosník, o stejném rozpětí a stejně zatížený,obr. 53:.Ohybový moment na prostém nosníku v místě x označme M (x), posouvající sílu T (x).Otázkou nyní je, jak vytvarovat střednici tohoto prostého nosníku aby byl pouze tlačený.Jinými slovy, jak stanovit průběh vzepětí po délce nosníku, aby oblouková síla H eliminovala

29

M (x).

obr. 52: Dvoukloubový oblouk a vodorovná síla H; charakter přenosu zatížení obloukem

obr. 53: prostý nosník přidružený oblouku

Podmínka pro stanovení takového vzepětí je zřejmá: ke každému bodu střednice musí dátoblouková síla H až na znaménko stejný ohybový moment, jaký vzniká ve stejném průřezuod daného zatížení na prostém nosníku. Tedy označíme-li f(x) vzepětí střednice obloukuv místě (obr. 52), musí platitH . f(x) = M (x)odkud pro vzepětí dostávámef(x) = M (x) / H.Protože ale je H konstanta, plyne z posledního vztahu závěr, že nutnou podmínkou, abyoblouk nebyl namáhán v celé své délce (od daného zatížení) ohybovými momenty je, že tvarstřednice musí být afinní průběhu ohybových momentů. Tedy jinak řečeno, vzepětí f(x)v každém bodě x musí být k-násobkem M (x) (k je konstanta pro celý oblouk).Z toho plynou pro praktické navrhování dva závěry:• protože u většiny konstrukcí nemůžeme zaručit během jejího trvání v čase neproměnlivé

zatížení (sníh, vítr......), není prakticky možné úplně se vyhnout doplňkovémuohybovému namáhání;

• optimální tvar oblouku je zcela závislý na charakteru zatížení (dáno průběhem M (x)).Proto při konstrukci tvaru oblouků vždy vyjdeme z převažujícího zatížení.

Konkrétně pro případ rovnoměrného zatížení, které dává parabolický průběh M , musí míttedy střednice oblouku tvar paraboly. Pokud nastane nesoulad mezi tvarem střednice askutečným zatížením, bude v místě x namáhán příčný řez ohybovým momentem

30

M(x) = M (x) – H. f(x).

(b) Volba výšky obloukuPředpokládejme nyní, že máme správně zvolený tvar oblouku, afinně ke tvaru průběhuohybových momentů. Ptáme se nyní, jaký vliv na chování oblouků má jejich výška (tedyvlastně konstanta afinity k ). Odpověď dostáváme ihned z výše uvedeného vztahuH . f(x) = M (x).Hodnota na pravé straně rovnice, M (x), je moment na prostém nosníku, nezávislý natvarování oblouku. Aby byla splněna uvedená rovnost, poskytuje součin na pravé straně dvězákladní alternativy:• volit vysoké vzepětí f a pracovat tak s malou hodnotou obloukové síly H, nebo• volit malé vzepětí f a pracovat s vysokou hodnotou obloukové síly H, obr. 54.

obr. 54: Závislost mezi velikostí vzepětí oblouku a velikostí obloukové síly.

Při konstrukci oblouků si této souvislosti „něco za něco“ musíme být pečlivě vědomi. Vysokéoblouky jsou náročnější na spotřebu materiálu, vytvářejí více (drahého) obestavěnéhoprostoru. Ploché oblouky zmíněné nevýhody nemají, zato však kladou velké nároky nazaložení, neboť spolehlivé zachycení vodorovné síly je nákladné a obtížné.(c) Oblouková sílaPro každé statické schema je oblouková síla pochopitelně jiná. Pro první odhad namáháníoblouku se však nedopustíme velké chyby, pokud stanovíme obloukovou sílu z úvahy, žeuprostřed rozpětí musí být moment síly H vzhledem k vrcholu oblouku se vzepětím f rovenohybovému momentu na přidruženém prostém nosníku M. Odtud dostávámeH = M / fJe vidět, že H závisí na vzepětí nepřímo úměrně. To znamená, že pro zmenšující se hodnotyf oblouková síla prudce roste.(d) Tlaková síla v obloukuV libovolném bodě střednice oblouku je možné získat tlakovou normálovou sílu jako součetprůmětů obloukové síly H a posouvající síly T na prostém nosníku do normály příčného řezu.Znamená to, že největší hodnoty normálové síly jsou v blízkosti podpor. To je také jedenz důvodů, proč se oblouky v podporách zesilují.

31

obr. 55: K pojmům oblouková síla H a tlaková síla N

(e) Vliv statického schema obloukuRostoucí stupeň statické neurčitosti jako obvykle zvyšuje tuhost oblouků. Oblouky s vyššímstupněm neurčitosti tedy vykazují (za jinak stejných podmínek) menší přetvoření. Je zdevšak problém velké citlivosti staticky neurčitě uložených oblouků na povolení podpor (tj.mimo jiné pokles obloukové síly) nebo působení nepřímých zatížení (např. teplota). V oboupřípadech jsou do konstrukce oblouku vnášena vynucená přetvoření, která vyvolávají vestaticky neurčitě uložených obloucích velká namáhání. Proto se vesměs volí spíše statickyurčitá uložení, případně oblouky s táhlem - speciálně například v oblasti poddolovanýchúzemí. Dvoukloubové oblouky a vetknuté oblouky se daleko častěji využívají v mostnímstavitelství.(f) Vzpěr obloukůJako jiné štíhlé tlačené konstrukce, i oblouky jsou vystaveny účinkům vzpěru (viz odstavec25, 26). Tejně jako u střešních vazníků proto musíme oblouky stabilizovat, ať už konstrukcístřešního pláště nebo zavětrováním, obr. 56.

obr. 56: Ukázka možností stabilizace oblouků tuhým střešním pláštěm či zavětrováním

(g) Zatížení oblouků osamělými silamiZajímavá je otázka tvaru konstrukce při zatížení osamělou silou. Zatížíme pro jednoduchostkonstrukci jedinou osamělou silou F uprostřed rozpětí, obr. 57.

32

obr. 57: Průběh momentů na prostém nosníku od osamělé síly uprostřed rozpětí; tvarovánístřednice

Vzhledem k tomu, co bylo řečeno výše, je správným tvarem střednice pro osamělou sílulomený nosník s lomem pod silou. Alternativou jsou dva pruty, spojené pod silou kloubem,tedy vlastně trojkloubový oblouk s přímými pruty. Docházíme tak intuitivně k závěru, žezatímco pro spojitá zatížení jsou vhodné hladké křivky oblouků, pro zatížení osamělýmibřemeny jsou vhodnější lomené tvary. Rozvíjením úvahy o kloubově propojených prutechbychom dospěli k prutovým soustavám a jejich tvarové optimalizaci.

31. Zděné klenbyÚvahy o klenbách jsou podobné úvahám o obloucích. Historicky jsou klenby daleko staršínež oblouky. Dnes se v pozemních stavbách používají klenby jen zcela vyjímečně, vesměspouze z důvodů estetických nebo u památkově chráněných staveb. Proto má jejich studiumvýznam pro oblast rekonstrukcí a údržby historických objektů.Zděné klenby byly vytvářeny nejčastěji z kamenů nebo později z kónických cihel. Ve spáráchmezi kusovými stavivy se používala jenom malty. Spáry zděných kleneb tak nejsousamozřejmě schopné přenášet ohybové momenty ani větší hodnoty posouvajících sil. Protoje základní podmínka pro spolehlivou funkci nepřipustit v klenbovém pasu tahová namáhání.Existuje celá řada tvarů kleneb a rovněž literatura, která se statikou kleneb a empirickýmizásadami jejich navrhování zabývá. Protože principy fungování klenby jsou univerzální,dotkneme se pouze nejjednodušších kleneb valených. Běžné názvosloví a označováníveličin klenby je na obr. 58.

ABC čelný oblouk klenbyAB světlost klenbyVC výška (vzepětí) klenbyAD patka klenby zapuštěnáEF patka klenby vyloženáT1 tlouštka klenby ve vrcholuT2 tlouštka klenby v patceN1, N2 nadezdívkaO, O1 osa klenbyZ1, Z2 opěrné zdi klenbyrub spodní plocha klenbylíc horní plocha klenby

obr. 58: Názvosloví klenby

Pro dobrou funkci klenby jsou důležité související vnější podmínky.První z nich je, že klenba potřebuje mít na rubové straně dostatečně tlustý, zhutněný zásyp.Zásyp má dvě důležité funkce:- fixuje polohu (tvar) klenby, čímž přispívá k jejímu zabezpečení proti ztrátě statickéstability (vytváří t.zv. cípové zatížení, které klenbu navíc tlakově „předpíná“);

33

- vytváří „polštář“, který zabezpečuje klenbu proti účinkům osamělých břemen(propíchnutí). Zděné klenby jsou na osamělá břemena citlivé a snadno se prorazí.Druhá důležitá podmínka fungování zděných kleneb je schopnost opěrných konstrukcízachytit vodorovné síly; zatímco u oblouků se přenáší vodorovné síly obvykle rovnou dozákladů, u zděných kleneb jsou to obvykle stěny domů, často ve více podlažích. Problém jecitlivý zejména u krajních stěn, kde se vznikající vodorovná síla nemůže kompenzovat sesilou sousední klenby, obr. 59.

obr. 59: zásyp klenby (cípové zatížení) a kompenzace šikmých sil ve vnitřní zdi

Pokud by totiž došlo k rozevření podporových zdí, současně by došlo i k otevření spár v líciklenby a k následnému zřícení. Krajní zdi proto musejí být dostatečně masivní a tuhé, abyvznikající vodorovné síly zachytily. Často se využívají ocelová táhla, která ve směru rozpětíklenbu stáhnou. Dostáváme tak určitou analogii oblouku s táhlem.Staticky se podmínka správné funkce formuluje tak, že tlaková normálová síla, která jevýslednicí tlakových napětí v příčném řezu klenby, nesmí opustit jádro průřezu (viz článek62). Jádro průřezu je určitá část plochy průřezu klenby. Pokud působí tlaková normálová sílav jádru průřezu, potom (nezávisle na své velikosti) vyvodí v průřezu vždy pouze tlakovénapětí. Jde o oblast v blízkosti neutrálné osy průřezu klenby.Valené klenby se po statické stránce vždy modelují jako vetknuté oblouky. Vyšetřování jejichpůsobení je s výše uvedenými specifiky obdobné jako u oblouků.

32. Jednosměrné lanové systémy(a) Statické působení lana (přímé svislé zatížení)Vyšetřování statického působení lana je založeno na formálně stejné myšlence jako utlačených oblouků. U oblouku je konstruován tvar z požadavku, kdy chceme, abyv libovolném průřezu oblouku byl nulový ohybový moment. U lanových konstrukcí vycházítvar lana z faktu, že v jeho libovolném bodě musí být nezávisle na našem přání nulovýohybový moment. Je to proto, že lano se svým chováním blíží dokonale ohebnému vláknu.

Mějme lano zavěšené ve dvou stejně vysoko položených bodech a, b. Stejně jako u obloukůpřipojíme k lanu pomocný přidružený prostý nosník o stejném rozpětí, stejně zatížený, obr.60 vlevo.

34

obr. 60: Dokonale ohebné vlákno (lano) a prostý nosník přidružený k vláknu; směr osové sílyv lanu.

Vzhledem k dokonalé ohebnosti lana musí mít osová síla S v laně v každém bodě směrtečny ke křivce prohnutého lana, obr. 60 vpravo. Tedy v podporách a, b můžeme rozložitosovou normálovou sílu do vodorovné složky Ha, Hb a do svislé složky Ra, Rb. Z podmínkyrovnováhy ve vodorovném směruHa = Hb = H =konst. (1)a z momentových podmínek k bodům a, b získáme svislé složky Ra, Rb stejně jakopodporové reakce na přidruženém prostém nosníku.Protože v libovolném bodě m lana se souřadnicemi (x, f(x)) se ohybový moment musí rovnatnule, vychází pro vzepětí f(x)f(x) = M(x) / H (2)U oblouků jsme se na základě formálně stejné rovnice rozhodli, že střednici budeme tvarovatpodle průběhu M(x) na přidruženém prostém nosníku. Tím jsme zajistili takové působení, žepři zatížení, které vyvozuje na přidruženém nosníku právě průběh M(x), budou ohybovémomenty v oblouku nulové.U lan nás rovnice (2) informuje, že nezávisle na našem přání lano zaujme tvar daný rovnicí(2), tedy tvar momentové křivky na přidruženém prostém nosníku. Protože se však vnějšízatížení v čase mění, mění se s ním i tvar lana. Proto je nutné lana pro stavební nosnékonstrukce stabilizovat.Amplitudy průhybů závisejí na tom, jak dlouhé lano pro dané rozpětí použijeme. Z obr. 61 jepatrné, že čím delší lano zvolíme a tedy čím větší průvěs lana vznikne, tím menší budevodorovná síla H a naopak, analogicky jako u oblouků. Jedná se v zásadě o geometrickouúlohu; nebudeme se tím dále zabývat.

35

obr. 61: Závislost vodorovné síly H resp. síly v lanu S na délce lana L.

(b) Tvary lanZ výše uvedeného vyplynulo, že tvar lana je určen tvarem obrazce ohybových momentů napřidruženém prostém nosníku. Podstatná je ovšem skutečnost, že toto zatíženípředpokládáme rozložené podél střednice přidruženého nosníku, nikoliv podél zakřivenéstřednice lana. Tedy například pro rovnoměrné spojité zatížení působícím ve vodorovné osex přidruženého nosníku má průhybová křivka tvar kvadratické paraboly.U lan potřebujeme znát jejich tvar kvůli stabilizaci dosti přesně. Je proto třeba si uvědomit, žepokud se zatížení rozděluje rovnoměrně po délce přetvořeného lana, jeho průmět dovodorovné osy na přidruženém nosníku není zatížení rovnoměrné, ale zatížení mírněrostoucí k podporám. Odtud byl odvozen tvar lana, zatíženého rovnoměrně spojitě podélzakřivené střednice (například vlastní tíha lana i s pláštěm). Je to tvar, který rovněž zaujmeřetěz, zavěšený mezi dvěma body. Odtud se odvozuje název příslušné křivky, řetězovky.Křivka se nazývá také pravá neboli těžná řetězovka, obr. 62 vlevo. Tento tvar se používá ipro návrh prizmatických tlačených oblouků resp. skořepin, pokud převládá jejich tíha nadostatními účinky.

obr. 62: pravá řetězovka (vlevo) a vláknový polygon (vpravo).

Je-li lano zatížené osamělými silami, vytvaruje se do tvaru mnohoúhelníka, obr. 62 vpravo,kterému se říká vláknový polygon a je opět afinní tvaru obrazce ohybových momentů(srovnej článek 30 o obloucích, lomené nosníky).

(c) Stabilizace lanJednosměrné lanové systémy se stabilizují vždy na principu předepnutí nosného lana, a to:• těžkým střešním pláštěm (1,5 – 2,0 kN / m2), který se pro větší rozpony předepíná.

Vytváří se vesměs z prefabrikovaných armovaných betonových desek. Doporučenýprůvěs lan 1/15-1/20 rozpětí, obr. 63,

36

• pomocí předepnutého stabilizačního lana v rovině lana nosného; vzájemným propojenímvzniká lanový vazník; podle polohy stabilizačního lana vznikají v propojovacích prvcíchstabilizačního a nosného lana buďto tahy nebo tlaky,obr. 64. Doporučený průvěspředpínacího lana, umístěného dole, je asi 1/20-1/25 rozpětí, doporučené nadvýšenípředpínacího lana umístěného nahoře je asi 1/17 až 1/20 rozpětí,obr. 65.

• pomocí druhé, vesměs ortogonální osnovy lan; jejím předepnutím opět dochází kestabilizaci nosného lana, obr. 66.

obr. 63: Stabilizace jednosměrného lanového systému těžkým střešním pláštěm.

diagonály mezi lany tažené diagonály mezi lany tlačené

obr. 64: Lanové vazníky se stabilizačním lanem dole (vlevo) a nahoře (vpravo); 1 – nosnélano, 2 – stabilizační lano, 3 – spojovací prvky.

obr. 65: Schema konstrukce střechy s lanovými vazníky.

37

obr. 66: Stabilizace jednosměrného lanového systému pomocí druhé ortogonální osnovy lan(lanová síť).

Při osazování lan a lanových vazníků dbáme na vytvoření mírného sklonu od středu plochystřechy kolmo na směr vazníků za účelem dosažení spádu pro odvod dešťových vod.

38

33. Poddajná tělesa – realita chování konstrukčních prvků asystémů

Jak bylo uvedeno výše, první aproximací chování těles ve stavební mechanice je představatuhého tělesa. Avšak ve většině praktických úloh staticko-konstrukční analýzy nám tatopředstava nedostačuje; musíme zavést předpoklad, že tělesa se chovají pod účinky příméhozatížení jako poddajná, tedy že se nějakým způsobem přetvářejí (deformují).Poddajná tělesa se jako model chování skutečných konstrukcí uplatní při řešení dvouzákladních okruhů problémů:● ve statické analýze, kdy je předmětem zkoumání rozložení vnitřních sil v konstrukci.Příkladem jsou řešení staticky neurčitých prutových konstrukcí, řešení plošných konstrukcí(desky, stěny, skořepiny), řešení otázek statické stability, řešení konstrukcí na pružnémpodkladu, otázky kroucení. To vše jsou skupiny úloh, kde musíme při určování vnitřních silpracovat s předpokladem poddajného tělesa;● při dimenzování konstrukcí, kdy musíme navrhnout konkrétní materiály, rozměry prvků adalší technologické a výrobní parametry (podle druhu materiálu a podmínek stavby). Vnitřnísíly obecně jsou výslednicemi vnitřního namáhání materiálů, vztažené k nějaké plošeprůřezu. Nic však neříkají o tom, jakým způsobem je vnitřní namáhání po této plošerozloženo (například jaké namáhání způsobuje ohybový moment). Právě rozložení namáhánípo ploše průřezu je však základní podmínkou návrhu, neboť nám umožňuje ujistit se, žepevnost navrženého materiálu nebude v daném místě konstrukce překročená.Pojem poddajnost tedy označuje takového chování, kdy působení přímého zatížení zákonitěvyvolá v tělese určitá přetvoření. Tato zákonitost má pro mechaniku poddajných těleszákladní význam a věnujeme ji následující odstavec.

34. Pracovní diagramyVložme do lisu zkušební těleso, například hranol o ploše příčného řezu A a délce L. Tělesonyní namáhejme tlakovou nebo tahovou silou F, kterou nechme růst od nuly až do hodnoty,kdy dojde k porušení zkušebního tělesa. Současně s velikostí rostoucí síly měříme idélkovou deformaci ∆L (zkrácení nebo prodloužení) délky zkušebního tělesa. Výsledekgraficky znázorníme tak, že na vodorovnou osu vynášíme (okamžitou) velikost délkovédeformace ∆L a na svislou osu (okamžitou) hodnotu síly F, která tuto deformaci vyvolala,obr. 67.

obr. 67: Způsob měření pracovního diagramu zkušebního tělesa na lisu; grafické zobrazení

Získaná závislost se nazývá pracovní diagram zkušebního tělesa. Ihned je vidět, že až dourčité mezní hodnoty délkové deformace ∆L max existuje ke každé velikosti ∆L právě jednahodnota síly F. Jde tedy o funkční závislost, která experimentálně potvrzuje, že přetvoření

39

konstrukce má vždy za následek určité namáhání materiálu a naopak.Uvedený diagram má pro praktické použití jednu nevýhodu, která spočívá v tom, že sevztahuje ke konkrétním rozměrům zkušebního tělesa a konkrétní hodnotě síly. Jinými slovy,potřebujeme z vyhodnocení experimentu odstranit konkrétní rozměry zkušebního tělesa(rozměry příčného řezu a délku) a absolutní hodnotu síly F. Toho dosáhneme snadno tím, žemísto absolutních veličin síly a délkové deformace budeme pracovat s veličinami relativními,tedy poměrnou silou (síla vztažená na plochu příčného řezu) a poměrnou deformací (celkovádeformace vztažená k délce zkušebního tělesa). Tyto pojmy jsou podrobně popsányv článcích 42, 43 a dále.Tímto způsobem se přirozeným postupem zavádějí do mechaniky poddajných těles dvazcela základní, výchozí pojmy - napětí a poměrná deformace (někdy též nazývaná relativnídeformace), obr. 68.

obr. 68: K zavedení pojmu napětí a relativní deformace

Místo síly F (N) tedy pracujeme s napětím σ (N/m2=Pa), které stanovujeme ze vztahuσ = F / A.Napětí je tedy poměrná veličina (měrná síla), udávající velikost síly na jednotku plochy.Místo se změnou délky vzorku ∆L (m) pak pracujeme s poměrnou deformací ε, kterou zdestanovujeme ze vztahuε = ∆L / LPoměrná deformace je tedy bezrozměrná veličina, udávající změnu délky (zkrácení,protažení) zkušebního tělesa jednotkové délky. Občas se udává v %, což je hodnota εnásobená stem. Hodnotu ε lze pak interpretovat jako změnu délky prvku délky 1 m udanouv centimetrech.Zavedením pojmu napětí a poměrná deformace se výsledek měření zbavuje závislosti nakonkrétním uspořádání experimentu a výsledky takto transformovaných naměřených hodnotpak poskytují skutečné materiálové charakteristiky.

35. Chování skutečných materiálůZ pracovního diagramu lze vyčíst, jak se skutečné materiály budou chovat při postupnémzvyšování velikosti napětí. Obrázek obr. 69 ukazuje pracovní diagramy některých běžnýchstaviv. Tyto diagramy jsou nejdůležitější informací o materiálech z hlediska jejichmechanických vlastností a jsou základem tvorby předpisů pro navrhování a dimenzováníkonstrukcí.(a) PružnostPři měření pracovních diagramů můžeme pozorovat, že při zatížení až do určité hladinynapětí σE se materiály po odtížení vrátí do stavu nulové deformace. Tomuto typu chováníříkáme pružné.

40

OCELI BETONY JEHLIČ. DŘEVO

obr. 69: Pracovní diagramy běžných konstrukčních ocelí, betonů a jehličnatého dřeva.Diagramy nejsou vyneseny ve stejném měřítku, poněvadž rozdíly v absolutních hodnotáchjsou příliš velké.

(b) PlasticitaExperimenty ukazují, že u většiny materiálů závisí jejich chování při odtížení na tom, při jakéhodnotě σ odlehčování začne. Při nízkých hodnotách σ se materiál vrátí do původního stavu,tedy má po odlehčení nulovou deformaci, chová se pružně. Při vyšších hodnotách σ semateriál po úplném odlehčení nevrátí do původního stavu, část deformace si „pamatuje“,obr.70 vlevo. Jako konstruktéři nechceme, aby se v materiálu a tedy i ve stavebním prvku čikonstrukci přetvoření kumulovala (řada zatížení působí nárazově,opakovaně, cyklicky), obr.70 vpravo.

obr. 70: Princip vzniku plastické deformace εp (vlevo) a její kumulace v důsledkuopakovaného namáhání (vpravo).

Proto musíme návrhem zajistit pouze takové hladiny namáhání, které „paměťový efekt“vyloučí. Ve stavebních předpisech a normách se tento požadavek promítá do hodnotdovolených namáhání materiálů. Pokud tato dovolená namáhání porovnáme se skutečnýmipevnostmi, zjistíme, že pevnosti jsou obvykle 1,5 až 2,5 krát vyšší než dovolená namáhání(záleží na konkrétním materiálu a dalších zpřesňujících podmínkách expozice stavby).Rozsah přetvoření, v němž se materiál vrací do původního stavu bez trvalé deformace, senazývá pružná oblast a potom říkáme, že je materiál (na dané oblasti) pružný. Nad pružnouoblastí potom rozeznáváme oblast pružno-plastickou (materiál se vrací jen částečně) akonečně oblast plastickou (materiál si ponechá všechny deformace). Analogicky pak materiálnazýváme pružno-plastický nebo plastický.Plasticity se využívá zejména při dimenzování železobetonových prvků, kde se pružno-plastické chování betonu připouští, článek 67. Výsledné konstrukce vycházejí (v porovnánís návrhem za předpokladu pouze pružného chování betonu) subtilnější a tedy lacinější.

41

(c) ReologieAž doposud jsme se nezabývali úvahou o tom, jak se materiály chovají, pokud na něnecháme působit zatížení dlouhodobě. Jedná se o poměrně komplikovanou otázku.Omezme se pouze na konstatování, že prakticky všechny konstrukční materiály přidlouhodobém zatížení „tečou“, tj. při konstantním zatížení zvětšují v čase svá přetvoření.Tečení se po určité době (měsíce, roky) zastaví a takto v čase získaná přetvoření jsouvíceméně nevratná, trvalá. V tomto smyslu se tedy přičítají k deformacím plastickým. Tatovlastnost se významně týká betonových a železobetonových konstrukcí, obr. 71. Prokonstrukce z předpjatého betonu je dokonce společně s plasticitou podstatným faktorem pronávrh (ztráty předpětí). Významné tečení v čase se vyskytuje rovněž u konstrukcí z plastů.Podstatně méně „tečou“ konstrukce ocelové, dřevěné a zděné. Pro tečení se často používátermín dotvarování nebo anglický termín creep.

obr. 71: Dotvarování sloupu, zatíženého konstantní silou F. Dotvarování betonu je tím menší,čím později je zatížený (diagram vpravo).

Prakticky to znamená, že zejména u konstrukcí na velká rozpětí (vazníky, oblouky, mostnínosníky ap.) musíme s tečením počítat a konstrukcím dát určité nadvýšení (vzepětí), tj.vyklenutí spodního líce a vytvořit tak tvarovou rezervu pro budoucí nevratné deformace. Taku vazníků musí nadvýšení kompenzovat jak průhyby okamžité, tak i v důsledku tečení.Nadměrně prohnuté podhledy zejména u konstrukcí zastřešení na velká rozpětí nepůsobídobře.Podobné časově závislé chování se vyskytuje rovněž u základových půd: základ, zatíženýv čase víceméně konstantním zatížením, dlouhodobě sedá (většinou i několik let), obr. 72.Takové sedání se nazývá konsolidační sedání a je typickým projevem soudržných zemin.

obr. 72: Sedání zemin v čase; konsolidační (creepové) sedání.

36. Materiály homogenní a izotropníZ hlediska mikrostruktury je velká většina stavebních materiálů kompozitem, složeným

42

materiálem. Z mechanického hlediska si však především všímáme skutečnosti, zdav měřítcích (rozměrech) konstrukcí, která se běžně vyskytují, můžeme materiálu přisouditurčité mechanické vlastnosti (pochopitelně s určitým statistickým rozptylem hodnot). Nazákladě tohoto kritéria potom rozlišujeme dvě velké skupiny materiálů:

a) materiály homogenní, což označuje skupinu materiálů, které mají v měřítkupotřebném pro stavitelství v libovolném místě svého objemu stejnou strukturu(ocel, beton, dřevo, zdivo).

b) materiály izotropní, což označuje skupinu materiálů, které mají v libovolném místěsvého objemu ve všech směrech stejné mechanické vlastnosti (zejménacharakteristiky pevnosti a pružnosti). Izotropním materiálem je ocel a v měřítkustavebním rovněž beton. V žádném případě to však není dřevo ani zdivo.

Materiály, které se do těchto skupin nehodí, označujeme většinou jako anizotropní resp. jakokompozity. Typickým kompozitem z pohledu stavitelství je železový beton.

37. Materiál lineárně pružný, Hookeův zákonPro potřeby statické analýzy konstrukcí se musí chování materiálů idealizovat tak, aby byloco nejjednodušší a současně přijatelně aproximovalo chování skutečné. Z grafů na obr. 69 jepatrné, že takovou aproximací je lineární vztah mezi napětím a poměrnou deformací, obr.obr. 73.

obr. 73: Lineární závislost poměrné deformace a napětí

Materiál nazveme lineárně pružný. Ihned je ovšem zřejmé, že k předpokladu lineárnípružnosti musíme připojit i maximální povolené hodnoty napětí nebo poměrné deformace, přikterých zůstává předpoklad lineární pružnosti v platnosti. Hodnoty se pochopitelně měnípodle volby konkrétního materiálu. Předpoklad lineární pružnosti umožňuje zapsat vztahveličin σ a ε ve tvaru lineární závislostiσ = E. ε nebo formálně upraveno ε = σ / E,kde konstanta přímé úměrnosti E se nazývá modul pružnosti materiálu. Vztah samotný senazývá Hookeův zákon a je fundamentálním zákonem významné části mechanikypoddajných těles, lineární teorie pružnosti.Z Hookeova zákona plyne, že jelikož ε je bezrozměrná veličina, musí být modul pružnostivyjádřen ve stejných jednotkách jako napětí, tedy v Pascalech.V praxi se používá veličinamilionkrát větší, tedy MPa = N/mm2. Hodnoty modulů pružnosti jsou pro rozličné materiályuvedeny v Tabulce materiálových vlastností, viz Příloha........Z vyjádření konstanty E pomocí hodnot napětí a deformace E=σ/ε je patrné, že geometrickylze na E nazírat jako na směrnici ostrého úhlu α přímkové části pracovního diagramu a osyrelativní deformace, tj. E = tg α. Sklon přímkové části pracovního diagramu nás tak informujeo tom, jak citlivě reaguje materiál na zatížení svým přetvořením. Čím menší sklon (tedy E),tím „měkčí“, poddajnější je daný materiál. Čím vyšší je sklon (tedy E), tím méně se materiálpři daném zatížení deformuje, tím je „tužší“.Modul pružnosti je první charakteristikou tuhosti, a sice charakteristikou tuhosti materiáluv osovém namáhání.

43

38. Jednoduché důsledky Hookeova zákona; kombinacemateriálů

Modul pružnosti má základní význam při výpočtech přetvoření konstrukcí (samozřejmě vmezích lineárně pružného chování). Napišme rovnici Hookeova zákona ve tvaruε = σ / E.Z vysvětlení pojmu pracovní diagram (článek 34) plyne, že relativní deformace ε je odrazemskutečného přetvoření konstrukce (prodloužení, zkrácení, průhyb a podobně), symbolicky jejoznačme [u]. Stejně tak je patrné, že napětí σ je odrazem skutečného namáhání a tedy izatížení konstrukce (tíhou, větrem….), symbolicky jej označme [F]. Předchozí rovnici potommůžeme chápat jako symbolický zápis vztahu mezi přetvořením konstrukce a jejímzatížením. Jestliže je konstrukce celá zhotovena z jednoho materiálu, potom[u] = [F] / E.Tento poznatek je podstatný: znamená, že přetvoření konstrukce je nepřímo úměrnévelikosti modulu pružnosti. Použijeme-li na konstrukci o jinak stejných rozměrech 10 x tužšímateriál (např. namísto betonu ocel), bude mít při stejném zatížení 10 x menší přetvoření.Ukažme si dva jednoduché, prakticky často využívané konstrukční důsledky.

Rozměrově stejné prvky z různých materiálůMějme v konstrukci rozměrově identické prvky, např. stropní nosníky z různých materiálů,které jsou stejně zatížené. Z předchozího je zřejmé, že jejich přetvoření (průhyby) budoupřesně v poměru převrácených hodnot modulů pružnosti. Nosník s největším E bude mítprůhyb nejmenší, nosník s nejmenším E bude mít průhyb největší, obr. 74.

obr. 74: Vliv modulu pružnosti na velikost přetvoření: je-li E1 : E2 : E3 = 1 : 2 : 5, potom proprůhyby v platí v1 : v2 : v3 = 1 : 1/2 : 1/5

Mějme stejnou situaci jako v předchozím případě, ale všechny nosníky vzájemně spojímetak, aby musely mít stejné přetvoření (průhyb). Potom nosník s největším E ponese největšíčást celkového zatížení, nosník s nejmenším E pak nejmenší část celkového zatížení.Společné namáhání se „stěhuje“ do nejtužšího prvku.

obr. 75: Rozdělení zatížení na identické prvky se stejným přetvořením. Je-li li E1 : E2 : E3 = 1

44

: 2 : 5, potom se zatížení F rozdělí na jednotlivé prvky v poměru 1/8 : 2/8 : 5/8.

39. Princip superpoziceJde o zdánlivě jednoduchý předpoklad, který však vede k velkému zjednodušení výpočtů aúvah a který často používáme nevědomky. Je užitečné jej proto vyslovit a ujasnit si, že platíza předpokladu, že• materiál prvků (konstrukce) je lineárně pružný,• pohybujeme se v oblasti malých deformací.Princip superpozice pak říká, že účinky současného působení více různých zatížení lzevyšetřovat tak, že můžeme nejprve vyšetřit účinky každého zatížení zvlášť a potomjednotlivé výsledné stavy sečíst, obr. 76. Výslednými stavy se rozumí stavy přetvoření anapjatosti. Při sčítání účinků zatížení přitom nezáleží na pořadí sčítání. Součet je v obecnémpřípadě vektorový. Stojí za povšimnutí, že jedině díky platnosti tohoto principu můžemeprovádět například zjednodušení analýzy prostorové konstrukce rozkladem na rovinnésubkonstrukce, viz článek 7.

obr. 76: Princip superpozice - ilustrace

40. Přetvoření prvků a konstrukcí vlivem přímého zatíženíJak již bylo konstatováno, pro určení namáhání materiálu „uvnitř“ prvků a konstrukcí musímevyjít z představy, že se jedná o poddajná tělesa – tedy že se vlivem přímého zatíženínějakým způsobem přetvářejí.Z tahové resp. tlakové zkoušky materiálu (pracovní diagramy) víme, že namáhání materiáluvzniká jako zákonitý důsledek jeho deformace. Docházíme tedy k závěru, že pokud sekonstrukce nebo její část v prostoru pouze přemístí jako tuhé těleso, aniž při tom změníjakkoli tvar, žádné namáhání v ní nevznikne, obr. 77 vlevo. Toto přemístění budeme dáleoznačovat jako posunutí. Pokud se ale konstrukce nebo její část v prostoru přemístí tak, žejakýmkoliv způsobem svůj tvar změní, potom v ní zákonitě namáhání vzniká, obr. 77 vpravo.Toto přemístění budeme dále označovat jako deformaci nebo také přetvoření.

obr. 77: Ilustrace pojmů posunutí a přetvoření.

Můžeme také říci, že namáhání uvnitř prvků vzniká jako důsledek změny jejich vnitřnígeometrie (změna vzdáleností dvou bodů resp. změna úhlu dvou různoběžných přímekv tělese).

45

41. Způsob označování geometrických a silových veličinPřed vlastním rozborem přetvoření a namáhání těles je užitečné zavést jednotný způsobznačení zaváděných veličin jakož i jejich znázornění z hlediska kladných smyslů v použitémsouřadnicovém systému. Provedeme to na tomto místě. Význam jednotlivých veličin budepostupně objasňován v dalším textu.(a) Souřadnicový systémPopis chování těles budeme provádět v kartézské souřadnicové soustavě se souřadnicovýmiosami x, y, z, která je pravotočivá (pravidlo pravé ruky). Schema na obr. 78.(b) Přímé zatíženíPřímé zatížení je kladné ve směru souřadnicových os x,y,z a značíme jej Fx, Fy, Fz (osamělésíly) resp. px, py, pz , (plošná zatížení), obr. 78.(c) Posunutí bodů v poddajném tělesePosunutí ve směru souřadnicových os x, y, z budeme značit u, v, w. Obecně jsou posunutífunkcí souřadnic bodu v prostoru, tj. např. u=u(x,y,z). Kladné ve směru kladnýchsouřadnicových os, obr. 78.

obr. 78: Konvence pro souřadnicový systém, přímé zatížení a posunutí bodů v tělese.

(d) Relativní deformace v poddajném těleseRozeznáváme tři délkové relativní deformace εx, εy , εz ve směru souřadnicových os x, y, za tři úhlové deformace γyz, γyx, γxy, obr. 79. Úhlová deformace γyz se měří v rovináchrovnoběžných s rovinou x=0 (rovina obsahující osy y, z) a obdobně úhlové deformace γzx, γxyse měří v rovinách rovnoběžných s y=0 resp. z=0. Obecně jsou délkové i úhlové deformacefunkcí souřadnic bodu v prostoru, tj. např. εx = εx (x,y,z).

obr. 79: K pojmu relativní deformace v poddajném tělese

(e) Napětí v poddajných tělesechRozeznáváme tři normálová napětí σx, σy, σz ve směru souřadnicových os x, y, z a třitangenciální (smyková) napětí τyz, τyx, τxy, obr. 80. Tangenciální napětí τxy působí na ploškách

46

v rovinách rovnoběžných s rovinou x=0 (rovina obsahující osy y, z) ve směru osy y. Obdobněnapětí τyz, τzx působí v rovinách rovnoběžných s y=0 resp. z=0 a působí směrem osy z resp.osy x. Obecně jsou normálová i tangenciální napětí funkcí souřadnic bodu v prostoru, tj.např. σx = σx (x,y,z).

obr. 80: K pojmu napětí v poddajném tělese.

(f) Prutové prvků příméPrutové prvky přímé mají vždy střednici ztotožněnou s osou x. Běžně se umisťuje levý konecprutu do počátku souřadnic. Užívaná orientace zbývajících os y, z je patrná z obr. 81. Jednáse stále o pravotočivou soustavu. Osy y, z běžně ztotožňujeme s hlavními centrálními osamisetrvačnosti průřezu.

obr. 81: Označení a kladné smysly zatížení, vnitřních sil (vlevo) a momentů (vpravo) na prutu

(g) Zatížení přímých prutových prvkůZatížení přímé, procházející střednicí, je vždy možné rozložit do rovin procházejícíchhlavními centrálními osami setrvačnosti a střednicí (těžišťovou osou), tedy do rovin y=0 resp.z=0. Spojitá liniová zatížení qy, qz působí kolmo ke střednici, kladný smysl mají ve směrukladných os y, z. Spojité osové namáhání qx působí (kladně) ve směru osy +x. Případnéosamělé síly Fx, Fy, Fz jsou kladné ve stejném smyslu jako zatížení q. Konečně, kladnésmysly ohybových momentů My , Mz a kladný smysl kroutícího momentu Mx jsou patrnéz obr. 81. Kladný smysl plyne z požadavku stejného smyslu momentů a odpovídajícíchsouřadnicových os.(h) Vnitřní síly prutových prvkůJak bylo uvedeno dříve (článek 21), záleží zde na tom, zda zkoumáme vnitřní síly na odsekukonstrukce zprava (pohled proti směru osy +x) nebo zleva (pohled po směru osy +x).Znaménková konvence při postupu zprava je zakreslena opět na obr. 81. Při postupu zlevamají všechny vnitřní síly opačný smysl, což je důsledek zákona akce a reakce.

47

(i) Napětí na prutových prvcíchPro napětí platí znaménková konvence stejná jako pro poddajná tělesa, obr. 81.

42. Přetvoření poddajných těles (2D)V souladu s obr. 77 pokryjme povrch jakékoliv tělesa před jeho zatížením pomyslnouortogonální sítí. Po vložení zatížení můžeme pozorovat změny tvaru jednotlivých buněk sítě.Rozborem zkoušek se ukázalo, že buňka sítě může vykázat tři základní stavy, (srovnej obr.79):• buňka nezmění svůj původní tvar,• buňka změní tvar, dochází k jejím délkovým změnám (prodloužení, zkrácení),• buňka změní tvar, dochází k jejím úhlovým změnám (nakosení).V souladu s logikou pracovního diagramu můžeme usuzovat, že v prvním případě v buňcenamáhání nevzniká, zatímco ve druhých dvou případech ano.To je také základem popisu obecné deformace v tělesa. Abychom mohli sledovat deformaci„spojitě“, kdekoliv ve stavebním prvku, „zjemňujeme“ ještě popis poměrné (relativní)deformace oproti způsobu použitém v článku 34. Rozdíl v zavedení oproti čl. 34 spočíváv tom, že jako vztažnou délku nyní nevolíme příslušný rozměr celého tělesa, nýbrž pouzejeho velmi malou část. Zkušební těleso tak má tvar kvádru s (teoreticky nekonečně malými,infinitezimálními) rozměry dx, dy, dz. Vyšetřuje se na něm jednak poměrná délkovádeformace ε, jednak poměrná úhlová deformace γ.(a) poměrné délkové deformaceVe 2D tělese může nastat délková deformace ve dvou směrech, podélně a příčně. Zcelav souladu se zavedením poměrné deformace v článku 34 o pracovním diagramu tedydefinujeme poměrné deformace εx, εy ve dvou vzájemně kolmých směrech x,y. Jestliže sebuňka o délkách stran dx, dy zdeformuje (protáhne nebo zkrátí) o hodnotu du (ve směru osyx) resp. o hodnotu dv (ve směru osy y), platí pro relativní deformace vztahy (obr. 82)εx = ∂u/ ∂x resp. εy = ∂v/ ∂y. (1)Je patrné, že pokud jde o prodloužení, má relativní deformace znaménko + , pokud jde ozkrácení, má relativní deformace znaménko -.(b) úhlové deformaceV rámci zkoumané obdélníkové buňky o stranách dx, dy dojde při nakosení ke změně tvaruna kosodélník. Pravý úhel se tak změní o hodnotu γxy (obr. 82), která se stanoví ze vztahuγxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x (2)Přitom, protože úhel γ je velmi malý, využíváme přibližného vztahu tg γ = γ.

obr. 82: Geometrické vztahy pro odvození relativních deformací εx = ∂u/ ∂x a γxy = ∂u/∂y +∂v/∂x v poddajném tělese

(c) Poissonův součinitel příčné kontrakce µPři délkové deformaci buňky dochází i ke změně rozměru kolmo na směr délkové

48

deformace: protahuje-li se buňka v jednom směru, musí se ve směru kolmém „zeštíhlit“.Zkracuje-li se buňka v jednom směru, musí se naopak ve směru příčném rozšířit. Mírupříčného zeštíhlení resp. rozšíření vystihuje v pořadí druhá materiálová konstanta zvanáPoissonův součinitel příčné kontrakce µ. Platí (obr. 68)µ= ∆d / LPoissonovův součinitel vystihuje přirozenou skutečnost, že běžný materiál se při deformacinechová jako dokonale stlačitelný (zhruba jako plyn, µ=0), ale ani jako dokonale nestlačitelný(zhruba jako kapalina, µ=1/2). Pevné materiály se snaží alespoň částečně při deformacizachovat svůj objem. Pouze část deformace absorbují změnou svého objemu. Pro materiálystavební praxe bývá µ ≤ 0,33 (ocel). Beton má µ obvykle okolo hodnoty 0,15.V obecném případě je tedy přetvoření elementární buňky ve 2D charakterizována třemirůznými deformacemi: délkovými poměrnými deformacemi εx, εy a úhlovou deformací γxy.Přetvoření 2D tělesa jako celku je potom dáno dvěma funkcemi posunutí u, v. Ty jsous poměrnými deformacemi svázány vztahy (1), (2). To naznačuje složitost vyšetřovánípřetvoření v obecném 2D případě.Poznamenejme ještě, že obecně ve 3D poddajném tělese vyšetřujeme přetvoření natrojrozměrné buňce, tj. geometricky kvádru. Zde potom rozlišujeme tři délkové deformace vesměru os x,y,z a dále tři úhlové deformace (na dvojicích paralelních stěn kvádru). V prostoruje tedy deformace tělesa v bodě charakterizována šesti hodnotami deformací. Přetvořenítělesa jako celku je potom dáno třemi funkcemi posunutí u, v, w. Obecně jde o velmi složitouúlohu.

43. Napětí v poddajných tělesechPojem napětí jsme zavedli v článku 34, v úvahách o pracovních diagramech. V tomto smysluje pojmu napětí ekvivalentní výraz „poměrné zatížení“. Charakter působení napětí je všakv poddajných tělesech složitější. Proto si jej poněkud více přiblížíme.Napětí je z hlediska fyzikálních jednotek, v nichž se vyjadřuje, shodné s pojmem tlakuv kapalinách, plynech nebo s pojmem plošného zatížení. Tyto veličiny (tlak v tekutinách resp.plošné zatížení) se definují jako podíl síly a plochy, na kterou síla působí. Existuje však jedenzásadní rozdíl mezi výše zmíněnými veličinami na straně jedné a napětími v pevných látkáchna straně druhé. V plynech a kapalinách se tlaky šíří všemi směry a působí vždy kolmo nalibovolně orientovanou plochu; plošné zatížení má směr tíže – obecně lze říci, že tyto veličinymají vektorovou povahu a předem známe směr a smysl jejich působení, obr. 83.

obr. 83: Vektorová povaha působení tlaků na plochu v kapalinách a plynech; vektorovápovaha plošného zatížení.

V pevných látkách je tomu však jinak. Existuje zde takzvaná smyková pevnost materiálu,díky níž mají pevná tělesa schopnost roznášet namáhání nejen ve směru působícíhozatížení, ale i kolmo k tomuto směru. Projevuje se tím tak zvaná smyková pevnost, což jeschopnost materiálu vzdorovat snahám o paralelní posuvy sousedících vrstviček obr. 84. Jejedním z projevů soudržnosti materiálu, typickým pro pevné látky.

49

obr. 84: Schematické znázornění smykové pevnosti pevných látek

Soudržnost má svůj původ v mezimolekulárních silách. Jedině díky smykové pevnosti mohoufungovat příčně zatížené nosníky, namáhané posouvající silou (obr. 85a) či smykověnamáhané spojovací prvky (např. nýty, šrouby, kolíky), obr. 85b. Jedině díky existencismykové pevnosti se u základů na přenosu zatížení podílí nejen zemina pod kontaktníspárou základu, ale také zemina v okolí základu (smykový roznos), obr. 85c. Smykovápevnost materiálu je nás opravňuje zavést do úvah další druh napětí, a sice napětípůsobícího v tečných rovinách namáhaných ploch. Toto napětí se nazývá tangenciální(někdy též smykové), obr. 85d.

obr. 85: Zásadní význam smykové pevnosti pro fungování stavebních konstrukcí. Existencetangenciálního (smykového) napětí.

Existence smykového roznosu činí vyšetřování napětí a přetvoření v poddajných tělesechpodstatně obtížnějším, než je tomu v plynech nebo v kapalinách.

50

44. Zavedení pojmu napětí v pevných tělesechObecně musíme napětí v poddajných tělesech vyšetřovat pomocí následující úvahy.Vezměme v tělese malou plošku o velikosti ∆S; směr k ní kolmý n se nazývá normálový asměr k normále kolmý t se nazývá tangenciální (je jich nekonečně mnoho, vyplňují tečnourovinu k plošce-každý tečný směr je kolmý ke směru normálovému), obr. 86a. Vlivemsmykového roznosu má u pevných těles síla ∆F, působící na plošku ∆S, má obecný směr r,který není kolmý k plošce, obr. 86b.

obr. 86: K zavedení pojmu napětí v pevném tělese

Proto sílu ∆F rozkládáme do dvou směrů: do směru normály n a tečny t podle pravidla orovnoběžníku sil. Složka síly ∆Fn rovnoběžná s normálou se nazývá normálová složka,složka síly ∆Ft rovnoběžná s tečnou se nazývá tečná složka, obr. 86b. Protože zvolenáploška ∆S je malá, nedopustíme se velké chyby, pokud složky ∆Fn , ∆Ft na plošku ∆Srovnoměrně „rozprostřeme“. Získáme tak definiční vztahy pro stanovení napětí. Tak pronapětí působící kolmo k plošce ∆S zavádíme název normálové napětí σnσn = ∆Fn / ∆S (N/m2)a obdobně pro napětí působící v tečně k plošce ∆S zavádíme název tangenciální napětí ττn = ∆Ft / ∆S (N/m2).Graficky je napětí σn znázorněno na obr. 86c, napětí τn na obr. 86d. Index n u symbolůnapětí σn, τn znamená, že se vztahují na plošku, jejíž poloha v prostoru je charakterizovanásvou normálou n a prochází daným bodem c.Je tím zdůrazněna skutečnost, že ve stejném bodě, pokud se změní poloha plošky (např.charakterizovanou normálou n´), potom se změní i hodnoty σn, τn.Stejně jako u poměrné deformace, i v případě napětí můžeme konstatovat, že napětí jsouměrné veličiny, která vlastně udávají velikost (normálové nebo tangenciální) síly na jednotkuorientované plochy. Jejich podstatnou předností je, že nejsou závislé na rozměrechkonkrétního prvku. Stávají se tak vlastně společně s polohou a orientací uvažované ploškycharakteristikami stavu napjatosti materiálu, nikoliv celého prvku. Vytvářejí tím přirozené„partnery“ poměrným deformacím.

45. Popis namáhání poddajného tělesa (2D)Samotná napětí se používají k popisu namáhání tehdy, pokud není k dispozici jednoduššímodel. Použijí se u 2D konstrukcí (např. stěny, membrány), složitých prostorových prvků, uřešení staticky exponovaných prostorových uspořádání a podobně, obr. 87.

51

obr. 87: Ukázky případů složitého namáhání, kdy musíme požít podrobný výpočet.

Důvody, proč se použití napětí pro popis namáhání konstrukcí vyhýbáme, jsou prosté. Najedné straně je sám výpočet obecné napjatosti pracný a komplikovaný. Na druhé straněnám poskytuje až příliš podrobnou informaci, kterou nejsme schopní v rámci rozboru celékonstrukce vnímat a posuzování samo je tak obvykle méně průhledné a těžkopádné.(a) Popis napětí ve 2DVraťme se nyní k úvaze o přetvoření buněk z článku 42. Vzhledem k existenci smykovéhoroznosu (článek 43) můžeme očekávat, že ve 2D tělese budou existovat dva druhy napětí,obr. 88:• normálová napětí, která působí kolmo na stěny buňky a mají směry os x a y. Značíme je

potom σx a σy. Tato napětí jsou odpovědná protažení resp. zkrácení buňky přizachování pravých úhlů buňky. Napětí korespondují s poměrnými deformacemi εx, εy .

• Tangenciální (smyková) napětí, která působí v rovinách stěn buňky a opět tedy majísměry os x a y. Značíme je τxy. Tato napětí jsou odpovědná za zkosení (změnu pravýchúhlů) buňky. Korespondují s úhlovou deformací γxy.

obr. 88: Druhy napětí ve 2D.

V obecném případě je tedy namáhání (napjatost) elementární buňky ve 2Dcharakterizována třemi různými napětími: normálovými napětími σx, σy a tangenciálnímnapětím τxy. Tím je ukázána již avizovaná skutečnost, že napjatost ve 2D tělese(charakterizovaná třemi hodnotami napětí) je složitější, než napjatost v plynech či kapalinách(charakterizovaná jedinou hodnotou napětí resp. tlaku).

(b) Věta o vzájemnosti tangenciálních napětí ve 2DPro pochopení specifického charakteru smykového napětí je užitečné ukázat jeho jednu

52

důležitou vlastnost. Vezměme buňku sítě dvourozměrného tělesa. Je-li konstrukcev rovnováze, je jakákoliv její část v rovnováze. To musí pochopitelně platit i pro zvolenoubuňku. Zkoumejme momentovou podmínku rovnováhy buňky o velikosti stran dx, dy (klibovolnému bodu, s výhodou však volíme levý dolní roh buňky). Vychází (obr. 88 vpravo)τxy . dy . dx - τyx . dx . dy = 0takže po úpravě τxy = τyx.To je důležitá věta o vzájemnosti tangenciálních napětí. Tato věta říká, že tangenciálnínapětí ve vzájemně kolmých směrech v daném bodě poddajného tělesa jsou si rovna asměřují buďto obě současně ke hraně buňky nebo obě současně od hrany buňky, obr. 88vpravo).Z toho důvodu se také v případě rozboru 2D napjatosti píše symbol tangenciálního napětíbez indexů.(c) Popis napětí ve 3DVe 3D poddajném tělese vyšetřujeme napjatost na trojrozměrné buňce, tj. geometrickykvádru. Zde potom rozlišujeme tři normálová napětí ve směru os x,y,z a dále tři tangenciálnínapětí (na dvojicích paralelních stěn kvádru). V prostoru je tedy napjatost těles v boděcharakterizována šesti hodnotami napětí.

Jak již bylo konstatováno, napětí se zásadně musí používat při dimenzování prvků, kdystanovujeme jejich rozměry, tvar a podobně. Další důležitou oblastí, kde se bez pojmu napětínemůžeme obejít, je posuzování porušení materiálu – například možnosti vzniku trhlin azpůsobu jejich šíření.

46. Porušení materiálu; hlavní napětíRůzné materiály jsou rozdílně citlivé na různé druhy namáhání. Zatímco některé materiály senejsnadněji poruší vlivem tahu, jiné zase vlivem tlaku, další působením smyku. Tentoproblém může být dosti komplikovaný u obecné 2D nebo 3D napjatosti, kdy na buňkumateriálu působí současně tři (2D) resp. šest (3D) různých napětí v libovolných poměrechvelikostí. Dále budeme problém vysvětlovat na 2D úloze, která je zdaleka nejběžnější. 3Dúloha je technickým rozšířením stejného principu.V článku 43, 44 bylo ukázáno, že napětí na libovolně zvolenou plošku v tělese působí podobecným úhlem, tedy nikoliv kolmo. V teorii pružnosti se dokazuje, že pokud budemezvolenou ploškou v prostoru otáčet, nalezneme polohu, kdy tangenciální napětí zcela vymizía zůstane pouze napětí normálové. To má pak jednoznačně daný směr a velikost a nazýváse napětí hlavní. Uvažujme nyní stav rovinné napjatosti (2D). Z předchozího vyplývá, ževytkneme-li ve stěně v libovolném místě buňku, lze působení okolní hmoty nahraditpůsobením vzájemně kolmých normálových napětí σx, σy a tangenciálního napětí τ, obr. 89.Tato tři napětí charakterizují stav rovinné napjatosti v bodě. Otáčejme nyní hranolem okoloosy, která je kolmá k rovině stěny a prochází jeho těžištěm (bod m). Lze ukázat, že existujeprávě jedna poloha hranolu, daná úhlem natočení φ, při které tangenciální napětí τ vymizí ak charakteristice napjatosti v bodě postačí dvě hodnoty napětí σ1, σ2 (viz obr. 89) . Tatonapětí se nazývají hlavní napětí v bodě m a úhel φ resp. úhel φ+π/2 určují směry hlavníchnapětí v bodě m.

53

obr. 89: Hlavní napětí v bodě stěny: Otáčením elementárního hranolu lze nalézt polohu, kdyvymizí tangenciální napětí.

Hlavní napětí resp. jejich určité kombinace jsou kritériem pro posouzení vzniku trhlin resp.porušení u betonových konstrukcí. Používají se při posuzování 2D napjatosti u ocelovýchkonstrukcí, dále u kompozitních materiálů a mají řadu dalších významů, důležitých v teoriiporušení, mechanice lomu a v materiálovém inženýrství.

Obrázek obr. 90 ukazuje nejčastější případy porušení těles v závislosti na zatížení.

54

obr. 90: Typ porušení ve vazbě na způsob namáhání

47. Vztah namáhání a přetvoření v poddajném, lineárněpružném tělese; zobecněný Hookeův zákon; materiálovékonstanty

Při rozboru pracovního diagramu materiálu (článek 37) byl zkušební vzorek namáhanýprostým tahem resp. tlakem. Pro takový případ, kdy v tělese vzniká napjatost jen v jednomsměru, používáme termín jednoosá napjatost (1D). Na tomto modelu byla určena prvnímateriálová charakteristika modul pružnosti E. Ten váže poměrnou deformaci napětí avztahemε = σ / E (1)Je ovšem pochopitelné, že tento zákon, platný pro jednoosou úlohu, se musí změnit pro 2Dpřípadně 3D úlohu. Zabývejme se 2D případem, 3D je pouze jeho technickým zobecněním.Nadále předpokládáme, že materiál je ideálně pružný, homogenní, izotropní.V článcích 37 a 42 byly zavedeny dvě materiálové charakteristiky: modul pružnosti E aPoissonův součinitel příčné kontrakce µ. Lze dokázat, že pokud platí výše uvedenépředpoklady o materiálu, potom tyto dvě konstanty materiál plně charakterizují.Analogicky Hookeovu zákonu, odvozenému pro normálová napětí, lze odvodit protangenciální napětí vztah

55

τ = G . γ (2)kde γ je úhlová deformace (čl. 41) a G je modul pružnosti ve smyku, analogie modulupružnosti z Hookeova zákona. Modul pružnosti ve smyku však není nová materiálovákonstanta; je možné ji vypočítat ze vztahuG = E/[2.(1+ µ)].Hookeův zákon pro 1D má svůj zobecněný tvar pro 2D který dohromady váže složkypoměrné deformace a napětí. Zákon má tvarεx = E (σx - µ σy) (3)εy = E (σy - µ σx) (4)Rovnice 2, 3, 4 umožňují ze znalosti deformací ve 2D dopočítat napjatost ve 2D nebonaopak. Jsou tedy rozšířením obyčejného Hookeova zákona z 1D do dvourozměrnéhotělesa. Obdobným způsobem se dají zapsat příslušné vztahy i pro 3D. V teorii pružnostibývají nazývány fyzikální rovnice.

48. Odhad namáhání a přetvoření v obecném případěMetodiky spočívající v tom, že se konstrukce pokryje sítí (obr. 77) a potom se zkoumá tvarbuněk po vložení zatížení, se často užívá na modelech, obr. 91. Postup lze rovněž použít,dokážeme-li odhadnout tvar konstrukce po deformaci. Obvykle to však vyžaduje značnouzběhlost. Jednotlivé výchozí buňky sítě jsou čtverce nebo obdélníky. Po vložení zatíženízkontrolujeme změny tvaru těchto buněk.• jestliže dojde převážně k protažení buňky v jednom směru, lze očekávat tahové

namáhání materiálu v daném místě• jestliže dojde převážně ke zkrácení buňky v jednom směru, lze očekávat tlakové

namáhání materiálu v daném místě• jestliže dojde převážně ke zkosení buňky, lze očekávat smykové namáhání materiálu

v daném místě.Takto provedený odhad namáhání má samozřejmě lokální charakter, tj. platí právě jen projedno místo vymezené buňkou ortogonální sítě. Abychom získali komplexnější přehled onamáhání konstrukce v dané oblasti, vyhodnocujeme zpravidla namáhání podél vhodnězvoleného myšleného řezu, obr. 91 vlevo.

Odhad namáhání podél zvoleného řezu vzhled sítě po namáhání kroucením (ztužující stěna v přízemí vícepodlažního objektu) (tyč obdélníkového průřezu)

obr. 91: Odhad druhu namáhání z přetvoření buněk.

Je však zjevné, že přístup vyžaduje značnou zkušenost s odhadem deformace a poskytujepouze kvalitativní odhady namáhání. Myšlenka rozdělení složitých konstrukcí na menší částia vyhodnocování takto vzniklých soustav elementárních prvků je však základemv současnosti nejdůležitější numerické metody mechaniky kontinua, metody konečných

56

prvků. Pomocí této metody dnes můžeme analyzovat konstrukce libovolného tvaru azatížení.Pro inženýrské výpočty se snažíme nalézt jednodušší postupy, které uvedený procesodhadu deformace resp. namáhání zjednodušují. Dobře se to daří u prutových prvků a z nichvytvořených konstrukcí.

49. Prutové konstrukční prvkyV přehledu konstrukčních prvků (kapitola........) je uvedeno, že některé z nich je možnéidealizovat pomocí střednice (1D), do které kondenzujeme příslušné mechanické vlastnosti.Takové prvky označujeme také jako prutové prvky. Základní kritérium pro to, co ještěmůžeme považovat za prutový prvek, je poměr jeho délky l (rozpětí) a výšky h průřezu (obr.92). Přibližně platí, že prvek je prutový, pokud h/l ≤ 1/5. Při překročení tohoto poměru je jižtřeba posuzovat prvek nikoliv jako prut, ale jako stěnu (2D model).

obr. 92: K pojmu prutový prvek.

Prutové prvky se vyskytují v konstrukcích velmi často. Pro jejich analýzu lze navíc přijmoutpředpoklady, které rozbor namáhání a přetvoření výrazně zjednodušují. V praxi se naanalýzu prutových prvků převádí velká část konstrukčních úvah. Vyplatí se proto věnovat jimpozornost samostatně.

50. Geometrie přetvoření prutových prvkůUkazuje se, že u prutových prvků je možné určit přetvoření (a následně pak i namáhání)podstatně snadněji než u 2D či 3D prvků. Pokryjeme-li totiž prutový prvek ortogonální sítí,obr. 93a, můžeme pro většinu typů zatížení pozorovat, že• příčné řezy prutovým prvkem zůstávají i po deformaci rovinné – nedeplanují,• příčné řezy zůstávají i po deformaci kolmé ke střednici.Právě uvedená zjištění se pro namáhání ohybem nazývají Bernoulli – Navierova hypotéza,obr. 93c. Stejná hypotéza se běžně používá i pro případ prostého tahu resp. tlaku (obr. 93b).U některých stavebních konstrukcí a prvků (krátké konzoly jeřábových drah, nýty, šrouby adalší spojovací prvky) se výrazně uplatňuje čistý smyk (střih). V těchto případech potomnahrazujeme předpoklad o kolmosti ke střednici předpokladem• příčné řezy zůstávají i po deformaci rovnoběžné, obr. 93.

a) původní nosník b) rovinnost průřezů při c) rovinnost a kolmost d) rovinnost průřezů

protažení/zkrácení prutu ke střednici při ohybu při prostém smyku

obr. 93: Hypotézy přetvoření příčného řezu prutu. Čárkovaně původní stav.

Vyjímku z předpokladu o zachování rovinnosti průřezů i po deformaci představuje krouceníprutů; předpoklad platí pouze pokud je průřez prvku kruh resp. mezikruží. Pro jakýkoliv jinýtvar příčného řezu dochází k jeho deplanaci (zborcení).Předpoklady o rovinnosti průřezů i po přetvoření prutů nám umožňují zjednodušit popispřetvoření v tom, že se již nezabýváme přetvořením dílčích buněk ortogonální sítě, ale pouzepřetvořením úzkého „proužku“ nosníku, omezeného dvěma blízkými příčnými řezy, kolmými

57

ke střednici (vzdálenost příčných řezů dx). Pro tento úzký proužek budeme používat termínprvek prutu.(a) rovinný prutNa prvku prutu vzhledem ke geometrickým předpokladům existují celkem tři možnápřemístění příčného řezu:• vzájemně paralelní posuv příčných řezů rovnoběžně se střednicí (protažení nebo

zkrácení prvku prutu), směr osy x (obr. 94a),• vzájemné natočení průřezů v rovině prvku, natočení kolem osy y (obr. 94b),• vzájemně paralelní posuv průřezů ve směru kolmo ke střednici (nakosení prutového

prvku), směr osy z (obr. 94c).

obr. 94: Možnosti přemístění příčného řezu rovinného prutového prvku

Tuto skutečnost souhrnně vyjadřujeme konstatováním, že příčný řez rovinného prutu má třistupně volnosti pohybu.(b) prostorový prutPříčný řez může vykonat stejná přemístění jako v případě rovinného prutu, navíc však můženastat:• vzájemné natočení průřezů kolem osy z,• vzájemně paralelní posuv průřezů kolmo ke střednici (nakosení prutového prvku), směr

osy y• vzájemné natočení průřezů prvku prutu, natočení kolem střednice, osy x.Tuto skutečnost souhrnně vyjadřujeme konstatováním, že příčný řez prostorového prutu mášest stupňů volnosti pohybu.

Intuitivně je patrné, že výše uvedená přemístění mají bezprostřední vztah k vnitřním silám naprutových prvcích.

51. Geometrické charakteristiky příčného řezu prutu a jejichvýznam

Protože vnitřní síly jsou výslednicemi určitých druhů namáhání (napětí), která působí po celéploše průřezu, je nezbytné znát přesně jejich působiště, směry a smysly. V souvislosti s tímvyužíváme význačné body, přímky a roviny příčného řezu prutu (obr. 97). Patří mezi nězejména:• těžiště průřezu,• střednice neboli těžišťová osa (resp. tečna ke střednici pro zakřivené pruty),• hlavní centrální osy setrvačnosti (hlavní těžišťové osy); osy vzájemně kolmé, v případě

souměrnosti průřezu jsou současně osami symetrie.(a) těžištěPředstavíme-li si příčný řez jako desku z tenkého plechu (o konstantní plošné hmotnosti),potom zavěsíme nebo podepřeme-li ji přesně v těžišti, zůstane deska (v gravitačním poli) vevodorovné poloze, nebude se „naklápět“, obr. 95 vlevo. Z toho můžeme intuitivně usuzovat,že pokud bude síla působit kolmo k rovině průřezu prutu a přesně v jeho těžišti C, potomnebudou v důsledku působení této síly vznikat žádná natočení příčného řezu prutu, ale

58

pouze jeho posuvy ve směru normály (obr. 94a). Uvažujme nyní, že síla sice bude působitkolmo k ploše příčného řezu, avšak mimo těžiště C.

obr. 95: K významu pojmu těžiště: podepření/zavěšení v těžišti (bez naklonění desky) a

stejné upevnění mimo těžiště (naklonění desky).

Potom lze intuitivně očekávat, že v souladu s chováním zavěšené desky (obr. 95 vpravo)způsobí síla kromě posuvu ve směru normály i určité „naklonění“ průřezu, tedy natočenípodle obr. 94b.Zavěšme nyní stejnou desku na tenké lanko ve dvou bodech na obvodě. Paprsek síly,prodloužený z lanka do desky, bude pro libovolný počet zavěšení procházet vždy stejnýmbodem, opět těžištěm průřezu. (Proto je také těžiště reálných těles někdy nazýváno hmotnýstřed tělesa.) Odtud opět plyne intuitivní očekávání, že pokud bude síla, ležící v roviněprůřezu, procházet těžištěm, bude docházet pouze k paralelnímu posuvu průřezů, obr. 94c.Pokud ovšem necháme stejnou sílu procházet mimo těžiště průřezu, bude se tato snažitdeskou natočit, a to v rovině desky okolo těžiště. Intuitivně je zřejmé, že na prutovémnosníku bude takové působení vyvozovat kroucení prutu.

obr. 96: Paprsky závěsů se vždy protínají v těžišti desky (vlevo); síla v rovině průřezu,

neprocházející těžištěm, bude mít tendenci jím otáčet (kroucení prutu), obrázekvpravo.

(b) střednice (těžišťová osa prutu)Střednice je přímka (přímé pruty) respektive křivka (zakřivené pruty), která vznikne jakospojnice těžišť příčných řezů. U zakřivených prutů ji v místě vyšetřovaného průřezunahrazujeme její tečnou, což je přímka kolmá k rovině průřezu procházející jeho těžištěm,obr. 97.(c) těžišťové osy průřezuJakákoliv přímka, vedená těžištěm průřezu a ležící v rovině průřezu, se nazývá těžišťová osaprůřezu. Existují dvě význačné osy, které se nazývají hlavní centrální osy setrvačnostiprůřezu. Tyto osy jsou vzájemně kolmé. Pokud má příčný řez prutu alespoň jednu osusouměrnosti, potom je tato současně hlavní centrální osou setrvačnosti; druhá osa pak

59

prochází těžištěm průřezu, kolmo k ose souměrnosti. Význam těchto os spočívá v tom, žepokud leží rovina zatížení v rovině dané střednicí prutu a hlavní centrální osou setrvačnosti,potom nastává rovinný ohyb (rovina ohybu totožná s rovinou zatížení prutu). Není-li tatopodmínka splněna, nastává prostorový ohyb, tj. rovina ohybu není totožná s rovinou zatížení.Při vyšetřování prutů z výše uvedených důvodů vždy proto ztotožňujeme osu x se střednicí aosy y, z s hlavními centrálními osami setrvačnosti průřezu. Tento postup není nezbytný, alevýznamně zjednodušuje matematické výrazy pro výpočet namáhání a přetvoření prutu.

obr. 97: Příčný řez prutového prvku, význačné body a směry.

52. Vztah vnitřních sil a přetvoření na prutových prvcích ve2D

Jednotlivá možná přemístění příčných řezů prvku prutu (článek 50) mají jednoznačněpřiřazeny své silové protějšky v jednotlivých druzích vnitřních sil, srovnej článek 21.Následující obr. 98 znázorňuje možná přemístění příčných řezů prvku prutu. Tato přemístěníjsou pro prutové prvky elementární, již dále nezjednodušitelná. Každé skutečné přemístěnípříčného řezu prutu lze na tato přemístění rozložit. Každému základnímu druhu přetvoření jepřiřazen jeden druh vnitřní síly, rovněž dále nezjednodušitelný.Obrázek obr. 98 znázorňuje příslušné vztahy ve 2D a dále prosté kroucení (navíc jerozkreslen zvlášť tah a tlak). Rozšíření pro 3D je zjevné.

Vysvětlivky k obrázku obr. 98: Ve schematech změny polohy příčných řezů je čárkovaněvyznačena poloha sousedních průřezů před deformací, plně po deformaci.• r je vzdálenost dvojice sil, tvořících ohybový moment; nazývá se rameno vnitřních sil.• C značí těžiště průřezu (u nehomogenních nosníků těžiště ideálního průřezu).• ty, tz značí hlavní centrální osy setrvačnosti, pro nehomogenní nosníky hlavní centrální

osy setrvačnosti ideálního průřezu.• t.o. označuje těžišťovou osu prutu (u nehomogenních prutů spojnici těžišť ideálních

průřezů), tj. střednici.• ρ je rovina dvojice sil, kolmá k rovině příčného řezu a procházející tz (též rovina

ohybového momentu My).• Normálová síla Nx prochází těžištěm průřezu, kolmo k rovině příčného řezu.• Posouvající síla Tz prochází těžištěm průřezu směrem osy z, leží v rovině příčného řezu.• Natočení příčných řezů vlivem My probíhá kolem hlavní centrální osy setrvačnosti ty.• Natočení příčných řezů vlivem Mx probíhá kolem těžišťové osy x.

60

obr. 98: Přemístění příčného řezu prutu a s ním sdružená vnitřní síla.

53. Vztah vnitřních sil a napětí v prutových prvcíchNa základě úvah o rovnováze oddělené části prutu (článek 50) jsme došli k závěru, že vnitřní

61

síly představují silové doplňky, které zabezpečují rovnováhu oddělené části prutu. Vnitřní sílaje výslednicí určitých napětí, působících v příčném řezu prutového prvku. Vnitřní síla tedynení skutečnou fyzikální realitou. Tím, že působí na příčný řez v bodě resp. v rovině,nahrazuje skutečná napětí v ploše průřezu a zjednodušuje a zpřehledňuje konstrukční úvahys prutovými prvky, viz ilustrační obr. 99.

obr. 99: K pojmu výslednice vnitřních sil

Jak plyne ze závěrů článku 50, u prostorově namáhaného prutu existuje 6 druhů vnitřních sil,přičemž kvalitativně se však jedná pouze o čtyři typy:• normálovou sílu N = Nx,• posouvající sílu T (Ty, Tz),• ohybový moment M, tj. dvojice sil v rovině kolmé k průřezu (My, Mz),• kroutící moment (dvojice sil v rovině průřezu) Mx.

V návaznosti na to rozeznáváme v technické praxi odpovídající čtyři typy základních druhůnamáhání prutových prvků. Jsou jimi• namáhání v prostém tahu / tlaku,obr. 100a,• namáhání v prostém smyku (ryzí smyk, střih),obr. 100b,• namáhání prostým ohybem,obr. 100c,• namáhání v prostém kroucení,obr. 100d.

a) prostý tah/tlak b) prostý smyk (střih) c) prostý ohyb d) prosté kroucení

obr. 100: Základní případy namáhání prutových prvků

Skutečná namáhání jsou pak vesměs určitou kombinací těchto základních druhů.

Namáhání materiálů ovšem vyjadřujeme prostřednictvím napětí. Proto je třeba získat

62

představu o tom, jak vypadá rozložení napětí po průřezu prvku v důsledku působení každéhotypu vnitřní síly. Jinými slovy, ze znalosti velikosti vnitřní síly (to jest výslednice napětí)chceme rekonstruovat skutečný průběh napětí po průřezu.Tato úloha je snadná pro pruty z homogenního izotropního materiálu (např. ocel). Prokonstrukční kompozity (například železobeton) je úloha rekonstrukce napětí z jehovýslednice obtížnější.Pokud se nám podaří rozložení napětí po ploše průřezu od jednotlivých druhů vnitřních silstanovit, potom výsledná napětí na průřezu od kombinace více typů vnitřních sil získáme nazákladě principu superpozice (článek 39) jejich (vektorovým) součtem.

54. Statické charakteristiky příčného řezu prutu (průřezovéfunkce)

Rekonstrukci průběhu napětí po ploše průřezu z jeho výslednice (vnitřní síly) provádímepomocí abstraktních veličin, definovaných jako určité matematické funkce geometrickéhouspořádání příčného řezu. Přitom samozřejmě rozumíme příčný řez kolmý ke střednici prutu.Všechny níže uvedené veličiny (s vyjímkou vztahu pro A a Dyz) se vypočítávají vzhledemk hlavním centrálním osám setrvačnosti (HCOS). Značení podle obr. 101.Mezi statické charakteristiky příčného řezu patří především:

• plocha průřezu A, A = ∫(A)dA; pro obdélník A = bh;

• deviační moment Dyz , Dyz = ∫(A) y.z dA; pro libovolný rovinný obrazec k HCOS Dyz = 0;

• momenty setrvačnosti průřezu Iy, Iz k hlavním centrálním osám setrvačnosti y, z průřezu.Iy = ∫(A) z2 dA, Iz = ∫(A) y2 dA; pro obdélník Iy = 1/12. b.h3, Iz = 1/12. h.b3;

• polární moment setrvačnosti Ip k hlavním centrálním osám setrvačnosti průřezu,Ip = ∫(A) (y2 + z2 ) dA = Iy + Iz;

• statický moment části plochy příčného řezu Syτ k hlavní centrální ose setrvačnosti y.Část plochy je přitom omezena shora obrysem průřezu a zdola přímkou zτ rovnoběžnous osou y, obr. 99 vpravo. Obdobně pro Szτ.Syτ = ∫(Ayτ) z dA, Szτ = ∫(Azτ) y dA, pro obdélník Syτ=b/2.[(h/2)2- zτ2)], Szτ =h/2. [(b/2)2- yτ2)],

• jádrové úsečky jy, jz průřezu,jy = Iy / (A.ye) , jz = Iz / (A.ze), kde ye, ze jsou vzdálenosti protilehlých krajních vlákenprůřezu ve směru os +/- y resp +/- z od těžiště průřezu C. Pro každou osu jsou tedy dvějádrové úsečky. Pro obdélník jy= +/-h/6, jz= +/- b/6

• moduly odporu průřezu Wy, Wz,Wy = Iy / ye, Wy = Iz / ze, kde ye, ze jsou absolutní hodnoty maximální vzdálenosti krajníchvláken průřezu od těžiště ve směru os y resp z. Pro každou osu je tedy jen jednamaximální vzdálenost krajních vláken od těžiště. Je tedy ke každé ose jen jednahodnota modulu odporu. Pro obdélník Wy = b.h2/6, Wz = h.b2/6

• poloměry setrvačnosti průřezu iy, iz,iy = √( Iy / A), iz = √( Iz / A). Pro obdélník iy= h/√12, iz= b/√12

63

obr. 101: K výpočtu průřezových veličin; y, z hlavní centrální osy setrvačnosti, T těžištěprůřezu.

Tyto veličiny jsou důsledkem matematických úvah, které využívají Bernoulli-Navierovuhypotézu a Hookeův zákon pro výpočet průběhů napětí po ploše příčného řezu.

Hlavní centrální osy setrvačnostiPři stanovování průřezových charakteristik pro obecný homogenní průřez, kdy není možnépoužít zjednodušení plynoucí ze symetrie průřezu, postupujeme následovně (značení podleobr. 102).(1) Stanovíme plochu průřezu A k libovolně zvoleným pomocným osám (y´´, z´´). Pomocnéosy volíme pravoúhlé. Plocha A je vůči volbě souřadnicových os invariantní.(2) Vzhledem k pomocným osám (y´´, z´´) stanovíme souřadnice b, a těžiště C průřezu.Učiníme tak z podmínek, že statický moment plochy A k dvěma osám (y´, z´), které jsous původními osami (y´´, z´´) rovnoběžné, roven nule.Pokud má průřez osu symetrie, pak tato prochází těžištěm.(3) Počátek nové souřadnicové soustavy (y´, z´) splývá s těžištěm C průřezu. Stanovímenyní úhel pootočení souřadnicových os α z podmínky, že k takto natočeným souřadnicovýmosám nabývá deviační moment Dyz nulové hodnoty.(4) Pootočíme souřadnicový systém s počátkem v bodě C o úhel α. Získáme tak výslednoupolohu nového souřadnicového systému y, z s nímž budeme dále výhradně pracovat. Jehoosy jsou současně hlavními centrálními osami setrvačnosti. Má-li průřez osu symetrie, potomje tato hlavní centrální osou setrvačnosti. Druhá hlavní centrální osa setrvačnosti je k níkolmá a prochází těžištěm. K těmto dvěma osám nabývá moment setrvačnosti své největší anejmenší hodnoty.

obr. 102: Schema k výpočtu polohy hlavních centrálních os setrvačnosti.

55. Postup při rekonstrukce napětí z vnitřních sil u prutůTato úloha je relativně snadná pro homogenní pruty. Rozložení napětí lze rekonstruovatvíceméně „citem“, a to na základě dvou již diskutovaných předpokladů: platí geometriepřetvoření prutu podle článku 50 (tuhý příčný řez), platí Hookeův zákon i jeho analogie prosmyková napětí (článek 37, 47). Osy y, z ztotožňujeme s hlavními centrálními osami průřezu.

64

Potom postupujeme ve dvou krocích:• v prvním kroku odhadneme charakter rozložení napětí po průřezu. Vycházíme z obr. 98,

který ukazuje souvislost mezi vnitřní silou přemístěním tuhého příčného řezu. Tím je dánprůběh deformace resp. relativní deformace po ploše příčného řezu prutu. Napětí je pakpodle Hookeova zákona afinní průběhu relativní deformace (je E-krát větší).

• V druhém kroku stanovíme velikost napětí. Vycházíme přitom ze skutečnosti, že vnitřnísíly na prutu jsou výslednicemi napětí. Musí tedy být splněna podmínka ekvivalencevýslednice napětí na průřezu a odpovídající vnitřní síly.

Jak již bylo uvedeno v článku 39, můžeme vycházet při výpočtu výsledného namáháníprůřezu z principu superpozice. Proto v dalších článcích vyšetříme pouze rovinné namáháníprutu (rovina zatížení splývá s rovinou tvořenou hlavní centrální osou setrvačnosti z astřednicí prutu). Budeme tedy vyšetřovat namáhání prutu vnitřními silami My, Tz a Nx. Vedletoho ještě přibereme prosté kroucení, tedy namáhání prutu kroutícím momentem Mx. Přizatížení procházejícím rovinou, splývající s rovinou tvořenou hlavní centrální osousetrvačnosti y a těžišťovou osou, by vznikly navíc vnitřní síly Ty, Mz . Jimi vyvozené účinky(napětí) by se na základě principu superpozice sečetly s účinky ostatními.Souřadnicová soustava a tím i zavedená znaménková konvence pro veličiny na prutu (obr.81), se většinou v praktických úlohách používá otočená o 180° kolem osy x. Tím se dosáhnetoho, že kladné svislé zatížení působí „dolů“, tj. ve směru osy +z a ohybový moment resp.posouvající síla mají kladné smysly, běžně užívané ve statice (obr. 36). Nesmíme pak pouzezapomenout, že souřadnice +z, měřená na příčném řezu, jde směrem „dolů“. Situacipřehledně zobrazuje obr. 103. Nadále budeme vycházet ze soustavy zakreslené vpravo.

obr. 103: Základní souřadnicová soustava a stejná soustava, otočená o 180° kolem osy x.Kladné smysly vnitřních sil a zatížení.

56. Namáhání v prostém tahu / tlakuDále prováděná odvození a označení navazují na úvahy článku 55.První krok: v důsledku konstantního protažení / zkrácení vláken prutového prvku (obr. 98,první a druhý řádek) musí být po ploše průřezu rovněž konstantní poměrná deformace εx.Z Hookeova zákona pak plyne, že vznikne normálové napětí σx, mající po ploše konstantníprůběh, obr. 104.Druhý krok: velikost napětí se urči z rovnice σx . A = Nx. Ta vyjadřuje, že (neznámá velikost)napětí σx má na ploše A (známé) výslednici, která je musí být rovna (známé) vnitřní síle Nx.Tedy pro velikost napětí platíσx = Nx / A.

65

obr. 104: K namáhání v prostém tahu / tlaku.

Je tedy vidět, že o zvýšení únosnosti průřezu v prostém tahu nebo tlaku rozhoduje při pevnězvoleném materiálu pouze velikost plochy průřezu.

57. Namáhání v prostém smyku (ryzí smyk, střih)Dále prováděná odvození a označení navazují na úvahy článku 55.První krok: v důsledku konstantního nakosení vláken prutového prvku (obr. 98, třetí řádekshora) musí být po ploše průřezu rovněž konstantní úhlová deformace γxz. Z analogieHookeova zákona pro smyk plyne, že vznikne tangenciální (smykové) napětí τxz, mající poploše konstantní průběh, obr. 105.Druhý krok: velikost napětí urči z rovnice τxz . A = Tz. Ta vyjadřuje, že (hledaná velikost)napětí τxy má na (známé) ploše A výslednici, která je musí být rovna (známé) vnitřní síle Tz.Tedy pro velikost napětí platíτxz = Tz / A.

obr. 105: K namáhání v prostém smyku

Analogicky bychom postupovali při rekonstrukci tangenciálního napětí τxy při Ty působícív kolmém směru.Je tedy vidět, že o zvýšení únosnosti průřezu v prostém smyku rozhoduje při pevnězvoleném materiálu pouze velikost plochy průřezu. Prostý smyk přichází v úvahu u velmikrátkých nosníků nebo spojovacích prvků, namáhaných na střih. U ohýbaných nosníků seprostý smyk zanedbává vůči smyku za ohybu, viz článek 61.

58. Namáhání prostým ohybem (dvojice sil v rovině kolmék průřezu)

Dále prováděná odvození a označení navazují na úvahy článku 55. Abychom nekomplikovaliformálními znaménkovými konvencemi zápis, budeme předpokládat prut obdélníkového

66

průřezu o šířce b a výšce průřezu h. Prut je zatížený podle obr. 106 ohybovým momentem,který vytahuje spodní a stlačuje horní vlákna.První krok: v důsledku vzájemného naklonění příčných řezů prutového prvku kolem hlavnícentrální osy setrvačnosti y (obr. 98, čtvrtý řádek shora) musí vzniknout po ploše průřezuodpovídající lineární průběh poměrné deformace εx vláken. Vlákna horní poloviny průřezubudou protažena, na opačné straně symetricky (vzhledem k hlavní centrální ose setrvačnostiy) pak zkrácena. Z Hookeova zákona plyne, že vznikne normálové napětí σx. Jeho průběhbude lineární, s nulovými hodnotami v ose z=0. Tato osa se vzhledem k ohybu nazýváneutrálná osa průřezu. Napětí na opačných stranách osy y budou tedy mít opačnáznaménka. Vzniká tak pro ohyb charakteristický „trojúhelníkový“ obrazec napětí.Druhý krok: pro obecný tvar průřezu je třeba použít pro vyčíslení napětí průřezovou funkci,moment setrvačnosti. Abychom však udrželi výklad logických souvislostí, pokračujme inadále na obdélníkovém průřezu, kde je výpočet napětí názorný a není třeba průřezovoufunkci použít.Účinek ohybového momentu My je ekvivalentní účinku dvojice sil H.r, obr. 106. Velikost(neznámých) sil +/-H, které vytvářejí na (známém) rameni r dvojici sil s ekvivalentnímúčinkem jako (známý) ohybový momentu My, tedy stanovíme z rovnice H . r = My (smysl Hplyne z názoru). Pro velikost síly H platíH = My / r. (1)Z trojúhelníkového průběhu napětí v tlaku i v tahu po výšce průřezu ihned plyne, že ramenovnitřních sil je rovno 2/3.h, obr. 107.

obr. 106: K namáhání v prostém ohybu.

Síly -H resp. +H musejí být co do velikosti výslednicemi napětí tlakové resp. tahové částiprůřezu, obr. 107. Označíme-li absolutní hodnotu největšího normálového napětí σxv krajních vláknech y = -/+ h/2 obdélníkového průřezu symbolem σx(h/2) , vychází zřejmě proabsolutní hodnotu síly H (ekvivalence H a trojúhelníkového průběhu napětí)H = ½ b.h/2. σx(h/2) = ¼ b.h. σx(h/2). (2)Odtud tedy pro absolutní hodnotu napětí v krajních vláknech‌‌ σx(h/2) = 4.H / b.h = 4.My/ r.b.h = 6.My/ b.h2 (3)Pro normálové napětí v libovolném místě s pořadnicí z (lineární zákon)σx (z) = - σx(h/2) /(h/2). z = -12 M / bh3. z (4)kde znaménko – vyjadřuje, že svislá souřadnice z se měří kladně směrem dolů.

(a) Napětí při prostém ohybu pro libovolný tvar průřezu prutuV obecném případě (libovolný tvar průřezu) určujeme absolutní hodnotu největšího napětí naprůřezu ze vzorce

67

σx(ze) = My / Wy (5)

obr. 107: Schema k výpočtu velikosti normálového napětí při prostém ohybu.

(výraz pro Wy a význam ze srovnej článek 54), takže pro obdélník vychází podle (3) modulodporu Wy = 1/6 b.h2; znaménko se určuje z názoru, podle smyslu ohybového momentu.Pro napětí v libovolném místě průřezu ve vzdálenosti z od neutrálné osy pak použijemeobecně platný vzorecσx (y) = -My . z / Iy (6)(výraz pro Iy srovnej článek 54), takže pro obdélník vychází podle (4) moment setrvačnosti Iy= 1/12 b.h3.Analogicky bychom postupovali při rekonstrukci normálového napětí σx vlivem Mz, působícímv rovině kolmé k My.

Obrázek obr. 108 vlevo ukazuje, že při zvětšování hodnoty My se charakter lineárníhoprůběhu σx nemění, pouze se zvětšují hodnoty napětí.Obrázek obr. 108 vpravo ukazuje, jak vypadá průběh normálového napětí σx, pokudnedodržíme podmínku h/L ≤ 1/5, která přibližně vymezuje oblast prutových konstrukcí. Jevidět, že průběh σx se již významně liší od lineárního průběhu a představa prutovéhochování je již proto pro konstrukce tohoto typu nepoužitelná.

obr. 108: Vliv zvyšování velikosti ohybového momentu na průběh normálového napětí(vlevo); odchylky průběhu normálového napětí na nosnících, které nesplňujíkritérium pro prut h/L ≤ 1/5 (vpravo).

(b) Rameno vnitřních silJak již bylo řečeno, důležitým pojmem, který má velký inženýrský význam, je ramenovnitřních sil. Pojem ohybového momentu je ekvivalentní pojmu dvojice sil v rovině (článek 1).Nahradíme-li napětí v tlačené oblasti průřezu jeho výslednicí, získáme tlakovou sílu –H.Nahradíme-li napětí v tažené oblasti průřezu jeho výslednicí, získáme tahovou sílu +H(stejně velkou, opačného smyslu). Vzdálenost mezi oběma silami se nazývá ramenovnitřních sil r a platíH . r = MUvedené souvislosti se s výhodou užívá například při odhadu velikosti osových sil v pásechvazníků střešních konstrukcí (obr. 109 vlevo). Je–li v určitém místě konstrukce výška vazníkuh a ohybový moment M, potom příslušné síly H v pásnicích musejí být přibližně rovné podíluM/r.

68

(c) Momenty setrvačnostiRozhodující význam pro velikost maximálních napětí od ohybu (a v důsledku Hookeovazákona i pro velikost přetvoření) má moment setrvačnosti Iy. Jak plyne ze vzorce pro momentsetrvačnosti obdélníka Iy = 1/12 b.h3

, závisí tato veličina na šířce b nosníku lineárně, zatímcona výšce h nosníku s třetí mocninou. To tedy znamená, že rozhodující pro únosnost apřetvoření nosníku má jeho výška, nikoliv šířka. Situaci dokresluje obrázek obr. 109 vpravo.Jestliže je poměr stran 1:5, potom momenty setrvačnosti „na stojato“ a „ na plocho“ se liší25x. Stejně se budou lišit i průhyby a napětí (ve stejné vzdálenosti od neutrálné osy z).

obr. 109: Odhad osových sil H v pásech střešního vazníku ze známé hodnoty ohybovéhomomentu M (vlevo); ilustrace významu momentu setrvačnosti průřezu.

59. Namáhání kroucenímKroucení je obecně poměrně komplikovaný případ namáhání. Snadno se vyjadřujenamáhání v prostém kroucení, kdy se sousedící příčné řezy prutu pouze natočí jako tuhédesky a vzniknou pouze tangenciální napětí. Tato situace však nastává zřídka, pouze u prutůs příčným průřezem kruhu nebo mezikruží. Pro ostatní tvary příčných řezů může nastatkroucení volné, což je ovšem v praxi také takřka vyloučené. Zdaleka nejčastějším druhemkroucení je kroucení vázané, nazývané také kroucení ohybové. Vysvětlíme podstatujednotlivých druhů kroucení.(a) Prosté krouceníDále prováděná odvození a označení navazují na úvahy článku 55.První krok: V důsledku paralelního vzájemného natočení průřezů prutového prvku (obr. 98,poslední řádek) musí vzniknout po ploše průřezu rovněž úhlová deformace γxr, rostoucílineárně v radiálním směru r z nuly (těžiště průřezu) do maximální hodnoty na obvoděprůřezu. Z analogie Hookeova zákona pro smyk plyne, že vznikne tangenciální (smykové)napětí τxr, mající po ploše lineární průběh analogický průběhu γxr. Směr napětí τxr budou ležetv tečnách ke kružnicím, majících střed v těžišti průřezu.

obr. 110: K namáhání v prostém kroucení.

Druhý krok: Pro pochopení podstaty řešení provedeme výpočet na prutu kruhového průřezu.Označme největší hodnotu tangenciálního napětí na obvodu průřezu τxr(a). Jestliže jepoloměr průřezu a, označme r poloměr libovolné kružnice uvnitř kruhu. Potom tangenciální

69

napětí v místě libovolného poloměru r má velikost (lineární průběh τxr vzhledem k r)τxr(r) = τxr(a). r / a (1)Otáčivý účinek prstence šířky dr, otáčejícím okolo těžiště na rameni r, je zřejmě2πr. τxr(r). r.dr.

obr. 111: Schema k výpočtu velikosti tangenciálního napětí při prostém kroucení.

takže součtem otáčivých účinků všech elementárních prstenců šířky dr přes celý poloměr aprůřezu dostaneme celkový otáčivý účinek tangenciálních napětí (kroutící moment Mx) vetvaruMx = ∫(a) τxr(r). r dr = τxr(a). π. a3 / 2 (2)Odtud tedyτxr(a) = 2. Mx / (π. a3) (3)Dosadíme-li za τxr(a) z (3) do (1), dostaneme konečně vzorec pro výpočet velikosti napětíτxr(r) v libovolné vzdálenosti r od těžiště průřezuτxr(r) = 2Mx.r / (π. a4

) (4)Obecně určujeme smyková napětí od prostého kroucení ze vzorceτxr(r) = Mx. r / Ip (5)(výraz pro Ip srovnej článek 54), takže pro plný kruhový průřez vychází podle (4) polárnímoment setrvačnosti Ip = π. a4 / 2.

Kroucení s deplanací průřezu prutůProsté kroucení, charakterizované tím, že se příčné průřezy při namáhání kroucením pouzepootočí, ale zůstanou přitom paralelní rovinné, se vyskytuje pouze u kroucených tyčíkruhového průřezu nebo průřezu tvaru mezikruží. Všechny ostatní průřezy při zatíženíkroutícími momenty deplanují, tj. příčné řezy se zbortí do obecné plochy. Nyní je důležité, jakje prut uložený.(b) volné krouceníjestliže uložení nebrání deplanaci příčných řezů prutu, pak se jedná o t.zv. volné kroucení(obr. 112 vlevo). Při něm vznikají pouze tangenciální napětí τxy, τxz v rovině příčného řezu,které mají po obrysu průřezu směr tečny. Tento případ se až na nepodstatné vyjímky v praxinevyskytuje.(c) vázané krouceníJestliže uložení brání deplanaci některého příčného řezu, jde o tak zvané vázané nebo téžohybové kroucení (obr. 112 uprostřed). Zde vznikají kromě tangenciálních napětí τxy , τxz ipodélná normálová napětí σx. V masivních prutech (plný průřez s dostatečně velkou plochou)můžeme tato napětí zanedbat. U tenkostěnných prutů však vždy musíme vyhodnocovatkroucení jako vázané. Nejvíce se vliv vázaného kroucení projevuje u tenkostěnných prutůotevřeného průřezu.

70

volné kroucení – volná vázané kroucení –uložení princip vzniku normálovýchdeplanace průřezu brání volné deplanaci napětí od kroutícího momentu

obr. 112: K pojmu volné a vázané kroucení prutů

Vyšetřování namáhání prutů při ohybovém kroucení daleko přesahuje rámec tohoto textu.Základní myšlenka, totiž vznik normálových napětí v důsledku působení kroutícího momentu,je znázorněna na obrázku obr. 112 vpravo.

60. Kombinace namáhání; superpozice napětíPrutové prvky a konstrukce jsou prakticky vždy namáhány kombinací základních druhůnamáhání. To, co bylo řečeno o principu superpozice (článek 39) platí v plném rozsahu i zde.Tedy můžeme vyšetřit jednotlivá zatížení jednotlivě a potom příslušné účinky sečíst(superponovat). Na pořadí sčítání přitom nezáleží. Vyjímku tvoří stabilitní problémy(namáhání na vzpěr). K této otázce se vrátíme v článku 71.

61. Příčně zatížený ohýbaný prutPrut je zatížený příčným zatížením, procházejícím střednicí prutu. Následující obr. 113znázorňuje případ, kdy síla F působí ve svislé rovině xz (rovinný ohyb). Jde o kombinaciohybu a smyku, což je nejčastější kombinací namáhání u prutových nosníků. Vznikajícívnitřní síly jsou ohybový moment a posouvající síla. Jim odpovídají normálová napětí σx atangenciální napětí τxz = τzx (při zatížení ve směru osy z). Pokud je splněna geometrickápodmínka h/L ≤ 1/5 (článek 49), potom výrazně převažuje ohybová deformace prutu naddeformací smykovou. Proto je možné zanedbat namáhání v prostém smyku. Vzniká všaksmykové (tangenciální) namáhání jiného druhu, a sice smyk za ohybu. Princip vzniku tohotonamáhání je názorně patrný z obr. 114.

obr. 114: K principu vzniku a smykových sil v příčně zatíženém nosníku (vlevo); vzájemnost

tangenciálních napětí (vpravo).

Nosník je rozdělen myšleným vodorovným řezem na dvě stejné části. Po zatížení se oběčásti po sobě posunou. Má-li tedy zůstat příčně zatížený nosník za ohybu celistvý, musív myšleném řezu působit tangenciální napětí, které zamezí nežádoucímu posunu. Tímtozpůsobem vzniklému napětí se říká smyk za ohybu. Ten tedy vlastně zajišťujespolupůsobení vodorovných částí nosníků ve smyslu obr. 114.Při zjišťování velikosti tangenciálního napětí vycházíme zpravidla ze dvou skutečností:

71

● z věty o vzájemnosti tangenciálních napětí (článek 45), obr. 114,● z požadavku, aby nedošlo k vzájemnému posunu dvou vrstev nosníku, a to nezávisle

na poloze podélného řezu.Po zapracování do matematického modelu dostáváme vztah tangenciální napětí za ohybu vetvaruτxz = τzx = Tz.Syτ / (b. Iy),který určuje velikost tangenciálního napětí τxz ve vzdálenosti zτ od neutrálné osy y.V uvedeném vztahu je- b (obecně po výšce průřezu proměnná) šířka průřezu v místě vyšetřování

tangenciálního napětí,- Syτ = ∫(Ayτ) z dA je statický moment plochy omezené přímkou z = zτ a obrysem průřezu

(výraz pro Syτ srovnej článek 54).Pro nejjednodušší obdélníkový průřez jsou příslušné vzdálenosti a plochy vyznačené na obr.115 vlevo. Průběh tangenciálních napětí je v tomto případě parabolický, s maximálníhodnotou uprostřed výšky průřezu.

obr. 115: Schema k výpočtu tangenciálního napětí za ohybu (vlevo) a k pojmu smykový tok

(vpravo).

Obecně se vyplatí pracovat s veličinou zvanou smykový tok Γ(x), což je součet všechtangenciálních napětí na celou šířku b průřezu, tedy (obr. 115 vpravo)Γ(x) = b . τxz = Tz.Syτ / Iy.Pro smykový tok totiž platí, že je vždy největší v rovině, vytvořené neutrálnou osou (v tomtopřípadě osa y) a střednicí – tak zvaná neutrálná rovina (σx = 0). Směrem k hornímu adolnímu okraji nosníku klesá. Velikost tangenciálního napětí závisí v dané vzdálenosti zτ odneutrálné osy y nepřímo úměrně na šířce průřezu b. Čím užší je průřez v daném místě, tímvyšší je tangenciální napětí.Kdybychom sečetli τxz po ploše A příčného řezu, dostali bychom posouvající sílu Tz. Toznamená, že napětí τxz má na ploše A výslednici, která je skutečně rovna vnitřní síle Tz.Obdobným způsobem bychom dostali analogický vztah pro velikost tangenciálních napětízpůsobených posouvající silou Ty, tedy napětí τxy = τyx .Příčně ohýbaný nosník je tedy v každém průřezu namáhaný jednak normálovým napětím odohybového momentu, jednak tangenciálním napětím od posouvající síly, obr. 116. Maximanabývají tato napětí v místech maximálních hodnot odpovídajících vnitřních sil, tedy My a Tz,obr. 116.

72

obr. 116: Průběh normálových napětí σ a tangenciálních napětí τ na prostém nosníku,zatíženém spojitým rovnoměrným zatížením. Maxima napětí v místech největších Ma T.

Posouvající síla nabývá v daném případě maximálních hodnot v podporách a tangenciálnínapětí jí vyvozené pak v neutrálné rovině (uprostřed průřezu). Ohybový moment pak nabývásvé největší hodnoty uprostřed rozpětí, normálová napětí jím vyvozená mají svá maximav krajních vláknech průřezu. Liší se tedy špičky obou druhů napětí jak polohou na střednici,tak i polohou na průřezu.

62. Excentricky tažený nebo tlačený prutPrut je zatížený silou F, působící rovnoběžně se střednicí, ale ve vzdálenosti e od těžištěprůřezu. Následující obr. 117 znázorňuje případy, kdy síla F protíná osu z (rovinný ohyb).

73

obr. 117: Excentricky tažený (vlevo) a tlačený (vpravo) prut; (a) statické schema, (b) napětíod normálové síly Nx, (c) napětí od ohybového momentu My, (d) superpozice napětí(a)+(b)

Princip řešení spočívá v tom, že provedeme redukci síly F, působící v bodě A, k těžištiprůřezu C (redukce síly k bodu viz článek 1). Redukcí získáme osovou sílu F v těžišti aohybový momentMy = F.ez (1)Jedná se tedy o kombinaci tahu nebo tlaku a prostého ohybu. Vznikající vnitřní síly jsounormálová síla Nx a ohybový moment My. V průřezu tedy vznikají pouze normálová napětí σx,která se podle principu superpozice sčítají, obr. 117.Závěrem ještě připomeňme, že v případě kombinace tlaku s ohybovým momentem musí jít omasivní prut, kde nehrozí nebezpečí vzpěru. Pro štíhlé excentricky tlačené pruty principsuperpozice neplatí a tyto pruty se musejí vyšetřovat na vzpěr (článek 26, 71).(a) Jádro obdélníkového průřezuPři vyšetřování některých konstrukcí (například kleneb a tlačených oblouků) je důležitézajistit, aby byl celý průřez pouze tlačený. Jádrem průřezu nazveme takovou množinu bodůpříčného řezu, u kterých je splněna podmínka, že tlaková síla v nich umístěná nezpůsobí tahv žádném bodu průřezu. Nalezení jádra se převádí na úlohu, jakou může mít síla F největšíexcentricitu, aby byl celý průřez pouze tlačený.Jádro zcela jistě obsahuje těžiště C průřezu. Vzdálenost těžiště a libovolného bodu naobrysu jádra průřezu se nazývá jádrová úsečka j. Její velikost se stanoví z podmínky, abymaximální normálové napětí v tahu (od ohybového momentu na excentricitě j) bylo rovnonormálovému napětí v tlaku (součet (e)+(b)=(f), obr. 117 vpravo). Tedy pro případ podleobrázku obr. 117 vpravoMy . (h/2) / Iy = F / A (2)a po dosazení za Mz z (1)

74

jz =√(Iy (h/2)) / A = h/6. (3)Znamená to tedy, že pokud při excentrickém tlaku podle obrázku obr. 117 vpravo nevystoupísíla F z vnitřní třetiny výšky h, bude průřez pouze tlačený. Pohybuje-li se síla F po průřezunejen ve směru osy z, ale obecně po celé ploše průřezu, je nutné stanovit i jy a jádro má pakpro obdélníkový průřez tvar kosočtverce podle obr. 117(g) vpravo.(b) Jádro obecného průřezuPro jádrové úsečky ve směru hlavních centrálních os setrvačnosti y, z můžeme sestavitpodmínky pro výpočet jádrových úseček stejné jako u obdélníka. Označme i nadále největšípřípustnou excentricitu pro sílu ležící na kladné poloose jz+. Označme dále vzdálenostkrajních vláken na opačné straně průřezu od těžiště průřezu ze-. Potom analogicky vztahům(1), (2), (3) dostáváme postupněMy = F.jz+ (4)My . ze- / Iy = F / A (5)jz+ = Iy / (A .ze-) (6)a obdobně vyjde pro velikost jádrové úsečky na záporné poloose zjz- = Iy / (A .ze+).Zcela stejně bychom postupovali i na ose y, iz srovnej článek 54. Velikost jádrové úsečkyna přímce mimo hlavní centrální osy setrvačnosti bychom získali vektorovým rozklademmomentu do směrů y, z. Nebudeme se tím však dále zabývat.Pro používané průřezy nosníků jsou tvary a velikosti jader ve statických tabulkách.(c) tlaková čára oblouku nebo klenbyPři vyšetřování tlačených obloukových konstrukcí, zejména pak u tradičních cihelných nebokamenných válcových kleneb, se setkáme s pojmem tlaková čára. Předpokládejme, žemáme na klenbě vyřešené velikosti podporových reakcí, tj. vodorovnou sílu H, svislé složkypodporových reakcí Ra, Rb a u vetknutých oblouků i podporové momenty Ma, Mb, obr. 118.

obr. 118: K pojmu tlaková čára klenby.

Vysvětlíme pojem tlakové čáry na jednodušším případu klenby, působící jako dvojkloubovýoblouk (Ma, Mb = 0). Použijeme přitom názorné grafické řešení. Vyšetřujeme jeden běžnýmetr válcové plochy klenby, souměrně zatížené.Rozdělme konstrukci myšlenými svislými čarami na pruhy stejné šířky a, obr. 119. Každýproužek tím získává tíhu Qi, která se skládá z tíhy vlastní klenby, zásypu, konstrukce podlahya užitného zatížení. Vzhledem k tvaru klenby se bude Qi po pruzích lišit. Nyní začnemepostupně od středu klenby (zde je jako jediná vnitřní síla pouze vodorovná síla H) skládatpodle pravidla o rovnoběžníku sil (viz článek 1) postupně všechny síly Qi. Skládání vždyprovedeme k působištím sil Qi, tedy přibližně ke středům pruhů. Složením sil získáme jednakvelikost, jednak polohu výslednice na daném rozhraní mezi proužky. Sama konstrukcevýslednice je známa v grafické statice jako složkový obrazec (obr. 119 vpravo dole),konstrukce polohy výslednice je známá pod názvem výslednicová čára (obr. 119 přímo veschematu oblouku). Čára na obr. 119 vlevo dole názorně ukazuje, že pokud bychom chtělisnížit velikost vodorovné síly na hodnotu H´, museli bychom zvýšit vzepětí oblouku podleznázorněné výslednicové čáry Γ´.

75

obr. 119: Grafická konstrukce výslednicové (tj. zde i tlakové) čáry Γ (vlevo dole); složkový

obrazec vpravo dole.

Bod, kde výslednice protíná daný proužek, se nazývá tlakovým bodem, působí v němpříslušná výslednice F tlakovou silou. Spojnice všech tlakových bodů se nazývá tlaková čáraoblouku. Čím užší bude šířka proužku a, tím víc se bude lomená křivka tlakové čáry blížithladké křivce. Rozhodujícím pro posouzení klenby je, aby v libovolném bodě obloukunevystoupila tlaková čára z oblasti jádra průřezu klenby, obr. 120. Tím je zajištěno, že klenbazůstane pouze tlačená.

obr. 120: Vlevo: oblast jádra klenby (šrafováno) a možné krajní polohy tlakové čáry klenby;

excentricita e tlakové síly F vyvolá v klenbě ohybový moment M=Fe; pokud je emenší než příslušná jádrová úsečka, vznik momentů není na závadu.

76

Problém jádra průřezu můžeme použít i u navazující konstrukce klenby, svislé opěrnécihelné zdi. Pokud se jedná o zeď vnitřní, šikmé klenbové reakce A se navzájem kompenzujía problém přenesení klenbových sil nevzniká, obr. 121 vlevo. U krajních zdí je otázkazachycení reakcí klenby vlastně otázkou polohy výslednice sil v základové spáře, obr. 121,vpravo.

obr. 121: Zachycení klenbových sil: kompenzace u vnitřních zdí (vlevo); vliv tíhy konstrukcínad osazením klenby, u suterénů i pozitivní vliv tlaku okolní zeminy.

Šikmá podporová reakce A v klenbě se vektorově sčítá se svislými silami. Zde jsou jimi(zjednodušeně) tíha G1 konstrukce nad osazením klenby a dále tíha G2 suterénní azákladové konstrukce. Vektorový součet sil je přibližně naznačený na obrázku obr. 121 zcelavpravo.Pokud bude excentricita síly F v základové spáře vzhledem ke svislé ose základu rovnanejvýše velikosti příslušné jádrové úsečky, potom nebude v základové spáře vznikat tah akonstrukce vyhoví.Obdobně by se postupovalo u cihelného zdiva. Zde bychom ověřovali, zda nevzniká tahv místě uložení zdiva na základ, tedy jestli tlaková čára zdiva nikde nevybočí z jeho jádra(zdivo rovněž není schopné přenášet tahy).Intuitivně je patrné, že u suterénních staveb pomáhá stabilitě konstrukce vliv zemního tlaku,který kompenzuje vliv vodorovné složky reakce A, tj. vliv obloukové síly H.

63. Příčně zatížený prut, rovina zatížení neprochází střednicíPrut je zatížený příčnou silou F, působící mimo těžiště průřezu, ve vzdálenosti e od těžištěprůřezu. Následující obr. 122a znázorňuje případ, kdy síla F působí rovnoběžně s osou z.

obr. 122: Prut zatížený příčnou excentrickou silou; (a) příklad konkrétního uspořádání, (b)ohyb příčnou silou F v těžišti průřezu, (c) kroutící moment Mx = F.ez

77

Princip řešení spočívá v tom, že provedeme redukci síly F, působící v bodě A, k těžištiprůřezu C (redukce síly k bodu viz článek 1). Redukcí získáme• příčnou sílu F ≡ Tz v těžišti průřezu (obr. 122b),• kroutící moment Mx = F.ey, (obr. 122c).Jedná se tedy o kombinaci ohybu příčnou silou a vázaného kroucení (vetknutí brání volnédeplanaci průřezu). Tyto případy byly diskutovány v článcích 61, 59. Vznikající vnitřní sílyjsou jednak posouvající síla Tz a ohybový moment My, jednak kroutící moment Mx.

obr. 123: Charakter průběhu normálových napětí (vlevo) a tangenciálních napětí (vpravo) odpříčného ohybu excentrickou silou podle obr. 122.

V průřezu tedy vznikají• normálová napětí σx od ohybu a normálová napětí σx od vázaného kroucení, obr. 123

vlevo,• tangenciální napětí τxz, τzy od vázaného kroucení a tangenciální napětí τxz od posouvající

síly Tz, obr. 123 vpravo.• Jak normálová, tak i tangenciální napětí se (algebraicky) sčítají.

64. Příčně zatížený, excentricky tlačený prut – princippředpjatého betonu

Prut je zatížený jednak silou F, působící rovnoběžně se střednicí, ale ve vzdálenosti e odtěžiště průřezu, jednak příčným zatížením q. Následující obr. 124 znázorňuje případy, kdypříčné zatížení q působí v ose z (rovinný ohyb). Síla F pak působí na té straně průřezu prutu,která je v důsledku ohybu od zatížení q tažena. Jedná se tedy o kombinaci excentrickéhotlaku (článek 62) a ohybu příčným zatížením (článek 61).

obr. 124: Průběh vnitřních sil na prutu příčně zatíženém, excentricky tlačeném.

78

Vznikající vnitřní síly jsou proto (obr. 124):• od příčného zatížení q ohybový moment My1 a posouvající síla Tz,• od excentrické síly F normálová síla Nx (tlaková) a ohybový moment My2 (od excentricity

síly F, My2=F.e).• V průřezu tak vznikají jednak normálová napětí σx od působení Nx, My1, My2 (která se

vzájemně algebraicky sčítají) a jednak tangenciální napětí τxz od působení Tz.Tato kombinace namáhání je základem konstruování prvků z předpjatého betonu.Excentricky působící tlaková síla je do prvku vnesena pomocí předepnutí ocelové výztuže(pruty, lana). Předpínací výztuž musí být umístěna na stejnou stranu průřezu prutu, jakov příkladu na obr. 124. Správnou volbou polohy výztuže a velikosti předpínací síly lzedosáhnout toho, že průřez prutu není nikde tažen, což umožňuje účinné využití betonu (kterýsám o sobě není prakticky schopen tahová napětí přenášet). Schematicky je situacevyznačena na obr. 125.

obr. 125: Superpozice normálových napětí v nosníku z předpjatého betonu.

65. Místa maximálních namáhání prutů; vztahy vnitřních silÚlohou, kterou je třeba řešit při dimenzování a posuzování konstrukce, je nalezení nejvícenamáhaných míst. U prutových konstrukcí nám k tomu dobře poslouží znalost průběhuvnitřních sil. Jak již bylo uvedeno v článku 21, vynášíme velikost vnitřních sil podél středniceprutu, u ohybových momentů zásadně na stranu tažených vláken.Normálová napětí σx vznikají u prutů vlivem ohybových momentů, normálových sil av důsledku vázaného kroucení (vnitřní síla zvaná bimoment). Vyšetřujeme proto místas maximálními hodnotami těchto vnitřních sil a místa s jejich nejnepříznivější kombinaciz hlediska normálového napětí σx.Tangenciální napětí τxy, τxz vznikají u prutů vlivem posouvajících sil (smyk za ohybu) a vlivemkroucení. Vedle toho vzniká tangenciální napětí v případě prostého smyku (bez vlivu ohybu)vlivem smykové síly, zejména u spojovacích prostředků a krátkých konzol. Opětvyšetřujeme místa s maximálními hodnotami těchto vnitřních sil a místa s jejichnejnepříznivější kombinací z hlediska tangencilních napětí τxy ,τxz .

Vztahy mezi vnitřními silamiExistuje několik vztahů mezi vnitřními silami u prutových prvků. Nedůležitější je případ příčněnamáhaných prutů. Máme-li k dispozici analytické vyjádření průběhu vnitřních sil (ohybovýchmomentů a posouvajících sil) od působení příčného spojitého zatížení, platí tak zvanáSchwedlerova věta, která se formuluje ve tvarudMy(x) / dx = Tz(x) (1)tedy derivace ohybového momentu podle střednice je rovna posouvající síle. Věta platív těch částech prutu, kde je příčné zatížení qz spojité. Maximální hodnota funkce My = My(x)zřejmě nastane v místě dMy / dx = 0. Odtud plyne závěr, že maximální hodnoty ohybovýchmomentů je třeba hledat v místech s nulovou posouvající silou (srovnej například obr. 116).Na Schwedlerovu větu navazuje další užitečný vztahdTz(x) / dx = -qz(x) (2)tedy derivací posouvající síly podle střednice je rovna příčnému zatížení (které Tz(x)

79

způsobuje). Věta platí v těch částech prutu, kde je příčné zatížení qz spojité.Spojením (1) a (2) dostaneme vztahd2My(x) / dx2 = -qz(x). (3)Poslední výraz se hojně užívá při řešení úloh přetvoření prutů, ale je užitečný i při úvahách otvaru oblouků, kleneb a lanových konstrukcí.

66. Nehomogenní prutové prvky; ideální průřezNehomogenními prutovými prvky rozumíme takové prvky, jejichž příčný řez je složen z vícemateriálů. Typickým reprezentantem jsou prvky vrstvené z více materiálů a dáleželezobetonové prvky, obr. 126.

obr. 126: Nehomogenní průřezy z více materiálů: vrstvený nosník, železobetonový tráms tuhou výztuží, žb. sloup, stropní deska z keramických vložek do žb. nosníků.

Z pohledu terminologie stavebních materiálů se jedná o konstrukční kompozity. Základnípodmínkou, abychom mohli nehomogenní průřez chápat a staticky vyhodnocovat jako jedenprvek, je zachování jeho celistvosti, tedy pevné (tuhé) spojení jednotlivých materiálovýchvrstev či vložek. V tomto smyslu není homogenním průřezem například sendvičový prvekv uspořádání beton–polystyren–beton, což je typický reprezentant vrstvených obvodovýchplášťů. Měkká vrstva PPS, plnící funkci tepelné izolace, není schopná zajistit spolupůsobeníobou betonových vrstev a ty se potom přetvářejí individuálně, „neví o sobě“.Předpokládejme tedy, že nehomogenní prutový prvek splňuje podmínku celistvosti. Abychommohli využít doposud zavedené pojmy z oboru pružného chování poddajných těles,zavádíme pojem tak zvaného ideálního průřezu.Protože všechny až dosud uvedené pojmy pružného chování prutů byly odvozeny prohomogenní průřezy (jeden materiál), je ideální průřez vlastně převedením průřezu z vícemateriálů na materiál jediný. Za vztažný materiál volíme obvykle ten, který je v ploše průřezunejvíce zastoupen. Charakteristikou materiálu z hlediska jeho pružného chování je jehomodul pružnosti E. Převod průřezu na homogenní tedy vlastně znamená převod na materiálo stejném E. Označme E0 modul pružnosti vztažného materiálu. Je-li potom Ek modulpružnosti k-tého materiálu, Ak plocha průřezu z k-tého materiálu, potom tuto plochupřevedeme na ideální (náhradní) plochu o modulu pružnosti E0 vynásobením součinitelem nk= Ek / E0. Ve stejném poměru, tedy nk -krát se musí zvětšit i moment setrvačnosti. Napříkladpro železový beton (kde se ideální průřezy při výpočtu podle starších výpočetních postupůhojně používaly) je n ≈ 15 (vztažena ocel na beton). Schema konstrukce ideálního průřezu jena obr. 127.

obr. 127: Kombinovaný dřevo-ocelový prvek; vlevo skutečný nosník, vpravo ideální průřez;n≈ 1 / 20 (vztaženo na ocel).

80

67. Odchylky skutečného působení nosníků od výpočtu podlelineární pružnosti; železobeton

Jak již bylo uvedeno dříve, výpočet vnitřních sil při rozboru konstrukce jako celku se pracujes představou lineárně pružných materiálů. Je to jediná možnost, jak v praxi výpočtykonstrukcí technicky zvládnout. Skutečné působení některých materiálů se však může odtohoto předpokladu výrazně lišit. Porovnáme-li mezi sebou materiálové báze pro konstrukce,zjistíme, že největší jsou tyto rozdíly u konstrukčního kompozitu, železového betonu. Jakoukázku působení a současně typický případ krátce rozebereme prostý ohybželezobetonového prutu. U železového betonu komplikují vyšetření průběhu napětí apřetvoření především tři faktory:- beton v tlaku je při vyšších hladinách namáhání pružnoplastický materiál (neplatí

Hookeův zákon v celém pracovním rozsahu), což má za následek odchýlení obrazcenapětí v tlačené oblasti od lineárního průběhu;

- beton v tahu přenese jen asi 5-10% namáhání v tlaku. Tažená vlákna průřezu jsouproto při vyšších hladinách namáhání trhlinou vyřazena z funkce a tahová napětí pakpřenáší pouze ocelová výztuž;

- modul pružnosti betonu a oceli se liší zhruba 10-15 krát (ve prospěch oceli).Ohýbaný prut proto prochází postupně se zvyšováním velikosti zatížení (ohybovéhomomentu) přibližně třemi stádii. Sledujme je na nosníku podle obr. 128, kde je mezi silami vestřední části nosníku nulová posouvající síla, tedy prostý ohyb.V prvním stádiu (relativně malé zatížení) napětí v tlačené i tažené části probíhá lineárně,zcela podle Hookeova zákona. Zvyšující se zatížení způsobí zplastizování krajních vlákenbetonu v tažené oblasti, čímž se tato vlákna dostanou do stavu přetvoření před vznikemtrhliny. Průřez však stále funguje jako plný, v tlačené oblasti je průběh napětí lineární(Hookeův zákon), v tažené oblasti je beton pružnoplastický.Ve druhém stádiu, při dalším zvětšení zatížení, překročí napětí v tahu krajních vlákenpevnost materiálu a nosník se v tažené oblasti začne porušovat trhlinami (od spodního líce).Zvyšováním namáhání trhliny rostou směrem k neutrálné ose. Druhé stádium vrcholí tím, žebeton přenáší napětí v tahu pouze v blízkosti neutrálné osy, kde tahová napjatost dosahujepouze malých hodnot. Zbylá část tažené oblasti betonu je vyřazena z funkce, tahovánamáhání přjímá v plném rozsahu ocelová výztuž. Napětí betonu v tlačené oblasti se stáleřídí Hookeovým zákonem, je lineární.Třetí stádium, do kterého se konstrukce dostane dalším zvyšováním namáhání, jecharakterizováno zplastizováním betonu i v tlačené oblasti. Právě toto stádium (spředepsanou maximální mírou zplastizování v tlačené oblasti) je běžným „pracovním“stavem železobetonových ohýbaných prvků. Je zjevné, že využití pouze pružného chovánímateriálu by vedlo na velmi neekonomické konstrukce.

81

obr. 128: Jednotlivá pracovní stádia ohýbaného železobetonového prvku v závislosti nazvyšujícím se zatížení. Vlevo počátek, vpravo konec stádia. Na síla v ocelové výztuži,σb napětí v betonu.

Zabývejme se teď situací, která vede k porušení ohýbaného železobetonového prvku.Protože při prostém ohybu je průřez namáhán samotným ohybovým momentem (čili dvojicísil), musí se výslednice tlakových napětí H- i tahových napětí H+ co do velikosti rovnat.Zvyšujeme-li zatížení, roste i ohybový moment a tedy i výslednice H. Záleží nyní na tom,který materiál se poruší dříve. Je-li prut vyztužen správně (předepisuje se tzv. procentovyztužení), dosáhnou oba materiály svých mezních únosností zhruba současně. Protože mávýztužná ocel předepsánu dostatečnou průtažnost, signalizuje prut případné přetížení včasprogresivně rostoucími trhlinami a průhyby. Je-li prut vyztužen málo, beton v tlaku má ještěvelkou rezervu únosnosti, kdežto ocel je již na mezi své únosnosti. Beton prutu není využitý,návrh je neekonomický. Je-li prut vyztužen příliš, vyčerpá se únosnost betonu v tlaku, kdežtoocel zůstává nevyužita. Návrh je opět neekonomický, tentokrát z pohledu oceli.Na většině prutů v konstrukcích se velikost vnitřních sil po délce střednice mění. To vede ktomu, že navrhneme-li správně vyztužení na maximální ohybový moment (podle kritériastádia 3), v místech s menšími hodnotami M může průřez působit ještě ve stádiu 2 nebo

82

dokonce 1. Ekonomická hledisko tak vede k tomu, že konstruktéři mění množství výztuže aněkdy i rozměry prutů (náběhy) podle průběhu vnitřních sil.Všechny výše zmíněné okolnosti značně komplikují praktické vyšetřování napětív nehomogenních prvcích. Tím více vyniká zjednodušení práce, které nám dává pojemvnitřní síly, kdy místo s napětími pracujeme při statických rozborech pouze sjejich výslednicemi, vnitřními silami.Na druhou stranu je zřejmé, že při dimenzování průřezů ke specifickým vlastnostemkonstrukčních materiálů a zvláště pak kompozitů přihlédnout musíme. Proto existujítechnické normy pro výpočet konstrukcí diferencovaně právě podle materiálů resp. jejichkompozit. Tyto normy pak obsahují v kondenzované formě mimo teoreticky odvozenýchvztahů i řadu empirických zásad a doporučení. Ta jsou cenná a důležitá především v tom, žezahrnují jak dlouholeté praktické zkušenosti, tak i varování před chybami, které měly častov minulosti za následek havárie konstrukcí. Proto jsou technické normy základníneodmyslitelnou pomůckou každého konstruktéra.

68. Ohybová čára prutuRůzné metody stavební mechaniky pro řešení staticky neurčitých soustav jsou založeny narozboru přetvoření jednotlivých prutů. Nejdůležitější úlohou je stanovení tvaru přetvořenéstřednice u příčně zatížených prutů – nalezení jejich ohybové čáry (elastiky). Uvedemeprincip řešení této úlohy.Předpokládejme, že prut je zatížený svislým spojitým zatížením qz, případně silami Fz čiohybovými momenty My. Osy y, z jsou hlavními centrálními osami setrvačnosti průřezu.Princip řešení spočívá v tom, že vyšetříme stejnou veličinu – změnu úhlu střednice ze dvourůzných pohledů. Nejprve určíme změnu úhlu dϕ z pohledu geometrických vztahů na hladkéohybové čáře prutu, například v bodě m. Stejnou veličinu dϕ potom vyšetříme ve stejnémmístě na příčných řezech prutového prvku z pohledu jejich natočení od zatížení momenty.Rovnost obou výrazů poskytne hledaný vztah pro ohybovou čáru prutu.

Změna úhlu dϕ ohybové čáry (natočení) na prvku prutuPůsobením zatížení nastane rovinný ohyb prutu, prohnutá střednice bude ležet v rovině xz.Průhybová křivka prutu bude popsána funkcí (jedné proměnné) w = w(x). Všimneme si nynípřetvoření prvku prutu délky dx, obr. 129 vlevo. Tečna v bodě x přetvořené střednice budemít směrnicitg α(x) = w´(x). (1)Tečna v bodě (x+dx) přetvořené střednice bude mít směrnicitg α(x+dx) = w´(x+dx) = w´(x)+w´´(x) dx. (2)Protože pro stavební konstrukce musíme požadovat malé deformace (článek 4), budou úhlyα tečen k přetvořené střednici velmi malé. Proto platí přibližná rovnosttg α ≅ α. (3)Rozdílα(x+dx) - α(x) = w´´(x) dx = dϕ(x) (4)tedy určuje vzájemný úhel tečen k přetvořené střednici v krajních bodech x, x+dx prvkuprutu, a to z pohledu geometrických vztahů na hladké, málo se deformující střednici.

Změna úhlu příčných řezů (natočení) na prvku prutuProtože platí Bernoulli – Navierova hypotéza, příčné řezy nedeplanují, zůstávají i po ohybuprutu rovinné a kolmé ke střednici prutu. Z toho ovšem plyne, že stejný úhel dϕ(x), určenýpodle (4), musejí po přetvoření střednice vzájemně svírat i příčné řezy v krajních bodech x,x+dx, obr. 129 vpravo. Z rozboru v článku 52, srovnej obr. 106, intuitivně plyne, že natočeníprůřezů prvku prutu kvalitativně souvisí s namáháním ohybovým momentem.

83

obr. 129: Geometrické vztahy k určení natočení střednice dφ prutového prvku délky dx(vlevo); určení téže veličiny z natočení příčných řezů prutového prvku (vpravo).

Napětí v krajních vláknech z=ze se stanoví podle článku 58 z rovnice (7)σx=My.ze/ Iy (5)čemuž odpovídá podle Hookeova zákona relativní deformaceεx=σx/E (6)Z poměrné deformace můžeme určit, o kolik se změní původní délka dx vláken vevzdálenosti z od neutrálné osy (zkrácení či prodloužení). Tuto změnu délky označíme du(z);zřejmě platí (viz obr. 79)du(z) = εx.dx (7)Z geometrického náhledu (obr. 129 vpravo) ihned plyne, že pro úhel dϕ(x) vycházídϕ(x)= -du(z)/z (8)Záporné znaménko indikuje, že působením kladného momentu My vznikne opačný smysldϕ(x) než u kladné hodnoty dϕ(x) odvozené z přetvoření ohybové čáry (derivace),obr. 130.

obr. 130: Rozdílné znaménko dϕ stanovené z rozboru ohybové čáry a natočení svislých řezů;kladné w´´dává opačné zakřivení ohybové čáry než kladný moment My.

Postupným zpětným dosazením (7), (6), (5) do (8) dostaneme důležitý vztahdϕ(x)= -My / (E.Iy ). dx (9)Porovnáním (4), popisujícím změnu natočení ohybové čáry prutu a (9), popisujícím tutéžzměnu natočení z pohledu prvku prutu dostávámew´´(x) = -My / (E.Iy ), (10)To je tak zvaná diferenciální rovnice ohybové čáry (prizmatického) prutu. Její dvojí integracízískáme rovnici ohybové čáry. Dvě vzniklé integrační konstanty určíme z podmínek uložení.

84

Nejčastějšími podmínkami jsou• podmínka nulového či předepsaného průhybu v daném bodě m, w(m)=0 či w(m)= zadaný

průhyb,• podmínka nulového či předepsaného natočení ohybové čáry v daném bodě m, w´(m) = 0

či w´(m) = zadané natočení.Rovnici (10) použijeme dobře pro staticky určitě uložené pruty, kde nám stačí (pro příčnézatížení) předepsat dvě okrajové podmínky. Pro staticky neurčité uložení prutů upravujeme(10) pomocí vztahu (3) z článku 65. Dostaneme tak obyčejnou diferenciální rovnici 4. řáduwIV(x) = qz / (E.Iy ). (11)Poslední tvar rovnice platí opět pro pruty zatížené spojitým zatížením qz. Rovnice potřebujek řešení 4 integrační konstanty, tedy o dvě více, než rovnice (10). Využijeme ji s výhodou unosníků, kde je třeba předepsat více okrajových podmínek, například u nosníků jednostranněnebo oboustranně upnutých.Tak pro případ spojitého rovnoměrného zatížení qz a nejběžnější případy uložení prutu jsouřešení přetvárných parametrů prutů uvedena v tabulce….

69. Tuhosti prutových prvků; poddajnostTuhost je jeden z velmi důležitých pojmů stavební mechaniky. Vyskytuje se všude tam, kdeje třeba rozdělit zatížení resp. jeho účinek na více prvků. Definují se tuhosti různých druhů,na několika kvalitativně odlišných úrovních. Zásadně není možné srovnávat vzájemně tuhostirůzných druhů.Výchozí definice tuhosti je následující: tuhost je velikost zatížení (síly), které vyvolájednotkové přetvoření. Tuhost značíme často písmenem D. Důležité je tedy uvědomit si:- jaký druh tuhosti (materiál, průřez, prut, konstrukce) vyhodnocujeme,- k jakému typu zatížení tuhost vyhodnocujeme,- k jakému typu uložení prutu (statické schema) tuhost vyhodnocujeme.Numericky reciprokou veličinou k tuhosti je poddajnost. Pro její klasifikaci tedy platí stejnápravidla jako pro tuhosti.

Krátce si různé druhy tuhostí objasníme.(a) tuhost materiáluTuto veličinu jsme již zmínili v článku 37. Vztah mezi napětím a přetvořením je dána prolineárně pružný materiál Hookeovým zákonem a jeho modifikací pro smykεx=σx / E (1)γxy=τxy/G (2)Napětí σx je síla na jednotku plochy a εx je zkrácení nebo prodloužení prvku na jednotkudélky. Aby se poměrná deformace εx rovnala jedné, musí být v rovnici (1) D=σx=E. Obdobněve vztahu (2), aby γxy bylo rovno jedné, musí být D= τxy=G. Tedy modul pružnosti je tuhostmateriálu v tahu/tlaku a modul pružnosti ve smyku je tuhost materiálu ve smyku.(b) tuhost průřezu prutuPrůřez prutu se může přemístit čtyřmi způsoby, viz obr. 98. Uvažujeme prut jednotkovédélky, zatížený osamělými silami Nx, Tz, My, Mx na jednom konci, na druhém konci vetknutý(konzola). Ke každému přemístění příčného řezu hledáme sílu D - tuhost, která způsobíprávě přemístění jednotkové velikosti na prutu jednotkové délky. Průřezové charakteristikyprutu jsou plocha A, moment setrvačnosti Iy polární moment setrvačnosti Ip. Všechny veličinyvztahujeme k hlavním centrálním osám setrvačnosti.● Tah/tlakPro napětí zde platíσx=Nx/A (3)takže po dosazení do (1) vyjde z požadavku εx=1 tuhost D=AE. Tato veličina se jmenujeosová tuhost průřezu.● Prostý smykPro napětí zde platíτxz=Tz/A (4)

85

takže po dosazení do (2) vyjde z požadavku γxy=1 tuhost D=AG. Tato veličina se jmenujesmyková tuhost průřezu. Obdobně pro zatížení Ty ve směru osy y.● Prostý ohyb (odvození pro ohyb ve směru osy z)Podle rovnice (9) z článku 68 platí pro prvek prutu délky dxdϕ(x)= -My / (E.Iy ). dxtakže pro zatížení osamělým momentem My na konci prutu jednotkové délkyϕ(L=1) = -My / (E.Iy ). (5)Podmínka pro dosažení jednotkového natočení ϕ(x)=1 dává tuhost D=E.Iy. Veličina senazývá ohybová tuhost průřezu ve směru osy z. Zcela analogicky pak D=E.Iz je ohybovátuhost průřezu ve směru osy y.● Prosté krouceníObdobným způsobem jako v předchozích případech bychom odvodili tuhost průřezuv prostém kroucení ve tvaru D=G.Ip. Vzhledem k malému praktickému významu odvozeníneprovádíme.(c) tuhost prutuJde o vyjádření tuhosti prutu jako celku, tedy včetně vlivu jeho délky. Podle definice jde onalezení síly D, způsobující jednotkovou deformaci (posuv, natočení). Je zřejmé, že v tomtopřípadě uvažujeme prut skutečné délky L, průřezové charakteristiky zůstávají jakov předchozím případě.Ukažme si stanovení tuhostí prutu pro případ konzolového uložení prutu a zatíženíosamělými silami Fx, Fz, My, Mx na volném konci prutu.Úloha je v tomto případě snadná. Jestliže byly tuhosti průřezu v předchozím případěstanoveny pro jednotkovou délku prutů, znamená to, že pro prut délky L bude odpovídajícíposun či natočení L násobkem přetvoření jednotkového prutu, obr. 131.

obr. 131: Schema ke stanovení prutových tuhostí.

Například pro prostý ohyb tedy platí podle (5)ϕ(L) = -My .L / (E.Iy )takže z podmínky ϕ(L) = 1 dostáváme ihned D= E.Iy/LNa základě stejné úvahy musí pro odpovídající prutové tuhosti platit● Tah/tlak D= E.A/L osová tuhost prutu● Prostý smyk D= G.A/L smyková tuhost prutu● Prostý ohyb D= E.Iy/L, D= E.Iz/L ohybová tuhost prutu● Kroucení D=G.Ip/L tuhost prutu v krouceníPrutová tuhost může být stanovena i pro jiná uložení prutu. Tak například ve známédeformační metodě pro řešení staticky neurčitých rámových konstrukcí je výchozí schemaoboustranně upnutý prut; určitá tuhost se stanoví tak, že jednotkový je pouze jediný parametrpřetvoření (například natočení koncového průřezu), ostatní parametry musejí být rovny nule.Vztahy pro tuhosti jsou pak dány jinými výrazy Viz dále příklady).

Pokud tedy mezi sebou srovnáváme tuhosti, musíme dbát, aby srovnávané tuhosti bylystanoveny- na stejné úrovni (materiál, průřez nebo celý prut),- pro stejné zatížení (osamělé síly, spojitá zatížení),- pro stejné statické schema.Pro obecný typ zatížení a statické schema prutu se odpovídající tuhosti stanoví z ohybové

86

čáry prutu, integrací rovnice (10) resp. (11) z článku 68.(d) tuhost konstrukcíNa základě dosavadních úvah můžeme i přesněji definovat pojem tuhosti budovy, srovnejčlánek 28. Z hlediska teorie pružnosti je tuhost budovy síla (nebo určitý typ či kombinacezatížení), která způsobí její jednotkovou deformaci. Nejčastěji je vyhodnocovaná tuhostbudov z hlediska jejich odezvy na vodorovné zatížení (vítr).(e) komplexní tuhostNechť jedno zatížení způsobí na prutu (nebo konstrukci) více druhů namáhání; napříkladohyb příčným zatížením vždy vyvolá ohybové a smykové namáhání. Potom bychom měli přistanovení tuhosti prutu přihlédnout ke všem druhům přetvoření, v daném případě ohybu asmyku. Příslušná tuhost se pak nazývá komplexní tuhost prutu.

(f) PoddajnostPoddajnost je ve smyslu teorie pružnosti deformace, vyvolaná jednotkovým zatížením.Označujeme ji většinou řeckým písmenem δ. Vzhledem k výše uvedené definici tuhosti platípro jakýkoliv druh poddajnosti, svázaný s odpovídajícím druhem tuhosti, důležitý vztahδ = 1/D. (6)

Příklad 1:Jako ilustraci výše uvedených pojmů spočteme jeden pro praktické úlohy důležitý případ.Konzola výšky H je v bodě x=0 vetknuta do podloží. Má se určit její poddajnost při zatíženípříčným rovnoměrným zatížením qz, obr. 132. Plocha průřezu A, modul pružnosti E, modulpružnosti ve smyku G, moment setrvačnosti Iy.

obr. 132: schema k výpočtu tuhodti resp. poddajnosti konzoly

Jde o rovinný ohyb. Proto dále indexy u jednotlivých veličin nebudeme vyznačovat.Ohybový moment k bodu xM(x) = -1/2 q.(H-x)2 (7)posouvající síla ve stejném průřezu (Schwedlerova věta, srovnej článek 65)T(x) = q.(H-x) (8)Ohybovou čáru v důsledku působení ohybového momentu získáme dvojí integrací ohybovéčáry prutu (rovnice (10), článek 68). Integrační konstanty plynou z podmínek w(0)=0,w´(0)=0. Vychází rovnice ohybové čáry (parabola čtvrtého stupně)w(x) = q. x2 / (24 EI). (4lx – x2 – 6H2) (9)Takže průhyb na volném konci konzolyw(H)=qH4/(8EI) (10)Průhyb střednice v důsledku působení posouvající síly (smykové přetvoření) získámez rovnice (4) tohoto odstavce a Hookeova zákona pro smykγ = τ/G = T(x)/(AG) = T(x) = q.(H-x) /(AG)takže na prvku prutu šířky dx vznikne přírůstek průhybu v důsledku smyku

87

dwT(x) = γ.dx = q/(AG). (H-x).dxa integrací tohoto vztahu získáme rovnici pro průhybovou křivku v důsledku smyku. Přitomopět využíváme okrajovou podmínku wT(0) = 0. VycházíwT(x) = q/(AG). (H-x /2).x (11)takže pro průhyb v důsledku smyku na volném konciwT(H)=qH2 / (2AG) (12)Tvar přetvořené střednice v důsledku působení ohybu a smyku je potom součet pravýchstran rovnic (9) a (11). Speciálně na volném konci x=Hw(H) = qH4/(8EI)+ qH2 / (2AG) = q. [H4/(8EI)+H2 / (2AG)] (13)Tato rovnice ukazuje, že vliv ohybu roste se čtvrtou mocninou výšky, zatímco vliv smykupouze s druhou mocninou. To je důvod proč se vliv posouvající síly většinou zanedbává.Vyjímku mohou tvořit pouze krátké a přitom vodorovně silně zatížené konzoly.Konečně, s využitím rovnice (6) tohoto odstavce můžeme určit tuhost konzoly. Položíme-liw(H)=1, vychází komplexní tuhost DM,T ve tvaruDM,T = 1/ [H4/(8EI)+H2 / (2AG)] (14)a při zanedbání vlivu smyku (ohybová tuhost)DM = (8EI)/ H4. (15)Poslední dva vztahy se velmi často využívají při analýze statického působení vícepodlažníchbudov.

Příklad 2:Jednostranně upnutý prizmatický prut délky L je v podpoře a vetknutý, v podpoře b jekloubově uložený a je zde zatížený ohybovým momentem Mba. Chceme zjistit tuhost prutuvzhledem k zatížení tímto podporovým momentem.

Prutová tuhost je v tomto případě rovna takové velikosti ohybového momentu Mba , kterývyvolá jednotkové natočení v průřezu b. Protože jde o staticky neurčité uložení, vyjdemez rovnice (11) podle článku 68. čtyřnásobným integrováním a uplatněním okrajovýchpodmínekw(0)=0, w´(0)=1 levá podpora, nulový průhyb i natočeníw(L)=0, E.I.w´´(L)=Mba pravá podpora, nulový průhyb (předepsaná hodnota ohybového

momentu, viz rovnice (10), článek 68)vychází ohybová čára prutu ve tvaruw(x) = Mba. (x3/L-x2)/(4.E.I) (16)a směrnice tečny potomw´(x)= Mba. (3x2/L-2x)/(4.E.I) (17)Pro jednotkové natočení průřezu b bude zřejmě podporový moment roven právě hledanétuhosti Dba:w´(L)=1=Dba. (3L2/L-2L)/(4.E.I)takže vycházíDba=4EI/L (18)Snadno se přesvědčíme, že poloviční hodnota této tuhosti se zavádí v rámci již zmíněnédeformační metody pro řešení prutových konstrukcí jako univerzální konstanta nazývaná„tuhost prutu“. Je zjevné že se nejedná o tuhost ve smyslu výše uvedené definice tuhosti, aleo konstantu, která má formálně stejný rozměr jako skutečná prutová tuhost. „Tuhost prutu“se jako výraz vyskytuje v deformační metodě opakovaně v řadě výrazů, takže jejímzavedením zjednodušujeme numerickou komplikovanost výpočtů.

88

70. Svazek prutů se stejným přetvořením středniceVe stavební praxi se často vyskytují situace, kdy je několik rovnoběžných prutů se stejnýmstatickým schema nuceno do stejného tvaru přetvoření. Typickým případem jsousloupy různých průřezů případně i z různých materiálů, které jsou vlivem velké tuhostikonstrukce nad sloupy nuceny ke stejnému svislému stlačení. Podobným případem jsousvislé prvky vícepodlažních budov, které jsou (většinou) stejně vysoké, se statickým schemakonzoly vetknuté do základu. Vlivem tuhé stropní tabule (žb. deska, spřažené ocelobetonovéstropy a podobně) jsou tyto svislé prvky nuceny ke stejné vodorovné deformaci. Mají tedyvšechny z nich shodné průhybové křivky, ačkoliv se od sebe z hlediska průřezu zásadně liší.V těchto případech je nutné řešit dvě otázky:● jaká je velikost přetvoření svazku prutů jako celku,● jak se příslušné zatížení rozděluje na jednotlivé pruty svazku.Přiblížíme si řešení tohoto problému na výše uvedených často se vyskytujících případech.Tato situace byla již pro základní případ identických nosníků z různých materiálů diskutovánav odstavci 38.(a) Svazek prutů o stejném zkrácení (prodloužení) středniceUvažujme soustavu n svislých prutů, zatížených svislým zatížením F přes tuhý,nedeformovatelný prvek, obr. 133. Všechny pruty mají délku L, i-tý prut má plochu Ai a modulpružnosti Ei. Neuvažujeme vliv vzpěru, zatížení působí pouze stlačení, nikoliv ohyb prutůsvazku.

Velikost přetvoření svazkuTuhost jednoho prutu v osovém namáhání je DiN=EiAi/L (viz článek 69). Tuhost celéhosvazku v osovém namáhání DN je tedy zřejmě rovna součtu tuhostí DiN všech prutů, tedyDN =(Σi=1,n Ei Ai/L) = (Σi=1,n DiN ) (1)Síla o velikosti DN by stlačila celý svazek prutů o jednotku délky. Bude-li se velikost síly F k-krát lišit od síly DN, bude se také k-krát lišit i společné zkrácení u prutů. Pro zkrácení prutů najejich horním konci u(L) tedy platí úměrau(L)/1 = F/DNodkud po dosazení z (1)u(L) = F / Σi=1,n DiN (2)a speciálně pro konstrukci z jednoho materiálu (E=konst.)u(L) = F.L /(E. Σi=1,n Ai) (3)

obr. 133: Svazek prutů (sloupů) se stejnou svislou deformací od zatížení tíhou objektu.

Rozdělení zatížení na jednotlivé prutyProtože stlačení u(L) je u všech prutů stejné, plyne z definice prutové tuhosti, že síla Fi v i-tém prutu se získá z rovniceFi = u(L) . DiN = F. DiN / (Σi=1,n DiN ) (4)Protože L je konstantní, lze je z čitatele a jmenovatele vytknout a potom platí

89

Fi = F. (EiAi) / ( Σi=1,n Ei Ai ) (5)z čehož plyne, že celková síla F se rozděluje na jednotlivé pruty v poměru jejich průřezovýchosových tuhostí. V případě prutů z jednoho materiálu je možné vykrátit rovněž E adostávámeFi = F. Ai / ( Σi=1,n Ai ) (6)odkud plyne, že celková síla se potom rozděluje v poměru průřezových ploch.Obecně je vidět, že tendence zatížení je stěhovat se do tužších prvků – tj. do prvků s vyššímmodulem pružnosti a vyšší plochou.

(b) Svazek prutů o stejné průhybové křivceV tomto odstavci využijeme výsledků získaných v odstavci (f) článku 69.Uvažujme soustavu n svislých, stejně dlouhých prutů, zatížených vodorovným rovnoměrnýmzatížením q. Svislé prvky jsou ve vodorovných rovinách propojeny tuhými stropními tabulemi,takže prvky musejí mít stejnou vodorovnou deformaci, obr. 134 vlevo. Vodorovné zatíženínechť působí tak, že působí pouze ohyb svazku (výslednice zatížení nezpůsobuje kroucenísvazku, prochází tak zvaným středem smyku). Zatížení působí jedním směrem, kterýnebudeme pro jednoduchost zápisu označovat indexy. Vliv smykové deformace oprotivelikosti ohybové deformace můžeme zanedbat(článek 69 (f)). Všechny pruty mají délku H, i-tý prut má moment setrvačnosti v odpovídajícím směru Ii a modul pružnosti Ei.

Velikost přetvoření svazkuTuhost jednoho prutu v prostém ohybu je DiM = (8Ei Ii )/ H4, jak plyne z výpočtu, provedenémv článku 69. Schema pro výpočet tuhosti jednotlivých prutů svazku je na obrázku obr. 134vpravo. Tuhost celého svazku v prostém ohybu DM je tedy zřejmě rovna součtu tuhostí DiMvšech prutů, tedyDM = (Σi=1,n DiM ) (7)Síla o velikosti DM by způsobila na volném konci svazku konzol jednotkový průhyb. Bude-li sevelikost zatížení q k-krát lišit od zatížení DN, bude se také k-krát lišit i společný průhybsvazku prutů. Pro průhyb svazku na jeho horním konci w(H) tedy platí úměraw(H)/1 = q/DM (8)odkud po dosazení ze (7)w(H) = q / (Σi=1,n DiM) (9)a speciálně pro konstrukci z jednoho materiálu (E=konst.)w(H) = q H4 /(E. Σi=1,n Ii) (10)

obr. 134: Svazek prutů, mající díky propojení tuhou stropní tabulí stejnou vodorovnoudeformaci (vlevo); schemata ke stanovení prutových tuhostí jednotlivých prutů(vpravo).

Rozdělení zatížení na jednotlivé prutyProtože průhyb w(H) je u všech prutů stejný, plyne z definice prutové tuhosti, že zatížení qi,

90

působící na i-tý prutu se získá z rovniceqi = w(H) . DiM = q. DiM / (Σi=1,n DiM ) (4)Protože H je konstantní, lze jej z čitatele a jmenovatele vytknout a po vykrácení platíqi = q. (EiIi) / ( Σi=1,n Ei Ii ) (5)z čehož plyne, že celkové zatížení q se rozděluje na jednotlivé pruty v poměru jejichprůřezových ohybových tuhostí. V případě prutů z jednoho materiálu je možné vykrátitrovněž E a dostávámeqi = q. Ii / ( Σi=1,n Ii ) (6)odkud plyne, že celkové zatížení q se potom rozděluje v poměru momentů setrvačnosti.Obecně je vidět, tendence zatížení je stěhovat se do tužších prvků – tj prvků s vyššímmodulem pružnosti a vyšším momentem setrvačnosti. Protože moment setrvačnosti rostes třetí mocninou výšky průřezu zatímco s šířkou průřezu jen lineárně, přenášejí v podstatěveškeré vodorovné zatížení ve svazcích prutů prvky mající oproti sloupovým prvkům stěnovýcharakter, případně jádra. Sloupy naopak přenášejí vesměs pouze svislé zatížení ze stropů.

71. Stabilita pružných prutůZákladní úloha stability přímých prutů je zachycena na obr. 135. Štíhlý prut je při ní tlačenýosovou silou Fx. Pro výpočet kvality stability prutu předpokládáme, že tlačený prut je zvenčívychýlen z přímého směru. Z okolí prutu totiž může vzejít i jen krátkodobý impuls (např. sílapůsobící příčně na prut, nerovnoměrné jednostranné zahřátí prutu a podobně), kterýpočáteční průhyb prutu vyvolá.

obr. 135: Schema k výpočtu stability přímých pružných prutů

Experimenty ukázaly, že mohou nastat tři případy:• Pro určitý rozsah velikosti síly Fx, pro který platí 0<Fx< Fcrit, se po odstranění vnějšího

impulsu prut vrátí do své původní (přímé) polohy. Tomuto stavu říkáme stav stabilnírovnováhy.

• Dosáhne-li velikost osové síly Fx tak zvané kritické hodnoty Fcrit, ukazuje se, že se jižprut zatížený bočním impulsem ani po jeho odstranění nevrátí, ale zůstane státv přetvořeném stavu. Tomuto stavu říkáme stav indiferentní (neutrální) rovnováhy.

• Konečně, přesáhne-li velikost osové síly Fx velikost kritické hodnoty Fcrit, ukazuje se, žese prut zatížený bočním impulsem i po jeho odstranění bude dále deformovat. Tomutostavu říkáme stav nestabilní rovnováhy.

Je tedy zásadním úkolem stanovení kritické síly Fcrit. K jejímu určení zřejmě budeme musetpracovat i s průhybem w(x), který způsobuje excentrické působení osové síly Fx. Kroměosové síly tedy působí na prut i ohybový momentMvzp(x) = F.w(x), (1)který vzniká na přetvořené konstrukci. Neplatí zde tedy předpoklad malých deformací, vizčlánek 4. Proto také pro stabilitní problémy nemůže platit princip superpozice, viz závěryčlánku 39.Podle článku 68 je mezi průhybem střednice w(x) a působícími ohybovými momenty M(x)vztah, daný rovnicíw´´(x) = -M / (E.Imin ). (2)Výraz Imin říká, že samozřejmě očekáváme vybočení prutu ve směru nejmenšího momentusetrvačnosti (tedy ve směru jedné z hlavních centrálních os setrvačnosti). Dosadíme-li do (2)za M hodnotu Mvzp podle (1), dostaneme diferenciální rovnici pro hledanou funkci průhybuw´´(x)= - F.w(x)/(E.Imin) (3)

91

Jejím řešením určíme hodnotu kritické síly ve tvaruFcrit = π2. E . Imin / L2

vzp (4)kde Lvzp je tak zvaná vzpěrná délka prutu, závislá na uložení jeho konců. Pro některé případyuložení prutu jsou vzpěrné délky uvedeny na obrázku obr. 136.

obr. 136: Vzpěrné délky prutů při základních způsobech uložení.

Z rovnice (4) snadno plyne vztah pro kritické napětí σcrit,σcrit = Fcrit / A = π2. E / λ2 (5)kde λ je tak zvaný štíhlostní poměrλ = Lvzp /√(Imin/A)= Lvzp / imin (6)a kde konečně imin je tak zvaný poloměr setrvačnosti, v daném případě vztažený k oses nejmenším momentem setrvačnosti, tedyimin= √(Imin/A) (7)Rovnice (5), (6), (7) jsou tedy jen formální úpravy (4). Ukazují však zavedení důležitýchveličin pro praktický výpočet, a to štíhlostní poměr λ a poloměr setrvačnosti i, které sevyskytují v tabulkách potřebných pro výpočet prutů namáhaných na vzpěr.Ze vztahu (4) je vidět, že problém vzpěru je vlastně problémem velikosti kritické síly.Kritickou sílu lze zvětšit zvětšením minimálního momentu setrvačnosti, snížením vzpěrnédélky či zvýšením modulu pružnosti materiálu. Tím jsou zdůvodněny závěry článku 25, 26.Problém vzpěru je dále ještě komplikovaný třemi faktory:- počátečními imperfekcemi (nepřesností tvaru) prutu- odchylkami chování materiálu od lineární pružnosti a- reologickými vlastnostmi materiálu.Tyto souvislosti jsou postiženy v jednotlivých normách navrhování. Nebudeme se jejichrozborem dále zabývat.

92

NOSNÉ KONSTRUKCE STAVEB ................................................................................................... 1

1. VÝSLEDNICE SOUSTAVY SIL V ROVINĚ, NÁHRADNÍ BŘEMENA..................................................... 12. POPIS PŘÍMÉHO ZATÍŽENÍ .............................................................................................................. 33. ÚLOHA NOSNÉ KONSTRUKCE......................................................................................................... 64. TUHÉ A PODDAJNÉ TĚLESO ............................................................................................................ 85. ROVINNÝ A PROSTOROVÝ PRVEK, KONSTRUKCE ......................................................................... 96. ROVINNÝ PRVEK ............................................................................................................................. 97. ROVINNÁ KONSTRUKCE ............................................................................................................... 108. PODPORY A VAZBY PRVKŮ ........................................................................................................... 119. PODPORY A VAZBY PRVKŮ VE 2D ................................................................................................ 1110. PODPORY A VAZBY PRVKŮ VE 3D .............................................................................................. 1311. JEDNOSTRANNÉ VAZBY .............................................................................................................. 1312. KONSTRUKCE – SOUSTAVA PROPOJENÝCH PRVKŮ; TVAROVÁ STABILITA............................. 1413. PODPORY A VAZBY ROVINNÝCH KONSTRUKCI (2D)................................................................. 1414. TVAROVÁ STABILITA ROVINNÝCH KONSTRUKCÍ-ZJEDNODUŠENÉ POSOUZENÍ...................... 1515. PODPORY A VAZBY PROSTOROVÝCH KONSTRUKCI (3D) ......................................................... 1616. TVAROVÁ STABILITA PROSTOROVÝCH KONSTRUKCÍ .............................................................. 1717. TVAROVÁ STABILITA KONSTRUKCÍ Z NETUHÝCH PRVKŮ........................................................ 1718. ROVNOVÁHA ............................................................................................................................... 1719. ROVNOVÁHA TUHÝCH PRVKŮ VE 2D; PRUTOVÉ PRVKY .......................................................... 1820. PRUTOVÉ PRVKY......................................................................................................................... 1821. ZAVEDENÍ VNITŘNÍ SÍLY NA PRUTOVÝCH PRVCÍCH VE 2D ...................................................... 1922. ROVNOVÁHA ROVINNÝCH KONSTRUKCÍ................................................................................... 2023. ROVNOVÁHA TUHÝCH PRVKŮ VE 3D; PRUTOVÉ PRVKY .......................................................... 2124. ROVNOVÁHA PROSTOROVÝCH KONSTRUKCÍ ........................................................................... 2125. STATICKÁ STABILITA ................................................................................................................. 2126. STATICKÁ STABILITA TLAČENÝCH ŠTÍHLÝCH A SUBTILNÍCH KONSTRUKCÍ .......................... 2127. STATICKÁ STABILITA ZÁKLADOVÝCH KONSTRUKCÍ ............................................................... 2428. PROSTOROVÁ TUHOST KONSTRUKCÍ......................................................................................... 2429. STABILITA KONSTRUKCÍ JAKO CELKU – ODOLNOST PROTI PŘEVRŽENÍ A POSUNUTÍ............ 2630. ROVINNÉ PLNOSTĚNNÉ OBLOUKY ............................................................................................. 2831. ZDĚNÉ KLENBY ........................................................................................................................... 3232. JEDNOSMĚRNÉ LANOVÉ SYSTÉMY............................................................................................. 3333. PODDAJNÁ TĚLESA – REALITA CHOVÁNÍ KONSTRUKČNÍCH PRVKŮ A SYSTÉMŮ.................... 3834. PRACOVNÍ DIAGRAMY ................................................................................................................ 3835. CHOVÁNÍ SKUTEČNÝCH MATERIÁLŮ ........................................................................................ 3936. MATERIÁLY HOMOGENNÍ A IZOTROPNÍ.................................................................................... 4137. MATERIÁL LINEÁRNĚ PRUŽNÝ, HOOKEŮV ZÁKON .................................................................. 4238. JEDNODUCHÉ DŮSLEDKY HOOKEOVA ZÁKONA; KOMBINACE MATERIÁLŮ ........................... 4339. PRINCIP SUPERPOZICE ............................................................................................................... 4440. PŘETVOŘENÍ PRVKŮ A KONSTRUKCÍ VLIVEM PŘÍMÉHO ZATÍŽENÍ......................................... 4441. ZPŮSOB OZNAČOVÁNÍ GEOMETRICKÝCH A SILOVÝCH VELIČIN ............................................. 4542. PŘETVOŘENÍ PODDAJNÝCH TĚLES (2D) .................................................................................... 4743. NAPĚTÍ V PODDAJNÝCH TĚLESECH ........................................................................................... 4844. ZAVEDENÍ POJMU NAPĚTÍ V PEVNÝCH TĚLESECH.................................................................... 5045. POPIS NAMÁHÁNÍ PODDAJNÉHO TĚLESA (2D) .......................................................................... 5046. PORUŠENÍ MATERIÁLU; HLAVNÍ NAPĚTÍ................................................................................... 5247. VZTAH NAMÁHÁNÍ A PŘETVOŘENÍ V PODDAJNÉM, LINEÁRNĚ PRUŽNÉM TĚLESE;ZOBECNĚNÝ HOOKEŮV ZÁKON; MATERIÁLOVÉ KONSTANTY .......................................................... 5448. ODHAD NAMÁHÁNÍ A PŘETVOŘENÍ V OBECNÉM PŘÍPADĚ ....................................................... 5549. PRUTOVÉ KONSTRUKČNÍ PRVKY ............................................................................................... 56

93

50. GEOMETRIE PŘETVOŘENÍ PRUTOVÝCH PRVKŮ........................................................................ 5651. GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PŘÍČNÉHO ŘEZU PRUTU A JEJICH VÝZNAM................... 5752. VZTAH VNITŘNÍCH SIL A PŘETVOŘENÍ NA PRUTOVÝCH PRVCÍCH VE 2D ............................... 5953. VZTAH VNITŘNÍCH SIL A NAPĚTÍ V PRUTOVÝCH PRVCÍCH ...................................................... 6054. STATICKÉ CHARAKTERISTIKY PŘÍČNÉHO ŘEZU PRUTU (PRŮŘEZOVÉ FUNKCE) .................... 6255. POSTUP PŘI REKONSTRUKCE NAPĚTÍ Z VNITŘNÍCH SIL U PRUTŮ............................................ 6356. NAMÁHÁNÍ V PROSTÉM TAHU / TLAKU ..................................................................................... 6457. NAMÁHÁNÍ V PROSTÉM SMYKU (RYZÍ SMYK, STŘIH)............................................................... 6558. NAMÁHÁNÍ PROSTÝM OHYBEM (DVOJICE SIL V ROVINĚ KOLMÉ K PRŮŘEZU)....................... 6559. NAMÁHÁNÍ KROUCENÍM ............................................................................................................ 6860. KOMBINACE NAMÁHÁNÍ; SUPERPOZICE NAPĚTÍ ...................................................................... 7061. PŘÍČNĚ ZATÍŽENÝ OHÝBANÝ PRUT............................................................................................ 7062. EXCENTRICKY TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT.......................................................................... 7263. PŘÍČNĚ ZATÍŽENÝ PRUT, ROVINA ZATÍŽENÍ NEPROCHÁZÍ STŘEDNICÍ ................................... 7664. PŘÍČNĚ ZATÍŽENÝ, EXCENTRICKY TLAČENÝ PRUT – PRINCIP PŘEDPJATÉHO BETONU......... 7765. MÍSTA MAXIMÁLNÍCH NAMÁHÁNÍ PRUTŮ; VZTAHY VNITŘNÍCH SIL ...................................... 7866. NEHOMOGENNÍ PRUTOVÉ PRVKY; IDEÁLNÍ PRŮŘEZ ............................................................... 7967. ODCHYLKY SKUTEČNÉHO PŮSOBENÍ NOSNÍKŮ OD VÝPOČTU PODLE LINEÁRNÍ PRUŽNOSTI;ŽELEZOBETON ...................................................................................................................................... 8068. OHYBOVÁ ČÁRA PRUTU.............................................................................................................. 8269. TUHOSTI PRUTOVÝCH PRVKŮ; PODDAJNOST............................................................................ 8470. SVAZEK PRUTŮ SE STEJNÝM PŘETVOŘENÍM STŘEDNICE ......................................................... 8871. STABILITA PRUŽNÝCH PRUTŮ .................................................................................................... 90