Kompakte Objekte in der Astrophysik - mpia-hd.mpg.de fileKompakte Objekte: Universität Potsdam...

Kompakte Objekte in der Astrophysik

� Weisse Zwerge

� Neutronensterne

� Schwarze Löcher

� Beobachtung / Physikalische Prozesse: ART

� Aufbau: Zustandsgleichung ...

� Entwicklung: Akkretion / Kühlung ...

Vorlesung im SS2004 von Christian Fendt

Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

3d. Chandrasekhar-Grenzmasse

Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas:

--> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3

--> löse hydrostatisches Gleichgewicht:

durch Substitution:

Γ = 5/3,

1r 2

ddr

r 2

�

dPdr

=�4�G � r

M =4� R 3 � n / 1� n n�1 K4�G

n / n � 1

�13 � n / 1� n

�12� ' �1

�=� c �n

r =a �� =1�1/ n

a=n�1 K � c

1 /n � 1

4�G

1 / 2

� � =0 for �� 1

R=1.12×10 4 � c

10 6 gcm 3

�16

� e

2

�56

km

M =0.70R

10 4 km

�3

� e

2

�5

M o

Γ = 4/3,

R=3.35×10 4 � c

10 6 gcm 3

�13

� e

2

�23

km

M =1.447� e

2

� 2

M o

n=32

, �1=3.65.., �12� ' �1 =2.71.. n=3, �1=6.89..., �1

2� ' �1 =2.01...



3f. Verbesserte WD-Modelle

��

Zusätzliche Effekte verändern Chandrasekhar-Modell für weiße Zwerge (z.B. Hamada & Salpeter 1961):

(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte: --> lokale Ladungsverteilung: --> Elektronen im Coulomb-Potential der Ionen --> Anziehung vermindert Druck

--> Annahme: n_e konstant im Ionengitter: --> Gitterzelle um Ion mit Z Elektronen mit Radius:

--> elektrostatische Energie:

--> zw.Elektronen: --> zw. Ion u. Elektr.:

--> Coulomb-Energie pro Elektron:

--> Coulomb-Druck:

--> Druck durch Coulomb-Kräfte:

r 0�4�3

r 03=n N

�1

E ee =�0

r 0

q dqr

=35

Z 2 e 2

r 0

q =�Z e r / r 03

E ei = Z e�0

r 0

dqr

=�32

Z 2 e 2

r 0

E c

Z=

E ee�E ei

Z=�

910

e 2 43� n e Z 2

13

P c =n e2 d

dn e

E c

Z=�

310

e 2 43� n e

4 Z 2

13




��

Elektrostatischer Druck:

--> vgl. zu Chandrasekhar-Modell

(1) extrem relativistisch:

( α = 1/137 Feinstruktur-Konstante) --> kleiner Effekt, aber wichtig in dichten WD / wenig dichten NS

(2) nicht relativistisch:

--> P = 0 für

--> Beispiel Eisen: --> Abweichung: Elektronengas nicht gleichförmig bei kleinen Dichten, Rand-Effekte --> Ansatz ok für WD und große Planeten

P 0 =�h c8�

3� 2 n e4

13 P

P 0

=P 0� P c

P 0

=1�2

53

53�

13

� Z23

P 0 ~n e

53 P

P 0

=1�4 �m e e 2

h 2

Z 2

2 n e

13

n e =Z 2

2�3 a 03 , a 0 =

h 2

2�m e e 2 � 0�0.4 Z 2 g / ccm

� 0�250 g / ccm , Laborwert � 0 =7.86 g / ccm




��

(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte:

--> besserer Ansatz: Thomas-Fermi-Methode:

--> Dichte:

--> Potential V(r) sphärisch, leicht variabel, Poisson-Gl.:

--> Thomas-Fermi-Gleichung: mit

--> Druck:

--> für kleine ρ (für große ρ s.o.):

P =8�

15 h 3 m e

p F5 r 0 =

Z 2 e 2

10��4

� x 0

x 0

52

E F =�e V r �

p F2 r

2 m e

=constant

� 2 V r =4� e n e� nukl. Anteil

n e =8�

3 h 3 p F3

=8�

3 h 3 2 m e E F �e V r32

d 2�

dx 2 =�

3

xE F �e V r =

Z e 2� xr

r =� x , �=a 0

9� 2

128 Z

13

P =2h 3

13 �0

p F p 2

m e

4� p 2 dp

� x ~144 x �3 , x �� : P ~ x 0�10

~ 010 / 3x 0 �� ,




��

(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):

--> bei hohen Dichten:

für

Bedingung: kein β-Zerfall:

--> erfüllt bei hoher Dichte: --> alle Energieniveaus für e besetzt

--> Mischung aus p, n, e:

--> chem. Potentiale: --> �relativity parameter�:

Ladungserhaltung -->

--> Zustandsgleichung der (p,n,e)-Mischung:

u.ä. für innere Energie u

--> Kritische Dichte für Neutronen (x_p <<1):

-->

e�� p � n��

E e� m n �m p c 2=1.29 MeV

n � p�n��

� e�� p=� n

x e=p F

e

m e c, x p=

p Fp

m p c, x n=

p Fn

m n c

m e 1� x e2�m p 1� x p

2=m n 1� x n

2

m e x e=m p x p

P=m e c 2

� e3 � x e �

m p c 2

� p3 � x p

�m n c 2

� n3 � x n

n=1

3� 2� p

3 x p3�

12� 2

� n3 x n

3 , � i=h

2�m i

x n=0, m e 1� x e2=m n �m p

n=1

3� 2� e

3

m n �m p

m e

2

�1

32

n=7.37×10 30 cm�3 0=1.2×10 7 g

cm 3




��

(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):

--> Zunahme Neutronen bei höheren Dichten:

-->

--> Verhältnis n_p/n_n : -- sinkt erst für steigendes x_n -- ist minimal (=0.0026) für -- steigt dann auf 1/8 für

--> Probleme: - Neutrino-Emission - thermodyn. GG (offenes System) - n/p/e aus nukl. Reaktionsraten

m e2�m p

2 x p2�m p 1� x p

2=m n 1� x n

2

n p

n n

�18

1�4m n �m p

m n x n2 �4

m n �m p2�m e

2

m n2 x n

4

1�1/ x n2

3 / 2

� 0=7.8×10 11 gcm 3

x n �� , � 0 ��

10 7�� 0�4×10 11 g cm�3

4×10 11 g / cm 3

4×10 12 gcm 3

u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n

--> Harrison-Wheeler-Zustandsgleichung: --> für und Baryonenzahl --> Problem: welche Nukleonen?

--> Nuklearbrennen im thermodyn. GG --> stabile (minimale) Energiezustände (z.B. Eisen Fe(56,26) für A=56) --> Neutronenreichere Kerne bei hohen ρ --> kritische n/p-Verhältnis ab

--> �neutron drip�: freie Neutronen (+ Elektronen + Kerne N) definieren niedrigsten Energiezustand --> Druck freier Neutronen ab

--> Energiedichte eines (N,n,e)-Gemischs:

--> M(A,Z) = ??? (Kern-Energie, �Massengleichung�) --> HW: M(A,Z) semi-empirisch

A=10 57




��

Harrison & Wheeler, 1958 (HW):

--> Zustandsgleichung P(ρ):

-- �neutron drip� bei hier: (A,Z) ~ (122, 39.1) -- 60% n-Druck bei hier: (A,Z) ~ (187, 48.8)

--> vgl. zu Eisen (56, 26): (ideales Elektronengas) Abweichungen ab

--> Baym-Pethick-Sutherland, 1971 (BPS):

--> Verbesserungen für

--> A und Z sind diskret ! --> Gitter-Energie ~> nukl. Zusammens. ~> u_e

--> Phasenübergang zwischen Nukleonen --> Diskontinuität in n und ρ = u/c^2:

--> Beispiel: für Fe56 -> Ni62, also Z/A=0.464 -> Z/A=0.452

10 7�� 0�4×10 11 g cm�3 ¿

� c 2=u=n e

M A , ZZ

�u ' n e �u n n n

P= P e� P n

n=n eAZ�n n u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n �u L

� �

�� nn��

� Z / AZ / A

3.18×10 11 g / cm 3

4.54×10 12 g / cm 3

� 0~10 7 g / cm 3

�� / ��0.029


��

--> Harrison & Wheeler (1958), Baym, Pethick & Sutherland (1971) und andere:




��


3g. Zsfssng: WD-Zustandsgleichung

--> Zustandsgleichung für weiße Zwerge: --> gut untersucht, gut verstanden:

--> �kalte� Z-Gleichung unterhalb Neutronen-�drip�: --> Elektronen voll relativistisch für:

--> Chandrasekhar-Modell --> Grenzmasse 1.4 M_o

--> positive Ladungen (Kerne) formen regelmäßiges Coulomb-Gitter im e-Gas

--> Coulomb-Kräfte: kleinere Stern-Radien (größere Zentraldichte)

--> Neutronisierung (HW, BPS): -- GG-Kern bis : Fe(56,26) -- Neutronenanreicherung für höhere ρ_0 durch

inversen β-Zerfall (Fermi-e verhindern β-Zerfall)

-- Minimum (n_p/n_n) bei

� 0�4×10 11 g cm�3

� 0� 10 7 g cm�3

� 0� 10 7 g cm�3

--> Z.-Gleichung beschreibt Struktur von Planeten & (stabilen) weißen Zwergen:

--> Chandrasekhar Z.-Gleichung + Coulomb-Korrektur gute Näherung --> BPS, HW - Z.-Gleichung für stabile GG: -- WD womöglich nicht im GG (Reaktionszeiten) -- NS im GG --> Pygno-nukleare Reaktionen

--> Bsp.: Neutronisierungsschwellen:

� 0�7.8×10 11 g cm�3

H11

� n , 1.22×10 7 g cm�3

He24

� H13

�n � 4n , 1.37×10 11 g cm�3

S1632

� P1532

� Si1432 , 1.47×10 8 g cm�3

Fe2656

� Mn2556

� Cr2456 , 1.14×10 9 g cm�3

u.v.a.m.


Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas (Hamada & Salpeter 1961):

MM o

=0.7R

10 4 km

�3

� e

2

�5

MM o

=1.447� e

2

� 2




--> Vergleich mit der Beobachtung: Masse & Radius für weiße Zwerge:

--> WD optisch sichtbar (~ Kühlzeiten) --> Positionierung im HR-Diagramm:

--> WD mit fester Masse (~1 M_o) (--> d.h. Radius ~10^9 cm) --> Linie im HRD: L ~T_eff^4 --> alle WD im engen Bereich

--> WD-Massen: schwierig bestimmbar (Begleiter erforderlich)

--> WD-Radien: Modellatmosphäre: (Entfernung D aus Parallaxe)

--> Test der Masse-Radius-Beziehung: --> Gravitationsrotverschiebung:

L =4� R 2� T eff

4

F�

F� 0

=R 2

D 2

��

��

GMR c 2 =0.6362

M / M o

R / Ro

km s�1

--> WD Massen & Radien, optisch (~1977):

--> Verbesserung z.B. durch HIPPARCOS (--> Parallaxenbestimmung)

Masse M o Radius Ro Redshift km / sSirus B 1.053±.028 0.0074 ±.0006 89 ±1640 Eri B 0.48±.02 0.0124 ±.0005 23.9 ±1.3Stein 2051 0.50 ±.05 0.0115±.0012 ? ?




--> Vergleich mit der Beobachtung: Masse & Radius für WD: --> HIPPARCOS (Provencal et al.2003): -- Feldsterne (Redshift) -- visuelle Doppelsterne




--> Vergleich mit der Beobachtung: Masse & Radius für WD: --> HIPPARCOS-Daten (Provencal et al.2003): Feldsterne (Redshift)




Vergleich Modell � Beobachtung: --> emittierte Strahlung <---> Kühlungszeiten (--> Kühlungstheorie <---> Festkörperphysik)

4a. Struktur der Atmosphäre Aufbau weißer Zwerge:

1. Sterninneres entartet: Fermi-Gas aus Elektronen:

hohe therm. Leitfähigkeit: gleichförmige Temperatur 2. Dünne Atmospäre, nichtentartete Oberflächenschicht: --> im LTE (lokales thermisches GG) --> Strahlungstransport durch Diffusion von Photonen:

Diffusionsnäherung:

L [erg/s]: Leuchtkraft, aT^4: Schwarzkörper-Energiedichte, κ [cm^2/g]: Opazität

--> (1/κρ) ~ mittlere freie Weglänge des Photons

--> Kramer-Opazität: Photoionisation, inverse Bremsstrahlung freier Elektronen (b-f, f-f)

Kompakte Objekte -- WD-Kühlung

4 . Kühlung Weißer Zwerge

L=�4 � r 2 c3 � �

ddr

aT 4�

dTdr=�

34 a c

� �

T 3

L4 � r 2

�=� 0 � T �3.5 , � 0=4.34×10 24 Z 1�Xcm 2

g


Dichte/Temperatur-Schichtung: --> hydrostatisches GG:

--> in der Atmosphäre: m(r) =M, ideales Gas

--> D-Gl. für P(T): --> Integration mit P(T=0) = 0 --> P durch ρ ersetzen:

--> Grenze zum entarteten Sterninneren: : idealer Gasdruck = Entartungsdruck:

-->


4a . Atmosphäre weißer Zwerge

dPdr=�

G m r �

r 2 �dPdr=�

4 a c3

4�G m r� 0 L

T 6.5

�

P= n e�� i n i kT =�

� m u

k T

P dP=4 a c

34�G M� 0 L

T 7.5 dT

�=2

8.54 a c

34�G M� 0 L

� m u

k

12

T 3.25

T deg , � deg

� deg k T deg

� e m u

=1.0×10 13 � deg

� e

53

� � deg=2.4×10�8� e T deg

3 / 2 gcm 3


Leuchtkraft weißer Zwerge: --> mit ρ(T) und ρ_deg(T_deg) :

--> Innentemperatur T_deg des weißen Zwergs aus L, M, Z, X bestimmbar:

--> z.B.: X =0, Y = 0.9 (Helium) , Z=0.1:

--> Für

--> kT der Elektronen i.d. Atmosphäre << als Fermi-Energie

--> Höhe der Atmosphäre: ersetze ρ in dT/dr -Gleichung, Integration:

-->

--> Für



L=�5.7×10 5 �

� e2 1 Z 1�X

MM o

T deg3.5 erg s�1

� e�2, ��1.4, L=2×10 6 MM o

T deg3.5 erg s�1

L�10� 2�10�3 L o � T deg�10 6

�10 7 K , � deg�10 3 g cm�3�� c

T deg=1

4.25� m u

kG M

RR

r deg

�1 , r deg= r T =T deg

T deg�10 6�10 7 K �

R� r deg

R�10� 2 , H �R� r deg�50 km




L=2×10 6 MM o

T deg3.5 erg s�1

Leuchtkraft weißer Zwerge:

Neue Modelle (Chabrier et al. 2000):

--> kühle WD: T ~ 1500K --> reine H-Atmosphäre --> relativistisches Plasma (Ionen/Elektronen) --> Quanteneffekte --> Randbedingungen zw. Kern und Atmosphäre --> neue Atmosphären-Modelle (H2-H2-Dipol-Absorption) Kerntemperatur~Leuchtkraft

--> Verzögerung d. Kühlung durch (Chabrier et al. 2000)

Kristallisation, chemische Fragmentierung: 1.0 -1.5 Gyr --> Knick durch Konvektion bei kleinen T (-> Verz. -> Beschl.)


Energiequellen für Strahlung weißer Zwerge:

--> Gravitative Kontraktion: kein Beitrag, da Stern entartet

--> Neutrino-Emission: nur in frühen Phasen (hohe Temperaturen)

--> Thermische Elektronenenergie: kein Beitrag, da (niedrige) Elektronenzustände besetzt

--> Thermische Ionenenergie: spezifische Wärme pro Ion: c_v --> thermische Energie des Sterns: (monoatomisch)

--> (~ Supernova-Energie im Optischen)

--> Kühlrate ~dU/dt ~ Leuchtkraft L = C MT^(7/2) mit CM_o ~ 2x10^6 erg/s:

-->

(T_o Anfangstemperatur (>> T) bei t_o) --> ~ 10^9 yr für L ~ 0.001 L_o


4b . Kühlung weißer Zwerge

U =32

k TM

A m u

, c v =32

k

�

ddt

3kT / 2A m u

=C T 7 / 2 ,35

kA m u

T �5 / 2�T 0

�5 / 2=C t � t 0

�� t � t 0 =35

kT MA m u L

~LM

�5 / 7

U �10 48 erg für T =T deg =10 7 K


Kühlung kalter weißer Zwerge:

--> Kristallisation: bei Temperaturen T < T_g --> spezifische Wärme durch Vibration der kristallinen Ionen --> effektivere Kühlung

--> Kristallisation, wenn Γ groß:

--> Γ << 1 --> Maxwell-Boltzmann-Verhalten

--> Γ >> 1 --> Plasma kristallisiert in periodisches Gitter (Γ ~ 75, 126, 171 ... modellabh.) --> 1. kritische (Schmelz-) Temperatur:

--> bei Kristallisation freigesetzte Wärme: --> verläng. d.Kühlzeit

--> 2. kritische Temperatur --> kin. Energie der Ionen > Vibrationsenergie,

T > T_g : --> Dissoziation des Gitters --> dichtes, nicht-ideales Gas --> Wärmekapazität steigt (Faktor 2) wegen kT/2 aus Gitterpotential -->


4b . Kühlung weißer Zwerge

�q~k T m

T m �Z 2 e 2

� k4�3

�

2 Z m u

1 / 3

�2×10 3�

1 / 3 Z 5 / 3 K �3×10 6� 0.6 M o

1 / 3 Z 5 / 3 K

� �Z 2 e 2

r i k T=

Coulomb�Energiethermische Energie

, n i43� r i

3=1

T g�16 T m

c v~3 k



4b. Kühlung weißer Zwerge

� p= 4� n i Z 2 e 2/m i

c v�165�

4 TT D

3

k für T �T D

c v=� �

� T V

T D�h

2�� p

k�4×10 3

�1 / 2 K

�=65

kT MA m u L

, für T D�T �T g , c v=3 k

�=325�

4 TT D

3

T 0

T1

kT MA m u L

, für T �T D , T 0T D

Kühlung kältester (also alter) weißer Zwerge:

--> bei tiefsten Temperaturen: quantenmechanische Effekte im Gitter

--> Debye-Temperatur: (Ionen-Plasmafreq.: )

--> versch. Polarisationsmoden (longitudinal, transversal), Wellenzahlen der Gitterschwingungen: Integration --> Ionen-Energie --> ε(T) -->

-->

==>> Kühlungszeiten:

1)

2)

c v

k~

32



4b. Kühlung weißer Zwerge c v=

� �

� T V --> spezifische Wärme bei verschiedenen Temperaturen:

c v

k�

165

�4 T

T D

3

c v

k~3



4b. Kühlung weißer Zwerge Modellrechnungen Chabrier et al. (2000):

--> mit/ohne Kristallisierung (rechts/links), --> verschieden Massen (DA WD), (0.6 M_o DA weißer Zwerg) (ohne Kristallisierung: xxx)



4b. Kühlung weißer Zwerge Modellrechnungen Chabrier et al. (2000):

--> Masse-Leuchtkraft-Beziehung für konstante Kühlrate (H-Atmosphäre, Alter in Gyrs)



4b. Kühlung weißer Zwerge Vergleich mit Beobachtung (Beispiele):

--> HST Beobachtung M4 --> Interpretation Hansen et al. (2004) --> Alter M4 12.1 Gyr (Alter Vorgänger??) --> Bergeron et al. (2001, BLR): Parallaxen

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