Kombinatorikus problémák sokszögek háromszögekre osztásaival kapcsolatban

Hajnal Péter

Szeged, SZTE, Bolyai Intézet

Nem metsző átlókkal való telítés

Vegyünk egy konvex sokszöget ( n =csúcsszám)

n=7

Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés

Vegyünk egy konvex sokszöget ( n =csúcsszám)

n=7

Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés

Vegyünk egy konvex sokszöget

Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés

Vegyünk egy konvex sokszöget

Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés

Vegyünk egy konvex sokszöget

Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés

Vegyünk egy konvex sokszöget

Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés

Telített sokszög

Észrevétel: Bárhogy végezzük a telítést, ugyanannyi átlót használunk és ugyanannyi háromszöghöz jutunk.

Nem metsző átlókkal való telítés

Telített sokszög

Észrevétel: Bárhogy végezzük a telítést, ugyanannyi átlót használunk és ugyanannyi HÁROMSZÖG-höz jutunk.

Nem metsző átlókkal való telítés

Bizonyítás:

Jobb oldal: n-szög egy csúcsból induló átlói→ n-3 átló, n-2 háromszög→(n-2)π szögösszeg.

Bal oldal (tetszőleges telítés): ugyanekkora szögösszeg→ugyanennyi háromszög→ugyanennyi átló.

Háromszög fokok

Egy csúcs háromszög foka az ott találkozó háromszögek száma:

Háromszög fokok

Egy csúcs háromszög foka az ott találkozó háromszögek száma:

3 2 1 5

1 2

3 1 2 1

1 4 2 2

Háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

2 3

1

4 1

1 3

Háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

IGEN 2 3

1

4 1

1 3

Háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

2 3

1

3 1

1 3

Háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

NEM 2 3

1

3 1

1 3

A számok összege 14

3·háromszögek száma=15.

Háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

2 3

2

1 4

1 2

Háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

NEM 2 3

2

1 4

1 2

Van két szomszédos 1-es.

Háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

2 3

2

2 2

2 2

Háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

NEM 2 3

2

2 2

2 2

Nincs 1-es a fokok között.

És most valami teljesen más (?)

Számtáblázat definiálása: Kiinduló két sor: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

1…a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 … Elemi négyzet szabálya:

a a a b c a d esetén bc=ad+1 azaz szorzat 1-gyel nagyobb mint a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11 19

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11 19 29

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11 19 29 41

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52 110

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52 110 … 1 301

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …

… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52 110 … 1 301

SEJTÉS: Ha a kezdősor csupa 1-est tartalmaz, a második sor csupa egész számot tartalmaz, akkor nem lépünk ki az egész számok köréből.

És most valami teljesen más (?)

Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 …

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 2

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 2 2

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 2 2 5

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 …

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 …

a

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … 1 … 3 1 3 2 1 4 1 …

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … 1 … 3 1 3 2 1 4 1 … 1 … 1 1 1 1 1 1 …

És most valami teljesen más (?)

Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … 1 … 3 1 3 2 1 4 1 … n=7 1 … 1 1 1 1 1 1 …

Definíció: Fríz számsor (Conway-Coxeter) Első sor csupa 1-es, második sor n darab pozitív egész periodikusan ismételve,

(n-1)-edik sor csupa 1-es.

Fríz

Újra konvex sokszögek

Körbe írt sokszög A B 1

1 F C 1 1 E D

Nem egészekből álló fríz: A B C D E F 1 1 1 1 1

√3 √3 √3 √3 2 2 2 √3 √3 1

Ptolemaiosz tétele

Legyen A, B, C és D négy pont egy körön

A

D B Ekkor

AC·DB=

AD·BC+AB·CD

C

Ptolemaiosz tétele (speciális eset)

Legyen A, B, C és D négy pont egy körön

A

AB=CD=1

B

Ekkor

AC·DB=

AD·BC+1

D C

Ptolemaiosz tétele (speciális eset)

Legyen A, B, C és D négy pont egy körön A AB=CD=1

B Ekkor A B … C D BC

AC BD D C AD teljesíti az elemi négyzet szabályát.

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2

1

1

1

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2

1

1

1 3

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2

1

1 4

1 3

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2

1 9

1 4

1 3

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5

1 9

1 4

1 3

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1

1 9 4

1 4 7

1 3 3

1 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1

1 9 4 1

1 4 7 3

1 3 3 5

1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1

1 9 4 1

1 4 7 3 1

1 3 3 5 2

1 2 2 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1

1 9 4 1

1 4 7 3 1

1 3 3 5 2 1

1 2 2 2 3 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Cikk-cakk frízek

Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1 2 2 2 3 1

1 9 4 1 3 3 5 2 1

1 4 7 3 1 4 7 3 1

1 3 3 5 2 1 9 4 1

1 2 2 2 3 1 2 5 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Újból háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

1 2

3 5

2 1

2 2

Újból háromszög fokok

FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

IGEN 1 2

3 5

2 1

2 2

Újból frízek

3 2

1 1

4 4

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

Fríz lesz-e?

Újból frízek

Fríz lesz-e?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

Újból frízek

Fríz lesz-e?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

IGEN

Újból frízek

Fríz lesz-e?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …

3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …

7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …

2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …

1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Újból frízek

A B C D E F G H A B

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …

3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …

7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …

2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …

1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Újból frízek

A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD

Újból frízek

A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG

Újból frízek

A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG

Újból frízek

A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG, AD

Újból frízek

A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG, AD, DG

Újból frízek

A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG, AD, DG

Újból frízek

A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG, AD, DG, szomszédos betűk

Frízek és átlók

B A H C G D E F BD, EG, AG, AD, DG, szomszédos betűk

Frízek és átlók

B A H C G D E F BD, EG, AG, AD, DG

Frízek és átlók

B A H C G D E F BD, EG, AG, AD

Frízek és átlók

B A H C G D E F BD, EG, AG

Frízek és átlók

B A H C G D E F BD, EG

Frízek és átlók

B A H C G D E F BD

Frízek és átlók

B A H C G D E F BD

Frízek és átlók

2 3 1 1 4 4 2 1 BD

Elemi négyzet szabály

c

b C

a B

A

Elemi négyzet szabály

c

b C

a B

A

b·C=c·B+1, a·B=b·A+1

Elemi négyzet szabály

c

b C

a B

A

b·C=c·B+1, a·B=b·A+1

b·C-a·B=c·B-b·A

Elemi négyzet szabály

c

b C

a B

A

b·C=c·B+1, a·B=b·A+1

b·C-a·B=c·B-b·A

b·C+b·A=c·B+a·B

Elemi négyzet szabály

c

b C

a B

A

b·C=c·B+1, a·B=b·A+1

b·C-a·B=c·B-b·A

b·C+b·A=c·B+a·B, b·(A+C)=(a+c)·B

Elemi négyzet szabály

c

b C

a B

A

b·C=c·B+1, a·B=b·A+1

b·C-a·B=c·B-b·A

b·C+b·A=c·B+a·B, b·(A+C)=(a+c)·B

(A+C):B=(a+c):b

Elemi négyzet szabály

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …

3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …

7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …

2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …

1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Elemi négyzet szabály

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …

3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …

7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …

2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …

1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Elemi négyzet szabály

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …

3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …

7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …

2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …

1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, n csúcs

B A H C G D E F

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, (n-2) csúcs

B A H D E F

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, (n-2) csúcs

PÁROSÍTSUNK . B

A

H

D

E . F

3 LEHETŐSÉG

Frízek és párosítások

A B C D E F G H A B

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …

3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …

7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …

2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …

1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F

Frízek és párosítások

(n-2) háromszög, (n-2) csúcs

PÁROSÍTSUNK

H C

G D

E

F

1 LEHETŐSÉG