KOMBINATORIKA - erwin2h.files.wordpress.com · Pigeonhole Principle : Soal 2 Misalkan P 1, P 2, P...
-
Upload
truonghanh -
Category
Documents
-
view
400 -
download
13
Transcript of KOMBINATORIKA - erwin2h.files.wordpress.com · Pigeonhole Principle : Soal 2 Misalkan P 1, P 2, P...
KOMBINATORIKA
Erwin Harahap
Disampaikan pada acara SosialisasiOLIMPIADE MATEMATIKA, FISIKA, DAN KIMIA 2011
KOPERTIS WILAYAH IV JAWA BARATJatinangor- Bandung, 22 Maret 2011
1
2
KEMENTRIAN PENDIDIKAN NASIONALDIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN TINGGI
DIREKTORAT PEMBELAJARAN DAN KEMAHASISWAAN2011
3
4
Materi Olimpiade Matematika
5
Jenis Tes/Soal
6
Content
• Koefisien Binomial
• Pohon
• The Marriage Theorem
• Pigeonhole Principle
• Inklusi-Eksklusi
• Paritas
• Eulerian / Hamiltonian
• Rekuren
7
Koefisien Binomial
Jika a dan b adalah bilangan real dan n adalahbilangan bulat positif, maka :
Materi terkait:
Prinsip penjumlahan, perkalian, Permutasi, kombinasi, permutasi dan kombinasi denganpengulangan
8
kknn
k
n baknCba0
),()(
Pohon (tree)
• Pohon (tree) adalah Suatu graf terhubung yang setiap pasangan simpulnya hanya dapat dihubungkan oleh satu lintasan tertentu
• Pohon merupakan graf tak-berarah yang terhubung dan tidak memiliki siklus maupun sirkuit.
9
The Marriage Theorem
• Jika S adalah suatu himpunan simpul di G, misal d(S) adalah sejumlah titik di G yang berpasangan dengan paling sedikit satuanggota S
• Pengertian tentang teorema ini lebihmengarah kepada graf bipartisi (bipartite)
10
The Marriage Theorem (lanjutan)
• Graf bipartisi (bipartite graph) adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi duahimpunan tak kosong X dan Y sehingga masing-masing sisi di graf tersebut menghubungkan satutitik di X dan satu titik di Y
11
Pigeonhole Principle
• Jika k buah benda ditempatkan pada k buahkotak, maka akan terdapat paling sedikit 2 buah benda pada satu kotak
• Akan terdapat paling sedikit 2 sarung tanganpada tangan yang sama dari 3 buah sarungtangan
12
Pigeonhole Principle (lanjutan)
Jika n merpati (pigeon) dimasukkan kedalam m kandang(hole) dimana n>m , maka akan terdapat paling sedikitsatu kandang berisi lebih dari satu merpati
13
Pigeonhole Principle : Soal 1
Paling sedikit dalam berapa kali pelemparan darisebuah dadu agar dapat dijamin angka yang sama akan muncul 2 kali ?
14
Pigeonhole Principle : Jawab 1
Paling sedikit 7 kali pelemparan
15
Pigeonhole Principle : Soal 2
Misalkan P1, P2, P3, P4, P5 adalah lima titik latisberbeda pada suatu bidang cartesius.
Buktikan bahwa terdapat sepasang titik (Pi, Pj), i ≠ j, sedemikian sehingga ruas garis Pi Pj akanmemuat titik latis selain Pi dan Pj.
16
Pigeonhole Principle : Jawab 2
Misalkan 2 titik yang merupakan bagian dari Pn
titik tersebut adalah
Maka koordinat titik tengahnya adalah :
17
),(),( 2211 yxdanyx
))(),((2
12121 yyxx
Pigeonhole Principle : Jawab 2 (lanjutan)
Dikarenakan koordinat titik tengah tersebutmerupakan bilangan bulat maka
adalah genap jika dan hanya jika paritas x1 danx2 sama, serta paritas y1 dan y2 sama.
18
)()( 2121 yydanxx
Pigeonhole Principle : Jawab 2 (lanjutan)
4 Paritas titik yang mungkin :
(genap, genap), (genap, ganjil)
(ganjil, genap), (ganjil, ganjil)
Maka menurut pigeonhole principle, jikaterdapat 5 titik latis berbeda (P1, P2, P3, P4, P5 ), maka dua titik diantaranya memiliki paritas yang sama, dan memuat titik latis selain Pn
19
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk mencacah banyaknya unsur di dalam A∪B, kitadapat melakukannya dengan mencacah banyaknya unsurhimpunan A dan himpunan B − A dan kemudianmenjumlahkannya
20
|A B| =|A| + |B| -|A B|
Inklusi Eksklusi : Soal 1
Tentukan banyaknya bilangan bulat dari 1 s/d 1000 yang habis dibagi 3 atau 5
21
Inklusi Eksklusi : Jawab 1
|A| habis dibagi 3 333
|B| habis dibagi 5 200
|A B| habis dibagi 3*5 66
Total :
22
|A B| =|A| + |B| -|A B|
= 333 + 200 - 66
= 467
Inklusi Eksklusi : Soal 2
Tentukan banyaknya bilangan bulat dari 1 s/d 1000 yang tidak habis dibagi 3 dan tidak habis dibagi 5
23
Inklusi Eksklusi : Jawab 1 (lanjutan)
Hukum de Morgan :
24
(A’ B’)= (A B)’
|(A B)’| =|S| -|A B|
= 1000 - 467
= 533
Eulerian / Hamiltonian
• Misal G suatu graf. LIntasan Euler pada Gadalah lintasan yang memuat setiap sisi di G.
• Graf G di sebut graf Euler (Eulerian) jika Gmemuat lintasan Euler yang tertutup
• Sirkuit Hamilton G adalah sirkuit yang memuatsetiap titik di G
• Graf G di sebut Graph Hamilton (Hamiltonian) jika G memuat sirkuit Hamilton
25
Eulerian / Hamiltonian (lanjutan)
26
Rekuren
• Persamaan rekurensi adalah persamaan yang menentukan nilai suku xn dalam fungsi dari suku-suku sebelumnya, yaitu xn-1 , xn-2 , ...
• Persamaan rekurensi berbentuk
• Fungsi karakteristik
27
Rekuren : Soal 1
Barisan a1, a2, . . . didefinisikan dengan
a1 = 1, a2 = 1,
Dan
Tentukan bentuk eksplisit dari an
28
Rekuren : Jawab Soal 1
Barisan
Persamaan karakteristik :
Difaktorkan menjadi :
Bentuk umum :
29
Rekuren : Jawab Soal 1 (lanjutan)
a1 = 1
a2 = 1
Dengan demikian, bentuk umum an :
30
1)1(2 1
2
1
1 cc
1)1(2 2
2
2
1 cc
12 21 cc
14 21 ccEliminasi
Untuk n = 1,2,3, …
Rekuren : Soal 2
Barisan a1, a2, . . .
dimana
Tentukan bentuk umum
31
12 nn aa
11a
na
Rekuren : Jawab Soal 2
Persamaan karakteristik :
Bentuk umum :
maka
Dgn demikian : untuk n = 1,2,3, …
32
12 nn aa 02x
n
n ca 2
11a 21c
12n
na
Sekian dan Terima kasih
http://erwin2h.wordpress.com
33