KOLOKVIJI I ISPITI IZ MATEMATIKE 2

Sadržaj

10.06.2010.,ispit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.03.2010., prvi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.03.2010., prvi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.04.2010., drugi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.04.2010., drugi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710.06.2010., tréci kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.06.2010., tréci kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.03.2009., prvi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.03.2009., prvi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130.04.2009., drugi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230.04.2009., drugi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.06.2009., tréci kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.06.2009., tréci kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1531.03.2008., prvi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1631.03.2008., prvi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.05.2008., drugi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.05.2008., drugi kolokvij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.06.2008., tréci kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.06.2008., tréci kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

MATEMATIKA 2(10.06.2010.,ispit)

1. Koristéci se poznatim Taylorovim redom funkcije sinx razvijte u red funkciju

f (x) = (1+ x2) sin(2x) .

(10 bodova)

2. Odredite radijus konvergencije reda∞∑

n=0

n · 2n

3nxn .

(5 bodova)

3. Izračunaj

a)∫

esinx · cosx dx

b)∫ e

1(x + 1) · ln x dx

(15 bodova)

4. Metodom separacije varijabli riješite diferencijalnu jednadžbu

y′ = x2y − y .

(10 bodova)

5. Odredite partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe

xy′ + y = 2x

koje zadovoljava pǒcetni uvjety(0) = 5.(10 bodova)

6. Nadite oṕce rješenje linearne diferencijalne jednadžbe 2. reda

y′′ + y = x2 .

(15 bodova)

7. Odredite sve parcijalne derivacije prvog reda funkcije

z = y + 2y ln(x2y)

(5 bodova)

8. Pomócu diferencijala funkcijez = x · ey

izračunajte približno 1.9 · e0.1.(15 bodova)

9. Izračunajte integral "(P)

1(x2 + y2)3/2

dP

zaP na slici. Koristite polarne koordinate.

(15 bodova)

3

A MATEMATIKA 2(19.03.2010., prvi kolokvij)

1. Zadana je funkcijaf (x) =1

3√1+ x

.

(a) Napišite prvǎcetiri člana Newtonove binomne formule funkcijef (x) .

(b) Pomócu prva tričlana Newtonove binomne formule približno izračunajte1

3√1.1= f (0.1) .

(15 bodova)

2. Zadan je red potencija

1−1

2 · 3x +

23 · 32

x2 −3

4 · 33x3 +

45 · 34

x4 − . . .

(a) Napišite oṕci član reda potencija.

(b) Izrǎcunajte radijus konvergencije.

(15 bodova)

3. Zadana je funkcijaf (x) =x + 21− x2

.

(a) Razvijte funkcijuf (x) u red potencija (koristéci se poznatim razvojem).

(b) Pomócu dobivenog reda potencija odredite razvoj funkcijef ′(x) u red potencija.

(15 bodova)

4. Izračunajte∫

(

2√

2x + 3+

1√

x2 − 2

)

dx .

(10 bodova)

5. Metodom supstitucije izrǎcunajte∫

− sinx√

4− cos2 xdx .

(15 bodova)

6. Izračunajte∫ 1

0(x − 3) 3x dx .

(15 bodova)

7. Izračunajte površinu lika omedenog sinusoidomy = sinx, pravcemy =2√

23π

x, te osix . (Vidi skicu!)

x

y

4

3p

xy sin=

xyp3

22=

(15 bodova)

B MATEMATIKA 2(19.03.2010., prvi kolokvij)

1. Zadana je funkcijaf (x) =√

1− x .

(a) Napišite prvǎcetiri člana Newtonove binomne formule funkcijef (x) .

(b) Pomócu prva tričlana Newtonove binomne formule približno izračunajte√

0.8 = f (0.2) .

(15 bodova)

2. Zadan je red potencija∞∑

n=1

3nxn

(3n − 2)2n.

(a) Napišite prvǎcetiri člana toga reda potencija.

(b) Izrǎcunajte radijus konvergencije.

(15 bodova)

3. Zadana je funkcijaf (x) =ln(1− x)

x.

(a) Razvijte funkcijuf (x) u red potencija (koristéci se poznatim razvojem).

(b) Pomócu dobivenog reda potencija izračunajte neodredeni integral∫

ln(1− x)x

dx .

(15 bodova)

4. Izračunajte∫ (

2x − 33√

x+

1√

2− x2

)

dx .

(10 bodova)

5. Metodom supstitucije izrǎcunajte∫

ln x

x√

4− ln2 xdx .

(15 bodova)

6. Izračunajte∫ 2

1

2 ln xx2

dx .

(15 bodova)

7. Izračunajte površinu lika omedenog grafom funkcijey =1x2

i pravcimay = x i y = 4 . (Vidi skicu!)

x

y

2

1

xy =

xy =

4=y

(15 bodova)

A MATEMATIKA 2(23.04.2010., drugi kolokvij)

1. Napišite integral kojim se rǎcuna volumen tijela nastao rotacijom osjenčanog lika na slici oko osix.

x

y

2y+x=3

y=x2

1

(15 bodova)

2. Nadite težište osjeňcanog lika na slici ( površina likaP = 43π −√

3 ).

x

y

1

(20 bodova)

3. Metalna plǒca zagrijana je na 200◦C. Vanjska temperatura je 22◦C. Ako je nakon 3 minute temperatura ploče pala na50◦C, kolika će ona biti nakon 5 minuta? (Prema Newtonovu zakonu brzina promjene temperature ploče proporcionalnaje razlici temperatura plǒce i okoline.)

a) Postavite odgovarajuću diferencijalnu jednadžbu.

b) Riješite jednadžbu uz zadane uvjete.

(15 bodova)

4. Odrediti partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe

xy′ = x2 − x − y,

koje zadovoljava pǒcetni uvjet:y(1) = 4. (15 bodova)

5. Zadana je familija krivuljax2

2+

y2

4= C .

a) Odredite pripadnu diferencijalnu jednadžbu.

b) Odredite ortogonalne trajektorije zadane familije.

(15 bodova)

6. Zadana je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda 4y′′ + 4y′ + y = −12

x2 + 2x .

a) Riješite pridruženu homogenu diferencijalnu jednadžbu.

b) Odredite partikularno rješenje nehomogene jednadžbe i napišite oṕce rješenje.

(20 bodova)

B MATEMATIKA 2(23.04.2010., drugi kolokvij)

1. Napišite integral kojim se rǎcuna volumen tijela nastao rotacijom osjenčanog lika na slici oko osiy.

x

y

x+y=2

(y-1)

2+x2

=1

(15 bodova)

2. Nadite težište osjeňcanog lika na slici ( površina likaP = 43√

2π −

√

32 ).

x

y

-1

x2+2y2

=4

(20 bodova)

3. Metalna plǒca se po cijeloj površini zagrijava grijačem konstantne temperature 400◦C. Ako je s pǒcetnih 15◦C nakon2 minute temperatura ploče narasla na 250◦C, kolika će ona biti nakon 3 minute? (Prema Newtonovu zakonu brzinapromjene temperature ploče proporcionalna je razlici temperatura ploče i okoline.)

a) Postavite odgovarajuću diferencijalnu jednadžbu.

b) Riješite jednadžbu uz zadane uvjete.

(15 bodova)

4. Odrediti partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe

y′ = −3x

y +ex

x3

koje zadovoljava pǒcetni uvjet:y(−1) = e−1.(15 bodova)

5. Zadana je familija krivuljax2

4−

y2

2= C .

a) Odredite pripadnu diferencijalnu jednadžbu.

b) Odredite ortogonalne trajektorije zadane familije.

(15 bodova)

6. Zadana je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda 9y′′ − 6y′ + y = −e2x .

a) Riješite pridruženu homogenu diferencijalnu jednadžbu.

b) Odredite partikularno rješenje nehomogene jednadžbe i napišite oṕce rješenje.

(20 bodova)

A MATEMATIKA 2(10.06.2010., treći kolokvij)

1. Zadana je funkcijaz = ex2+y2+ sin(xy) . Izračunajte

a) zx(1, 0),

b) zy(1, 0),

c) zxx .

(15 bodova)

2. Za funkcijuz = x3 − 2x2y + y2 nadite

a) diferencijal dz,

b) dz u točki T (1, 2) za priraste dx = 0.1 i dy = −0.2 .

c) Za koliko se približno promijeni vrijednost funkcije akose iz tǒcke (1, 2) pomaknete u tǒcku (1+ 0.1, 2− 0.2) ?

(15 bodova)

3. Nadite lokalne ekstreme funkcijez = x4 + y4 − 2x2 + 2y2 − 3. (20 bodova)

4. Izračunajte∫ 2

0

(∫ 6−y

y2

1√

xdx

)

dy.(15 bodova)

5. Za integral∫ 1

0

(∫ −2x+5

3xf (x, y) dy

)

dx

a) skicirajte podrǔcje integracije,

b) promijenite poredak integracije.

(15 bodova)

6. a) Odredite granice integracije integrala∫ ∫

(P)

dP(

x2 + y2)3/2

po podrǔcju P na slici u polarnom sustavu. (15 b.)

0

2

1

p /62

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

P

b) Izrǎcunajte taj integral. (5 b.)(20 bodova)

B MATEMATIKA 2(10.06.2010., treći kolokvij)

1. Zadana je funkcijaz = ln(

x2 + y2)

+ 3x siny . Izračunajte

a) zx(1, 0),

b) zy(1, 0),

c) zxy .

(15 bodova)

2. Za funkcijuz = x3 − 3x2y + y2 nadite

a) derivaciju u smjeru~s(2,−1),

b) derivaciju u tǒcki (1, 1) u smjeru~s(2,−1) .

c) Ako iz točke (1, 1) krenete u smjeru~s(2,−1), da li vrijednosti ove funkcije rastu ili padaju?

(15 bodova)

3. Nadite lokalne ekstreme funkcijez = x4 + y4 + 2x2 − 2y2 + 1.(20 bodova)

4. Izračunajte∫ 1

0

(∫ 2−x

√x

1√

ydy

)

dx.

(15 bodova)

5. Za integral∫ 2

1

(∫ x

1/xf (x, y) dy

)

dx

a) skicirajte podrǔcje integracije,

b) promijenite poredak integracije.

(15 bodova)

6. a) Odredite granice integracije integrala∫ ∫

(P)

1x

dP po podrǔcju P na slici u polarnom sustavu. (15 b.)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

0 1

p /42P

b) Izrǎcunajte taj integral. (5 b.)

(20 bodova)

A MATEMATIKA 2(23.03.2009., prvi kolokvij)

1. Koristéci se odgovarajúcim Taylorovim polinomom tréceg stupnja približno izrǎcunajte

sin 0.1 .

(15 bodova)

2. Izračunajte radijus konvergencije reda

1−x7+

x2

2 · 72−

x3

3 · 73+

x4

4 · 74−

x5

5 · 75+ . . .

(15 bodova)

3. Razvijte u red potencija (ne koristeći Taylorovu formulu)

f (x) =x2

1+ x.

(15 bodova)

4. Izračunajte∫ 1

0

(

5√

x +2

cos2 x− 3x

)

dx .

(10 bodova)

5. Izračunajte∫

ex cos(ex) dx, uz supstitucijut = ex .

(15 bodova)

6. Izračunajte∫ π

0x sinx dx .

(15 bodova)

7. Izračunajte površinu osjenčanog lika sa slike.

x

y

121

1

xy

+=

2

2x

y =

1-1

(15 bodova)

B MATEMATIKA 2(23.03.2009., prvi kolokvij)

1. Koristéci se odgovarajúcim Taylorovim polinomom drugog stupnja približno izračunajte

ln 0.9 .

(15 bodova)

2. Izračunajte radijus konvergencije reda

1+x5+

x2

2 · 52+

x3

3 · 53+

x4

4 · 54+

x5

5 · 55+ . . .

(15 bodova)

3. Razvijte u red potencija (ne koristeći Taylorovu formulu)

f (x) =sinx

x.

(15 bodova)

4. Izračunajte∫ 1

0

(

x6 − 2 cosx + ex)

dx .

(10 bodova)

5. Izračunajte∫ 2

1

√5− x2 x dx .

(15 bodova)

6. Izračunajte∫

x ln x dx .

(15 bodova)

7. Izračunajte površinu ispod prvog luka cikloide (osjenčani lik sa slike).

x

y

p2

)20(cos1

sinp££

îíì

-=

-=t

ty

ttx

0

2

(15 bodova)

A MATEMATIKA 2(30.04.2009., drugi kolokvij)

1. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom likova sa slike okox-osi.

y=e

xy=-x

+1

-2 1

1

x

y

(20 bodova)

2. Nadite težište osjeňcenog lika sa slike.

y=-x

+1

-2

1

x

y

1y=

lnx

(15 bodova)

3. Riješite diferencijalnu jednadžbuy′ y + x = x2.

(15 bodova)

4. Riješite diferencijalnu jednadžbuy′ −

yx= x + 2

uz pǒcetni uvjety(1) = 0.(15 bodova)

5. Nadite ortogonalne trajektorije skupa krivulja

y =Cx.

(15 bodova)

6. Nadite oṕce rješenje jednadžbey′′ + 2 y′ + 2 y = 2 x2 .

(20 bodova)

B MATEMATIKA 2(30.04.2009., drugi kolokvij)

1. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom likova sa slike okoy-osi.

y=-x

+1

-2

1

x

y

1y=

lnx

(20 bodova)

2. Nadite težište osjeňcenog lika sa slike.

-1 1

1

x

y

x y2 2+ =1

(15 bodova)

3. Riješite diferencijalnu jednadžbu−y′ y2 − x2 = 1.

(15 bodova)

4. Riješite diferencijalnu jednadžbu

y′ + 2yx= ex

uz pǒcetni uvjety(1) = e.(15 bodova)

5. Nadite ortogonalne trajektorije skupa krivuljay = C x2 − 5.

(15 bodova)

6. Nadite oṕce rješenje jednadžbey′′ + 3 y′ + 2 y = 2 x2 + 3 .

(20 bodova)

A MATEMATIKA 2(05.06.2009., treći kolokvij)

1. Nadite parcijalne derivacijezx i zy funkcije z = x sin(y2) − y ln x.(15 bodova)

2. Derivirajte funkcijuz = x3 + y2 − 2 x y3 u točki T (2, 1) u smjeru~s = (−4, 3).(15 bodova)

3. Nadite lokalne ekstreme funkcijez = 3 x2 + 2y3 + 6 x y − 5.(20 bodova)

4. Izračunajte:∫ 1

0

∫ x2

x(x − 2y) dy

dx.

(15 bodova)

5. Napišite granice u oba redoslijeda integracije u integralu∫ ∫

(P)f (x, y) dP po podrǔcju P na slici:

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

y=

-x2+

4

x

y

0 2

4

P

(15 bodova)

6. Izračunajte integral∫ ∫

(P)

√

x2 + y2 dP po podrǔcju P na slici (koristite polarne koordinate):

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

x +y =42 2

0 21

p/3

x +y =12 2

P

(20 bodova)

B MATEMATIKA 2(05.06.2009., treći kolokvij)

1. Nadite parcijalne derivacijezx i zy funkcije z = y cos(x2) − x ln y.(15 bodova)

2. Nadite prvi diferencijal funkcijez = x3 + y2 − 2 x y3 u točki T (−1, 2) za prirastedx = −0.1, dy = 0.1 .(15 bodova)

3. Nadite lokalne ekstreme funkcijez = −6 x2 + 4y3 − 12x y + 3.(20 bodova)

4. Izračunajte:∫ 1

0

(∫ x+1

x12x y dy

)

dx.

(15 bodova)

5. Napišite granice u oba redoslijeda integracije u integralu∫ ∫

(P)f (x, y) dP po osjeňcenom podrǔcju na slici:

y= -x+

2

x

y

0 2

2

1aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

P

(15 bodova)

6. Izračunajte integral∫ ∫

(P)y dP po podrǔcju P na slici (koristite polarne koordinate):

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

x +y =92 2

0 31

x +y =12 2

Pp/6x

y

(20 bodova)

A MATEMATIKA 2(31.03.2008., prvi kolokvij)

1.

1. Koristéci se odgovarajúcim Taylorovim polinomom drugog stupnja približno izračunajte

e0.02 .

(20 bodova)

2. Izračunajte radijus konvergencije reda

1−x3+

x2

2 · 32−

x3

3 · 33+ · · ·

(15 bodova)

3. Razvijte u red potencija (koristeći poznate redove funkcija)

f (x) = x cos(2x) .

(15 bodova)

4. Izračunajte∫ π

2

1

(

4 3√

x − 2x +3

sin2 x

)

dx .

(15 bodova)

5. Izračunajte

a)∫ 1

0

x − 1√

x2 − 2x + 2dx ,

b)∫

x2ex3

dx , uz supstitucijut = x3.

(20 bodova)

6. Izračunajte∫

2x ln x dx .

(15 bodova)

B MATEMATIKA 2(31.03.2008., prvi kolokvij)

1. Koristéci se odgovarajúcim Taylorovim polinomom drugog stupnja približno izračunajte

ln 1.04 .

(20 bodova)

2. Izračunajte radijus konvergencije reda

1−x5+

x2

2 · 52−

x3

3 · 53+ · · ·

(15 bodova)

3. Razvijte u red potencija (ne koristeći Taylorovu funkcija)

f (x) =sin(2x)

x.

(15 bodova)

4. Izračunajte∫ 1

0

(

3√

x −2

cos2 x+ 2x

)

dx .

(15 bodova)

5. Izračunajte∫

3√

x

√x

dx uz supstitucijut =√

x .

(20 bodova)

6. Izračunajte∫

(2x − 1) sinx dx .

(15 bodova)

A MATEMATIKA 2(16.05.2008., drugi kolokvij)

1. Izračunajte površinu osjenčanog lika sa slike.

y=

- 2x

+2

y

x

2

0

-2

-6

2 4

y=-x +3x-22

(15 bodova)

2. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom lika sa slikeoko y-osi.

y

x21-2 0

y=ln

(x/2

)

-1

(15 bodova)

3. Nadite rješenje linearizirane jednadžbe njihala

m ld2θdt2= −m g θ ,

uz pǒcetne uvjeteθ(0) = − π4 idθdt (0) = 0.

Vrijednosti parametara sul = 8, g = 10.(10 bodova)

4. Riješite diferencijalnu jednadžbu1

y2 + 1y′ = x2 + 1

uz pǒcetni uvjety(0) = 0.(15 bodova)

5. Riješite diferencijalnu jednadžbuy′ − 3y = e2x .

(15 bodova)

6. Nadite ortogonalne trajektorije skupa krivuljax2 + 2y2 = C2 .

(15 bodova)

7. Nadite oṕce rješenje jednadžbey′′ + 3y′ + 2y = x2 .

(15 bodova)

19

B MATEMATIKA 2(16.05.2008., drugi kolokvij)

1. Izračunajte površinu osjenčanog lika sa slike.

y

x

1

1 4

2 y= -x/2 + 5/2

y=2/x

(15 bodova)

2. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom likova sa slike okox-osi.

y

x

y=x+1

1

1 2

y=e-x

-1

y=e -x

y=x+

1

(15 bodova)

3. Nadite rješenje linearizirane jednadžbe njihala

mld2θdt2= −mgθ ,

uz pǒcetne uvjeteθ(0) = π8 idθdt (0) = 0.

Vrijednosti parametara sul = 15,g = 10.(10 bodova)

4. Riješite diferencijalnu jednadžbuyy′ =

x1+ x2

uz pǒcetni uvjety(0) = 1.(15 bodova)

5. Riješite diferencijalnu jednadžbuy′ + 2y = e3x .

(15 bodova)

6. Nadite ortogonalne trajektorije skupa krivuljay = Cx − 2 .

(15 bodova)

7. Nadite oṕce rješenje jednadžbey′′ + 3y′ + 2y = e−x .

(15 bodova)

21

A MATEMATIKA 2(16.06.2008., treći kolokvij)

1. Nadite parcijalne derivacijezx i zy funkcije z = x siny − ex.(15 bodova)

2. Derivirajte funkcijuz = x2 + y2 − 2 x y u točki T (2,−1) u smjeru~s(1, 3).(15 bodova)

3. Nadite ekstreme funkcijez = x2 − 2 x + y2 − 4y + 5.(20 bodova)

4. Izračunajte:∫ 2

1

(∫ x

0

(

x2 + y)

dy

)

dx.

(15 bodova)

5. Napišite granice integracije u integralu∫ ∫

(P)f (x, y)dP ako je podrǔcje P kao na slici:

4

x

y

0

2

(15 bodova)

6. Izračunajte integral∫ ∫

(P)(y − x)dP ako je podrǔcjeP kao na slici:

3

45o x

y

0

(20 bodova)

B MATEMATIKA 2(16.06.2008., treći kolokvij)

1. Nadite parcijalne derivacijezx i zy funkcije z = y ln x − 3 cosy.(15 bodova)

2. Derivirajte funkcijuz = −2x2 + 3y2 − 4 x2 y u točki T (−1, 1) u smjeru~s(2,−3).(15 bodova)

3. Nadite lokalne ekstreme funkcijez = −x2 + 3 x − 2y2 − y + 7.(20 bodova)

4. Izračunajte:∫ 3

0

(∫ 2x

x(2x + x y) dy

)

dx.

(15 bodova)

5. Napišite granice integracije u integralu∫ ∫

(P)f (x, y)dP ako je podrǔcje P kao na slici:

2

x

y

0

1

(15 bodova)

6. Izračunajte integral∫ ∫

(P)(y − x)dP ako je podrǔcjeP kao na slici:

-145

o x

y

0

(20 bodova)

10.06.2010.,ispit19.03.2010., prvi kolokvij19.03.2010., prvi kolokvij23.04.2010., drugi kolokvij23.04.2010., drugi kolokvij10.06.2010., treci kolokvij10.06.2010., treci kolokvij23.03.2009., prvi kolokvij23.03.2009., prvi kolokvij30.04.2009., drugi kolokvij30.04.2009., drugi kolokvij05.06.2009., treci kolokvij05.06.2009., treci kolokvij31.03.2008., prvi kolokvij31.03.2008., prvi kolokvij16.05.2008., drugi kolokvij16.05.2008., drugi kolokvij16.06.2008., treci kolokvij16.06.2008., treci kolokvij